Manual Analisis de La Variable Compleja2013

7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013

http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 1/67

Profesor del curso:Wilar Tito Orellana Mendoza

AÑO ACADEMICO 2015

2015 W. ORELLANA M.

Página 1 de 67



INTRODUCCION

La teoría de funciones de variable compleja es una de las ramas de las

Matemáticas más bellas y útiles, ya que hoy en día forma parte esencial en la

formación de matemáticos e ingenieros. na de las ra!ones por la que este

campo adquiere gran importancia es que numerosos conceptos matemáticos

se aclaran y refunden cuando se ven desde la teoría de funciones de variable

compleja.

"ste manual pretende que adquiera el alumno con esta asignatura son

fundamentalmente#

• $onocimientos básicos en una disciplina importante en la formación

tradicional en la Matemática superior con aplicaciones muy importantes en

el cálculo en el campo real.

• $onocimiento de los m%todos y t%cnicas que proporciona la variable

compleja en diversos campos no solamente internos de las Matemáticas

sino tambi%n en &ísica, por ejemplo.

• 'roporcionar un contacto con las Matemáticas de un nivel más avan!ado.



OBJETIVOS GENERAL:"l objetivo principal que se pretende alcan!ar en el desarrollo de esta asignatura escomprender la utilidad de la variable compleja para resolver problemas de variable realutili!ando las herramientas informáticas disponibles hoy en día.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:( )dquirir destre!a en la reali!ación de operaciones básicas con números complejos.( $onocer las principales funciones de variable compleja.( "ntender los conceptos de derivación e integración de funciones de variable

compleja.( $onocer el teorema de los residuos y sus aplicaciones para el cálculo de integrales

reales.

$*+"+-* "L $/0*#

CAPITULO I

1.1 Los Números Complejos1.2 Propiedades y aplicaciones1.3 Operaciones con Números Complejos.1.4 Luar !eom"#rico.

CAPITULO II 2.1 $unciones de %aria&les Complejas.2.2 Cur'as y reiones en el plano complejo.2.3 $unciones elemen#ales complejas.2.4 Trans(ormaciones con(ormes

CAPITULO II

3.1 Limi#es de una (unci)n compleja.3.2 Con#inuidad de $unciones complejas3.3 *eri'adas de (unciones complejas.3.4 $unciones anal+#icas.

CAPITULO I% 4.1 In#erales de (unciones complejas.4.2 Propiedades de las in#erales.4.3 In#erales de Con#orno4.4 $ormulas in#erales de Cauc,y

CAPITULO %

-.1 eries de (unciones complejas.-.2 Con'erencia de eries Complejas.-.3 eries de Taylor y eries de Lauren# -.- Ceros y inularidades. /esiduos. Polos.-.0 residuos en los polos.-. In#eraci)n por el m"#odo del residuo.-. Teorema del residuo

CAPITULO %I 0.1 $ormas de Onda.0.2 onda Peri)dica. %alor medio. %alor e(ica.

0.3 eries de $ourier.0.4 $orma #rionom"#rica y compleja de las series de $ourier.



VARIABLE COMPLEJA

LOS NUMEROS COMPLEJOS:

jy z z +=

1−= j

|)Re( z I z =

parte real de !)Im( z I y =parte imaginaria de 1

/epresentación geom%trica

Z=X+jy

J3J4

Z=2+jJ1J2

y

y Z=X+jy

r y

x x x



R = m!"#

22 y xr +=

:θ )rgumento principal

p2π θ k B 2+=

$$$2%1%& ±±=k

)(' 1

x

y−=θ

Formas de un Número Compe!o:

3. &orma rectangular

jy x z +=

4. &orma polar

k r r z π φ φ 2+==

5. &orma trigonom%trica

θ

θ θ

θ θ

rcis z

jsenr z

jrsenr z

jy x z

=+=+=

+=

)(*+

,*+

6. &orma e7ponencial

relaciones

rere z k j j

=== +

θ

π θ θ )2(



)()($

))(($

21

21

ad bc jbd ac z z

jd c jba z z

++−=++=

5. ivisión#

21

2

1

22

11

2

1

22

2

1 )(

θ θ θ

θ −==

+−++

=

r

r

r

r

z

z

d c

abbc jdbac

z

z

6. 'otenciación#

( )

+++=

+=

=

=

+=

)2(1

)2(*+

*+

)(

)(

)(

k n

jsenk nr z

n jsennr z

nr z

r z

jy x z

nn

nn

nn

nn

nn

π θ π θ

θ θ

θ

θ

;. /adicación

)1$$$$(3%2%1%&

22*+

)2(

1

)2(

1

*+2

01

0101

−=

+

++

=

+++==

nk

n

k jsen

n

k nr

k n jsenk nnr z

n

nnn

π θ π θ

π θ π θ



1

1

-1

-1

"jemplos#

3.

