ESTRUCTURAS DE MADERA CIV-244ANALISIS POR PANDEO DE UNA COLUMNA METODO EULER AUTORES: Univ. Contreras Iporre Luz Pamela Univ. Mendoza Prado Ruth PamelaRESUMEN:Mediante este artculo, deduciremos la frmula de Euler, realizando el anlisis por pandeo y compresin de una columna de madera slida, maciza y de forma rectangular, las bases de clculo son aplicables a cualquier seccin de forma. Para esto se definirn conceptos bsicos en el diseo de una columna de madera como: columna, longitud efectiva, esbeltez, estabilidad, carga crtica, clasificacin de las columnas, esfuerzos admisibles, etc. Se realizaran ejemplos de aplicacin a la frmula de Euler, realizando el diseo de una columna de madera empotrada en ambos extremos, maciza de seccin rectangular, sometidas a una carga de compresin.

PALABRAS CLAVE:Columna, Pandeo, Flexo-compresin, Estabilidad, Resistencia

MARCO TEORICO.-INTRODUCCIN La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la carga de la edificacin. Es utilizado ampliamente en arquitectura por la libertad que proporciona para distribuir espacios al tiempo que cumple con la funcin de soportar el peso de la construccin; es un elemento fundamental en el esquema de una estructura y la adecuada seleccin de su amao, forma, espaciamiento y composicin influyen de manera directa en su capacidad de carga.Para la columna se indica las caractersticas que la definen as como el comportamiento para definir los aspectos a tomar en cuenta en el diseo de las columnas de madera, acero y concreto armado.CONCEPTOLa columna es un elemento sometido principalmente a compresin, por lo tanto el diseo est basado en la fuerza interna, conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas, tambin se disean para flexin de tal forma que la combinacin as generada se denomina flexo-compresin. Segn el uso actual de la columna como elemento de un prtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la compresin es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello que el pre-dimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresin que se aplica sobre el elemento as como una flexin que aparece en el diseo debido a diversos factores1. Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometra, lo cuales influyen en el tipo de falla.El efecto geomtrico de la columna se denominan esbeltez2 y es un factor importante, ya que la forma de fallar depende de la esbeltez, para la columna poco esbelta la falla es por aplastamiento y este tipo se denomina columna corta, los elemento ms esbeltos se denominan columna larga y la falla es por pandeo. La columna intermedia es donde la falla es por una combinacin de aplastamiento y pandeo. Adems, los momentos flectores que forman parte del diseo de columna disminuyen la resistencia del elemento tipo columna (Galambos, Lin y Johnston, 1999; Singer y Pytel, 1982).COMPORTAMIENTODentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento estructural estn: equilibrio, resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna se puede llegar a una condicin inestable antes de alcanzar la deformacin mxima permitida o el esfuerzo mximo. El fenmeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral, el cual es una deflexin que ocurre en la columna (vase Figura 3); cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la deflexin agranda la magnitud del momento flector, creciendo as la curvatura de la columna hasta la falla; este caso se considera inestable. Por ello la resistencia de la columna sometida a compresin tiene dos lmites, el de resistencia para columnas cortas y el de estabilidad para columnas largas (vase Figura 1). La estabilidad es as el nuevo parmetro que define adems de la resistencia y la rigidez, las dimensiones de la columna (Beer y Johnston 1993; Popov, 1996; Timoshenko y Young, 2000).1 Imperfecciones iniciales en la lnea vertical de la columna o imperfecciones en el material, tambin la continuidad de la columna con la viga hace que los momentos aplicados en la viga se transmitan a la columna.2 Relacin entre el tamao de la seccin transversal y la longitud del elemento.

Figura 1. Disminucin del esfuerzo de trabajo a compresin segn la esbeltez de la columna. (Timoshenko y Young, 2000, p. 282)

CARGA CRTICALa deformacin de la columna vara segn ciertas magnitudes de cargas, para valores de P bajos se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento y aparece la deflexin lateral. Existe una carga lmite que separa estos dos tipos de configuraciones y se conoce como carga crtica Pcr (vase Figura 2).

