M etodo de Green para la resoluci on de las ecuaciones de ...

FACULTAD DE CIENCIAS

GRADO EN FISICA

CARLOS RAMON [email protected]

Metodo de Green para la resolucion de las

ecuaciones de Maxwell aplicado a medios

dielectricos

Trabajo realizado por Carlos Ramon Santonja para el grado deFısica de la Universidad de Alicante.

[email protected]

Tutor:Cristian Neipp [email protected]

Indice general

1. Introduccion 1

2. Fundamento teorico 3

2.1. Principios electromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Definicion y propiedades del tensor de Green . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Discretizacion de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5. Calculos en 3 Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6. Calculo en 2 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Resolucion analıtica de las ecuaciones de Maxwell para un cilin-dro homogeneo 11

3.1. Simulacion utilizando la integral de Fresnel-Kirchoff . . . . . . . . 16

4. Resultados 18

4.1. Estudio de la convergencia del metodo . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2. Validacion del metodo por comparacion con el metodo de Fresnely el resultado analıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3. Validacion del metodo por comparacion con un resultado experi-mental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4. Simulaciones teoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.1. Modificando la polarizacion del campo incidente . . . . . . 25

II

INDICE GENERAL III

4.4.2. Modificando el ındice de refraccion del material . . . . . . 30

4.4.3. Modificando el radio del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4.4. Simulacion para un cilindro elıptico . . . . . . . . . . . . . 32

4.4.5. Simulacion para un cilindro con una cavidad interior . . . 33

5. Conclusiones 36

A. Demostracion tensor de Green en 3 dimensiones 37

B. Vetores armonicos para el ejemplo del cilindro 39

C. Codigo 40

Resumen

En este proyecto se estudia un formalismo teorico basado en las funciones deGreen que permite plantear las ecuaciones de Maxwell de una manera mas apro-piada para resolverlas numericamente. Se considera el caso en que la permitividaddielectrica es un tensor de rango 2 que varıa con la posicion. Este formalismo seestudia en sistemas de 2 y 3 dimensiones. A su vez, se resuelven estas ecuacionespara sistemas bidimensionales, obteniendose la intensidad del campo dispersadoen funcion de la del campo incidente en una pantalla situada a una cierta dis-tancia del material que produce la dispersion. La validez del metodo numerico seprueba de dos formas distintas, comparando con unos valores experimentales yrealizando simulaciones que presentan solucion analıtica.

IV

Abstract

In this project, we study a theoretical formalism based on Green’s functionsthat allows us to present Maxwell’s equations in a more appropriate way to solvethem numerically. We consider the case in which the dielectric permittivity is arank 2 tensor that varies with the position. This formalism is studied in 2 and 3dimensional systems. In addition, these equations are solved for two-dimensionalsystems, obtaining the intensity of the dispersed field as a function of that ofthe incident field on a screen located at a certain distance from the materialthat produces the dispersion. The validity of the numerical method is testedin two different ways, comparing with the experimental values and performingsimulations that present an analytical solution.

V

Capıtulo 1

Introduccion

La dispersion electromagnetica (o scattering) es el proceso que se obtiene cuan-do un haz de luz incide sobre un material y la onda electromagnetica que formael haz se dispersa. Es un proceso complejo que depende principalmente de dosparametros: las propiedades dielectricas de la superficie (permitividad dielectrica,conductividad, etc.) y de su estructura geometrica. No existen soluciones analıti-ca para materiales con formas arbitrarias, las ecuaciones que rigen este procesose pueden resolver para algunos casos muy concretos. Por esta razon, resulta in-teresante plantear las ecuaciones que rigen el scattering de forma que se puedenresolver numericamente para distintas geometrıas y materiales.

Es un campo es estudio activo ya que presenta una relevancia en ciertos camposde investigacion, como la oceanografıa, la astronomıa, la ingenierıa o las cienciasatmosfericas. Estas situaciones se pueden dar, por ejemplo, en la investigacion delscattering en burbujas y granos de polvo en las profundidades del hielo antartico,en el estudio de las propiedades opticas de los coloides o en puntos defectuososen algunos semiconductores.

El proposito de este proyecto es desarrollar un formalismo teorico, basado en lasfunciones de Green, para plantear las ecuaciones que rigen el scattering electro-magnetico en medios polarizables, en el caso en que la permitividad dielectricaes un tensor de segundo orden que depende de la posicion. Asimismo, se pre-senta una manera de discretizar las ecuaciones obtenidas para poder resolverlasnumericamente, dando algunos resultados obtenidos con un programa realizadoen MATLAB. Una manera de comprobar la validez del metodo utilizado en la dis-cretizacion, ha sido considerar un caso con solucion analıtica y un caso del quese disponen valores experimentales.

El proyecto se organiza en distintos capıtulos. En el capıtulo 2 se presenta unadescripcion matematica del scattering, utilizando el formalismo de las funcionesde Green. Esto permite escribir las ecuaciones que rigen la dispersion como unaintegral de volumen, que se calcula de manera iterativa utilizando un metodo devolumenes finitos que discretiza estas ecuaciones.

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Por otro lado, en el capıtulo 3 se desarrolla un caso de dispersion que presentasolucion analıtica. Consiste en iluminar con un haz de luz un cilindro, y utilizandoun desarrollo en armonicos cilındricos, se puede obtener la solucion del campoelectrico tras atravesar el sistema. Ademas, se describe brevemente un metodoanalogo para obtener las soluciones del problema de la dispersion, utilizando laintegral de Fresnel-Kirchoff. Ası, en el capıtulo 4 se comparan las simulacionesobtenidas con el metodo propuesto, junto con la solucion analıtica, y la solucionobtenida por esta ultima integral. En el capıtulo de resultados tambien se muestrauna justificacion de que el metodo converge segun aumenta el numero de puntos.Con estas comprobaciones validadas, se realizan diferentes simulaciones, variandoen cada una alguna propiedad del sistema.

Capıtulo 2

Fundamento teorico

En este capıtulo se plantean las ecuaciones que describen los fenomenos dedispersion electromagnetica. Para ello, se parte de las ecuaciones de Maxwell,que rigen todos los fenomenos electromagneticos y se van realizando una seriede hipotesis hasta llegar a la ecuacion del scattering o dispersion. Para resolveresta ecuacion de manera mas apropiada, se introduce el concepto de tensor deGreen, que es un tensor de segundo orden que permite simplificar el calculo. Porultimo, se procede a la discretizacion de las ecuaciones, planteando un sistema deecuaciones lineales, que se resuelve numericamente en el capıtulo 4.

2.1. Principios electromagneticos

Cualquier fenomeno electromagnetico esta descrito por las ecuaciones de Max-well, que en su forma mas general se escriben:

∇ ·D = ρ (2.1)

∇ ·B = 0 (2.2)

∇× E = −∂B

∂t(2.3)

∇×H = J +∂D

∂t, (2.4)

donde los vectores E y B denotan el campo electrico y magnetico, ρ es la densidadvolumetrica de carga libre y J el vector densidad de corriente electrica. Por ultimo,los vectores D y H son los campos auxiliares, definidos como

D = ε0E + P (2.5)

H =1

µ0

B−M. (2.6)

En esta ultima expresion los vectores P y M representan el vector polarizacion yel vector magnetizacion, respectivamente. El vector polarizacion se define como

3

4 CAPITULO 2. FUDAMENTO TEORICO

el momento dipolar por unidad de volumen dpdV

, analogamente, el vector magneti-zacion es la densidad de momentos bipolares magneticos por unidad de volumenM = dm

dV. Ademas, aparece la permitividad electrica del vacıo ε0 (tambien llamada

constante dielectrica) y la permeabilidad magnetica del vacıo µ0, dos constantesconocidas. En el sistema de unidades internacional, estas constantes son:

ε0 = 8.854 187 817 6 F/m (2.7)

µ0 = 4π · 10−7T m/A, (2.8)

y estan relacionadas con la velocidad de la luz en el vacıo c con la siguienterelacion

c =1

√ε0µ0

= 299 792 458m/s. (2.9)

La ecuacion (2.5) tambien se puede expresar como

D = ε0εE (2.10)

donde ε es un tensor de rango 2, conocido como tensor dielectico.