4 1

+=

==+=

4

2

4

2*+11

42011121211

401

401401

k jsen

k

k k k

π π

π π π θ

j z k

z k

j z k

z k

−==

−==

==

==

4

3

2

1

3

12

1

1&

4. hallar

3 1

y



Z2

Z2

120|

120

2

21

1&

3

2

3

2*+11

3

211

211

2

1

301

301301

=

==

==

+=

=→=

=→=

k

z k

z k

k jsen

k

nr z k

r z k

nn

π π

θ π

θ π

0"/-" " L)/"+

&)()(

1)(*+)(

&)()(

1)(*+)(

&)()(

11

==

−=−=

=−=

==

==

o f senx x f

o f x x f

o f senx x f

o f x x f

o f senx x f

iviv

Z1



$$$$$$53

53

+−+−= x x x x senxφ φ

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ φ

φ

φ

φ

jsene

je

j j j je

x x x xe

x x x x x

o f x x f

o f senx x f

o f x x f

j

j

j

x

+=

−+−++++−=

+++++=

+++++=

−+−+−=

−=−=

=−=

==

*+

$$$

53

$$$

432

1

$$$4

)(

3

)(

2

)(1

$$$$$432

1

$$$$$6742

1*+

1)(*+)(

1)()(

1)(*+)(

53432

432

432

6742

0implificar#



( )

( )

2

2

2

)1(2$

2$

2

2

2

21

21

12

1

1

44

2

4

4

4

4

4

2

±=→±=

→−=

−=

=

=

=+

=+

∈−+=

+

−−

−

−

−

−

E

impar n

j E

par n

j E

j E

ee E

e

e

e

E

e j

e j

z n j

E

n

n

jn

j

j

j

j

j

j

n

n

π π

π

π

π

π

π

/esolver#&22

2 =+− j j x x

z x j =

( )

( )

( )

( ) 4024021

42

2

11

&222

)402101

2

)402101

1

)402101

40

2

π π

π

π

π

π

π

+−=+

=

=

=

±=

=

±=→±=

=+−

−

+

±+

±

jLn j Ln j

e x

e x

e x

j Ln jLnx

e x

j x j z

z

j Ln

j Ln

j Ln

j j

j



emostrar#

si

jsenz z e jz += *+

a<2

* jz jz

ee z +=

b<2

jz jz ee senz

−=

3< z ee

senz z e

jsenz z e

jz jz

jz

jz

*+

*+

*+

=+

+=

+=

−

−

4< senz ee

senz z e

jsenz z e

jz jz

jz

jz

=−

+=

+=

−

−*+

*+

emostrar#



n

n

n

n

jsen jsen

sen j

sen j

n j

n j

j

j

−+=

−

+

−+=

−+

α α α α

α

α α

α

α

α

α

α

*+*+

*+1

*+1

'1(

'1

)'1(

)'1(

α

α

α

α

α

α

α

α

n j

n j

jsennxn

jsennxne

e

e

e jn

jnn

j

j

'1

'1

*+

*+

−+

=−+

=

−−

&+$-*+"0 " =)/-)>L"0 $*M'L"9)



na funcion es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto de )

con un valor del conjunto >

i a cada 'alor de le corresponde un unico 'alor de 5 la (uncion se llama

univoca.

0i le corresponde varios valores de ? es una funcion multivoca.

3<

8

9Z

;

91

92

$

$

$

$9

Z1

Z2

$

$

$

$Z

9 = < (.)

8

9Z

;

91

92$$

$

$

9

Z1

Z2$$

$

$

Z



( )

24

522

jw

z z w

z f w

−=

++=

=

4<

( )

2

21

2

2

2

21

2

2

22

22

2

2

2

2&

2

220*+

1

2

1

201240

201

jw

jw

j z

j z k

jsenk

e j

z w

k j

−+−

=

++=

−−=

+=→=

++==

+=

+ π π π π

)%()%(

)()(

y x j y xuw

jy x f z f w

jy x z

+=

+==+=

0eparar#

)22()2(

5222

5)(2)(

52

22

22

2

2

y y j y x xw

y j x xy j y xw

jy x jy xw

z z w

+++−+=

++++−=

++++=

++=



TRANSFOR"ACIONES

"s por de puntos del plano 1 al plano complejo ? a traves de la relacion ? 2

f@!<.

jv z F w +== &)(

'lano 1 'lano ?

"jemplo#

0i#

2)( z z F w ==

Aallar la imagen para#

)2 3 Bj

>24(j

43)2()2(

2)1()1(

2

2

j j j f B

j j j f A

−=−=−=

=+=+=

C

y

r y ;=X+jy

r ;=U / j>

x x



)&%1(

1)(

112

&2

&

2

1

22

222

22

22

c

vu

vvu

vvu

vu

=+++

=+++

=−++

=

"jemplo

Aallar la imagen de y 2 3 mediante la función C2!

xyv

y xu

xy j y xw

jy xw

jy x z

2

2

)(

2

22

2

=−=

++=

+=

+=

?

; j2

1;

X

3

2

/4j 1 X

/j

P# .

?

X



)1(4

4011

14

2

2

2

2

2

2

2

+=

=+

−=

=

=+=

uv

vu

vu

uu

xv

y xu

p v%rtice en @(3, D<

p 2 3

FUNCIONES ELE"ENTALES

&. '*L-+*M-)L

n

n z a z a z aa z P $$$$)( 2

21& +++=

&. /)$-*+)L

n

n

n

n

z b z b z ba

z a z a z aa

z Q

z P z R

$$$$

$$$$

)(

)()(

2

21&

2

21&

++++++

==

&. "E'*+"+$-)L

)(*+-

--

jseny yew

eeew

ew

jy jy

z

+=

==

=+



&. /-8. $-/$L)/"0

2

2*+

*+

*+

j

ee senz

ee z

jsenz z e

jsenz z e

jz jz

jz jz

jz

jz

−

−

−=

+=

−=

+=

&. A-'"/>*L-$)0

1*+@

2*+@

2

22 =−

+=

−=

−

−

z sen z

ee z

ee sena

z z

z z

-"+-)"0#

z z

z z !"

z sen z #os

22

22

22

*+**'@1

+e*1

1

=−

=−

=−

&. /-8*+*M"/-$)0 -+="/0)0



)1

1

(2r*'

)1(r**+

)1(

2

2

z

jz

Ln

j

z w

z z jLn z w

z jz jLnarcsenz w

−

+

−==

−+−==

−+−==

&. A-'"/>*L-$) -+="/0).

