Manual Fluidos II 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE INGENIERIA CIVIL Y SISTEMAS

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

MANUAL DE MECANICA DE FLUIDOS II

M.Sc. Ing. Hugo Rojas Rubio

NUEVO CHIMBOTE, SETIEMBRE DEL 2010

Manual de Mecánica de Fluidos II Hugo Amado Rojas Rubio

Primera Edición Setiembre 2010

Universidad Nacional del Santa

Facultad de Ingeniería

Av. Universitaria s/n-Urb. Bellamar

Telefax N° (151) 043-316225

Derechos Reservados®

Prohibida la reproducción total o

parcial de este libro por cualquier

medio sin permiso expreso del autor

2


A MI FAMILIA

Echa tu pan sobre las aguas corrientes, que al cabo de mucho tiempo lo hallarás.

Eclesiastés XI-I

3


PROLOGO

El presente manual, viene a ser el resultado de la recopilación de diversas fuentes

bibliográficas y de la experiencia del autor en el ejercicio profesional y académico.

El objetivo principal del libro es proporcionar un texto a los estudiantes de los

últimos años de la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional del

Santa. Asimismo una obra de consulta para ingenieros, proyectistas y diseñadores

de obras hidráulicas.

El conocimiento de la mecánica de los fluidos, hidrología y de la hidráulica,

constituye la base fundamental para el diseño de las estructuras hidráulicas que

conducen el flujo a superficie libre y a presión. En el capítulo II de la I unidad del

curso de Mecánica de Fluidos II, se hace una introducción al estudio del flujo en

tuberías para régimen de flujo uniforme y permanente, descarga a través de

reservorios y el flujo en redes de tuberías.

La segunda unidad del manual, describe las metodologías y procedimientos a tener

en cuenta para el diseño de canales de sección prismática, el estudio del flujo

crítico y uniforme es tratado desde el punto de vista energético. El resalto

hidráulico y sus aplicaciones en la ingeniería son analizados aplicando la cantidad

de movimiento en canales.

En el capítulo IV de la tercera unidad del curso, se trata el estudio del flujo

gradualmente variado en canales, métodos de solución de este tipo de flujo; los

vertederos como estructuras de medición del caudal es visto con aplicaciones

prácticas a la ingeniería civil. Una introducción a la hidráulica de pozos, también

es tratado en el último capítulo,

Escribir un libro es un arduo trabajo, que difícilmente puede ser hecho realidad por

una sola persona, debemos partir del hecho primigenio que no hemos nacido

sabiendo lo que hacemos, sino que hemos aprendido, directa o indirectamente de

otros a los que llaman pioneros. Evidentemente aparecerán algunas deficiencias en

el texto y queda a consideración del lector su opinión y ayuda para mejorarlo.

HUGO AMADO ROJAS RUBIO

Chimbote-Perú

Octubre del 2010

4


“LA MAYOR NECESIDAD DEL MUNDO ES LA DE HOMBRES QUE NO SE

VENDAN NI SE COMPREN, HOMBRES QUE SEAN SINCEROS Y HONRADOS EN

LO MAS INTIMO DE SUS ALMAS, HOMBRES QUE NO TEMAN DAR AL PECADO

EL NOMBRE QUE LE CORRESPONDE, HOMBRES CUYA CONCIENCIA SEA TAN

LEAL AL DEBER COMO LA BRUJULA AL POLO, HOMBRES QUE SE

MANTENGAN DE PARTE DE LA JUSTICIA AUNQUE SE DESPLOMEN LOS

CIELOS”

ELENA G. de WHITE

5


CONTENIDO

Prologo Introducción 7

Capítulos I-IVPrimera Unidad FLUJO A PRESIÓN EN TUBERIAS

1.1 Energía de los Fluidos 10 2.1 Ecuación de la continuidad 143.1 Flujo en tuberías 163.2 Flujo laminar en tuberías 183.3 Flujo turbulento en tuberías 213.4 Fuerza cortante en tuberías 223.5 Rugosidad absoluta y relativa 314.1 Diseño hidráulico de tuberías 344.2 Expresión de Hazen y Williams 364.3 Tubería equivalente 394.4 Análisis de tuberías simples 394.5 Trazado de niveles piezómetros 674.6 Diseño hidráulico de redes cerradas 704.7 Flujo no permanente en conductos 95

Capítulo VSegunda UnidadFLUJO A SUPERFICIE LIBRE EN CANALES

5.1 Distribución de velocidades en un canal 1105.2 Flujo critico en un canal 1135.3 Flujo uniforme en un canal 1185.4 Cantidad de movimiento en canales rectangulares 1525.5 Resalto hidráulico en un canal 155

Capítulo VITercera UnidadFLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y VERTEDEROS

6.1 Estudio del flujo gradualmente variado 1676.2 Vertederos 1856.3 Compuertas 2046.4 Hidráulica de pozos 209

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA 226

1. INTRODUCCIÓN

6


Dentro de la problemática del "Saneamiento básico" de las zonas urbanas, tienen enorme

importancia el suministro de agua potable y la recolección de aguas residuales. Cualquier

población por pequeña que sea, debería contar como mínimo con los servicios de redes de

tuberías y alcantarillado, si se espera de ella un desarrollo social, económico y, ante todo, la

reducción de las altas tasas de morbilidad y mortalidad en especial de la población infantil.

Ante esto, en este manual del curso de Mecánica de Fluidos II, plantearemos los métodos de

solución para los sistemas e tuberías, como los empleados en los sistemas de acueducto y de

riego. Iniciaremos Identificando los tipos de flujo que se presentan en las tuberías utilizando

para esto los conceptos introducidos por Osborne Reynolds.

Luego se estudia la pérdida de energía producida por la fricción en las tuberías utilizando las

ecuaciones de Darcy – Weisbach y Hazen – Williams. Conocida la pérdida de energía producida

por el flujo en las tuberías, se hará lo mismo para los accesorios tales como: Válvulas, codos,

reducciones, Ampliaciones, etc.; para esto nos apoyaremos en los estudios efectuados por

investigaciones y experiencias de laboratorio

Con los conocimientos anteriores entraremos luego a la etapa de diseño propiamente dicha, con

las tuberías en serie y sus cuatro problemas típicos, en los cuales varia la propiedad buscada

llegando así a los sistemas de redes de tuberías, en donde solucionaremos las redes en paralelo y

los circuitos de tuberías para lo cual conoceremos los métodos de Transformación lineal, Hardy

–Cross y el método del gradiente. Asimismo se estudiara el flujo empleando las bombas

hidráulicas, las cuales son empleadas para dar energía al fluido.

