Manual de Metodología · 2018. 3. 16. · PSRI SDDP 9.0 - Manual de Metodología 7 En este caso...

MODELO SDDP

MANUAL DE METODOLOGÍA

Versión 9.0

Preparado por

PSRI

Mayo de 2006

PSRI SDDP 9.0 - Manual de Metodología 2

ÍNDICE 1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................5

2 DESPACHO DE SISTEMAS TÉRMICOS................................................................................6 2.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..........................................................................................6 2.2 CÁLCULO DEL PRECIO “SPOT” ...............................................................................................6 2.3 EJEMPLO ................................................................................................................................7

3 DESPACHO DE SISTEMAS HIDROTÉRMICOS ..................................................................8 3.1 OPERACIÓN DE SISTEMAS HIDROTÉRMICOS ...........................................................................8

3.1.1 Dependencia Temporal de la Operación..........................................................................8 3.1.2 Costo Inmediato y Costo Futuro ......................................................................................9 3.1.3 Cálculo de la FCI y FCF................................................................................................10 3.1.4 Valor Marginal del Agua................................................................................................10

3.2 DESPACHO HIDROTÉRMICO DE UNA ETAPA..........................................................................11 3.3 ALGORITMO DE SOLUCIÓN Y COSTOS MARGINALES ............................................................13 3.4 EJEMPLO ..............................................................................................................................14

4 CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE COSTO FUTURO...........................................................17 4.1 PROGRAMACIÓN DINÁMICA ESTOCÁSTICA ..........................................................................17 4.2 LIMITACIONES EN EL ESQUEMA PDE.....................................................................................18 4.3 LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA DUAL .................................................................................19

5 DESPACHO DE UNA ETAPA..................................................................................................21 5.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.........................................................................................21 5.2 NOTACIÓN............................................................................................................................21 5.3 FUNCIÓN OBJETIVO ..............................................................................................................21 5.4 RESTRICCIONES OPERATIVAS BÁSICAS .................................................................................22

5.4.1 Balance hídrico ..............................................................................................................22 5.4.2 Límites de almacenamiento ............................................................................................24 5.4.3 Turbinamiento mínimo ...................................................................................................24 5.4.4 Turbinamiento máximo...................................................................................................24 5.4.5 Producción de energía hidroeléctrica ............................................................................25 5.4.6 Límites en la generación térmica ...................................................................................25 5.4.7 Suministro de la demanda ..............................................................................................26

5.5 FUNCIÓN DE COSTO FUTURO.................................................................................................26 5.6 RESTRICCIONES OPERATIVAS ADICIONALES .........................................................................27

5.6.1 Restricciones de seguridad en los embalses - Volúmenes de alerta...............................27 5.6.2 Restricciones de seguridad en los embalses - Volúmenes mínimos operativos..............27 5.6.3 Restricciones de seguridad en los embalses - Volúmenes de espera operativos ............28 5.6.4 Restricciones en la defluencia total ................................................................................28 5.6.5 Restricciones de regulación en centrales de pasada ......................................................28 5.6.6 Centrales térmicas con costos lineales por parte...........................................................29 5.6.7 Centrales térmicas must-run ..........................................................................................31 5.6.8 Límites en el consumo de combustible............................................................................31 5.6.9 Límites en la tasa de consumo de combustible...............................................................31 5.6.10 Restricciones de generación mínima para grupos de centrales térmicas..................32 5.6.11 Restricciones de generación ......................................................................................32 5.6.12 Centrales térmicas multi-combustible .......................................................................32 5.6.13 Centrales térmicas tipo commitment .........................................................................33 5.6.14 Disponibilidad y transporte de gas natural ...............................................................34

Límites de producción.............................................................................................................................. 35 Límites de transporte de los gasoductos................................................................................................... 35 Balance de oferta y demanda de cada nodo del sistema de gas................................................................ 35

5.6.15 Reserva rodante .........................................................................................................36 Reserva rodante para centrales hidroeléctricas ........................................................................................ 36 Reserva rodante para centrales térmicas .................................................................................................. 36


5.6.16 Restricciones de reserva de generación ....................................................................37 5.6.17 Riego ..........................................................................................................................37 5.6.18 Modelo de Volumen Muerto ......................................................................................39 5.6.19 Canal de Fuga ...........................................................................................................40 5.6.20 Generación en función de la afluencia ......................................................................43

5.7 INTERCONEXIÓN...................................................................................................................46 5.7.1 Restricción de Suma de Intercambios.............................................................................46

5.8 FLUJO DE POTENCIA LINEALIZADO .......................................................................................47 5.8.1 Primera ley de Kirchhoff ................................................................................................47 5.8.2 Segunda ley de Kirchhoff................................................................................................48 5.8.3 Límites en los flujos en los circuitos...............................................................................48 5.8.4 Formulación compacta...................................................................................................49 5.8.5 Representación de los enlaces DC .................................................................................50 5.8.6 Límites de importación y exportación entre áreas eléctricas.........................................52 5.8.7 Restricción de Suma de Flujo en Circuitos ....................................................................52

5.9 CLASIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES...............................................................................54 5.10 DICCIONARIO DE VARIABLES................................................................................................55

6 VALORES DE SALIDA.............................................................................................................58

7 SIMULACIÓN OPERATIVA ...................................................................................................59 7.1 PROCEDIMIENTO...................................................................................................................59 7.2 SALIDAS ...............................................................................................................................60

7.2.1 Estadística del sistema....................................................................................................60 7.2.2 Estadística de generación...............................................................................................60 7.2.3 Estadística y balances de embalses ................................................................................61 7.2.4 Estadística de consumo de combustible .........................................................................61 7.2.5 Costos marginales ..........................................................................................................61 7.2.6 Líneas de transmisión.....................................................................................................61

ANEXO A. REPRESENTACIÓN DE LAS PÉRDIDAS.................................................................62 A.1. PROBLEMA CUADRÁTICO............................................................................................................62 A.2. PROBLEMA CUADRÁTICO EN FORMA COMPACTA .......................................................................62 A.3. LINEALIZACIÓN DE LAS PÉRDIDAS - ESQUEMA TRADICIONAL ....................................................63 A.4. LIMITACIONES EN EL ESQUEMA DE LINEALIZACIÓN TRADICIONAL.............................................64 A.5. LINEALIZACIONES ACUMULADAS ...............................................................................................64

ANEXO B. PROGRAMACIÓN DINÁMICA DUAL ESTOCÁSTICA .........................................65 B.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ...................................................................................................65 B.2. PASOS DEL ALGORITMO SDDP......................................................................................................66

B.2.1 Selección del conjunto inicial de estados ............................................................................66 B.2.1.1 Estados iniciales de almacenamiento........................................................................................... 66 B.2.1.2 Estados iniciales de afluencias .................................................................................................... 66

B.2.2 Cálculo de la función aproximada de costo futuro .............................................................66 B.2.2.1 Generación de N escenarios de afluencias condicionadas............................................................ 67 B.2.2.2 Solución del problema operativo ................................................................................................. 67 B.2.2.3 Cálculo de las derivadas .............................................................................................................. 68 B.2.2.4 Cálculo de la aproximación de la función de costo futuro........................................................... 69 B.2.2.5 Actualización de la función de costo futuro de la etapa anterior ................................................. 70

B.2.3 Cálculo del límite inferior ...................................................................................................70 B.2.4 Cálculo del límite superior ..................................................................................................70

B.2.4.1 Estados iniciales de almacenamiento........................................................................................... 71 B.2.4.2 Estados iniciales de afluencias .................................................................................................... 71 B.2.4.3 Simulación operativa ................................................................................................................... 71 B.2.4.4 Actualización del estado inicial de almacenamiento ................................................................... 71 B.2.4.5 Obtención del límite superior ...................................................................................................... 72

B.2.5 Verificación de la optimalidad ............................................................................................72 ANEXO C. MODELO ESTOCÁSTICO DE CAUDALES ..............................................................73

C1. OBJETIVO.....................................................................................................................................73


C.2. MODELACIÓN EN UNA VARIABLE PARA SECUENCIAS DE CAUDALES AFLUENTES A UN ÚNICO EMBALSE ............................................................................................................................................73

C2.1 El Modelo ARP (1) .........................................................................................................73 C.2.1.1 Introducción................................................................................................................................. 73 C.2.1.2 Relación entre el parámetro autoregresivo y la correlación de caudales ..................................... 74 C.2.1.3 El vector de ruidos transformados ............................................................................................... 75

C.2.2 Modelo de Ajuste.................................................................................................................77 C.2.3. Verificación del Modelo .....................................................................................................77

C.2.3.1 Independencia de los ruidos ........................................................................................................ 78 C.2.3.2 Ruidos normalizados ................................................................................................................... 78 C.2.3.3 Puntos fuera de la curva .............................................................................................................. 78

C.3. MODELO MULTIVARIADO PARA MÚLTIPLES EMBALSES ...............................................................79 C.4. GENERACIÓN SINTÉTICA DE CAUDALES.......................................................................................79

ANEXO D. MODELO AUTOREGRESIVO PERIÓDICO DE ORDEN P....................................82 D.1. MODELO EN UNA VARIABLE........................................................................................................82 D.2. IDENTIFICACIÓN DEL ORDEN ......................................................................................................85 D.3. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS....................................................................................................85 D.4. NÚMERO DE SECUENCIAS ...........................................................................................................86 D.5. INTERFAZ CON EL MODELO DE OPTIMIZACIÓN ...........................................................................86

ANEXO E. ASPECTOS COMPLEMENTARIOS DEL MODELO DE CAUDALES ..................88


1 INTRODUCCIÓN Este informe presenta los lineamientos conceptuales del algoritmo de programación dinámica estocástica dual, utilizado en el modelo SDDP©.


2 DESPACHO DE SISTEMAS TÉRMICOS 2.1 Planteamiento del Problema El problema de despacho económico de un sistema térmico se plantea a continuación:

z = Min ∑j=1

J cj gj Multiplicador

sujeto a (2.1)

∑j=1

J gj = d πd (2.1a)

g ≤ g_ (2.1b)

donde: z costo operativo del sistema j índice de los generadores (J número de generadores) cj costo variable de operación de la planta j gj generación de la planta j (g es el vector de generaciones) d demanda del sistema g_ vector de capacidades instaladas

Las restricciones (2.1a) y (2.1b) representan respectivamente el suministro de la demanda y los límites de generación. El despacho operativo (2.1) es un problema de programación lineal (PL), el cual se puede resolver por paquetes computacionales disponibles. En este ejemplo sencillo, el despacho de generación se puede resolver por inspección: cargue los generadores de acuerdo a un criterio de costos variables de operación crecientes (según “lista de mérito”) hasta atender la demanda. Para simplificar la notación, se supone que los generadores j = 1,...,J ya están ordenados según un criterio de costos variables de operación crecientes, y que j* es la última unidad cargada, conocida como generador marginal. 2.2 Cálculo del Precio “Spot” Además del mínimo costo operativo, la solución óptima del PL produce un conjunto de multiplicadores simplex, los cuales miden la derivada del costo operativo z con respecto a una perturbación en el lado derecho de cada restricción. Estos multiplicadores corresponden en términos de la teoría económica a los costos marginales de corto plazo del sistema. Por ejemplo, el precio “spot” del sistema es la derivada del costo operativo con respecto a la demanda, ∂z/∂d. Se observa en (2.1) que la demanda d aparece en el lado derecho de la ecuación (2.1a). Por lo tanto, esta derivada se obtiene del multiplicador asociado a la restricción, πd:

∂z/∂d = πd (2.2)


En este caso sencillo, el valor de πd se puede obtener por inspección, pues se sabe que un aumento en la demanda se compensa por un aumento en la producción del generador marginal j*. Por lo tanto, ∂z/∂d = πd = c j* (2.3) 2.3 Ejemplo La aplicación de los conceptos presentados arriba se ilustra a través de un ejemplo sencillo con tres generadores y dos demandas, cuyas características se presentan a continuación.

Nombre capacidad (MW)

costo operativo ($/MWh)

G1 10 8 G2 5 12 G3 20 15

Nombre demanda

(MWh) D1 6 D2 14

El despacho óptimo en este caso es:

G1 = 10 G2 = 5 G3 = 5

El precio “spot” del sistema es $15/MWh, que corresponde al costo de la térmica G3.


3 DESPACHO DE SISTEMAS HIDROTÉRMICOS Como se ha discutido en la sección anterior, el despacho de sistemas térmicos se resuelve cargando las plantas en orden creciente con respecto al costo de producción hasta suministrar la demanda. Aunque existan factores adicionales que tornan este problema más complejo (pérdidas de energía, limitaciones en las líneas de transmisión, costos de partida, límites en la tasa de variación de la producción energética etc.), el problema de operación térmico posee las siguientes características básicas:

• es desacoplado en el tiempo, es decir, una decisión operativa hoy no afecta el costo operativo de la próxima semana;

• las unidades poseen un costo directo de operación, esto es, el costo operativo de una unidad depende solamente de su propio nivel de generación, y no del nivel de generación de las demás unidades. Además, la operación de una unidad no afecta la capacidad de generación o disponibilidad de otra unidad;

Se muestra a continuación que la operación de sistemas hidroeléctricos tiene características bastante distintas. 3.1 Operación de Sistemas Hidrotérmicos 3.1.1 Dependencia Temporal de la Operación La característica más evidente de un sistema con generación hidroeléctrica es poder utilizar la energía "gratis" que está almacenada en los embalses para atender a la demanda, evitando así gastos de combustible con las unidades termoeléctricas. Sin embargo, la disponibilidad de energía hidroeléctrica está limitada por la capacidad de almacenamiento en los embalses. Esto introduce una dependencia entre la decisión operativa de hoy y los costos operativos en el futuro. En otras palabras, si usamos hoy las reservas de energía hidroeléctrica, con el objetivo de minimizar los costos térmicos, y ocurre una sequía severa en el futuro, podría ocurrir un racionamiento de costo elevado. Si, por otro lado, preservamos las reservas de energía hidroeléctrica a través de un uso más intenso de generación térmica, y las afluencias futuras son altas, puede ocurrir un vertimiento en los embalses del sistema, lo que representa un desperdicio de energía y, consecuentemente, un aumento en el costo operativo. Esta situación está ilustrada en la Figura 3.1.


húmedos

secos

OK

Déficitsecos

húmedos

Caudales Futuros

Utilizar losEmbalses

Decisión

No Utilizarlos Embalses

OK

Consecuencias Operativas

vertimiento

Figura 3.1 - Proceso de Decisión para Sistemas Hidrotérmicos Por lo tanto, a diferencia de los sistemas puramente térmicos, cuya operación es desacoplada en el tiempo, la operación de un sistema hidroeléctrico es un problema acoplado en el tiempo, es decir, una decisión operativa hoy afecta el costo operativo futuro. 3.1.2 Costo Inmediato y Costo Futuro Como se observa en la Figura 3.1, el operador de un sistema hidrotérmico debe comparar el beneficio inmediato del uso del agua con el beneficio futuro que resulta del almacenamiento de la misma. Este problema se ilustra en la Figura 3.2.

FCIFCF

Volumen final Figura 3.2 - Costos Inmediato y Futuro × Almacenamiento

La función de costo inmediato - FCI - mide los costos de generación térmica en la etapa t. Se observa que el costo inmediato aumenta en la medida que disminuye la energía hidro disponible en la etapa, esto es, en la medida que aumenta el volumen almacenado final. A su vez, la función de costo futuro - FCF - está asociada al costo esperado de generación térmica y al racionamiento del final de la etapa t (inicio de t+1) hasta el final del periodo de estudio. El costo futuro disminuye en la medida que aumenta el volumen almacenado final, pues habrá más energía hidro disponible en el futuro.


3.1.3 Cálculo de la FCI y FCF Como se ha mencionado, la FCI se calcula directamente como el costo térmico necesario para complementar la generación hidro disponible en la etapa t. A su vez, la FCF se calcula en términos conceptuales a través de simulaciones operativas del sistema para diferentes niveles de almacenamiento inicial. El horizonte de simulación depende de la capacidad de almacenamiento del sistema. La simulación se hace más compleja debido a la variabilidad de los caudales afluentes a los embalses, que fluctúan a nivel estacional, regional y anual. Debido a esto, los estudios de simulación se hacen de manera probabilística, esto es, se usa un gran número de escenarios hidrológicos. La Figura 3.3 ilustra el esquema de simulación.

1 2 3 4 etapa

Vertim.

racionamiento

Gener.térmicadesplazada

Almac. máximo

Figura 3.3 - Cálculo de la FCF

En la práctica, las funciones de costo futuro se calculan a través de un procedimiento recursivo llamado programación dinámica estocástica, que se discute en detalle en la Sección 4. 3.1.4 Valor Marginal del Agua El uso óptimo del agua almacenada corresponde al punto que minimiza la suma de los costos inmediato y futuro. Como se muestra en la Figura 3.4, el punto de mínimo costo global también es donde las derivadas de la FCI y de la FCF con respecto al almacenamiento son iguales. Estas derivadas son conocidas como valores del agua.

FCI

FCF

Volumen final

Valor delagua

FCI + FCF

decisiónóptima

Figura 3.4 - Uso Óptimo del Agua


En resumen, a diferencia de las plantas térmicas, que tienen un costo operativo directo, las plantas hidro tienen un valor indirecto, asociado a la economía de combustible de las térmicas desplazadas hoy o en el futuro. El uso óptimo del agua se obtiene cuando están equilibrados los valores inmediato y futuro del agua. 3.2 Despacho Hidrotérmico de una Etapa Se presenta ahora en más detalle el cálculo de la decisión operativa óptima para cada etapa, suponiendo conocida la función de costo futuro. En la próxima sección se discute el procedimiento de cálculo de la FCF misma. El problema de despacho hidrotérmico para la etapa t se plantea como:

zT = Min ∑j=1

J cj×gtj + FCF (3.1)

sujeto a las siguientes restricciones operativas:

• balance hídrico • límites de almacenamiento y turbinamiento • límites en la generación térmica • suministro de la demanda

Se discute a continuación cada componente del problema (3.1). a) Función Objetivo Como fue discutido anteriormente, el objetivo es minimizar la suma de los costos operativos inmediatos - dado por los costos térmicos cj×gtj en la etapa t - más el costo esperado futuro FCF. b) Función de Costo Futuro y Variables de Estado El costo futuro se representa por la siguiente función: FCF = αt+1(vt+1,at) Se observa que αt+1 depende de dos clases de valores, conocidos como variables de estado1:

vt+1 vector de volúmenes almacenados en los embalses al final de la etapa t.

at vector de caudales laterales (caudales incrementales) afluentes a los embalses en la etapa t.