ε =

εxx εxy εxzεyx εyy εyzεzx εzy εzz

(2.11)

En su forma mas general este tensor depende de la geometrıa y de las pro-piedades del material, y se puede describir como un tensor que depende de lasposiciones, es decir ε = ε(r). En el vacıo, se cumple εij = δij. Ademas, cabedestacar que algunos metales presentan componentes complejas en este tensor.

En ausencia de cargas libre (ρ = 0) y de corrientes (J = 0), en un medio nomagnetico y con permitividad ε = ε(r), las ecuaciones de Maxwell resultan

∇ · E = 0 (2.12)

∇ ·B = 0 (2.13)

∇× E = −∂B

∂t(2.14)

∇×B = µ0ε0ε(r)∂E

∂t(2.15)

Analizando estas ecuaciones se aprecia que se pueden desacoplar en dos, unapara E y otra para B. Para ello, se aplica el rotacional a las ecuaciones (2.14) y(2.15) , resultando para el campo electrico

∇×∇× E = ∇×(−∂B

∂t

)= − ∂

∂t(∇×B) = − ∂

∂t

(µ0ε(r)

∂E

∂t

)∇×∇× E = −µ0ε0ε(r)

∂2E

∂t2. (2.16)

La ecuacion para el campo magnetico es ligeramente mas compleja, ya que eltensor ε depende de las posiciones, y por tanto, variara al aplicar el rotacional.Conociendo el campo electrico, se obtendra el magnetico a partir de la ecuacion(2.15).

2.2. SCATTERING 5

2.2. Scattering

Se considera ahora el problema de scattering o dispersion. Para ello, se tomaun medio dielectrico, descrito por un tensor dielectrico ε(r), inmerso en un medioinfinito y homogeneo con un tensor dielectrico escalar y constante εB distinto delvacıo (εB 6= 1).

Este sistema se ilumina con un haz de luz constituido por un campo electricoen forma de onda plana monocromatica y un campo magnetico perpendicular. Elcampo electrico se puede escribir como

E0(r, t) = E0(r)e−iωt = E0ei(k·r−ωt)n, (2.17)

donde k es el vector de onda, que indica la direccion de propagacion de la radia-cion electromagnetica, ω es la frecuencia angular y n es un vector unitario en ladireccion de polarizacion de la onda.

Para hallar el campo electrico total E(r, t) (incidente mas dispersado) , hayque resolver la ecuacion (2.16). Considerando que el tensor dielectrico no varıacon el tiempo, tampoco lo hara la amplitud del campo dispersado. Por lo tanto,la derivada temporal solo afectara al termino exp(−iωt) del campo incidenteE0(r, t). La ecuacion se reduce a

∇×∇× E(r, t) = −µ0ε(r)∂2E(r)e−iωt

∂t2= µ0ε(r)ω2E(r, t).

Y teniendo en cuenta que el numero de onda en el vacıo es k0 = |k| = ω2/c2, laecuacion resulta

∇×∇× E(r) = k20ε(r)E(r). (2.18)

Por comodidad, se introduce el termino contraste dielectrico

∆ε(r) = ε(r)− εB, (2.19)

que permite reescribir la ecuacion (2.18) como una ecuacion diferencial inho-mogenea

∇×∇× E(r)− k20εBE(r) = k2

0∆ε(r)E(r), (2.20)

donde el campo incidente E0(r) debe ser solucion de la correspondiente ecuacionhomogenea

∇×∇× E0(r)− k20εBE0(r) = 0 (2.21)

El problema es, por tanto, resolver la ecuacion (2.20) numericamente, impo-niendo que se cumpla tambien (2.21). Para lograrlo, se introducen diferenteselementos que permitan simplificar el calculo. El mas importante de estos es eltensor de Green, que permite escribir esta ultima expresion como una ecuacion


integral implıcita, que resulta mas ventajosa a la hora de calcular, ya que permitemodificar facilmente el tensor dielectrico, obteniendo diferentes resultados. En lasiguiente seccion se define el tensor de Green asociado a la dispersion en el medioinfinito con εB y se enuncian algunas de sus propiedades mas importantes.

2.3. Definicion y propiedades del tensor de Green

El tensor de Green asociado al medio infinito GB(r, r′) es un tensor de orden 2,que se define como la solucion de la ecuacion de onda para una fuente puntual,es decir, es el tensor que cumple

LGB(r, r′) = ∇×∇×GB(r, r′)− k20εBGB(r, r′) = 1δ(r− r′), (2.22)

donde 1 representa la diada unidad y L es el operador diferencial que actua sobreGB(r, r′). Este tensor, ademas de ser util en el calculo, presenta un significadofısico concreto; GB(r, r′) representa el campo electrico radiado en la posicion rpor tres dipolos puntuales perpendiculares localizados en el punto r′. Mas con-cretamente, cada columna del tensor de Green Eu,

Eu =

GBxu

GByu

GBzu

, u = x, y, z (2.23)

representa las tres componentes del campo electrico radiado por un dipolo puntualparalelo al eje u.

A continuacion se enuncian las propiedades mas importantes del tensor deGreen:

1. La ecuacion diferencial en derivadas parciales inhomogenea LE(r) = k20∆ε(r)E(r)

sujeta a las condiciones de contorno presenta la solucion

E(r) = E0(r) +

∫Ω

dr′GB(r, r′)k20∆ε(r′)E(r′), (2.24)

donde Ω denota todo el volumen donde se puede producir la dispersion.

2. Llamando λn a los autovalores del operador L y ϕn(r) a las autofuncionesortonormalizadas 1, entonces:

El tensor de Green es hermıtico, en el sentido

GB(r, r′) = GB(r′, r)∗ (2.25)

El tensor se puede expandir en funcion de sus autofunciones como

GB(r, r′) =∑n

ϕ∗n(r′)ϕn(r)

λn(2.26)

1Estas proposiciones solo son ciertas cuando el operador L es autoadjunto. En este caso loes.

2.4. DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES 7

3. El tensor de Green es continuo y diferenciable en todos los puntos en losque esta definido salvo en los puntos r = r′. Sin embargo, cuando ambosvectores r y r′ estan en el interior del volumen Ω, al calcular la integral(2.24), se puede considerar el valor principal y tratar la singularidad porseparado. Esto se puede enfatizar escribiendo la integral como

E(r) = E0(r) + lımδΩ→0

∫Ω−δΩ

dr′GB(r, r′)k20∆ε(r′)E(r′)−

− L∆ε(r)

εBE(r), (2.27)

donde el tensor L depende de la forma del volumen que se esta excluyendoδΩ.

Cuando el punto de observacion r esta fuera del volumen Ω, no apareceninguna singularidad en la integral, ya que el tensor de Green no diverge.

2.4. Discretizacion de las ecuaciones

Para resolver la ecuacion (2.27), primero vamos a definir una malla con Nelementos de volumen. Cada punto de la malla i = 1, 2, ...., N esta centrado en laposicion ri y tiene un volumen Vi (en sistemas de dos dimensiones este volumen serefiere al area). No es estrictamente necesario que los elementos de volumen seanregulares, se pueden usar elementos mas pequenos en los puntos que se necesitenmas detalles, y elemenos grandes en los puntos en los que el contraste dielectrico∆ε(r) apenas varıe.

El campo electrico se discretiza como Ei = E(ri), el contraste dielectrico ∆εi =∆ε(ri) y el tensor de Green GB

ij = GB(ri, rj). Con todos estos elementos, laecuacion (2.27) se convierte en

Ei = E0i +

N∑j=1j 6=i

GBij k

20∆εjEjVj − L

∆εiεB

Ei + Mi k20∆εiEi (2.28)

donde

Mi = lımδV→0

∫Vi−δV

dr′GB(ri, r′). (2.29)

Este ultimo termino debido a la discretizacion es pequeno comparado con losotros, pero para calculos precisos no es despreciable. Se puede obtener numerica-mente, a partir de la integral (3.2) o se puede calcular analıticamente, escogiendouna malla regular que permita el calculo. Lo mas simple es considerar elementosde volumen cubicos o esfericos (cuadrados o cırculos en dos dimensiones).

