Maestría en Transporte Estadística

Maestría en Transporte Estadística

Capítulo 1

Objetivos

• ¿Cómo se determinan las magnitudes para planificación de transporte, operación de transporte, etc? (el problema de la estimación, el problema de la verificación de hipótesis)

Objetivos

• ¿Cómo se determina la relación entre una variable dependiente y una o mas variables regresoras? (el problema de regresión lineal)

Objetivos

• ¿Cómo tratar problemas que se apartan de los supuestos de la regresión lineal? (el problema de las transformaciones, ponderaciones, autocorrelación, etc)

Objetivos

• ¿Cómo se analizan variables dicotómicas? (Modelos Logit, probit, etc)

• ¿Cómo se analizan tablas de clasificación? (el problema de estimación en tablas de contingencia)

Objetivos

• ¿Eso es todo lo que hay que decir? (Resumen de series de tiempo y tópicos avanzados de estadística. Conceptos de simulación)

Variables Aleatorias

• Concepto de Variable Numérica– Concepto de realización– X [-;]; ó X [0;]; ó X N

• Concepto de Variable Aleatoria– X [-;]; ó X [0;]; ó X N, con algunas restricciones

• Concepto de realización• Concepto de Evento y Variable Aleatoria

Conceptos de probabilidad

• Eventos: Espacio y eventos– Variables aleatorias asociadas a eventos

• Concepto de probabilidad– Sea una evento A con un valor x de la variable asociada X• P(A) = P(x)

Funciones de ProbabilidadFunciones de Densidad

• Funciones de probabilidad• Funciones de densidad de probabilidad• Funciones de probabilidad acumulada• Funciones de densidad acumulada

Funciones de ProbabilidadFunciones de Densidad

Descripción de Variables Aleatorias

• Medidas descriptivas centrales– Valor esperado o Media– Mediana– Moda

• Medidas descriptivas de dispersión– Varianza (desviación estándar)– Rango


• Momentos• Kurtosis (Curtosis) y Asimetría• Otros

– Cuantiles y Percentiles

Algunas funciones de probabilidad

• Binomial– X {0, 1, 2, 3, ..., n}


• Binomial– X {0, 1, 2, 3, ..., n}– Media =np (p:proporción)– Varianza 2=np(1-p)– Coeficiente de Asimetría (1-2p)/(np(1-p))1/2

– Curtosis relativa 3+(1-6p(1-p))/(np(1-p))


• Poisson– X {0, 1, 2, 3, ...}


• Poisson– X {0, 1, 2, 3, ...}– Media = – Varianza 2= – Coeficiente de Asimetría 1/ 1/2

– Curtosis relativa 3+1/


• Geométrica• Hipergeométrica• Binomial negativa

Algunas funciones de distribución

• Normal– X [-;]


• Normal– X [-;]– Media -<<– Varianza 2>0– Coeficiente de Asimetría 0– Curtosis relativa 3

• Normal


• Uniforme– X [a;b]


• Uniforme– X [a;b]– Media (a+b)/2– Varianza (b-a)2/12– Coeficiente de Asimetría 0– Curtosis relativa 9/5


• Gamma• f(x) = {(x)K-1e-x} /(K)

• Exponencial (negativa)

• Weibull• t• F


• Pearson Tipo III (Gamma, Erlang, Exponencial)

En forma genérica es Gamma, si k es entero se denomina de Erlang, y degenera en exponencial si k=1

MODELO MATEMATICO GENERALIZADO

•Si = 0 tenemos distribución gammaf (t) = [/(K)][t]K-1e-t

•Si además K = entero positivo tenemos distribución Erlangf (t) = [ / (K – 1) !] ( t )K-1 e-t

•Si además K = 1 tenemos distribución exponencial f (t) = e-t

•Si K = 1 y = 0 entonces = 1 / t*f (t) = e-t/t* ; exponencial•Si K = 1 y 0 entonces = 1 / (t* - )•f (t) = e-(t-)/(t*-) ; exponencial desplazada

Interrogante

• ¿Porque la distribución de Gauss o Normal es tan famosa?

