C u r s o : Matemtica

Material N 37

GUA TERICO PRCTICA N 37

UNIDAD: GEOMETRATRIGONOMETRA

RAZONES TRIGONOMTRICAS

En el tringulo ABC, rectngulo en C (figura 1), se definen las siguientes razones:

Seno de = sen =Cateto opuesto a

hipotenusa

= ac

Coseno de = cos = Catetoadyacenteahipotenusa

= bc

Tangente de = tg = CatetoopuestoaCatetoadyacentea

= ab

Cotangente de = cotg = CatetoadyacenteaCatetoopuestoa

= ba

Secante de = sec = HipotenusaCateto adyacentea

= cb

Cosecante de = cosec = HipotenusaCateto opuesto a

= ca

EJEMPLOS

1. Si tg = 512

y es un ngulo agudo, entonces cos =

A) 125

B) 1312

C) 512

D) 513

E) 1213

b AC

B

a c

fig. 1

2

2. Si los catetos de un tringulo rectngulo miden 8 cm y 15 cm, entonces el seno delngulo agudo mayor es

A) 1517

B) 817

C) 815

D) 158

E) 1715

3. Con los datos de la figura 1, la expresin tg sen es igual a

A) ac bcab

B) ac bcbc

C) bc acab

D) bc acbc

E) a cb

4. Con respecto al tringulo rectngulo ABC de la figura 2, cul de las opciones siguienteses verdadera?

A) sec = cb

B) cos = ac

C) cotg = ba

D) cosec = cb

E) sen = cos

5. En la hoja cuadriculada de la figura 3, cada cuadrado tiene lado 2. Entonces, en el ABCla tangente del ngulo es igual a

A) 15

B) 12

C) 25

D) 2E) 5

A B

Cfig. 1

a

b

c

A

C B

fig. 3

A C

B

c a

fig. 2

b

3

RAZONES TRIGONOMTRICAS PARA NGULOS DE 30, 45 y 60

Considerando los tringulos de las figuras 1 y 2, se tiene que:

nguloRazn 30 45 60

sen 12

22

32

cos 32

22

12

tg 33

1 3

EJEMPLOS

1. Un avin despega del aeropuerto con un ngulo de elevacin de 30 como se muestra enla figura 1. Si ha recorrido desde el punto de despegue una distancia de 1.000 metros, aqu altura (h), respecto del suelo se encuentra?

A) 500 3 metrosB) 500 metros

C) 1.0003

metros

D) 1003

metros

E) 1.5003

metros

30

60A B

C

2

1

3fig. 1

45

45A B

C

2

1

1fig. 2

ngulos de elevacin y de depresin(fig. 3) son aquellos formados por lahorizontal, considerada a nivel del ojodel observador y la lnea de mira, segnque el objeto observado est por sobreo bajo esta ltima.

Con respecto a un observador, losngulos de elevacin y de depresinconstituyen ngulos alternos internosentre paralelas, por lo tanto, susmedidas son iguales

1.000 m

fig. 1

h

30

ngulo deelevacin

ngulo dedepresin

ObservadorHorizontal

HorizontalObservador

Lnea demira

fig. 3

4

2. Cul es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura (fig. 2)cuando el sol se ha elevado 40 sobre el horizonte?

A) 50 tg 40 m

B) 50sen 40

m

C) 50tg 40

m

D) tg 4050

E) cotg 4050

m

3. Cul es la longitud del hilo que sujeta el volantn de la figura 3, si el ngulo de elevacines de 50? (Considere cos 40 = 0,7)

A) 20 2 mB) 3 51

0,7 m

C) 21,5 2 mD) 20 mE) 30 m

4. Un observador de 1,80 m observa la azotea de un edificio, segn un ngulo de elevacinde 60 (fig. 4). Si el punto de observacin est a 12 m del edificio, cunto mide la alturadel edificio?

A) 24 mB) 12 3 mC) 8 3 mD) (4 3 + 1,8) mE) (12 3 + 1,8) m

5. La longitud de una escalera, cuyos extremos estn apoyados a un poste y al suelo es de4 3 metros. La escalera forma un ngulo con el poste de 30. A qu distancia est elpie de la escalera del poste?

A) 23

m

B) 4 mC) 6 mD) 2 3 mE) 6 3 m

40

fig. 2

1,5 m

50

fig. 3

22,5 m

12 m

fig. 4

5

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALES

Las identidades 1, 2, 3, 4 y 5 se deducen directamente de las definiciones de las razonestrigonomtricas. La identidad 6, se deduce combinando las definiciones con el Teorema dePitgoras.

1. sen cosec = 1 4. tg =sencos

2. cos sec = 1 5. cotg =cossen

3. tg cotg = 1 6. sen2 + cos2 = 1

EJEMPLOS

1. Si k = cos2 60 + cos2 50 + sen2 50, entonces 4k es igual a

A) 7B) 6C) 5D) 1,25E) 1

2. Si es un ngulo agudo, cul(es) de las siguientes igualdades es (son) identidad(es)?

I) tg cosec = sec

II)2

1

1 cos = cosec2

III) (sen + cos ) (sen cos ) = 2 sen2 1

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

3. Cul de las siguientes expresiones representa al cuadrado del coseno de ?

A) cos 2

B)2

1

cosec C) 1 + sen2

D)2

1

sec E) sen2 1

B

C A

a

b

c

6

4. Si cos2 = 49, entonces 3 sen =

A) 59

B) 53

C) 53

D) 5E) 5

5. Con los datos de la figura 1, la expresin (sen + cos )2 es igual a

A) 1

B)2

2

b + 2ac

bC) b2 + 2ac

D)2

2

b 2ac

b

E)2

2ac

b

6. Si es un ngulo agudo de un tringulo rectngulo, cul(es) de las siguientes igualdadesno es (son) identidad(es)?

I) sen + cos cotg = cosec

II) sec sen = 2sec 1 III) tg sen = cos

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

A C

B

b a

c

fig. 1

7

7. En cul(es) de las siguientes expresiones trigonomtricas, el resultado es siempre iguala 1?

I) sen2 40 + cos2 50II) sen 40 + sen 50

III) sen 45cos 45

A) En II solamenteB) En III solamenteC) En I y en II solamenteD) En II y en III solamenteE) Ninguna de ellas

RESPUESTAS

DMCAMA37

EjemplosPgs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 E A C E D

3 y 4 B C E E D

5, 6 y 7 C E D D B C B

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