De la ecuacion (2.28) se aprecia que el campo electrico en cualquier puntodel medio εB queda completamente determinado por el campo en el interior del


volumen Ω. Esto se puede usar para separar el calculo: primero se calcula el campoen el interior del volumen y el campo en cualquier punto del medio se calcula enel siguiente paso.

En las siguintes secciones se van a calcular analıticamente todos los elementosnecesarios para el calculo, tanto en sistemas de 3 dimensiones como en sistemasbidimensionales.

2.5. Calculos en 3 Dimensiones

En este apartado se va a obtener la expresion del tensor de Green GB(r, r′) en3 dimensiones, ası como los tensores M y L. Para ello, se resuelve la ecuaciondiferencial planteada anteriormente

∇×∇×GB(r, r′)− k20εBGB(r, r′) = 1δ(r− r′), (2.30)

donde en esta ecuacion 1 hace referencia al tensor unidad y δ(r− r′) es la distri-bucion delta de Dirac.

Al aplicar la divergencia sobre esta expresion se obtiene

0− k20εB∇ ·GB(r, r′) = ∇ · [1δ(r− r′)] = −∇′ · [1δ(r− r′)]

∇ ·GB(r, r′) =1

k20εB∇′ · 1δ(r− r′). (2.31)

En esta ultima expresion, ∇′ es el operador diferencial que actua sobre las coor-denadas del vector r′.

Si ahora se desarrolla el doble rotacional de la ecuacion (2.30), considerandoesta ultima relacion se tiene

∇(∇ ·GB(r, r′)

)−∇2GB(r, r′)− k2

0εBGB(r, r′) = 1δ(r− r′)(∇2 + k2

0εB)GB(r, r′) = ∇

(∇ ·GB(r, r′)

)− 1δ(r− r′) =

= ∇(

1

k20εB∇′1δ(r− r′)

)− 1δ(r− r′) =

1

k20εB∇∇′δ(r− r′)− 1δ(r− r′).

Reorganizando terminos,

(∇2 + k2

0εB)GB(r, r′) = −

(1− ∇∇

′

k20εB

)δ(r− r′). (2.32)

Se puede definir una funcion escalar gB3D(r, r′) que cumpla(∇2 + k2

0εB)gB3D(r, r′) = −δ(r− r′). (2.33)

2.6. CALCULO EN 2 DIMENSIONES 9

Introduciendo esta nueva funcion en la ecuacion (2.32) se obtiene

GB(r, r′) =

(1− ∇∇

′

k20εB

)gB3D(r, r′) (2.34)

Con la condicion de la divergencia del tensor de Green (ecuacion (2.31)), setiene

k2B∇ ·GB(r, r′) = ∇′δ(r− r′) + k2

B (∇+∇′) gB3D(r, r′), (2.35)

y por tanto,

(∇+∇′) gB3D(r, r) = 0. (2.36)

Esta ultima ecuacion implica que gB3D debe ser funcion de r − r′. La solucion seexpresa como

gB3D(r, r′) =eikB |r−r

′|

4π|r− r′|, (2.37)

que efectivamente solo depende de la distancia entre los puntos r y r′. Con estaexpresion, se tiene que el tensor de Green puede calcularse como:

GB(r, r′) =

(1 +∇∇k2B

)gB3D(r, r′) (2.38)

Se ha tomado kB =ω2

c2εB.

Ahora, se puede introducir la ecuacion (2.37) en (2.38) y tras desarrollar (veaseel apendice A) se obtiene:

GB(r, r′) =

(1 +

ikBR− 1

k2BR

21 +

3− 3ikBR− k2BR

2

k2BR

4RR

)exp(ikBR)

4πR, (2.39)

donde R = |R| = |r− r′|.

De la ecuacion (2.39), se deduce facilmente que el tensor es recıproco, en elsentido GB(r, r′) = GB(r′, r), ademas, la matriz 3x3 que representa este tensores tambien simetrica, por lo que solo presenta seis componentes independientes.

GB(r, r′) =

GBxx GB

xy GBxz

GBxy GB

yy GByz

GBxz GB

yz GBzz

(2.40)

2.6. Calculo en 2 dimensiones

Un sistema de 2 dimensiones se puede entender como un sistema trideimensionalque presenta una simetrıa de traslacion en una direccion. Se puede estudiar comoun sistema 3D si se restringe al plano ortogonal (x− y) al eje de traslacion.


Para tratar sistemas 2D, primeramente se define la coordenada transversal ρcomo

r = (ρ, z) = (x, y, z) (2.41)

y el vector de onda transversal kρ

kB = (kρ, kz) (2.42)

kρ = |kρ|. (2.43)

Al igual que en geometrıas tridimensionales, el tensor de Green solo dependede la posicion relativa entre la fuente y el punto de observacion, por lo que esconveniente definir la coordenada relativa

% = ρ− ρ′ = (% cos θ, % sin θ) = (x− x′, y − y′). (2.44)

De nuevo, se puede calcular el tensor de Green a partir de una funcion escalargB2D(r, r′). El tensor de Green, para sistemas 2D, representa el campo generadoen un plano de observacion z = cte, dado por una fuente lineal infinita, que seextiende sobre todo el eje z, con una dependencia exp(ikzz). Por tanto, se puedecalcular la funcion escalar 2D integrando gB3D sobre todo el eje z, introduciendola dependencia exp(ikzz).

gB2D(r, r′) =

∫ ∞−∞

dz′gB3D(r, r′) exp(ikzz′) =

=

∫ ∞−∞

dz′exp

[ikB√ρ2 + (z − z′)2

]4π√ρ2 + (z − z′)2

exp (ikzz′) (2.45)

Esta integral se encuentra resuelta en [5] . Por lo que gB2D(r, r′) resulta ser

gB2D(r, r′) =i

4H0(kρ%) exp(ikzz), (2.46)

donde Hi hace referencia a las funciones de Hankel de primera especie (H(1)i ).

Introduciendo la fucion escalar gB2D en la ecuacion (2.38) se obtiene el tensor deGreen en dos dimensiones. Se va a considerar el caso en el campo incidente sepropaga en el plano x − y (es decir kρ = kB, kz = 0). En este caso, el tensor deGreen es

GB(ρ,ρ′) =

GBxx GB

xy 0GBxy GB

yy 00 0 GB

zz

, (2.47)

con

GBxx(ρ,ρ

′) =i

4sin2(θ)H0(kρ%) +

i

4

cos(2θ)

kB%H1(kρ%) (2.48)

GBxy(ρ,ρ

′) =i

4

sin(2θ)

2H2(kρ%) (2.49)

GByy(ρ,ρ

′) =i

4cos2(θ)H0(kρ%)− i

4

cos(2θ)

kB%H1(kρ%) (2.50)

GBzz(ρ,ρ

′) =i

4H0(kρ%) (2.51)

Capıtulo 3

Resolucion analıtica de lasecuaciones de Maxwell para uncilindro homogeneo

En este capıtulo se resolveran de forma analıtica las ecuaciones de Maxwellcuando una onda plana incide sobre un cilindro dielectrico homogeneo. Este es-tudio teorico tiene relevancia por sı mismo y ademas permitira validar el metodonumerico propusto basado en el tensor de Green. Se supondra que el cilindro esinfinito y el problema se planteara en coordenadas cilındricas (ρ, φ, z).

Para resolver dicho problema, se plantea un formalismo encontrado en [3] queconsiste en plantear un vector c y una funcion escalar ψ que contienen toda lainformacion de los campos electrico y magnetico.

Para ello, se parte de la ecuacion vectorial de Helmholtz para el campo electricoy magnetico.