1 El nombre “variable de estado” viene de la teoría de la programación dinámica, y se refiere a todos los valores que pueden afectar el costo futuro.


La dependencia entre el costo futuro y el nivel de almacenamiento al final de la etapa es bastante intuitiva. Como se discutió en la sección 3.1.2, el costo futuro disminuye en la medida que aumenta el volumen almacenado final, pues habrá más energía hidro disponible en el futuro. A su vez, la dependencia entre el costo futuro y las afluencias de la etapa t se debe a la correlación temporal de los caudales en meses consecutivos2. En otras palabras, un caudal húmedo en la etapa t indica que en promedio los caudales de la etapa t+1 también serán húmedos. Como consecuencia, vaciar el embalse hoy si el caudal observado fue elevado resulta menos costoso en el futuro que en caso de un caudal bajo. En los sistemas reales, la función αt+1 puede depender no sólo de at sino también de los caudales en los meses anteriores, at-1, at-2 etc. De una manera general, la modelación de los sistemas donde ocurren sequías de larga duración, requiere la incorporación de un número mayor de caudales anteriores en la FCF que en sistemas donde las sequías son poco severas. c) Balance Hídrico Como se muestra en la Figura 3.5, la ecuación de balance hídrico relaciona el almacenamiento y los volúmenes de entrada y salida del embalse: el volumen final de la etapa t (inicio de la etapa t+1) es igual al volumen inicial menos los volúmenes de salida (turbinamiento y vertimiento) más los volúmenes de entrada (caudales laterales más los volúmenes de salida de las plantas aguas arriba).

salida aguasarriba

Salida de la planta

caudal lateral

Figura 3.5 - Balance hídrico En términos del problema de despacho (3.1), el balance hídrico se representa como: vt+1(i) = vt(i) - ut(i) - st(i) + at(i) + ∑

m∈Ui

ut(m) + st(m) (3.2)

2 Una parte de la lluvia que llega en cada mes no va directamente al río, pues se infiltra en el suelo y se almacena en el llamado acuífero subterráneo. A su vez, la tasa de vaciado del acuífero en cada mes (que alimenta el caudal afluente de los ríos) depende de la integral del agua infiltrada en los meses anteriores (como si fuera un capacitor). Esto hace con que el caudal de un mes sea afectado por los valores de los meses anteriores, aunque la lluvia en los distintos meses no presente ninguna dependencia.


para i = 1,..., I

donde: I índice de las plantas hidro (I número de plantas) vt+1(i) almacenamiento final de la planta i en la etapa t (variable de decisión) vt(i) almacenamiento inicial de la planta i en la etapa t (valor conocido) at(i) afluencia lateral (incremental) a la planta i en la etapa t (valor conocido)ut(i) volumen turbinado en la etapa t (variable de decisión) st(i) volumen vertido en la etapa t (variable de decisión) m∈Ui conjunto de plantas aguas arriba de i c) Límites de Almacenamiento y Turbinamiento

vt(i) ≤ v_ (i) (3.3)

ut(i) ≤ u_(i) (3.4)

para i = 1, ..., I

donde v_

(i) y u_(i) son respectivamente los límites de almacenamiento y turbinamiento.

d) Límites en la Generación Térmica Estos límites son los mismos del despacho térmico (2.1):

gtj ≤ g_

j para j = 1, ... , J (3.5) e) Suministro de la Demanda

∑i=1

I ρ(i)ut(i) + ∑

j=1

J gtj = dt (3.6)

donde ρ(i) es el coeficiente de producción de la planta i (MWh/hm3) (valor conocido). 3.3 Algoritmo de Solución y Costos Marginales El problema de una etapa (3.1)-(3.6) se resuelve a través de un algoritmo de programación lineal (PL). Además de la decisión operativa óptima, el esquema PL calcula los multiplicadores simplex, o precios sombra, asociados a cada restricción. En particular, el precio “spot” horario del sistema es el multiplicador simplex asociado a la restricción de suministro a la demanda (3.6), y el valor del agua es el multiplicador asociado a la ecuación de balance hídrico (3.2).


3.4 Ejemplo La aplicación de los criterios se ilustrará a través de un ejemplo con las mismas empresas generadoras térmicas y demandas del capítulo anterior. Además de esto se supone que existe una planta hidro, H1. El Cuadro 3.1 presenta las características físicas de la planta hidro (capacidad instalada, límite de almacenamiento, coeficiente de producción, etc.) y los parámetros específicos del estado (volumen inicial, caudal afluente).

Cuadro 3.1 - Características de la Planta Hidro3

Nombre Capac.

(MW) Almac.

max (103m3) Coef. prod.

(MWh/103m3) Turb. Max (103m3/h)

Vol. inic. (103m3)

Caudal afl. (103m3/h)

H1 15 100 2 15 30 5 La función de costo futuro se representa por la función lineal FCF(vt+1) = -28vt+1 + 4000, ilustrada en la Figura 3.6.

0 100

4000

FCF($)

vt+1

pendiente =-$28/103 m3

Figura 3.6 - Función de Costo Futuro Finalmente, los Cuadros 3.2 y 3.3 representan las características de las unidades térmicas y de las demandas.

Cuadro 3.2 - Térmicas

Nombre Capacidad

(MW) Costo operativo

($/MWh) G1 10 8 G2 5 12 G3 20 15

3 Nota: Los lectores mas familiarizados con sistemas hidroeléctricos podrán notar que la planta H1 tiene una gran caída y un embalse con capacidad de regulación de apenas algunas horas, lo que obviamente no es un caso típico. Deseamos resaltar que los valores numéricos de los ejemplos son puramente ilustrativos, y no corresponden a una planta real.


Cuadro 3.3 - Demandas

Nombre Demanda (MWh)

D1 6 D2 14

En contraste con el caso térmico, donde la solución óptima se podría obtener por inspección, el despacho hidrotérmico óptimo requiere la solución del problema de optimización lineal que se muestra a continuación y que es semejante al presentado en la sección 3.2:

Min ∑j=1

3 cj×gtj + FCF(vt+1) C.Marginal

sujeto a (3.7) vt+1 + ut + st = vt + at πht (3.7a)

vt+1 ≤ v_ (3.7b)

ut ≤ u_ (3.7c)

∑j=1

3 gtj + ρ ut = dt(1) + dt(2) πdt (3.7d)

gtj ≤ g_

j para j = 1, ... , 3 (3.7e)

Sustituyendo los parámetros del problema (3.7) llegamos a la formulación final: Min 8×gt1 + 12×gt2 + 15×gt3 -28×vt+1(1) + 4000 C.Marginal sujeto a (3.8) vt+1 + ut + st = 30 + 5 πht (3.8a)

vt+1 ≤ 100 (3.8b)

ut ≤ 15 (3.8c)

∑j=1

3 gjt + 2×ut = 14 + 6 πdt (3.8d)

gt1 ≤ 10, gt2 ≤ 5, gt3 ≤ 20 (3.8e)

Para obtener un despacho óptimo, es necesario comparar el costo directo de las unidades térmicas con el costo de oportunidad de las plantas hidro. De la función de costo futuro, sabemos que aliviar 103m3 de la reserva penaliza en $28 la operación futura del sistema. Por otro lado, con este mismo volumen podemos producir ρ×1 = 2 MWh en la planta hidro. Por lo tanto, sólo vale la pena utilizar la energía hidro si las alternativas térmicas costasen más que 28/2 = $14/MWh. Esto significa que el orden de entrada de las unidades en este ejemplo es (T1,T2,H1,T3). El despacho óptimo está representado en el Cuadro 3.5:

Cuadro 3.5 - Despacho Óptimo - Sistema Hidrotérmico


Unidad Costo

($/MWh) Generación

(MWh) T1 8 10 T2 12 5 H1 14 5 T3 15 0

El generador marginal en este caso es H1. Por lo tanto, el precio "spot" del sistema es de $14/MWh. Naturalmente, la solución del problema en casos reales es más compleja, debido a las restricciones hídricas y a la variación no lineal del costo futuro con el almacenamiento final. Finalmente, observamos que, al contrario de los casos térmicos, donde el precio "spot" siempre corresponde a la unidad térmica más cara despachada, en sistemas hidrotérmicos éste también puede corresponder al costo de oportunidad de las unidades hidro.


4 CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE COSTO FUTURO 4.1 Programación Dinámica Estocástica Como fue discutido anteriormente, las decisiones operativas de un sistema hidrotérmico se basan en el equilibrio entre el costo de oportunidad hoy y su valor esperado futuro, representado por la FCF. Esta función se calcula a través de un procedimiento recursivo llamado programación dinámica estocástica (PDE), cuyos pasos principales se presentan de manera resumida a continuación4: a) para cada etapa t (típicamente un mes o una semana) defina un conjunto de

estados del sistema, por ejemplo, niveles de almacenamiento 100%, 90%, etc. hasta 0%. La Figura 4.1 ilustra la definición de los estados para un embalse. Se supone conocido el almacenamiento inicial de la primera etapa.

1 2 T-1 T

estados del sistema:almacenamiento inicial para la etapa T

estadoinicial

Figura 4.1 - Definición de los Estados del Sistema

b) iniciar en la última etapa, T, y resolver el problema de despacho de esta etapa suponiendo que el almacenamiento inicial corresponde al primer nivel seleccionado en el paso (a) - por ejemplo, 100%. Dado que se está en la última etapa, se supone que la FCF es igual a cero. Resuelva el problema de despacho para cada uno de los N escenarios de caudales para la etapa. El esquema se muestra en la Figura 4.2.

1 2 T-1 T

problema de una etapaescenario de caudales #1

problema de una etapa

problema de una etapaescenario de caudales #2

escenario de caudales #N

Figura 4.2 - Cálculo de la Decisión Óptima por Escenario - Última Etapa

c) calcular el valor esperado del costo operativo asociado al nivel 100% como

el promedio de los costos de los N subproblemas de una etapa. Con esto se obtiene el primer punto de la FCF para la etapa T-1, i.e. αT(vT). Repetir el cálculo del costo operativo esperado para los demás estados en la etapa T.

4 por simplicidad de presentación, no se representa la dependencia con respecto a los caudales.


1 2 T-1 T costo

FCF para etapa T-1

Figura 4.3 - Cálculo de la FCF para la Etapa T-1

d) Repetir el cálculo del costo operativo para todos los estados seleccionados en la

etapa T-1, como se muestra en la Figura 4.4. Observe que el objetivo ahora es minimizar la suma del costo operativo inmediato de la etapa T-1 con el costo esperado futuro, dado por la FCF calculada en el paso anterior. Aplicar el mismo procedimiento para las etapas T-2, T-3 etc., hasta la primera etapa.

1 2 T-1 costo futuro

minimizar costo inmediato en T-1+ costo esperado futuro

almac. en T

Figura 4.4 - Cálculo de la FCF para la etapa T-1 El resultado final del esquema PDE (a)-(d) es un conjunto de FCFs {αt+1(vt+1)} para todas las etapas t = 1, ..., T. Observe que el cálculo de esta función requiere la representación de la operación conjunta del sistema, con el conocimiento completo de los estados de almacenamiento de todas las plantas del sistema. 4.2 Limitaciones en el Esquema PDE El esquema PDE ha sido utilizado por muchos años en la mayoría de los países con predominancia de generación hidro. Sin embargo, el mismo tiene una limitación severa, que se debe a la necesidad de enumerar todas las combinaciones posibles de los valores de las variables de estado (almacenamiento en los embalses y caudales en las etapas anteriores). Con esto, el esfuerzo computacional crece exponencialmente con los niveles de los embalses, la llamada “maldición de la dimensionalidad”. Suponga, por ejemplo, que los niveles de cada embalse y de cada caudal anterior han sido discretizados en 20 valores. El número de combinaciones es por lo tanto (20×20)I, donde I es el número de embalses. Se tiene entonces:

número de embalses

número de combinaciones

1 202 = 400 2 204 = 160 mil 3 206 = 64 millones 4 208 ≈ 25 mil millones


Debido a esta limitación computacional, ha sido necesario utilizar aproximaciones tales como la agregación de los embalses del sistema en un único embalse que representa la capacidad de producción de energía de la cascada y el uso de esquemas de solución parciales (típicamente, el cálculo de funciones de costo futuro en separado para cada cuenca). Cuando las plantas hidro pertenecían al gobierno, estos esquemas aproximados se consideraban razonables, pues el ingreso de las plantas estaba en general asociado a contratos de largo plazo, y las diferencias eventuales de las producciones individuales de cada planta con respecto a un despacho optimizado ideal tenderían a cancelarse a lo largo del tiempo. Sin embargo, la implementación de los esquemas competitivos en muchos países llevó a una serie de inquietudes:

• a diferencia de los sistemas térmicos, donde el cálculo del precio “spot” y su interpretación económica son directos, los precios “spot” calculados para los sistemas hidrotérmicos son de difícil explicación y verificación, pues reflejan el valor esperado de los costos de oportunidad a lo largo de años y de múltiples escenarios hidrológicos

• dado que los ingresos de las plantas dependen del producto de los precios “spot” por las generaciones individuales, se requiere un mayor nivel de detalle en la modelación del sistema, lo que impide la utilización de modelos agregados

Por estas razones, se ha tenido un interés renovado en la aplicación de algoritmos de optimización estocástica capaces de manejar el despacho de los sistemas hidrotérmicos en detalle. Se presenta a continuación los lineamientos de un algoritmo de solución, llamado programación dinámica dual estocástica, que se utiliza en el modelo SDDP, y que ha sido implementado en varios países de América Latina, además de los Estados Unidos, Nueva Zelandia5, España, Noruega y Australia6. 4.3 La Programación Dinámica Dual El esquema PD Dual se basa en la observación que la FCF se puede representar como una función lineal por partes, i.e. no es necesario interpolar los valores de una tabla discretizada. Se muestra además que la pendiente de la FCF alrededor de un punto corresponde a los valores del agua esperados, los cuales corresponden a los multiplicadores simplex asociados a las ecuaciones de balance hídrico (ver sección 3.3). La Figura 4.5 ilustra el enfoque PD Dual para el cálculo del costo operativo

5 La base conceptual de los esquemas PD Dual desarrollados en Nueva Zelandia y Brasil es semejante. El esquema de Nueva Zelandia es totalmente analítico, pero está limitado a dos embalses; a su vez, el esquema desarrollado en Brasil es iterativo, pero puede manejar un número muy grande de embalses. 6 Recién se está utilizando un procedimiento análogo a la PD Dual, llamado “constructive dynamic programming”.


esperado y de la pendiente de la FCF para la última etapa, almacenamiento inicial = 100% (paso (c) del procedimiento PD tradicional).

1 2 T-1 T cost

Costo operativo esperado

Pendiente = derivada del Costo operativo conrespecto al almac.

Figura 4.5 - PD Dual – Cálculo del primer tramo de la FCF

La Figura 4.6 ilustra el cálculo del costo operativo y de las pendientes de FCF para cada estado en la etapa T. La función lineal por partes resultante es la FCF αT(vT) para la etapa T-1.

1 2 T-1 T cost

FCF lineal por partesPara la etapa T-1

Figura 4.6 – Cálculo de una FCF lineal por partes para la etapa T-1 Además de la representación analítica de la FCF, la PD Dual utiliza un esquema iterativo de optimización/simulación para seleccionar solamente los estados que son relevantes para la decisión. Como consecuencia, esto hace posible resolver problemas de despacho estocástico con un gran número de embalses, con un esfuerzo computacional razonable. En la Parte II del Informe de Metodología se presenta una descripción más detallada de la PD Dual


5 DESPACHO DE UNA ETAPA 5.1 Planteamiento del problema Se presenta ahora en más detalle el cálculo de la decisión operativa óptima para cada etapa de los estudios de mediano y largo plazo. El problema de despacho hidrotérmico para la etapa t se plantea como:

Min FCI + FCF (5.1) sujeto a las restricciones operativas básicas de la etapa

5.2 Notación En esta sección se utilizará la notación xtk(i) para identificar las diversas variables involucradas en el planteamiento del problema. La letra x identifica a la variable (por ejemplo, se usará v para volumen almacenado, u para volumen turbinado, g para generación, etc.). El subíndice t identifica a la etapa y el subíndice k identifica al bloque de demanda. Por su parte el índice i identifica al agente al que se aplica la variable (por ejemplo i índice de las centrales hidroeléctricas en el caso de la variable de turbinamiento). Después de cada ecuación se indica un diccionario de variables, índices y valores dados en una tabla de cuatro columnas. En la primera se indica la variable, índice o valor conocido. En la segunda columna se describe la variable; en la tercera columna se indica la unidad del valor referido y finalmente en la última columna se indica la letra V si se trata de una variable y la letra D si se trata de un dato o valor conocido. Al final de esta sección se incluye una lista de las notaciones utilizadas. 5.3 Función objetivo Como fue discutido anteriormente, el objetivo del despacho hidrotérmico es minimizar la suma de los costos operativos inmediato y futuro. El costo inmediato FCI está dado por los costos térmicos cj×gtj en la etapa t más las penalizaciones por las violaciones de restricciones operativas:

FCI = ∑k=1

K ∑j∈ J

cj×gtk(j) + cδ×δ (5.2)


donde: k índice de los bloques de demanda en la etapa K número de bloques j índice de las centrales térmicas J conjunto de centrales térmicas cj costo variable de operación de la central j $/MWh D gtk(j) energía producida por la central térmica j MWh V cδ representa (de manera genérica) el costo por la

violación de una restricción operativa $/unidad de violación

D

δ monto de la violación unidad de violación

V

A su vez, el costo futuro FCF se representa por la siguiente función7: FCF = αt+1(vt+1,at) (5.3) donde: vt+1 vector de volúmenes almacenados en los embalses

al final de la etapa t hm3 V

at vector de caudales laterales afluentes a los embalses en la etapa t

hm3 D

Observe que la FCF depende de los caudales debido a una dependencia temporal, esto es, un caudal húmedo en la etapa t indica que en promedio los caudales de la etapa t+1 también serán húmedos8. 5.4 Restricciones operativas básicas A continuación se describen las restricciones operativas básicas del problema de operación óptima. Estas restricciones son:

• ecuaciones de balance hídrico • ecuación de suministro de la demanda • límites operativos (límites de almacenamiento en los embalses, restricciones

de turbinamiento mínimo y máximo y límites en la generación térmica) 5.4.1 Balance hídrico Como se muestra en la Figura 5.1, la ecuación de balance hídrico relaciona el almacenamiento y los volúmenes de entrada y salida del embalse: el volumen final de la etapa t (inicio de la etapa t+1) es igual al volumen inicial menos los volúmenes de salida (turbinamiento y vertimiento) más los volúmenes de entrada (caudales laterales más los volúmenes de salida de las centrales aguas arriba).

