Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 1 --

MA1 Matemàtiques 1

4t lliurament: Els decimals. Ús de la calculadora Aquesta unitat aborda el treball amb nombres decimals i l’ús de la calculadora. Un nombre racional el podem expressar amb forma de fracció (és el que hem vist al lliurament anterior) o en forma decimal (ho veurem en aquest lliurament). Índex 1. Ús de la calculadora 2. El valor de posició de les xifres 3. Representació gràfica 4. Ordenació 5. Aproximació de nombres decimals (truncament, arrodoniment) 6. Algorismes de la suma, diferència, producte, divisió de dos nombres decimals 7. Pas de fracció a decimal: decimal finit i decimal periòdic 8. Pas de decimal finit a fracció. Pas de decimal periòdic a fracció (opcional) 9. Annex: solucionari 1. Ús de la calculadora En la realització dels càlculs matemàtics és important saber realitzar els càlculs elementals de forma manual sense l'ajut de cap estri més enllà del llapis i el paper. Així mateix quan els càlculs són més complicats disposem actualment d'eines altament eficaces que faciliten aquesta tasca: calculadores, ordinadors, fulls de càlcul i altres programes específics. És important, a aquest nivell del GES, conèixer el funcionament de les calculadores de butxaca que poden ser una important eina d'ajut quan es treballa en l'àmbit de les matemàtiques, la ciència i la tecnologia. Són especialment útils quan s'han de realitzar càlculs amb nombres decimals que són molt tediosos si s'han de realitzar a mà. A l'examen d'aquest mòdul M11 està permesa la utilització de la calculadora de butxaca, però no del telèfon mòbil que sovint inclouen una petita calculadora com una de les seves prestacions. Cal precisar que es pot utilitzar la calculadora a l'examen però no és necessària ja que els càlculs a realitzar es poden fer, sense dificultat, de forma manual. Els ordinadors personals inclouen habitualment un programa Calculadora que et pot ser útil si quan estàs treballant no tens a mà una calculadora de butxaca. L'entorn Windows inclou la calculadora dins del menú de programes "Accessori" o "Accesorios". A aquesta calculadora farem referència posteriorment dins d'aquest document. La calculadora és una eina potent que ens pot ser molt útil si sabem utilitzar-la i la utilitzem correctament. Però pot tenir uns efectes contraris si no som prou hàbils en la seva utilització. És important ser un usuari "crític" d'aquesta eina i no donar per vàlid qualsevol resultat donat per la calculadora, ja que amb una mala utilització, podem obtenir resultats poc coherents amb el problema que volem resoldre. 1.1 Calculadores jerarquitzades i no jerarquitzades Amb aquest títol una mica críptic abordem un tema bàsic que cal conèixer respecte a l'ús de les calculadores de butxaca. Et proposem la realització d'un petit càlcul amb la calculadora que tinguis ara disponible, el càlcul de

2 + 3 x 4

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 2 --

Com ja saps aquí tenim dues operacions combinades, una suma i un producte, i les regles de càlcul ens indiquen que una d'elles, el producte, té prioritat respecte a l'altra, la suma. Seguint aquest criteri el resultat serà

2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14 En el cas de no tenir present aquesta regla bàsica, el resultat erroni seria:

2 + 3 x 4 = 5 x 4 = 20 Si utilitzes la teva calculadora per realitzar els càlculs teclejant directament la seqüència de tecles:

Quin serà el resultat? Sorprenentment unes calculadores donaran 14, com a resultat, i d’altres 20.

I, encara més sorprenent, la mateixa calculadora del Windows et pot donar dos resultats diferents depenent de com estigui configurada. A la figura anterior a la part esquerra tenim la calculadora de Windows en format ampliat (Visualització | Científica) i la calculadora ha realitzat els càlculs tenint present la prioritat dels operadors. El resultat és 14. Es diu que és una calculadora jerarquitzada i que té present la jerarquia o prioritat dels operadors. A la figura de la dreta podem veure la mateixa calculadora però en format reduït (Visualització | Estàndard) i la calculadora ha realitzat els càlculs sense tenir present la prioritat dels operadors. El resultat és 20. Es diu que la calculadora és no jerarquitzada i que no té present la prioritat dels operadors. En aquest cas hem de ser nosaltres qui hem de tenir cura d'aquest aspecte i donar les ordres de càlcul d'una forma adequada:

i obtindrem a la pantalla un resultat parcial

si continuem amb la suma obtindrem el resultat final No podem dir quan obteníem 20 com a resultat que la calculadora hagués funcionat malament, només que havia funcionat d'una manera diferent. És responsabilitat nostra conèixer quin tipus de calculadora estem utilitzant i fer-ne un ús adequat per tal d'obtenir uns resultats correctes al realitzar els càlculs.

