ESTADÍSTICA – MA86Laboratorio 6_Solución

2014-02

1. Una compañía constructora entregó 440 departamentos construidos en un complejo habitacional de Santiago de Surco, al poco tiempo de la entrega, se presentaron reclamaciones de los propietarios por errores de construcción en sus respectivos departamentos. La compañía registro el número de errores en cada uno de los 440 departamentos, elaborando el siguiente cuadro:

Nro. De errores Nro. De departamentos0 211 532 1033 1074 825 466 187 10

Total 440

¿Existe evidencia estadística para afirmar que el número de errores que se presenta por cada departamento sigue una distribución de Poisson? Utilice un nivel de significación del 5% para realizar la prueba respectiva.

Solución

Ingreso de datos al Minitab

Planteo de hipótesis:

Ho= El número de errores en la construcción de cada departamento sigue una distribución de

Poisson.

H1= El número de errores en la construcción de cada departamento no sigue una distribución de

Poisson.

Nivel de significación: = 0.05

ESTADISTICAS/ESTADISTICAS BASICAS/ PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE PARA POISSON

LUEGO ACEPTARPrueba de bondad de ajuste para distribución de Poisson

Valor P = 0.349 = 0.05 D.E. No rechazar Ho

Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, se puede afirmar que no existe evidencia estadística para afirmar que el número de errores de construcción en cada departamento no siga una distribución de Poisson, entonces: el número de errores de construcción por cada departamento sigue una distribución de Poisson.

2. Un proceso de producción emplea cinco tipos de máquinas (M1, M2, M3, M4, M5) en sus tres operaciones de desplazamiento (D1, D2, D3). Se obtuvo una muestra de 165 fallas de acuerdo con la máquina y operación de desplazamiento en la que ocurrió la falla registrándose los resultados siguientes:

TIPOS DE MÁQUINASOPERACIONES DE DESPLAZAMIENTO M1 M2 M3 M4 M5

D1 10 12 8 14 8D2 15 8 13 8 12D3 12 9 14 12 10

Pruebe con un nivel de significación del 1% si existe relación entre la operación de desplazamiento y la falla de la máquina.

Solución

Datos en el Minitab:

Ho: La operación de desplazamiento es independiente de la falla de la máquina

H1: La operación de desplazamiento no es independiente de la falla de la máquina

Nivel de significación: = 0.01

Estadísticas/Tablas/Tabulación cruzada y Chi cuadrada….

Estadísticas tabuladas: Desplazamiento, Máquina

Filas: Desplazamiento Columnas: Máquina

M1 M2 M3 M4 M5 Todo

D1 10 12 8 14 8 52 11.66 9.14 11.03 10.72 9.45 52.00

D2 15 8 13 8 12 56 12.56 9.84 11.88 11.54 10.18 56.00

D3 12 9 14 12 10 57 12.78 10.02 12.09 11.75 10.36 57.00

Todo 37 29 35 34 30 165 37.00 29.00 35.00 34.00 30.00 165.00

Contenido de la celda: Conteo Conteo esperado

Chi-cuadrada de Pearson = 6.002, GL = 8, Valor P = 0.647

Chi-cuadrada de la tasa de verosimilitud = 6.042, GL = 8, Valor P = 0.643

Como Valor P = 0.647> = 0.01 entonces Ho no se rechaza

*verificar también con el Chi-cuad = 6.002

Conclusión: Con un nivel de significación del 1% la operación de desplazamiento es independiente de la falla de la máquina.

3. Una compañía que fabrica computadoras ha instituido 4 programas diferentes de entrenamiento (Alfa, Beta, Gamma y Sigma) para los empleados que trabajan en operaciones de ensamblado. Veinte trabajadores fueron distribuidos aleatoriamente a los 4 programas para posteriormente evaluar su tiempo de ensamblado (en minutos), obteniéndose los siguientes resultados:

RepeticiónPrograma de entrenamiento

Alfa Beta Gamma Sigma1 59 52 65 642 64 58 71 673 57 54 63 624 62 56 64 645 60 58 63 66

Total 302 278 326 323

Pruebe si existen diferencias en los tiempos promedios de los métodos de ensamblado a un nivel de significación de 0.05.

