MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003

lgebra

R.Criado y A.Gallinari

2003

2 lgebra

Introduccin

En sus orgenes, el lgebra clsica era el arte de resolver ecuaciones (la

palabra lgebra proviene de un vocablo rabe que signica reduccin). El

lgebra moderna est caracterizada por el estudio de ciertas estructuras abs-

tractas que tienen en comn una gran variedad de objetos matemticos. El

calicativo abstracto se reere al resultado de realizar el proceso de abstrac-

cin sobre las propiedades observables de ciertos objetos matemticos, es

decir, el proceso consistente en separar la forma del contenido.

La estructura principal objeto de estudio en esta publicacin es la de

espacio vectorial. Las aplicaciones de esta estructura incluyen virtualmen-

te todas las reas de la ciencia. Se incluye una aplicacin de los espacios

vectoriales relacionada estrechamente con el mundo de la informtica y las

telecomunicaciones, en concreto a la teora de cdigos y se estudian varias

tcnicas y herramientas de inters para otras aplicaciones.

Este volumen viene acompaado por un libro de Prcticas y Problemas

con el sistema Maple V, disponible en versin digital, que contiene una am-

pliacin y completa la descripcin de los conceptos tericos. Las prcticas

permiten el desarrollo y la experimentacin con los aspectos ms numri-

cos y estn diseada para potenciar el empleo de la notable capacidad de

visualizacin grca que ofrece el programa Maple V.

A cada tema terico y prctico hemos aadido ejercicios resueltos y ejer-

cicios propuestos.

Los principales objetivos didcticos que intentamos conseguir son que el

lector:

aprenda y utilize correctamente tcnicas y mtodos propios del lgebralineal.

vea la descripcin de algunas aplicaciones a la Informtica. comprenda y aplique algunos mtodos numricos de resolucin de sis-temas de ecuaciones lineales y de aproximacin de autovalores y auto-

vectores.

aprenda a utilizar el programa Maple V (como ejemplo de sistema decomputacin simblica) en sus aplicaciones al lgebra lineal.

Algunos apartados de esta publicacin (sobre todo en la parte de ejerci-

cios) son una adaptacin del material contenido (unas veces sin modicarlo,

otras proponiendo variaciones de ello) en la bibliografa incluida.

lgebra 3

Agradecimientos

Queremos agradecer al profesor Luis E. Sol Conde por su participacin

en la correccin de estas notas y la elaboracin de los enunciados de varios

ejercicios propuestos en este libro.

Gracias tambin a los profesores Alejandro J. Garca del Amo Jimnez

y Begoa Jimnez Martn por la elaboracin de los enunciados de varios

ejercicios propuestos y a los alumnos que han sealado erratas y errores en

versiones previas de esta publicacin.

4 lgebra

ndice General

1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y estructuras alge-

braicas 9

1.1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y eliminacin gaussiana 10

1.1.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales . . . 10

1.1.2 Sistemas homogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3 Transformaciones elementales por las.

Introduccin al mtodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . 14

1.1.4 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.5 Estrategia para la aplicacin del mtodo

de eliminacin gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.6 Mtodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2 Matrices y operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2.2 Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2.3 Propiedades del producto de matrices . . . . . . . . . . 33

1.2.4 El producto de una matriz por un escalar . . . . . . . . 37

1.2.5 El anillo de matrices cuadradas Mn(K) . . . . . . . . . 391.2.6 Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.2.7 Matrices elementales y un mtodo para hallar A1 . . . 431.3 Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.3.1 El concepto de operacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.3.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.3.3 Anillos y cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.3.4 Introduccin a los Tipos Abstractos de Datos . . . . . 57

1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.4.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5

6 lgebra

2 Espacios vectoriales 71

2.1 Vectores en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.1.1 Producto vectorial y producto mixto . . . . . . . . . . 81

2.1.2 Rectas en le plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.1.3 Planos en el espacio tridimensional . . . . . . . . . . . 85

2.1.4 Rectas en el espacio tridimensional . . . . . . . . . . . 87

2.2 Espacios vectoriales sobre un cuerpo K . . . . . . . . . . . . . 892.2.1 Propiedades de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.2.2 Producto cartesiano de espacios vectoriales . . . . . . . 93

2.2.3 Funciones con codominio en un espacio vectorial . . . . 96

2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.4 Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.5 Bases y dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.5.1 Sistemas generadores y bases . . . . . . . . . . . . . . 112

2.5.2 Equipotencia de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.6 Subespacios vectoriales y dimensin . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.7 Rango de un sistema de vectores y de una matriz . . . . . . . 122

2.8 El teorema de Rouch-Frbenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.9 Mtodo de Gauss y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.9.1 Transformaciones elementales por columnas y matrices

elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.9.2 Mtodo de Gauss para calcular el rango de una matriz 132

2.9.3 Algoritmo de extensin de una base . . . . . . . . . . . 138

2.9.4 Rango y espacio la de una matriz . . . . . . . . . . . 139

2.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141



3 Funciones lineales 153

3.1 Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.2 Propiedades de funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.3 Ncleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.4 Espacios vectoriales isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.5 Funciones lineales en espacios vectoriales de dimensin nita . 167

3.5.1 Determinacin de funciones lineales en espacios vecto-

riales de dimensin nita . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.5.2 Dimensiones del ncleo y de la imagen . . . . . . . . . 172

3.5.3 Matriz asociada a una funcin lineal . . . . . . . . . . 174

lgebra 7

3.5.4 Algoritmo para hallar una base del ncleo y de la imagen178

3.5.5 Matriz asociada a la composicin de funciones lineales . 179

3.5.6 Matrices semejantes y cambios de base . . . . . . . . . 183

3.5.7 Ecuaciones paramtricas e implcitas de un subespacio

vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190



4 Espacios vectoriales eucldeos 197

4.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.2 Longitud o norma eucldea de un vector . . . . . . . . . . . . 200

4.2.1 Propiedades de la norma eucldea . . . . . . . . . . . . 200

4.3 Mtodo de ortogonalizacin de Gram-Schmidt . . . . . . . . . 204

4.3.1 Descomposicin QR de una matriz . . . . . . . . . . . 2094.4 Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.4.1 Mtodo para hallar una proyeccin ortogonal . . . . . . 214

4.4.2 Aproximacin ptima de un vector. . . . . . . . . . . . 215

4.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217



5 Cdigos lineales 219

5.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.2 Distancia de Hamming, deteccin y correccin de errores . . . 222

5.2.1 Cdigo de paridad: deteccin de errores simples . . . . 223

5.2.2 Cdigo de repeticin: correccin de errores simples . . 224

5.3 Cdigos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.3.1 Paso de una matriz de control a una matriz generadora 228

5.3.2 Paso de una matriz generadora a una matriz de control 229

5.3.3 Deteccin y correccin de errores . . . . . . . . . . . . 232

5.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235



6 Autovalores y autovectores 239

6.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.2 Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8 lgebra

6.3 Funciones complejas de variable real . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3.1 La exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6.4 Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.4.1 La ecuacin de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.4.2 La ecuacin de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.4.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . 251

6.5 La semejanza de matrices y los sistemas de ecuaciones . . . . . 253

6.5.1 Sistemas diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.5.2 Sistemas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6.6 Diagonalizacin y triangulacin de matrices . . . . . . . . . . 259

6.6.1 El polinomio caracterstico de una matriz . . . . . . . . 259

6.6.2 Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.6.3 Triangulacin de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 268

6.6.4 Resolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales por

triangulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

6.7 Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.7.1 Relaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 281

6.7.2 Sistemas de relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . 286

6.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290



7 Soluciones de los ejercicios 293

7.1 Soluciones de los ejercicios

del captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293


del captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307


del captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321


del captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331


del captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332


del captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

A Nuevo mtodo de triangulacin por semejanza 343

Captulo 1

Sistemas de ecuaciones lineales,

matrices y estructuras algebraicas

Este primer captulo comienza con el estudio de los sistemas de ecuaciones

lineales, de las matrices y de las operaciones con matrices.

Estos conceptos estn en la base del lgebra lineal, y se asume que ya se

ha tenido un contacto previo con ellos en cursos anteriores.

Es conveniente sealar que en este nivel no slo es importante entender

los mtodos de clculo de las soluciones de los problemas que se estudiarn,

sino tambin el porqu dichos mtodos funcionan.

Hablaremos de sistemas de n ecuaciones con m variables, donde n y men general no son iguales, y de un algoritmo de clculo, el mtodo de elimi-

nacin gaussiana, que nos permitir resolver sistemas de ecuaciones lineales

generales.

En la segunda parte del captulo, una vez establecidas las propiedades

que satisfacen las matrices respecto de la suma y producto, se introducen

las estructuras algebraicas de grupo, anillo y cuerpo con el objeto de reu-

nir, bajo una estructura algebraica abstracta, las propiedades que tienen en

comn, por ejemplo, los nmeros enteros, reales y complejos, las matrices y

los polinomios, y destacar aquellas propiedades que no comparten. En ese

sentido, la denicin de una estructura algebraica (por ejemplo, la denicin

de grupo) responder a la abstraccin de ciertas propiedades comunes a los

objetos anteriores, entendiendo por abstraccin el proceso de separar la for-

ma del contenido. Como colofn del captulo y aplicacin de los conceptos

previamente introducidos veremos una introduccin a los tipos abstractos de

datos.

9

10 lgebra

1.1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y

eliminacin gaussiana

Al aplicar la teora de ecuaciones lineales, entre otras disciplinas, a la infor-

mtica, aparecen ecuaciones lineales con coecientes enteros, binarios (0 1), reales o incluso complejos. La denicin de la estructura algebraica decuerpo se introducir ms tarde. Cmo en la mayor parte de los resultados

referentes a la teora de ecuaciones lineales no hace falta hacer distincin

entre los casos en los que los coecientes son elementos del cuerpo R de losnmeros reales o del cuerpo C de los nmeros complejos, a lo largo del ca-ptulo se considerar que los coecientes de las ecuaciones pertenecen a un

cuerpo genrico K, donde K = R C, aunque en algunos casos en los que sedir explcitamente, se consideraran tambin coecientes binarios, es decir,

del cuerpo Z2 = {0, 1} de los nmeros enteros mdulo 2.Se asume que el estudiante ha trabajado en cursos anteriores con elemen-

tos de R2 y R3, a los que se denominan pares ordenados y ternas. Ambosconceptos son casos particulares del concepto de n tupla o elemento delproducto cartesiano de n copias de R, Rn, donde n es un nmero natural, oen general de Kn. As

Kn = {(x1, ..., xn) | i {1, ..., n} xi K}

De este modo, un par ordenado es una 2 tupla (un elemento de K2) yuna terna es una 3 tupla (un elemento de K3).

1.1.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales

Denicin 1.1.1 Una ecuacin lineal en las variables (o incgnitas) x1, ..., xnes una expresin de la forma

a1x1 + ...+ anxn = b

A a1, ..., an K se les denomina coecientes de la ecuacin, y a b Ktrmino independiente.