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 3 --

Recorda: la prova és molt ràpida i concloent. Si al teclejar 2+3x4 ens dóna 14, la calculadora es preocupa de la prioritat dels operadors; si ens dóna 20 la calculadora farà els càlculs d'una forma seqüencial i hem de ser nosaltres els que portem el control de la prioritat dels operadors en el moment de realitzar la cadena de càlculs. 1.2 Els elements bàsics de la calculadora Per realitzar els càlculs, els elements bàsics són les tecles dels dígits:

les tecles de les operacions bàsiques suma, resta, producte i divisió:

la tecla = (igual) per finalitzar la seqüència de càlculs i obtenir el resultat:

La coma per tal de separar la part entera dels decimals:

que molt freqüentment és un punt, en lloc de la coma, ja que és el sistema seguit als països anglosaxons. Les tecles per netejar l'última dada entrada (CE : "clear entry" en anglès netejar entrada) o totes les dades introduïdes i començar de nou (C: "clear" en anglès netejar):

La tecla per canviar el signe d'un valor de positiu a negatiu o a l'inrevés (no confondre amb el operador de resta "- " ) :

1.3 La memòria per emmagatzemar dades La majoria de calculadores, per elementals que siguin, disposen d'una memòria on poder emmagatzemar resultats parcials dels càlculs sense necessitat d'apuntar-los en un paper i teclejar-los de nou en el moment en que siguin necessaris. Les tecles més habituals són:

per netejar el contingut de la memòria (MC: "memory clear" en anglès netejar memòria).

per anotar a la memòria el valor que tinguem a la pantalla (MS: "memory set" en anglès assignar a la memòria).

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 4 --

per recuperar el contingut de la memòria i copiar-lo a la pantalla (MR: "memory recall" en anglès recuperar de la memòria).

sumar a la memòria el valor de la pantalla. Permet utilitzar la memòria com a "acumulador" sumant resultats parcials i recuperant al final del procés la suma total. 1.4 Altres funcions incorporades Addicionalment a les funcions bàsiques anteriors les calculadores, inclosos els models més elementals, incorporen habitualment altres funcions per calcular. Fem aquí referència únicament a les més habituals.

que calcula el recíproc d'un valor (per exemple 1/5 a partir del 5).

ó que calcula l'arrel quadrada d'un valor (sqrt: "square root" en anglès arrel quadrada).

per calcular amb percentatges (%). 2. El valor de posició de les xifres A la vida diària estem acostumats a utilitzar els nombres decimals, principalment en algunes situacions concretes com quan treballem amb diners (25,43 € 25 euros i 43 cèntims d'euro) o distàncies (23,423 km 23 km i 423 mil·lèsimes de km o, alternativament, 423 metres). Els nombres decimals s'expressen amb dues parts la part entera (25) i la part decimal (43) separades por una coma: 25,43 Nota: amb certa freqüència podem veure treballant amb ordinador o amb aparells de mesura el punt en lloc de la coma per separar la part entera de la part decimal. Aquesta situació és deguda a la utilització d'aquesta convenció en el mon anglosaxó. En aquesta quinzena es pretén aprofundir una mica en el treball amb nombres decimals basat en el sistema decimal i el diferent significat de les xifres en funció de la seva posició. A la primera quinzena, treballant amb nombres naturals, vam analitzar ja aquest aspecte:

Unitats Desenes

Centenes Milers

Desenes de milers Centenes de milers

Milions ....

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ....

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 5 --

En el cas de nombres decimals hem d'ampliar la taula anterior per tal d'incloure les posicions decimals a la dreta de la coma:

Unitats dècimes

centèsimes mil·lèsimes

deumil·lèsimes ....

1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ....