SoluciónIngreso de datos al Minitab

Variable respuesta: tiempo que tarda un trabajador en ensamblar una computadora cuando ha sido entrenado con el programa …..Factor: Programa de entrenamientoNiveles o tratamientos: Alfa, Beta, Gamma, Sigma

Prueba de supuestos. En primer lugar se hace la prueba de homogeneidad de varianzasHo : σ1

2=σ22=σ 3

2=σ 42

H 1: algunaσ i2es diferente

Nivel de significación: α = 0.05

ESTADÍSTICAS/ ANOVA/PRUEBA DE VARIANZAS IGUALES

Luego: ACEPTAR.. ACEPTAR

Prueba de Bartlett (distribución normal)p-valor = 0.796 > α = 0.05 D.E. No rechazar HoSe cumple con el supuesto de homogeneidad de varianzasSupuesto de normalidad de errores

Ho: Los errores siguen una distribución normal.H1: Los errores no siguen una distribución normal.

Nivel de significación: α = 0.05

ESTADISTICAS/ANOVA/ ANOVA de un solo FactorAlmacenamiento….. marcar Residuos ACEPTAR

ESTADISTICAS/ESTADISTICAS BÁSICAS/PRUEBA DE NORMALIDAD

Marcar Variable: RESID1, Shapiro wilk

Luego: ACEPTAR

P-VALOR >0.100 > α = 0.05 D.E. no rechazar HoCon 5% de nivel de significación, se puede afirmar estadísticamente que se cumple con el supuesto de normalidad de los errores.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LOS FACTORES

Ho: Los Métodos de entrenamiento no afectan al tiempo de ensamblado

H1: Los Métodos de entrenamiento si afectan al tiempo de ensamblado.

Nivel de significación: α = 0.05

p-valor = 0.000 < α = 0.05 D.E. si rechazar Ho.

Conclusión: con un nivel de significación del 5% se puede afirmar que los Programas de entrenamiento si afectan el tiempo de ensamble de una computadora. No todos los programas son iguales.Cuando se acepta que hay diferencia en los programas, veremos ahora con cual programa el tiempo de ensamble es menor y con cuál es mayor, utilizamos el Método de comparación de Tukey.

ESTADÍSTICAS/ ANOVA/ UN SOLO FACTOR…..COMPARACIONES…. TUKEYACEPTAR.. ACEPTAR

Según Tukey, Los programas Gamma y Sigma tienen un tiempo promedio de ensamblado similar y que es mayor que los otros programas. Beta y Alfa tienen un tiempo promedio de

ensamblado similar y menor que los otros programas; aunque el tiempo promedio de Alfa, podría ser similar al de Sigma y Gamma.

Conclusión: Si se desea un programa que proporcione un menor tiempo promedio de ensamblado, se puede escoger cualquiera entre Beta y Alfa.

4. La compañía constructora «Edificar» desea determinar el tipo de cemento más apropiado para la elaboración de las columnas y vigas de un nuevo edificio. Prueba cuatro marcas diferentes de cemento A, B, C y D para determinar la resistencia promedio a la rotura con cada tipo de cemento, obteniendo los siguientes resultados:

TIPO RESISTENCIA A LA ROTURACEMENTO (Kg/cm2)

SOL 215 230 225 218 232

YURA 230 236 234 240

ANDINO 212 224 230 224 228 232 220

PACASMAYO 232 235 233 240 244 236

a. ¿Sugieren los resultados de las pruebas que la resistencia promedio a la rotura de las columnas es la misma para cada tipo de cemento? Utilice un nivel de significación del 5%.

b. Si se requiere probetas de columnas con mayor resistencia a la rotura use de ser necesario las pruebas de comparación múltiple de Tukey para decidir, al nivel de significación del 5% por el tipo de cemento más adecuado

Solución

Ingreso de datos al Minitab

Variable respuesta: Resistencia a la Rotura de las probetas de columnas de concreto elaboradas con diferentes tipos de cemento.

Factor: Tipo de cemento.

Niveles o tratamientos: SOL, YURA, ANDINO, PACASMAYO

Supuestos:

En primer lugar se hace la prueba de homogeneidad de varianzas

Ho : σ12=σ2

2=σ 32=σ 4

2

H 1: algunaσ i2es diferente

Nivel de significación: α = 0.05

ESTADÍSTICAS/ ANOVA/ PRUEBA DE VARIANZAS IGUALES

Luego: ACEPTAR..ACEPTAR…

Prueba de Bartlett (distribución normal)p-valor = 0.636 > α = 0.05 D.E. No rechazar HoSe cumple con el supuesto de homogeneidad de varianzas

Supuesto de normalidad de errores

Ho: Los errores siguen una distribución normal.H1: Los errores no siguen una distribución normal.

