MACO_U1_A2_KAAM

8/9/2019 MACO_U1_A2_KAAM

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Anlisis combinatorioUnidad 1. Qu es el anlisis combinatorio?

Actividad 1. Induccin matemtica

Resuelve los siguientes ejercicios usando induccin matemtica.

1. Demuestra ue n !=n(n1)(n2)(3)(2)(1) . !arte de la de"inicin

recursiva de "actorial.Suponemos que n=4Entonces tenemos que:

1!=1

2!=21=2

En este caso estaramos multiplicando :1!2

3 !=321=6

Aqu estamos multiplicando :2!3

4 !=4321=24

La multiplicacinaqu sera :3 !4

Por lo tanto si n=4

n !=n(n1)

4 !=4 (41 ) !=4 (3 )!

Y con esto queda demostrado

#. !ara cualuier conjunto A $ su conjunto %otencia$ PA

,se de"ine como

el conjunto "ormado %or todos sus subconjuntos. Demuestra ue si A

tiene n elementos$ entonces PA2n.

Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de unconjunto, incluyendo el conjunto vaco.Por ejemplo tenemos que:

A= {x . y , z }

En este caso n es el nmero de elementos de , entonces n=!"os su#conjuntos de en este caso seran:


2/7


{{ } {x} {y } {z } {x , y } {x , z } {y , z }{x , y , z }}

Si anteriormente dijimos que n=!

PA23

PA8

Y al desarrollar el conjunto potencia de ya vimos que e$ectivamente

cuenta con % su#conjuntos, con esto queda demostrado que PA2n

&. i=1

n1

i (i+1 )=

n

(n+1 )

Supon&amos que n=4, entonces por inducci'n:

i=1

4

1

1 (1+1 )+

1

2(2+1)+

1

3(3+1)+

1

4(4+1)=

4

(4+1 )=

4

5

( , y demostremos que tam#i)n lo es para * +, es decir, nuestra ip'tesis

de inducci'n ser- que:

partir de esto demostramos que:

i=1

k+11

i (i+1 )

= k+1

( k+2 )Partiendo del lado iquierdo de la i&ualdad:

i=1

k+11

i (i+1 )=

i=1

k1

i (i+1 )+

i=k

k+11

i (i+1 )=

k

( k+1 )+

1

(k+1 ) (k+2 )

k

( k+1 )+

1

(k+1 ) (k+2 )=

k(k+1 ) (k+2 )+( k+1 )(k+1 ) (k+1 ) (k+1 )

=k(k2+3k+2)+ (k+1 )

(k+1 ) (k+2 ) (k+1 )

(k3+3k2+2k)+ (k+1 )

( k2+2k+1 ) ( k+2 ) =

(k3+3k2+3k+1)

k( k2+2k+1 )+2 ( k2+2k+1 )=


3/7


(k3+3k2+3k+1)

k( k2+2k+1 )+2 (k2+2k+1)=

(k3+3k2+3k+1)

( k3+2k2+k)+(2k2+4k+2 )=

k3+3k2+3k+1

k3+4 k2+5k+2

/ividiendo esto

1+ (k+1 )2

( k+1 ) ( k+2 ) ( k+1 )=1+ 1

(k+2 )= k+1

(k+2 )

0on esto se demuestra.

i=1

k1

i (i+1 )=

k

( k+1 )

'. i=1

n

i3=

n2 (n+1 )

2

4=(

i=1

n

i)2

Suponemos que n=1

13+23=

22 (2+1 )2

4=(1+2)2

Supon&amos aora que la identidad es cierta para al&n ( , es decir,

nuestra ip'tesis de inducci'n ser- que:

i=1

n

i=n(n+1)

2

Entonces:

(i=1

n

i

)

2

=

(i=1

n

i

)

(i=1

n

i

)=

n(n+1)2

n(n+1)

2

=

(n(n+1)

2

)

2

Y as demostramos que:

i=1

n

i3=(n(n+1)2 )

2

=n2 (n+1 )2

4


4/7


(. Un %ol)gono es una "igura geomtrica %lana "ormada %or una sucesin "inita

de segmentos rectil)neos$ unidos consecutivamente *asta encerrar una

regin. +os segmentos rectil)neos ue lo "orman son sus lados$ , los %untos

en ue se unen son los vrtices.

+o llamamos conve-o si sus ngulosinteriores los ue "orman los lados dentro del %ol)gono son menores a

1/0.

2a3 2b3 2c3 2d3 2e3 2"3 2g3

4n la "igura se muestra diversos %ol)gonos$ 2b3$ 2d3$ 2e3 , 2g3 son conve-os. +a

diagonalde un %ol)gono es un segmento de recta ue une dos vrtices ue no son

consecutivos.

4n esta "igura se muestran en rojo algunas diagonales de los %ol)gonos conve-os

de la "igura anterior. Qu ocurre con el tringulo? 5iene diagonales?

Usando el %rinci%io de induccin matemtica$ demuestra ue un %ol)gono de n

lados tiene e-actamenten(n3)

2 diagonales.

Si tenemos que n=k+1 , el pol&ono de la si&uiente 2&ura tiene k+1>3

ladosE3cluyendo el v)rtice y tomamos un nuevo pol&ono sin los lados a y #, pero

con el lado $ormado por el se&mento 0, tenemos un nuevo pol&ono de 5

lados, que por inducci'n tendr-:

k(k3)2

dia&onales.

El v)rtice se pueden traar (k+1 )3 dia&onales, como el

se&mento 0 tam#i)n cuenta como dia&onal, tendremos en total para el

pol&ono con el v)rtice incluido


5/7


k(k3)2

+( k+1 )3+1=k(k3)

2+k1

6aciendo los c-lculos y $actoriando, se tiene:

k(k3)2 +k1=

(k+1 )( (k+1 )3)2

.

0umpli)ndose la $'rmula para n=k+1

6. Uso de identidades

a3 Una ruleta tiene los enteros de 1 a #( colocados en "orma aleatoria.

Demuestra ue$ inde%endientemente de su %osicin en la ruleta$ e-isten tres

de ellos ad,acentes cu,a suma es al menos &7.

n+ (n+1 )+ ( n+2 )=39

/espejando 3n=36 n=12

Entonces +1 , +! ,+4 son los nmeros consecutivos que sumando dan !7

b3 Determina el entero %ositivo n %ara el cual i=1

2n

i=i=1

n

i2

8enemos que:

i=1

2n

i=2n(2n+1)

2

y que:

i=1

n

i2=

n (n+1 )(2n+1)6

Entonces:

2n(2n+1)2

=n (n+1 )(2n+1)

6

/esarrollamos:


6/7


4 n

3( 2+2n)=( n2+n )(2n+1 )=12n2+6n=2n3+3n2+n

9untamos t)rminos:

2n3

9n2

5n=02n2

9n5=0

actoriamos

(n5 ) (2n+1 )=0

8enemos dos valores pero tomamos:

n=5

ora demostramos2(5)(2(5)+1)

2 =

(5)(5+1 )(2(5)+1)6

10 (11)2 =

(5) (6 )(11)6

110

2=(5 ) (11)=55

c3 8onsidera las cuatro ecuaciones siguientes9

213 1 : 1

2#3 # ; & ; ' : 1 ; /

2&3 ( ; 6 ; < ; / ; 7 : / ; #

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