El valor d'euros de la expressió anterior 25,43€ està format per

2 desenes 5 unitats 4 dècimes 3 centèsimes

que correspon a 2 x 10 + 5 + 4/10 + 3/100. 3. Representació gràfica Els nombres decimals es poden representar sobre una línia recta. Si fixem un punt com origen, una determinada longitud com unitat, i un sentit positiu, podem assignar a cada nombre decimal un punt sobre la recta. Una primera aproximació de la representació d'un nombre decimal ve donada per la part entera. Si volem representar el nombre 2,43 sobre la recta è

0 1 2 3 4 5 sabem que la seva representació estarà entre el 2 i el 3. Per refinar la representació caldrà dividir el segment entre 2 i 3 en 10 parts iguals per tal de poder identificar les dècimes. Si ampliem aquest segment de la recta, tindrem una representació més precisa: è

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 i el nombre es trobarà entre el 2,4 i el 2,5. Podem repetir el procés ampliant el segment entre 2,4 i 2,5 i obtindrem: è

2,4 2,41 2,42 2,43 2,44 2,45 2,46 2,47 2,48 2,49 2,5 2,51 1,52 La representació de 2,43 amb la recta inicial i amb l'escala inicial serà, irremeiablement, poc precisa:

la fletxa ens indica la representació gràfica, aproximada, del nombre decimal 2,43.

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 6 --

4. Ordenació Si tenim dos nombres decimals, sempre es poden comparar: un dels dos és me petit que l'altre (i l'altre és més gran que el primer). Algorisme d'ordenació. Qualsevol nombre negatiu és sempre menor que qualsevol nombre positiu (Ex: -12,41 < 8,34). Si els dos són positius, és major el que sigui major la seva part entera (Ex 11,87 < 13,21) Si la part entera és la mateixa, cal comparar la part decimal comparant les dècimes, després les centèsimes i així progressivament fins que una de les xifres d'un nombre sigui major que la corresponent xifra de l'altre (Ex: 15,243 < 15,271) Si els dos són negatius, és major el que el seu valor absolut (sense el signe) sigui menor (Ex: -13,21 < -11,87) Exercicis 1: 1.1 Ordena de menor a major els següents conjunts de nombres decimals. Utilitza els símbols > o < : a) 12, 34 i -8,23

b) 14,23 i 8,11 c) 12,237 i 12,219

d) -8,345 i -6,23

e) 12,3467 i 12,35 f) 8,342 8,317 i 8,333

5. Aproximació de nombres decimals (truncament, arrodoniment) Quan es treballa amb nombres decimals, és freqüent voler treballar amb un nombre de decimals reduït sense voler utilitzar totes les xifres decimals. Això suposa una comoditat per realitzar els càlculs. Així mateix les calculadores i els ordinadors treballen habitualment amb un nombre limitat de xifres decimals. Per aquesta raó, és necessari aproximar un nombre decimal donat per altre més simple que l'inicial que tingui un nombre de decimals prefixat. El sistema més simple de fer-ho és realitzar un truncament de les xifres decimals sobrants quedant-se només amb el nombre de xifres prefixat. Així el nombre 23,3684 es converteix en 23,36 si volem treballar amb dues xifres o en 23,368 si volem treballar amb 3. El truncament és el sistema més simple però no és el més exacte. A l'exemple anterior, treballant amb 2 xifres, seria més aproximat utilitzar el valor 23,37 en lloc de 23,36 ja que 23,37 és mes proper al nombre donat 23,3684 que 23,36. Aquest mecanisme d'aproximar pel valor més proper es denomina arrodoniment. Exercicis 2: 2.1 Aproxima a dues xifres decimals per truncament i per arrodoniment els següents nombres decimals: a) 17,3467