Observacin 1 Habitualmente, los coecientes a1, ..., an y el trmino inde-pendiente b sern elementos de un cuerpo K (con K = R C). En tal casose dice que la ecuacin anterior es una ecuacin lineal con coecientes en K.

lgebra 11

Observacin 2 Cuando n 3 es usual utilizar las variables x, y y z enlugar de x1, x2 y x3

Ejemplo 1.1.2 Si n = 2 y a1, a2 R, la ecuacin lineal

a1x+ a2y = b (I)

representa una recta en el plano R2, es decir, el conjunto de pares (x, y) quesatisfacen la ecuacin (I) constituyen una recta. Por ejemplo, la ecuaciny 2x = 2 representa la recta

6

-

2

-1 0

Figura 1.1: La recta y=2x+2

Es importante observar que las operaciones que afectan a las variables

que intervienen en las ecuaciones lineales se reducen a multiplicarlas por los

coecientes y sumarlas. As por ejemplo,

3x+ 4y = 24

x1 x2 + 5x3 (2)x4 = 1

(e2)x1 3x2 + x3 x4 = 0son ecuaciones lineales. Sin embargo NO son ecuaciones lineales

3x2 + 4y = 24

x1 x2 + 5x3 2x4 = 1e2x1 3x2 + x3 x4 = 0

12 lgebra

Denicin 1.1.3 Se dice que (1, ..., n) Kn es solucin de la ecuacina1x1 + ...+ anxn = b

si

a11 + ...+ ann = b.

Ejemplo 1.1.4 (x, y, z) = (3, 2,1) es solucin de x + y + z = 4. Por otraparte (x, y, z) = (4, 0, 0) tambin es solucin de dicha ecuacin.

Un sistema de ecuaciones lineales es una sucesin nita de ecuaciones

lineales. Es usual representar los sistemas de ecuaciones lineales verticalmen-

te (i.e., colocando la sucesin de ecuaciones lineales en columna). As, un

sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas se representara pora11x1 + ...+ a1nxn = b1.

.

.

am1x1 + ...+ amnxn = bm

Ejemplo 1.1.5 El sistema x2 + x3 = 12x1 x3 = 2x2 + x3 = 4

es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas.

Denicin 1.1.6 Se dice que (1, ..., n) Kn es solucin del sistema deecuaciones

a11x1 + ...+ a1nxn = b1.

.

.


si

i {1, ...,m} ai11 + ...+ ainn = bio, lo que es lo mismo,

a111 + ...+ a1nn = b1.

.

.

am11 + ...+ amnn = bm

lgebra 13

Es importante tener presente que los sistemas de ecuaciones lineales pue-

den no tener soluciones, o tener ms de una. Por ejemplo, el sistema de

ecuaciones lineales con coecientes en R{x1 x2 = 1x1 x2 = 4no tiene solucin, ya que contiene las ecuaciones de dos rectas distintas y

paralelas.

Los sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solucin, como el del

ejemplo anterior, se denominan sistemas incompatibles.

Los que tienen al menos una solucin, esto es, los sistemas compati-

bles, pueden tener una nica solucin, en cuyo caso se denominan compati-

bles determinados, o ms de una solucin, en cuyo caso, si los coecientes

del sistema son nmeros reales o complejos, el sistema tiene innitas solucio-

nes (como se ver por el teorema 1.2.14), y los sistemas correspondientes se

denominan compatibles indeterminados.

Ejercicio 1.1.1 Encontrar tres sistemas de dos ecuaciones lineales con coe-

cientes en R con dos incgnitas, uno compatible determinado, otro compatibleindeterminado y un tercero incompatible y representar el conjunto solucin

de cada una de las dos ecuaciones lineales que lo forman en el plano R2.Extraer conclusiones.

1.1.2 Sistemas homogneos

Denicin 1.1.7 Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homog-

neo si los trminos independientes de todas las ecuaciones que lo constituyen

son iguales a 0.

Ejemplo 1.1.8 {x1 + x3 = 0

2x1 x2 + x3 = 0es un sistema homogneo de 2 ecuaciones con 3 incgnitas.

Observacin 3 Cualquier sistema de ecuaciones lineales homogneoa11x1 + ...+ a1nxn = 0.

.

.

am1x1 + ...+ amnxn = 0

14 lgebra

es compatible, puesto que (0, ..., 0) Kn es siempre una solucin de dichosistema. A esta solucin se la conoce como solucin trivial. Si un sistema

homogneo tiene soluciones distintas de la trivial, a cualquiera de dichas

soluciones la denominaremos solucin no trivial.

En el captulo 2 demostraremos que un sistema homogneo de ecuaciones

lineales con coecientes en R C satisface exactamente una de las siguientesproposiciones:

El sistema homogneo slo tiene la solucin trivial.

El sistema homogneo tiene innitas soluciones adems de la trivial.

En particular, demostraremos que todo sistema homogneo con coe-

cientes en R C que tenga ms incgnitas que ecuaciones tiene innitassoluciones.

Se pueden comprender e interiorizar los resultados anteriores a travs

de la resolucin de los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1.1.2 Comprobar que el sistema homogneo{x1 + x3 = 0

2x1 x2 + x3 = 0tiene innitas soluciones en R3, despejando las variables x1 y x2 en funcinde x3, y obtener una solucin del sistema para cada valor de x3 considerado.

Ejercicio 1.1.3 Vericar que el sistema{x1 + x2 = 02x1 x2 = 0slo tiene la solucin trivial.

1.1.3 Transformaciones elementales por las.

Introduccin al mtodo de Gauss-Jordan

En esta seccin haremos una primera descripcin del mtodo de Gauss-

Jordan para encontrar las soluciones (si es que existen) de un sistema de

ecuaciones lineales. La justicacin del mtodo y su descripcin precisa se

lgebra 15

realizar en las dos siguientes secciones. En esta seccin tambin daremos

una primera justicacin de la denicin del producto de matrices (i.e., de

porqu el producto de matrices se dene tal y como se dene). Al proceso

de clculo de las soluciones de un sistema de ecuaciones compatible se le

denomina resolucin del sistema.

Si consideramos el sistema de ecuaciones lineales:x1 x2 + x3 = 12x1 + x2 x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 4

podemos resolverlo eliminando sucesvamente una de las incgnitas de dos

de las ecuaciones, despus otra de las restantes y as sucesivamente hasta

conocer el valor de una incgnita, y a partir de ella el de las dems. En este

caso, multiplicando la primera ecuacin por 2 y restndosela a la segunda, y

restando la primera ecuacin a la tercera, obtenemos:x1 x2 + x3 = 13x2 3x3 = 0

3x2 = 3.

A partir de aqu, de la tercera ecuacin se obtiene x2 = 1. Sustituyendo haciaatrs vamos obteniendo sucesvamente el valor del resto de las incgnitas.

En este caso, de la segunda ecuacin obtenemos que x3 = 1, y, conocidos losvalores de x2 y x3, de la primera ecuacin obtenemos que x1 = 1.El mtodo descrito, consistente en ir eliminando las incgnitas de las

ecuaciones una a una mediante el proceso de sumar a una ecuacin otra

multiplicada por un nmero, para, una vez obtenido el valor de una de las

variables, ir sustituyendo hacia atrs, se conoce como eliminacin gaussia-

na.

Si una vez obtenido el valor de una de las variables, en lugar de sustituir

hacia atrs, seguimos sumando a una ecuacin otra multiplicada por un n-

mero, multiplicando ambos miembros de la ecuacin por nmeros adecuados e

intercambiando ecuaciones con el objeto de obtener un sistema de ecuaciones

escalonado en el que en cada ecuacin aparezca nicamente una incgnita,

estaremos aplicando el mtodo conocido como mtodo de Gauss-Jordan.

Una forma de representar sistemas de ecuaciones lineales consiste en uti-

lizar matrices, esto es, tablas de coecientes ordenadas segn un nmero

determinado de las y columnas. De hecho, el mtodo de Gauss-Jordan se

16 lgebra

aplica ms fcilmente sobre la que se denomina matriz ampliada asociada al

sistema que sobre el propio sistema. La matriz asociada al sistemax1 x2 + x3 = 12x1 + x2 x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 4

es por denicin la matriz 1 1 12 1 11 2 1

y la matriz ampliada asociada a dicho sistema es 1 1 1 12 1 1 2

1 2 1 4

La aplicacin del mtodo de Gauss-Jordan sobre dicha matriz para obte-

ner la solucin del sistema de ecuaciones que representa nos dara sucesva-

mente: 1 1 1 12 1 1 21 2 1 4

F2 = F2 2F1F3 = F3 F1

1 1 1 10 3 3 00 3 0 3

F2 F3 1 1 1 10 3 0 3

0 3 3 0

F2 = 13F2 1 1 1 10 1 0 1

0 3 3 0

F3 = F3 3F2 1 1 1 10 1 0 1

0 0 3 3

F3 = 13F3 1 1 1 10 1 0 1

0 0 1 1

F1 = F1 F3 1 1 0 00 1 0 1

0 0 1 1

F1 = F1 + F2 1 0 0 10 1 0 1

0 0 1 1

lgebra 17

La ltima matriz representa, obviamente, que x1 = 1, x2 = 1 y x3 = 1.En la resolucin del sistema anterior hemos aplicado sobre la matriz am-

pliada del sistema lo que se denominan transformaciones elementales por

las. Estas son las siguientes:

1. Sumar a una la otra multiplicada por un nmero: Fi = Fi + Fj2. Multiplicar una la por un nmero distinto de cero: Fi = Fi3. Intercambiar dos las: Fi FjEn cualquier caso, no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen

solucin. Por ejemplo, si consideramos el sistema{x1 x2 = 12x1 2x2 = 4la aplicacin de las transformaciones elementales correspondientes sobre la

matriz ampliada asociada al sistema nos lleva a(1 1 12 2 4

)F2 = F2 2F1

(1 1 10 0 2

)es decir, 0x1 + 0x2 = 2.As pues, el sistema anterior es un sistema incompatible.

Un ejemplo de sistema compatible indeterminado sera el siguiente:x1 x2 + x3 = 12x1 + x2 x3 = 22x1 2x2 + 2x3 = 2Al resolverlo por el mtodo de Gauss-Jordan obtenemos: 1 1 1 12 1 1 2

2 2 2 2

F2 = F2 2F1F3 = F3 2F1

1 1 1 10 3 3 00 0 0 0

F2 = 13F2 1 1 1 10 1 1 00 0 0 0

F1 = F1 + F2 1 0 0 10 1 1 0

0 0 0 0

es decir, x1 = 1 y x2 x3 = 0, o lo que es lo mismo, x2 = x3, con lo que,si escribimos x3 = t, para cada valor de t tenemos una solucin del sistema.Sera solucin del sistema (1, 1, 1), (1, 2, 2), ... en total tendramos innitassoluciones, tantas como posibles valores del parmetro t; esto ocurre porqueestamos trabajando sobre el cuerpo de los nmeros reales, luego t tomavalores en R, que es innito.

18 lgebra

1.1.4 Sistemas equivalentes

La aplicacin sucesiva de transformaciones elementales por las sobre un sis-

tema de ecuaciones lineales (o sobre su matriz ampliada) permite pasar de

un sistema de ecuaciones lineales a otro que, teniendo las mismas soluciones

que el planteado, es ms sencillo de resolver. En esta seccin demostraremos

con todo detalle que esto es efectivamente as. Por otra parte, las transforma-

ciones elementales son reversibles, es decir, si realizando transformaciones

elementales sobre un sistema de ecuaciones lineales S obtenemos un siste-ma de ecuaciones lineales S , podemos recuperar S a partir de S realizandolas transformaciones elementales inversas en el orden adecuado (el ordeninverso del que se ha seguido para pasar de S a S ).