∇2E + k2E = 0 ∇2H + k2H = 0, (3.1)

donde k2 = ω2εµ, y los campos presentan divergencia nula

∇ · E = ∇ ·H = 0

. Ademas, los campos no son independientes, ya que se relacionan como

∇× E = iωµH ∇×H = −iωεE

Ahora se definen unos campos vectoriales M y N que ayudan a resolver elproblema. Dada una funcion escalar ψ y un vector constante arbitrario c, seconstruye el vector M como

M = ∇× (cψ) . (3.2)

11

12 CAPITULO 3. RESOLUCION ANALITICA

Figura 3.1: Esquema del cilindro infinito iluminado por un haz de onda plano.

Inmediatamente, este vector presenta divergencia nula, ya que la divergencia deun rotacional siempre se anula

∇ ·M = 0. (3.3)

Usando las identidades vectoriales

∇× (A×B) = A(∇ ·B)−B(∇ ·A) + (B · ∇)A− (A · ∇)B (3.4)

∇(A ·B) = A× (∇×B) + B× (∇×A) + (B · ∇)A + (A · ∇)B (3.5)

se llega a∇2M + k2M = ∇×

[c(∇2ψ + k2ψ)

]. (3.6)

De esta ecuacion se aprecia que M satisface la ecuacion de onda vectorial si ψsatisface la ecuacion de onda escalar

∇2ψ + k2ψ = 0. (3.7)

La ecuacion (3.2) se puede expresar tambien como

M = ∇× (cψ) = ψ∇× c +∇ψ × c = −c×∇ψ (3.8)

donde se ha tenido en cuenta que ∇× c = 0 por ser c un vector constante. Estaexpresion muestra que el campo M es perpendicular al vector c.

13

Ahora se construye el vector N como

N =∇×M

k. (3.9)

Este vector tabien presenta divergencia nula, y ademas satisface la ecuacion deonda vectorial

∇2N + k2N = 0. (3.10)

Estos dos vectores, M y N presentan todas las propiedades de los campos elec-tromagneticos: ambos satisfacen la ecuacion de onda vectorial, ambos presentandivergencia nula, el rotacional de M es proporcional a N y viceversa, el rotacionalde N es proporcional a M. Por tanto, para obtener el campo electrico y magneti-co de este problema, basta con encontrar la solucion a la funcion escalar ψ. Apartir de ahora, llamare a los vectores M y N vectores armonicos, a la funcion ψfuncion generadora y al vector c vector piloto.

La eleccion del vector piloto es arbitraria, y resulta conveniente escoger estevector de manera que se simplifiquen al maximo las ecuaciones. Por ejemplo, enel caso del estudio de una esfera, la eleccion natural parece c = er, siendo er unvector unitario en la direccion radial. En el caso del cilindro homogeneo, cuandola incidencia es en una direccion arbitraria, distintos autores [3] escogen c = ezcomo vector piloto, siendo ez el vector unitario en la direccion del cilindro. Sinembargo, en el caso en que el campo incide perpendicularmente al eje del cilindro,se ha considerado mas conveniente elegir c = eρ como vector piloto, siendo eρ unvector unitario, perpendicular al eje del cilindro, en la direccion indicada por lavariacion de la coordenada cilındrica ρ.

Por tanto, partiendo de la ecuacion de onda para la funcion ψ en coordenadascilındricas, se tiene

∇2ψ + k2ψ = 0

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂ψ

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2ψ

∂φ2+∂2ψ

∂z2+ k2ψ = 0 (3.11)

Esta ecuacion se puede resolver por el metodo de separacion de variables. Lasolucion se puede encontrar, por ejemplo en el capıtulo 0 de [1]. Siendo de laforma

ψν(ρ, φ, z) = Zν(kρ)eiνφeihz (3.12)

donde ν es un numero entero, y h es una constante determinada por la forma deonda incidente. En el caso de que el campo electrico incidente es perpendicular alcilindro, h = 0. Las funciones Zν(kρ) satisfacen la ecuacion diferencial de Bessel

ρ2 d2

dρ2Zν(kρ) + ρ

d

dρZν(kρ) + (k2ρ2 − ν2)Zν(kρ) = 0. (3.13)

Tomando como vector piloto c = eρ, los vectores armonicos generados son

Mν = ∇× (eρψν) (3.14)

Nν =∇×Mν

k(3.15)


Desarollando estas ecuaciones (vease apendice B) se llega a:

Mν =−iνρZν(kρ)eiνφez (3.16)

Nν =eiνφ

kρ

[ν2

ρZν(kρ)eρ + iν

(−Zν(kρ)

ρ+ kZ ′ν(kρ)

)eφ

]. (3.17)

Ahora el campo electrico se puede expresar en funcion de estos armonicoscilındricos. Se van a considerar tres expansiones en serie para el campo incidente,dispersado y para el del interior del cilindro. Las funciones Z(kρ) se escogeranconsecuentemente para cada caso. Como el campo electrico debe ser finito enel origen, para el caso del interior del cilindro y el incidente, se deben tomarlas funciones de Bessel de primera especie (ya que las de segunda divergen paraρ = 0). Para el caso restante, se toman las funciones de Hankel de primera es-pecie Hν(kρ), ya que presentan un comportamiento asintotico que decae con ladistancia.

La expansion para el campo incidente es

Ei =∞∑

ν=−∞

A(i)ν M(i)

ν +B(i)ν N(i)

ν , (3.18)

para el campo interno

E1 =∞∑

ν=−∞

A(1)ν M(1)

ν +B(1)ν N(1)

ν (3.19)

y para el campo dispersado

Es =∞∑

ν=−∞

A(s)ν M(s)

ν +B(s)ν N(s)

ν . (3.20)

El campo magnetico, en cada caso sera

H =−ikjωµ

∞∑ν=−∞

AνNν +BνMν , (3.21)

con los correspondientes superındices. En esta ultima expresion, kj = k en el casodel campo incidente y dispersado y kj = nk en el interior del cilindro, con n elındice de refraccion.

Ahora, para una onda incidente polarizada paralela al eje z, el campo electricose escribe como

Ei = E0e−ikρ cosφez. (3.22)

Como solo presenta componente en la direccion ez, la expansion en serie solo

15

presentara terminos con Mν . Por tanto

Ei =∞∑

ν=−∞

A(i)ν M(i)

ν (3.23)

Hi =−ikωµ

∞∑ν=−∞

A(i)ν N(i)

ν (3.24)

Ahora, utilizando la expansion de Jacobi-Anger para la funcion exponencial(capıtulo 14 de [1]),

e−ikρ cosφ =∞∑

ν=−∞

(−i)νJν(kρ)eiνφ (3.25)

se puede expandir el campo electrico como

Ei = E0e−ikρ cosφez = E0

∞∑ν=−∞

(−i)νJν(kρ)eiνφ (3.26)

y comparando con la expansion por armonicos cilındricos

Ei =∞∑

ν=−∞

A(i)ν

−iνρJν(kρ)eiνφez (3.27)

se obtienen los coeficientes A(i)ν

E0(−i)ν = A(i)ν

−iνρ−→ A(i)

ν =ρE0

ν(−i)ν−1 (3.28)

Ahora, para hallar el campo dispersado y el interno se imponen las condicionesde frontera. Como en este caso no hay corrientes superficiales, las condiciones defrontera son

(E2 − E1)× n = 0 (3.29)

(H2 −H1)× n = 0 (3.30)

siendo n un vector perpendicular a la superficie del cilindro (eρ en este caso).

Previo a este paso, se definen los coeficientes para estos campos en funcion delos coeficientes del campo incidente.

A(j)ν = a(j)

ν A(i)ν (3.31)

B(j)ν = b(j)

ν B(i)ν (3.32)

donde j hace referencia a los campos dispersado o interno j = 1, s.