b) 145,32265 c) -23,2145

d) 2,80888 e) -121,2184 f) 165,23

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 7 --

6. Algorismes de la suma, diferència, producte, divisió de dos nombres decimals Els algorismes de la suma, diferència, producte i divisió de nombres decimals són una ampliació dels algoritmes de càlcul amb nombres enters. Existeix una major dificultat ja que cal tenir cura de la part decimal portant el control adient. La major laboriositat en el càlcul fa aconsellable en molts dels casos utilitzar la calculadora per realitzar les operacions. A continuació donarem uns exemples fets de càlcul manual però es suposa que els exercicis es realitzaran utilitzant una calculadora de butxaca o la pròpia calculadora de l'ordinador. 6.1 Suma i diferència de nombres decimals Per sumar o restar nombres decimals cal situar-los en columna de forma que la coma decimal estigui alineada al mateix nivell per tots els sumands i procedir de forma relativament similar a com es realitzen les sumes i restes amb nombres naturals. A continuació teniu alguns exemples de sumes i restes. Tingueu present que si les sumes són més complexes, la calculadora és una eina altament eficaç per obtenir de forma còmoda i segura els resultats. 2 1 , 3 5 4 3 2 , 6 7 2 3 5 , 4 2 1 3 9 , 4 2 3 7 , 2 4 0 , 3 2 1 + 8 , 2 + 6 8 , 2 3 5 - 3 , 2 1 - 7 8 , 2 7 1 1 5 7 , 0 0 2 2 9 , 5 5 5 0 0 , 9 0 5 2 3 2 , 2 1 6 1 , 1 3 + 4 2 3 , 1 2 1 + 0 , 0 4 6 7 7 5 , 3 6 1 7 , 3 6 9 Exercicis 3: 3.1 Realitza amb la calculadora les següents sumes i restes de nombres decimals: a) 342,12 + 17,45

b) 1,456 + 2,34 + 3,498 c) 23,12 -14,54

d) 22,345 - 8,23 - 7 e) 0,34 + 0,054 + 0,207 f) 23,4567 - 12,5382 6.2 Producte de nombres decimals El producte de nombres decimals és també similar al producte de nombres naturals. La diferència està en calcular el nombre de decimals del resultat que serà la suma del nombre de decimals del multiplicand i del multiplicador. A continuació teniu alguns exemples de productes. Novament cal insistir en la utilitat de la calculadora per obtenir el resultat final si els factors que es multipliquen no són especialment simples. 3, 4 6 1 2 5, 3 2 1 2 1, 3 5 3 7 1 4 2 7, 0 2 4 x 5 x 4 2 x 1 2, 4 x 4, 3 5 x 3 5, 4 7 1 7, 3 0 2 5 0 6 4 2 8 5 4 0 1 8 5 7 0 1 8 9 1 6 8 5 0 1 2 8 4 4 2 7 0 1 1 1 4 2 1 0 8 0 9 6 5 2 6 3, 4 8 2 2 1 3 5 1 4 8 5 6 1 3 5 1 2 0 2 6 4, 7 4 0 1 6 1 5 5, 9 0 8 1 0 7 2 9 5 8, 5 4 1 2 8

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 8 --

Exercicis 4: 4.1 Realitza amb la calculadora els següents productes de nombres decimals: a) 23,456 x 12

b) 12,345 x 14,567 c) -1,3456 x 245,1

d) 0,0234 x 0,23 e) 2,35 x 3,76 x (-3,32) 6.3 Divisió de nombres decimals Al igual que en el cas del producte, l'algoritme de la divisió és similar a la divisió de naturals. El nombre de decimals és en aquest cas, la diferència de decimals entre els decimals del dividend i els del divisor suposant que no es calculin xifres decimals addicionals com és el cas del primer i tercer exemple. Així en el primer exemple les xifres decimals del quocient són 2 (2-0) i en el tercer exemple 1 (2-1). Respecte el segon exemple les xifres decimals del quocient són 0 (2-2) més dos xifres addicionals que corresponents als dos decimals que s'han afegit al càlcul. 2 4 7, 3 2 1 4 2 6 5, 3 2 8, 2 1 4 5 3 6 7, 2 4 2, 3

-1 4 1 7, 6 6 -2 4 6 3 3 2, 3 1 -2 3 1 9 7 2 4, 8 1 0 7 1 9 0 2 2 2 3

- 9 8 -1 6 4 2 -2 0 7 0 9 3 2 6 0 0 1 6 6 -8 4 -2 4 6 3 - 1 6 1 0 9 2 1 3 7 0 5 7 -8 4 -8 2 1 -4 6 8 5 4 9 1 1 2 -9 2 2 0 4 - 1 8 4 2 0 Exercicis 5: 5.1 Realitza amb la calculadora les següents divisions de nombres decimals. Expressa el resultat amb 5 xifres decimals. a) 23,345 : 14