TRASFORMACIN TRANSFORMACIN INVERSA

Fi = Fi + Fj Fi = Fi FjFi = Fi ( 6= 0) Fi = 1

Fi

Fi Fj Fi FjEjercicio 1.1.4 Realizar las transformaciones F3 = F3 F1, F3 F1,F2 =

1

2F2 sobre la matriz ampliada asociada al sistema.

x1 x2 + x3 = 12x1 + 2x2 2x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 4

para obtener la matriz A. Realizar sobre A las transformaciones inversasde las anteriores en el orden adecuado y comprobar que se obtiene la matriz

ampliada asociada al sistema dado.

Denicin 1.1.9 Se dice que dos sistemas de m ecuaciones lineales con nincgnitas son equivalentes si uno de ellos puede obtenerse a partir del otro

realizando sobre el primero una sucesin nita de transformaciones elemen-

tales por las.

Observacin 4 Como ya hemos sealado, habitualmente representaremos a

un sistema de ecuaciones lineales11x1 + ...+ 1nxn = 1.

.

.

m1x1 + ...+ mnxn = m

lgebra 19

por su matriz ampliada:

Am =

11 ... 1n 1...

.

.

.

.

.

.

m1 ... mn m

Mm(n+1)(K),con lo que las transformaciones elementales se realizan sobre las las de esta

matriz.

A la vista de la observacin anterior tiene sentido establecer la siguiente

denicin:

Denicin 1.1.10 Si una matriz A se obtiene realizando transformacioneselementales por las sobre una matriz A, diremos que las matrices A y A

son equivalentes por las.

Observacin 5 A las transformaciones elementales por las, realizadas, bien

directamente sobre las ecuaciones del sistema, bien sobre las las de su matriz

ampliada las denotaremos del mismo modo.

Ejercicio 1.1.5 Vericar que la relacin de equivalencia de matrices en

Mmn(K) es una relacin binaria reexiva, simtrica y transitiva (es decir,es una relacin de equivalencia en el sentido general).

Teorema 1.1.11 Si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces

tienen exactamente las mismas soluciones. En otras palabras, si S y S sonequivalentes,

(1, ..., n) es solucion de S (1, ..., n) es solucion de S .

Demostracin Para demostrar el teorema, es suciente con estudiar el

caso en el que un sistema se obtiene a partir de otro mediante la aplicacin

de una nica transformacin elemental por las. Supongamos que el sistema

considerado es

S

11x1 + ...+ 1nxn = 121x1 + ...+ 2nxn = 2.

.

.

m1x1 + ...+ mnxn = m

20 lgebra

Es obvio que el intercambio de lugar entre dos ecuaciones del sistema no

altera el conjunto solucin del mismo. Por consiguiente la aplicacin de una

transformacin del tipo Fi Fj no altera el conjunto solucin. Adems,teniendo esto presente, podemos restringir el estudio al caso en el que las

transformaciones elementales se aplican nicamente sobre la primera y la

segunda ecuacin, dejando el resto inalteradas. Sea 6= 0, y supongamosque

S

11x1 + ...+ 1nxn = 121x1 + ...+ 2nxn = 2.

.

.

m1x1 + ...+ mnxn = m

Veamos que (s1, ..., sn) solucion de S (s1, ..., sn) solucion de S .Si (s1, ..., sn) es solucin de S, tendremos que

11s1 + ...+ 1nsn = 121s1 + ...+ 2nsn = 2.

.

.

m1s1 + ...+ mnsn = m

con lo que, multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por ,obtenemos que

11s1 + ...+ 1nsn = 121s1 + ...+ 2nsn = 2.

.

.

m1s1 + ...+ mnsn = m

es decir, que (s1, ..., sn) es solucin de S.Veamos ahora el recproco, i.e., que

(s1, ..., sn) solucion de S (s1, ..., sn) solucion de S.Si (s1, ..., sn) es solucin de S

, tendremos que

11s1 + ...+ 1nsn = 121s1 + ...+ 2nsn = 2.

.

.

m1s1 + ...+ mnsn = m

lgebra 21

con lo que, multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por

1,obtenemos que

11s1 + ...+ 1nsn = 121s1 + ...+ 2nsn = 2.

.

.

m1s1 + ...+ mnsn = m

es decir, que (s1, ..., sn) es solucin de S.Supongamos ahora que

S

11x1 + ...+ 1nxn = 1

(21 + 11)x1 + ...+ (2n + 1n)xn = (2 + 1).

.

.

m1x1 + ...+ mnxn = m

Veamos que (s1, ..., sn) solucion de S (s1, ..., sn) solucion de S .Si (s1, ..., sn) es solucin de S, tendremos que

11s1 + ...+ 1nsn = 121s1 + ...+ 2nsn = 2.

.

.

m1s1 + ...+ mnsn = m

con lo que, multiplicando los dos miembros de la primera ecuacin por , ysumando miembro a miembro la primera ecuacin a la segunda obtendremos

11s1 + ...+ 1nsn = 1(21 + 11)s1 + ...+ (2n + 1n)sn = (2 + 1).

.

.

m1s1 + ...+ mnsn = m

Recprocamente, veamos que (s1, ..., sn) solucion de S (s1, ..., sn) solucion

de S.Si (s1, ..., sn) es solucin de S

, tendremos que11s1 + ...+ 1nsn = 1

(21 + 11)s1 + ...+ (2n + 1n)sn = (2 + 1).

.

.

m1s1 + ...+ mnsn = m

22 lgebra

Multiplicando la primera igualdad por y restndosela a la segunda obtene-mos que

11s1 + ...+ 1nsn = 121s1 + ...+ 2nsn = 2.

.

.

m1s1 + ...+ mnsn = m

con lo que (s1, ..., sn) es solucin de S. Esto completa la demostracin delteorema. 2

1.1.5 Estrategia para la aplicacin del mtodo

de eliminacin gaussiana

1. Reordenar las ecuaciones para que en la primera ecuacin la primera

variable x1 tenga un coeciente no nulo, y multiplicar ambos miembros dedicha ecuacin para que el coeciente de dicha variable sea 1.

2. Restar la primera ecuacin multiplicada por un escalar adecuado a las

dems ecuaciones con el objeto de que la primera variable aparezca solamente

en la primera ecuacin.

3. En el caso de que sea posible, reordenar las ecuaciones de la segunda

en adelante con el objeto de que la segunda variable x2 aparezca con uncoeciente no nulo y multiplicar ambos miembros de dicha ecuacin para

que el coeciente de dicha variable sea 1. Si la variable x2 no aparece msque en la primera ecuacin, hacer la operacin anterior con la variable x3 ocon la primera variable que aparezca con un coeciente no nulo en alguna de

las ecuaciones restantes (todas salvo la primera).

4. Restar la segunda ecuacin multiplicada por un escalar adecuado a las

ecuaciones situadas bajo la misma con el objeto de que la segunda variable

(o la que corresponda) no aparezca en ninguna ecuacin situada por debajo

de la segunda.

5. Operando anlogamente con el resto de las ecuaciones, el sistema as

obtenido ser un sistema escalonado, es decir, un sistema que se ajusta a lasiguiente denicin.

Denicin 1.1.12 Se dice que un sistema de ecuaciones es escalonado si

lgebra 23

(E.1)

La primera variable de cada ecuacin tiene 1 comocoeciente (a esta variable la denominaremos variable

principal de dicha ecuacin).

(E.2)

La variable principal de cualquier ecuacin siempre

aparece situada a la derecha de las variables

principales de las ecuaciones previas, y todas las ecuaciones

sin variable principal aparecen colocadas al nal.

La ltima frase de (E.2) puede parecer algo misteriosa. Sin embargo,

al llevar a cabo la estrategia anterior sobre un sistema concreto, podramos

obtener una ecuacin de la forma

0x1 + ...+ 0xn = k

con k = 0 o k 6= 0 (en este ltimo caso el sistema es incompatible). Este tipode ecuaciones debern aparecer siempre en las ltimas las del sistema.

Ejemplo 1.1.13 Los siguientes sistemas de ecuaciones son escalonados:x1 + x2 + 3x3 = 9

x2 + 6x3 = 24x3 = 4{

x1 + x2 + x3 5x4 = 4x3 2x4 = 6.Las matrices ampliadas asociadas a estos sistemas son 1 1 3 90 1 6 24

0 0 1 4

y (

1 1 1 5 40 0 1 2 6

)El conjunto de soluciones de un sistema escalonado es razonablemente

sencillo de obtener. Un sistema de ecuaciones escalonado ser compatible en

todos los casos en los que no aparezca una ecuacin de la forma

0x1 + ...+ 0xn = k, con k 6= 0.

24 lgebra

Suponiendo que el sistema es compatible, a cualquier variable que no sea

la variable principal de una ecuacin la denominaremos variable libre. Si

una variable es variable principal de un sistema de ecuaciones escalonado,

diremos que dicha variable no es libre (o tambin que est determinada).

El siguiente proceso, conocido como sustitucin hacia atrs o remonte,

obtiene todas las soluciones del sistema asignando parmetros a las variables

libres.

Sustitucin hacia atrs en el mtodo de eliminacin gaussiana

Suponiendo que no aparece ninguna ecuacin de la forma

0x1 + ...+ 0xn = k

con k 6= 0 en el sistema escalonado obtenido, comenzamos con la ltimaecuacin del sistema asignado un parmetro diferente a cada variable libre

y expresando la variable determinada por la ltima ecuacin en trminos

de estos parmetros. Despus, operaremos anlogamente con la penltima

ecuacin, asignando diferentes parmetros a cada una de las nuevas variables

libres, y obteniendo el valor de la variable determinada por la penltima

ecuacin. Realizando las mismas operaciones con el resto de las ecuaciones

hasta llegar a la primera, al nal del proceso todas las variables libres tendrn

asignado un parmetro diferente, y todas las variables determinadas estarn

expresadas en trminos de estos parmetros.

Ejercicio 1.1.6 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por

el mtodo de eliminacin gaussiana.:2x1 + x2 + 3x3 = 95x1 + 4x2 + 6x3 = 24x1 + 3x2 2x3 = 4{

3x1 + x2 + x3 5x4 = 45x1 + 2x2 + 4x3 2x4 = 6

1.1.6 Mtodo de Gauss-Jordan

El mtodo de Gauss-Jordan es una extensin del mtodo de eliminacin gaus-

siana, que consiste en eliminar la variable principal de la ecuacin correspon-

diente no solamente en las ecuaciones que aparecen situadas por debajo de

lgebra 25

la misma, sino en todas las ecuaciones del sistema. Por ello, la estrategia es

la misma que la del mtodo de eliminacin de Gauss, con la adicin de las

siguientes instrucciones en el lugar correspondiente:

4. Sustraer adems la segunda ecuacin multiplicada por un escalar ade-

cuado de la primera ecuacin, con el objeto de eliminar la segunda variable

de la primera ecuacin.

5. En cada paso sustraer la ecuacin correspondiente multiplicada por

un escalar adecuado tanto de las ecuaciones situadas por debajo de la misma

como de las situadas por encima, con el objeto de que la variable principal

de cada ecuacin aparezca nicamente en la ecuacin de la que es variable

principal.