La diferencia que existe entre conductos que transportan agua a presión y aquella cuya

circulación se realiza con una superficie libre, es que en los primeros el líquido ocupa toda la

sección y tiene una presión diferente (generalmente mayor) de la atmosférica mientras que en

los segundos el líquido ocupa solamente parte de la sección y la presión en la superficie es igual

a la atmósfera. Por lo tanto en los conductos libres la superficie de agua coincide con la línea

piezométrica y la gradiente del canal es siempre positiva.

Se estudiara el flujo en canales de sección uniforme, así como el resalto hidráulico, el flujo

gradualmente variado y los vertederos, que constituyen temas importantes que influyen en el

diseño y construcción de obras en un proyecto hidráulico; que se inicia en las estructuras de

captación, conducción, distribución y aplicación del agua; hasta las obras finales de drenaje que

se construyen en las zonas bajas. Especial interés merece el estudio de la hidráulica de pozos,

que conjuntamente con los reservorios forman los sistemas de bombeo y almacenamiento de los

fluidos, de gran aplicación en la ingeniería.

7


PROGRAMA INSTRUCCIONAL

El manual del curso se desarrollará en tres unidades de acuerdo al silabo:

PRIMERA UNIDAD: Flujo a presión en tuberías

SEGUNDA UNIDAD: Flujo a superficie libre en canales

TERCERA UNIDAD: Flujo gradualmente variado y vertederos

8


OBJETIVOS GENERALES DEL MANUAL

Explicar los procedimientos de solución para el cálculo de caudales en diferentes tipos

de tuberías.

Comprobar el principio de la continuidad para los flujos que se presentan en tuberías.

Diseñar redes de tuberias cerradas, sistemas de bombeo y reservorios.

Proporconar los conocimientos fundamentales de la hidraulica y la mecanica de los

fluidos que se requieren para el diseño de los sistemas del flujo a Presión en tuberias y a

superficie libre en canales.

Estudio del flujo uniforme y permanente en los sistemas de conduccion, con

aplicaciones prácticas en la ingenieria civil.

El flujo no permanente o transitorio en tuberias, asi como el flujo gradualmente variado

en canales sera tratado fundamentalmente con lo relacionada al diseño de las estructuras

hidraulicas.

9I UNIDAD


FLUJO A PRESIÓN EN TUBERÍAS

Las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía, son la piedra angular del

cúmulo de conocimientos que tiene el hombre en Ingeniería, en su desarrollo han participado

incontables genios de la humanidad. Estas ecuaciones tienen en forma implícita los principales

conceptos y leyes de la Física. La aplicación de estas ecuaciones está restringida por la

imaginación de quien las utilice y de las herramientas matemáticas que se requieren para

resolver la situación dada. Sus exPresiónes matemáticas junto con las consideraciones

realizadas en su deducción y aplicación, constituyen el modelo matemático que nos permitirá

cuantificar el fenómeno en estudio, teniendo presente que todo modelo matemático que describa

una situación física real tendrá un margen de error, el cual se incrementará conforme nuestro

modelo se aleje delas condiciones presentes en la situación real.

I Revisión de Temas

I.1 Energía de los Fluidos y Tipos de Flujo

El escurrimiento en un canal, ya sea natural o uniforme, puede ocurrir en condiciones de

régimen permanente o impermanente.

Régimen permanente . La altura de escurrimiento o el caudal en un punto son constantes en

el tiempo

∂ y∂ t

=0 ;∂Q∂ t

=0

Régimen impermanente . La altura de escurrimiento o el caudal en un punto varían en el

tiempo.

∂ y∂ t

≠0 ;∂Q∂ t

≠0

Dado una condición de régimen permanente o impermanente, el flujo puede ser uniforme o

variado:

Dado el régimen permanente, el flujo puede ser:

Flujo uniforme. Corresponde al escurrimiento que tiende a producirse si el canal no presenta

variaciones en su trazado.

∂ y∂ x

=0

Flujo variado. Corresponde al escurrimiento que tiende a producirse cuando el canal presenta

variaciones en su trazado.

10


∂ y∂ x

≠0

1.2 Definiciones

Radio Hidráulico

Dada una sección de escurrimiento donde:

A = Área (m2)

P = Perímetro mojado (m)

B = Ancho superficial (m)

- Profundidad hidráulica: D= A

B

- Radio hidráulico: R= A

P

Velocidad de desplazamiento de una onda en un canal

Esta dada por la expresión:V 0=√ g

Al

Para un canal rectangular: v 0=√gH [m /s ]

N° de Froude

Relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas de gravedad.

Fr= v

√gDV = velocidad media

D = profundidad hidráulica

Notar √ gD=√ g

Al = V0 = velocidad de la onda en un canal

∴ Fr =

VV 0

Tipos de régimen

11


Fr > 1 flujo súper crítico o régimen de torrente (el agua escurre más rápido que una onda)

Fr < 1 flujo sub crítico o régimen de río (la onda es más rápida que el agua)

Fr = 1 régimen crítico

Régimen de río

Las ondas producidas por una perturbación son más rápidas que el agua.

El régimen de río es influenciable aguas abajo

Régimen de torrente

Las ondas son más lentas que el agua

El régimen de torrente es influenciable por aguas arriba

1.3 La energía en los canales

Dado un canal que escurre en régimen permanente y con flujo uniforme:

y1

y2

Planteando Bernoullí entre las dos secciones de escurrimiento definidas por y1 e y2

B1 = B2 + hf B1=z1+ y1+v 1

2

2 g

B2=z2+ y 2+αv 2

2

2g

Para condiciones de régimen permanente y flujo uniforme, la pérdida de energía corresponde

sólo a pérdidas de energía potencial, luego se tiene que:

hf = pérdida de energía = B1- B2 = z1 – z2

En base a lo anterior se puede definir la energía específica (E)

E=B−Z⇒E= y+v

2

2 g= y+

Q2

2g A2

12


Para un canal en régimen permanente y flujo uniforme se tiene E1 = E2

Para un canal trapezoidal:

E= y+ Q2

2 g⋅(b⋅y+ y⋅z )2

La ecuación anterior resulta ser una ecuación cúbica para y. Esto implica que para un mismo

nivel de energía existen dos posibilidades de régimen:

Torrente: Fr > 1

Río: Fr < 1

Derivando la expresión de la energía con respecto a la altura de escurrimiento se puede

demostrar que el escurrimiento crítico se produce asociado a un nivel de energía mínimo.