7 En los planteamientos a continuación se supone conocida la función de costo futuro. El procedimiento de cálculo de la misma se discute en la sección 4 y el anexo B. 8 Esta dependencia se representa en los parámetros del modelo estocástico de caudales (ver Anexo C).


salida aguasarriba

Salida de la planta

caudal lateral

Figura 5.1 - Balance hídrico El balance hídrico se representa como: vt+1(i) = vt(i) + at(i) − ε(vt(i)) (5.4)

− ∑k=1

K [utk(i) + stk(i)]

+ ∑m∈Iu(i)

∑k=1

K utk(m)

+ ∑m∈Is(i)

∑k=1

K stk(m)

+ ∑m∈IF(i)

∑k=1

K φtk(m)

para i ∈ I donde: i índice de las centrales hidroeléctricas I conjunto de centrales hidro IU(i) conjunto de centrales que turbinan para la central i IS(i) conjunto de centrales que vierten para la central i IF(i) conjunto de centrales que filtran para la central i vt+1(i) almacenamiento final de i en el período t hm3 V vt(i) almacenamiento inicial de i en el período t hm3 D at(i) afluencia lateral a i hm3 D ε(vt(i)) volumen evaporado en el embalse i hm3 D utk(i) volumen turbinado por i a lo largo de la etapa hm3 V stk(i) volumen vertido por i a lo largo de la etapa hm3 V φtk(i) Volumen filtrado por i a lo largo de la etapa hm3 V


5.4.2 Límites de almacenamiento

v_(i) ≤ vt(i) ≤ v_(i) para i ∈ I (5.5)

donde: v_(i) volumen mínimo de almacenamiento de la central i hm3 D

v_(i)

volumen máximo de almacenamiento de la central i hm3 D

5.4.3 Turbinamiento mínimo Dado que puede ser físicamente imposible atender una restricción de turbinamiento mínimo, el problema de una etapa puede resultar inviable. Para evitar esta situación es necesario incluir una variable de holgura como se muestra a continuación: utk(i) + δuk(i) ≥ u_tk(i) para i ∈ I; para k = 1, ... , K (5.6) donde: u_tk(i) volumen turbinado mínimo para la central i hm3 D δuk(i) variable de holgura para la restricción de

turbinamiento mínimo hm3 V

En la función objetivo se debe incluir la variable de holgura con un coeficiente de penalización alto9. 5.4.4 Turbinamiento máximo La máxima energía generada por una central hidroeléctrica está limitada por el mínimo valor entre la capacidad de la turbina y la capacidad del generador, como se muestra en la siguiente figura:

V

Emax

Pmax

La restricción de turbinamiento máximo se formula de la siguiente manera:

9 La penalización debe reflejar el “trade-off” entre el costo operativo y el prejuicio de las violaciones de la restricción


utk(i) ≤ Min ( u_

t(i), g_

t(i) / ρ(vt(i)) ) para i ∈ I; k = 1, ... , K (5.7) donde:

u_

t(i) máximo volumen turbinable para la central i, etapa t. Representa la capacidad de la turbina

hm3 D

g_

t(i) potencia máxima de la central i en la etapa t. Representa la capacidad del generador

MW D

ρ(vt(i)) coeficiente de producción de la central i en la etapa t calculado en función del volumen del embalse

MWh/hm3 D

5.4.5 Producción de energía hidroeléctrica gtk(i) = ρ(vt(i))×utk(i) para i ∈ I; para k = 1, ... , K (5.8) donde: gtk(i) energía producida por i en el escalón k, etapa t MWh V ρ(vt(i)) coeficiente de producción de la central i en la etapa t MWh/hm3 D 5.4.6 Límites en la generación térmica

g_tk(j) ≤ gtk(j) ≤ g_

tk(j) para j ∈ J; para k = 1, ... , K (5.9) donde: gtk(j) energía producida por la central térmica j en el

escalón k MWh V

g_tk(j) límite de generación mínima de la central j en el escalón k

MWh D

g_

tk(j) límite de generación máxima de la central j en el escalón k

MWh D

Cabe observar que los límites de generación en cada bloque de demanda se calculan de la siguiente manera:

g_

tk(j) = g_

t(j) × h(k) g_tk(j) = g_t(j) × h(k) donde: g_t(j) potencia mínima de la central j MW D

g_

t(j) potencia máxima de la central j MW D

h(k) duración del bloque k horas D


5.4.7 Suministro de la demanda

∑i∈ I

gtk(i) + ∑

j∈ J

gtk(j) = Dtk para k = 1, ... , K (5.10)

donde: Dtk demanda de energía en el escalón k MWh D 5.5 Función de costo futuro La función de costo futuro se representa como un conjunto de restricciones lineales, donde cada una representa una linealización de la función FCF = αt+1(vt+1, at)

= Max { wt(p) + ∑i∈ I

λtv(i, p) vt+1(i) + ∑

i∈ I

λta(i, p) at(i) }

o también: FCF = α

s.a α ≥ wt(p) + ∑i∈ I

λtv(i, p) vt+1(i) + ∑

i∈ I

λta(i, p) at(i) p = 1, …, P

donde: α variable escalar que representa el valor esperado del

costo futuro k$ V

wt(p) término constante del p-ésimo corte k$ D λtv(i, p) coeficiente del volumen final del embalse i en el p-

ésimo corte k$/hm3 D

λta(i, p) coeficiente de la afluencia lateral a la central hidroeléctrica i en el p-ésimo corte

k$/hm3 D

p número de cortes o linealizaciones de la función de costo futuro

p índice de los cortes o linealizaciones


5.6 Restricciones operativas adicionales Además de las restricciones básicas el programa SDDP permite modelar una serie de aspectos adicionales. Cabe observar que la representación de estos aspectos es opcional y depende de las características del sistema en estudio. 5.6.1 Restricciones de seguridad en los embalses - Volúmenes de alerta La curva de volúmenes de alerta representa una reserva operativa para el caso de sequías severas.

vt(i) + δp(i) ≥ v_at(i) para i ∈ I (5.11) donde: v_at(i) volumen de alerta de la central i hm3 D δa(i) variable de holgura para la restricción de volumen

de alerta hm3 V

Esta variable de holgura entra en la función objetivo con un coeficiente de penalidad ($/hm3) que debe ser informado por el usuario o puede ser calculado automáticamente por el modelo como siendo:

1.1 × (Costo de la térmica más cara) × (Suma de los coeficientes de producción del embalse y de las centrales aguas abajo del embalse)

En otras palabras esta restricción no será atendida únicamente con el fin de evitar un racionamiento. 5.6.2 Restricciones de seguridad en los embalses - Volúmenes mínimos

operativos La curva de volumen mínimo operativo representa una reserva operativa “estratégica” del agente regulador que se superpone al criterio puramente técnico. vt(i) + δm(i) ≥ v_mt(i) para i ∈ I (5.12) donde: v_mt(i) volumen mínimo operativo de la central i, etapa t hm3 D δm(i) variable de holgura para la restricción de volumen

mínimo operativo hm3 V

Esta variable de holgura entra en la función objetivo con un coeficiente de penalidad ($/hm3) que debe ser informado por el usuario o puede ser calculado automáticamente por el modelo como siendo:

1.1 × (Costo de Racionamiento) × (Suma de los coeficientes de producción del embalse y de las centrales aguas abajo del embalse)


En otras palabras esta restricción no será atendida únicamente si es físicamente imposible, por ejemplo, si el menor valor de la curva aumenta de una etapa para otra y el caudal no es suficiente para llenar el embalse hasta el nuevo nivel. 5.6.3 Restricciones de seguridad en los embalses - Volúmenes de espera

operativos La curva de volúmenes de espera representa restricciones en el volumen almacenado en el embalse para control de inundaciones. Estas restricciones son modeladas de la siguiente manera:

vt(i) ≤ min (v_(i), v_et(i)) para i ∈ I

donde: v_et(i) volumen de espera de la central i, etapa t hm3 D 5.6.4 Restricciones en la defluencia total Las restricciones en la defluencia total de una central hidro representan restricciones de navegación en el caso de la efluencia total mínima y en el caso de la efluencia total máxima sirven para evitar daños aguas abajo en el caso de crecidas.

Δ_tk(i) ≤ utk(i) + stk(i) + δd1k (i) − δd2k(i) ≤ Δ_

tk(i) (5.13) para i ∈ I; para k = 1, ... , K

donde: Δ_tk (i) defluencia total mínima de la central i hm3 D

Δ_

tk (i) defluencia total máxima de la central i hm3 D

δd1k(i) variable de holgura para la restricción de defluencia total mínima

hm3 V

δd2k(i) variable de holgura para la restricción de defluencia total máxima

hm3 V

La variable de holgura entra en la función objetivo con un coeficiente de penalidad (k$/hm3). Las penalizaciones por violación de la defluencia total (mínima o máxima) deben ser informadas por el usuario 5.6.5 Restricciones de regulación en centrales de pasada La mayoría de las centrales de pasada tienen pequeños embalses que permiten por lo menos una regulación diaria, i.e. el volumen afluente que llega en la hora fuera de la punta puede ser almacenados para ser turbinado en la hora de punta. En el caso de embalses muy pequeños es posible limitar esta transferencia a través de la siguiente restricción:


utk(i) + stk(i) ≥ φ(i) × ( at(i) × h(k) + ∑m∈Iu(i)

utk(m)+ ∑m∈Is(i)

stk(m)) (5.14)

para i ∈ I; para k = 1, ... , K donde: φ(i) Factor de regulación de la central de pasada p.u. D Si el factor de regulación φ(i) es igual a 1, esto significa que 100% del volumen afluente total en el escalón k (suma de la afluencia incremental y de las defluencias de las centrales aguas arriba) debe ser usado en el mismo escalón, i.e. no existe transferencia de energía entre los escalones: se trata de una central de pasada pura Por otro lado un factor de regulación φ (i) igual a 0, significa que 100% de la afluencia disponible puede ser transferida a otro escalón . En este caso se dice que la central de pasada tiene una capacidad de regulación igual a la duración de la etapa. Valores intermediarios de φ (i) permiten representar una capacidad parcial de regular las afluencias. 5.6.6 Centrales térmicas con costos lineales por parte Es posible representar centrales térmicas cuyo factor de consumo o consumo específico (unidades de combustible/MWh) varíe hasta un máximo de tres valores de acuerdo a la cantidad despachada de la central, como se muestra en la siguiente figura.

Capacidad (%)

Factor de Consumo(unidades de combustible / MWh)

En este caso el costo operativo de la central térmica resulta en una función lineal por partes:


0 35 65 100Capacidad (%)

Costo Operativo

Se observa que los costos operativos unitarios son crecientes: por ejemplo, los primeros 35% de la capacidad tienen un costo unitario menor que los siguientes 30% de generación. Este tipo de central se representa con tres variables de generación térmica, cada una con un costo unitario de c(j,h) $/MWh, para h = 1,2,3. Estas variables tienen los siguientes límites operativos:

0 ≤ gtk(j,h) ≤ σ(j,h)g_

tk(j) para j ∈ J; h = 1,2,3, k = 1, ... , K (5.15) donde: c(j,h) costo unitario de la térmica j en el tramo h D gtk(j,h) generación de la central térmica j en el tramo h MWh V σ(j,h) factor de participación del tramo h en la capacidad

total p.u. D

En las otras restricciones del problema la variable de generación de la central j se reemplaza por el siguiente término:

∑h=1

3 gtk(j,h)

En la función objetivo el término cj×gtk(j) se substituye por:

∑h=1

3 c(j,h) × gtk(j,h)

Cabe observar que si la central térmica j tiene un límite inferior de generación diferente de cero, las restricciones de límite operativo se escriben de la siguiente forma:

Min {g_tk(j) − ∑i<h

σ(j,i)g

_tk(j), σ(j,h)g

_tk(j) } ≤ gtk(j,h) ≤ σ(j,h)g

_tk(j)


para j ∈ J; h = 1,2,3, k = 1, ... , K (5.16) 5.6.7 Centrales térmicas must-run Estas centrales se caracterizan por tener que generar su capacidad máxima obligatoriamente. En este caso las restricciones de límite de generación térmica para centrales de este tipo se substituyen por las siguientes restricciones:

gtk(j) = g_

tk(j) para k = 1, ... , K (5.17) 5.6.8 Límites en el consumo de combustible La restricción representa límites en la disponibilidad de un combustible en la etapa.

∑k=1

K ∑j∈Φ(l)

ϕ(j)gtk(j) ≤ Φ

_t(l) para l = 1, ... , F

donde: l índice de los combustibles F número de combustibles Φ(l) conjunto de térmicas que utilizan el combustible l ϕ(j) factor de consumo de la central j unid. de

comb./MWh D

Φ_

t(l) disponibilidad del combustible l unid. de comb

D

5.6.9 Límites en la tasa de consumo de combustible La restricción representa límites en la tasa de consumo de un combustible en la etapa, debido, por ejemplo, a la dimensión de un gaseoducto.

∑j∈Φl

ϕ(j)gtk(j) ≤ τt(l) × h(k) (5.18)

para l = 1, ... , L, para k = 1, ... , K

donde: l índice de los combustibles (F número de

combustibles)

Φ(l) conjunto de térmicas que utilizan el combustible l ϕ(j) factor de consumo de la central j unid. de

comb./MWh D

τt(l) tasa máxima de consumo del combustible l en la etapa t

unid. de comb/hora

D


h(k) duración del escalón k horas D 5.6.10 Restricciones de generación mínima para grupos de centrales térmicas Las restricciones de generación mínima son necesarias por ejemplo para aporte de reactivos. Cuando son individuales se representan como los límites inferiores de las variables de generación térmica (5.9). Para grupos de centrales térmicas se representa la siguiente restricción:

∑j ∈ G(r)

gtk(j) ≥ G_ tk(r) para r = 1, … , R, para k = 1, … , K (5.19)

donde: r índice de los grupos de centrales térmicas R número de grupos de centrales térmicas G(r) conjunto de térmicas que pertenecen al grupo r G_ tk(r) generación mínima para el grupo r MWh D Observe que en la implementación de esta restricción existe la limitación de que cada unidad térmica sólo puede participar en una restricción de generación mínima. 5.6.11 Restricciones de generación Estas restricciones son una generalización de las anteriores. Pueden combinar unidades hidroeléctricas y térmicas y pueden limitar su generación total inferior o superiormente. Además cada generador hidroeléctrica o térmica puede participar en más de una restricción. La expresión general es:

G_ tk(r) ≤ ∑i∈ I(r)

gtk(i) + ∑

j∈ J(r)

gtk(j) ≤ G− tk(r) para r = 1, … , R, k = 1, … , K

donde: r índice de las restricciones de generación R número de restricciones de generación I(r) conjunto de hidros que pertenecen a la restricción r J(r) conjunto de térmicas que pertenecen a la restricción

r

G_ tk(r) Límite inferior de la restricción r, escalón k MWh D G− tk(r) Límite superior de la restricción r, escalón k MWh D 5.6.12 Centrales térmicas multi-combustible Una central térmica multi-combustible se representa como un grupo de centrales térmicas cada una con características operativas iguales (generación mínima, máxima, factores de indisponibilidad) y con datos de consumo y costo operativo de acuerdo al


combustible utilizado. De esta manera la variable de generación gtk(j) se substituye por un conjunto de variables gtk(i), cada una de ellas representando la parte de generación de la térmica j correspondiente a cada uno de los combustibles alternativos. La generación total de este grupo de plantas térmicas debe satisfacer la siguiente restricción:

g_t(j) ≤ ∑i ∈ M(j)

gtk(i) ≤ g

_t(j) (5.20)

0 ≤ gtk(i) ≤ g_

t(j) para i ∈ Mj; para k = 1, … , K (5.21) donde: M(j) conjunto de variables de generación térmica que

representan a los combustibles de la central térmica j

En la función objetivo el término correspondiente al costo operativo de la térmica j, cj×gtk(j), se substituye por:

∑i ∈ M(j)

c(i) × gtk(i) (5.22)

donde: c(i) costo operativo de la térmica j considerando el

combustible representado por la variable de generación gtk(i)

$/MWh D

Si la térmica j es una térmica tipo must-run, la ecuación (5.20) resulta:

∑i ∈ M(j)

gtk(i) = g

_t(j) (5.23)

5.6.13 Centrales térmicas tipo commitment Las centrales térmicas tipo commitment representan aquellas para las cuales está asociado un costo de arranque. La decisión de despachar una central térmica de este tipo puede ser realizada para cada etapa o cada bloque de demanda dentro de la etapa. En ambos casos estas centrales se modelan usando variables de decisión entera (0/1). De esta forma la representación de este tipo de centrales requiere la utilización de algoritmos de programación entera mixta, lo que introduce una complicación de tipo computacional en el modelo. Si el número de estas centrales no es muy elevado este aspecto no es muy importante. Si la decisión de despachar se realiza una vez en la etapa, los limites de generación se representan con las siguientes restricciones.


gtk(j) − g_

tk(j) × xt(j) ≤ 0 para j ∈ C, para k = 1, … , K (5.24) gtk(j) − g_tk(j) × xt(j) ≥ 0 para j ∈ C, para k = 1, … , K (5.25) xt(j) ∈ {0,1} para j ∈ C (5.26) La variable de decisión se incluye en la función objetivo multiplicada por el costo de arranque correspondiente:

∑j ∈ C

ca(j) × xt(j) (5.27)

donde: C conjunto de las centrales térmicas tipo commitment xt(j) decisión de despachar la central térmica j (variable

entera 0/1) V

ca(j) costo de arranque de la central térmica j k$ D Si la decisión de despachar la central térmica se realiza a cada bloque, entonces las restricciones resultan:

gtk(j) − g_

tk(j) × xtk(j) ≤ 0 para j ∈ C, para k = 1, … , K (5.28) gtk(j) − g_tk(j) × xtk(j) ≥ 0 para j ∈ C, para k = 1, … , K (5.29) xtk(j) ∈ {0,1} para j ∈ C, para k = 1, … , K (5.30) y el término que debe ser incluido en la función objetivo es:

∑j ∈ C

∑

k =1

K ca(j) × xtk(j) (5.31)

donde: xtk(j) decisión de despachar la central térmica en el bloque k V 5.6.14 Disponibilidad y transporte de gas natural Este conjunto de restricciones visa modelar la estructura de producción, consumo y logística de transporte de gas natural, que es el combustible utilizado por algunas usinas termoeléctricas. El sistema de gas natural es representado por un modelo de flujo en redes a través de un conjunto de nodos – que representan las áreas donde ocurre la producción y consumo del gas, y a los cuales están asociadas las usinas térmicas – y arcos – que representan los gasoductos que interconectan estas áreas.