Los sistemas de ecuaciones que resultan de la aplicacin del mtodo de

Gauss-Jordan se dice que tienen forma escalonada reducida, es decir:

Denicin 1.1.14 Se dice que un sistema de ecuaciones est en forma es-

calonada reducida si

(E.R.1)

La primera variable de cada ecuacin tiene 1 comocoeciente (a esta variable la denominaremos variable

principal de dicha ecuacin).

(E.R.2)

La variable principal de cualquier ecuacin siempre

aparece situada a la derecha de las variables

principales de las ecuaciones previas, y todas las ecuaciones

sin variable principal aparecen colocadas al nal.

(E.R.3)

La variable principal de cada ecuacin aparece solamente

en la ecuacin de la que es variable principal.

Ejemplo 1.1.15 Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el

mtodo de Gauss Jordan, es decir, obteniendo una forma escalonada reducida

de dicho sistema x1 4x2 + x3 = 2x1 + 3x2 x3 = 1

x1 + 2x3 = 3

Para ello, trabajamos directamente sobre la matriz ampliada asociada al

sistema, teniendo presente en todo momento qu es lo que representan los

coecientes de dicha matriz: 1 4 1 21 3 1 11 0 2 3

F2 = F2 + F1F3 = F3 F1

26 lgebra 1 4 1 20 1 0 30 4 1 1

F2 = (1)F2F1 = F1 + 4F2F3 = F3 4F2

1 0 1 100 1 0 30 0 1 13

F1 = F1 F3 1 0 0 230 1 0 3

0 0 1 13

.La ltima matriz ampliada representa el sistema en forma escalonada

reducida. El sistema es, por tanto, compatible determinado y su solucin es

(23,3, 13).

Ejercicio 1.1.7 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por

el mtodo de Gauss-Jordan:x1 x2 x3 + x4 = 5

x2 x3 + 2x4 = 82x1 x2 3x3 + 4x4 = 18

x1 + 5x2 2x3 = 0x1 3x2 + x3 = 0x1 + 5x2 x3 = 0

1.2 Matrices y operaciones con matrices

Al realizar una primera lectura de los epgrafes siguientes, hasta completar la

totalidad del captulo, se puede pensar que K = R C aunque los resultadosobtenidos sern vlidos para cualquier cuerpo K.Como hemos visto en la seccin anterior, las matrices permiten represen-

tar sistemas de ecuaciones lineales. Veamos una denicin precisa de lo que

es una matriz:

Denicin 1.2.1 Una matriz de orden mn con coecientes en un cuerpoK (por ejemplo K = R C) es una funcin:

A : {1, ...,m} {1, ..., n} K(i, j) ; A(i, j)

Se dice entonces que A es una matriz con m las y n columnas. Esusual representar el coeciente A(i, j) de la matriz A por su correspondiente

lgebra 27

minscula con dos subndices, en este caso aij , y a la matriz completa A poruna tabla en la que en la la `i y en la columna j aparece el elementoaij:

A =

a11 a1n.

.

. aij.

.

.

am1 anm

.As por ejemplo, la matriz A de dos las y dos columnas determinada por

A(1, 1) = 0, A(1, 2) = 1, A(2, 1) = 1, A(2, 2) = 4

se representar por

(0 11 4

).

Al conjunto de matrices de m las y n columnas con coecientes en K lodenotaremos por Mmn(K).

Es obvio que de la denicin anterior se sigue que dos matrices A,B soniguales si son iguales como funciones, es decir, si son del mismo orden (i.e.,

si tienen el mismo nmero de las y de columnas, o lo que es lo mismo A,B Mmn(K) para algnm y n) y (i, j) {1, ...,m}{1, ..., n} A(i, j) = B(i, j).

Ejemplo 1.2.2 Veamos algunos ejemplos de matrices denidas con notacin

funcional:

1. A M33(K) denida por (A(i, i) = 1,i = 1, 2, 3) (A(i, j) =0,i, j {1, 2, 3}, i 6= j) es la matriz: 1 0 00 1 0

0 0 1

2. Podemos utilizar tambin congruencias mdulo un nmero entero so-

bre i y j para denir la matriz; por ejemplo B M33(R) dada por(A(i, j) = 1 i + j 1 mod 2) (A(i, j) = 0 i + j 0 mod 2)se representa por 0 1 01 0 1

0 1 0

28 lgebra

3. Otro ejemplo es la matriz C M33(R) dada por (A(i, j) = 2i13j1),que es 1 3 92 6 18

4 12 36

Recordemos ahora algunas deniciones y veamos otras nuevas:

Si A Mmn(K) se dice que A es una matriz de orden mn. Si m = n,en lugar de escribir Mnn(K), escribiremos Mn(K), y si A Mn(K)diremos que A es una matriz cuadrada de orden n.

Si A Mmn(K), utilizaremos indistintamente la notacin usual aij ola funcional A(i, j) para referirnos al elemento de la matriz A situadoen la la i esima y en la columna j esima. Por ello escribiremos enocasiones A = (aij) Mmn(K) para referirnos a una matriz genricade orden m n. (Obsrvese que a es la minscula de A).

Si A Mm1(K) se dice que A es una matriz columna (de m las). Si A M1n(K) se dice que A es una matriz la (de n columnas). Si A Mmn(K), i {1, ...,m} llamaremos la i-sima de A a lamatriz la de n columnas

Ai = (ai1 ... ain).

Anlogamente, llamaremos columna j-sima de A a la matriz columnade m las

Aj =

a1j...

amj

. Una matriz de particular inters es la matriz identidad a la quedenotaremos por In (hay una para cada valor natural de n). As porejemplo,

I2 =

(1 00 1

), I3 =

1 0 00 1 00 0 1

e I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

lgebra 29

En general la matriz In = (aij) Mn(K) se dene por la condicini, j {1, ...n}, aii = 1 (i 6= j aij = 0). Utilizando la notacinfuncional, In Mn(K) quedara determinada por las condiciones:(i {1, ..., n} In(i, i) = 1) (i, j {1, ..., n} (i 6= j In(i, j) = 0)).

Si A Mmn(K) se denomina matriz traspuesta de A a la matriztA Mnm(K) tal que (i, j) {1, ..., n} {1, ...,m}

tA(i, j) = A(j, i)

(empleando la notacin no funcional, si

tA = (bij), entonces

(i, j) {1, ..., n} {1, ...,m} bij = aji).As por ejemplo, si

A =

1 22 03 1

M32(R),su traspuesta es

tA =

(1 2 32 0 1

)M23(R).

Un mtodo sistemtico para obtener la matriz traspuesta de una matriz

dada consiste en ir leyendo los coecientes por las para sistemtica-

mente escribirlos por columnas.

1.2.1 Suma de matrices

La denicin de suma de matrices es muy natural:

Denicin 1.2.3 Si A,B Mmn(K), la suma de A y B es la matrizA+B Mmn(K) denida por las condiciones

(i, j) {1, ...,m} {1, ..., n} (A+B)(i, j) = A(i, j) +B(i, j)

Ejemplo 1.2.4

1 13 01 2

+ 1 32 0

0 2

= 2 25 0

1 0

30 lgebra

Observacin 6 De la denicin anterior se sigue que para que dos matrices

se puedan sumar deben ser del mismo orden.

Se denomina matriz nula de orden m n a la matriz (0) Mmn(K)denida por las condiciones

(i, j) {1, ...,m} {1, ..., n} (0)(i, j) = 0

As por ejemplo,

(0) M23(C) es la matriz(

0 0 00 0 0

).

Observacin 7 En lo sucesivo tambin escribiremos (0) Mmn(K) pararepresentar a la matriz nula de orden m n.

Denicin 1.2.5 Si A Mmn(K) se denomina matriz opuesta de A a lamatriz (A) Mmn(K) denida por las condiciones

(i, j) {1, ...,m} {1, ..., n} (A)(i, j) = A(i, j) K

As por ejemplo,

1 13 0

1 2

= 1 13 01 2

y

(

2 1 01 1 3

)=

( 2 1 01 1 3

).

Proposicin 1.2.6 Si A,B,C Mmn(K), se verica que:

1. A+B = B + A (propiedad conmutativa de la suma de matrices)2. A+ (B + C) = (A+B) + C (propiedad asociativa)3. A+ (0) = A, (0) + A = A ((0) es el elemento neutro para +)4. A+ (A) = (0), (A) + A = (0) ((A) es la opuesta de A)

lgebra 31

Demostracin Se trata de comprobar, en cada caso, que las matrices si-

tuadas a ambos lados de la igualdad son efectivamente iguales. Demostrare-

mos la primera propiedad y el resto se propone como ejercicio.

Hay que comprobar que

(i, j) {1, ...,m} {1, ..., n} (A+B)(i, j) = (B + A)(i, j)Sea (i, j) {1, ...,m} {1, ..., n}. (A+B)(i, j)= (por denicin)==A(i, j) +B(i, j)=(puesto que la suma de nmeros reales o complejos y,en general, de los elementos de un cuerpo, satisface la propiedad conmutati-

va) =B(i, j) + A(i, j)= (por denicin) =(B + A)(i, j). 2

Por satisfacer las 4 propiedades de la proposicin anterior se dice que lasmatrices de orden m n con coecientes en K tienen estructura de grupoabeliano respecto de la suma. De la matriz (0) se dice que es el elementoneutro del grupo abeliano, y de la matriz (A) se dice que es la matrizopuesta de A.

1.2.2 Producto de matrices

En captulos venideros veremos que la siguiente denicin del producto de

matrices permitir representar la actuacin de una funcin lineal sobre un

elemento como un producto de matrices, hecho que a su vez tendr como

consecuencia el que la composicin de funciones lineales se exprese como un

producto de matrices.

Si consideramos una ecuacin lineal, por ejemplo

2x1 + x2 + 6x3 = 3,

es posible considerar la parte izquierda de la igualdad como el producto de

la matriz de coecientes

(2 1 6)

por la matriz de incgnitas x1x2x3

y escribir

(2 1 6) x1x2

x3

= (3)

32 lgebra

Si la ecuacin anterior forma parte de un sistema, por ejemplo del sistema2x1 + x2 + 6x3 = 35x1 + 4x2 + 6x3 = 24x1 + 3x2 2x3 = 4teniendo en cuenta que de la denicin de matriz se sigue que dos matrices

son iguales si tienen el mismo nmero de las y de columnas y los mismos

coecientes en cada la y columna, resulta que, utilizando la denicin de

producto de matrices anterior, podemos representar el sistema de ecuaciones

mediante un producto de matrices, esto es: 2 1 65 4 61 3 2

x1x2

x3

= 324

4

.En general, el sistema de ecuaciones

a11x1 + ...+ a1nxn = b1.

.

.


puede representarse mediante el producto denido por la expresin:

A

x1...

xn

= b1...

bm

.Claro est que podemos considerar sistemas de ecuaciones con la misma

matriz de coecientes y distinto trmino independiente. Por ejemplo:2x1 + x2 + 6x3 = 35x1 + 4x2 + 6x3 = 24x1 + 3x2 2x3 = 4

y

2x1 + x2 + 6x3 = 15x1 + 4x2 + 6x3 = 1x1 + 3x2 2x3 = 1

.

