UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA DE TELECOMUNICACIONES

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SYLLABUS

MA-133 MATEMTICAS III

ESPECIALIDAD :TELECOMUNICACIONES CICLO :TERCERO CREDITOS :06 AO :SEGUNDO HORAS/SEMANA :T5/P2 REGIMEN :OBLIGATORIO PRE-REQUISITO :MA123 EVALUACION :TIPO G

OBJETIVO Proporcionar al estudiante los conocimientos sobre anlisis vectorial. Familiarizar al alumno con el uso de software matemtico propio de estos temas. RESUMEN Funciones vectoriales de una variable real. Aplicaciones de nmeros a vectores. Funciones reales de un vector. Aplicaciones de vectores a nmeros. Integrales mltiples y transformaciones. Funciones vectoriales de un vector. Aplicaciones de vectores. CONTENIDO: CAPTULO 1.- FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

APLICACIONES DE NMEROS A VECTORES Definicin y ejemplos. El lmite de una funcin vectorial. Teoremas sobre lmites. Continuidad. Definicin, teoremas acerca de la continuidad. Curvas, definicin, la derivada de funciones vectoriales. Definicin e interpretacin geomtrica de la derivada. Teoremas acerca de la derivada. Vector tangente y recta tangente a la curva. Aplicaciones: Propiedades de reflexin de las cnicas. Grficas de una funcin vectorial: f: R a R2 ; f: R a R3 con la ayuda de la derivada. La diferencial y sus aplicaciones. Integracin de funciones vectoriales. Teoremas. Aplicaciones al movimiento curvilneo. Definicin de longitud de arco. Curvas rectificables. Aditividad de la longitud de arco. Funcin longitud de arco. Vector tangente unitario. Normal principal y la binormal. El triedo mvil. El plano osculador, plano rectificante y plano normal. Curvatura de una curva. Radio de curvatura y la circunferencia osculadora. Torsin. Definicin y teoremas. Indicatriz esfrica. La teora de las curvas: Geometra diferencial. Frmulas de Frenet-Serret. Ecuaciones intrnsecas de una curva. Teorema fundamental representacin cannica de una curva. Involutas. Evolutas. Curva de Bertrand. Superficies osculatrices. Aplicaciones de funciones vectoriales; los vectores, velocidad y aceleracin en coordenadas polares. Movimiento plano con aceleracin radial. Aplicaciones al movimiento planetario. El vector de Darboux. Movimiento de un electrn en un campo homogneo. Leyes de Newton y Kepler.

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CAPTULO 2.- FUNCIONES REALES DE UN VECTOR. APLICACIONES DE VECTORES A NMEROS

Definicin y ejemplos. Grficos: Curvas de nivel y superficies de nivel. Breve referencia de las superficies cuadrticas: El elipsoide, hiperboloide de una hoja, cono cudraco, paraboloide elptico, paraboloide hiperblico, cilindro parablico, cilindro elptico y cilindro hiperblico. Lmite de una funcin real de varias variables. Teoremas. Continuidad. Derivadas direccionales: Caso particular, las derivadas parciales. El gradiente: operador nabla. Interpretacin geomtrica de la derivada direccional. Funciones diferenciables. Definicin. Teoremas. La diferencial total. Aplicaciones. El gradiente como vector del incremento ms rpido. La regla de la cadena y el gradiente. El plano tangente y la recta normal. Teorema de la funcin implcita. Derivadas de orden superior. Derivadas parciales repetidas operadores diferenciales parciales. Ecuacin de Laplace. Ecuacin de onda. Ecuacin del calor. Ecuacin del telgrafo. La frmula de Taylor para funciones de R2xR; R3xR. Aplicaciones. Mximos y mnimos: El criterio de las derivadas parciales para funciones de R2 R. Autovalores de la matriz Hessiana para analizar los mximos y mnimos para funciones de RnxR. Mximos y mnimos condicionales. El multiplicador de Lagrange. Significado del multiplicador de Lagrange, Aplicaciones de mximos y mnimos en fsica (idea de equilibrio estable e inestable). Geometra y economa. CAPTULO 3.- INTEGRALES MLTIPLES Y TRANSFORMACIONES Transformaciones de RnxRn. Definicin y ejemplos. Transformaciones lineales: transformaciones afines. Derivadas de la Transformacin en Rn. La matriz Jacobiana y el Jacobiano. Propiedades de la matriz Jacobiana. Aplicaciones: Transformaciones en coordenadas polares, cilndricas y esfricas. Integrales dobles: idea de particin. Definicin. Propiedades bsicas de la integral doble. Integrales dobles sobre regiones ms generales: teoremas de Guido Fubini. Aplicaciones: rea, momentos de primer y segundo orden, centros de masa y volumen bajo una superficie. Integrales triples: idea de particin. Definicin. Propiedades bsicas de la integral triple. Integrales triples sobre slidos ms generales. Teoremas interpretacin fsica de la integral triple. Aplicaciones: Volumen, momentos de primer y segundo orden, centros de masa. La integral doble en coordenadas polares, la integral triple en coordenadas cilndricas y esfricas. CAPTULO 4.- FUNCIONES VECTORIALES DE UN VECTOR. APLICACIONES DE

VECTORES A VECTORES Definicin: Ejemplos. Lmites y continuidad. La diferencial y la derivada. Integrales curvilneas. Integrales de lnea. Definicin. Interpretacin de la integral de lnea como un rea. Propiedades fundamentales de la integral de lnea. El concepto de trabajo como integral de lnea. Integrales de lnea con respecto a la longitud de arco. Conjuntos conexos abiertos. Independencia de la trayectoria. Campos vectoriales conservativos. El operador de Hamilton u operador Nabla (V): Gradiente, divergencia y rotacional. Interpretacin fsica de la divergencia y el rotacional. Frmulas importantes en las que interviene el operador nabla. Teorema de Green en el plano. Teorema de Green en forma vectorial. Teorema de Green para regiones mltiplemente conexas. Integrales de superficie y de volumen: rea de una superficie. Integrales de campos escalares sobre superficies. Teorema de Gauss o de la divergencia. Teorema de Stokes o del rotacional. Coordenadas curvilneas. Definicin. Caso particular: Coordenadas curvilneas ortogonales. Factores de escala. Elemento rea y elemento volmen en coordenadas curvilneas ortogonales. El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano en coordenadas curvilneas ortogonales.

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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS:

1. TOM M. APOSTOL, CALCULO VOL I, II, ED, REVERTE. 2. MARTIN LIPSCHUTZ, GEOMETRIA DIFERENCIAL, ED. MCGRAW HILL.

3. LUIS A. SANTALO, VECTORES Y TENSORES, ED UNIVERSITARIA DE

BUENOS AIRES. 4. HASSER, LASALLE, SULLIVAN, ANALISIS MATEMATICO, ED. TRILLAS

TOMO II.

5. HARRY LASS, ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL, ED C.E.C.S.A.

6. A.S. FEDENKO, PROBLEMAS DE GEOMETRA DIFERENCIAL, ED. MIR MOSCU.

7. HWEI HSU, ANALISIS VECTORIAL, ED. FONDO EDUCATIVO

INTERAMERICANO.

8. MAKARENKO, ANALISIS VECTORIAL, ED. MIR MOSCU

9. ARMANDO VENERO B., MATEMTICA II, ED. GEMAR.

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