Límites de producción Los nodos del sistema de gas natural pueden contar con fuentes de producción locales a los cuales están asociados límites mínimo y máximo diarios. Estas restricciones operacionales son representadas por el siguiente conjunto de ecuaciones:

P_t(i) ≤ Pt(i) ≤ P_

t(i) donde:

P_

t(i) Límite máximo de producción del sistema i en la etapa t MMm3/día D

P_t(i) Límite mínimo de producción del sistema i en la etapa t MMm3/día

D

Pt(i) Producción de gas natural del sistema i en la etapa t MMm3/día V Límites de transporte de los gasoductos La interconexión entre los sistemas de gas es hecha a través de gasoductos. Cada gasoducto es caracterizado por los límites de capacidad de flujo inferior y superior, dando origen al siguiente conjunto de restricciones:

f_t(i,j) ≤ ft(i,j) ≤ f_

t(i,j) donde:

f_

t(i,j)

Límite superior del flujo de gas entre los sistemas i y j – capacidad del gasoducto que conecta los sistemas i y j en la etapa t

MMm3/día D

f_t(i,j) Límite inferior del flujo de gas entre los sistemas i y j – flujo mínimo en el gasoducto que conecta los sistemas i y j en la etapa t

MMm3/día D

ft(i,j) Flujo de gas en el gasoducto que conecta los sistemas i y j MMm3/día V

Balance de oferta y demanda de cada nodo del sistema de gas En cada etapa, la suma de las demandas por gas natural en cada nodo debe ser igual a oferta disponible – proveniente de la producción local o de la importación a través de los gasoductos – sumada al déficit, caso no sea posible atender completamente la demanda. La restricción resultante, para cada nodo i del sistema de gas, es: Pt(i) + ∑

j∈Ω(i) (1 – pt(j,i))⋅ ft(j,i) – ∑

j∈Ω(i) ft(i,j) – ∑

j∈T(i) φt(j)gt(j) + ∑

j∈D(i) δt(i,j) = ∑

j∈D(i) dt(i,j)

donde:

Ω(i) Conjunto de nodos del sistema de gas conectados al nodo i


T(i) Conjunto de térmicas asociadas al nodo i del sistema de gas

D(i) Conjunto de demandas no termoeléctricas del nodo i del sistema de gas

Pt(i) Producción de gas natural del sistema i MMm3/dia V

pt(j,i) Factor de pérdidas del gasoducto que conecta los sistemas i y j, con flujo en el sentido de j para i D

ft(j,i) Flujo de gas en el gasoducto que conecta los sistemas i y j MMm3/dia V

φt(j) Factor de conversión del consumo de gas de la usina j (MMm3/dia)/(MWh) D

gt(j) Generación de la usina j MWh V δt(j) Déficit de la demanda j del nodo i MMm3/dia V dt(i,j) Demanda j del nodo i MMm3/dia V 5.6.15 Reserva rodante La reserva rodante es un margen operativo dado en MW para cada etapa y escalón de demanda, para ajustar la operación en tiempo real a las desviaciones con respecto a la operación programada. Reserva rodante para centrales hidroeléctricas En el caso de centrales hidroeléctricas la reserva rodante se representa como un valor que se substrae de la máxima capacidad de la planta. En este caso la restricción de turbinamiento máximo resulta:

utk(i) ≤ Min ( u_

t(i),g_

t(i)ρ(vt(i))

) − rtk(i)

ρ(vt(i)) para i ∈ I;

k = 1, ... , K donde: rtk(i) Reserva rodante de la central i, etapa t, escalón k MW D Reserva rodante para centrales térmicas En el caso de centrales térmicas la reserva rodante se representa a través de la siguiente restricción:

gtk(j) ≤ g_

tk(j) − rtk(i) para j ∈ J k = 1, ... , K

donde: rtk(i) Reserva rodante de la central i, etapa t, escalón k MW D


Cabe observar que cuando la central térmica tiene una función de costos por tramos, la restricción resultante es:

∑h=1

3 gtk(j,h) ≤ g

_tk(j) − rtk(i) para j ∈ J

k = 1, ... , K 5.6.16 Restricciones de reserva de generación Estas restricciones de reserva de generación pueden combinar unidades hidroeléctricas y térmicas. Existen tres opciones de representación, cuya expresión es detallada a seguir: (1) La reserva de generación debe ser mayor o igual a un porcentaje de la demanda

del sistema:

Σi ∈I(r) (_gtk(i) – gtk(i)) + Σj ∈J(r) (

_gtk(j) – gtk(j)) ≥ f(r) × Dtk

para r = 1, … , R1, k = 1, … , K

(2) La reserva de generación compensa la salida de operación de cualquier unidad generadora del sistema que no pertenece al conjunto de reserva:

Σi ∈I(r) (_gtk(i) – gtk(i)) + Σj ∈J(r) (

_gtk(j) – gtk(j)) ≥ gtk(s) para todo s∉I(r)∪J(r)

para r = 1, … , R2, k = 1, … , K

(3) La reserva de generación compensa la salida de operación de cualquier unidad generadora del sistema que pertenece al conjunto de reserva:

Σm ∈{I(r)∪J(r)}\s (_gtk(m) – gtk(m)) ≥ gtk(s) para todo s∈I(r)∪J(r)

para r = 1, … , R3, k = 1, … , K

donde: r índice de las restricciones de generación R1 número de restricciones de generación tipo 1 R2 número de restricciones de generación tipo 2 R3 número de restricciones de generación tipo 3 I(r) conjunto de hidros que pertenecen a la restricción r J(r) conjunto de térmicas que pertenecen a la restricción

r

f(r) factor de la demanda correspondiente a la restricción de reserva r. Corresponde a un número entre 0 y 1

D

Dtk demanda de la etapa t, escalón k GWh D 5.6.17 Riego En la presencia de datos de riego, el lado derecho de la ecuación de balance hídrico es acrecentado por:


-r(i) + δr(i) donde: r(i) riego de i en el período t hm3 D δr(i) violación del riego de i en el período t hm3 V A expresión general de balance hídrico resulta así igual a:

vt+1(i) = vt(i) + at(i) − ε(vt(i)) – r(i) + δr(i)

− ∑k=1

K [utk(i) + stk(i)]

+ ∑m∈Iu(i)

∑k=1

K utk(m)

+ ∑m∈Is(i)

∑k=1

K stk(m)

+ ∑m∈IF(i)

∑k=1

K φtk(m) para i ∈ I

La variable de holgura asociada al riego(δr) tendrá sus limites establecidos por el propio valor del riego como: 0 ≤ δr(i) ≤ r(i) para i ∈ I La función objetivo penaliza estas variables de holgura, dependiendo del tipo de modelo de riego establecido por el usuario: 1. Riego prioritario:

La función objetivo resulta igual a:

1.1 x costo de déficit x (∑m∈Ju(i) ρ(vt(i))) x δr(i)

donde:

JU(i) conjunto de plantas aguas abajo de la planta i D

2. Energía prioritaria: La función objetivo resulta igual a:

1.1 x térmica más cara x (∑m∈Ju(i) ρ(vt(i))) x δr(i)

3. Costo fijo:


La función objetivo resulta igual a:

1.1 x Cri x δr(i)

donde:

Cri Costo fijo proporcionado por el usuario k$/hm3 D 5.6.18 Modelo de Volumen Muerto O SDDP modela el período para completar el volumen muerto en plantas futuras de la siguiente forma:

Variable t < t1 t1 ≤ tk < t2

(k=1,n-1)

t2 ≤ t < t3 t3 ≤ t

Factor de producción

Cte. Cte. Cte. Cte.

Volumen mínimo VM0 VM0 VM0 VM0

Volumen máximo 0 Vmax Vmax Vmax

Volumen mínimo operativo

0 VM0+

(VMin-VM0)*

(k+1)/n

Vmin Vmin

Turbinamiento

Máximo

0 0 0 Qmax

Energía Almacenada y Almacenable Máxima

0 0 Contabiliza solamente la contribución de la propia planta.

Contabiliza toda la cascada.

donde:

t etapa del estudio D

t1 la etapa inicial del período definido para completar el volumen muerto

D

N el numero de etapas para completar el volumen muerto D

t2 la etapa final del período definido para completar el volumen muerto, i.e t2 = t1 + n

D

t3 la etapa de entrada en operación D

VM0 condición del embalse en la primera etapa del período definido para completar el volumen muerto

p.u. D

Vmax volumen máximo del embalse de los datos de configuración hidro

hm3 D

Vmin volumen mínimo del embalse de los datos de configuración hidro

hm3 D


Qmax Turbinamiento máximo de los datos de configuración hidro

m3s D

En este modelo se observan las siguientes variaciones en el tiempo: o Antes de t1 la planta es futura;

o El volumen mínimo, para aquellas plantas que tienen período definido para completar el volumen muerto, no puede ser una restricción dura porque esto puede provocar infactibilidad a partir del período (t1 ≤ t) definido para completar el volumen muerto. El volumen mínimo será definido igual a cero y su volumen mínimo real será representado como un volumen mínimo operativo penalizado en la función objetivo;

o El proceso para completar el volumen muerto (t1 ≤ t < t2) será realizado a través de una función lineal y creciente por bloques representada por el volumen mínimo operativo y penalizada como 1.1 * costo de déficit. En este período la planta deja de ser futura solamente para efecto de completar el volumen muerto pero no entra efectivamente en operación;

o A partir de t ≥ t2, la planta comienza a contribuir para el cálculo de las energías almacenada y almacenable máxima, a pesar de no estar en operación. La contribución para el cálculo de las energías debe ser solamente la debida al volumen del embalse. La productibilidad de esta planta no debe ser acumulada para uso en el cálculo de la energía almacenada. El volumen mínimo operativo será utilizado para calcular el volumen útil de la planta;

o De t3 en adelante, la planta entra efectivamente en operación. El criterio definido para completar el volumen muerto puede ser visualizado en el siguiente gráfico:

t1 t2 t3

V

Vmax

Vmin Oper.

5.6.19 Canal de Fuga

Vmin

t

La altura del canal de fuga varía en función de la defluencia total y esta dependencia influencia el cálculo del factor de producción, dado por:


ρ = Δh × g × η donde la diferencia de alturas está definida como: Δh = h(v) – h(u+s) donde: v volumen almacenado en el embalse u turbinamiento s vertimiento h(v) nivel del embalse h(u+s) altura del canal de fuga Vamos suponer que h(v) es constante o calculado a priori en función del volumen del embalse. Vamos suponer también que el usuario informa una tabla de hasta cinco puntos (hi, di) conteniendo los valores promedio de la altura del canal de fuga para cada intervalo de defluencia total. Más específicamente, vamos considerar hi como la altura del canal de fuga para el intervalo de defluencia total dado por [ di, di+1 ] como representado en la figura.

90

95

100

105

110

115

120

125

130

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Defluencia total (m3/s)

Nivel de jusante (msnm)

A partir de estos cinco intervalos es posible definir los siguientes valores para Δh: Δhi = h(v) – hi para di ≤ d ≤ di+1 Por lo tanto tendremos un factor de producción para cada intervalo: ρi(d) = Δhi × g × η para di ≤ d ≤ di+1


Finalmente la generación hidroeléctrica para cada segmento estará dada por: Ei = ρ1(d) × u para di ≤ u ≤ di+1 La construcción de la curva a seguir se hace a partir da siguiente tabla:

Defluencia total (m3/s)

Altura del canal de fuga (msnm)

Productividad (MW/ m3/s)

Turbinamiento (m3/s)

Generación (MW)

0 100 1.962 0 0.0020 110 1.766 20 35.3240 118 1.609 40 64.3560 124 1.491 60 89.4780 132 1.334 80 106.73

100 138 1.216 80 97.32120 145 1.079 80 86.33


0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 20 40 60 80 100 120 140

Defluença total

Ger

ação

Capacidade de turbinamento máximo

Para defluencias totales mayores que el turbinamiento máximo, la generación total va disminuir en función de la altura del canal de fuga que aumenta con el vertimiento y por lo tanto disminuye el factor de producción. Asociado a cada uno de los segmentos i se define una recta dada por: ai (u+s) + bi

donde:

ai = gi+1 − gi di+1 − di

e bi = gi+1 − ai di+1

y por lo tanto la variación de la generación hidroeléctrica en función de la altura del canal de fuga puede ser representada a través del siguiente conjunto de restricciones: Eh ≤ ai (u+s) + bi

u ≤ u− 5.6.20 Generación en función de la afluencia Para plantas filo de agua, el turbinamiento es igual a la afluencia total. La utilización de caudales promedio (mensuales o semanales) puede superestimar la generación de estas plantas. Una alternativa para modelar la generación de plantas filo de água de manera más adecuada es definir una tabla que relaciona el caudal turbinable dado el caudal total. Por ejemplo:

Cuadal total (m3/s)

Caudal turbinable (m3/s)

at ≤ 10 10


10 < at ≤ 20 19

20 < at ≤ 30 28

30 < at ≤ 40 36

40 < at ≤ 50 38

Una manera de representar esto es ajustar el factor de producción por un factor que represente el factor de producción de energía dependiente del caudal total. Suponga que el factor de producción sea 1.2.

Caudal total (m3/s)

Caudal turbinable

(m3/s)

Factor de ajuste del factor de producción

Factor de producción resultante

at ≤ 10 10 1.00 1.20

10 < at ≤ 20 19 0.95 1.14

20 < at ≤ 30 28 0.93 1.12

30 < at ≤ 40 36 0.90 1.08

40 < at ≤ 50 38 0.76 0.91 La generación hidroeléctrica, representada por la variable Eh para cada intervalo es dada por el producto del factor de producción resultante multiplicado por el caudal total, limitada por la capacidad de turbinamiento de la planta.


0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60 70Afluencia total

Gen

erac

ión

La planta puede turbinar como máximo 38 m3 /s, que es el caudal turbinable que corresponde a 50m3/s


Asociado a cada uno de los segmentos i se define una recta dada por: φi (u+s) + θi Donde utilizando los puntos extremos (ai, gi) e (ai+1, gi+1) tenemos:

φi = gi+1 − gi ai+1 − ai

e θi = gi+1 − φi ai+1

y por lo tanto la variación de la generación hidroeléctrica en función de la afluencia total puede ser representada a través del siguiente conjunto de restricciones: Eh ≤ φi (u+s) + θi para i = 1, ..., número de segmentos

u ≤ u− 5.7 Interconexión El modelo permite representar sistemas interconectados, cada uno con una demanda de energía propia y una capacidad de intercambio con los sistemas vecinos. En este caso es necesario definir una restricción de suministro a la demanda para cada sistema:

∑i∈ I(s)

gtk(i) + ∑

i∈ J(s)

gtk(j) + ∑

l∈Ω(s)

( ωtk(l,s) − ωtk(s,l) ) = Dtk(s) (5.32)

para s = 1, …, S, k = 1, … , K donde: Dtk(s) demanda de energía en el sistema s MWh D s índice de los sistemas o regiones (S número de sistemas) I(s) conjunto de centrales hidráulicas en el sistema s J(s) conjunto de centrales térmicas en el sistema s Ω(s) conjunto de sistemas conectados al sistema s ωtk(l,s) energía transferida desde el sistema l hacia el sistema s V En la función objetivo es representado un costo por bloque de demanda y variable de interconexión como descrito a seguir.