(( )

−+==

++==++==

−

−

−

z

z Ln$"%

z z Ln z e z z Ln z senw

1

1

2

1

1*+@1

1

21

21

&. L*8)/-M-$)0.

)2(

)2(

k jr Lnwer Lnw

Lnz w

k e j j

π θ

π

++==

=+

&. '*"+$-)L.

aLnz

z

ew

aw

=

=

/elaciones de las funciones trigonom%tricas circulares



jseny jy sen

jsenz jz sen

ee j senjz

j

j

j

ee jz sen

j

ee z sen

z z

jz j jz j

jz jz

==

−=

−=

−

=

−

−

−

)(

)(

2

2)(

2)(

)()(

"jercicios#

emostrar

z senw

arcsenz w

z jz jLnarcsenz w

=

=

−+−== )1( 2

&2

2

2

=−−

=−

=−

−

−

−

z jee

z jee

z j

ee

jw jw

jw jw

jw jw

Multiplicando#



)1(

)1(

1

2

442

&12

&1)(

2

2

2

2

12

2

2

z jz jl& w

z jz jLn jw

z jz e

z jm

zm jm

em

e jaz e

jw

jw

jw jw

++−=

++=

++=

+−+=

=−−

=

=−−

/esolver#

e senz =+ 54

−−+−−=

−−+

−−=

−=

−=

2

2

4

51

4

5#

4

51

4

5

4

5

4

5

j j z

j jLn z

arcsen z

'enz



2

1

2

2

12

1

4

3

4

5#

203

jLn z

P jLn z

j jLn z

j j j z

−−

=

−=

−−=

+−−=

−

π

π

L-M-" " +) &+$-*+ " =)/-)>L" $*M'L"9)#

0ea f@!< una función univoca#

&

&)(#Am

z z

w z f

→=

0i se apro7ima !, entonces)( z f w = se apro7ima a C



[ ]

θ jLin

je

re z

re z

j z z

w z f

#Am#Am

)(

&

&

=

=

<−

⊂∈−

0i

11

1

−

+= n

j

n er n

z

"jercicios#

Aallar Lim 1n2F

( )( )

( )

&

2

2

2

2

4

1#Am

2517

54#Am#Am

251717

54

54

)54(

)3(

j (n

n

jn zn

n jzn jn z

jn

jn

jn

jn z

n

n

+=

++

=

+++=

−−

++

=

L-M-" " 00$"0-*+"0

3<{ } %$$$$$$$$$$$$$$$%%%: 321 nn z z z z z

sinnn jy ) z +=

si∞→n

y

.

y



nnn jLimy Limx jn x Lim +=+ )(

A*/-1*+)LM"+"#

&

&

&

)( -

→⇒+

→=

=

Ax

jAy Ax

A(

A) A( A) A(

)1$$$$$$$$$()(

)(

-

z z z f

Lim z f

+=

=

Ax z z ++ )(

-

="/-$)LM"+"#

&

&

)( -

→+

→

−=

=

jAy Ax

A(

jA* A(

jA* A(

en)(α

-)2( z z f +−=

'ara que e7ista limite

-)( z z f = &= z si

"jemplo#

xx



0i20

)1(

n

j#n

n+

=

Aallar#

21

)(21

)(2

*+

*+2

)1(

*+2

)1(

12

2

)1()1(

20

)1(201

1

eeee Liml

ee

j Liml

j

j

j

j

Liml

n j

n j

n jn j

n

nn

n

nn

n

=++=

+=

+

+

=

+−−

+−+

++

+



DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIABLES CO"PLEJA

"l ?2f@!< es univoca entonces la función f@!< es derivable en un dominio

definido.

z

w

Az

cz f Az z f Lim

Az

Aw Lim

∂∂=−+= )()(

"jercicios#

G0i z z z f 23)( 2 −=

27)237(

2322)(373

23)(2)(3

222

22

−=−+=

+−−−++=

+−+−+

z Az z Limdz

dw

Az

z z Az z Az zAz z Lim

dz

dw

Az

z z Az z Az z Lim

G0i#

2)( z z f =

hallar#B)( = z f

( )