Imponiendo las condiciones de frontera en ρ = a y despejando los coeficientesse obtiene

a(s)ν =

−Jν(nka) [Jν(ka)(n− 1)− nkaJ ′ν(nka)] + nkaJν(ka)J ′ν(ka)

Jν(nka) [Hν(ka)(n− 1)− nkaH ′ν(ka)] + nkaHν(ka)J ′ν(nka)(3.33)

b(s)ν = 0 (3.34)


3.1. Simulacion utilizando la integral de Fresnel-

Kirchoff

Para comparar los resultados obtenidos con la teorıa de las funciones de Green,se van a comparar los resultados obtenidos con una teorıa distinta, la que utilizala formula de difraccion de Fresnel-Kirchoff. En esta seccion se va a desarrollarbrevemente el fundamento de dicha teorıa. Para empezar, se considera un objetosituado en un plano que se ilumina con una onda monocromatica. El campo U(P )en el punto P (x, y) se puede obtener evaluando el campo en el plano de entradaU(x′, y′), utilizando la integral de Fresnel-Kirchoff [2]

U(P ) =eikz

iλz

∫∫ ∞−∞

U(x′, y′) exp

ik

2z

[(x− x′)2 + (y − y′)2

]dx′dy′ (3.35)

donde λ es la longitud de onda de la luz incidente, k es el numero de onda y z esla distancia perpendicular entre el plano de entrada y el punto de observacion P .

Se va a asumir que la ecuacion 3.35 se puede separar en el producto de dosintegrales unidimensionales

U(x, y) =eikz

iUx(x)Uy(y). (3.36)

Cabe destacar que esta suposicion no siempre se puede satisfacer, pero sı esaplicable a los casos que se van a considerar, ya que en estos casos, el campoU(x′, y) es separable en el producto de dos funciones unidimensionales. Por tanto,

Ux(x) =1√λz

∫ ∞−∞

Ux(x′) exp

[ik

2z(x− x′)2

]dx′ (3.37)

Uu(u) =1√λz

∫ ∞−∞

Uy(y′) exp

[ik

2z(y − y′)2

]dy′ (3.38)

La intensidad en el punto P (x, y) se calcula como I(x, y) = |U(x, y)|2.

Como las dos integrales anteriores son independientes con respecto a la otravariable, se puede estudiar el patron de difraccion variando solo una de las va-riables x, y. Se puede considerar solo la contribucion de la variable x, y aborberla dependencia en y en una constante K, por lo que la amplitud del campo en elpunto P se puede expresar simplemente como

U(x) = KeikzIx(x) (3.39)

Para tratar la difraccion en el cilindro, se van a tomar las fases antes y despuesde la rejilla como

ϕa = 2ka, |x′| > a (3.40)

ϕc = 2k(n− 1)√a2 − x′2 |x′| ≤ a (3.41)

3.1. INTEGRAL DE FRESNEL-KIRCHOFF 17

donde n es el ındice de refraccion del cilindro, k es el numero de onda y a es elradio interno del cırculo que representa la seccion transversal del cilindro.

Con todas estas consideraciones, la expresion de la amplitud de la de la ondaen el punto P resulta

U(P ) =K ′ exp(iϕa)

B

1 + C(α)− C(β) + i [1 + S(α)− S(β)] +

+B

∫ a

−aexp (iϕC(x′)) exp

(ik

(x− x′)2

2z

)dx′

, (3.42)

donde K ′ = K exp

(iz√λz

), B =

√2√λz

, α = B(x − a), β = B(x + a) y las

funciones C y S hacen referencia a las integrales de Fresnel.

La intensidad en el punto x se calculara entonces como I(x) = |U(x)|2. Enla siguiente seccion se comparan las simulaciones obtenidas con la teorıa de lasfunciones de Green con las simulaciones obtenidas de aproximar la ecuacion (3.42)por un metodo numerico.

Capıtulo 4

Resultados

En este capıtulo se estudian y representan diferentes soluciones al problema dela dispersion utilizando el formalismo descrito en el capıtulo 2. La validez delmetodo se verifica de dos formas distintas: una comparando la solucion obtenidacon la solucion analıtica y con el resultado de la teorıa de Fresnel-Kirchoff; y laotra comparando la simulacion con unos datos medidos experimentalmente.

En todas las simulaciones se analiza la intensidad I (en unidades arbitrarias)definida como el modulo del campo electrico total (incidente mas dispersado) ala salida del cilindro

I = |E|2. (4.1)

Esta intensidad se estudia en una pantalla situada a una distancia zP del centrodel cilindro, y se representa en funcion de la componente x, que es la distanciahorizontal de la pantalla.

4.1. Estudio de la convergencia del metodo

En este apartado se realiza un estudio sobre la convergencia del metodo. Prime-ramente se realiza un estudio sobre el numero de puntos necesario para obteneruna buena simulacion. En la figura 4.1 se ha calculado la intenidad en el puntocentral de la pantalla, usando en la simulacion N puntos. Se aprecia claramenteun comportamiento asintotico en la grafica. A partir de unos 800 puntos, el valorde la intensidad no varıa demasiado.

18

4.1. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA DEL METODO 19

Figura 4.1: Grafica que muestra el valor de la intensidad en el punto central dela CCD, calculada con la simulacion para diferente numero de puntos.

A continuacion se realiza un estudio para el tiempo de simulacion. En la fi-gura 4.2 se relaciona el tiempo que tarda el script en realizar la simulacion enfuncion del numero de puntos. Se obtiene que el programa realizado presenta uncoste computacional polinomico. Por lo tanto, no se tomaran simulaciones conmas de 3000 puntos, ya que no se obtiene mucha mas precision, para el costecomputacional que supone.

Figura 4.2: Grafica que relaciona el timpo que tarda la simulacion en realizarseen funcion del numero de puntos tomados.

Por ultimo, se grafica la seccion del cilindro graficada con 509, 1069 y 2521puntos. En el ultimo caso, se aprecia que la seccion se modela bastante bien. Por

20 CAPITULO 4. RESULTADOS

tanto, en todas las simulaciones de las siguientes secciones se toma un numero depuntos de N ≈ 2500.

(a) N = 509 (b) N = 1069

(c) N = 2521

Figura 4.3: Grafica que muestra la seccion del cilindro considerada en funcion delnumero de puntos tomados.

4.2. Validacion del metodo por comparacion con

el metodo de Fresnel y el resultado analıti-

co

En esta parte, se van a representar diferentes soluciones para el problema delscattering utilizando el formalismo de Green. Estas soluciones se representanjunto a la misma simulacion obtenida con el metodo de Fresnel-Kirchoff y juntoa la solucion analıtica.

4.2. VALIDACION DEL METODO 21

En la figura 4.4 se grafica la intensidad del campo en una pantalla situada azP = 20 mm de un cilindro con radio 20 µm con un ındice de refraccion constantede n =

√ε = 1,3. El campo incidente se ha considerado polarizado linealmente

con el eje z, propagandose en la direccion positiva del eje x y con una longitudde onda de λ = 633 nm.

Figura 4.4: Intensidad del campo electrico medido en una pantalla a zP = 20 mm,con n = 1,3, λ = 633 nm, campo incidente polarizado linealmente con el eje zy propagandose en la direccion positiva del eje x. En la grafica se representa lasimulacion obtenida con el metodo de las funciones de Green, con el metodo delas integrales de Fresnel-Kirchoff y con el resultado analıtico.

En la siguiente grafica (figura 4.5) se repiten las condiciones del caso anterioraumentado la distancia de la pantalla a zP = 200 mm.

En el primer caso se obtiene un patron de dispersion, con el punto mas cercano alcilindro (x = 0) con un pequeno maximo de intensidad. Los maximos colindantesa este son los mas intensos, y van siendo cada vez mas debiles a medida que sealejan del centro. En el segundo caso, se obtiene un pequeno maximo de intensidaden el centro, y la figura parece indicar que sigue el mismo patron anterior, peroestando las bandas tan separadas que no se aprecian en la pantalla. Lo masdestacable de las dos simulaciones es que el metodo utilizado concuerda a laperfeccion con el modelo analıtico, ademas de coincidir tambien con la simulacionutilizando las integrales de Fresnel.

