TEORÍA DE MEDIDAS

INTRODUCCIÓN

Las ciencias experimentales operan con valores numéricos que se obtienen como resultado de efectuar medidas de variables, por ejemplo una temperatura, una longitud o una diferencia de potencial eléctrico. Sin embargo, estas medidas nos proporcionan valores aproximados de dichas variables ya que en el proceso intervienen tanto las imperfecciones de los instrumentos de medida, las limitaciones de nuestros sentidos o causas incontrolables. Puede también suceder que, en algunas ocasiones, el mismo proceso de la medida puede tener influencia sobre la magnitud que deseamos medir.

Admitiremos como postulado que es imposible llegar a conocer el valor exacto de cualquier magnitud. Esto no significa que no exista dicho valor verdadero, sino que es imposible determinarlo sin un margen de indeterminación o incertidumbre. El objetivo de la teoría de medidas consiste precisamente en acotar dichas incertidumbres, denominadas también errores experimentales. La importancia de esta acotación radica en que, en muchas situaciones, obtener una conclusión o tomar una decisión dependerá del grado de incertidumbre que se haya obtenido en el proceso de medida.

Para evitar malentendidos dejaremos establecido que el término error, que vamos a utilizar extensamente, es sinónimo de indeterminación y no de equivocación.

Por otra parte, muchas magnitudes no se miden, sino que se obtienen indirectamente como resultado de operar con medidas que sí se realizan directamente (por ejemplo, determinar el volumen de una esfera a partir de la medida de su diámetro) o a partir de datos que vienen en tablas. De esta forma, las indeterminaciones que se cometen en las medidas directas se propagan a la magnitud indirecta a través de los cálculos.

EL PROCESO DE MEDIDA

Medir una magnitud (medir la longitud de un objeto, por ejemplo) es un proceso o un conjunto de actividades que se lleva a cabo utilizando un instrumento. El resultado final de este proceso, que denominamos medición o proceso de medida es el número de veces que la magnitud contiene a un patrón de referencia (a sus múltiplos y submúltiplos); decimos que ese es el valor de la magnitud (por ejemplo, longitud = 3.27 m). Es habitual utilizar la palabra medida para denominar tanto la acción de medir como el resultado de dicha acción.En todo lo dicho hay implícitos una serie de elementos que intervienen en el proceso: el"objeto" que se intenta medir, el instrumento de medida, el patrón de referencia y elobservador.

CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

Definimos error de una magnitud como la diferencia entre su valor exacto (desconocido) y el obtenido experimentalmente. Como ya hemos citado, este error no lo consideramos como consecuencia de una equivocación al llevar a cabo la medida, sino como una incertidumbre inherente a cualquier proceso y, por ello, sería más adecuado darle el nombre de incertidumbre de la magnitud. Sin embargo, seguiremos la nomenclatura tradicional, sin perder de vista su verdadero significado.

Atendiendo a las causas que los originan, clasificaremos los errores en dos grandes grupos: sistemáticos y accidentales.

Errores sistemáticos. Se denomina así a aquel error que se mantiene constante a lo largo de todo el proceso de medida y por tanto, afecta de igual manera a todas las medidas. Además, es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo definido y sus causas más probables son:• Defecto del instrumento (error de cero, por ejemplo).• Error del observador, ya sea debido a una mala realización de la medida o a una limitaciónfísica.• Error en la elección del método.Evidentemente, los errores sistemáticos se ponen de manifiesto al cambiar el instrumentode medida, el observador o el método empleado.

Ya que un error sistemático afectará a todas las medidas en la misma forma, permite detectarlo y corregirlo a través de un calibrado. Por ejemplo, un error sistemático sería el cometido al medir con un termómetro defectuoso. Comparando las medidas con las llevadas a cabo con un termómetro bien calibrado que proporciona datos correctos, se podría, de forma sencilla, proceder a la corrección de las medidas.

Error accidental o aleatorio es aquel que sucede cuando medidas sucesivas realizadas por el mismo observador, en condiciones idénticas (con la reproducción íntegra del proceso de medida), proporcionan valores diferentes, y que sólo por azar son iguales. Son de valor muy pequeño comparados con la magnitud a medir y además, supondremos que es igualmente probable obtener un valor superior o inferior al valor verdadero.