)$$$$$$$$$($$$$$$$$$$)()(3

)(

$)($)(

$))(()(

)()(

)(

$

---

-----

--

-2

α Az z Az

Az Lim z f

Az

z z Az Az Az z Az z z z Lim z f

Az

z z Az z Az z Lim z f

Az

z f Az z f

Lim z f dz

dw

z z z

++

=

−+++=

−++=

−+=

=



FUNCIONES ANALITICAS

na función es analítica si esta determina y es derivable en un dominio d

)10(3)( 2 −= z z z f

si ! 2 3 f@7< no e7iste

f@!< no es analítica en 123

'ara que una función sea analítica debe cumplir con las condiciones de

$auchy H /ieman

si

jv z f

y x jv y x z f

+=+=

µ

µ

)(

)%()%()(

3era condición

y

v

x ∂

∂=

∂

∂ µ

4da condición



)1$$$$$$$$($$$$$$$$$$)(

)%()2()%()%()(

))%()%()%()(

)()()(

1

&

x

r j

x z f

Ax

y x+ Ay x Lim j

y xu y Ax xu Lim z F

jAy Ax

ycx yucx Ay y Ax x jv Ay y Ax x Lim z f

Az

z f Az z f Lim z f

y

u

x

v

∂∂

+∂∂

=

−++

−+=

++−+++++

=

−+=

∂∂

−=∂∂

µ

µ

FUNCIONES AR"ONICAS

na función real A de 7 común se dice que es armónica en un dominio dado

del plano E, I si tienen derivadas parciales continúas de primer y segundo

orden.

&2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

y

x

"jercicios#

G

xy senye yeu y x ++= *+

0i f@D<24(j J hallar f@4<

3Kdy

du y xe ye

dx

du y x =++= *+$*+$

∫ ∫ ++= )*+$*+$( y xe yedv y x



)(2

*+$$2

x y

xe senyev y x φ +++=

4K y

u

x

v

∂

∂−=

∂

∂

)$$()($$ x senxe senye x senxe senye y x y x ++−−=+− φ

c x

x x

dx x x

x x x

+−

=

−=∂

−=∂∂

∫ ∫ 2

)(

$)(

)(

φ

φ

φ

jc z je jee z f

jc xy j y x j jsenx x jeee z f

c x y

xe senye j xy senxe ye z f

jvu z f

jx y jy x

y jy x

y x y x

+−+=

++−−−+=

+−+++++=

+=

−+ 2

22

2

1)(

)2(201)(*+)(

)22

*+(*+)(

)(

2

201

012

1)2(

21

1)(

)(2

−−=−=

=+=+

−=++−+=

+−+= −

jc

jc

jc

c j

j jc j

jc ja f

jc z

z j jee z f jz z



INTEGRALES CON FUNCIONES CON VARIABLE CO"PLEJA

0ea f@!<

)nalítica en todos los puntos de una curva $ entonces f@!< es integrable a lo

largo de la curva $.

-+"8/)L " L-+")#

f@!< es analítica en /



jvu z f

y x jv y xu z f

dz z f I

+=+=

= ∫

)(

)%()%()(

)(

) jdydxdz

jy x z

+=+=

∫ ∫ ∫

++−=

++=

c c

vdxudy jvdyudx I

jdz dx jv x I

)()(

)((

"jercicios#

3.Aallar

∫ −c

dz z z -1

N!(3N 2 3

!(3 2 3

!23 B O

j

!23 B O(j

P!2 j O(j P

N!(3N2 N3( !N 2 3

- 2

¿¿

∫π

3 π

2

¿3 B O(j< j O(j P

- 2 j

¿¿

∫π

3 π

2

¿O jB j P<

- 2 j

¿¿

∫π

3 π

2

¿O j P< B

¿¿

∫π

3 π

2

¿P<



-2O jK

+¿

∫π

3 π

2

¿ o

¿¿

∫π

3 π

2

¿

- 2O j5QR4 ( O jQ H @5π

2 H Q<

- 2 (j B 3 (π

2

- 2 3 (π

2 ( j

4.(Aallar la integral

- 2 ∫c

❑

z ! P!

$# -!- 2 3 en sentido horario

12O jѳ

12O jѳ

12O(jѳ

-2 ∫0

−2π

℮ jѳ O(jѳ jO jѳ Pѳ

- 2 j ∫0

−2

π ℮ jѳ Pѳ

-2 O jѳ ∫0

−2π

¿ cosѳ B j senѳ ∫0

−2π

❑

-2 @3 H 3< 2 D

5.( Aallar la integral



-2 ∮c

.∂ z

z−4 c#-! H 6-2 4

@D,;< @4,;<

7 ∫0

2

. y2; Py2 D

/eempla!ando#

-4 2 ∫0

2

( x+15) P72 x

2 4 B 3; ∫0

2

¿ 54

-2 -3 B -4

-266

c<.( 9 @4,3< y @4,3< @4,;<

3K @D,3< @4,3<

7 ∫0

2

. y23 Py2 D

-52 ∫0

2

( x+3) P7 2 x

2

2 B 57 ∫0

2

¿ S

4K @4,3< @4,;<

E24 P72 D y2 3

-62 ∫1

5

( y−4) Py 2 y

2

2 ( 6y ∫1

5

¿ 25

2 ( 4D (1

2 B 6 2 (6

-2 -5 B -6

-2 6



P!2 j/ O jѳ Pѳ

12 ∫0

2π j R ℮

jѳ∂ѳ

R ℮ jѳ 2 j 4Q

-! H 6-2 4 O jѳ

12 6 B 4 O jѳ

P!2 j 4 O jѳ Pѳ

-2 ∮0

2π

j 4 O jѳ Pѳ

4 O jѳ

-2 ∮0

2π

∂ѳ 2 j 4Q

-+"8/)L"0 " "+*/+*

eorema 4#

∮c

.

f ( z) P!2 ∮c .

.

f ( z) P! 2 ∮c..

.

f ( z) P!

-2 ∮c

.

z ℮ zt

( z+1)3 P!

c# -!-2 3

∮c

.

¿ ∮c

.

.

-2 ∮c .

