MA-3111 Primer Pacial 2009 Ene-Mar Tipo E
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UniversidadSim´onBol´ ıvar Departamento de Matem´aticas Enero-Abril 2009 Nombre: Carnet: Secci´on: MA-3111—Primer Parcial, modelo 28-2-2009, 35 %— 9:30 a.m. JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS. TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE; a ∈ R, α,β ∈ C. u(x) U (z) αu(x)+ βv(x) αU (z)+ βV (z) u ′ gen (x) zU (z) u (k) gen (x) z k U (z) xu(x) -U ′ (z) u(x - a) U (z)e −az e αx u(x) U (z - α) u * v(x) U (z)V (z) -→ u(x) U (z) δ (x) 1 δ (k) (x) z k δ (k) (x - a) z k e −az H (x) 1 z H (x)e αx 1 z - α H (x) x k−1 (k - 1)! 1 z k -→ u(x) U (z) H (x)e αx x k−1 (k - 1)! 1 (z - α) k H (x) sen(ax) a z 2 + a 2 H (x) cos(ax) z z 2 + a 2 H (x) senh(ax) a z 2 - a 2 H (x) cosh(ax) z z 2 - a 2 1. Demuestra que el producto de convoluci´on entre tres funciones causales es asociativo ((f * g ) * h)(x)=(f * (g * h))(x) Soluci´on
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Universidad Simon BolıvarDepartamento de Matematicas
Enero-Abril 2009
Nombre:
Carnet: Seccion:
MA-3111—Primer Parcial, modelo 28-2-2009, 35 %— 9:30 a.m.
JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS.
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE; a ∈ R, α, β ∈ C.
u(x) U(z)
αu(x) + βv(x) αU(z) + βV (z)
u′
gen(x) zU(z)
u(k)gen(x) zkU(z)
xu(x) −U ′(z)
u(x − a) U(z)e−az
eαxu(x) U(z − α)
u ∗ v(x) U(z)V (z)
−→
u(x) U(z)
δ(x) 1
δ(k)(x) zk
δ(k)(x − a) zke−az
H(x)1
z
H(x)eαx1
z − α
H(x)xk−1
(k − 1)!
1
zk
−→
u(x) U(z)
H(x)eαxxk−1
(k − 1)!
1
(z − α)k
H(x) sen(ax)a
z2 + a2
H(x) cos(ax)z
z2 + a2
H(x) senh(ax)a
z2 − a2
H(x) cosh(ax)z
z2 − a2
1. Demuestra que el producto de convolucion entre tres funciones causales es asociativo
((f ∗ g) ∗ h)(x) = (f ∗ (g ∗ h))(x)
Solucion
Dpto. de MATEMATICAS
MA-3111- 9:30 a.m.
2
2. Sea f(x) una funcion de onda triangular causal, es decir una funcion que enntre (0, 2T )viene dada por
f(x) =
{
xT
six ∈ (0, T )
1 − xT
six ∈ (T, 2T )
f(x) = 0 ∀x < 0
f(x + 2T ) = f(x) ∀x > 0
a) Grafica la funcion entre (−T, 5T )b) Calcula su transformada de Laplace
Solucion
1
Tz2tgh
(
Tz
2
)
Dpto. de MATEMATICAS
MA-3111- 9:30 a.m.
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3. Sea Q(z) un polinomio de grado n con n raıces diferentes zi con i = 1, .., n y P (z) un
polinomio de grado menor que n. Encuentra la transformada inversa de Lapalace de P (z)Q(z)
en funcion de los valores de P (zk) y Q′(zk)
Solucion
L−1
(
P (z)
Q(z)
)
= H(x)
n∑
k=1
P (zk)
Q′(zk)ezk
Dpto. de MATEMATICAS
MA-3111- 9:30 a.m.
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4. Sea la funcion f(x) = α sen x1−2α cos x+α2 con |α| < 1
a) Grafique la funcion en (0, 2π) para α = 0,5b) Calcule los coeficientes an y bn de la serie de Fourier de f(x)
an =
bn =
c) Estudiando la convergencia de la serie en x = 1/2 halle la suma de la serie
α − α3 + α5 − α7 + ... =
Solucion
f(x) =∞
∑
n=1
qn sen(nx)