b) 34,4322 : 2,41 c) 2,678 : 23,9865

d) -205,056 : 13,1 e) -23,56 : (-12,456) 7. Pas de fracció a decimal: decimal finit i decimal periòdic. A les diferents quinzenes hem analitzat diferents tipus de nombres i les seves propietats. Hem parlat dels nombres naturals N, dels nombres enters Z, dels nombres racionals o fraccions Q i en aquest document dels nombres decimals. Quina relació hi ha entre els diferents conjunts de nombres? El conjunt dels nombres enters Z és una ampliació del conjunt dels naturals. Està format pels positius (que s'identifiquen amb els naturals) el 0 i els negatius. En termes de conjunts aquesta ampliació s'expressa així:

N ⊂ Z

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 9 --

Això vol dir que tot nombre natural és també un nombre enter i que, per exemple, el nombre natural 7 s'identifica amb el nombre positiu +7 o simplement 7. El conjunt dels nombres racionals o de fraccions Q és una ampliació dels nombres enters Z. Tot nombre enter (per exemple 7) es pot expressar en forma de fracció (7/1 o 14/2 o 21/3…) de moltes maneres encara que les més simple sigui la fracció irreductible 7/1 o més simple encara fer la identificació directament amb 7. En termes de conjunts aquesta ampliació s'expressa així:

Z ⊂ Q Encadenant els paràgrafs anteriors podem establir una relació entre els tres conjunts analitzats: N ⊂ Z ⊂ Q Dins d'aquest esquema, quina relació hi ha entre els nombres decimals analitzats a aquest document i els anteriors conjunts? Aquest apartat està destinat a intentar respondre a aquesta pregunta. Analitzarem la relació entre fraccions i nombres decimals mitjançant dos exemples concrets que corresponen a les dues situacions que es poden plantejar. Podem expressar la fracció 21/4 en forma de nombre decimal? La resposta és afirmativa. Si fem la divisió decimal entre 21 i 4 ens donarà un resultat exacte: 2 1 4

-2 0 5, 2 5 1 0

-8 2 0 -2 0 0 La divisió ha acabat amb resta 0 i podem establir la igualtat:

25,5421

=

que identifica una fracció amb un nombre decimal. Es parla en aquest cas de nombre decimal finit. Analitzarem un segon exemple ben diferent. Podem expressar 145/11 en forma de nombre decimal? Per contestar realitzarem, com abans la divisió: 1 4 5 1 1

- 1 1 1 3, 1 8 1 8 3 5

- 3 3 2 0 - 1 1 9 0 - 8 8 2 0 - 1 1 9 0 - 8 8 2 ………

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 10 --

El resultat és un nombre decimal, però en aquest cas la divisió no és exacta i, si observeu, no s'acaba mai ja que la seqüència de restes 8, 2, 8, 2,….. i de xifres al quocient 1, 8, 1, 8, no s'acabarà mai, serà infinita:

13,1818181818181818…… Es diu que el nombre anterior és un nombre decimal periòdic. Aquesta nova situació d'un nombre decimal que "no s'acaba mai" que "té infinites xifres" dóna lloc a un nou conjunt de nombres que NO analitzarem amb detall en aquest document: el conjunt dels nombres reals R que podíem definir, encara que sigui de forma imprecisa, com el conjunt de nombres decimals amb infinites xifres decimals i que inclou com a casos particulars els nombres decimals finits i els nombres decimals periòdics. Aquest conjunt és novament una ampliació dels anteriors i podem completar l'esquema anterior amb aquest nou conjunt:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R El nombre que hem obtingut abans amb infinites xifres decimals té una peculiaritat important, el fet de que les xifres es repeteixen periòdicament. És diu que és un nombre decimal periòdic. La part que es repeteix es diu període, en el nostre exemple 18 i s'escriu

81,13.....18181818,13))

= on la retolació a sobre del 18 indica que aquests dígits es repeteixen indefinidament. En els paràgrafs anteriors hem treballat amb dos exemples concrets: les fraccions 21/4 i 145/11 que ens han portat a dues situacions diferents. En un cas, la divisió decimal ha estat exacta i el resultat és un nombre decimal amb un nombre finit de xifres decimals:

25,5421

=

i en l'altre, el resultat ha estat:

81,13.....18181818,13))

= un nombre amb infinites xifres decimals però que es repeteixen periòdicament. Aquests resultats no són casuals i tenen caràcter general: qualsevol fracció expressada en forma decimal, o la divisió és exacta i el nombre de xifres decimals és finit o, cas contrari, al realitzar la divisió arriba un moment en que una resta parcial es repeteix i el procés de la divisió "entra en bucle" repetint-se indefinidament la situació i donant lloc a un nombre periòdic. Exercicis 6: 6.1 Transforma amb la calculadora les següents fraccions en nombres decimals. Indica en el resultat si és un nombre decimal exacte o decimal periòdic. Indica quina és la part periòdica del resultat. a) 1434/40

b) 563/16 c) 43/21

d) 234/44 e) 456/18 f) 321/14

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 11 --

8. Pas de decimal finit a fracció. Pas de decimal periòdic a fracció (Apartat opcional) En aquest apartat realitzarem el procés contrari de l'analitzat a l'apartat anterior: intentar expressar un nombre decimal en forma fracció. Això és possible en els dos casos esmentats en el títol d'aquest apartat i que analitzarem a continuació fent ús de dos exemples concrets. Decimal finit: intentarem expressar el nombre decimal 23,135 com a fracció. La solució, en aquest cas, és molt simple. És suficient amb expressar el valor anterior com a mil·lèsimes:

2004627

100023135135,23 ==

Decimal periòdic pur: si el nombre decimal és periòdic el procés és més laboriós:

991523

0,152383,1583,1538·9983,1538·100

83,15

=

=−==

=

a

aa

a

))()))

))

Hem multiplicat el nombre inicial per 100 per tal d'obtenir un altre amb la mateixa part periòdica (38). Al restar les dues igualtats hem obtingut una expressió, que depenia del valor inicial, però sense decimals (1523) i finalment hem aconseguit aïllar el valor inicial com a fracció (1523/99). Decimal periòdic mixt: un altre cas de decimal periòdic amb una dificultat addicional: la part periòdica no comença immediatament desprès de la coma:

49517126

99034252

3425279,34579,34597·99079,34597·1000

79,345·10795,34

==

=−===

=

a

aaa

a

))))))

))))

Hem obtingut l'expressió del nombre decimal com a fracció, però ha estat necessari un pas previ per tal de transformar el nombre a en un altre nombre amb tota la part decimal com a periòdica. La fracció que hem obtingut als exemples anteriors, que genera el nombre decimal corresponent, rep el nom de fracció generatriu. Exercicis 7 (Opcional): 7.1 Calcula la fracció generatriu dels següents nombres decimals: a) 23,324

b) 4,25)

c) 74,125))

d) -12,3425 e) 564,23))

f) 643,121)

Institut Obert de Catalunya

Matemàtiques 1 -- 12 --

9. Annex: solucionari 1.1 a) -8,23 < 12, 34

b) 8,11 < 14,23 c) 12,219 < 12,237

d) -8,345 < -6,23

e) 12,3467 < 12,35 f) 8,317 < 8,333 < 8,342

2.1 a) 17,34 (T) i 17,35 (A)

b) 145,32 (T) i 145,32 (A) c) -23,21 (T) i -23,21 (A)

d) 2,80 (T) i 2,81 (A) e) -121,21 (T) i -121,22 (A) f) 165,23 (T) i 165,23 (A) 3.1 a) 359,57

b) 7,294 c) 8,58

d) 7,115 e) 0,601 f) 10,9185 4.1 a) 281,472

b) 179,829615 c) -329,80656

d) 0,005382 e) -29,33552 5.1 a) 1,6675

b) 14,28721 o 14,28722 c) 0,11164 o 0,11165

d) -15,65312 o -15,65313 e) 1,89145 o 1,89146 6.1 a) 35,85 Exacta

b) 35,1875 Exacta c) 9167402,))))))

Periòdic. Període: 047619

d) 815,3))

Periòdic. Període: 18

e) 3,25)

Periòdic. Període: 3

f) 41758222,9)))())

Periòdic. Període: 285714

7.1 (Opcional) a) 23324/1000 = 5831/250

b) 229/9 c) 12422/99

d) -123425/10000 =4937/400 e) 23231/990 f) 109293/900=36431/300