Tienen su origen en fenómenos aleatorios y, por tanto, son incontrolables. Debido a este carácter incontrolable, no se pueden corregir (como sucedía en el caso de los errores sistemáticos); sin embargo, el empleo de métodos estadísticos nos permitirá llegar a algunas conclusiones sobre el margen de incertidumbre con el cual se determina una magnitud.

EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD

Conceptos importantes en el proceso de medida, relativos al instrumento con el que seopera:

Exactitud se define como la concordancia entre el valor exacto y el obtenido experimentalmente. Un instrumento será muy exacto si las medidas realizadas con él son todas muy próximas al valor exacto.

Precisión se refiere al acuerdo entre las sucesivas medidas de una magnitud, llevadas a cabo en las mismas condiciones de trabajo. De este modo, un instrumento será muy preciso si las medidas realizadas con él de una cierta magnitud se encuentran muy próximas entre sí. Exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que un aparato puede ser preciso y a la vez poco exacto (pensar en el caso de una persona que siempre llega cinco minutos tarde). En general, se puede decir que es más fácil conocer la precisión de un aparato que su exactitud.

Sensibilidad de un instrumento se define como el valor mínimo de la magnitud que puedeapreciar. Por ejemplo, que la sensibilidad de una balanza sea de 5 mg significa que para masas inferiores a 5 mg, la balanza no experimentará ninguna variación. Normalmente se admite como sensibilidad el equivalente a la división más pequeña de la escala de medida. No obstante, con demasiada frecuencia se toma media división como sensibilidad, si dichas divisiones son lo suficientemente amplias. Este último criterio no es demasiado correcto pues, aunque el observador sea capaz de distinguir posiciones intermedias, el límite lo impone el propio instrumento (escala suministrada por el fabricante).

Ejercicio. ¿Cuál es el valor más pequeño que se puede apreciar con…

a) una regla milimetradab) una báscula de bañoc) tu relojd) el cuentakilómetros de un cochee) el velocímetro de un coche

ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO

Se define el error absoluto de una medida como la diferencia entre el valor medido x yel valor exacto x0:

Δx = x − x0 (1)

El error absoluto representa la desviación, en términos absolutos, de la medida respecto alvalor exacto. Ya que no conocemos este valor exacto, deberemos establecer un procedimiento para calcular este error (por ejemplo y como se verá más adelante, definir el valor exacto como el valor medio de las medidas realizadas).

Se define el error relativo de una medida como el cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la magnitud y se suele dar también en forma de porcentaje:

εr = Δx / x0 (2)

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Introducción

La medición es un proceso de reconocimiento que se reduce a la comparación, mediante un experimento físico, de una magnitud dada con un valor de esta magnitud elegido como unidad.

Las unidades se dan por acuerdos internacionales y en general, siempre que ello sea posible, se materializan en condiciones rigurosamente establecidas.

Esta materialización de la unidad recibe el nombre de patrón, el cual, debe ser lo más exacto, constante y reproducible.

El desarrollo de la ciencia está relacionado con el desarrollo de las técnicas de medición.

Las teorías pueden ser confirmadas solo con las mediciones. Es inevitable que un ingeniero tenga que realizar mediciones utilizándolas como medio para obtener una determinada información o para investigaciones científicas.

El ingeniero, el técnico y el investigador, deben estar familiarizado a fondo con losinstrumentos, los métodos y las técnicas de medición.

La compleja determinación de una magnitud exige, la indicación del valor numérico y de la unidad empleada. Un ingeniero debe estar claro con respecto a lo que representan las mediciones a realizar y la referencia que se tiene en cada clase de medición.

Las unidades físicas están relacionadas entre sí por ecuaciones. Muchas de estas ecuaciones expresan solamente la homogeneidad de dos magnitudes. En cambio otras expresan leyes universales de la física y permiten definir nuevas magnitudes. En el estudio de las leyes que gobiernan los fenómenos físicos se reconoció desde hace siglos, que de las distintas magnitudes son pocas las que tienen que considerarse independientes.

En principio tres magnitudes se consideraron como completamente independientes entre si e irreducibles como son: la longitud, la masa y el tiempo, estableciéndose de esta manera como magnitudes fundamentales. Así con base a un sistema de sólo tres unidades fundamentales se desarrollo la interpretación de todos los fenómenos físicos estableciéndose sus correlaciones y leyes.

UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL

En la evolución de establecer patrones rigurosos en base a la exactitud, valor constante y reproducibilidad, un paso importante fue la adopción internacional en el año de 1948 de los patrones absolutos. Sin embargo, es solamente en la 11ma. Conferencia General de Pesas y Medidas (Par¶³s, Octubre de 1960), cuando lenitivamente se aprobó el sistema de medidas conocido como SI (Sistema Internacional), el cual sustituyó a los sistemas c.g.s. y M.K.S. eliminando los problemas que originaban el uso dual de esos dos sistemas.

El sistema SI consta de siete unidades básicas, las cuales se muestran en la Tabla 1.1.A continuación se dan las definiciones de las unidades básicas que son consideradas independientes entre sí, en cada definición se indica cuando fue realizada su última actualización.

1. El metro: es la longitud del camino recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de 1/299 792 458 de un segundo. Esta definición fue adoptada en 1983 por la CGPM.

2. El kilogramo: es definido como la masa de un cilindro de platino e iridio que esmantenido en el BIPM bajo condiciones establecidas en 1889 por la 1era. CGPM.

Esta definición fue adoptada en 1901 por la 3era. CGPM.

3. El segundo: es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del bajo estado del átomo de cesio 133. Esta definición fue adoptada en 1967 por la 13va. CGPM y afirmada por el CIPM en 1997.

4. El ampere: es esa corriente constante que, si se mantiene en dos conductores paralelos rectos de longitud infinita, de sección transversal circular despreciable, y colocados a una separación de 1 m en vacío, producirá entre estos conductores una fuerza igual a 2 ¤ 10¡7 newton por metro de longitud. Esta definición fue adoptada en 1948 por la 9na. CGPM.

5. El kelvin: es definido como la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del triple punto del agua. La temperatura 0 K es denominado \cero absoluto". Esta definición fue adoptada en 1967 por la 13va. CGPM.

6. El mole: se define como la cantidad de sustancia contenida en tantas cantidades elementales como átomos en 0.012 kg de carbono 12. Esta definición fue adoptada en 1971 por la 14ta. CGPM.

7. La candela: es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540x1012 Hz y que tiene una intensidad radiante en esa dirección de 1/683 watt por estereorradián. Esta definición fue adoptada en 1979 por la 16ma. CGPM.

Además de veintidós unidades derivadas que se forman con las unidades básicas que tienen nombre propio como se puede apreciar en la Tabla 1.2 y otro grupo de unidades derivadas sin nombre propio.

TIPOS DE CORRIENTE ELÉCTRICA

En la práctica, los dos tipos de corrientes eléctricas más comunes son: corriente directa (CD) o continua y corriente alterna (CA). La corriente directa circula siempre en un solo sentido, es decir, del polo negativo al positivo de la fuente de fuerza electromotriz (FEM) que la suministra. Esa corriente mantiene siempre fija su polaridad, como es el caso de las pilas, baterías y dinamos

Corriente directa (C.D.) o continua (C.C.). Corriente alterna (A C) o ( C A)

La corriente alterna se diferencia de la directa en que cambia su sentido de circulación periódicamente y, por tanto, su polaridad. Esto ocurre tantas veces como frecuencia en hertz (Hz) tenga esa corriente . A la corriente directa (C.D.) también se le llama "corriente continua"(C.C.).

La corriente alterna es el tipo de corriente más empleado en la industria y es también la que consumimos en nuestros hogares. La corriente alterna de uso doméstico e industrial cambia su polaridad o sentido de circulación 50 ó 60 veces por segundo, según el país de que se trate. Esto se conoce como frecuencia de la corriente alterna.

En los países de Europa la corriente alterna posee 50 ciclos o hertz (Hz) por segundo de frecuencia, mientras que en los países de América la frecuencia es de 60 ciclos o hertz.

OTROS DATOS

Aunque desde hace años el Sistema Internacional de Medidas (SI) estableció oficialmente como“ampere” el nombre para designar la unidad de medida del amperaje o intensidad de la corriente eléctrica, en algunos países de habla hispana se le continúa llamando “amperio”.

El ampere recibe ese nombre en honor al físico y matemático francés André-Marie Ampère (1775 – 1836), quién demostró que la corriente eléctrica, al circular a través de un conductor, producía un campo magnético a su alrededor. Este físico formuló también la denominada “Ley de Ampere”.