• Ley de los grandes números: Teorema central del límite.

Maestría en Transporte¡Otra vez Estadística!

Capítulo 1Clase 2

Funciones de Probabilidad Conjunta

• Probabilidad conjunta• Probabilidad marginal• Probabilidad condicional• Eventos independientes


Probabilidad condicional


Variables Independientes

Concepto de muestra

• Sean X1, X2, ..., Xn una muestras i.i.d.– Significado– Independiente– Aleatoria (probabilidad igual a todas las posibles muestras)

– Idénticamente distribuidas • Distribución “idéntica” significa forma de la distribución.

• No implica igualdad de parámetros

Concepto de muestra

• Sean X1, X2, ..., Xn una muestras i.i.d.

Xn

X

X

...

2

1

5.3

...

6.1

0.3

1.3

...

6.1

8.2Muestras posibles

¿Significa X1, X2, ..., Xn tienen la “misma” distribución? Depende...

Etc...

Concepto de muestra

Descripción de datos muestrales

• Medidas descriptivas• Promedio o media• Mediana• Varianza muestral• DE• Rango intercuartílico• MAD (MAD/0,675)• Deciles


CONTROL

1.61.41.21.0.8.6.4

EX

P

50

40

30

20

10

0


30N =

CONTROL

1

EX

P

60

50

40

30

20

10

0

-10

3


EXP

50.045.040.035.030.025.020.015.010.05.00.0

7

6

5

4

3

2

1

0

Std. Dev = 14.24

Mean = 16.8

N = 30.00


0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00

Valores observados

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Dis

trib

uci

ón

em

pír

ica

Distribución empírica


Exponential P-P Plot of EXP

Observed Cum Prob

1.00.75.50.250.00

Exp

ect

ed

Cu

m P

rob

1.00

.75

.50

.25

0.00

Exponential Q-Q Plot of EXP

Observed Value

706050403020100-10

Exp

ect

ed

Exp

on

en

tial V

alu

e

70

60

50

40

30

20

10

0

-10


30N =

CONTROL

1

95

% C

I E

XP

24

22

20

18

16

14

12

10

Descripción de datos

muestrales

EXP Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf

6.00 0 . 001144 4.00 0 . 5666 8.00 1 . 01111233 3.00 1 . 559 2.00 2 . 02 1.00 2 . 8 1.00 3 . 3 1.00 3 . 8 3.00 4 . 024 1.00 Extremes (>=49)

Stem width: 10.00 Each leaf: 1 case(s)

Distribuciones de Muestreo

• Concepto de “estadística”– Función de X– Ejemplo ¯X ¯ = (1/N) X [1,1,1,...,1]’– ¯X ¯ = fc(X)– ¯X ¯ es v.a.– ¿Cual es la distribución de ¯X ¯?


• Suma de Variables Aleatorias• Diferencia de VA

Y ~N(aiXi, aii2)


• Suma de cuadrados de variables aleatorias

• sea Xi~N(, 2) i=1, 2,...,n• sea Zi= (Xi- )/ • sea Y = Zi2

• Entonces Y~n2



• sea X~ n2

• sea Z~N(0,1) • sea T=Z/(X/n)• Entonces Y~tn



• sea X~ n2

• sea Z~ m2

• sea T=(X/n)/(Z/m)

• Entonces Y~Fn,m

Distribución de la Media

Distribución de S2

Distribución de S2 (Chi2)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 20 40 60

3

5

10

20

Distribución t (Student)

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

-4 -2 0 2 4

Normal

1

2

3

20

Distribución F (Snedecor)

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.5 1 1.5 2 2.5

v1=10-v2=10

v1=20-v2=10

v1=10-v2=20

v1=30-v2=30

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