MA1002 Cálculo II Tema 04: Coordenadas polares - Parte 01: Coordenadas polares · 2020. 5. 16. ·...
Transcript of MA1002 Cálculo II Tema 04: Coordenadas polares - Parte 01: Coordenadas polares · 2020. 5. 16. ·...
MA1002 Calculo IITema 04: Coordenadas polares
Parte 01: Coordenadas polares
Profesor Jesus Sanchez Guevara
U.C.R.
I Semestre 2020
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 1 / 13
En esta clase
1 El sistema polar.
2 Funciones en polares y graficacion.
3 Calculo de areas y longitud de arco.
4 Ecuaciones polares de conicas.
Introduccion
¿Cual es la importancia de las coordenadaspolares?
1 Forma alternativa de ubicar puntos en elplano.
2 Descripcion de movimientos en el plano.
3 Parametrizacion de curvas.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 2 / 13
Definicion
Un sistema de coordenadas polares estadeterminado por un punto, llamado polo, yun rayo(sobre una recta) con origen en elpolo. A este rayo se le llama eje polar.
o Hacer un dibujo con el polo en O “ p0, 0q yel eje polar sobre el eje x positivo (enposicion natural).
Coordenadas
Las coordenadas polares de un punto P en elplano, estan dadas por:
1 La distancia r del polo al punto.
2 El angulo θ que forma el segmento OP yel eje polar, usualmente medido endireccion antihorario (ıˆ ).
Observaciones
1 Las coordenadas polares de un punto Plas identificamos por el par pr, θq, donde,por convencion, se supone r ą 0 yθ P r0, 2πq. Sin embargo, esto puedevariar.
2 Aunque para todo punto del plano lacoordenada r esta determinada demanera unica, no sucede lo mismo con lacoordenada θ. En efecto,pr, θq “ pr, θ ` 2πq.
3 El polo O (origen), tiene coordenadasp0, θq, para cualquier θ.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 3 / 13
Teorema
Para pasar del sistema rectangular al sistemapolar y recıprocamente, se usan las siguientesidentidades:
"
x “ r cospθqy “ r sinpθq
donde r “a
x2 ` y2 y tanpθq “y
x.
o Hacer un dibujo.
Ejemplo
Convierta P “ p1, 1q a coordenadas polares yQ “ p1{2, πq a coordenadas cartesianas.
1 P : x “ 1 y y “ 1, por lo tantor “
?12 ` 12 “
?2 y
θ “ arctanp1q “ π{4, ası que suscoordenadas polares son P “ p
?2, π{4q.
2 Q: r “ 1{2 y θ “ π, por lo tantox “ 1
2cospπq “ ´1{2 y y “ 1
2sinpπq “ 0,
ası que sus coordenadas cartesianas sonQ “ p´1{2, 0q.
Ejemplo, de cartesianas a polares
Halle la representacion polar de la ecuaciondel cırculo
px´ 1q2 ` y2 “ 2
.
Se hace x “ r cospθq y y “ r sinpθq.
px´ 1q2 ` y2 “ 2
ñpr cospθq ´ 1q2 ` pr sinpθqq2 “ 2
ñr2 cos2pθq ´ 2r cospθq ` 1` r2 sin2pθq “ 2
ñr2 ´ 2r cospθq “ 1
ñr2 “ 2r cospθq ` 1
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 4 / 13
Ejemplo, de polares a cartesianas
Halle la representacion cartesiana de la
ecuacion polar θ “π
4.
Se usa tanpθq “ yx
y r “a
x2 ` y2.
θ “π
4
ñ tanpθq “ tanpπ
4q
ñy
x“ 1
ñy “ x
Ejemplo
Halle la representacion polar de x2 ` y2 “ a2
Se hace x “ r cospθq y y “ r sinpθq.
x2 ` y2 “ a2
ñpr cospθqq2 ` pr sinpθqq2 “ a2
ñr2 “ a2 ñ r “ a (Ec. polar)
Ejempo, el ocho
Represente px2 ` y2q3 “ y2 en coordenadaspolares.
Se hace x “ r cospθq y y “ r sinpθq.