Figura 2. Carga crtica Pcr.

Figura 3. Elemento vertical sometido a carga H y P.Supongamos un elemento recto vertical sometido una carga H, esta carga produce una deflexin (vase Figura 3a). Si se aplica una fuerza vertical P que va aumentado y se disminuye el valor de H, de tal forma que la deflexin sea la misma al caso de la Figura 3a (vase Figura 3b), el valor de Pcr es la carga necesaria para mantener la columna deformada sin empuje lateral H. Para valores mayores a la carga crtica aumentan la deflexin hasta que falla por pandeo, limitando la capacidad de la columna.Los factores que influyen en la magnitud de la carga crtica son la longitud de la columna, las condiciones de los extremos y la seccin transversal de la columna. Estos factores se conjugan en la relacin de esbeltez o coeficiente de esbeltez (vase Ecuacin 1), el cual es el parmetro que mide la resistencia de la columna. De esta forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la seccin que tenga el radio de giro ms grande posible, o una longitud que sea menor, ya que de ambas formas se reduce la esbeltez y aumenta el esfuerzo crtico (Beer y Johnston 1993; Galambos, Lin y Johnston, 1999; Popov, 1996; Singer y Pytel, 1982; Timoshenko y Young, 2000). (Ec.1)Donde: k Coeficiente relacionado con el tipo de apoyo;L Longitud de la columna;rmin Radio de giro mnimo de la seccin.

EXCENTRICIDADCuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es excntrica y genera un momento adicional que disminuye la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los extremos de la columna debido a varios factores, hace que la carga no acte en el centroide de la columna (vase Figura 4). Esta relacin del momento respecto a la carga axial se puede expresar en unidades de distancia segn la propiedad del momento3, la distancia se denomina excentricidad. Cuando la excentricidad es pequea la flexin es despreciable y cuando la excentricidad es grande aumenta los efectos de flexin sobre la columna (Singer y Pytel, 1982). (Ec. 2)

Donde: e excentricidad,M Momento en el extremo; P Carga axial.

Figura 4. Excentricidad de la columna.3 El momento es igual a una fuerza multiplicada por la distancia.

LONGITUD EFECTIVA

ESBELTEZLa relacin de la longitud efectiva de la columna para la dimensin de la seccin transversalconsiderada se denomina esbeltez.Para secciones rectangulares las esbelteces se ilustran en la Tabla 9.2.

En entramados puede considerarse un incremento del 10 % a estos valores.Para entramados las esbelteces son diferentes en las dos direcciones en concordancia con la figura 9.1 y por lo tanto se tienen cargas admisibles diferentes, la menor de ellas corresponde a la mayor esbeltez.CLASIFICACIN DE LAS COLUMNASLas columnas se clasifican en: corta, intermedias, y largas segn su esbeltez:a) Columnas cortasb) Columnas intermediasc) Columnas largasNo se recomienda, en columnas de madera, esbelteces mayores a 50.ESFUERZOS ADMISIBLESLos esfuerzos admisibles mximos que deben usarse para el diseo de elementos solicitados a compresin y flexo-compresin se indican en la Tabla 9.2.

En entramados puede considerarse un incremento del 10% a estos valores.MDULO DE ELASTICIDADEn la tabla siguiente (9.3) se incluyen los valores del Modulo de Elasticidad0: Emin. Para usarse en columnas (individuales) y E.prom. Para usarse en entramados.

Los elementos sometidos a cargas axiales de compresin deben disearse sin considerar una excentricidad mnima, si se utilizan las ecuaciones siguientes:Columnas cortas:Las columnas cortas ( < 10) fallan por compresin o aplastamiento. Su carga admisible puede calcularse como: (9.5)En donde: A = rea de la seccin transversalfc = esfuerzo mximo admisible de compresin paralela a las fibras (Tabla 9.2) Nadm = carga axial mxima admisible.Columnas Intermedias:Las columnas intermedias (10 < < Ck) fallan por una combinacin de aplastamiento e inestabilidad lateral (pandeo). Su carga admisible puede estimarse como: (9.6)En donde: = relacin de esbeltez (considerar solo lo mayor)Ck = 0.7025 (para secciones rectangulares) E = mdulo de elasticidad (Tabla 9.3)Columnas Largas:La carga admisible de columnas largas (Ck < < 50) se determina por consideraciones de estabilidad.Considerando una adecuada seguridad al pandeo la carga crtica Ncr segn la teora de Euler se reduce a: (9.7)