A continuacion se grafican dos casos similares (figuras 4.6 y 4.7), tomando losmismos parametros que en los ejemplos anteriores, pero aumentando el ındice derefraccion a n = 1,5.

Se obtienen unos resultados muy similares a los anteriores. Cabe destacar queen estos casos, la intensidad en los maximos es ligeramente inferior, y la posicion


Figura 4.5: Misma simulacion que en 4.4 pero aumentando la distancia a la pan-talla zP = 200 mm.


de estos tambien varıa mınimamente. Por ultimo, resulta interesante resaltar queutilizando el mismo numero de puntos en la simulacion, la de mayor ındice derefraccion se ajusta mejor al modelo analıtico y de Fresnel.

4.3. VALIDACION DEL METODO 23


4.3. Validacion del metodo por comparacion con

un resultado experimental

Otra manera de validar el modelo numerico es de manera experimental. Paraello se han tomado datos de un experimento que consiste en iluminar una fibrade cabello perpendicularmente a su eje mediante un haz coherente paralelo de luzmonocromatica. Posteriormente, midiendo la distribucion de intensidad normali-zada en el patron de difraccion de la fibra se puede calcular el radio de la fibray su ındice de refraccion, ajustando los datos experimentales al modelo numericobasado en el tensor de Green.

En primer lugar, en la figura 4.8 se muestra la configuracion experimental uti-lizada para obtener los patrones de difraccion de aberturas rectangulares de di-ferentes tamanos y de la fibra de cabello. La luz proveniente de un laser He-Ne(λ = 633 nm) se colima usando un sistema de lentes; la muestra de cabello se co-loca entre el laser y se utiliza una CCD conectada a un ordenador para procesarlos datos.


Figura 4.8: Configuracion del experimento utilizado para obtener los patrones dedifraccion del cabello.

En la figura 4.9 se muestra el patron de difraccion del cabello obtenido en laCCD. Los datos de intensidad se grafican en la figura 4.10, donde se ha realizadoun ajute a la curva obtenida con el metodo de las funciones de Green. Este ajusteproporciona un ındice de refraccion de n = 1.55 y un radio interno del cabello de21.35 µm.

Figura 4.9: Patron de difraccion de un cabello obtenido en la CCD.

4.4. SIMULACIONES TEORICAS 25

Figura 4.10: Datos experimentales y ajuste teorico de la intensidad obtenida conla camara CCD de la difraccion producida por un cabello. Del ajuste se obtieneque el cabello presenta un ındice de refraccion de 1,55 y un radio interno de21.35 µm.

Lo mas destacable de este ajuste, es que concuerda realmente bien con los valoresexperimentales, con lo que se tiene una prueba mas de que el metodo numericobasado en las funciones de Green predice unos resultados correctamente.

4.4. Simulaciones teoricas

En las secciones anteriores se ha dado una validacion del metodo numerico porcomparacion con soluciones analıtica y por comparacion con datos experimen-tales; y en ambos casos los resultados parecen indicar que el metodo propuestoconverge notablemente bien a los resultados. A continuacion se van a resolverestas ecuaciones para distintos casos que no presentan una solucion analıtica.

4.4.1. Modificando la polarizacion del campo incidente

En los siguientes ejemplos, se ha modificado la polarizacion del campo electricoincidente. En la figura 4.11 se considera que la onda incidente presenta una po-larizacion lineal perpendicular al eje z con una longitud de onda de λ = 633 nm.El cilindro presenta un radio de 20 µm, un ındice de refraccion de n = 1,5 y lapantalla de observacion esta a una distancia de 20 mm.


Figura 4.11: Simulacion con un campo electrico incidente con polarizacion linealperpendicular al eje z.

En la siguiente figura se considera el campo incidente con una polarizacioncircular. Se obtiene un patron de intensidades similares, pero el centro presentauna intensidad mas brilante en el caso con luz polarizada circular.

Figura 4.12: Simulacion con un campo electrico incidente circularmente polariza-do.

Ahora se estudia que pasa con el campo en el interior del cilindro. Para ello,se considera que el campo incidente esta polarizado en la direccion del eje y. Enla figura 4.13 se representa unicamente el campo interno y en la figura 4.14 serepresenta el campo electrico total en todo el sistema.


Figura 4.13: Representacion del campo electrico interno.

Figura 4.14: Curvas de nivel del campo electrico en todo el sistema. Se considerael sistema iluminado con luz polarizada en la direccion del eje y.

A continuacion se repiten estas dos ultimas graficas pero considerando el campoelectrico incidente polarizado en la direccion del eje z.


Figura 4.15: Representacion del campo electrico interno.

Figura 4.16: Curvas de nivel del campo electrico en todo el sistema. Se considerael sistema iluminado con luz polarizada en la direccion del eje y.

En ambos casos se observa que parte de la luz que incide sobre el cilindro serefleja, creandose interferencias en esta zona. Ademas, se observa que los maximosde intensidad se producen en la parte frontal del cilindro, justo donde se situa lapantalla CCD. La diferencia en la polarizacion del campo incidente influye en lospatrones de interferencia que se forman.


A continuacion se estudia la intensidad que se obtendrıa no en una pantalla,sino en una circunferencia de radio 20 mm alrededor del cilindro. Este caso setoma para el campo incidente con polarizacion en el eje y y con polarizacion enel eje z.

(a) Capo incidente polarizado eje y.

(b) Capo incidente polarizado eje z.

Figura 4.17: Intensidad en una circunferencia que rodea el cilindro a una distanciade 20 mm.

En ambos casos, se obtienen maximos de intensidad para φ = 0 y φ = 180.Estos puntos son los que corresponden a la propagacion directa (si el cilindro noestubiese, el haz de luz incidirıa en este punto) y para la reflexion, ya que partede la luz que incide sobre el cilindro se refleja.


4.4.2. Modificando el ındice de refraccion del material

A continuacion se va a variar el ındice de refraccion del cilindro considerado,iluminando este con luz linealmente polarizada en la direccion z. En la figura 4.18se toma un ındice de refraccion de n = 1,3 y en la figura 4.19 de n = 1,9. En estecaso, no existen casi diferencias al variar el ındice de refraccion del material.

Figura 4.18: Simulacion con un ındice de refraccion n = 1,3.

Figura 4.19: Simulacion con un ındice de refraccion n = 1,9.


4.4.3. Modificando el radio del cilindro

Ahora, se va a variar la geometrıa del sistema. Primeramente consideramos uncilindro con el doble de radio a = 40 µm (figura 4.20) y otro con a = 0.1 µm(figura 4.21).

Figura 4.20: Simulacion modificando el radio del cilindro a = 40 µm

Figura 4.21: Simulacion modificando el radio del cilindro a = 0.1 µm

Al aumentar el tamano del cilindro, aumenta el contraste entre las franjas,siendo los maximos de intensidad mas intensos. Al reducir el tamano, el contrastese disminuye y aparece un mayor numero de franjas en la pantalla.


4.4.4. Simulacion para un cilindro elıptico

Figura 4.22: Esquema del cilindro de base elıptica considerado.

A continuacion se analiza que ocurre cuando se cambia la geometrıa del pro-blema. Se considera un cilindro de base elıptica. El semieje mayor de la elipse es30 µm y el semieje menor 10 µm.

Figura 4.23: Simulacion considerando un cilindro de base elıptica de semiejes30 µm y 10 µm.

Se aprecia que el patron de intensidades no varıa demasiado para el caso del ci-lindro con base elıptica. A continuacion se grafican las superficies equipotencialesdel campo electrico, para este caso. En la figura 4.24, el cilindro elıptico apareceen el centro, y el campo incide desde abajo. Parte del campo incidente se refleja,por lo que aparecen interferencias. En la parte delantera del cilindro aparecen lasmaximas variaciones de intensidad.


Figura 4.24: Superficies equipotenciales para el caso de un cilindro con base elıpti-ca.