ñ ppr cospθqq2 ` pr sinpθqq2q3 “ pr sinpθqq2
ñ pr2q3 “ pr sinpθqq2
ñ r6 “ r2 sin2pθq
ñ r4 “ sin2pθq
ñ r2 “ ˘| sinpθq|
ñ r “b
| sinpθq| (Ec. polar)
Graficar en Geogebra (x^2+y^2)^3=y^2
https://www.geogebra.org/m/S9RXWmNP
sqrt(sqrt(sin(theta) sin(theta)))
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 5 / 13
¿Como graficar?
Graficar en polares
Se hace una tabla de valores de r “ fpθq.Para la parte de la grafica en el primercuadrante se pueden usar:
θ r0 fp0qπ{6 fpπ{6qπ{4 fpπ{4qπ{3 fpπ{3qπ{2 fpπ{2q
Ejemplo
En el caso de r “a
| sinpθq|, basta hacer latabla con el primer cuadrante, porque suecuacion cartesiana px2 ` y2q3 “ y2 nosindica el resto de la grafica por simetrıas conlos ejes.
θ r “a
| sinpθq|0 0
π{6 1{?
2 „ 0, 71
π{4 1{a?
2 „ 0, 84
π{3a?
3{?
2 „ 0, 93π{2 1
Hacer en pizarra
1 Simetrıa con respecto al eje y: Si secambia x por ´x la ecuacion no semodifica,
px2 ` y2q3 “ y2 ñ pp´xq2 ` y2q3 “ y2
2 Simetrıa con respecto al eje x: Si secambia y por ´y la ecuacion no semodifica,
px2`y2q3 “ y2 ñ px2`p´yq2q3 “ p´yq2
o El esquema del grafico en este caso secompleta con las simetrıas.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 6 / 13
Definicion
Una ecuacion polar tiene la forma
r “ fpθq
donde θ es la variable independiente y r lavariable dependiente.
Propiedad
A partir de la ecuacion polar se tiene que la
derivadady
dxcumple con:
dy
dx“f 1pθq sinpθq ` fpθq cospθq
f 1pθq cospθq ´ fpθq sinpθq
Verificacion: Puesto que r “ fpθq y
"
x “ r cospθqy “ r sinpθq
entonces,"
x “ fpθq cospθqy “ fpθq sinpθq
ñdy
dx“dy{dθ
dx{dθ“f 1pθq sinpθq ` fpθq cospθq
f 1pθq cospθq ´ fpθq sinpθq
Aplicaciones:
1 La grafica tiene tangentes horizontales(dy{dx “ 0)en los angulos θ tales que:
f 1pθq sinpθq ` fpθq cospθq “ 0
2 La grafica tiene tangentes verticales(dy{dx “ 8) en los angulos θ tales que:
f 1pθq cospθq ´ fpθq sinpθq “ 0
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 7 / 13
Ejemplo
Encuentre los puntos pr, θq done la curva (elocho) r “
a
| sinpθq| tiene tangentes verticalesy horizontales, tomando θ P r0, πs
Debido al comportamiento de sinpθq:
1 Si θ P r0, πs, sinpθq es positivo yr “ fpθq “
a
sinpθq.
2 Si θ P rπ, 2πs, sinpθq es negativo yr “ fpθq “
a
´ sinpθq.
oTangentes horizontales:Se encuentran los θ P r0, πs tales que
f 1pθq sinpθq ` fpθq cospθq “ 0
ñcospθq
2a
sinpθqsinpθq `
b
sinpθq cospθq “ 0
ñ3 sinpθq cospθq “ 0
ñθ “ 0_ θ “ π{2_ θ “ π
¿Cuales son las ecuaciones de estasrectas horizontales?
Usamos tanpθq “ y{x y r “ fpθq.
1 θ “ 0: y{x “ tanp0q “ 0 ñ y “ 0.
2 θ “ π{2: r “a
| sinpπ{2q| “ 1 ñ y “ 1.
3 θ “ π: y{x “ tanpπq “ 0 ñ y “ 0.
oTangentes verticales:
f 1pθq cospθq ´ fpθq sinpθq “ 0
cospθq
2a
sinpθqcospθq ´
b
sinpθq sinpθq “ 0
ñ cos2pθq ´ 2 sin2pθq “ 0
ñ1{2 “ tan2pθq ñ tanpθq “ ˘1{?