En ese caso, teniendo en cuenta, por una parte, que las soluciones de uno

no tienen porqu coincidir con las del otro, por lo que denotamos por y1, y2e y3 a las incgnitas del segundo sistema, y por otra, cuando dos matri-ces son iguales, podemos representarlos matricialmente de forma simultnea,

mediante la expresin: 2 1 65 4 61 3 2

x1 y1x2 y2

x3 y3

= 3 124 1

4 1

.

lgebra 33

Esto nos lleva a la denicin de producto de dos matrices. Como observa-

cin previa a la denicin, ntese que en los ejemplos anteriores, para poder

multiplicar la matriz de coecientes por la de incgnitas, era preciso que

el nmero de las de la matriz de coecientes coincidiese con el nmero de

columnas de la matriz de incgnitas.

Denicin 1.2.7 Dadas las matrices A Mmn(K) y B Mnp(K) sedenomina matriz producto de A y B, y se denota por A B a la matriz

A B Mmp(K) tal que

(i, j) {1, ...,m} {1, ..., p} A B(i, j) =n

k=1

A(i, k) B(k, j)

Ejemplo 1.2.8 Dadas las matrices

1 2 01 2 11 1 00 4 3

M43(R) y 1 13 0

1 2

M32(R), su producto es la matriz

1 2 01 2 11 1 00 4 3

1 13 0

1 2

=

7 16 34 115 6

M42(R)

1.2.3 Propiedades del producto de matrices

El producto de matrices no es conmutativo, pues por ejemplo(1 11 1

)(

1 11 1

)=

(2 22 2

)y sin embargo (

1 11 1

)(

1 11 1

)=

(0 00 0

).

Proposicin 1.2.9 El producto de matrices satisface las siguientes propie-

dades:

34 lgebra

1. Es asociativo: A Mmn(K), B Mnp(K) y C Mpq(K),

(A B) C = A (B C)

(y por tanto podemos omitir los parntesis para denotar cualquiera de

estos productos y escribir A B C).

2. Es distributivo respecto de la suma:

A Mmn(K),B,C Mnp(K) A (B + C) = A B + A C

A Mmn(K),B,C Mpn(K) (B + C) A = B A+ C A

3.

A Mmn(K), A (0) = A y (0) A = (0)

Demostracin Antes de dar la demostracin debemos sealar que es usual

emplear el smbolo sumatorio

ni=1

ai en lugar de la expresin a1 + ... + an, lo

que tiene sentido puesto que la suma considerada es asociativa.

1. Sean A Mmn(K) ,B Mnp(K) y C Mpq(K). Las dos matricesA(B C) y (AB)C tienen el mismo orden, ya que ambas pertenecen aMmq(K). Veamos que (i, j) {1, ...,m}{1, ..., q} (A(B C))(i, j) =((A B) C)(i, j) :

lgebra 35

(A (B C))(i, j) =n

k=1

A(i, k) (B C) (k, j) =

=n

k=1

A(i, k) (

ps=1

B(k, s) C(s, j))=

(prop. distributiva en K) =n

k=1

(p

s=1

A(i, k) (B(k, s) C(s, j)))=

(prop. asociativa en K) =n

k=1

(p

s=1

(A(i, k) B(k, s)) C(s, j))=

(prop. distributiva en K) =

ps=1

(n

k=1

A(i, k) B(k, s)) C(s, j) =

=

ps=1

(A B) (i, s) C(s, j) =

= ((A B) C)(i, j)

2. Se demuestra razonando de forma similar al apartado anterior.

3. Ejercicio. 2

Observacin 8 Demostraciones como la anterior se incluyen para que

puedan ser consultadas por los alumnos interesados. En cualquier caso, es

conveniente conocer algunos hechos relativos a la notacin, y a los resultados

derivados del uso de la misma. Por ejemplo, en la proposicin anterior hemos

utilizado la igualdad

nk=1

(p

s=1

A(i, k) B(k, s) C(s, j))=

ps=1

(n

k=1

A(i, k) B(k, s)) C(s, j)

que intuitivamente es evidente, puesto que tanto el producto de nmeros

reales como el de nmeros complejos es conmutativo y distributivo respecto

de la suma. La demostracin de que esta igualdad es vlida es consecuencia

de las siguientes propiedades relacionadas con el smbolo sumatorio, cuya

demostracin tambin se puede hacer por induccin:

36 lgebra

Si {ai}i{1,...,n} y {bj}j{1,...,p} son dos familias de nmeros reales o com-plejos, se verica que n N, p N,

ni=1

(p

j=1

ai bj)=

ni=1

(ai (

pj=1

bj

))Es decir, que

ni=1

(aib1 + + aibp) == (a1b1 + + a1bp) + + (anb1 + + anbp) =

= a1 (b1 + + bp) + + an (b1 + + bp) .Para demostrar la identidad anterior, razonamos por induccin sobre

n.

Base de induccin: hay que probar que si n = 1,

p N1i=1

(p

j=1

ai bj)=

1i=1

(ai (

pj=1

bj

))o lo que es lo mismo, que

p N(

pj=1

a1 bj)= a1

(p

j=1

bj

).

Esta propiedad se demuestra razonando por induccin sobre p : si

p = 1 es obvio que

(p

j=1

a1 bj)= a1 b1 = a1

(1

j=1

bj

). Suponiendo

entonces cierto que

(p

j=1

a1 bj)= a1

(p

j=1

bj

), resulta que

(p+1j=1

a1 bj)

=

(p

j=1

a1 bj)+ a1 bp+1 =

= (por hipotesis de induccion) =

= a1 (

pj=1

bj

)+ a1 bp+1 =

= a1 (

p+1j=1

bj

).

lgebra 37

La demostracin del paso de induccin sobre n se propone comoejercicio para todo aquel alumno interesado en hacerla.

Si {aik}(i,k){1,...,n}{1,...,p} es una familia de nmeros reales o complejos,se verica que

ni=1

(p

k=1

aik

)=

pk=1

(ni=1

aik

)o, lo que es lo mismo,

(a11 + + a1p) + + (an1 + + anp) =(a11 + + a1n) + + (a1p + + anp) .

La demostracin es similar a la del punto anterior.

Ejercicio 1.2.1 Demostrar que la trasposicin de matrices satisface las si-

guientes propiedades:

1. A Mmn(K) t(tA) = A

2. A,B Mmn(K) t(A+B) =t A+t B

3. A Mmn(K),B Mnp(K), t(A B) =t B t A

Ejercicio 1.2.2 Demostrar que A Mmn(K) y B Mnm(K)

A In = A In B = B

(es decir, In deja invariante por el producto a cualquier matriz por la que sepueda multiplicar, sea o no cuadrada).

1.2.4 El producto de una matriz por un escalar

Denicin 1.2.10 Si K y A Mmn(K) se dene la matriz A por lassiguientes condiciones

(i, j) {1, ...,m} {1, ..., n} (A)(i, j) = A(i, j)

Ejemplo 1.2.11 (3) 1 22 0

3 1

= 3 66 09 3

38 lgebra

Ejemplo 1.2.12 Siendo K

(In) =

0 0 00 0 00 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0

Mn(K)

Proposicin 1.2.13 , K A Mmn(K) se verica que

1.B Mnp(K) A (B) = (A) B = (A B)2.B Mmn(K) (A+B) = A+ B3. ()(A) = ()(A) = (A)4. ( + )A = A+ A5. ()A = (A)

Demostracin Ejercicio. 2

Teorema 1.2.14 Todo sistema de ecuaciones lineales con coecientes reales

o complejos o bien no tiene soluciones, o bien tiene exactamente una solucin

o bien tiene una innidad de soluciones.

Demostracin Necesitamos comprobar que si un sistema tiene ms que

una solucin, entonces tiene innitas soluciones. Sea AX = B el sistemadado y s1, s2 dos soluciones distintas (s1 6= s2). Entonces,

As1 = B = As2 y As1 As2 = A(s1 s2) = (0).

Se sigue que s1 s2 es solucin del sistema homogneo AX = 0 y que paratodo K, s3 s1 + (s1 s2) es solucin de AX = B :

As3 = A(s1 + (s1 s2)) = As1 + A((s1 s2)) =

= As1 + A(s1 s2) = As1 = B.Hemos hallado tantas soluciones como elementos en K. Como K es, por hi-ptesis, R o C (que son innitos), obtenemos innitas soluciones. 2

lgebra 39

1.2.5 El anillo de matrices cuadradas Mn(K)Segn hemos visto, el conjunto Mmn(K) de las matrices de m las y ncolumnas sobre un cuerpo K tiene estructura de grupo abeliano respecto dela suma habitual de matrices.

En este apartado vamos a estudiar la estructura algebraica que tiene el

conjunto de lasmatrices cuadradas, Mnn(K), respecto de las operacionesde suma y producto, ya que el producto de matrices es una operacin en

Mnn(K) (el producto de dos matrices cuadradas de dimensin n es unamatriz cuadrada de dimensin n).

Propiedades del producto en Mn(K)

Proposicin 1.2.15 Si A,B,C Mn(K), se verica que:

1. A (B C) = (A B) C (propiedad asociativa del producto de matrices)2. A (B + C) = A B + A C (propiedad distributiva de + respecto de )3. A In = A, In A = A (la matriz In es elemento neutro para ).

Demostracin La demostracin de las propiedades 1 y 2 se ha hecho en uncaso ms general. La demostracin de la propiedad 3 se deja como ejercicio(se trata de ver que las matrices A In y A son iguales y lo mismo con la otraigualdad). 2

Observacin 9 Por tener Mn(K) estructura de grupo conmutativo respectode la suma de matrices y satisfacer las propiedades de la proposicin ante-

rior se dice que el conjunto de matrices cuadradas de orden n, Mn(K), tieneestructura de anillo unitario respecto de la suma y producto de matrices ha-

bituales y elemento unidad la matriz In.

La operacin de producto en Mn(K) permite denir potencias enteras nonegativas de una matriz cuadrada:

Denicin 1.2.16 Si A es una matriz cuadrada, A Mn(K), se denem N

Am = (Am1) Adonde, por convenio de notacin, se asume que A0 = In.

40 lgebra

Observacin 10 No es difcil comprobar que m, r N A Mn(K) sesatisfacen las siguientes propiedades:

1. Am+r = Am Ar2. (Am)r = Amr

Observacin 11 Ntese que como consecuencia de la no conmutatividad del

producto de matrices, si A,B Mn(K) en general tendremos que(A+B)2 = A2 +B2 + A B +B A 6= A2 +B2 + 2A BSin embargo, si A y B conmutan para el producto, es decir, si AB = BA,entonces es obvio que (A+B)2 = A2+B2+2A B y, en general, asumiendopor convenio de notacin que A0 = B0 = In , se verica que m N

(A+B)m =

(m0

)Am B0 +

(m1

)Am1 B + ...+

(mm

)A0 Bm.

Teniendo ahora en cuenta que, siendo K

(In) =

0 0 00 0 00 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0

Mn(K)

y que toda matriz conmuta con la identidad, podemos obtener la siguiente

frmula, vlida A Mn(K), m N :

(A+ In)m =

(m0

)Am +

(m1

)(In)A

m1 + ...+(

mm

)(In)

m

1.2.6 Matrices invertibles

Denicin 1.2.17 Se dice que A Mn(K) es invertible si B Mn(K) talque

A B = In B A = In.Obviamente, si B y B satisfacen las condiciones de la denicin anterior,es decir, si

A B = In B A = In

lgebra 41

y

A B = In B A = Inresulta que

B = B In = B (A B) = (B A) B = In B = B

por lo que dada A Mn(K) a lo sumo hay una matriz B que satisface lascondiciones de la denicin anterior.