.

z ℮

zt

[ z−(−1 )]2+1 P! 2 j

2 π

2J f@(3<

f@!<2 !O!t

fV@!<2 ! t O!t B O!t

fVV@!<2 t@ O!t B O!t < Bt O!t

fVV@!<2t4 ! O!t B 4 t O!t

fVV@(3<2(t4 O(t B 4 t O(t

y2jQ@(t4

O(t

B 4 t O(t

<



&*/ML)0 -+"8/)L"0 " $)$AI

∫C

.f ( z )∂ z

z− zn 2 j4Q f@!D<

∮c

.f ( z )∂ z

( z− z0)n+1 2

j2 π

n ! f@!D<

∮c

. senh π

2( z )∂ z

z2( z−1)

$# -!-2 4

f@!<2senh

π

2 z

z−1

f@!<2

π

2 ( z−1 ) cosh

π

2 z−senh

π

2 z

( z−1)2

f@!D<2f@D<2 (π

2

g@!D<2senh

π

2 z

z2

g@3<2 senhπ

2

!(3 2 3

!23 B O jѳ

!23 B O(jѳ

P!2 j O(jѳ Pѳ

N!(3N2 N3( !N 2 3



-2 ∫0

−2π

℮ jѳ O(jѳ jO jѳ Pѳ

- 2 j ∫0

−2π

℮ jѳ Pѳ

-2 O jѳ ∫0

−2π

¿ cosѳ B j senѳ ∫0

−2π

❑

-2 @3 H 3< 2 D

W.( Aallar la integral

-2 ∮c

.∂ z

z−4 c#-! H 6-2 4

@D,;< @4,;<

7 ∫0

2

. y2; Py2 D

/eempla!ando#

-4 2 ∫0

2

( x+15) P72 x

2 4 B 3; ∫0

2

¿ 54

-2 -3 B -4

-266

c<.( 9 @4,3< y @4,3< @4,;<

3K @D,3< @4,3<

7 ∫0

2

. y23 Py2 D

-52 ∫0

2

( x+3) P7 2 x

2

2 B 57 ∫0

2

¿ S

4K @4,3< @4,;<

E24 P72 D y2 3



-62 ∫1

5

( y−4) Py 2 y

2

2 ( 6y ∫1

5

¿ 25

2 ( 4D (1

2 B 6 2 (6

-2 -5 B -6

-2 6

d<.( la línea que une @D,3< y @4,;<

y2m7B b

y2 47 B 3

Py 2 4P7

-2 ∫0

2

( x+3 )(2 x+1) P7 B T 47 B 3 H 47U 4P7

! 2 O jѳ

!2O(jѳ

P!2j O jѳ Pѳ

-2 ∫0

π

℮ jѳ O(jѳ j O(jѳ Pѳ

-2 ∫0

π

℮ jѳ Pѳ

-2O jѳ ∫0

π

¿ O jQ H j

-2 (3 H 32(4

Aallar el valor num%rico de#

∮c

.∂ z

z−a



f@a<21

z−a

∮c

.

f ( z ) P! 2 D

∮c

.∂ z

z−a 2 ∮c .

.∂ z

z−a

! H a2 / O jѳ

P!2 j/ O jѳ Pѳ

12 ∫0

2π j R ℮

jѳ∂ѳ

R ℮ jѳ 2 j 4Q

-! H 6-2 4 O jѳ

12 6 B 4 O jѳ

P!2 j 4 O jѳ Pѳ

-2 ∮0

2π

j 4 O jѳ Pѳ

4 O jѳ

-2 ∮0

2π

∂ѳ 2 j 4Q

Aallar la región de convergencia#

3

( z+1)n−1

2¿

∑n=1

∞

¿

n2( z+1)n−2

(n−1 )2n

n B 32( z+1)n−1

n3

2n+1



0i la serie es convergente#

limn ∞

Un+1Un X 3

limn ∞

( z+1)n−1

n32

n+1

( z+1)n−1( z+1)−1

(n−1)32n

X 3

limn ∞

(n−1)3( z+1)

n32

X 3

-! B 3- X 4

"7aminar la convergencia#

∑n=1

∞nsen jn

2n

0en jn 2 j senh n

0enh jn2 j sen n

j∑n=1

∞nsenhn

23

n 2nsenhn

2n

n B3 2( n+1 ) senh(n+1)

2n+1

L2 limn ∞

Un+1Un X 3

L2 limn ∞

(n+1 ) senh(n+1)

2n+1

n senhn

2n

X 3



P er i o d o

f(x)

P er i o d o

f(x)

P er i o d o

f(x)x x

Las raíces de la unidad aparecen en los autovectores de las matriceshermitianas @por ejemplo, de la laplaciana discreti!ada unidimensional conlímites periódicos<, de los que se obtiene tambi%n la propiedad deortogonalidad

%$ FUNCIONES PERIODICAS:

0e dice que una función (678 tiene un período ' o es periódica con un

período ' si para todo 7 , ( 67 9 P8 : (678; donde ' es una constante positiva. "l

valor menor de ' ]D se llama el período mínimo o simplemente el período de

(678.

E!empo #&

La función sen n7 o cos n7 tiene períodos 4%$$$%7%4% π π π

puesto que sen

@ 792 π 8;sen @ 7 9 4

π 8, sen @ 790

π 8, ^.todos son iguales a sen 7.

E!empo %&

"l período de sen n7 o cos n7; donde n es un entero positivo, 4

π

R n.