Min ( ∑l∈Ω(s)

( c(l,s) ωtk(l,s) + c(s,l) ωtk(s,l) ) )

donde: c(l,s) costo de transferencia de energía desde el sistema l

hacia el sistema s $/MWh D

c(s,l) costo de transferencia de energía desde el sistema s hacia el sistema l

$/MWh

5.7.1 Restricción de Suma de Intercambios


Estas restricciones permiten representar límites mínimos y máximos para un conjunto de líneas de interconexión seleccionadas por el usuario. Representando k como el índice del bloque de carga y t como el índice de tiempo, ellas pueden ser representadas por:

)(, siI tk ≤ ∑∈ )(

,,siKm

tkmI ≤ )(, siI tk si=1,…,Nsi

donde: si índice de la restricción de suma de intercambio K(si) número de líneas de interconexión pertenecientes a

la restricción de suma de intercambios si

Nsi número de restricciones de suma de intercambios tkmI ,, Intercambio de la línea de interconexión m, en el

bloque k y en el tiempo t

)(, siI tk límite inferior de la restricción de suma de intercambios si, en el bloque k y tiempo t

MWh D

)(, siI tk límite superior de la restricción de suma de intercambios si, en el bloque k y tiempo t

MWh D

5.8 Flujo de potencia linealizado El modelo de flujo de potencia activa linealizado se compone de dos conjuntos de ecuaciones, correspondientes a la primera y segunda leyes de Kirchhoff y a las restricciones de límite de flujo en los circuitos. Estas restricciones se presentan en detalle a continuación y enseguida se plantea una formulación compacta que se utiliza en el SDDP. 5.8.1 Primera ley de Kirchhoff La primera ley representa la ecuación de balance de energía en cada nodo (con el objetivo de simplificar la notación suponemos que existe un único generador en cada nodo): ∑

m∈Ωn

fm + gn = dn para n = 1,…, N (5.33)

donde: n índice de los nodos del sistema N número de nodos gn generación en el nodo n dn demanda en el nodo n m índice de los circuitos M número de circuitos fm flujo de potencia en el circuito m Ωn conjunto de circuitos conectados directamente con el

nodo n


El conjunto de las ecuaciones (5.33) se escribe en forma matricial como: Sf + g = d (5.34) donde: S matriz de incidencia N×M, que representa las conexiones nodo-circuito: la

columna m de la matriz S contiene ceros en todas las posiciones excepto en las posiciones correspondientes a los nodos terminales del m-ésimo circuito, a saber im y jm

Sm =

⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞0

…+1…−1…0

← nodo ORIGEN im ← nodo DESTINO jm

f vector M-dimensional de flujos en los

circuitos g vector N-dimensional de generaciones d vector N-dimensional de demandas Este conjunto de ecuaciones substituye a la ecuación de suministro a la demanda (5.10) 5.8.2 Segunda ley de Kirchhoff A su vez, la segunda ley de Kirchhoff establece que: fm = γm (θ(im) − θ(jm)) para m = 1, …, M (5.35) donde: γm susceptancia en el circuito θ(im) ángulo nodal en el nodo ORIGEN im θ(jm) ángulo nodal en el nodo DESTINO jm En términos matriciales, el conjunto de ecuaciones (5.35) resulta: f = γ S´θ (5.36) donde: γ matriz diagonal M×M que contiene las susceptancias de los circuitos. S´ matriz M×N, transpuesta de la matriz incidencia S θ vector N-dimensional de ángulos nodales 5.8.3 Límites en los flujos en los circuitos


− f_ ≤ f ≤ f

_ (5.37)

5.8.4 Formulación compacta Todas las restricciones de esta formulación (5.34, 5.36, 5.37) son lineales y pueden ser incluidas en el planteamiento del problema. Sin embargo, cabe observar que existen tres tipos de variables de decisión, correspondientes a los vectores g, θ y f. En una red típica el número de generadores sería alrededor de 100, mientras que el número de barras y circuitos puede ser diez veces mayor. Ahora vamos a mostrar que el esfuerzo computacional puede ser reducido rescribiendo el problema únicamente en términos del vector de decisiones g. Substituyendo f como fue definido en (5.36) en la ecuación (5.34) resulta: Bθ + g = d (5.38) donde B = SγS´ es una matriz N×N, conocida como matriz susceptancia. El sistema de ecuaciones lineales (5.38) puede ser resuelto en términos de θ. Se puede demostrar que el rango de la matriz B es N-1. Por lo tanto, podemos eliminar una fila y una columna de la matriz B, por ejemplo las correspondientes al nodo s, y escribimos la solución como:

θ~

= B~-1(d

~ − g~) (5.39)

donde ~ representa matrices y vectores sin el nodo s. El ángulo nodal para el nodo s, conocido como nodo de referencia, se define como θs = 0. Para simplificar la notación escribimos la ecuación (5.39) en términos de los vectores completos de generación y demanda adicionando una línea y una columna nulas en la posición s de la matriz B

~-1. Denotamos esta matriz resultante B-1 y entonces: θ = B-1(d − g) (5.40) Reemplazando (5.40) en (5.36), obtenemos: f = β(d − g) (5.41) donde β = γSB-1 es una matriz M×N. Cada elemento βmn representa la sensibilidad del flujo en el circuito m con respecto a una variación en la generación en el nodo n. Se observa que los factores de sensibilidad con respecto al nodo de referencia s son iguales a cero, i.e. una variación en la inyección en este nodo no afecta los flujos. La razón es que el valor de la generación en la barra de referencia se calcula implícitamente a partir del balance generación demanda de los otros nodos: e´g = e´d (5.42) donde e´ es un vector N-dimensional unitario, es decir e´ = (1,1,…,1)


Las ecuaciones resultantes de la formulación compacta son: e´g = e´d (5.43) − f

_ ≤ β(d − g) ≤ f

_ (5.44)

g ≤ g

_ (5.45)

Las restricciones (5.43) y (5.45) equivalen respectivamente a la restricción de suministro de la demanda (5.10), sólo que escrita en notación matricial y a la restricción en los límites de generación de las centrales térmicas (5.9). Por lo tanto estas restricciones ya están incluidas en el planteamiento básico. Las restricciones que deben ser adicionadas son las (5.44), que escritas en forma algebraica resultan:

− f_(m) ≤ ∑

n=1

N β(m,n)(d(n) – g(n) ≤ f

_(m) m = 1, …, M (5.46)

Utilizando la notación empleada en el planteamiento básico (índice t para la etapa, k para el escalón de demanda) y relajando la hipótesis simplificadora hecha en el ítem 5.8.1, de que existe solo un generador en cada nodo, se tiene el siguiente conjunto de restricciones:

− f_

tk(m) − ∑n=1

N β(m,n)dtk(n) ≤

– ∑i∈ I

β(m,n(i))gtk(i) − ∑

j∈ J

β(m,n(j))gtk(j) ≤ f

_tk(m) − ∑

n=1

N β(m,n) dtk(n)

(5.47) para m = 1, …, M, k = 1, …, K donde: n(i) nodo donde está conectado el generador i dtk(n) demanda en el nodo n MWh D 5.8.5 Representación de los enlaces DC Se observa en la formulación compacta que los flujos en los circuitos AC no se representan como variables de decisión y que son determinados por la generación y la demanda. Sin embargo los flujos en los enlaces DC se representan como variables de decisión dado que ellos no están sujetos a la segunda Ley de Kirchhoff.


Un enlace DC de la barra i a la barra j se representa como una generación negativa o una demanda de γ MW en la barra i, y como una generación positiva en la barra j de (1 − η) × γ MW, donde η es el factor de pérdidas del enlace DC. Esta representación se incorpora a la ecuación de suministro a la demanda y en las restricciones de flujo en los circuitos (5.47). En la ecuación de suministro a la demanda se tiene que:

∑i=1

I gtk(i) + ∑

j=1

J gtk(j) + ∑

l=1

L [( − γtk(l)) + (1 − ηl) × γtk(l)] = Dtk (5.48)

Resultando:

∑i=1

I gtk(i) + ∑

j=1

J gtk(j) − ∑

l=1

L ηl × γtk(l) = Dtk (5.49)

para k = 1, … , K Las restricciones que representan el flujo en los circuitos deben ser modificadas de la siguiente manera:

− f_

tk(m) − ∑n=1

N β(m,n)dtk(n) ≤ – ∑

i=1

I β(m,n(i))gtk(i) − ∑

j=1

J β(m,n(j))gtk(j)

+ ∑l=1

L [ β(m,nO(l)) γtk(l) − β(m,nD(l)) (1-ηl) γtk(l)] ≤ f

_tk(m) − ∑

n=1

N β(m,n) dtk(n)

para m = 1, …, M, k =1, …, K (5.50) donde: l índice de los enlaces DC l número de enlaces DC nO(l) nodo origen del l-ésimo enlace DC nD(l) nodo destino del l-ésimo enlace DC Además los límites en los flujos del enlace DC se representan a través de las siguientes restricciones:

γtk(l) ≤ γ_

tk(l) para l = 1, …, L, para k = 1, …, K (5.51) donde:

γ_

tk(l) límite del enlace DC en el bloque k MWh D

Observe que:


γ_

tk(l) = γ_

t(l) × h(k) (5.52) donde:

γ_

t(l) límite del enlace DC en la etapa t MW D

5.8.6 Límites de importación y exportación entre áreas eléctricas Estas restricciones permiten representar límites de importación y exportación entre áreas eléctricas. Dado que la importación o exportación de una área eléctrica está dada por la diferencia entre la generación y la demanda del área, se tiene que:

−I_

tk(a) ≤ ∑i∈ I(a)

gtk(i) + ∑

i∈ J(a)

gtk(j) − ∑

n∈N(a)

dtk(n) ≤ E

_tk(a) (5.53)

para a = 1, …., A; para k = 1, …, K donde: a índice de las áreas A número de áreas eléctricas I(a) conjunto de centrales hidroeléctricas en el área a J(a) conjunto de centrales térmicas en el área a N(a) conjunto de nodos en el área a

I_

tk(a) límite de importación en el área a MW D

E_

tk(a) límite de exportación en el área a MW D

Al re-escribir las ecuaciones anteriores colocando la demanda en los términos constantes, se tiene:

−I_

tk(a) + ∑n∈N(a)

dtk(n) ≤ ∑

i∈ I(a)

gtk(i) + ∑

i∈ J(a)

gtk(j) ≤ E

_tk(a) + ∑

n∈N(a)

dtk(n)

para a = 1, …., A; para k = 1, …, K (5.54) 5.8.7 Restricción de Suma de Flujo en Circuitos Estas restricciones permiten representar límites mínimos y máximos para un conjunto de circuitos seleccionados por el usuario. Utilizando la misma notación de la sección 5.8.4, ellas pueden ser representadas por:

)(scF ≤ ∑n=1

N (β(m,n)(d(n) – g(n)) ) ≤ ∑

∈

α)(

m ( scKm

)(scF sc=1,…,Nsc (5.55)


donde: Sc índice de la restricción de suma de flujo en circuito K(sc) número de circuitos pertenecientes a la restricción de

suma de flujo en circuitos sc

Nsc número de restricciones de suma de flujo en circuitos

mα factor de participación del circuito m en la restricción de suma de flujo en circuitos

D

)(scF límite inferior de la restricción de suma de flujo en circuitos sc

MWh D

)(scF límite superior de la restricción de suma de flujo en circuitos sc

MWh D

Siguiendo las notaciones de la formulación compacta de flujo en circuitos, siendo t el índice para la etapa, k para el bloque de demanda, se tiene el siguiente conjunto de restricciones:

)(scF tk − ∑n=1

N β(m,n)dtk(n) )≤ ∑

∈

αm ( )(scKm

– ∑∈

α)(

m ( scKm

∑i∈ I

β(m,n(i))gtk(i) − ∑

j∈ J

β(m,n(j))gtk(j) )≤

)(scFtk − ∑n=1

N β(m,n) dtk(n) ) ∑

∈

α)(

m ( scKm

(5.56) para sc=1,…,Nsc, k = 1, …, K


5.9 Clasificación de las Restricciones Las restricciones del SDDP pueden ser clasificadas en restricciones blandas y restricciones duras. Las restricciones de tipo dura (D) son obligatoriamente obedecidas por el programa mientras que para las restricciones de tipo blandas (B) una variable de holgura, penalizada en la función objetivo, asume la infactibilidad de tales restricciones. A seguir son listadas todas las restricciones disponibles en el SDDP, su clasificación y el valor default de la penalización en el caso de las restricciones blandas. Restricción Tipo Penalización Default Balance hídrico D - Limite almacenamiento D - Turbinamiento mínimo B Valor especificado en el campo

“Penalización violación defluencia mínima” en la sección “Parámetros Económicos”

Turbinamiento máximo D - Limites generación térmica D - Suministro demanda D - Volumen alerta B 1.1 * costo térmica más cara

siendo despachada Volumen mínimo B 1.1 * costo déficit Volumen espera D - Defluencia total mínima B Valor especificado en el campo

“Penalización violación defluencia mínima” en la sección “Parámetros Económicos”

Defluencia total máxima B 0 Regularización centrales pasada D - Limite consumo de combustible D - Limite tasa consumo de combustible D - Restricción generación mínima D - Restricción generación B 1.1 * costo déficit Reserva rodante D - Reserva de generación B 1.1 * costo déficit Riego B Existen 3 tipos de restricciones:

Energía prioritaria: 1.1 * costo déficit Riego prioritario: 1.1 * costo térmica más cara siendo despachada Valor fijo: 0

Suma de intercambios D - Limite de flujo en los circuitos D - Representación enlace DC D - Limites exportacion/importación áreas D - Suma de flujo en los circuitos D -


5.10 Diccionario de variables at(i) afluencia lateral a i hm3 D vt+1(i) almacenamiento final de i en el período t hm3 V vt(i) almacenamiento inicial de i en el período t hm3 D λta(i, p) coeficiente de la afluencia lateral a la central

hidroeléctrica i en el p-ésimo corte de la FCF k$/hm3 D

ρ(vt(i)) coeficiente de producción de la central i en la etapa t MWh/hm3 D λtv(i, p) coeficiente del volumen final del embalse i en el p-

ésimo corte de la FCF k$/hm3 D

I conjunto de centrales hidroeléctricas I(a) conjunto de centrales hidroeléctricas en el área a I(s) conjunto de centrales hidroeléctricas en el sistema s IF(i) conjunto de centrales que filtran para la central i IU(i) conjunto de centrales que turbinan para la central i IS(i) conjunto de centrales que vierten para la central i J conjunto de centrales térmicas J(a) conjunto de centrales térmicas en el área a J(s) conjunto de centrales térmicas en el sistema s C conjunto de las centrales térmicas tipo commitment N(a) conjunto de nodos en el área a Ω(s) conjunto de sistemas conectados al sistema s G(r) conjunto de térmicas que pertenecen al grupo r Φ(l) conjunto de térmicas que utilizan el combustible l M(j) conjunto de variables de generación térmica que

representan a los combustibles de la central térmica j

ca(j) costo de arranque de la central térmica j k$ D cj costo variable de operación de la central térmica j $/MWh D c(i) costo operativo de la térmica j considerando el

combustible representado por la variable de generación gtk(i)

$/MWh D

c(j,h) costo unitario de la central térmica j en el tramo h D xtk(j) decisión de despachar la central térmica en el bloque

k D

xt(j) decisión de despachar la central térmica j (variable 0/1)

V

Δ_

tk (i) defluencia total máxima de la central i hm3 D

Δ_tk (i) defluencia total mínima de la central i hm3 D Dtk demanda de energía en el escalón k MWh D Dtk(s) demanda de energía en el sistema s MWh D d k(n) t demanda en el nodo n MWh D Φ_

t(l) disponibilidad del combustible l unid. de comb

D

h(k) duración del bloque k horas D gtk(i) energía producida por la central hidroeléctrica i MWh V gtk(j) energía producida por la central térmica j MWh V


ωtk(l,s) energía transferida desde el sistema l hacia el sistema s

V

ϕ(j) factor de conversión de la central j unid. de comb./MWh

D

σ(j,h) factor de participación del tramo h en la capacidad total

p.u. D

φ(i) factor de regulación de la central de pasada p.u. V gtk(j,h) generación de la central térmica j en el tramo h MWh V G_ tk(r) generación mínima para el grupo r MWh D a índice de las áreas i índice de las centrales hidroeléctricas j índice de las centrales térmicas k índice de los bloques de demanda en la etapa l índice de los combustibles p índice de los cortes o linealizaciones l índice de los enlaces DC r índice de los grupos de térmicas s índice de los sistemas o regiones (S número de

sistemas)

E_

tk(a) límite de exportación en el área a D

g_

tk(j) límite de generación máxima de la central j MWh D

g_tk(j) límite de generación mínima de la central j MWh D

I_

tk(a) límite de importación en el área a D

γ_

tk(l) límite del enlace DC en el bloque k MWh D

γ_


γ_


u_

t(i) máximo volumen turbinado para la central i, etapa t hm3 D

nD(l) nodo destino del l-ésimo enlace DC n(i) nodo donde está conectado el generador i nO(l) nodo origen del l-ésimo enlace DC A número de áreas eléctricas K número de bloques F número de combustibles p número de cortes o linealizaciones de la función de

costo futuro

l número de enlaces DC R número de grupos de térmicas

g_

t(j) potencia máxima de la central j MW D

g_t(j) potencia mínima de la central j MW D cδ representa (de manera genérica) el costo por la

violación de una restricción operativa $/unidad de violación

D


τt(l) tasa máxima de consumo del combustible l en la etapa t

unid. de comb/hora

D

wt(p) término constante del p-ésimo corte k$ D δd2k(i) variable de holgura para la restricción de defluencia

total máxima hm3 V

δd1k(i) variable de holgura para la restricción de defluencia total mínima

hm3 V

δa(i) variable de holgura para la restricción de volumen de alerta

hm3 V

δm(i) variable de holgura para la restricción de volumen mínimo operativo

hm3 V

δuk(i) variable de holgura para la restricción para la restricción de turbinamiento mínimo

hm3 V

α variable escalar que representa el valor esperado del costo futuro

k$ V

at vector de caudales laterales afluentes a los embalses en la etapa t

hm3 D

vt+1 vector de volúmenes almacenados en los embalses al final de la etapa t

hm3 V

v_at(i) volumen de alerta de la central i hm3 D ε(vt(i)) volumen evaporado en el embalse i hm3 D

v_(i)

volumen máximo de almacenamiento de la central i hm3 D

v_(i) volumen mínimo de almacenamiento de la central i hm3 D v_mt(i) volumen mínimo operativo de la central i, etapa t hm3 D u_tk(i) volumen turbinado mínimo para la central i hm3 D utk(i) volumen turbinado por i a lo largo de la etapa hm3 V stk(i) volumen vertido por i a lo largo de la etapa hm3 V


6 VALORES DE SALIDA Además de las decisiones operativas, el algoritmo de solución del despacho de una etapa produce los multiplicadores Simplex asociados a cada restricción del problema. Estos multiplicadores proveen la información de beneficio y costo marginal necesaria para la planeación de la expansión y para el funcionamiento de los esquemas competitivos. En particular, el precio “spot” en cada nodo corresponde al multiplicador asociado a las ecuaciones de suministro a la demanda (5.10). A su vez, el valor del agua de cada central hidro corresponde al multiplicador de las ecuaciones de balance hídrico (5.4).