Denicin 1.2.18 Si A Mn(K) es invertible, y

A B = In B A = In.

se dice que B es la matriz inversa de A y a dicha matriz la denotaremospor A1.

Observacin 12 En la denicin de matriz invertible, imponemos que el

producto de A por un cierta matriz B, por ambos lados, sea el elemento neu-tro. Hemos de hacerlo as porque el producto de matrices no es conmutativo.

Sin embargo, veremos en el teorema 1.2.22 que es suciente comprobarlo por

uno slo de los dos lados.

Ejemplo 1.2.19 La matriz inversa de la matriz A =

(2 1/22 1

)es la ma-

triz A1 =(

1 1/22 2

).

Proposicin 1.2.20 Sean A,B,A1, , Ap Mn(K). Se verica que :

1. si A,B Mn(K) son invertibles, entonces A B es invertible y

(A B)1 = B1 A1,

2. si A1, , Ap son invertibles, entonces el producto A1 A2 Ap esinvertible y (A1 A2 Ap)1 = Ap1 A21A11,3. si A Mn(K) es invertible, entonces (A) Mn(K) es invertible y

(A)1 = (A1),

42 lgebra

4. si A Mn(K) es invertible, entoncest(A) Mn(K)es invertible y

t (A1) = (tA)1 .

Corolario 1.2.21 Si A Mn(K) es una matriz invertible, se verica que1. A1 es invertible y (A1)1 = A2. m N Am es invertible y (Am)1 = (A1)m3. K, 6= 0 se verica que A es invertible, y (A)1 = 1A1El siguiente teorema arma que si una matriz cuadrada tiene una matriz

inversa a la derecha o a la izquierda, entonces es invertible:

Teorema 1.2.22 Si A,B Mn(K) se verica que:1. A B = In B = A1.2. B A = In B = A1.

Demostracin Probemos 2: suponemos que B A = In, y debemos probarque A B = In.Si B A = In, todo sistema que tenga como matriz asociada A tiene unanica solucin: dado un sistema A X = C, donde C es una matriz columna,multiplicando a ambos lados de la igualdad por B se obtiene:

B (A X) = B CPor la asociatividad del producto de matrices

(B A) X = B CY usando nuestra hiptesis inicial

X = In X = B CEs decir, que si X verica la ecuacin A X = C, necesariamente X = B C.En concreto, denotando con Ijn la columna j-sima de In, el sistema A

X = Ijn tiene una nica solucin B Ijn, que es la columna j-esima de B,que denotamos Bj, para cada j {1, . . . , n}. Es decir, hemos obtenido queABj = Ijn para cada j {1, . . . , n}. Entonces tambin AB = In y podemosescribir B = A1.Para probar 1 suponemos que A B = In. Aplicamos 2 a la matriz B yobtenemos que B A = In. 2

lgebra 43

1.2.7 Matrices elementales y un mtodo para hallar A1

Denicin 1.2.23 Se dice que una matriz A Mn(K) es una matriz ele-mental si es el resultado de realizar una nica transformacin elemental por

las sobre la matriz In.

Ejemplo 1.2.24

(1 00 2

)es una matriz elemental, pues(

1 00 1

)F2 = (2)F2

(

1 00 2

)

Igualmente

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

y 1 0 50 1 0

0 0 1

son matrices elementales, pues

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

F2 F4

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

1 0 00 1 0

0 0 1

F1 = F1 + 5F3 1 0 50 1 0

0 0 1

.Es obvio que si A es una matriz elemental de orden n, la matriz In se puedeobtener realizando una nica transformacin elemental sobre la matriz A (latransformacin elemental inversa).

El siguiente resultado quedar sucientemente vericado tras la realizacin

de la prctica 2 en el aula informtica:

Teorema 1.2.25 Si E es la matriz elemental de orden m que se obtiene alrealizar la transformacin elemental t sobre las las de Im, y A Mmn(K),entonces la matriz resultante de realizar la transformacin t sobre las lasde A es la matriz producto E A.Ejercicio 1.2.3 Vericar el resultado anterior realizando la transformacin

elemental F3 = F3 + 3F1 sobre la matriz 1 4 60 2 10 0 1

.

44 lgebra

Teniendo ahora en cuenta que, segn hemos visto, cualquier transforma-

cin elemental es reversible, y que la inversa de una transformacin elemental

es una transformacin elemental, segn el cuadro que ya establecimos en su

momento

TRANSFORMACIN TRANSFORMACIN INVERSA

Fi = Fi + Fj Fi = Fi FjFi = Fi ( 6= 0) Fi = 1

Fi

Fi Fj Fi Fjresulta que, si denotamos por Pi() a la matriz elemental asociada a la trans-formacin Fi = Fi ( 6= 0), por Sij() a la matriz elemental asociada a latransformacin Fi = Fi + Fj y por Eij a la matriz elemental asociada a latransformacin Fi Fj, tenemos el siguiente corolario del teorema anterior:Corolario 1.2.26 Toda matriz elemental es invertible, y su inversa tambin

es una matriz elemental. Concretamente,

(Sij())1 = Sij()

(Pi())1 = Pi(

1

)

(Eij)1 = Eji

Ejercicio 1.2.4 Verifquese el resultado recogido en el corolario anterior,

multiplicando las matrices

P2(5) =(

1 00 5

)

S13(4) =

1 0 40 1 00 0 1

y

E24 =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

por sus correspondientes inversas y observando que en cada caso el resultado

es la matriz identidad del orden correspondiente.

lgebra 45

Teorema 1.2.27 Si A Mn(K) las siguientes proposiciones son equivalen-tes:

1. A es invertible2. La ecuacin A X = (0) slo tiene la solucin trivial3. A es equivalente por las a la matriz In, es decir,su forma escalonada reducida es la matriz identidad In4. El sistema A X = b es compatible determinado para toda matrizcolumna b Mn1(K) y su nica solucin es X = A1 B.

Ejemplo 1.2.28 Si A Mn(K) y b Mn1(K), entonces el sistema A X = b es compatible determinado para toda matriz columna si y solo siA es invertible. Si A no es invertible o si A no es una matriz cuadrada,podemos todava determinar condiciones sobre la matriz b tales que el sistemaA X = b sea consistente. Por ejemplo, aplicando el mtodo de Gauss-Jordana la matriz ampliada del sistema se obtiene que

x1 + x2 + 2x3 = b1x1 + x3 = b2

2x1 + x2 + 3x3 = b3 1 1 2 b11 0 1 b22 1 3 b3

F2 = F2 F1F3 = F3 F1

1 1 2 b10 1 1 b2 b12 1 3 b3 2b1

F1 = F1 + F2F3 = F3 F2F2 = F2

1 0 1 b20 1 1 b2 + b10 0 0 b3 b2 b1

.Si b3 b2 b1 6= 0 el sistema no es compatible y si b3 b2 b1 = 0 elsistema es equivalente al sistema

{x1 = x3 + b2

x2 = x3 b2 + b1 , que tiene innitassoluciones de la forma {(t+ b2,t b2 + b1, t) : t R} .

Mtodo para determinar la matriz inversa

El teorema anterior permite establecer un mtodo para determinar la inversa

de una matriz invertible. Pues si A es invertible, A es equivalente por las ala matriz In y existen m matrices elementales E1, E2, , Em tales que

Em Em1 ... E1 A = In.

Se sigue que, por el teorema 1.2.22,

46 lgebra

Em Em1 E1 = A1.es decir, recogiendo las dos igualdades anteriores,

In = Em Em1 ... E1 AA1 = Em Em1 ... E1 InEn otras palabras, la sucesin de transformaciones elementales que transfor-

ma la matriz A en la matriz In, tambin transforma la matriz In en la matrizA1, con lo que, siendo t1, ..., tm las transformaciones elementales por lasque permiten obtener In a partir de A, el esquema

A In t1, ..., tm In A1

nos da un mtodo para la obtencin de la inversa de una matriz invertible Apor transformaciones elementales .

Ejemplo 1.2.29 Para calcular la inversa de la matriz

1 1 02 1 02 1 1

pro-

cederamos del siguiente modo

1 1 02 1 02 1 1

1 0 00 1 00 0 1

F2 = F2 + 2F1F3 = F3 + 2F1

1 1 00 1 00 1 1

1 0 02 1 02 0 1

F1 = F1 F2F3 = F3 F2F1 = (1)F1F2 = (1)F2

1 0 00 1 00 0 1

1 1 02 1 00 1 1

obteniendo, por tanto que

1 1 02 1 02 1 1

1 = 1 1 02 1 0

0 1 1

.

lgebra 47

Observacin 13 Ntese que, teniendo en cuenta el resultado obtenido en

el teorema 1.2.27, al ser

1 1 02 1 02 1 1

invertible, el sistema homogneo

x y = 02x+ y = 02x+ y + z = 0slo tiene la solucin trivial.

1.3 Estructuras algebraicas

El lgebra moderna est caracterizada por el estudio de ciertas estructuras

abstractas que tienen en comn una gran variedad de objetos matemticos,

entendiendo por abstraccin el proceso de separar la forma del contenido.

Lo importante del estudio de estas estructuras es que, una vez establecidas

las propiedades que satisfacen, dichas propiedades son satisfechas por todos

los objetos que comparten dicha estructura. En este apartado estudiaremos

algunas de estas estructuras, en particular las de grupo, anillo y cuerpo, como

paso previo al estudio de la principal estructura sobre la que trabajaremos

este curso, la estructura de espacio vectorial, y echaremos una breve mirada

hacia las algebras multignero o tipos abstractos de datos. Este tipo de lge-

bras sern objeto de estudio con mayor nivel de profundidad en la asignatura

de segundo curso Estructuras de datos y de la informacin.

1.3.1 El concepto de operacin

Hablando de manera aproximada, se puede decir que el origen del lgebra

se encuentra en el arte de sumar, multiplicar y elevar a potencias nmeros

enteros.

La sustitucin de nmeros por letras y de las operaciones aritmticas por

el concepto ms general de operacin permite operar con reglas anlogas

a las vistas para los nmeros enteros en el contexto de objetos matemticos

ms generales, como por ejemplo las matrices.

Bajo la envoltura abstracta de la mayora de las teoras axiomticas del l-

gebra (grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, mdulos, ...) se ocultan

problemas concretos cuya resolucin di lugar a dichas deniciones abstrac-

tas, y algunas generalizaciones de gran aplicacin. Entre estas aplicaciones se

encuentran dos de los pilares bsicos de la ingeniera de software: las tcnicas

48 lgebra

de especicacin formal y de vericacin de programas.

Denicin 1.3.1 Siendo A un conjunto no vaco, llamaremos operacin oley de composicin interna sobre A a cualquier funcin

: A A A(x, y) ; (x, y) .

La imagen (a, b) representa el resultado de operar a con b en ese orden.Ntese, pues, que lo que es fundamental en la denicin anterior es que a cada

par de objetos de A se le asigna un unico elemento de A : dicho elemento esel resultado que se obtiene al operar dichos objetos.