E!empo '&

"l período de tan 7 esπ

.

E!empo (&

na constante tiene cualquier número positivo como período.

*tros ejemplos de funciones periódicas se muestran en los gráficos de la fig. 4(

3.

'$ FUNCIONES CONTINUAS POR INTERVALOS

http://es.wikipedia.org/wiki/Autovector_y_autovalor

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_hermitiana


http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano

http://es.wikipedia.org/wiki/Autovector_y_autovalor



http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano



0e dice que una función (678 es con#inua por in#er'alos en un trayecto si

@i< %ste puede ser dividido en un número finito de sub intervalos en cada uno

de los cuales ( @7< es continua y @ii< los límites de (678 a medida que 7 se

apro7ima a los e7tremos de cada sub intervalo son finitos. *tro modo de

definirla es decir que una función continua por intervalos es aquella que tiene

un número finito de discontinuidades finitas. "n la &ig. 4(4 se da un ejemplo de

una función continua por intervalos. Las funciones de la &ig. 4(3 6a8 y @c< son

continuas por intervalos. La función de la 7 &ig. 4(3 6&8 es continua.

"l l+mi#e de (678 ,acia la derec,a o el l+mi#e del lado derec,o de (678 es llamado

generalmente límite cuando lim (67 B∈

< 2 (67 B D<, donde∈

] D. -gualmente, el

l+mi#e de (678 ,acia la i<uierda o el l+mi#e del e7#remo i<uierdo de (678 se

denomina lim (67 (∈

< 2 (67 ( D<, donde∈

] D . Los valores de (67 B D< y (67= D<

de la &ig. 4.4 en el punto 7; son como se indica. "l hecho de que∈

D y∈

] D

algunas veces se indica, tambi%n brevemente por∈

DB. "ntonces por

ejemplo lim (67 B∈

< 2 (67 B D<, lim (67 (∈

< 2 (67 ( D<.

<(x)



&ig.4.4 '$ DEFINICION DE SERIES DE FOURIER

"stable!camos que (678 está definida en el intervalo 6=L;L8 y determinada fuera

de este intervalo por (67 B 2L8 2 (678; esto es, asumamos que (678 tiene un

período 2L. La serie de $ourier o desarrollo de $ourier que corresponde a (678

se define como#

2

ϑ a

B

∑=

α

1n

@ an cos

) L

nx senb

L

xnn+

π

donde los coe(icien#es de $ourier an y &n son#

=

=

∫ ∫

−

−

dx L

xn sen x f

Lb

dx L

xn x f L

a

L

Ln

L

Ln

π

π

)(1

*+)(1

n: >;1;2;?..

0i (678 tiene un período 2L; los coeficientes an y &n pueden ser

determinados equivalentemente de#

=

=

∫ ∫

+

−

+

−

dx L

xn sen x f

Lb

dx L

xn x f L

a

Lc

cn

Lc

cn

π

π

)(1

*+)(1

2

2

n: >;1;2;?.

onde c es cualquier número real. "n el caso específico de c 2 = L1; @5< se

vuelve igual a @4<.

+ote que el t%rmino constante en @3< es igual a∫ −=

L

L dx x f L

a%)(2

1

2&

el cual es el

valor medio de (678 sobre un período.

0i L 21π

las series @3< y los coeficientes @4< o @5< son particularmente sencillos.

La función en este caso tiene el período 4π

.

0e debe hacer %nfasis en que la serie @3< es únicamente la serie que

corresponde a (678.

x

<(x + &)

<(x D &)



+o sabemos si esta serie converge o aún, si es convergente, si converge a (678.

"l problema reconvergencia fue e7aminado por irichlet, quien desarrolló las

condiciones de convergencia de las series de &ourier que vamos a considerar

ahora.

CONDICIONES DE DIRIC)LET

eorema 4.3# 0upongamos que#

@i< (678 es definida y tiene un valor único con e7cepción posiblemente

de un número finito de puntos en 6=L; L<

@ii< (678 es periódica con período 4L

@iii< (678 y (@678 son continuas por intervalos en 6=L;L8

"ntonces si la serie @3< con coeficientes @4< o @5< converge a#

6a8 (678 si 7 es un punto de continuidad

6&82

&)/<(x&)<(x ++

si 7 es un punto de discontinuidad

e acuerdo con este resultado podemos escribir

∑=

++=α

π π

1

& *+2

)(n nn L

xn senb

L

xna

a x f

"n cualquier punto de continuidad 7. 0in embargo si 7 es un punto de

discontinuidad, entonces el lado i!quierdo de la ecuación se reempla!a por

[ ])&()&( −++ x x

, de tal manera que la serie converge al valor medio de (67 B

*< y ( 67 ( *<.



Tel cual es la mitad del intervalo 6=L; L8; por lo cual recibe el nombre de

dis#ancia mediaB en este caso la función se especifica como par o impar, de tal

manera que este claramente en la otra mitad del intervalo, esto es 6=L; *<. "n

este caso tenemos#

=

=

∫

∫ dx

L

xn x f

Lab

dx L

xn sen x f

Lba

L

nn

L

nn

π

π

*+)(2

&

)(2

&

&%

&%

para series de loni#ud media de seno

@

;

<

para series de loni#ud media de coseno

LA IDENTIDAD DE PARSEVAL establece que#

{ } ( )∑∫ =

− ++=

α

1

22

2

&2

2)(

1

n

nn

L

Lba

adx x f

L

@W<

0i an y &n son los coeficientes de &ourier que corresponden a (678; y si

condiciones de irichlet.