7 SIMULACIÓN OPERATIVA 7.1 Procedimiento Una vez obtenida la política operativa óptima, representada por las funciones de costo futuro αt, se puede simular la operación del sistema a lo largo del período de estudio, para distintas secuencias de caudales. El procedimiento de simulación se presenta a continuación: a. recorrer las etapas t = 1, 2, ... , T

b. leer del archivo un vector de caudales para la etapa t, {at}

c. leer del archivo la función de costo futuro de la etapa t, αt+1(vt+1,{at})

d. leer del archivo el vector de volúmenes finales de la etapa t-1 (volúmenes iniciales de la etapa t, {vt}).

e. conocidos el vector de volúmenes iniciales {vt}, el vector de caudales {at}, y la función de costo futuro αt+1(vt+1,{at}), resolver el subproblema operativo de la etapa t (ver sección 4).

f. colocar en archivo los resultados de la solución del problema (costo operativo, volúmenes finales, etc.). Regresar al paso (a).

El procedimiento (a)-(f) se repite para diversas secuencias de caudales, tomadas del registro histórico, o producidas por un modelo estocástico. La Figura 7.1 ilustra los principales pasos del procedimiento.

resolver el subproblema operativode la etapa t

acumular costos operativosy deficit del suministro

leer de archivo:vector de caudales

función de costo futurovector de volúmenesde la etapa anterior

políticaoperativa

estatísticasoperativas

etapa T? fin

recorrer las etapas t = 1, ... , T

SistemaDemanda

MantenimientoLeer de archivo

los datos del sistema,la demanda y

el mantenimiento

Figura 7.1 - Simulación Operativa


7.2 Salidas Se presenta a continuación algunos ejemplos de resultados de la simulación operativa. Es posible obtener valores promedio, desviaciones estándar, coeficiente de variación, valores máximos y mínimos, distribuciones acumulativas de probabilidad e histogramas, tanto a nivel gráfico como tabular. Una lista de todas las planillas que pueden ser generadas por el modelo se encuentra en el Anexo D. 7.2.1 Estadística del sistema

• disponibilidad - disponibilidad total del sistema, después de considerar los índices de indisponibilidad y la demanda; disponibilidad hidráulica y térmica por empresas y por etapa

• costos operativos - valor presente del costo térmico más el costo de racionamiento

• racionamiento del sistema - incluye: (1) racionamientos de energía (MWh y %); (2) racionamiento condicionado de energía (MWh y %); (3) número de casos con déficit en cada período

7.2.2 Estadística de generación

• generación del sistema - hidráulica, térmica, determinística y total

• balance del sistema - balance de demanda, generación esperada hidráulica total, generación térmica esperada y racionamiento esperado

• balance por empresa - balance de demanda, generación esperada hidráulica total, generación térmica esperada y racionamiento esperado

• racionamiento - valor esperado del racionamiento de la energía como un porcentaje de la demanda; valor esperado de racionamiento de energía condicionado; número de casos con racionamiento de energía; histograma de frecuencias del racionamiento de energía como un porcentaje de la demanda

• generación hidráulica por centrales - generación de cada una de las centrales agrupados por empresa y para los autónomos. Resultados agregados por etapa, por mes y por año; la potencia en punta, la capacidad disponible y la capacidad nominal.

• generación térmica por centrales - generación de cada una de las centrales, agrupados por empresa y para los autónomos. Agregación por etapa, por mes y por año; la potencia en punta, la capacidad disponible, la capacidad nominal, el costo incremental y el costo total.


7.2.3 Estadística y balances de embalses

• evolución del almacenamiento total del sistema y de los límites operativos inferior y superior; evolución de los almacenamientos de los embalses individualizados, con sus respectivas curvas de protección; aportes; descargas totales; estadísticas de vertimientos (vertimiento esperado, probabilidad y descarga realizada); balance hidráulico en cada uno de los embalses

7.2.4 Estadística de consumo de combustible

• Consumos de combustible para la generación térmica, discriminados por tipo de combustible.

7.2.5 Costos marginales

• del sistema (variación del costo de operación con respecto a una variación de la demanda)

• por barra (variación del costo de operación con respecto a una variación de la demanda en cada barra)

• capacidad hidroeléctrica o térmica (beneficio operativo por un aumento marginal en la capacidad de la central)

• capacidad de un embalse (beneficio operativo por un aumento marginal de la capacidad del mismo)

7.2.6 Líneas de transmisión

• Flujo y pérdidas en ambos sentidos y balance en las barras


ANEXO A. REPRESENTACIÓN DE LAS PÉRDIDAS A.1. Problema Cuadrático Las restricciones del problema de despacho con pérdidas se plantean como: Sf + g = d + ½⏐S⏐R f

2 (1)

f = γ S´θ ≤ f_ (2)

donde: i índice de las barras (n número de barras) G vector de generación en las barras d vector de demanda en las barras k índice de los circuitos (m número de circuitos) S matriz de incidencia barra × circuito (n×m): la columna k de la matriz tiene

ceros en todas las posiciones con excepción de las barras terminales del k-ésimo circuito, ik e jk

f vector de flujos de potencia en los circuitos r matriz diagonal m×m que contiene las resistencias de los circuitos ⏐S⏐ matriz de valores absolutos de S γ matriz diagonal m×m que contiene las susceptancias de los circuitos S´ matriz transpuesta de S θ vector de ángulos de tensión nodal

f_ vector de límites de flujo en los circuitos

A.2. Problema Cuadrático en Forma Compacta El problema (1)-(2) se representa en forma compacta como:

∑i=1

n gi = ∑

i=1

n di + ∑

i=1

n Pi(g) (3)

f = β(d + P(g) - g) ≤ f_ (4)

donde: P(g) vector de pérdidas en cada barra:

Pi(g) = ½ φi f 2 para i = 1, ..., n (5)

Pi(g) pérdida en la barra i φ matriz auxiliar (=⏐S⏐R) φi i-ésima línea de la matriz φ β matriz m×n de factores de distribución (resultado del modelo sin pérdidas) Observe que las pérdidas dependen del vector de generaciones g.


A.3. Linealización de las Pérdidas - Esquema Tradicional Un enfoque tradicionalmente adoptado para resolver problemas de optimización no-lineal como (3)-(4) es el de linealizaciones sucesivas:

(a) escoger un punto;

(b) linealizar el problema de optimización alrededor de este punto;

(c) resolver el problema linealizado, obteniendo un nuevo punto;

(d) volver al paso (b) etc. hasta obtener la convergencia. Linealizando P(g) alrededor de g*, se obtiene:

P(g) ≈ P* + ∂P∂g(g - g*) (6)

La derivada ∂P/∂g se calcula a partir de (5):

∂P∂g = ½ φi×2f

* ∂f∂g (7)

De (4), se tiene:

∂f∂g ≈ -β (8)

Sustituyendo en (7), se obtiene:

∂P∂g = -φi f

*β (9)

Finalmente, sustituyendo (9) en (6) y a continuación en (3)-(4), resulta:

∑i=1

n gi = ∑

i=1

n di + ∑

i=1

n (P

*i + ϕ*

i(g - g*)) (10)

f = β(d + P* + ϕ*(g - g*) - g) ≤ f_ (11)

donde: ϕ* matriz auxiliar (= -φf

*β)

ϕ*i vector auxiliar (i-ésima línea de ϕ*)


A.4. Limitaciones en el Esquema de Linealización Tradicional El esquema de linealizaciones sucesivas funciona bien en la mayoría de los casos, a excepción de los problemas donde la solución está en el equilibrio de dos variables. El ejemplo clásico es el despacho con dos nodos, A y B , donde hay un generador barato en A, y otro un poco más caro en B, y se desea obtener el despacho de mínimo costo con pérdidas si la demanda está en B. En este caso, la respuesta óptima es generar en A hasta que el costo operativo en el nodo B (ajustado por las pérdidas) llegue al costo del generador B y, a partir de este punto, generar con el B. En otras palabras, la solución óptima tiene ambos generadores como variables básicas. Sin embargo, el esquema de linealización en este caso resulta en una solución oscilante, esto es, se tiene despacho alternado sea de A o de B, pero nunca de ambos generadores. A.5. Linealizaciones Acumuladas Para evitar el problema de las oscilaciones, se puede acumular las linealizaciones anteriores como restricciones adicionales. En el ejemplo con dos nodos, cada linealización representa el efecto de uno de los generadores, y se puede obtener soluciones de equilibrio


ANEXO B. PROGRAMACIÓN DINÁMICA DUAL ESTOCÁSTICA B.1. Formulación del problema El despacho hidrotérmico multi-etapa se plantea como un problema de programación dinámica estocástica, caracterizado por la siguiente ecuación recursiva: αt(vt−1, at−1) = E{ Min [zt(et) + αt+1(vt , at)] } (1) s.a vt(i) + st(i) + ut(i) − ∑

m∈Mi

[st(m) + ut(m)] = vt-1(i) + at(i) i = 1,..., I

0 ≤ vt(i) ≤ vt(i) i = 1,..., I 0 ≤ ut(i) ≤ ut(i) i = 1,..., I et(i) = ρ(i) ut(i) i = 1,..., I donde i índice de las centrales hidro (I = número de centrales) y zt(et) representa el costo operativo asociado a la generación hidro et, esto es: zt(et) = Min ∑

j=1

J c(j)gt(j) + cδδt (2)

s.a ∑

j=1

J gt(j) + ∑

i=1

I et(i) + δt = dt

0 ≤ gt(j) ≤ g−t(j) j = 1, ..., J donde j índice de las térmicas (J = número de térmicas). En teoría, el procedimiento recursivo (1) podría ser resuelto a través de un algoritmo de programación dinámica estocástica (PDE) [21]. Sin embargo, el esfuerzo computacional del algoritmo PDE tradicional crece exponencialmente con el número de variables de estado del problema. Debido a esto, se utiliza la técnica de programación dinámica estocástica dual (SDDP) [22], que permite obtener los mismos resultados de la PDE tradicional, sin la necesidad de discretización del espacio de estados. El algoritmo SDDP es un proceso iterativo de construcción de una aproximación de la función de costo futuro, cuya precisión depende de dos parámetros: el tamaño de la muestra de estados (L) y el número de escenarios condicionados utilizados en el cálculo de la función de costo futuro (N).


B.2. Pasos del algoritmo SDDP B.2.1 Selección del conjunto inicial de estados En la primera iteración se requieren L estados iniciales. Para cada etapa t el estado (v l

t−1, al

t−1) representa las condiciones iniciales de almacenamiento y afluencias, para l = 1, ..., L. B.2.1.1 Estados iniciales de almacenamiento El estado inicial de almacenamiento para la etapa t =1 es un dato conocido, igual a v0 para cada uno de los L estados. Los estados iniciales de almacenamiento {v l

t−1}, l = 1, ... , L y t = 2, ..., T se obtienen dividiendo la capacidad del embalse en L valores. Por ejemplo, si L = 5, los estados de almacenamiento serían 100%, 75%, 50%, 25% y 0%. B.2.1.2 Estados iniciales de afluencias La condición hidrológica inicial a0 es un dato conocido. Los estados iniciales de afluencias anteriores {a l

t−1}, l = 1, ... ,L se obtienen generando un conjunto de L secuencias hidrológicas para las etapas t = 2, ..., T. El proceso de generación consiste en sortear aleatoriamente un vector de ruidos ξl

t con distribución log-normal de tres parámetros y calcular el vector de afluencias para la etapa t, secuencia l como: al

t = Φt-1× a lt−1 + Λt×ξl

t (10) Las matrices Φt−1 y Λt contienen los parámetros del modelo estocástico de afluencias. Φt−1 representa la relación entre las afluencias de una misma central en etapas consecutivas (correlación temporal), mientras Λt representa la relación entre todas las afluencias del sistema en la misma etapa (correlación espacial). En esta presentación de la metodología se utiliza un modelo auto-regresivo de orden 1, con el objetivo de simplificar la notación. Se observa que la utilización de modelos de orden mayor que 1 no compromete la eficiencia de la metodología SDDP. B.2.2 Cálculo de la función aproximada de costo futuro La aproximación de la función de costo futuro se construye a través de una recursión en el sentido inverso del tiempo. Para cada etapa t y para cada estado (v l

t−1, al

t−1) el siguiente proceso se repite.


B.2.2.1 Generación de N escenarios de afluencias condicionadas Se generan N escenarios de afluencias condicionadas a la afluencia a l

t−1, como se muestra a continuación: aln

t = Φt-1×a lt−1 + Λt×ξn

t para n = 1,..., N (11) donde Φt-1 y Λt son los parámetros del modelo estocástico de afluencias para la etapa

t, y el vector ξnt se obtiene por un sorteo aleatorio de una distribución log-normal.

B.2.2.2 Solución del problema operativo Sea v l

t−1 el vector de almacenamientos iniciales y alnt uno de los vectores de afluencias

condicionadas producido en el paso B.2.2.1. Se resuelve entonces el problema operativo para la etapa t: wln

t = Min zt(et) + αt+1 (12) s. a: vt(i)+st(i)+ut(i) − ∑

m∈Mi

[st(m)+ut(m)] = v lt−1(i)+aln

t (i) πln

vt-1(i)

0 ≤ vt(i) ≤ vt(i) πln

vt(i)

0 ≤ ut(i) ≤ ut(i) πln

ut (i)

et(i) = ρ(i) ut(i)

αt+1 − ∑i=1

I φ

p

vt(i)×vt(i) ≥ ∑i=1

I φ

p

at(i)×alnt (i) + rp

t πln

αt+1(p)

αt +1 ≥ 0 para i = 1, ..., I; para j = 1, ..., J; para p = 1, ..., P(t) donde P(t) es el número de aproximaciones de la función de costo futuro en la etapa t. Inicialmente P(t) = 0.


B.2.2.3 Cálculo de las derivadas Después de la solución del problema (12) para cada uno de los escenarios de afluencias condicionadas, se calculan las derivadas de la función objetivo con respecto a las condiciones iniciales (v l

t−1, al

t−1) El vector ∂wln

t /∂v lt−1 representa la variación del costo operativo con respecto a los

almacenamientos iniciales. Como estos almacenamientos sólo aparecen en la ecuación de balance hídrico, se tiene:

∂wln

t

∂Vl

t−1 = π

lnvt-1 (13)

donde π

lnvt-1 es el multiplicador Simplex asociado a la ecuación de balance hídrico del

problema (12). La variación del costo operativo con respecto a las afluencias anteriores, ∂wln

t /∂a lt−1 se

obtiene de la siguiente manera. Aunque a lt−1 no aparezca en el lado derecho del

problema (12), se utiliza la regla de la cadena para obtener la derivada:

∂wln

t

∂a lt−1

= ∂wln

t

∂alnt×

∂alnt

∂a lt−1

(14)

Dado que aln

t aparece en la ecuación de balance hídrico y en las restricciones de costo futuro, se tiene:

∂wln

t

∂alnt = π

lnvt-1 + ∑

p=1

P(t) φ

p

at×πln

αt+1(p) (15)

Para obtener el término ∂aln

t /∂a lt−1, se substituye aln

t por la expresión (11) del modelo estocástico de afluencias. Derivando, se tiene:

∂aln

t

∂a lt−1

= Φt−1 (16)

La derivada deseada se calcula como el producto de las expresiones (15) y (16):

∂wln

t

∂a lt−1

= [πln

vt-1 + ∑p=1

P(t) φ

p

at×πln

αt+1(p)]×Φt−1 (17)


Por simplicidad de notación, se define:

φln

at−1 =

∂wlnt

∂a lt−1

(18)

B.2.2.4 Cálculo de la aproximación de la función de costo futuro Después de la solución de los N problemas correspondientes a los N escenarios condicionados al estado (v l

t−1, al

t−1) y calculadas las derivadas con respecto a las condiciones iniciales para cada escenario n, el valor esperado de estas derivadas está dado por

φl

vt-1 = 1N ∑

n=1

N π

lnvt-1 (19)

φl

at−1 =

1N ∑

n=1

N φ

ln

at−1 (20)

y el valor esperado de la función objetivo es:

wlt =

1N ∑

n=1

N wln

t (21)

Una aproximación de la función de costo futuro de la etapa anterior t-1 se obtiene a través de la linealización del valor esperado wl

t alrededor del estado inicial (v lt−1, a

lt−1)

α lt-1(v

lt−1, a

lt−1) ≥ wl

t + φl

vt-1×(vt−1 − v lt−1) + φ

l

at−1×(at−1 − a l

t−1) (22) Separando los valores conocidos de las variables de decisión y agregando los términos, se tiene:

α lt-1(v

lt−1, a

lt−1) ≥ φ

lvt-1×vt−1 + φ

l

at−1×at−1 + r l

t−1 (23) donde r l

t−1 es un término constante dado por:

r lt−1 = wl

t − φl

vt-1×v lt−1 − φ

l

at−1×a l

t−1 (24)


B.2.2.5 Actualización de la función de costo futuro de la etapa anterior El procedimiento presentado en B.2.2.4 produce un hiperplano que aproxima la función de costo futuro de la etapa anterior t−1 alrededor del estado inicial (v l

t−1, al

t−1). Este proceso se repite para cada estado l, con l = 1, ..., L. De esta forma generamos L aproximaciones de la función de costo futuro para la etapa t−1. Estos L nuevos hiperplanos son añadidos al problema de la etapa anterior, por lo tanto P(t−1) ← P(t−1) + L. B.2.3 Cálculo del límite inferior El problema operativo se resuelve ahora para la primera etapa, t=1. Los tramos de la función de costo futuro para esta etapa fueron obtenidos como se mostró en la sección B.2.2. El valor esperado del costo operativo a lo largo del período de planeamiento se calcula como:

w_ = 1L ∑

l=1

L wl

1 (25)

donde: w_ valor esperado del costo operativo wl

1 valor óptimo del problema operativo de la primera etapa dado el volumen inicial v0 y el vector de afluencias al

1:

wl1 = Min ∑

j=1

J c1(j)g1(j) + cδδt + α1 (26)

sujeto a las restricciones operativas etc. Si el procedimiento presentado en las secciones B.2.1 y B.2.2 se aplicara a todos los estados (v l

t−1, al

t−1) posibles del sistema, el costo operativo promedio calculado en (25) seria por definición la solución óptima del problema estocástico. Como el número total de estados es excesivamente elevado, se aplica el procedimiento a un subconjunto de L estados. Por lo tanto, las funciones de costo futuro {αt} calculadas son aproximaciones de las funciones verdaderas. En particular, dado que la aproximación de la función de costo futuro no incluye todos los tramos, el valor w_ en (25) es un límite inferior para la solución óptima. B.2.4 Cálculo del límite superior El cálculo del límite superior se basa en la observación de que el costo esperado resultante de la simulación operativa del sistema para cualquier función de costo futuro no puede ser inferior al valor óptimo. El proceso consiste en una simulación en el sentido directo del tiempo para una muestra de tamaño L. El procedimiento de simulación se presenta a continuación.