Observacin 14 Para denotar operaciones normalmente se emplean smbo-

los no alfabticos del estilo de +, , ,,,,,2,,etc..., y se utiliza conellos notacin inja, es decir:

notacion funcional notacion infija

+(a, b) a+ b(a, b) a b(a, b) a b

As, en lugar de escribir, por ejemplo, +(a,+(a, b)) escribiremos a+(a+b).

Es importante insistir de nuevo en que para poder realizar el producto

de matrices A B, el nmero de columnas de A debe coincidir con el nmerode las de B. Por consiguiente, para poder realizar los dos productos A By B A, donde A Mmn(K) y B Mqp(K), el nmero de columnas deA debe coincidir con el de las de B y recprocamente, esto es, para poderrealizar el producto A B, n = q, y para poder realizar el producto B A,p = m, es decir, A Mmn(K) y B Mnm(K). Si queremos adems queel producto sea una operacin en el sentido de la denicin anterior, slo

tendr sentido hablar del producto de matrices como operacin cuando

consideramos matrices en Mnn(K).

Denicin 1.3.2 Siendo : A A A una operacin, diremos que: es asociativa si x, y, z A x (y z) = (x y) z

lgebra 49

es conmutativa si x, y A x y = y x e A es un elemento neutro de la operacin si

x A x e = x e x = x

a A es un elemento idempotente de la operacin si a a = a

Es evidente que si e, e A son elementos neutros de A para la operacin, entonces e = e (es decir, si una operacin tiene elemento neutro,ste es nico), pues: e e = e, por ser e elemento neutro y e e = e porser e un elemento neutro, de donde e = e.Por otra parte tambin es evidente que si e es el elemento neutro de unaoperacin , e es idempotente, puesto que ee = e por ser e elemento neutrode .

Denicin 1.3.3 Si : A A A es una operacin con elemento neutroe, diremos que a es un elemento simtrico de a si

a a = e a a = e

Proposicin 1.3.4 Siendo : AA A una operacin asociativa y conelemento neutro e, si a, a, a A son tales que a y a son simtricos de aentonces a = a.

Demostracin Si a y a son elementos simtricos de a, entonces se vericaque a = e a = (a a) a = a (a a) = a e = a 2

Ejemplo 1.3.5 Si X es un conjunto, y P (X) es el conjunto de las partesde X, es decir, el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de X,las operaciones

: P (X) P (X) P (X)(A,B) ; A By

: P (X) P (X) P (X)(A,B) ; A B

50 lgebra

satisfacen las propiedades asociativa y conmutativa. El conjunto vaco es el elemento neutro de la operacin , y X es el elemento neutro de laoperacin . Obsrvese que para ninguna de estas dos operaciones existe elelemento simtrico de un elemento dado.

1.3.2 Grupos

Denicin 1.3.6 Sea G 6= y : G G G una operacin. Diremosque G tiene estructura de grupo respecto de , o tambin que el par (G, ) esun grupo, si se verica que:

1. es asociativa2. e G que es elemento neutro para 3. Todo elemento a G tiene simtrico respecto de la operacin .Si adems satisface la propiedad conmutativa, entonces se dice que

(G, ) es un grupo abeliano.De G se dice que es el conjunto subyacente del grupo (G, ).Ejemplo 1.3.7 Si consideramos la suma y producto habituales sobre cada

uno de estos conjuntos, los siguientes pares son grupos abelianos:(R,+), (R{0}, ), (C,+), (C{0}, ), (R+, ), (Z,+), (Q{0}, ) y (Q,+) donde R+ ={x R |x > 0}, Z es el conjunto de los nmeros enteros y Q es el conjuntode los nmeros racionales.

Ejemplo 1.3.8 Otro ejemplo de inters especial para nosotros es el grupo

(Z2,+), donde Z2 = {0, 1} y la operacin + se dene mediante la tabla:+ 0 10 0 11 1 0

es decir, 0+ 0 = 0, 1+ 0 = 1, 0+ 1 = 1, 1+ 1 = 0. Es obvio que el elementoneutro es el 0, y que el opuesto de 1 es el propio 1, y que el grupo es abeliano,pues 1 + 0 = 1 = 0 + 1.

Ejemplo 1.3.9 El conjunto de matrices invertibles de orden n con coe-

cientes en K tiene estructura de grupo (no abeliano en general) respecto delproducto usual de matrices. A dicho grupo se le denomina grupo lineal de

orden n con coecientes en K.

lgebra 51

Ejemplo 1.3.10 Los conjuntos (R, ),(C, ),(Q, ), (Z {0}, ),(N,+), y(Mn(K) {0}, ) no son grupos.

Propiedades de los grupos.

Si (G, ) es un grupo se verica que:

1. Se puede simplicar a derecha e izquierda, es decir:

a, x, y G (x a = y a) x = ya, x, y G (a x = a y) x = y2. Las ecuaciones de la forma x a = b y a x = b tienen solucin nica.Concretamente:

a, b G !x G..a x = ba, b G !x G..x a = b3. El nico elemento idempotente de (G, ) es el elemento neutro e :

a G(a a = a a = e)

4. a, b G (a b = e b = a) donde a es el elemento simtrico de a5. a G (a) = a6. a, b G (a b) = b a

Demostracin

1. Siendo a, x, y G, si xa = ya, necesariamente (xa)a = (ya)a,esdecir, x(aa) = y(aa) , o lo que es lo mismo, xe = ye, con lo queconcluimos que x = y. La otra propiedad se demuestra anlogamente.

2. Siendo a, b, x G, ax = b a (a x) = a b, es decir, (a a)x =a b , y esto es equivalente a que e x = a b, o lo que es lo mismo,a que x = a b.La otra propiedad se demuestra anlogamente.

52 lgebra

3. Esta equivalencia la probaremos demostrando que la dos implicaciones

son V, es decir, probando que para cualquier elemento a G,((a a = a a = e) (a = e a a = a)) . Sea a G tal que aa =a. En ese caso a (a a) = a a, es decir, (a a) a = e con lo quee a = e, es decir, a = e. La implicacin recproca es evidente, pues sia = e, entonces a a = e e = e.4. Siendo a, b G tales que a b = e, necesariamente a (a b) = a e,es decir, (a a) b = a con lo que e b = a, o lo que es lo mismo,b = a.

5. Siendo a G, de a a = e a a = e se sigue que (a) = a.6. Siendo a, b G, (a b)(b a) = ((a b) b)a = (a (b b))a =

a a = e, por lo que, teniendo en cuenta la propiedad 4 que acabamosde ver, b a = (a b) . 2

Observacin 15 Ntese que, como caso particular de los resultados ante-

riores, para el caso en que las operaciones + y sean las operaciones de ungrupo, se tendr que, siendo x e y dos elementos genricos:

(x+ x = x) x = 0(x y = 1) y = x1

(x1)1 = x(x y)1 = y1 x1

es decir,

(( = +) e = 0 x = (x))(( = ) e = 1 x = (x1)).

1.3.3 Anillos y cuerpos

Denicin 1.3.11 Se dice que un conjunto A 6= tiene estructura de anillorespecto de las operaciones + y , o tambin que la 3-tupla (A,+, ) es unanillo si se verica que:

lgebra 53

1. (A,+) es un grupo abeliano

2. satisface la propiedad asociativa

3. es distributiva respecto de + , es decir:x, y, z A ((x (y + z) = x y + x z) ((y + z) x = y x+ z x))Si adems satisface la propiedad conmutativa, se dice que el anillo(A,+, ). es un anillo conmutativo. Finalmente, si tiene elementoneutro 1 A, y 1 6= 0, se dice que el anillo (A,+, ) es un anillounitario.

Ejemplo 1.3.12 (Z,+, ) es un anillo conmutativo y unitario, donde + y son la suma y producto habituales de los nmeros enteros.

Ejemplo 1.3.13 Si denotamos por C[x] al conjunto de polinomios con coe-cientes en C, es decir, al conjunto formado por todas las funciones p : C Ctales que n N{0} y (a0, ..., an) Cn+1 de manera que x C se vericaque

p(x) = anxn + ...+ a1x+ a0

con la suma + y el producto de polinomios habituales, resulta que (C[x],+, )es un anillo conmutativo y unitario. Con vistas a recordar las operaciones,

si por ejemplo consideramos los polinomios p, q C[x] ,tales que x Cp(x) = 2x2 + x 5 y q(x) = 3x 4, tendremos que

(p+ q)(x) = p(x) + q(x) =(2x2 + x 5)+ (3x 4) = 2x2 + 4x 9y

(p q)(x) = p(x) q(x) = (2x2 + x 5) (3x 4) = 6x3 5x2 19x+ 20.Ejemplo 1.3.14 Segn hemos visto, (Mn(K),+, ) es un anillo no conmu-tativo y con elemento unidad In, siendo + y la suma y producto de matriceshabituales.

Denicin 1.3.15 Siendo (A,+, ) un anillo, se dice que a A{0} es undivisor de cero si b A {0} tal que a b = 0 b a = 0.

54 lgebra

Ejemplo 1.3.16 Es fcil comprobar que (Mn(K),+, ) tiene divisores de ce-ro. As por ejemplo(

1 11 1

)(

1 11 1

)=

(0 00 0

)Denicin 1.3.17 Siendo (A,+, ) un anillo unitario, se dice que a A esinvertible (o inversible) si existe un elemento b A tal que (a b = 1 b a =1). En tal caso, es obvio que b es el elemento inverso de a, y por tantoescribiremos b = a1.

Propiedades de los anillos

Si (A,+, ) es un anillo se verica que:

1. a A (a 0 = 0 0 a = 0)

2. a, b A (a (b) = (a b) (a) b = (a b))Si adems (A,+, ) es unitario, tambin se verica que:

3. Si a,b A son inversibles, entonces ab es inversible y (a b)1 = b1a1

4. Si a A es inversible, entonces (a) es inversible y (a)1 = (a1)

5. Si a A es un divisor de cero, entonces a no es inversible.

Demostracin

1. Demostramos la primera de las dos propiedades: dado a A, a 0 =a (0 + 0) = a 0 + a 0, y puesto que al ser (A,+) un grupo, el nicoelemento idempotente es el 0, conclumos que a 0 = 0

2. Demostramos la primera de las dos propiedades: siendo a, b A,

0 = a 0 = a (b+ (b)) = a b+ a (b)

y en consecuencia a(b) = (a b) por la propiedad 4 de los grupos,aplicada a la operacin de suma.

lgebra 55

3.

(a b) (b1 a1) = ((a b) b1) a1 == a (b b1) a1 = a a1 = 1 y

(b1 a1) (a b) = ((b1 a1) a) b == b1 (a1 a) b = b1 b = 1

4. Por la propiedad 2,

(a) ((a1)) = ((a) (a1)) = ((a a1)) = (1) = 1(a1) (a) = (((a1)) a) = ((a1 a)) = (1) = 15. Razonamos por reduccin al absurdo: si a A es un divisor de ce-ro, existir un elemento b 6= 0 tal que a b = 0 o tal que b a = 0.Pero puesto que a tiene inverso, si a b = 0, entonces por una partea1 (a b) = a1 0 = 0, pero tambin a1 (a b) = (a1 a) b = b, esdecir, b = 0 (contradiccin). Si b a = 0 se razona anlogamente. 2

Observacin 16 Las matrices invertibles son los elementos invertibles del

anillo Mn(K). As pues, todas las propiedades vistas para los elementos in-vertibles de un anillo genrico, son vlidas para el anillo considerado

(Mn(K),+, ). En particular, si A,B Mn(K) son invertibles, entonces ABes invertible y (A B)1 = B1 A1, y si A Mn(K) es invertible, entonces(A) Mn(K) es invertible y (A)1 = (A1).

