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Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Determinantes.
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Novembro de 2018
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 Como calcular determinantes;
2 Algumas aplicacoes dos determinantes.
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Determinante
Problemas
1 E possıvel saber se uma matriz quadrada A e inversıvel semdeterminar A−1?
2 E possıvel determinar se um sistema linear tem solucao unicasem tentar resolve-lo, mas conhecendo sua matriz decoeficientes A?
Essas duas perguntas podem ser respondidas usando o
determinante da matriz A.
O determinante e um numero real associado a uma matrizquadrada, e e representado por
|A| ou det(A).
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Determinantes de matrizes 1× 1 e 2× 2
Determinante de matriz 1 × 1
O determinante de uma matriz A = [a11] e a11.
ex: Se A = [ 8 ], entao det(A) = 8.
Determinante de matriz 2 × 2
O determinante de uma matriz A =
[a11 a12
a21 a22
]e dado por
∣∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
+−
Ex: Se A =
[3 25 1
], det(A) = 3 · 1− 2 · 5 = 3− 10 = −7
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Determinantes de matrizes 3× 3
Determinante de matriz 3 × 3: solucao pela Regra de Sarrus:
Ao lado direito da matriz, anexe uma copia das colunas 1 e 2.
Calcule os produtos indicados pelas setas da figura abaixo.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
+ + +− − −Some os produtos das setas azuis e subtraia os produtos dassetas vermelhas.
det(A) =a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a33
−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Exemplo
Calcule o determinante de B =
4 2 −1−2 3 0
1 −6 5
4 2 − 1 4 2
−2 3 0 −2 3
1 − 6 5 1 −6+ + +− − −
det(B) = 4 · 3 · 5 + 2 · 0 · 1 + (−1) · (−2) · (−6)
−(−1) · 3 · 1− 4 · 0 · (−6)− 2 · (−2) · 5
det(B) = 60 + 0− 12 + 3 + 0 + 20 = 71
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Determinantes de matrizes n × n
O determinante de uma matriz An×n (com n ≥ 2) e dado por
n∑j=1
a1j · (−1)1+j · D1j oun∑
i=1
ai1 · (−1)i+1 · Di1
em que
Dij , chamado menor complementar do elemento aij e odeterminante da matriz obtida eliminando-se a linha i e acoluna j de A;
o termo (−1)i+j · Dij e chamado cofator de aij .
Ou seja, o determinante e dado pela soma dos elementos da 1a
linha i (ou 1a coluna) pelos seus cofatores.
Podemos usar outra linha (ou coluna) da matriz A, em lugar da 1a.
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Exemplo: Determinante de uma matriz 4× 4
1 − 2 0 4− 2 0 3 − 1
5 − 4 1 2− 4 3 − 2 1
= 1 · (−1)1+1 · D11 + (−2) · (−1)1+2 · D12 +
0 · (−1)1+3 · D13 + 4 · (−1)1+4 · D14
Det = 1 · (−1)2 ·0 3 −1
−4 1 2
3 −2 1
− 2 · (−1)3 ·−2 3 −1
5 1 2
−4 −2 1
+ 0 · (−1)4 · D13 + 4 · (−1)5 ·−2 0 3
5 −4 1
−4 3 −2
Det = 1 · 1 · 25 + (−2) · (−1) · (−43) + 0 + 4 · (−1) · (−13) = −9
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Propriedades do determinante
Propriedades
a) Se uma linha ou coluna da matriz so contem zeros, odeterminante e zero.
A =
∣∣∣∣ 0 20 1
∣∣∣∣ = 0 · 1− 2 · 0 = 0
b) det(AT ) = det(A)
c) det(A−1) = 1/det(A)
d) det(AB) = det(A) · det(B)
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Descobrindo se um sistema tem solucao unica
Teorema
Um sistema com matriz de coeficientes A tem solucao unica se esomente se det(A) 6= 0.
Exemplo: Verifique se o sistema abaixo tem solucao unica3x +2y −z = 4x −y +2z = 2
5x +3z = 8∣∣∣∣∣∣3 2 −11 −1 25 0 3
∣∣∣∣∣∣ = −9 + 20 + 0− 5− 0− 6 = 0
Como det(A) = 0 o sistema nao tem solucao unica(pode ser insoluvel ou ter infinitas solucoes)
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Descobrindo se uma matriz e inversıvel
Teorema
Uma matriz quadrada A tem inversa se e somente se det(A) 6= 0.
Exemplo: Verifique se a matriz abaixo e inversıvel
A =
1 4 −30 2 13 8 6
∣∣∣∣∣∣
1 4 −30 2 13 8 6
∣∣∣∣∣∣ = 12 + 12 + 0 + 18− 8− 0 = 34
Como det(A) 6= 0 a matriz A tem inversa
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Encontrando a area de um triangulo
Teorema
Dado um triangulo ABC comvertices A(xA, yA), B(xB , yB) eC (xC , yC ) no plano cartesiano, aarea de ∆ABC e dada por
1
2|det(M)|
em que
M =
xA yA 1xB yB 1xC yC 1
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Encontrando a area de um triangulo
Exemplo
Encontre a area do trianguloabaixo
Nesse caso.
M =
−2 −1 12 3 14 1 1
−2 −12 34 1
det(M) = −6−4 + 2−12 + 2 + 2
det(M) = −16
Area =1
2| − 16| = 8.
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Encontrando a equacao da reta
Teorema
A reta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) e descrita pelaequacao ∣∣∣∣∣∣
x y 1x1 y1 1x2 y2 1
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Observe que isso e equvalente a pedir que a area do triangulo comvertices (x , y), (x1, y1) e (x2, y2) seja igual a zero.
Exemplo: Encontrar a equacao que passa por (−2, 3) e (4,−1).∣∣∣∣∣∣x y 1−2 3 1
4 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = 3x + 4y + 2− 12 + x + 2y = 0
A equacao e 4x + 6y − 10 = 0, ou 4x + 6y = 10
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Exercıcio 1
Problema
Calcule o determinante da matriz abaixo.
A =
[2 −34 8
]
28
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Exercıcio 2
Problema
Calcule o determinante da matriz abaixo.
A =
5 2 −12 4 36 0 −5
−20
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Exercıcio 3
Problema
Seja A uma matriz tal que det(A) = −5. Nesse caso, det(A−1)vale
A) 5
B) −5
C) 1/5
D) −1/5
E) −5− 1 = 6
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios
Exercıcio 4
Problema
O sistema abaixo tem solucao unica?4x −y +2z = 3x +2y +3z = −2
4y +5z = 6
Sim, pois det(A) = 5, ou seja, det(A) 6= 0
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Exercıcio 5
Problema
Determine a area do triangulo com vertices A(−2, 0), B(3,−1) eC (2, 4).
Area = 12
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Exercıcio 6
Problema
Determine a equacao da reta que passa pelos pontos A(−1,−2) eB(3, 2).
−4x + 4y + 4 = 0