4.4.5. Simulacion para un cilindro con una cavidad inte-rior

Ahora, se considera un ejemplo con una geometrıa algo mas compleja. Consisteen un cilindro circular de ındice de refraccion next con una cavidad circular en elinterior de ındice de ındice nint, tal y como se muestra en la figura 4.25.

Figura 4.25: Esquema de la configuracion del cilindro circular con una cavidaden su interior.

A contiuacion se representa el campo electrico en el interior del sistema, paradiferentes valores. En todos los casos, los radios de los cilindros se toman como 17


y 20 µm. En la figura 4.26, los ındices de refraccion externos e internos son 1.5 y1.7 respectivamente. En la figura 4.27, los ındices se toman next = 1.5 y nint = 1y en la tercera, los ındices son next = 1,5 y nint = 2.2.

Figura 4.26: Campo electrico en el interior del sistema con nint = 1,7, next = 1,5.

Figura 4.27: Campo electrico en el interior del sistema con next = 1.5 y nint = 1.


Figura 4.28: Campo electrico en el interior del sistema con next = 1,5 y nint = 2.2.s

El campo electrico es mas intenso en los puntos cerca del borde, y decae rapi-damente hacia el centro. En los puntos mas alejados del lugar de incidencia, laintensidad es mınima.

Capıtulo 5

Conclusiones

Como se ha mostrado en el capıtulo de resultados, el formalismo vectorial des-crito en este trabajo se puede utilizar para una multitud de problemas distintosdonde se produce dispersion electromagnetica. Este metodo se puede utilizar engeometrıas complejas de tanto 2 como 3 dimensiones. Ademas, se tienen pruebasque demuestran la validez del metodo numerico propuesto, ya que las simulacio-nes calculadas coinciden con datos experimentales y con modelos con solucionanalıtica. Por tanto, se ha desarrollado un metodo capaz de resolver las ecua-ciones de Maxwell para dispersion electromagnetica, en problemas con diversasgeometrıas y con materiales con distintas propiedades dielectricas.

36

Apendice A

Demostracion tensor de Green en3 dimensiones

El tensor de Green se calcula a partir de la funcion escalar gB3D con la ecuacion(2.39).

GB(r, r′) =

(1 +

ikBR− 1

k2BR

21 +

3− 3ikBR− k2BR

2

k2BR

4RR

)exp(ikBR)

4πR, (A.1)

donde la funcion escalar viene dada por la ecuacion (2.37)

gB3D(r, r′) =eikB |r−r

′|

4π|r− r′|. (A.2)

Como se puede hallar un sistema de coordenadas tal que R = xux + yuy + zuz,se tiene que

∇R =

∂

∂x∂

∂y∂

∂z

(x y z)

=

1 0 00 1 00 0 1

= 1 (A.3)

Por tanto, si calculamos por partes,

∇gB3D =

(ikB exp(ikBR)

4πR2− exp(ikBR)

4πR3

)R (A.4)

∇∇gB3D =

(−k2

B exp(ikBR)

4πR2+−2ikB exp(ikBR)

4πR4− ikB exp(ikBR)

4πR4+

+3 exp(ikBR)

4πR5

)RR +

(ikB exp(ikBR)

4πR2− exp(ikBR)

4πR3

)∇R =

=exp(ikBR)

4πR

[(−k2

B

R2− 3ikB

R3+

3

R4

)RR +

(ikBR− 1

R2

)](A.5)

37

38APENDICE A. DEMOSTRACION TENSOR DE GREEN EN 3 DIMENSIONES

∇∇gB3D =exp(ikBR)

4πR

(ikBR− 1

R21 +

3− 3ikBR− k2BR

2

R4

)RR (A.6)

Y por tanto, el tensor de Green es

GB(r, r′) =

(1 +

ikBR− 1

k2BR

21 +

3− 3ikBR− k2BR

2

k2BR

4RR

)exp(ikBR)

4πR. (A.7)

Apendice B

Vetores armonicos para elejemplo del cilindro

La funcion potencial es

ψν(ρ, φ, z) = Zν(kρ)eiνφ. (B.1)

El vector armonico Mν se calcula como

Mν = ∇× (eρψν) = ∇×(Zν(kρ)eiνφeρ

)=

∂

∂z

(Zν(kρ)eiνφ

)eφ −

1

ρ

∂

∂φ

(Zν(kρ)eiνφ

)ez = −iν

ρZν(kρ)eiνφez. (B.2)

El campo Nν se obtiene

Nν =∇×Mν

k= −iν

k∇×

(Zν(kρ)eiνφez

ρ

)=

− iν

k

[1

ρ

∂

∂φ

Znu(kρ)eiνφ

ρeρ −

∂

∂ρ

Zν(kρ)eiνφ

ρeφ

]=

−iνkρ2

Zν(kρ)iνeiνφeρ +iν

keiνφeφ

(−1

ρ2Zν(kρ) +

kZ ′ν(kρ)

ρ

)=

eiνφ

kρ

[ν2

ρZν(kρ)eρ + iν

(−Zν(kρ)

ρ+ kZ ′ν(kρ)

)eφ

](B.3)

donde Z ′ν(kρ) =dZ(kρ)

dρ.

39

Apendice C

Codigo

El codigo escrito en MATLAB se divide en los siguientes scripts.

Cylinder Green.m: Script general. Este calcula el campo dispersado en elcilindro, utilzando el formalismo descrito en el capıtulo 2.

cylinder coords.m: Este archio genera un fichero de texto con puntos quese aproximan al cilindro estudiado.

col3to1.m, E inc cyl.m, interaction As2D.m, interaction AsE2D.m:En estos scripts se definen unas funciones que se utilizan en el programageneral.

Archivo C.1: Cylinder Green.m

% Scattering of a cylinder

clear all

E0 = [0 0 1]; % z−polarization5 eps = 1.33; %dielectric permittivity of medium

shapepath = ’../ shape/’

rfile = [shapepath ’rcyl_841.txt’];

S=dlmread(rfile );

N = length(S(: ,1));

10 lambda =0.633; %walength in micronk = 2*pi/lambda; % wave numberrad =20; %This is the radius set in "cylinder_coords"rcyl = 40; %radius cyl;f=rcyl/rad; %scale factor

15 r = f*[S(:,1) S(: ,2)];

d= f*0.25; %radius of elementary volumekvec = [k 0]; % propagating in +x directionEi = E_inc_cyl(E0 ,kvec ,r);

20 A= interaction_As2D(k,r,d,eps);

Eint = gmres(A,Ei);

40

41

zp =25*10^3; %distancia del centro del cilindro a la CCDphimin=atan (-300/zp);

25 phimax=atan (300/zp);

range = linspace(phimin ,phimax ,100);

30 Esca_S = zeros(1,length(range ));

ix = 0;

for theta = range

ix = ix+1;

r_E = zeros (1,2); % evaluation point35 [r_E(1) r_E (2)] = pol2cart(theta , zp);

A= interaction_AsE2D(k,r_E ,r,d,eps);

kr = dot(kvec ,r_E ,2);

expikr = exp(i.*kr);

40 E1 = [E0(1)* expikr E0(2)* expikr E0(3)* expikr ];

E=E1 ’+A*Eint;

Esca_S(ix) = E(3);

45 end

IGreen=Esca_S .*conj(Esca_S );

Fresnel_calculation_cylinder;

clf

50 range2=linspace(phimin ,phimax ,length(Ifresnel ));

plot(range *180/pi ,IGreen ,range2 *180/pi ,Ifresnel)

grid

ylabel(’I’,’FontSize ’ ,14)

xlabel(’phase angle ’,’FontSize ’ ,14)

55

legend(’Green ’,’Fresnel ’)

set(gca ,’FontSize ’ ,14)

Archivo C.2: cylinder coords.m

% generate shape files (coordinates) for%approximate cylinders

clear all

5 r = [];

rad =20;

n=rad/2;

for x = -n:n

10 for y = -n:n

r = [r; [x y]];

if (y < n) & (x < n)

r = [r; [x+.5 y+.5]];

42 APENDICE C. CODIGO

end

15 end

end

%for rad = 1:1020 % rcyl = [];

%npts = 0;%for j = 1:length(r)% if sqrt(r(j,1)^2 + r(j,2)^2) <= rad% rcyl = [rcyl; r(j,:)];

25 % npts = npts + 1;%end

%end% dlmwrite([’rcyl_’ int2str(npts) ’.txt’], rcyl)

%end30

rcyl = [];

npts = 0;

for j = 1: length(r)

35 if sqrt (9.*r(j ,1)^2 + 0.25.*r(j ,2)^2) <= rad

rcyl = [rcyl; r(j ,:)];

npts = npts + 1;

end

end

40 dlmwrite ([’rcyl_ ’ int2str(npts) ’.txt’], rcyl)

npts

%end

Archivo C.3: col3to1.m

% % input [v1x v1y v1z% % . . .% % . . .% % . . .