Para canales trapezoidales

Fr2

=1→V

2

B

gA=1=

Q2

g A3

B

Se define:

yc altura crítica (m)

q=

QB caudal por unidad (m3/s) de ancho

Para canales rectangulares se puede expresar la altura crítica como:

yc=q

2 /3

3√g Válido solo canales rectangulares

Energía crítica en canal rectangular

13


E c= y c+Q

2

1 gb2

yc2 = y c+

q2

2 g yc2

q2

=(Qb )2

=g∗yc3

Ec= y c+g∗yc

3

2 g∗yc2=1 .5 y c

En un canal rectangular bajo condiciones de crisis, la energía específica es 1.5 veces el

valor de la altura crítica.

II. ECUACION DE CONTINUIDAD

II.1 Caso general

La ecuación de continuidad expresa el principio de conversión de la masa. Para

obtenerla consideremos dentro de un fluido continuo en movimiento, sin fuentes ni

sumideros, un paralelepípedo fijo elemental de todos dx, dy, dz.

La masa de fluida que ingresa por la cara

BCEF es, en el tiempo dt es:

ρ udzdydt

La masa fluida que sale por la cara ADGH en el mismo tiempo dt es:

[ ρu+∂ ( ρu )∂ x

. dx ]dy .dz .dt

La pérdida de masa a través de las dos caras mencionadas será entonces:

∂ ( ρu )∂ x

. dxdy . dz . dt

La pérdida de masa a través de las caras ABGE y DCHF será:

14


∂ ( ρv )∂ y

. dxdy .dz . dt

La pérdida de masa a través de las caras ABCD y GEFH será:

∂ ( ρw )∂ z

.dxdy .dz .dt

La masa pérdida a través de las caras es:

dm=[∂ ( ρu )∂ x

+∂ ( ρv )∂ y

+∂ ( ρw )∂ z ] .dxdy . dz . dt

Por otro lado, la masa contenido por el paralelepípedo elemental en el instante t es: dx

dy dz.

La variación de esta masa es en consecuencia, en un tiempo dt:

dm=−∂ ρ∂ t

dxdy . dz . dt

Deberá cumplirse, por conservación de la masa que:

[∂ ( ρu )∂ x

+∂ ( ρv )∂ y

+∂ ( ρw )∂ z ]dx . dy . dz . dt=−∂ ρ

∂ tdxdydzdt

De donde obtenemos:

∂ ρ∂ t

+∂ ( ρu )∂ x

+∂ ( ρv )∂ y

+∂ ( ρw )∂ z

=0

Esta ecuación es conocida como ecuación de continuidad, que puede adoptar también

formas:

∂ ρ∂ t

+div (ρ V⃗ )=0

∂ ρ∂ t

+∇⃗ . ρ V⃗ =0

II.2 Caso de un flujo permanente

Debe cumplirse:

∂ ρ∂ t

=0 ; luego :

∂ ( ρu )∂ x

+∂ ( ρv )∂ y

+∂ ( ρw )∂ z

=0 ; ∇⃗ . ρV⃗ =0

II.3 Caso de un flujo permanente de un fluido incomprensible

Se deberá cumplir simultáneamente:

∂ ρ∂ t

=0 y ρ=cte

Luego en este caso la ecuación de continuidad se escribe:

15


∂u∂ x

+ ∂ v∂ y

+ ∂w∂ z

=0 ó ∇⃗ . V⃗=0

III. FLUJO EN TUBERIAS

3.1. CONDUCCIÓN DE FLUIDOS

El transporte de un fluido, específicamente el agua se puede realizar de 2 maneras:

A presión tuberías

A gravedad canales

La diferencia entre canal y tubería se encuentra en el comportamiento hidráulico, mas no en la

forma de la sección transversal del conducto.

Las tuberías de sección circular tienen sus ventajas: Fabricación, estructurales e hidráulicas.

PRESIÓN INTERNA:

Los criterios modernos para el cálculo de tuberías para conducción de líquidos a Presión,

contemplan los siguientes aspectos:

Solicitaciones debido a la Presión interna en régimen permanente

Solicitaciones debida a la sobrepresión interna variable entre valores positivos y

negativos del régimen no permanente o transitorio, conocido como “Golpe de Ariete”

Alcantarillas

Las Normas Técnicas Peruanas NTP, establecen una tensión de diseño a la tensión de 100

kg/cm2, por lo que las Presiones internas de trabajo se calcularan con esta tensión admisible.

Se ha estandarizado para el cálculo de los esfuerzos de tensión en las tuberías circulares, el uso

de las siguientes expresiones que se deriva de la resistencia de materiales:

16


Esfuerzo transversal y longitudinal en tuberías:σ T=

pre

σ L=pr2 e

De acuerdo a la ISO (International Organization for Standarization), el espesor de las tuberías

circulares de PVC, se calcula con:

e= pD2 σ+ p

Dónde:

e = Espesor de pared en mm.

D= Diámetro exterior del tubo en mm.

P = Presión nominal en kg/cm2

= Tensión de diseño (100 kg/cm2)

Asimismo, la NTP 399.002, ha determinado las siguientes Presiones nominales de los tubos de

PVC:

* CLASE 5 Presión nominal 5 kg/cm2

* CLASE 7.5 Presión nominal 7.5 kg/cm2



El flujo de los fluidos a presión a través de tuberías, puede presentar tres regímenes diferentes e

independientes cada uno de ellos:

- Flujo laminar

- Flujo en transición

- Flujo turbulento

Cuando el flujo es laminar, la distribución de velocidades adopta un paraboloide de revolución

(sección parabólica), es invariable en el tiempo.

Las capas de líquido se mueven paralelamente unas respecto de otras, sin intercambio en la

cantidad del movimiento.

Ejemplo de ello es el movimiento del petróleo, aceites, sangre en tubos capilares y el agua a

través de medios porosos en el suelo.

Si el flujo que se presenta en la tubería es de tipo turbulento, la distribución de velocidades

sigue otra ley, generalmente del tipo logarítmico.

17


3.2. FLUJO LAMINAR EN TUBERÍAS:

En la Figura se muestra un volumen de control de radio “r” y longitud “L”, coaxial con la

tubería de radio “R” que lo contiene y establezcamos la condición del equilibrio del cilindro

separado:

P1 πr2−P2 πr 2=(2 π rL ) τ

(P1−P2 )πr2=2π rL τ...(1)

la resultante de las fuerzas de presión sobre los topes P1 y P2, es igual a la fuerza de rozamiento

de la superficie lateral del cilindro con las capas contiguas o subyacentes del líquido.