B.2.4.1 Estados iniciales de almacenamiento Para la etapa t=1 se considera el vector de volúmenes iniciales v0. B.2.4.2 Estados iniciales de afluencias Los estados iniciales de afluencias para las etapas t = 1, ..., T y para los escenarios l = 1, ..., L son los mismos que se sortearan en la sección B.2.1.2. B.2.4.3 Simulación operativa Para cada etapa t y para cada estado inicial (v l

t−1, al

t−1) se resuelve el problema operativo: wl

t = Min zt(et) + αt+1 (27) s. a: vt(i)+st(i)+ut(i) − ∑

m∈Mi

[st(m)+ut(m)] = v lt−1(i)+al

t(i)

0 ≤ vt(i) ≤ vt(i) 0 ≤ ut(i) ≤ ut(i)

et(i) = ρ(i) ut(i)

αt+1 − ∑i=1

I φ

p

vt(i)×vt(i) ≥ ∑i=1

I φ

p

at(i)×alt(i) + rp

t

αt +1 ≥ 0 para i = 1, ..., I; para j = 1, ..., J; para p = 1, ..., P(t) donde P(t) es el número de aproximaciones de la función de costo futuro en la etapa t obtenidas en el proceso recursivo presentado en B.2.2. El siguiente valor está asociado a la solución de este problema: zl

t = wlt − αl

t (28) donde wl

t es el valor óptimo de la solución y αlt es el valor de la variable de costo

futuro en la solución óptima. En otras palabras, zlt representa el costo operativo en la

etapa t, sin costo futuro. B.2.4.4 Actualización del estado inicial de almacenamiento


Para las etapas t, t = 2, ..., T, actualice los estados iniciales de almacenamiento utilizando el vector de almacenamientos finales v l

t-1 obtenido en la solución del problema operativo de la etapa t-1 para el l-ésimo escenario. B.2.4.5 Obtención del límite superior Después de la solución del problema (27) para cada estado inicial (v l

t−1, al

t−1) y para cada etapa se calcula:

w_

= 1L ∑

l=1

L zl (29)

donde zl es el costo operativo total de la secuencia l:

zl= ∑t=1

T zl

t (30)

B.2.5 Verificación de la optimalidad El límite superior estimado en (29) se basa en una muestra de L secuencias de afluencias. Por lo tanto, hay una incertidumbre alrededor de esta estimación, que depende de la desviación estándar del estimador:

σw = 1L2 ∑

l=1

L (zl − w

_)2 (31)

El intervalo de confianza (95%) para w_

es:

[w_

− 1.96 σw , w_

+ 1.96 σw] (32) Si el límite inferior w_ está en el intervalo (32), se llegó a la solución óptima y el algoritmo termina. En caso contrario, se debe mejorar la aproximación de las funciones de costo futuro y por lo tanto repetir el procedimiento presentado en la sección B.2.2. Los nuevos estados de almacenamiento son los volúmenes (v l

t−1) producidos en la simulación operativa presentada en la sección B.2.4. Los estados de afluencias (a l

t−1) siguen iguales.


ANEXO C. MODELO ESTOCÁSTICO DE CAUDALES C1. Objetivo En este Anexo se describe el modelo estocástico de caudales utilizados en el modelo SDDP. El modelo busca caracterizar, de la forma más realista y simple posible: • la dependencia de una secuencia de caudales afluentes a un embalse con el ciclo

anual y con su propio histórico reciente; • la naturaleza de la distribución del vector de ruidos en cada intervalo de tiempo; • la naturaleza de la interdependencia entre las afluencias a los diferentes embalses. El modelo de caudales es capaz de determinar y aplicar diferentes órdenes de autocorrelación para cada período del modelo. En este texto, se procura simplificar la representación matemática del modelo, considerando el tipo AR(1). Esperamos que esto haga más fácil la comprensión del modelo. El modelo de caudales afluentes a un embalse se describe en la Sección C.2, incluyendo procedimientos para la estimación de los parámetros del modelo autoregresivo, caracterización de la distribución de ruidos, y testes para verificar si el modelo es adecuado. La Sección C.3 describe como se modela y estima la relación entre los caudales afluentes a diferentes embalses. El modelo genera series sintéticas de caudales que son utilizadas en la fase forward del algoritmo del SDDP, o en la simulación de la operación del sistema. El modelo de caudales también genera secuencias de caudales condicionadas, utilizadas en la fase backward del algoritmo. La Sección C.4 describe como el programa SDDP genera secuencias sintéticas de caudales para el modelo y estima los parámetros. C.2. Modelación en una variable para secuencias de caudales afluentes a un único embalse C2.1 El Modelo ARP (1) C.2.1.1 Introducción Los parámetros que caracterizan las secuencias de caudales (i.e. media, desviación estándar, asimetría y correlación temporal) generalmente presentan un comportamiento periódico a lo largo del año. Estas secuencias se pueden analizar por modelos autoregresivos periódicos, ARP. En este texto se asume un modelo autoregresivo de orden 1 para cada período, i.e. toda la información de correlación entre caudales presente y pasada está contenida en la correlación con el período anterior. En este modelo, la autocorrelación se reduce exponencialmente en la medida que el número de períodos autoregresivos lineales aumenta. Usaremos la siguiente notación para describir el modelo:


m para períodos, m = 1, 2, ..., s, donde s es el número de etapas del año (s = 12 para series mensuales, s = 52 para series semanales)

T para años, T = 1, 2, ..., N, donde N es el número de años t índice de las etapas, t = 1, 2, ..., s x N, Zt secuencia estacional de la etapa t μm media estacional del período m σm desviación estándar del período m φm

parámetro autoregresivo (de orden 1) para el período m

at ruidos con media cero y varianza θ2 (t) Una autocorrelación de orden 1 en cada período significa que en cada período los caudales están relacionados a los caudales del período anterior por la ecuación:

tm

mtm

m

mt aZZ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−

−−

1

11

σμ

φσ

μ (1)

donde at no depende de Z Zt t− −1 2, ,.... C.2.1.2 Relación entre el parámetro autoregresivo y la correlación de caudales La siguiente ecuación muestra que con un modelo autoregresivo de primer orden, el parámetro autoregresivo de cada período es el mismo que el coeficiente de correlación (de primer orden) del período correspondiente. Denominaremos ρm(k), la correlación entre Zt y Zt−k para t perteneciente al período m:

ρ μσ

μσ

m t m

m

t k m k

m k

k Z Z( ) =−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥− −

−

Ε (2)

El conjunto de funciones de autocorrelación ρm(k) de los períodos m = 1, ..., s describen la estructura con dependencia temporal de las series de caudales. Substituyendo la ecuación (2) en (1), se obtiene:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Ε+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Ε=

−

−−

−

−−

−

−−

km

kmktt

km

kmkt

m

mtm

m Za

ZZk

σμ

σμ

σμ

φρ1

11)( (3)

En función de la independencia de los ruidos con respecto al histórico, el segundo término del lado derecho de la ecuación es cero. Así

(4) 2 )2(

1 )1()(2

1

1

≥−=

≥−=−

−

−

kk

kkkm

mm

mm

m

ρφφ

ρφρ

Si aplicamos la misma relación continuamente y observamos que

, obtenemos ρ ρm mk k( ) ( )− = =0 1


(5) 11...)( +−−= kmmm

m k φφφρ En el caso particular en que k = 1, tenemos la siguiente relación (6) m

m φρ =)1( Por lo tanto, en un modelo ARP(1), el parámetro autoregresivo ϕm es idéntico a la correlación entre los caudales del período m y el período m-1. Por eso podemos expresar la varianza del ruido en términos de los parámetros auto regresivos. C.2.1.3 El vector de ruidos transformados La generación de secuencias de caudales que serán usadas por el modelo SDDP requiere el conocimiento de los parámetros y de la forma de la distribución asociada a los caudales. En particular, es necesario determinar los parámetros de la distribución de ruidos de los caudales. Estos parámetros no están directamente relacionados a los caudales anteriores por medio de las autocorrelaciones. Si asumimos que el ruido tiene una distribución log-normal, con media 0, varianza θ2(t) y un límite inferior ψt, entonces sabemos de la teoría Estadística, que at − ψt tiene distribución log-normal con media −ψt y varianza θ2(t). Si transformamos estas variables at − ψt aplicando sus logaritmos, las variables resultantes tienen una distribución normal. Así, precisamos determinar los parámetros de la distribución normal desde los parámetros calculados de los caudales observados. Inicialmente obtenemos la varianza de los ruidos en términos del parámetro autoregresivo. Como at tiene media cero,

( )

2

22

12

1

112

1

1122

2

1

11

2

1

21

)1(2)0()0(

2

)(

m

mm

mm

mm

m

m

mt

m

mtm

m

mtm

m

mt

m

mtm

m

mt

tt

ZZZZ

ZZ

aaVar

φ

φφ

ρφρφρ

σμ

σμ

φσ

μφ

σμ

σμ

φσ

μ

−=

−+=

−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Ε−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Ε+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Ε=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Ε=

Ε=

−

−

−−

−

−−

−

−−

Por lo tanto θ2(t) = 1− (7) 2

mφ Los caudales no pueden ser negativos, lo que implica un límite inferior para at,


ψt. Definiremos ψt por el manejo de la ecuación (1). Zt será positivo si:

tm

mtm

m

mt

Za ψ

σμ

φσμ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−>

−

−−

1

11 (8)

Ahora vamos a deducir los parámetros de las distribuciones normales log(at − ψt ), es decir, la media μv y la varianza σv

2. Los valores de μv y σv2 se pueden deducir por la

función generadora de momentos de at − ψt. Por simplicidad de notación, dejaremos de lado el índice del tiempo t. También asumiremos el índice λ para simplificar la notación. La función densidad de probabilidad de at, que tiene distribución log-normal de 3 parámetros ψt, μn,σn) es:

2)log(5.0

2)(1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

−= v

vtt

t

a

vtta e

af σ

μψ

πσψ para at ≥ ψt (9)

donde

( )) - log( ttv aE ψμ = (10) ( )2) - log( vttv aE μψσ −= (11)

La función de probabilidad (9) tiene las siguiente estadísticas:

media: 2

2v

vet

σμ

ψμ+

+= (12)

varianza: (13) 22 2)(22 vvvv ee σμσμθ ++ −=

Llamando la variable auxiliar y trabajando con el segundo momento (13), se obtiene:

2veσλ =

( )

( )

θ

λ λ

μ σ σ

μ

2 2

2

2 2

1

1

= −

= −

e e e

e

v v v

v

entonces tenemos que ( )

e v22

1μ θ

λ λ=

−

aplicando el logaritmo ( )

μ θλ λv= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟. log5

1

2

(14)

y (15) σ v

2 = log(λ ) A partir de los momentos de primer orden (12) de la distribución lognormal, se tiene


− =+

ψμ

σ

e vv2

2

aplicando logaritmo: log( )− = +ψ μ σv

v

2

2 (16)

sustituyendo (14) y (15) en el lado derecho de (16) :

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +. log

( ). log5

15

2θλ λ

λ

( )= − − +. log . log ( ) . log5 5 1 52θ λ λ λ = − − − +. log . log . log( ) . log5 5 5 1 52θ λ λ λ

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟. log5

1

2θλ

exponenciando ambos lados : − =−

ψ θλ

2

1

ψ θλ

22

1=

−

entonces λ θψ

= +2

2 1 . (17)

Sustituyendo (17) en (14) y (15) obtenemos expresiones para μv y σv2 en términos de

la varianza y del límite inferior de los ruidos. Estas son utilizadas en la generación sintética de caudales (ver Sección 4). Consideraremos ahora la dependencia explícita con t. La variable Vt=(log(at−Ψt)−μv)/σv es llamada ruido transformado. C.2.2 Modelo de Ajuste El modelo de caudales permite la adopción de diferentes órdenes de regresión que se aplican a cada período. Box y Jenkins propusieron una metodología para el ajuste de modelos ARIMA de series temporales, que también se pueden aplicar a los modelos PAR(p). En este análisis, la selección del modelo se divide en tres partes. El primer paso, llamado identificación del modelo, consiste en la selección de un orden inicial para el modelo, basado en los estimadores de las funciones autoregresivas obtenidas desde el histórico. El segundo paso es la estimación de los parámetros del modelo, y el tercer paso es llamado verificación del modelo, donde testes estadísticos son utilizados para comprobar si las hipótesis adoptadas por el teste anterior son adecuadas. Si esto no se verifica se debe retornar al primer paso, hasta que los resultados sean satisfactorios. (Ver el manual del SDDP para una descripción de los pasos uno y dos del caso general). C.2.3. Verificación del Modelo


Se puede testar el modelo PAR(1) en cuanto a la independencia y normalización de las afluencias y por “outliers”. C.2.3.1 Independencia de los ruidos Esta hipótesis se puede comprobar por el cálculo de la autocorrelación estacional de los ruidos transformados, como:

( ) ( )( )r j

N V Vv

m i s m i s m ji

N

v

m

v

m l

( )

( ) ( )( ) =

−

− + − + −=

−

∑1

1 11

σ σ (18)

Si el modelo fuera adecuado, tiene una distribución aproximadamente Normal

con media cero y varianza menor que N−1. Las estadísticas de Portmanteau,

r jv

m( ) ( )

(19) ( )Q N r j L Lm L vm

j

L

,( )( ) ( ) /= + +

=∑ 2

1

1 2N

m L

son asintóticamente independientes y tienen una distribución χ

2 con (L − 1) grados de

libertad. Un valor (significativamente) alto de Qm, L indica que la modelación del período m no es adecuada. En este caso, se debe intentar variar el orden del modelo (aumentando el orden desde 1) hasta que los ruidos sean independientes. En este proceso, se puede analizar las funciones de autocorrelación parciales de la muestra. El modelo también deberá ser probado para todo el conjunto, usando la estadística: (20) Q QL m

s

==

∑ ,1

donde QL tiene una distribución χ

2 con s(L-1) grados de libertad.

C.2.3.2 Ruidos normalizados Esta hipótesis puede ser verificada a través del cálculo de la asimetría estacional: ( )γ v

m

i s mi

N

N V= −

− +=∑1

1

3

1 ( ) (21)

Por tener el estimador de la asimetría una distribución aproximadamente normal, con media cero y varianza 6N−1, la hipótesis que la distribución transformada tiene una distribución Normal es rechazada (con nivel de significancia α) siempre que ( )γ αv

m Zn N> −6 1 , donde nα es el límite superior del intervalo de confianza para

un α dado, de una distribución normal patrón. C.2.3.3 Puntos fuera de la curva


El cálculo de la secuencia histórica { V1,V2, ....} caracteriza como "sospechoso" cualquier valor Zt que resulte en un valor Vt fuera del intervalo de confianza de 99% de una distribución Normal. C.3. Modelo multivariado para múltiples embalses Sea: Vt = [ Vt(1), Vt (2), ... , Vt(j)] (22) un conjunto de ruidos transformados espacialmente dependientes, donde Vt(1) corresponde a la primera estación hidrológica, Vt(2) la segunda, y así en adelante, para j estaciones. El modelo espacial está representado por: Vt = A Wt (23) donde Wt es un vector con j componentes, todos con distribución normal estándar, e independientes entre si. La matriz A, conocida como matriz de carga se calcula por la siguiente ecuación:

A A' = Cov(Vt) = Σ (24) donde A' es la transpuesta de A y Cov(Vt) es la matriz de covarianza de Vt, llamada Σ, la que se estima desde las observaciones simultaneas de Vt(1), Vt(2), ... , Vt(j). Una manera de resolver (24) es por descomposición en autovectores de Σ: =∑ ΧΛΧ' donde Λ es una matriz diagonal con los autovalores y Χ es una matriz de autovectores. Así,

A = ΧΛ12 .

C.4. Generación sintética de caudales La generación de caudales en un período cualquiera m se hace tomando una muestra, en cada tiempo t, con j variables dependientes de distribución normal estándar, donde j es el número de plantas hidráulicas del estudio: ~ ( ), ~ ( ),..., ~ ( ).W W W jt t t1 2 El vector de ruidos transformado con dependencia espacial

[ ]~ ~ ( ), ~ ( ),..., ~ ( )V V V V jt t t t= 1 2 se calcula por la ecuación (23), es decir, ~ ~V AWt = t . Cada


ruido ~Vt (i), i = 1, ... ,j recibe una transformación específica para resultar en el ruido ~a t(i) del modelo autoregresivo periódico. ~a t(i) = exp ( ~Vt (i) × ~ ~ ) ~σ μv v t (25) + + Ψ donde ~ , ~ ~

μ σv v e Ψt

t

están relacionados a los residuos sintéticos de la misma manera que están a los ruidos reales (ecuaciones (14), (15) y (8) respectivamente). μ σv v, e Ψ

La variable normalizada para cada local satisface la ecuación autoregresiva específica de la variable local i: ~ ( ) ( ) ~ ( ) ~ ( )X i i X i a it m t t= +−ϕ 1 (26) El caudal sintético ~ ( )Z it satisface: ~Z t(i) = ~X t(i) σm(i) + μm(i) (27) donde μm(i) y σm(i) corresponden a la media y desviación estándar de la muestra de los caudales reales afluentes al embalse i en el período m. En el programa SDDP, es necesario que sean simultáneamente generados un conjunto de caudales sintéticos. En la etapa de optimización, es necesario que estas secuencias tengan un límite inferior común en cada paso de tiempo. Estas secuencias se llamarán secuencias separadas de ~( , ), ,Z t k k K= 1 ... . En la práctica, debido a la naturaleza iterativa de los cálculos, se utiliza el siguiente procedimiento. En cada instante de tiempo se calcula:

~ ( , ) ( )( )

( )~ ( , )

( )Ψt

m

m

mt m

m

i k ii

i Z i ki

= − −−− −

−

μσ

ϕ μσ

1 1

1

.