ECUACION DE EULEREuler propone una ecuacin para determinar la carga crtica de una columna, por tanto lo que se realizara ser deducir la ecuacin de Euler para una columna a partir de la deformada de la misma. Por lo tanto objetivo principal de esta investigacin ser la deduccin y aplicacin de la frmula de Euler adems de analizar dicha frmula.Con la aplicacin del mtodo de nivel terico se realiz la investigacin, para ello se recurri al internet y tambin a los libros de resistencia de materiales. Una vez obtenida la informacin requerida se procedi a realizar ejemplos aplicativos, y en funcin a los resultados se dio a conocer las conclusiones. DEDUCCION DE LA ECUACION DE EULER.Consideremos una viga articulada en sus extremos que permiten la flexin en todas las direcciones, tal como se muestra en la figura.

Si aplicamos una fuerza horizontal H en un punto medio de la viga se producir una deflexin, a la que denominaremos .

Supondremos que la deflexin es lo suficientemente pequea como para que la proyeccin de la longitud de la columna sobre un eje vertical sea prcticamente la misma, estando flexada la viga.

Supongamos ahora que aadimos una carga axial cntrica a compresin P y la hacemos aumentar desde cero, al mismo tiempo que disminuimos la carga H, de modo que se mantenga constante la deflexin constante.

Puede observarse que en la seccin transversal que sufre la mayor deflexin, el momento flector es:

Si para el caso anterior designamos como x al eje vertical (sobre el que se proyecta la longitud de la viga) e y al eje horizontal (sobre el cual se producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de la forma:

El signo (-) se debe a que la deflexin producida es negativa (segn la orientacin el eje y), y el momento flector es positivo.

Recordemos la ecuacin de la elstica para vigas de seccin transversal constante:

Luego, sustituyendo M(x) de la ecuacin 6.2.2 en la ecuacin 6.2.3, se obtiene:

La solucin general de esta ecuacin es:

Podemos obtener los valores de las constantes C1 y C2 aplicando las condiciones de frontera. Cuando x=0 y=0, de modo que C2=0. Al plantear la segunda condicin (x=L y=0) queda:

Como C1 no puede ser igual a 0 entonces se tiene que :

La solucin de la ecuacin anterior sirve para hallar el valor de Pcri, pues debe cumplirse:

Donde n=0, 1, 2,3

.(1)

En la figura pueden verse distintas formas en que puede pandearse la columna utilizando distintos valores de n. ....(2)Sin embargo en el libro de Manual de Diseo para Maderas del Grupo Andino de Padf-Refort [1], simplifica la frmula para su aplicacin en maderas de seccin rectangular. Para una Pcritica con un factor de seguridad de 2.5 donde:

..(3)En donde, , L: longitud de barra, d: Seccin de la columna, k: Factor de longitud efectivaCumpliendo la siguiente condiciones:

Con ; E=Mdulo de elasticidad de la madera, fc= Esfuerzo admisible de compresin paralelo a las fibras de la seccin.

PREDIMENSIONADO DE COLUMNA Las columnas de madera pueden ser de varios tipos: maciza, ensamblada, compuesta y laminadas unidas con pegamento. De este tipo de columnas la maciza es la ms empleada, las dems son formadas por varios elementos.

APLICACIN PRCTICA.-

CONCLUSIONES.- Se concluye que la viga de carga distribuida triangular ser diseada con una seccin de 10x12 pulgadas, ya que al ser sometida a los anlisis de diseo cumpli correctamente con los requisitos obteniendo resultados menores a los admisibles. Se pudieron corroborar los resultados obtenidos con el paquete estructural SAP 200.REFERENCIAS.-

Univ. Contreras Iporre Luz Pamela Univ. Mendoza Prado Ruth Pamela Pgina 13