Según la ley de Newton:

τ=u dvdr

forma infinitesima l

τ=uΔvΔr

y de diferencias finitas

Reemplazando en (1)

(P1−P2 )πr2=2 π urLΔvΔr

→ (P1−P2 )r=2 uLΔvΔr

también:

Δv=(P1−P2)r

2uLΔr … (2 )

Cuando r aumenta en r, la velocidad V1 se reduce en vc, puesto que la velocidad disminuye

hasta cero cuando se aproxima a las paredes del tubo.

Considerando:

18


Δv=V 2−V 1

Δr=r1−r2

Reemplazando en (2)

V 2−V 1=(P1−P2 )

2 uLr (r1−r2 )

Pero:

r=r 2+r1

2∴ V 1−V 2=−

(P1−P2)4 uL (r 2

2−r 12)

r2=R ⇒ V 2=0 V 1=P1−P2

4 uL(R2−r1

2)

cuando r=r 1 → V=V 1 ∴ V=P1−P2

4uL(R2−r2)

Se conoce:

S=hfL=

P1−P2

ρ . gL→ V = ρ . gS

4 u(R2−r2 )= gS

4 υ(R2−r2 )

Ecuación de la parábola

V max → r=0 ∴ V max=ρ gS4 u

R2=ρ gSD2

16u

V̄=V max

2=

ρ gSD2

32u

La pérdida de energía:

hf =32u v L

ρ gD2HAGEN – POISEVILLE

Multiplicando y dividiendo 2 V/2 V la expresión anterior y reemplazando

VD∂ =Re

La fórmula adquiere la siguiente forma:

h f=fLD

xV 2

2g ,

Dónde: f=64

Re Coeficiente de Fricción o rozamiento hidráulico (Poiseuille)

3.3. DETERMINACIÓN DEL GASTO EN UN FLUJO LAMINAR:

19

Ecuación de DARCY- WEISBACH


Por el anillo circular anular de espesor (r2 – r1 ) pasa un caudal elemental Q.

Para hallar el gasto total, es necesariamente sumar todos los volúmenes elementales.

Es fácil notar que la suma de estos volúmenes parciales da el volumen del paraboloide, Así:

Q=∑ ΔQ=∑r=0

r=R

A r V r

Qr=πR2

2x

P1−P2

4 μL(R2−r2 )

caudal total, cuando r = 0 Vmáx

Q=12

πR2 xP1−P2

4 μLR2

Q=P1−P2

8 μLπR4

Sustituyendo R = D/2 Q = Q=

P1−P2

128 μLπD4

También se puede expresar el caudal Q, en función de la velocidad media V:

Q=πR2x12 ( P1−P2

4 μLR2)

Q=πR2x12

V máx Q=V̄ ¿πR2

3.4. PÉRDIDA DE CARGA EN TUBERÍAS PARA RÉGIMEN LAMINAR:

20

V


El gasto y velocidad del flujo en la tubería de diámetro D, puede calcularse como sigue:

Q=P1−P2

128 μLπD4

, V̄= ρ gSD2

32μ

V̄=P1−P2

32μD2

Donde P1 y P2 son las Presiones en 1 y 2 respectivamente.

Conocemos que: h f=

P1

γ−

P2

γ y = , = viscosidad cinemática o relativa.

Reemplazando en V V =

P1

ρg−

P2

ρg32 μL

ρg

D2

V =

gh f

32 υLD2

Luego, despejando tenemos:

h f=32 υLV̄

gD2

Transformando de la siguiente forma:

h f=64VD∂

xLD

xV 2

2gx

2 V̄2 V̄

3.5. FLUJO TURBULENTO EN TUBERÍAS

Durante el régimen turbulento del movimiento, las velocidades locales en cualquier punto del

flujo varían con el tiempo, tanto en valor como en la dirección.

Las variaciones de la velocidad con el tiempo, se llaman pulsaciones de la velocidad. En un

flujo turbulento vertiginoso surge también la pulsación de la presión, aumentando la resistencia

al mecanismo.

El diagrama de distribución de las velocidades por la sección de un tubo circular se muestra en

la Figura:

21


De lo contrario a lo que ocurre en una corriente, Vy no depende de la rugosidad de la superficie

de las paredes y en donde se cumple la relacion Vmax/Vmedia = 2. En un flujo turbulento, la

velocidad depende considerablemente del valor de la tensión tangencial en las paredes del cauce

o, y en donde la relacion Vmax/Vmedia= 1.2,.......,1.3.

Del diagrama de distribución de velocidades se observa que el movimiento del flujo cerca de las

paredes difieren considerablemente de las condiciones de movimiento del flujo principal. El

movimiento en este último es turbulento; por eso es evidente que en la zona adyacente a la

pared, el régimen de movimiento es laminar.

A la capa fina de líquido donde el movimiento se efectúa en el régimen laminar se denomina

capa laminar limite, designando por a su espesor. En esta zona del flujo predominan las

fuerzas viscosas e de inercia.

3.6 CONCEPTO DE CAPA LÍMITE

La teoría de la capa limite planteada por PRANDTT. Científico Alemán (1904), se basa en

separar el escurrimiento en 2 zonas muy definidas; la zona de la sub capa laminar por debajo de

la capa limite, y la zona de la sub capa turbulenta por sobre esta.

Dentro de la capa límite laminar los esfuerzos viscosos son intensos y determinan un fuerte

gradiente de velocidades. En la zona del flujo exterior a la capa limite, las fuerzas de fricción

son despreciables debido al desarrollo del flujo turbulento y se comporta como un flujo perfecto

e irrotacional. Cuando el flujo es permanente, son aplicables en esta zona las ecuaciones de

Euler y la teoría del flujo potencial.

El espesor de la capa limite es más pequeña cuanto mayor es el numero de Reynolds. Para un

numero de Reynolds infinito, que corresponde a un fluido ideal sin viscosidad, es evidente que

el espesor de la capa limite es nulo.

3.7. ESFUERZO CORTANTE EN CONDUCTOS

a) ESFUERZO CORTANTE EN TUBERIAS:

Consideremos una tubería de diámetro D mostrado en la figura, en el que se analiza un volumen

de control definido por un pequeño cilindro coaxial de radio r = D/2-h. La fuerza debida a la

diferencia de Presiónes y el peso es igual a la fuerza debida a la fricción que ejercen las

partículas fluidas sobre el área lateral del cilindro que se mueve a una velocidad V.