Nivel de significación: α = 0.05

ESTADISTICAS/ANOVA/ ANOVA de un solo FactorAlmacenamiento….. marcar ResiduosACEPTAR.. ACEPTAR…

ESTADISTICAS/ESTADISTICAS BÁSICAS/PRUEBA DE NORMALIDAD Marcar Variable: RESID1, Kolmogorov-Smirnov

Luego: ACEPTAR

P-VALOR >0.150 > α = 0.05 D.E. no rechazar HoCon 5% de nivel de significación, se puede afirmar estadísticamente que se cumple con el supuesto de normalidad de los errores.PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LOS FACTORES

Ho: Los Métodos de entrenamiento no afectan al tiempo de ensamblado

H1: Los Métodos de entrenamiento si afectan al tiempo de ensamblado.

Nivel de significación: α = 0.05

p-valor = 0.002 < α = 0.05 D.E. si rechazar Ho.

Conclusión: con un nivel de significación del 5% se puede afirmar que los Tipos de cemento si afectan la resistencia a la rotura en las probetas de columna. No todos los Tipos de cemento son iguales.Cuando se acepta que hay diferencia en los Tipos de cemento, veremos ahora con cual tipo de cemento la resistencia a la rotura es menor y con cuál es mayor, utilizamos el Método de comparación de Tukey.

ESTADÍSTICAS/ ANOVA/ UN SOLO FACTOR…..COMPARACIONES…. TUKEYACEPTAR.. ACEPTAR

Según Tukey, la comparación entre los promedios de resistencia a la rotura que se obtiene en las probetas con los tipos de cemento PACASMAYO y YURA, no existe evidencia estadística para afirmar que son diferentes; en cambio si comparamos los cementos PACASMAYO Y SOL, existe evidencia estadística para afirmar que tienen diferentes promedios. Así podemos comparar por parejas dos tipos de cemento diferente.Observando el cuadro de Tukey podemos ver que los tipos de cemento PACASMAYO y YURA generan un promedio en la resistencia en las probetas mayor que cualquier otro tipo de cemento, por lo tanto estos tipos de cemento son los más apropiados que los otros.

Conclusión: Si se desea un tipo de cemento que proporcione una mayor resistencia promedio en las probetas de columna se debe de escoger entre los tipos de cemento PACASMAYO y YURA.

5. Suponga que un ingeniero de una empresa dedicada a la fabricación de soldadura en puntos de aluminio desea predecir la resistencia al esfuerzo cortante (kg) en función al diámetro de la soldadura (cm). Para ello toma una muestra de tamaño 10 cuyos valores se encuentran en la tabla siguiente:

Diámetro soldadura (cm) 2.4 1.8 1.6 1 1.2 1.1 2.8 1.6 1.5 2.3Resistencia (kgs) 7 5.3 4.2 3.3 3.8 6.6 8.5 6.6 4.5 8.8

a. Realice el diagrama de dispersión de estas variables y comente.b. Determine y valide el modelo regresión lineal que estime la resistencia al esfuerzo cortante en

función del diámetro. Escriba la ecuación. Use alfa 5%c. Interprete el coeficiente de regresión.d. Interprete el coeficiente de determinación.e. Estime, con una confianza del 90%, la resistencia promedio cuando el diámetro (valor dentro

de los valores dados) es 2cm.Solución

a. Diagrama de dispersión de los datos:Minitab:

GRAFICAS/GRAFICA DE DISPERSION… Elegir (SIMPLE)

Luego: ACEPTAR

Luego seleccionar variable Y (RESISTENCIA), variable X (DIAMETRO)/ ACEPTAR

b. Ecuación de Regresión Lineal:

ESTADISTICAS/REGRESION/REGRESION…

Seleccione como variable Respuesta, la variable Y (RESISTENCIA) y seleccione como predictor, la variable X (DIAMETRO).Luego ACEPTAR

Análisis de regresión: Resistencia vs. Diametro

La ecuación de regresión esResistencia = 1.48 + 2.53 Diametro

Predictor Coef SE Coef T PConstante 1.482 1.298 1.14 0.287Diámetro 2.5309 0.7128 3.55 0.008S = 1.27927 R-cuad. = 61.2% R-cuad.(ajustado) = 56.3%

Análisis de varianza

Fuente GL SC CM F PRegresión 1 20.632 20.632 12.61 0.008Error residual 8 13.092 1.637Total 9 33.724