El valor máximo de los límites inferiores calculados para las secuencias individuales, es el límite inferior común, es decir, ~ ( ) ~ ( , )maxΨ Ψt k

K

ti i==1

k . De esta manera se calculan ~

, ~ ~λ μ σv e v por:


~( , ) ( )

~ ( )

~ ( , ) . log ( )~

( , )(~

( , ) )

~ ( , ) log(~

( , ))

λ ϕ

μ ϕλ λ

σ λ

t i ii

t i it i t i

t i t i

m

t

vm

v

= +−

=−

−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

1 1

0 5 11

2

2

2

Ψ

Finalmente se calculan los caudales sintéticos como ( )[ ]~ ( , ) ( ) exp ~ ( , ) ~ ( , ) ~( ) ~ ( ) ~ ( , )Z i k i t i t i V i i i kt m v v t t t= + + −σ μ σ Ψ Ψ .

El único otro requisito es la existencia de un punto inicial, es decir, un valor de ~Zt −1 para el primer instante de tiempo. En algunos casos, este valor puede ser conocido, como en el caso de la simulación de continuidad de una secuencia de caudales reales. En caso contrario se puede asumir un valor arbitrario, por ejemplo, ~Zt m− −=1 1μ


ANEXO D. MODELO AUTOREGRESIVO PERIÓDICO DE ORDEN p

D.1. Modelo en una variable Las series hidrológicas con pasos de tiempo menor que un año, tales como series mensuales, tienen como característica el comportamiento periódico de sus propiedades probabilísticas, como por ejemplo la media, la varianza, la asimetría y la estructura de autocorrelación. El análisis de este tipo de series puede hacerse por medio del uso de formulaciones autorregresivas del modelo. Genéricamente, sea p un vector, p = {p1,p2,...,ps} donde cada elemento suministra el orden de cada período. El modelo PAR(p1,p2,...ps) se plantea matemáticamente por:

Φm(B) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

m

mtZσ

μ = at (1)

donde: Zt serie estacional de período s t índice de tiempo, t = 1,2,...,s x N, función del año T (T = 1,2,...,N) y del período

m (m = 1,2,...,s) s número de períodos (s = 12, para series mensuales) N número de años μm media estacional de período s σm desviación estándar estacional de período s Φm operador autorregresivo de orden pm:

Φm(B) = (1 - φm1 B - φm

2 B2 - ... - φm pm

Bpm

)

Bi aplicado a Zt resulta en Zt-1 (Bi Zt = Zt-1) pm orden del operador autorregresivo del período m at serie de ruidos independientes con distribución normal, media cero y varianza

σ2(m)a

Considere ρm(k) la correlación entre Zt y Zt-k, para t en el período m:

ρm(k) = E ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−

−−

km

kmkt

m

mt ZZσ

μσ

μ (2)

El conjunto de funciones de autocorrelación ρm(k) de los períodos m = l, ... s, describen la estructura de dependencia temporal de la serie. Estas funciones son obtenidas por:


t1

11 a + + ... + 1

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−

−−

−

−−

m

mm

pm

pmpt

mm

mt

m

mtZ

pmZmZ

σμ

φσ

μφσ

μ (3)

Multiplicando ambos lados de la ecuación (3) por Zt k m k

m k

− −

−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

μσ

y tomando el valor

esperado, obtendremos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−

−−

−

−−

−

−−

−

−−

−

−−

−

−−

km

kmktt

km

kmkt

pm

pmpt

m

km

kmkt

m

mt

km

kmkt

m

mt

ZaE

ZZE

pm

ZZE

mZZE

m

mm

σμ

σμ

σμ

φ

σμ

σμ

φσ

μσ

μ

+ +

... + 1

= 1

11

(4)

Sustituyendo (2) en (4), obtenemos, para k ≥ 1:

ρm(k) = φm1 ρm-1(k-1) + φm

2 ρm-2(k-2) + ... + φm pm ρm-pm(k-pm) (5)

Fijando m y variando k de 1 hasta pm en (5), obtenemos, para cada período, un conjunto de ecuaciones, comúnmente denominado "ecuaciones de Yule-Walker". Para un período m cualquiera:

1 1 11 1 2

1 2 1

12

1

11

2

1

2

1 2

ρ ρρ ρ

ρ ρ

φφ

φ

ρρ

ρ

m m pm

m m pm

m pm

m pm

m

m

pm

m

m

mm

m

m

m mm

pp

p p

− −

− −

− −

+

+

+ +

−−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

( ) ... ( )( ) ... ( )

... ... ... ...( ) ( ) ...

...

( )( )

...( )p

k

(6)

Llamando φkj el j-ésimo parámetro autoregresivo de un proceso de orden k, φkk es el último parámetro de este proceso. Las ecuaciones de Yule-Walker, para cada período m, se pueden re escribir bajo la forma:

1 1 11 1 2

1 2 1

12

1 1

1 2

1 2

1

2

ρ ρρ ρ

ρ ρ

φφ

φ

ρρ

ρ

m m k

m m k

m k m k

km

km

kkm

m

m

m

kk

k k

− − +

− − +

− + − +

−−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

( ) ... ( )( ) ... ( )

... ... ... ...( ) ( ) ...

...

( )( )

...( )

(7)

φ

m , definida en función del índice k, es llamada función de autocorrelación parcial

para el período m. El conjunto de funciones φm , m = 1, ... ,s, es otra manera de

representar la estructura de dependencia del proceso estocástico a lo largo del tiempo. En un proceso autorregresivo de orden pm, la función de autocorrelación parcial φm

será diferente de cero para k menor o igual que pm, y cero para k mayor que pm.

kk

kk

kk

Para k = 0, (3) resulta:


1 = φm1 ρm-1(1) + φm

2 ρm(2) + ... + φm pm ρm(pm) + E Zt m

m

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

μσ

at (8)

Multiplicando (1b) por at, y tomando el valor esperado, obtenemos:

E t = Zt m

m

m−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

μ

σσa

2( )a

(9)

Sustituyendo (9) en (8):

σ = 1 - φm1 ρm(1) + φm

2 ρm(2) + ... + φm pm ρm(pm) (10)

2(m)a

Esta expresión es válida para cualquier período m. Box y Jenkins sugirieron una metodología bastante detallada para ajustes de modelos estocásticos de la familia ARIMA para series temporales, que puede ser aplicada para modelos de la familia PAR (p). En esta metodología, la estrategia de selección del modelo se divide en tres etapas. La primera etapa, denominada por Box y Jenkins identificación del modelo, consiste escoger tentativamente, el orden del modelo, basándose en estimaciones de las funciones ρm(k) y φm

kk , obtenidas a partir de la serie de la muestra. En el modelo autorregresivo periódico, consiste en escoger el vector p. La segunda etapa se refiere a la estimación del modelo, o sea, de sus parámetros. La tercera etapa hace referencia a la verificación del modelo, es decir, verificación a través de pruebas estadísticas, si las hipótesis asumidas durante las etapas anteriores, son atendidas. Si éstas no son verificadas, se debe regresar a la primera etapa, hasta que los resultados sean satisfactorios. Se destaca que esta estrategia muchas veces puede resultar en más que un modelo capaz de describir el proceso estocástico analizado. Además, existen modelos que no pertenecen a la familia analizada que pueden ser más apropiados en algunos casos. Cuando esto ocurra, la selección del modelo más adecuado puede efectuarse sometiéndolos a pruebas de aplicación similares a las incluidas en la presente especificación.


D.2. Identificación del Orden La identificación del modelo consiste de determinar el orden más apropiado de los operadores autorregresivos de cada período pm, m = 1,s Esto puede hacerse

obteniendo estimaciones φm , k = 1, ... , N/4, sustituyendo en (3.6) las

autocorrelaciones por los respectivos valores muestrales. Si el orden del operador autorregresivo de un período cualquiera m es pm, entonces φm para k > pm tiene

distribución aproximadamente Normal con media cero y varianza N-1. Para cada período m, se busca el mayor lapso i, tal que todas las estimaciones φm ,para k ≤ i,

sean significativas. El orden i es una buena estimación inicial para pm.

kk

kk

kk

D.3. Estimación de Parámetros Luego de la etapa de identificación, es necesario obtener estimaciones para los diversos parámetros del modelo. Para modelos autorregresivos, los estimadores de momento son, por lo general, bastante eficientes. Las medias y desviaciones estándar estacionales son estimadas por:

μm = N-1 z i s mi

N

( )− +=∑ 1

1

, m = 1, 2, .... , s (11)

σ 2m

= N-1 ( ( )z i s mi

N

m− + )=∑ −1

1

2μ , m = 1, 2, .... , s (12)

En el caso de series semanales (y eventualmente en las mensuales) se ajusta

respectivamente a los valores μm y σ2 m , m = 1, 2, ...., los principales armónicos, en

el sentido de obtener una representación más concisa (es decir, más parsimoniosa) de estas dos funciones cíclicas.

Los parámetros φmi , i = 1, ... , pm, son estimados sustituyendo en (5) ρm-j(k), j = 0, ...

, pm – 1 y k = 1, ... , pm, por sus estimaciones dadas por:

ρm(j) = N z zi s m m i s m j m j

i

N−

− + − + − −=

− −∑11 1

1

( )(( ) ( )μ μ

σ σm m- j

)

p

(13)

El sistema de ecuaciones resultantes para el período m se describe por:

1 1 11 1 2

1 2 1

12

1

11

2

1

2

1 2

ρ ρρ ρ

ρ ρ

φφ

φ

ρρ

ρ

m m pm

m m pm

m pm

m pm

m

m

pm

m

m

mm

m

m

m mm

pp

p p

− −

− −

− −

+

+

+ +

−−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

( ) ... ( )( ) ... ( )

... ... ... ...( ) ( ) ...

...

( )( )

...( )

(14)


Se observa que los parámetros del modelo para el m-ésimo período pueden estimarse de manera independiente de los parámetros de cualquier otro período.

Finalmente, los valores σ2(m)a pueden obtenerse usando (10).

D.4. Número de Secuencias El número de series sintéticas a ser utilizado en un estudio de simulación k, depende de qué pregunta se pretenda responder y con qué precisión. Por ejemplo, supongamos que se desea estimar la probabilidad de déficit de energía en el sistema para los próximos 3 años. Cada serie sintética multivariada (para todos los aportes a plantas hidroeléctricas) debe ser simulada a lo largo de 3 años con las reglas operativas derivadas del modelo de optimización. Cada una de estas simulaciones resulta en uno de los posibles resultados: wi = 1 , si hay ocurrencia de déficit en la serie sintética i, y wi = 0 , si no hay ocurrencia de déficit en la serie sintética i. Es simple probar que: E( W ) = α (15) Var( W ) = α ( 1−α) (16) siendo α probabilidad desconocida

El mejor estimador para α es P = 1k

wii=1

k

∑ , que tiene las siguientes propiedades:

E (P ) = α (17)

Var ( P ) = α α(1- )k

(18)

Cuando α es grande, la distribución de P es aproximadamente normal. Por lo tanto, es posible decir que el valor de α (desconocido), se encuentra con probabilidad de 90% dentro del intervalo:

P 1,64 P(1 P)k

±− .

Si este intervalo es demasiado ancho, el valor de k debe ser aumentado. D.5. Interfaz con el Modelo de Optimización El modelo se caracteriza por la colección de pm(i), m = 1, ... ,s y i = 1, ... ,j , donde pm(i) es el orden del proceso autorregresivo para el mes (o semana) m en el


aprovechamiento i. Este diagnóstico se hace con el Módulo de Identificación. El Módulo de Estimación calcula los coeficientes autorregresivos φm

j (i), j = 1, ... ,pm(i). El modelo genera un archivo para los pm(i), y otro para los φm

j (i). Para una configuración conocida (conjunto de estaciones), se ejecutará el Módulo de Cálculo de la Matriz de Carga A (multivariada). Esta matriz, junto con los conjuntos pm(i) y φm

j (i) , son los constituyentes básicos para el modelo de cálculo de la política óptima de operación y para la generación de series sintéticas.


ANEXO E. ASPECTOS COMPLEMENTARIOS DEL MODELO DE CAUDALES 1. ¿Qué significa precisamente una falla de observación, representada por –999?

¿Los datos considerados falla de observación, se eliminan? ¿En este último caso, se realiza alguna prueba para determinar si la cantidad de datos restantes en la estadística es suficiente para la estimación de parámetros de los modelos PAR(p)?

La falla de observación significa que el dato no existe. Esto ocurre, por ejemplo, cuando dos estaciones tienen históricos distintos, uno empezando en 1948 y el otro el 1950. En este caso, el ARQ.ASC sería

Fecha estación 1 estación 2 Ene/48 dato -999 Feb/48 dato -999 etc. Dic/49 dato -999 Ene/50 dato dato

No se hace una prueba para verificar si los datos restantes son suficientes. El número mínimo de años es 3. 2. ¿Cuál es la prueba de Grubbs & Beck, utilizada para detectar outliers? ¿Se

eliminan los outliers de la todas las series de promedios antes de realizar la estimación de parámetros de los modelos PAR(p)?

Un outlier es por definición un dato que es mucho mayor o mucho menor que los restantes. Se utiliza la prueba de outliers para llamar la atención de datos “sospechosos”. Estos datos son marcados con un (!). Sin embargo, serán incluidos en la estimación de los parámetros. La prueba de Grubbs y Beck es recomendada por la United States Water Resources Council. El promedio y la desviación standard de los logaritmos de los n datos disponibles para cada mes se utilizan para definir los límites superior y inferior. Límite superior: Zinf = Exp (μu+knσu) Límite inferior: Zsup = Exp (μu-knσu) donde kn = -3.622+6.285 n1/4-2.498 n1/2+0.491 n3/4-0.038 n u = LN (Z) μu= promedio de u σu= desviación standard de u 3. ¿A qué se refiere precisamente con la “serie de caudales intermedios promedios

mensuales” que las series modelan? Los ajustes se hacen a partir de los caudales incrementales.


4. En el archivo estim.aju ¿Qué significa la prueba Estacionalidad (acepta, no

acepta) para diferentes órdenes? ¿A qué prueba corresponde? Es un error de español, debería ser “Estacionariedad” u “Homogenidad”. Suponga, por ejemplo, un histórico de 1960 hasta 1990. Debido a erosión y otros factores, es posible que los caudales no representen un proceso homogéneo. La prueba verifica si los parámetros estimados a partir de la primera mitad de los años (en este caso, 1960 y 1970) son iguales a los de la segunda mitad (1980 y 1990). Explicaremos ahora la prueba de Mann-Kendall.

Prueba de Mann_Kendall: En esta prueba, la hipótesis nula es de que los valores xi , i=1, ..., n de la serie fueron sorteados aleatoriamente de la misma población. Por lo tanto, las n! permutaciones de los x’s tienen igual probabilidad de formar la serie temporal realmente obtenida. La prueba se realiza de la siguiente forma:

• Calcule I = , siendo si el número de xj > xi, i < j ≤ n ∑−

=

1

1

n

iis

• Calcule T = ∑ , siendo ti el número de xj < xi, i < j ≤ n −

=

1

1

n

iit

• Calcule S = T – I Si la hipótesis nula es verdadera, S debe de ser próximo de cero. Si existe alguna tendencia monótona, S tiene a su valor máximo (n-1) o mínimo –(n-1). Para n>10, se puede aplicar la prueba de una forma aproximadamente satisfactoria usándose la estadística:

V = 5.0

18)52)(1(

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−

nnnD

En este caso, se usa la distribución normal standard para obtener los siguientes valores críticos:

α 0.10 0.05 0.01 |Vcrit| 1.28 1.64 2.33

5. ¿La identificación del orden de los modelos PAR(p), se realiza mediante un teste

de independencia? ¿En ese caso, se escoge como orden al máximo de los desfases para el que todas las estimaciones φkk de forma correlativa, sean significativamente diferentes de cero? Agradeceremos aclarar este punto.

Suponiendo pm=1,2,...,6, la varianza residual se estima hasta para seis hipótesis de dependencia serial. Por simplicidad de notación, suponga que estas varianzas sean

V(1), V(2), ..., V(6). Esto es, V(2), por ejemplo, es la varianza de los residuos θ2 (t) asumiéndose pm=2. Se acepta pm=6 en caso que la disminución de la varianza


residual, cuando se pasa de pm=5 para pm=6 sea “significativa”. Específicamente, se adopta pm=6 en caso V(6)/V(5) < 0.975. Caso contrario, pm será a lo máximo igual a 5. Se adopta pm=5 en caso V(5)/V(4)<0.975. Y así sucesivamente. 6. ¿Qué significa en las series de residuos una falla de observación (-999)? Esto sólo ocurre con el primer año. Suponga, por ejemplo, que el histórico empezó el 1943. En este caso, el residuo de Enero/43 no existe, pues depende del caudal de Diciembre/42. 7. ¿Qué ocurre cuando es rechazada la hipótesis de independencia de los residuos en

alguna de las pruebas efectuadas? Esto es sólo una advertencia, el usuario puede forzar el ajuste de un modelo con otra orden. 8. Con relación a la prueba de normalidad de los residuos (archivo estim.aju), en

qué consiste la prueba de correlación de Filliben. Esta prueba compara una distribución acumulada empírica con una ajustada. Suponga, por ejemplo, que tengo una muestra con 8 valores, x1, x2, ...., x8. Cada uno de estos valores corresponde as las posiciones 1/8, 2/8, ..., 8/8 de una distribución acumulada empírica. A continuación, se calculan los valores y1, y2, ..., y8 correspondientes a las mismas posiciones 1/8, 2/8 etc. de una distribución acumulada analítica (en este caso, la Normal). Finalmente, se calcula la correlación entre las secuencias x y y. Si el ajuste es bueno, la correlación es alta.

Manual de Metodología · 2018. 3. 16. · PSRI SDDP 9.0 - Manual de Metodología 7 En este caso...

Documents

Transcript of Manual de Metodología · 2018. 3. 16. · PSRI SDDP 9.0 - Manual de Metodología 7 En este caso...