Del equilibrio se establece lo siguiente:

22

= espesor de la capa limite, donde V1 = 0.99 V0


τ y . 2 π ( D2− y ) . L=(P1−P2 ). π .( D

2− y )2+ ρ . g . π ( D

2− y )2 . L. senθ

Realizando operaciones y relaciones, se obtiene finalmente que:

τ y=ρ . g( D4−Y

2)S

Expresión que calcula el esfuerzo cortante del flujo en una tubería a una distancia y del

contorno.

El esfuerzo cortante máximo τ o ocurre en el contorno de la superficie interna de la tubería, y se

obtiene haciendo y =0 en la expresión anterior.

τ o=ρ . gD4

S

Pero la relación D/4 es el radio hidráulico de una tubería circular, por lo que se obtiene:

τ o=ρ . gRh S

b) ESFUERZO CORTANTE EN CANALES:

Procediendo en forma similar que para el flujo en una tubería, consideremos el canal de

pendiente S de la figura. En el volumen de control definido por el prisma de longitud L y altura

h-y (y es la distancia entre el fondo del canal y el fondo del prima), establezcamos la condición

de equilibrio:

τ y L=ρ . g (h− y ). S . L . senθ

Para valores del ángulo θ pequeños, se puede considerar que S = tg = sen, obteniendo lo

siguiente:

τ y=ρ . g(h− y )S

El esfuerzo cortante máximo τ o ocurre en el fondo del canal, y se obtiene haciendo y =0 en la

expresión anterior.

τ y=ρ . ghS

Una expresión bastante utilizada es cuando se sustituye el tirante h por el Rh; valido para canales

de gran anchura donde el Rh = h.

τ y=ρ . gRh S

VELOCIDAD DE CORTE V*:

La velocidad de corte o velocidad friccionante se deriva de las relaciones entre el esfuerzo de

corte por la velocidad del flujo y la pérdida de energía que experimenta debido a su

desplazamiento. Si relacionamos y con la ecuación de Darcy Weisbach, tenemos que:

τ o=ρ . g

D4

S =

ρ . g .D4

.h f

L

23


Despejando hf e igualando con la expresión de Darcy:

h f=4 τo L

ρ . g .D= fLV 2

D .2 g

Obtenemos la relación siguiente: √ τo

ρ=V √ f

8 =V* = V* =Vf

El termino anterior, dimensionalmente tiene unidades de velocidad, por lo que se le denomina

velocidad de corte o velocidad friccionante. ¿Cuál es el significado físico?

Relacionando la velocidad de corte con la velocidad media del flujo según la expresión de

Chezy, obtenemos:

VV ¿

= C

√g

Relacionando estas dos últimas ecuaciones, se tiene que:C=√ 8 g

f

3.8. RELACIONES ENTRE LA DISTRIBUCION DE VELOCIDADES Y LA

VELOCIDAD MEDIA EN CONDUCTOS

Las velocidades de las partículas a lo largo de la sección transversal de un conducto circular, por

el cual se desplaza un fluido en régimen turbulento, varían en forma distinta que en el laminar.

En este último régimen la representación gráfica de dicha variación está dada por una parábola

similar a la de la figura. Las velocidades en los bordes son nulas y en el eje se alcanza una

máxima que es igual al doble de la velocidad media.

Cuando el escurrimiento se realiza en movimiento turbulento la representación gráfica se indica

en las figuras siguientes, observándose que existen velocidades en los contornos, y que la

máxima no difiere tan apreciablemente de la media, como en el régimen laminar. Esta última se

aproxima más en el régimen turbulento a las velocidades de las partículas.

24


a) SUPERFICIE HIDRÁULICAMENTE LISA

Se presenta cuando el espesor de la capa limite cubre las irregularidades o rugosidad interna

de las paredes k. Según Schikling, una superficie es hidráulicamente lisa cuando:

También, si se cumple que:

V ¿ Kυ

≤5

5<V ¿ Kυ

<70 ,

La superficie interna de la tubería se encuentra en transición.

b) SUPERFICIE HIDRÁULICAMENTE RUGOSA

Cuando el espesor de la capa limite no cubre las irregularidades internas de la tubería. Se

presenta cuando:

V ¿ Kυ

≥70

De las expresiones anteriores, se puede derivar la relación para obtener la rugosidad media k,

para cumplir tal condición, así por ejemplo, para una superficie hidráulicamente lisa se tiene

que:

Donde : V ¿=√gRSV =C√RS

VV ¿

= C

√g

Despejando:

V ¿=V √ g

CReemplazando:

V √gC

.Kυ≤5 ⇒ K=5 .υ .C

V √ g

CANAL CON FLUJO TURBULENTO:

Para un flujo dentro de la sub capa laminar se cumple la condición:

V∗δ∂ =11. 6

25


a) Para superficie hidráulicamente lisa: Y0 =

δ104 ,

Dónde: Y0 Y h y < Y < h

Distribución de velocidades: Vy =

V ¿

xLn

104 yδ ó

V y=5 . 75V ¿ log (104 yδ

)

Velocidad media:V=V ¿

xLn(38 .1

RH

δ)

b) Para Superficie Hidráulicamente Rugosa: Y0 =

K30

= a15


V ¿

xLn

30 yk ó

V y=5 . 75V ¿ log(30 yk

)

Donde: Y0 Y h y < Y < h


xLn(

11 RH

k)

TUBERÍA CON FLUJO TURBULENTO:

a) Para superficie hidráulicamente lisa: Y0 =

δ104 ,

Dónde: Y0 Y h y < Y < h


V ¿

xLn

104 yδ ó

V y=5 . 75V ¿ log (104 yδ

)


xLn(46 .4

RH

δ)

b) Para Superficie Hidráulicamente Rugosa: Y0 =

K30

= a15

26



V ¿

xLn

30 yk ó

V y=5 . 75V ¿ log(30 yk

)

Donde: Y0 Y h y < Y < h


xLn(

13 .4 RH

k)

EXPRESIÓN DE THYSEE:

Según Thysee V̄ =

V ¿

xLn( 6 RH

∂+δ /7 ) Para tubería y canales

Relacionando con la expresión de Chezy, para flujo uniforme en conductos, se tiene que el valor

del coeficiente de fricción C en el sistema métrico, toma el valor de:

C √mseg

=18 . log( 6 . Rh

a+δ /7 )Thysee, estableció que la diferencia de velocidad en un punto con respecto a la velocidad media

referida a la velocidad de corte en un conducto liso o rugoso se cumple que:

Canal:

V y−V

V ¿= 1

XLn

yRH

+2.5,

Tubería:

V y−V

V ¿= 1

XLn

yRH

+2

Donde: Vy= Velocidad del flujo a una distancia y del contorno o fondo del canal

V = Velocidad media del flujo

V* = velocidad de corte

X = Coeficiente de proporcionalidad = 0.40 para agua limpia

RH = Radio hidráulico

Se indica a continuación los valore de las velocidades máximas del flujo en conductos según el

material de la tubería y el diámetro de la misma, así como del material en suspensión que se

transporta.

