M sc. jorge f. campos s algebra lineal - 1er parcial
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS SECCIÓN DE MATEMÁTICA U N E X P O 25 Primer examen parcial de ´ Algebra Lineal (25 %) Apellidos y Nombres Secci´ on Profesor C´ edula Fecha: 03/12/2004 LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLA JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE Primera parte. Verdadero o Falso. Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones. (2 ptos. c.u.) 1. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces det(AA T ) ≥ 0. 2. Si A y B son dos matrices tales que AB es invertible, entonces A y B son invertibles. 3. Si A y B son matrices de orden m × n, entonces (A + B) T = A T + B T . Segunda parte. Desarrollo. Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente. 1. Demuestre que (3 ptos. c/u) a. Si A 1 ,A 2 ,...,A k son matrices invertibles, entonces A 1 A 2 ··· A k es invertible y su inversa es A -1 k ··· A -1 2 A -1 1 . b. Existe una ´ unica matriz 0 de orden m × n tal que para toda matriz A de orden m × n se cumple que A + 0 = A. 2. Dada la matriz A = 1 -1 2 1 1 1 2 1 -1 2 1 -1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 3 1 3 2 Halle A -1 , si existe, y adj(A). (5 ptos.) 1
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICA
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O 25Primer examen parcial de Algebra Lineal (25 %)
Apellidos y Nombres Seccion
Profesor Cedula Fecha: 03/12/2004
LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLAJUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE
TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE
Primera parte. Verdadero o Falso.Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones. (2 ptos. c.u.)
1. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces det(AAT ) ≥ 0.
2. Si A y B son dos matrices tales que AB es invertible, entonces A y B son invertibles.
3. Si A y B son matrices de orden m × n, entonces (A + B)T = AT + BT .
Segunda parte. Desarrollo.Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente.
1. Demuestre que (3 ptos. c/u)
a. Si A1, A2, . . . , Ak son matrices invertibles, entonces A1A2 · · ·Ak es invertible y suinversa es A−1
k· · ·A−1
2A−1
1.
b. Existe una unica matriz 0 de orden m × n tal que para toda matriz A de ordenm × n se cumple que A + 0 = A.
2. Dada la matriz
A =
1 −1 2 1 11 2 1 −1 21 −1 0 2 10 0 1 0 01 3 1 3 2
Halle A−1, si existe, y adj(A). (5 ptos.)
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3. Un departamento Gubernamental de Pesca proporciona tres tipos de alimento a unlago en el que habitan peces de tres especies. Cada pez de la especie 1 consume,por semana, un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume, por semana, un promediode 3 unidades del alimento 1, 4 unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento3. El consumo semanal promedio por ejemplar de la especie 3 es de 2 unidades delalimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana sevierten en el lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2y 55000 unidades del alimento 3. Si se supone que toda esta comida se consume,¿cuantos ejemplares de cada especie pueden coexistir en el lago? (4 ptos.)
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (4 ptos.)
2x + 3y − 2z = −44x − 3y − z + 6w = 102x − 3y + 4w = 8−2x − 6y − 3z − 4w = 104x − 9y + z + 10w = 22
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICAS
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P
O 25Primer Examen Parcial de Algebra Lineal (25 %)
Apellidos y Nombres Seccion
Profesor Cedula Fecha: 26/08/2005
LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLAJUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE
TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE
Primera Parte. Verdadero o Falso.Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones. (2 ptos. c.u.)
1. Si A y B son dos matrices tales que AB es invertible, entonces A y B son invertibles.
2. Si A es una matriz tal que A−1 = AT , entonces det(A) = ±1.
Segunda Parte. Desarrollo.Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente.
1. Demuestre que (4 ptos. c/u)
a. Si α1, α2, . . . , αk son numeros reales y A es una matriz de orden m× n, entonces(α1 + α2 + · · · + αk) · A = α1 · A + α2 · A + · · · + αk · A.
b. Si A es una matriz invertible de orden n, entonces det[adj(A)] = [det(A)]n−1.
2. Dada la matriz
A =
2 0 1 −76 1 0 48 −2 1 04 1 0 2
Halle det(A) y A−1. (5 ptos.)
3. Una pequena companıa constructora ofrece tres tipos de casas. El primer tipo decasa requiere 3 unidades de concreto, 2 unidades de madera para cancelerıa y 5unidades de madera para estructuras. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 5y 4, 2, 6 unidades respectivamente, de concreto, madera para cancelerıa y maderapara estructuras. Si cada mes la companıa dispone de 150 unidades de concreto, 100unidades de madera para cancelerıa y 250 unidades de madera para estructuras,calcule el numero de diferentes tipos casas que la companıa podra construir al messi usa todos los materiales de que dispone. (4 ptos.)
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4. Un torneo de tenis se puede organizar como sigue. Cada uno de los n participantesjuega contra cada uno de los otros, y los resultados se registran en una matrizR = (rij)n×n
de esta manera:
rij =
1 si el i-esimo jugador vence al j-esimo jugador0 si el i-esimo jugador pierde ante j-esimo jugador0 si i = j
Al i-esimo jugador se le asigna entonces la puntuacion
Si =n
∑
j=1
rij +1
2
n∑
j=1
sij
donde sij es la ij-esima componente de la matriz R2.
a. En un torneo con cuatro participantes,
R =
0 1 0 00 0 1 11 0 0 01 0 1 0
Clasifique a los jugadores segun sus puntuaciones. (3 ptos.)
b. Interprete el resultado de la puntuacion. (1 pto.)
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SECCIÓN DE MATEMÁTICAS
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICAS
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VICERRECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICAS
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O 25Primer Examen Parcial de Algebra Lineal - Sustitutivo (25 %)
Apellidos y Nombres Seccion
Profesor Cedula Fecha: 29/03/2007
LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLAJUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE
TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE
1. Sea A ∈ Mn×n(R) una matriz antisimetrica. Demuestre que det(AT ) = (−1)n det(A).(2 ptos.)
2. Determine todos los valores de β para los cuales el sistema de ecuaciones lineales
x + y − z = 3x − y + 3z = 4x + y + (β2
− 10)z = β
a) Tenga una unica solucion. En este caso, halle tal solucion. (4 ptos)
b) No tenga solucion. (1 pto)
c) Tenga infinitas soluciones. (1 pto)
3. Sean A1, A2, · · · , Ak ∈ Mn×n(R) matrices invertibles. Demuestre que: A1 ·A2 · · ·Ak
es invertible y (A1 · A2 · · ·Ak)−1 = A−1
k· · ·A−1
2· A−1
1(4 ptos)
4. Sea A ∈ Mm×n(R). Demuestre que AIn = A = ImA. (4 ptos)
5. Dada la matriz
A =
1 4 3 −24 −3 2 0−1 2 1 12 8 −1 −1
determinar si es invertible, en caso afirmativo hallar A−1. (5 ptos.)
6. Muestre que si A ∈ Mn×n(R) es una matriz simetrica, entonces adj(A) tambien loes. (4 ptos)
¡EXITO!
1