CONVERGENCA UNIFOR"E



∫ ∑∑∫ ==

=

b

a n

nn

n

b

adx xudx xu )()(

11

α α

@`<

Teorema %*': 0i cada t%rmino de una serie infinita tiene una derivada y la

serie de derivadas es uniformemente convergente,

entonces la serie puede ser diferenciada t%rmino por

t%rmino. "sto es#

)()(11

xudxd xu

dxd n

nn

n ∑∑ ===

α α

61>8

Aay varias maneras de probar la convergencia uniforme de una serie. La

más obvia es encontrar la suma 0/ 678 en forma cerrada y despu%s aplicar la

definición directamente. na segunda y más poderosa es usar el teorema

llamado la prue&a de 5eiers#rass D.

Teorema %*(: @'rue&a de 5eiers#rass D.<# 0i e7iste un conjunto de

constantes D n n : 3,4,..., de tal manera que para todo 7 en

el intervalonn , xu ≤)(

; y si además

∑=

α

1n

n ,

converge

)(1

xun

n∑=

α

converge uniformemente en el intervalo.

-ncidentalmente, la serie es tambi%n a&solu#amen#e



sando las identidades de "uler

e

θ

2 cosθ

B i senθ

, e

θ i−

2 cosθ

( i senθ

@33<

onde i es la unidad imaginaria tal que i 4 2 (3, se puede escribir la serie de

&ourier (678 en la siguiente forma compleja.

(678 :

L xin

n

&

ec 0π α

α

∑−=

@34<

en donde#

dxe x f L

c L

L

L xin

n ∫ −−= 0)(

2

1 π

@35<

Al escribir la igualdad @34< estamos suponiendo que las condiciones de irichlet

se satisfacen y más aún que (678 es continuo en 7. 0i (678 es discontinuo en 7; el

lado i!quierdo de @34< debe reempla!arse por,2

)&()&( −++ x f x f

SERIES DOBLES DE FOURIER

La idea de desarrollo de una serie de &ourier para una función de una variable

única 7 puede e7tenderse al caso de funciones de dos variables 7 y y; esto es

(67; y8. 'or ejemplo, podemos desarrollar (67; y8 en una serie do&le de seno de

$ourier.



2111

)%( L

xn sen

L

xm sen B y x f mn

nm

π π α α

∑∑==

=

@36<

en donde

dxdy L

xm sen

L

xm sen y x f

L L B

L L

mn

21&&

21

)%(4 21 π π

∫ ∫ =

@3;<

0e pueden obtener resultados semejantes para series de coseno o para series

que tienen tanto senos como cosenos.

0e pueden generali!ar estas ideas para series #riples de $ourier; etc.

ransformadas de &ourier na serie de &ourier puede usarse algunas veces para representar una funcióndentro un intervalo. 0i una función esta definida sobre toda la recta real, puedeser representarse con una serie &ourier si es periódica. 0i no es periódica,entonces no puede representarse con una serie &ourier para todo 7 . )un eneste caso es posible representar la funcion en terminos de senos y cosenos,

pero la serie de &ourier se convierte en una integral de &ourier. La motivaciónproviene de considerar formalmente las series de &ourier como funciones conperíodo 4T y hacer tender T al infinito.0uponiendo

y

omando

y reemplan!ando la fórmula de la integral por los coeficientes de &ourier#



La sumatoria se asemeja a una suma de /iemann de una integral definida, yen el límite @ < tendríamos#

"ste ra!onamiento informal suguiere la siguiente definición# De-.n./.0n 1@ransformadas de &ourier<

na función se denomina la 2rans-ormada de Four.er de ( @ 7 <, si#

@3D<

e7iste.

@33<

se denomina la 2rans-ormada .n3ersa de Four.er de La transformada

de &ourier de ( es por lo tanto una función de una nueva variable .

"sta función, evaluada en , es No2a ,

Las constantes 3 y que preceden la integral en @3D< y @33< pueden ser

reempla!adas con cualquieras dos constantes cuyo producto sea .E!empo 4 La transformada de &ourier de ( definida como#

es

La transformada inversa de &ourier se calcula así#

http://gemic.e-technik.uni-ulm.de/lehre/basic_mathematics/fourier_es/node6.php3#ft

http://gemic.e-technik.uni-ulm.de/lehre/basic_mathematics/fourier_es/node6.php3#ift

http://gemic.e-technik.uni-ulm.de/lehre/basic_mathematics/fourier_es/node6.php3#ft

http://gemic.e-technik.uni-ulm.de/lehre/basic_mathematics/fourier_es/node6.php3#ift



Teorema 5 @La integral de &ourier<3.