Normas Técnicas Peruanas NTP S-060 (Instalaciones Sanitarias en Edificaciones)

Para el cálculo del diámetro de las tuberías de distribución, la velocidad máxima será según la

tabla siguiente:

27


DIAMETRO VELOCIDAD MÁXIMA (m/seg)

½”(15mm) 1.90

¾”(20mm) 2.20

1”(25mm) 2.48

1 ¼”(32mm) 2.85

>1 ½”(40mm) 3.00

Normas Técnicas Peruanas NTP S-110 (Drenaje Pluvial Urbano)

La velocidad máxima en los conductos de drenaje urbano con cantidades no significativas de

sedimentos en suspensión, es función del material del que están hechas las tuberías y no

deberán exceder los valores indicados en la tabla siguiente a fin de evitar la erosión de las

paredes.

VELOCIDAD MÁXIMA PARA TUBERÍAS DE DRENAJE EN

(m/seg)

Material de la Tubería Agua con elementos en

suspensión

(Arena y grava)

Asbesto cemento 3.00

Hierro fundido dúctil 3.00

Cloruro de polivinilo PVC 6.00

Poliéster reforzado con fibra de vidrio 3.00

Arcilla vitrificada 3.50

Concreto armado de:

fc= 140 kg/cm2

fc= 210 kg/cm2

fc= 250 kg/cm2

fc= 280 kg/cm2

fc= 315 kg/cm2

2.00

3.30

4.00

4.30

5.00

De igual modo las Normas Técnicas Peruanas, establecen las velocidades mínimas en

conductos:

CALIDAD DEL AGUA VELOCIDAD MINIMA

(m/seg)

(Flujo a tubo lleno)

Limpia 0.60

Con elementos en suspensión 0.90

28


3.9 FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DEL COEFICIENTE f EN FLUJO

TURBULENTO EN TUBERÍAS:

FÓRMULAS EMPÍRICAS:

Para hidráulicamente lisas, una de las exPresiónes más antiguas es la de Blassius (1911). En

ella:

f=0 .31644√(Re)

= 0. 3164

(Re )0. 25

establecida para valores de (Re) inferiores a 100.000, y cuando se excede este límite, los

resultados no concuerdan con las experiencias. De acuerdo con la ecuación de Blassius, la

pérdida la carga resulta proporcional a la potencia 1.75 de la velocidad.

Lees, basado en experiencias de Stanton y Pannell y Jacob y Eric, propuso para (Re) hasta

230.000:

f=0 .00714+ 0 .6104

(Re)0 . 35

Según Séller y Hermann, válida hasta (Re) = 2.000.000:

f=0 .0054+ 0 .396

(Re)0 . 30

la expresión de Nikuradse permite alcanzar valores de (Re) hasta 3.240.000 siendo de la forma:

f=0 .0032+ 0.221

(Re )0.237

Por último, mencionaremos la fórmula de Von Kármám y Prandtl, según la cual concuerda

mejor que ninguna con la experimentación. El rango de valides es a partir de (Re) = 100.000

hasta (Re) = 3.400.000.

1

√ f=2 log( D

K )+1 .14

1

√ f=2 log(3 .71

DK )

En Tuberías hidráulicamente rugosas, el coeficiente de fricción f no depende de Re f = (K,D)

1

√ f=2 log (Re√ f )−0 .8

29

Para superficie hidráulicamente Rugosa2° Ecuación de Karman Prandtl

Para superficie hidráulicamente lisa1ra Ecuación de Karman Prandtl


1√ f

=2 log(Re√ f2 .51 )

O también:

1

√ f=2 log( D

δ )+2 .23=2 Log 13. 03Dδ ,

Para Flujo en transición se usa la ecuación de Colebrook y White:

1

√ f=−2 log( 2 .51

Re√ f+ K

3. 71 D )

La ecuación anterior requiere un procedimiento de tanteo y error para su solución, como el

método numérico de iteración de punto fijo llamado también de aproximación sucesiva. Este

procedimiento resulta rápido si se dispone de una calculadora programable, por esta razón en

1976 P. K. Swamee y A. K. Jain, propusieron la siguiente expresión explícita para el cálculo

del factor de fricción:

Esta ecuación es aplicable dentro de los siguientes rangos:

Se recomienda utilizar esta ecuación para obtener el valor inicial de f y luego ser utilizado en la

ecuación de Colebrook - White

PROBLEMA DE APLICACION:

Ejercicio N° 01

Un canal muy ancho que tiene una pendiente S = 2 x 10 -4, conduce agua con un tirante de flujo

h = 2 mt. Se requiere calcular la velocidad media V̄ , considerando que el revestimiento del

canal es de concreto liso acabado( a = 3 x 10 -4 m) y la viscosidad relativa del agua = 10-6

m2/seg.

Solución:

C√mseg

=18 Log [ 6 RH

∂+δ7 ] , Chezy: V = C√RH S

30


También:

V∗δ∂ =11. 6

, donde V ¿=√T0

ρ=√gRH S=√9. 8 x2 x 2x 10−4=6 . 26 x10−2m

seg

Luego, el espesor de la sub capa laminar es:δ=11. 6 x10−6

6 .26 x 10−2=1 . 85 x10−4m

Comprobamos si el revestimiento del canal se comporta como una superficie hidráulicamente

lisa o rugosa:

V∗k∂ =6 . 26 x10−2 x6 x10−4

10−6=37 .56>5

37.56 < 70 Tipo de superficie en transición

Luego:

C√mseg

=18 Log [ 6 x2

3 x10−4+1. 85 x10−4

7 ]=82√mseg

Calculamos la velocidad media del flujo:

V = C√RH S

= 82 x√2 x2 x10−4=1. 64

mseg

¿Flujo Laminar o turbulento? Re=

VRH

∂ =1 . 64 x210−6

=3 .28 x106>105 ; FlujoTurbulento

3.10 RUGOSIDAD ABSOLUTA Y RELATIVA

La aspereza de una superficie puede establecerse por el examen de la misma y la medida de la

dimensión de sus irregularidades, las cuales dependen de las características y estado del

material. Con este método se llega a la medición de la aspereza absoluta, expresada por una

longitud k, que resulta ser la altura media de las irregularidades.