CORRIENTE ALTERNA

Figura 1: Forma sinusoidal.

Se denomina corriente alterna (CA) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda senoidal puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la energía.

Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.

Esta corriente es alterna y la magnitud de éste varía primero hacia arriba y luego hacia abajo y nos da una forma de onda llamada: onda senoidal.

COMO POR EJEMPLO:

Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en inglés, de alternating current) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y el sentido varían cíclicamente.

La forma de oscilación de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la oscilación senoidal con la que se consigue una transmisión más eficiente de la energía, a tal punto que al hablar de corriente alterna se sobrentiende que se refiere a la corriente alterna senoidal.

Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las industrias. Sin embargo, las señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente alterna. En estos usos, el fin más importante suele ser la transmisión y recuperación de la información codificada (o modulada) sobre la señal de la CA.

CORRIENTE ALTERNA FRENTE A CORRIENTE CONTÍNUA

La razón del amplio uso de la corriente alterna viene determinada por su facilidad de transformación, cualidad de la que carece la corriente continua. En el caso de la corriente continua, la elevación de la tensión se logra conectando dínamos en serie, lo que no es muy práctico; al contrario, en corriente alterna se cuenta con un dispositivo: el transformador, que permite elevar la tensión de una forma eficiente.

La energía eléctrica viene dada por el producto de la tensión, la intensidad y el tiempo. Dado que la sección de los conductores de las líneas de transporte de energía eléctrica depende de la intensidad, mediante un transformador se puede elevar la tensión hasta altos valores (alta tensión), disminuyendo en igual proporción la intensidad de corriente. Con esto la misma energía puede ser distribuida a largas distancias con bajas intensidades de corriente y, por tanto, con bajas pérdidas por causa del efecto Joule y otros efectos asociados al paso de corriente, tales como la histéresis o las corrientes de Foucault. Una vez en el punto de consumo o en sus cercanías, el voltaje puede ser de nuevo reducido para su uso industrial o doméstico y comercial de forma cómoda y segura.

LAS MATEMÁTICAS Y LA CA SINUSOIDAL

Algunos tipos de oscilaciones periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresión matemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, la oscilación sinusoidal no tiene esta indeterminación matemática y presenta las siguientes ventajas:

La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analítica y gráfica.

Mediante la teoría de los números complejos se analizan con suma facilidad

los circuitos de alterna.

Las oscilaciones periódicas no sinusoidales se pueden descomponer en suma de una

serie de oscilaciones sinusoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre de

armónicos. Esto es una aplicación directa de las series de Fourier.

Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el

transporte de la energía eléctrica.

Su transformación en otras oscilaciones de distinta magnitud se consigue con facilidad

mediante la utilización de transformadores.

OSCILACIÓN SENOIDAL

Figura 2: Parámetros característicos de una oscilación sinusoidal.

Una señal senoidal o sinusoidal,  , tensión,  , o corriente,  , se puede expresar matemáticamente según sus parámetros característicos (figura 2), como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación:

donde

 es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o de pico),

 la pulsación en radianes/segundo,

 el tiempo en segundos, y

 el ángulo de fase inicial en radianes.

Dado que la velocidad angular es más interesante para matemáticos que para ingenieros, la fórmula anterior se suele expresar como:

donde f es la frecuencia en hercios (Hz) y equivale a la inversa del período  . Los valores más empleados en la distribución son 50 Hz y 60 Hz.

Valores significativos

A continuación se indican otros valores significativos de una señal sinusoidal:

Valor instantáneo (a(t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t, determinado.

Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo.

Dado que el valor máximo desen(x) es +1 y el valor mínimo es -1, una señal sinusoidal

que oscila entre +A0 y -A0. El valor de pico a pico, escrito como AP-P, es por lo tanto (+A0)-

(-A0) = 2×A0.

Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abscisas partido por su

período. El valor medio se puede interpretar como el componente de continua de la

oscilación sinusoidal. El área se considera positiva si está por encima del eje de abscisas

y negativa si está por debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo es

idéntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una Oscilación

sinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el cálculo integral se puede demostrar que

su expresión es la siguiente;

Pico o cresta: Valor máximo, de signo positivo (+), que toma la oscilación sinusoidal del

espectro electromagnético, cada medio ciclo, a partir del punto “0”. Ese valor aumenta o

disminuye a medida que la amplitud “A” de la propia oscilación crece o decrece

positivamente por encima del valor "0".