5 % % vNx vNy vNz]%

% % outpu vector [v1x% % v1y

10 % % v1z% % .% % .% % .% % vNx

15 % % vNy% % vNz]%

function onecol = col3to1(threecol)

20

43

[N,dummy] = size(threecol );

onecol = zeros (3*N,1);

ind = 3*(1:N);

25 onecol(ind -2) = threecol (:,1);

onecol(ind -1) = threecol (:,2);

onecol(ind) = threecol (:,3);

Archivo C.4: E inc cyl.m

% E_inc_cyl.m% Incident fieldfunction Ei = E_inc_cyl(E0,kvec ,r)

5 % E0: field amplitude [Ex Ey Ez]% kvec: wave vector, 2∗pi in wavelength units% r: N x 2 matrix, for x_j, y_j coordinates

% E_inc_j = E_0 exp(ik.r_j − iwt)10 % Here, we omit the frequency factors exp(iwt) which can

% be calculated outside this function if required. Thus% E_inc_j = E_0 exp(ik.r_j)

[N,cols] = size(r);

15 D = ones(N,1);

r=[r,zeros(N ,1)];

kvec=[kvec 0];

kr = dot([kvec (1)*D kvec (2)*D kvec (3)*D],r,2);

expikr = exp(i*kr);

20 E1 = [E0(1)* expikr E0(2)* expikr E0(3)* expikr ]; % N x 3

% Ex, Ey & Ez components laid out into a 3N x 1 vector% Ei = [E1(:,1); E1(:,2); E1(:,3)];

25 Ei = col3to1(E1);

Archivo C.5: interaction As2D.m

% interaction_As2D.mfunction As = interaction_As2D(k,r,d,eps)

% As is a 3N x 3N matrix% k: wavenumber

5 % r: N x 2 matrix, for x_j, y_j coordinates% d: radius of elemental volume% eps: matrix containing the dielectric permittivity%of the object% if no arguments −> homogeneous medium

10 % N: number of points considered in the simulation% j = 1..N

% Eqn(8) y (36), Olivier J. F. Martin∗and Nicolas B. Piller,% Electromagnetic scattering in polarizable backgrounds

44 APENDICE C. CODIGO

15 % PHYSICAL REVIEW E SEPTEMBER 1998 VOLUME 58, NUMBER 3

[N,dummy] = size(r);

As = single(zeros (3*N,3*N));

Reff=d;

20 Deltaeps=eps -1; %dielectric permittivity of the% homogenous medium−1 (air)V = pi*Reff ^2;

25 for jj=1:N

for kk=1:N

if jj ~= kk

rk_to_rj = r(jj ,:)-r(kk ,:);

30 rho = norm(rk_to_rj ); %sqrt(sum((r(jj,:)−r(kk,:)).^2))theta=acos(rk_to_rj (1)/ rho);

Gxx=1i/4* sin(theta ).^2.* besselh(0,k*rho)+1i...

35 /4* cos (2* theta )./(k*rho ).* besselh(1,k*rho);

Gyy=1i/4* cos(theta ).^2.* besselh(0,k*rho)-1i...

/4* cos (2* theta )./(k*rho ).* besselh(1,k*rho);

Gxy=1i/4* sin (2* theta )./2.* besselh(2,k*rho);

Gzz=1i/4* besselh(0,k*rho);

40 G=[Gxx Gxy 0;Gxy Gyy 0;0 0 Gzz];

As((jj -1)*3+1: jj*3,(kk -1)*3+1: kk*3)=-G*Deltaeps*V*k^2;

45 else

gamma=Reff/k*besselh(1,k*Reff )+2*1i/(pi*k^2);

M1=-1i*pi/4* gamma*k^2* Deltaeps;

M2=-1i*pi/4* gamma*k^2* Deltaeps;

50 M3=-1i*pi/2* gamma*k^2* Deltaeps;

As((jj -1)*3+1 ,(kk -1)*3+1) = 1+1/2* Deltaeps+M1;

As((jj -1)*3+2 ,(kk -1)*3+2) = 1+1/2* Deltaeps+M2;

As((jj -1)*3+3 ,(kk -1)*3+3) = 1+M3;

55

%with M=0

%As((jj−1)∗3+1,(kk−1)∗3+1) = 1+1/2∗Deltaeps;%As((jj−1)∗3+2,(kk−1)∗3+2) = 1+1/2∗Deltaeps;

60 %As((jj−1)∗3+3,(kk−1)∗3+3) = 1;end

end

end

Archivo C.6: interaction AsE2D.m

45

% interaction_As.mfunction AsE = interaction_AsE2D(k,rE,r,d,eps)

% As is a 3N x 3N matrix% k: wavenumber

5 % r: N x 2 matrix, for x_j, y_j coordinates% d: radius of elemental volume% eps: matrix containing the dielectric% permittivity of the object% if no arguments −> homogeneous medium

10 % N: number of points considered in the simulation% j = 1..N

% Eqn(8) y (36), Olivier J. F. Martin∗and Nicolas B. Piller,% Electromagnetic scattering in polarizable backgrounds

15 % PHYSICAL REVIEW E SEPTEMBER 1998 VOLUME 58, NUMBER 3

[N,dummy] = size(r);

As = single(zeros (3*N,3*N));

Reff=d;

20 Deltaeps=eps -1; %dielectric permittivity of the% homogenous medium − 1(air)V = pi*Reff ^2; %elementary volume of a cell

for jj=1:N

25

rj_to_rE = rE-r(jj ,:);

rho = norm(rj_to_rE ); %sqrt(sum((r(jj,:)−r(kk,:)).^2))theta=acos(rj_to_rE (1)/ rho);

30

Gxx=1i/4*sin(theta ).^2.* besselh(0,k*rho)+1i/...

4*cos (2* theta )./(k*rho ).* besselh(1,k*rho);

Gyy=1i/4*cos(theta ).^2.* besselh(0,k*rho)-1i/...

4*cos (2* theta )./(k*rho ).* besselh(1,k*rho);

35 Gxy=1i/4*sin(2* theta )./2.* besselh(2,k*rho);

Gzz=1i/4* besselh(0,k*rho);

G=[Gxx Gxy 0;Gxy Gyy 0;0 0 Gzz];

AsE(:,(jj -1)*3+1: jj*3)=G*Deltaeps*V*k^2;

40 end

Bibliografıa

[1] G.B. Arfken, H.J. Weber, and F.E. Harris. Mathematical Methods for Phy-sicists: A Comprehensive Guide. Elsevier Science, 2013.

[2] Y.B. Band. Light and Matter: Electromagnetism, Optics, Spectroscopy andLasers. Light and Matter. Wiley, 2006.

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[5] Izrail Solomonovich Gradshteyn and Iosif Moiseevich Ryzhik. Table of inte-grals, series, and products. Academic press, 2014.

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[12] Arthur D Yaghjian. Electric dyadic green’s functions in the source region.Proceedings of the IEEE, 68(2):248–263, 1980.

46

M etodo de Green para la resoluci on de las ecuaciones de ...

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