Se llama aspereza relativa a la relación que existe entre la aspereza absoluta y el diámetro del

conducto, así:

kD

La influencia de la aspereza sobre las condiciones de la circulación de fluidos en conductos

rugosos carece de importancia en el régimen laminar, siempre que las rugosidades de la pared

31


no produzcan una notable diferencia en la sección transversal interior del tubo. En cambio es

muy importante en el régimen turbulento, en el que se debe tener en cuenta la característica del

escurrimiento que se esta presentando.

Según L. Hopf y K. Fromm existen dos clases de asperezas. Las primeras (a y b) tienen

pequeñas longitud de onda y gran amplitud, y constituyen las paredes rugosas.

a b c

En la práctica pertenecen a esta clasificación los conductos de fundición (nueva, oxidada, o con

incrustaciones), de cemento (enlucido o sin enlucir), tablas rugosas, etc.

Este primer tipo de rugosidad produce una resistencia a la circulación cuyo factor de fricción f

es independiente del número de Reynolds. La pérdida de carga entonces, es proporcional al

cuadrado de la velocidad.

El segundo tipo recibe el nombre de rugosidad ondulada (figura c); las irregularidades se

caracterizan por ser superficie lisas y de gran longitud de onda como sucede en las planchas de

hierro asfaltadas o en los revestimientos interiores bituminosos. En este tipo de rugosidad la

variación de f es muy similar a la del tubo liso, pero mayor; y para ambos tipos de tubo la

resistencia resulta proporcional a la potencia 1.75 de la velocidad, según experiencias de

Reynolds y de Blausius.

VARIACION DE LA RUGOSIDAD K DE UNA TUBERÍA:

Según Genijew (Handbuch der Hydraulik, M.A. Mostkow, Berlín, 1996), la rugosidad del

contorno aumenta con el tiempo de acuerdo con la ley aproximada:

Kt = K0 + t

Expresión en la cual ko es la rugosidad inicial del material nuevo, k la rugosidad al alcanzar el

tiempo t y un coeficiente de aumento. Midiendo las rugosidades en dos tiempos distintos,

puede calcularse la constante y prever el comportamiento de la tubería para un tiempo mayor.

Lógicamente k variara según el fluido que circule, la naturaleza y las características de la

tubería.

En un tiempo t = t: K f (t)

32


El valor de depende de la calidad del agua que circula por la tubería y de los años de servicio

de la misma. Genjew, propuso sobre la base de investigaciones realizadas, los siguientes

valores:

GRUP

O

CALIDAD DEL AGUA

I Agua con mínima cantidad de materia orgánica y sin efecto corrosivo 0.005-

0.055

II Agua con menos de 3mg/lt de material orgánica y hierro en solución 0.055-

0.18

III Agua con mas de 3mg/lt de hierro y menos de 150 mg/lt de cloruros y sulfatos 0.18-0.40

IV Agua impura con gran contenido de materia orgánica y corrosiva con mas de 700

mg/lt de sulfatos y cloruros.

0.40-0.60

V Agua con pequeñas cantidades de carbonatos, dureza poco permanente, con residuo

denso de 2000 mg/lt.

0.6-1.0

33


VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA ko

No Material K0 en metros

1 Tubería lisa sin costura(vidrio, Cobre etc.) 1.5 x 10-6

2 Fierro forjado 4.5 x 10-5

3 Acero rolado, nuevo 5 x 10-5

4 Acero laminado, nuevo 4 x 10-5, 10-4

5 Fierro fundido, nuevo 2.5 x 10-4

6 Fierro galvanizado 1.5 x 10-4

7 Fierro fundido, asfaltado 1.2 x 10-4

8 Fierro fundido, oxidado 10-3, 1.5 x 10-3

9 Acero remachado 0.9 x 10-4, 0.9 x 10-3

10 Cemento enlucido 4 x 10-4

11 Asbesto cemento, nuevo 2.5 x 10-5

12 Concreto centrifugado, nuevo 1.6 x 10-4

13 Concreto muy bien terminado, a mano 10-5

14 Concreto liso 2 x 10-4, 3 x 10-4

15 Concreto bien acabado, usado 2 x 10-4, 3 x 10-4

16 Concreto sin acabado especial 10-3, 3 x 10-3

17 Concreto rugoso 10-2

18 Piedra asentada y bien lisa 5 x 10-4

19 Revestimiento de piedra 2 x 10-3

20 Grava 10-2

21 Piedra pequeña 2 x 10-2

22 Piedra grande 5 x 10-2

23 Roca 0.1

24 Tierra (lisa) 3 x 10-3

25 Canal con vegetación 0.1

26 Fibra de vidrio 3x10-2

27 PVC 1.5x10-3, 7x10-3

IV. DISEÑO HIDRÁULICO DE TUBERÍAS

El diseño hidráulico de un sistema de tuberías comprende el cálculo y dimensionamiento de la

sección de tubería optima que permita conducir un determinado caudal en las condiciones de

velocidad, Presión y seguridad apropiadas para el servicio que presta. Cuando la longitud de la

tubería excede mil veces el diámetro, la pérdida de carga por fricción es predomínate con

respecto a caídas de presión motivadas por las resistencias locales( boquilla de entrada, cambios

de dirección, variaciones de sección, valvulas etc). Luego el problema se simplifica, pues se

prescinde de considerar estas resistencias.

34


La velocidad media del conducto, debe limitarse como máximo, a los valores permisibles que

establecen las normas para cada tipo de material de la tubería, a fin de prevenir la erosión y

contra una eventual ocurrencia del golpe de Ariete que pudiera provocar Presiónes excesivas y

producir la rotura de la tubería. Sin embargo se pueden admitir valores mas elevados de la

velocidad, como por ejemplo en las tuberías de las centrales hidroeléctricas, siempre que se

utilicen dispositivos o estructuras especiales de seguridad.

4.1 CRITERIO PARA EL CÁLCULO Y DIMENSIONAMIENTO DE TUBERÍAS.

En el diseño de tuberías, tres son los problemas tipo que se presentan.

1) En el primero se conocen las características de las tuberías (diámetros, curvas, cargas en el

origen, etc.) y según el caudal Q que circula se trata de calcular la pérdida de carga que se

produce en el escurrimiento. Este problema es directo y su resolución no presenta mayor

dificultad; y cuando se prescinde de las resistencias por singularidad y se considera solo el de

fricción, la solución se hace mas rápida.

Al proyectarse las características del conducto y no fijarse la caída de presión para la circulación

de un caudal dado, puede recurrirse a dos soluciones:

a) Tuberías de gran diámetro con poca caída de presión,

b) Tuberías de poco diámetro con mucha pérdida de carga.