Valor eficaz  (A): El valor eficaz se define como el valor de una corriente (o tensión)

continua que produce los mismos efectos calóricos que su equivalente de alterna. Es

decir que para determinada corriente alterna, su valor eficaz (Ief) será la corriente

continua que produzca la misma disipación de potencia (P) en una resistencia(R).

Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como

la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados

durante un período:

En la literatura inglesa este valor se conoce como R.M.S. (root mean square, valor cuadrático medio), y de hecho en matemáticas a veces es llamado valor cuadrático medio de una función. En el campo industrial, el valor eficaz es de gran importancia, ya que casi todas las operaciones con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor. De ahí que por rapidez y claridad se represente con la letra mayúscula de la magnitud que se trate (I, V, P, etc.). Matemáticamente se demuestra que para una corriente alterna sinusoidal el valor eficaz viene dado por la expresión:

El valor A, tensión o intensidad, es útil para calcular la potencia consumida por una carga. Así, si una tensión de alterna, desarrolla una cierta potencia P en una carga resistiva dada, una tensión de continua de Vrms desarrollará la misma potencia P en la misma carga, por lo tanto Vrms x I = VCA x I (véase Potencia en corriente alterna)

Representación fasorial

Una función sinusoidal puede ser representada por un número complejo cuyo argumento crece linealmente con el tiempo (figura 3), al que se denomina fasor o representación de Fresnel, que tendrá las siguientes características:

Girará con una velocidad angular ω.

Su módulo será el valor máximo o el eficaz, según

convenga.

Figura 3: Representación fasorial de una oscilación sinusoidal.

La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone. Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna.

Consideremos, a modo de ejemplo, una tensión de CA cuyo valor instantáneo sea el siguiente:

Figura 4: Ejemplo de fasor tensión.

Tomando como módulo del fasor su valor eficaz, la representación gráfica de la anterior tensión será la que se puede observar en la figura 4, y se anotará:

denominadas formas polares, o bien:

denominada forma binómica.

CORRIENTE TRIFÁSICA

La generación trifásica de energía eléctrica es la forma más común y la que provee un uso más eficiente de los conductores. La utilización de electricidad en forma trifásica es común mayoritariamente para uso en industrias donde muchas de las máquinas funcionan con motores para esta tensión.

Figura 5: Voltaje de las fases de un sistema trifásico. Entre cada una de las fases hay un

desfase de 120º.

La corriente trifásica está formada por un conjunto de tres formas deoscilación, desfasadas una respecto a la otra 120º (grados), según el diagrama que se muestra en la figura 5.

Las corrientes trifásicas se generan mediante alternadores dotados de tres bobinas o grupos de bobinas, enrolladas sobre tres sistemas de piezas polares equidistantes entre sí. El retorno de cada uno de estos circuitos o fases se acopla en un punto, denominado neutro, donde la suma de las tres corrientes, si el sistema está equilibrado, es cero, con lo que el transporte puede ser efectuado usando solamente tres cables.

Esta disposición sería la denominada conexión en estrella, existiendo también la conexión en triángulo o delta en las que las bobinas se acoplan según esta figura geométrica y los hilos de línea parten de los vértices.

Existen por tanto cuatro posibles interconexiones entre generador y carga:

1. Estrella - Estrella

2. Estrella - Delta

3. Delta - Estrella

4. Delta – Delta

En los circuitos tipo estrella, las corrientes de fase y las corrientes de línea son iguales y,

cuando el sistema está equilibrado, las tensiones de línea son   veces mayor que las tensiones de fase y están adelantadas 30° a estas:

En los circuitos tipo triángulo o delta, pasa lo contrario, las tensiones de fase y de línea,

son iguales y, cuando el sistema está equilibrado, la corriente de fase es   veces más pequeña que la corriente de línea y está adelantada 30° a ésta:

El sistema trifásico es un tipo particular dentro de los sistemas polifásicos de generación eléctrica, aunque con mucho el más utilizado.

CÁLCULO DEL VALOR MEDIO Y VALOR EFICAZ