Validación del ModeloHo: β1 = 0H1: β1 ≠ 0

Nivel de significación: α = 0.05

Del cuadro anterior Análisis de Varianza: p-valor = 0.008 < α = 0.05

Rechazar Ho: existe evidencia estadística para afirmar que : β1 ≠ 0

El modelo es válido

c. Coeficiente de Regresión: β̂1=2.53

Se interpreta: por cada centímetro de aumento en el diámetro, la resistencia al esfuerzo cortante aumenta en 2.53 kg.

d. Coeficiente de determinación: r2=61.2%

Se interpreta: el 61.2% de la variabilidad total de la resistencia al esfuerzo cortante, es explicada por la longitud del diámetro de la soldadura.

e. Estime, con una confianza del 90%, la resistencia promedio cuando el diámetro (valor dentro de los valores dados) sea 2.0 cm

OPCIONES…..

ACEPTAR….

Valores pronosticados para nuevas observaciones EE deNueva obs Ajuste ajuste IC de 90% IP de 90%

1 6.543 0.448 (5.710, 7.376) (4.023, 9.064)

Valores de predictores para nuevas observaciones Diametro

soldaduraNueva obs (cm)

1 2.00

Cuando el diámetro (valor dentro de los valores dados) sea de 2.0 cm; Con 90% de confianza se espera que la resistencia promedio sea un valor que está contenido en el intervalo: [5.710; 7.376]

6. Se desea analizar la pureza del oxígeno producido en un proceso de destilación química, en base al porcentaje de hidrocarburos que están presentes en el condensador principal de la unidad de destilación. Se tomó una muestra aleatoria de diez observaciones, los mismos que se muestran en la tabla.

Observación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nivel de hidrocarburos (%)

0.99 1.02 1.15 1.29 1.46 1.36 0.87 1.23 1.55 1.4

Pureza oxigeno (%) 90.7 90.8 92.3 94.8 97 95.5 87.3 93.5 98.6 96.3

a. Halle la ecuación de regresión lineal simple estimada que describa la relación entre estas dos variables. Interprete el coeficiente de regresión estimado (pendiente).

b. Realice la validación del modelo. Utilice un nivel de significación del 5%.c. Calcule e interprete el coeficiente de determinaciónd. Calcule e interprete un intervalo del 90% de confianza para la predicción del

porcentaje de la pureza del oxígeno, cuando el nivel de hidrocarburos es de 1.60% .

Solucióna. Diagrama de dispersión de los datos:

Minitab:GRAFICAS/GRAFICA DE DISPERSION… Elegir (SIMPLE)

Luego: ACEPTAR

Luego seleccionar:variable Y (Pureza del oxígeno %), variable X (Nivel de hidrocarburos %)/ ACEPTAR

b. Ecuación de Regresión Lineal:

ESTADISTICAS/REGRESION/REGRESION/AJUSTAR MODELO DE REGRESIÓN

Seleccione como variable Respuesta, la variable Y (Pureza del oxígeno %) y seleccione como predictor, la variable X (Nivel de hidrocarburos).Luego ACEPTAR

Validación del Modelo:Ho: β1 = 0 Ho: β1

2 = 0H1: β1 ≠ 0 H1: β1

2 > 0Nivel de significación α = 0.05P – valor = 0.000 < α = 0.05Rechazar la hipótesis Nula. El modelo es Válido.

Coeficiente de Regresión: β̂1=15.430

Se interpreta: por cada punto porcentual de aumento en el nivel de hidrocarburos, la pureza del oxígeno en % aumenta en 15.43 puntos porcentuales.

c. Coeficiente de determinación: r2=98.60 %

Se interpreta: el 98.60% de la variabilidad total de la pureza del oxígeno, es explicada por el nivel de hidrocarburos %.

d. Estime, con una confianza del 90%, la pureza del oxígeno cuando el nivel de hidrocarburos es de 1.6% ESTADISTICAS/REGRESIÓN/REGRESIÓN/PREDECIR

ACEPTAR….ACEPTAR

Predicción para Pureza oxigeno (%)

Ecuación de regresión

Pureza oxigeno (%) = 74.673 + 15.430 Nivel de hidrocarburos (%)

Valor deVariable configuraciónNivel de hidrocarburos (%) 1.6

Ajuste EE de ajuste IC de 90% IP de 90%99.3613 0.275587 (98.8488, 99.8737) (98.4077, 100.315)

Cuando el nivel de hidrocarburos es de 1.6% (valor fuera de los valores dados); Con 90% de confianza se espera que la pureza de oxígeno en % sea un valor que está contenido en el intervalo: [98.4077 ; 100.315]