0i ( @ 7 < y ( @ 7 < son funciones definidas continuas a tro!os en un intervalofinito

4.

y converge, i.e. ( @ 7 < es completamente integrable

en

"ntonces#

@34<

No2a 1 Las condiciones arriba citadas son suficientes pero no necesarias. La similitudcon los resultados obtenidos para la serie de &ourier es aparente.=eamos algunas de las propiedades de la transformada de &ourier#L.nea.dad

0i , entonces#

ado que la transformada de &ourier de ( @# < y @# < e7iste.Es/aado

0i y , entonces#

Corr.m.en2o en 2.empo



0i y , entonces#

Corr.m.en2o en -re/uen/.a

0i y , entonces#

S.me2r6a

0i , entonces#

sando la formula de la transformada inversa de &ourier

por lo tanto#

"odua/.0n

0i y , entonces#

sando el teorema de corrimiento en frecuencia obtemos#

Der.3ada en 2.empo



0ea y asumiendo que ( @n< es continua a tro!os. 0uponiendo

que . "ntonces#

"n particular#

y

n23. "l caso general puede probarse por inducción

E!empo 50i queremos#

erivamos en tiempo para obtener#

ambi%n podría integrase por partes y obtener#

endríamos entonces#

/esolviendo esta ecuacion obtenemos#

E!empo 7ueremos encontrar la solucion a#

y 8*(y 9H t $e*(t

E @# < esta dada por#



)plicando la transformada de &ourier a la ecuación diferencial obtenemos#

efiniendo , tenemos#

"ntonces#

e la última ecuación, obtenemos#

Der.3ada en -re/uen/.a

ado y asumiendo que ( sea continua a tro!os. "ntonces#

"n particular#

y

'robaremos el teorema para n23. "l argumento para un n más grandees una repetición de este.

Con3ou/.0n

De-.n./.0n 4 @La convolución<



0i ( y ambas tienen transformadas de &ourier, entonces la convolució ( G delas funciones ( y se define como#

@35<

Teorema 7 @"l teorema de convolución< La transformada de &ourier de laconvolución de ( @ 7 < y @ 7 < es igual al producto de las transformadas de &ourierde ( @ 7 < y @ 7 <.

y

se desprende de la fórmula de la convolución en eltiempo

La prueba de la convolución en frecuencia es similar.La 2rans-ormada de Four.er de a -un/.0n de2a D.ra/

)lgunos problemas involucran el concepto de un impulso, el cual puedeser entendido de manera intuitiva como una fuer!a de una magnitude7tremadamente grande que se aplica durante un instante. 0e puedemodelar esta idea matemáticamente de la siguiente manera#



ado que se hace pequeo, la duración de este pulso tiende a ceromientras que su amplitud se incrementa sin límite. "sto conlleva adefinir#

estrictamente tratada, no es un a función en el sentidoconvencional, sino una cantidad llamada distribución. 'or ra!oneshistóricas se denomina la función delta irac en homenaje al físico '. ).M. irac. La función delta tiene la siguiente propiedad fundamental#

De-.n./.0n 5 @&unción delta irac<

No2a 4 )si tenemos que la transformada de &ourier de la función delta implica 3.

E 2eorema de mues2reo

na función ( @# < se considera limitada en banda si su transformada de &ourieres diferente de cero solamente en un intervalo de longitud finita. "sto implica

que para cierto L, si $omen!ando con la integral de la

transformada inversa de &ourier#

La serie compleja de &ourier para en el intervalo T(L,LU esta dadapor



donde#

)hora comparando estas ecuaciones podemos concluir que#

y

0ustituyendo esta serie para en ( @# < obtenemos#

-ntercambiando la sumatoria y la serie, tenemos#

Teorema #; E 2eorema de mues2reo$

"sto implica que ( @# < se conoce para todo # solo si los valores de la función

se conoce para valores enteros de n. "sto es, si se muestrea la seal

@función< y se encuentran sus valores para , entonces laseal puede ser reconstruida completamente.



0

f(x)

período

x

3 5 10 15 20 25-25 -20 -15 -10 -5

APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER

Aay numerosas aplicaciones de las series de &ourier a soluciones de

problemas de valor límite. 'or ejemplo#

3. Fu!o de /aor .

4. E/ua/.0n de Lapa/e.

5. S.s2emas 3.<ra2or.os

PROBLE"AS RESUELTOS

SERIES DE FOURIER

E!empo # Aacer el gráfico de cada una de las siguientes funciones.

6a8

5 DF.7 X ;

(678 2 'eríodo 23D

(5 (; X 7 X D

&ig.4.5ado que el período es 3D, la parte de la gráfica en la cual (; X 7 X ; @indicada

en líneas continuas en la &ig. 4.5 arriba< se e7tiende periódicamente fuera de

este espacio @que se indica punteado<. %ngase en cuenta que (678 no está

definido para 7 2 D,;, (;, 3D, (3D,3;, (3;, etc. "stos valores son las

discon#inuidades de (678.

6&8

sen 7 >

π ≤≤ x



π 0

f(x) período

x

π 2−π 3− π π 2 π 3 π 4

-2 -4 -6 -8 -10 -12 2 0 4 6 8 10 12 14

f(x) período

x

1

(678 2 'eríodo 2 4π

> π

F 7 F2 π

=er &igura de arriba. +ótese que (678 está definida para todos los valores de 7 y

es continua a todo lo largo.

6c8

> > x≤

F2

(678: 3 4 x≤

F4 Per+odo :0

> 4 x≤

F0

+ótese que f@7< está definida por todos los valores de 7 y es discontinua para 7

2 B4, B 6J BSJ B3DJ B36, ^

E!empo %$alculando la serie de &ourier de la función ( dada por#



ya que ( es una función impar, esto es , y por lo tanto#

aD2D

'ara los coeficientes &n estan dados por#

0e deduce que



)+"E*0

Manual Analisis de La Variable Compleja2013

Documents

Transcript of Manual Analisis de La Variable Compleja2013