Ejercicio 1.3.1 Probar que si (A,+, ) es un anillo unitario, y a, b, c Ason tales que a b = 1 y c a = 1, entonces necesariamente b = c. (Indicacin:desarrllese la igualdad b = 1 b = ...)

Proposicin 1.3.18 Si (A,+, ) es un anillo sin divisores de cero se vericaque

a, b, c A ((a b = a c a 6= 0) (b = c))

y

a, b, c A ((b a = c a a 6= 0) (b = c))

56 lgebra

Demostracin Si a, b, c A son tales que a b = a c con a 6= 0, tendremosque a b + ((a c)) = 0, o lo que es lo mismo, a b + (a (c)) = 0, con loque, por la propiedad distributiva, a (b + (c)) = 0, y puesto que a 6= 0,necesariamente (b+ (c)) = 0, es decir, b = c. 2

Denicin 1.3.19 Se dice que una terna (K,+, ) es un cuerpo, o tambinque K tiene estructura de cuerpo respecto de las operaciones + y si (K,+, )es un anillo conmutativo y unitario y adems todos los elementos de K{0}son inversibles.

Ejemplo 1.3.20 (R,+, ), (C,+, ) y (Q,+, ) son cuerpos, siendo en cadacaso las operaciones + y la suma y el producto habituales considerados sobrecada uno de esos conjuntos.

Ejemplo 1.3.21 Otro ejemplo de inters especial para nosotros es el cuerpo

(Z2,+, ), donde Z2 = {0, 1}, y las operaciones + y se denen mediante lassiguientes tablas.

+ 0 10 0 11 1 0

0 10 0 01 0 1

Es decir, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0, y 0 1 = 1 0 = 0,1 1 = 1.Proposicin 1.3.22 Si (K,+, ) es un cuerpo, y a, b K son tales quea b = 0, necesariamente a = 0 b = 0 (un cuerpo no tiene divisores de locero).

Demostracin Si a b = 0 y a 6= 0, entonces, puesto que a K {0}, atiene inverso por lo que, por una parte a1 (a b) = a1 0 = 0, y por otraa1 (a b) = (a1 a) b = 1 b = b, con lo que b = 0 2

Observacin 17 Como consecuencia de la proposicin anterior, si (K,+, )es un cuerpo, entonces (K,+, ) no tiene divisores de cero. El recproco ob-viamente no es cierto. (Z,+, ) es un ejemplo de anillo sin divisores de ceroque no es cuerpo.

lgebra 57

1.3.4 Introduccin a los Tipos Abstractos de Datos

Las estructuras de datos y los tipos de datos son conceptos fundamentales

en el mundo de la programacin y de la especicacin de sistemas de soft-

ware. El concepto de estructura de datos se usa comnmente para referirse

a un conjunto de datos organizados de un cierto modo, como por ejemplo,

colocados en una secuencia o en una tabla.

Junto con el conjunto de datos hay que considerar denidas una serie de

operaciones necesarias para obtener la informacin y actualizarla. Pero estas

operaciones no estn necesariamente denidas sobre objetos de la misma

naturaleza; por ejemplo, entendiendo por pila un dispositivo que almacena

datos, caracterizado por el hecho de que el primer dato que se puede extraer

es el ltimo que se ha almacenado, resulta que la operacin almacenar un

elemento en una pila est denida del siguiente modo

push : PilaDato Pilas

en el sentido de que el par formado por una pila y un dato (P, d) nos da comoresultado de aplicarle la operacin push una nueva pila obtenida aadiendoel dato d a la pila p.De forma anloga, la operacin extraer el ltimo elemento almacenado

de una pila (operacin que habitualmente se denota por pop) es la funcin

pop : Pila Pila

tal que pop(P ) es la pila obtenida a partir de P eliminando el ltimo datoalmacenado en P.En esta seccin el concepto de operacin no ser, pues, equivalente al

de ley de composicin interna, pues en principio nos podemos referir a

operaciones entre objetos de distinta naturaleza. As pues, las operaciones

a las que nos referimos en este apartado sern operaciones generalizadas,

entendidas como funciones de un producto cartesiano de conjuntos a otro

conjunto.

En ciertas ocasiones, por ejemplo, para disear un algoritmo o un sistema

de software, resulta ms cmodo e interesante trabajar con una representa-

cin abstracta de los datos que sea independiente de la forma en la que estn,

o van a ser, implementados en el ordenador.

Una forma de representar las propiedades abstractas de un conjunto de

datos consiste en utilizar ecuaciones a modo de axiomas, de manera que dos

58 lgebra

tipos de datos diferentes son considerados como iguales (o si se preere, con

la misma estructura) si ambos satisfacen las mismas ecuaciones. Desde ese

punto de vista abstracto, ambos tipos de datos se diferenciaran nicamente

en el nombre de los datos bsicos y de las operaciones. La bsqueda de una

representacin abstracta comn para tipos de datos similares nos lleva a la

denicin del concepto de tipo abstracto de datos :

Denicin 1.3.23 Un tipo abstracto de datos (TAD) es una cudrupla

(Tip, Cons,Op,Ec)

en la que Tip es el conjunto de tipos de datos del TAD, Cons es el conjunto

de constantes o datos bsicos del TAD, Op es el conjunto de operaciones

(generalizadas) y Ec el conjunto de las ecuaciones.

A los tipos abstractos de datos tambin se les conoce en la literatura como

lgebras multignero o lgebras multitipo.

Observacin 18 La mayora de los lenguajes de programacin tratan las

variables y las constantes de un programa como instancias de un tipo de

dato.

Ejemplo 1.3.24 Como ya hemos dicho, una pila, en el mbito de la infor-

mtica o las ciencias de la computacin es un dispositivo en el que los datos

son almacenados en secuencia, de manera que en cada paso nicamente es

posible acceder al ltimo dato almacenado (top) (este modo de acceso a los

datos que caracteriza al dispositivo de almacenamiento pila es conocido co-

mo lifo, abreviatura de last in-rst out). Este tipo de dispositivo aparece

en muchas ocasiones, por ejemplo, en el almacenamiento de informacin en

variables que aparecen en programas con bucles anidados, en la evaluacin de

expresiones e incluso en la ejecucin de procedimientos recursivos. Las ope-

raciones consideradas sobre una pila son la de almacenamiento (push), que

coloca un nuevo dato encima de la pila, la extraccin del ltimo dato alma-

cenado (pop) y la visualizacin del elemento situado en la parte superior de

la pila (top). La constante newstack representa la pila vaca y que es del

tipo PILA, y la constante error del tipo ERROR, nos permitir representar

la situacin (mensaje de error) que se produce cuando miramos cual es el

elemento situado en la parte superior de la pila vaca. Por consiguiente, el

lgebra 59

modelo PILA queda especicado como tipo abstracto de datos del siguiente

modo:

PILA =1. Tipos : PILA,DATO,ERROR

2. Constantes :

{error ERROR,newstack PILA

3. Operaciones :

push : PILADATO PILApop : PILA PILAtop : PILA DATO ERROR

4. Ecuaciones:

p PILA, a DATOpop(push(p, a)) = ppop(newstack) = newstacktop(push(p, a)) = atop(newstack) = error

As por ejemplo, la pila

a3a3a1

se representara en este modelo por:

push(push(push(newstack, a1), a3), a3).

Ejemplo 1.3.25 Teniendo en cuenta que un semigrupo es un conjunto do-

tado de una ley de composicin interna asociativa, y que un monoide es un

semigrupo con elemento neutro, sus especicaciones como tipos abstractos de

datos seran las siguientes:

SEMIGRUPO =1. Tipos: ELEM2. Constantes:3. Operaciones: : ELEM ELEM ELEM4. Ecuaciones:

{ x, y, z ELEMx (y z) = (x y) z

MONOIDE = SEMIGRUPO +Constantes: e ELEM

Ecuaciones:

x ELEMx e = xe x = x

60 lgebra

Ejercicio 1.3.2 En el mbito de las ciencias de la computacin una cadena

o string es una secuencia de items (datos) de algn conjunto (o dominio)

de datos. En trminos matemticos una cadena es una palabra a1...an delongitud n 0 formada con letras de un alfabeto dado. Para n = 0 setrata de la cadena vaca (a la que en su momento denotamos por ) y paran 1 los elementos a1, ..., an pertenecen al mismo conjunto o alfabeto A. Elejercicio consiste en construir un modelo de tipo abstracto de datos al que

denominaremos cadena o string, teniendo en cuenta que hay que consi-

derar los datos y las cadenas de datos de un conjunto A = {a1, ..., ak}, quelas cadenas son elementos del conjunto A (conjunto de todas las cadenaso palabras denidas sobre el alfabeto A o lenguaje universal sobre A), quehay que considerar la palabra vaca como una constante. Como operaciones

sobre las cadenas consideramos las siguientes: construye, que a partir deun elemento de A construye una lista de longitud 1, la operacin concat,denida sobre pares de palabras por concat(a1...an, b1...bm) = a1...anb1...bm, ylas operaciones iaade (iadd) y daade (dadd) que aaden, respectivamente,

un elemento a la izquierda o a la derecha de una cadena dada.(Nota: Son

sucientes 5 ecuaciones).

1.4 Ejercicios

1.4.1 Ejercicios resueltos

1. Representar por su matriz ampliada y resolver por el mtodo de Gauss-

Jordan cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales :2x1 + x2 + 3x3 = 95x1 + 4x2 + 6x3 = 24x1 + 3x2 2x3 = 4, {

3x1 + x2 + x3 5x4 = 45x1 + 2x2 + 4x3 2x4 = 6x1 x2 + x3 x4 = 0

2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 0x1 x2 + 2x3 2x4 = 05x1 + 5x2 + 9x3 + 9x4 = 0

lgebra 61

2. Considere el sistema de ecuacionesx+ y + 2z = a

x+ z = b2x+ y + 3z = c

Demuestre que para que este sistema sea compatible, a, b y c deben

satisfacer c = a+b.

3. Resuelva cada uno de los sistemas siguientes por eliminacin de Gauss-

Jordan:

a) 2x1 3x2 = 22x1 + x2 = 13x1 + 2x2 = 1

b) 3x1 + 2x2 x3 = 155x1 + 3x2 + 2x3 = 03x1 + x2 + 3x3 = 1111x1 + 7x2 = 30c)

4x1 8x2 = 123x1 6x2 = 9

2x1 + 4x2 = 6

4. Para qu valores de a el sistema que sigue no tiene soluciones? Tiene

exactamente una solucin? Tiene innidad de soluciones?x+ 2y 3z = 43x y + 5z = 2

4x+ y + (a2 14)z = a+ 2

5. Calcular las inversas de la siguientes matrices:

A =

(3 15 2

)B =

(2 34 4

)C =

(2 00 3

)

62 lgebra

6. Verique que las matrices A y B de

MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003

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