2
ñθ „ 35^ θ „ 145
ñr „b
| sinp35q| „ 0, 75^ r „b
| sinp145q| „ 0, 75
ñx “ r cospθq „ 0, 75 cosp35q „ 0, 6
^x “ r cospθq „ 0, 75 cosp145q „ ´0, 6
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 8 / 13
Areas en coordenadas polares
Propiedad
Para la funcion r “ fpθq, con θ P rα, βs, elarea limitada por la grafica de la funcion ylos segmentos desde el polo p0, 0q a los puntospfpαq, αq y pfpβq, βq, esta dada por laintegral:
Area sector polar “1
2
ż β
αpfpθqq2dθ
o Hacer un dibujo, justificar. Recordar que elarea de un sector circular es 1
2r2θ, cuando el
angulo esta en radianes.
Ejemplo
Calcule el area determinada porr “
a
| sinpθq|.
Por simetrıa basta hacerlo en el primercuadrante.
1
4A “
1
2
ż π{2
0p
b
| sinpθq|q2dθ
“1
2
ż π{2
0| sinpθq|dθ
“1
2
ż π{2
0sinpθqdθ
“1
2p´ cospθqq|
π{20 “
1
2
ñA “ 2
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 9 / 13
Longitud de arco de curvas polares
Propiedad
Para la funcion r “ fpθq, con θ P rα, βs, lalongitud de arco del punto pfpαq, αq al puntopfpβq, βq, esta dada por la integral:
L “
ż β
α
b
f2pθq ` pf 1pθqq2dθ
Ejemplo
Calcule la longitud de arco de la curva polarr “ a, donde a es una constante positiva.
L “
ż 2π
0
a
a2 ` 02dθ
“
ż 2π
0adθ “ 2πa
Ejemplo
Calcule la longitud de arco de la espiralfpθq “ θ, θ P r0, πs
L “
ż π
0
a
θ2 ` 1dθ
“
ˆ
1
2θa
θ2 ` 1`1
2ln
´
θ `a
θ2 ` 1¯
˙
|π0
„ 6, 1
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 10 / 13
Ejemplo
Hallar el area comun entre las dos curvas:"
r “ 3 cospθq (Cırculo)r “ 1` cospθq (Cardioide)
Proceso:
1 Graficar las dos curvas.
2 Se identifica la simetrıa.
3 Se expresa el area buscada en termino deintegrales.
4 Se calcula el area.
Al graficar las curvas, se observa que senecesita el punto de interseccion de las curvasen el primer cuadrante, es decir θ P r0, π{2s.
3 cospθq “ 1` cospθq
ñ cospθq “ 1{2 ñ θ “ π{3
Ahora se calcula la integral que da el area(explicar):
1
2A “
1
2
ż π{3
0p1` cospθqq2dθ `
1
2
ż π{2
π{3p3 cospθqq2dθ
“
ˆ
9
16
?3`
π
4
˙
`
ˆ
´9
16
?3`
3π
8
˙
“5π
4
Ası el area buscada es A “ 5π4
.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 11 / 13
Relacion con la excentricidad de lascurvas conicas
Teorema, ecuaciones polares de conicas
La ecuacion polar de una conica tiene algunade las siguientes formas:
1 r “e ¨ d
1˘ e cospθq
2 r “e ¨ d
1˘ e sinpθq
siempre que,
1 e es la excentricidad de la conica.
2 El foco de la conica esta ubicado en elorigen.
3 |d| es la distancia del foco a la directriz.
Recordatorio: la excentricidad de la conicasse estudio en la leccion anterior.
Ejemplo
Identifique la conica
r “2
1` cospθq
Como e “ 1, entonces es una parabola.
Ejemplo
Identifique la conica
r “3
2` 5 sinpθq
r “3
2` 5 sinpθq
“3{2
1` p5{2q sinpθq
Ası, e “ 5{2 ą 1, entonces es una hiperbola.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 12 / 13
F I N
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 13 / 13