Entre estos dos extremos existen muchas soluciones intermedias y conviene elegir la más

conveniente desde el punto de vista económico, tomando para ello el diámetro que haga mínima

la suma de los costos de instalación y de explotación.

2} En el segundo problema tipo se conocen las características del conducto, el desnivel

piezométrico disponible y se trata de determinar el caudal que circula, siendo por lo tanto una

verificación. Para resolverlo, se iguala la pérdida de carga total por la carga disponible, así:

H=f (Q )=hu+he+hf +hcd+hvs [1]

hu, como la pérdida de carga debida a la variación de energía cinética, debe considérese la que

aparece en el último tramo, por lo tanto:

hu=V

n2

2 g

Suponiendo 1 = 1 y designado con el sub índice n al tramo final de la tubería, la pérdida de

carga a la entrada es:

he=K1

V12

2 g

La caída de presión por frotamiento valdrá en los distintos tramos según la ecuación de Darcy:

35


h f=∑i=1

n 8 . f i .li .Q2

π 2. g . dI 5

Y las pérdidas por el cambio de dirección y variaciones de sección resultaran

hcd=∑ K2V 2

2 g y:hvs=∑ K 3

V 2

2 g

Extendiéndose la sumatoria a todas las que existen en el recorrido.

Remplazando en [1] se obtiene

H=V

n2

2 g+K1

V12

2 g+∑

i=1

n 8. f i .li .Q2

π2 . g . di5

+∑ K2V 2

2 g+∑ K3

V 2

2 g

Multiplicando ambos miembros por 2g y efectuando operaciones:

2 gH=Vn2+K1 V

12+16π2

Q2∑i=1

n f ili

di5

+∑ K2 V 2+∑ K3 V 2

Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad puede escribirse

V n2=Q2

An2

V 12=Q2

A12

y en general V 2=Q2

A2

Por lo tanto reemplazando en la ecuación anterior resulta:

2 gH=Q2( 1A

n2

+K1

A12

+16π2 ∑

i=1

n f i li

di5

+∑K2

A2+∑

K3

V 2 )Por lo que despejando Q se obtiene en definitiva:

Q= √2 gH

√ 1A

n2

+K1

A1

2

+16π 2∑

i=1

n f i li

di5

+∑K2

A2+∑

K3

V 2

[2]

Fórmula que permite calcular el caudal que pasa por una tubería de características conocidas

según el desnivel H producido. Su aplicación resulta fácil cuando se emplean exPresiónes en

que f es constante o depende del diámetro.

3) El tercer problema tipo es el dimensionamiento de la tubería. Como dato se tiene el caudal

Q a circular y la carga disponible. Para resolver conviene calcular el diámetro considerado

36


solamente las resistencias de frotamiento, aumentándolo luego de acuerdo con el numero de

resistencias locales que haya. Se proyecta así la tubería que luego se verifica según el primer

problema tipo.

4.2 EXPRESIÓN DE HAZEN Y WILLIANS PARA PÉRDIDAS EN TUBERÍAS

En el siglo XIX e inicios del XX se obtuvieron muchas fórmulas empíricas. Cada una de estas

representa un modelo matemático que se aproxima a los valores de velocidad y fricción

obtenidos en el laboratorio, pero no puede asegurarse que los modelos sean válidos por fuera del

rango de experimentación.

Sin embargo algunas de estas fórmulas aseguraron resultados aceptables y rápidos dentro de sus

rangos. Una de ellas fue la propuesta por Hazen y Williams en 1903. Con esto se propuso

"corregir" el inconveniente presentado con la ecuación de Colebrook - White, pues el factor de

fricción f varía con el material, el diámetro y la velocidad, haciendo, a principios del siglo XX,

engorroso su cálculo.

La expresión original propuesta es entonces:

dónde:

V : Velocidad del flujo en pies/seg

C : Constante de Hazen - Williams

RH : Radio hidráulico en pies

Sf : Cociente hf / L, pérdida de energía en la longitud del conducto en pies/pies

El uso del radio hidráulico nos permite aplicar la fórmula tanto en conductos circulares como en

los no circulares. Para convertir la ecuación de Hazen - Williams al sistema internacional SI,

debemos pasar la velocidad a m/seg y el radio hidráulico a metros.

Si despejamos hf de la ecuación y dejamos en función del caudal, obtenemos otra forma de la

ecuación muy útil en los cálculos:

Esta fórmula es aplicable con las siguientes restricciones:

Velocidades de flujo menores de 3.05 m/seg

Conductos de diámetros entre 2 y 72 pulgadas (50mm y 1800mm)

Desarrollada únicamente para flujo turbulento.

Agua a 15ºC

DEDUCCIÓN DE LA EXPRESIÓN DE HAZEN Y WILLIANS:

37


Hazen, determino experimentalmente la relación siguiente:

h f=KLV 1 . 185

D1. 167=KL

V n

Dm n m Solo para agua

Reemplazando en la expresión anterior: RH =

D4 , S =

hf

L , tenemos que:

S=KV 1.185

(4 RH )1. 167

Despajando la velocidad e igualando con la expresión de Chezy:

V 1 .185=( (4 )1.167

K )RH1 .167 S

V = CwRH0.63S0.54 = CcRH

0.5S0.5

Para RH = 1’(0.3048m) y S = 0.001, reemplazando en la expresión anterior se obtiene la

relación en el sistema métrico, entre el coeficientes de Hazen y Williams y el coeficiente de

Chezy:

En sistema Ingles. Se verifica que:

Luego, la velocidad en el sistema métrico es:

V = 1.54 Cc RH0 . 63 S0 . 54

, donde Cc en √m /seg

Se conoce que: Cc en √ pie /seg = 0.55Cc en √m /seg .

Luego, en el sistema Ingles, la velocidad se expresa como:

Vm/seg = 0.85 Cc RH0 . 63 S0 . 54

, donde Cc en √ pie /seg

Cálculo del caudal Q = AxV

Qm3

seg

=0 .278 C √pieseg

Dm2 .63 S0 .54

38

Cw

Cw = 1.54 Cc

Cw = Cc


Qltseg

=0 .0004264C √ pieseg

Dpu lg2.63 Sm

Km

0.54

Expresión de Hazen y William

Si remplazamos S =

hf

L ( mKm )

y despejando hf tenemos que:

hfmt = 1.718 x 106

LKmQ ltseg

1.85

C√ pieseg

1 .85 Dpu lg4 .87

Tabla de Valores del coeficiente de Hazen y Williams, según NTP S-050

Se muestra en la tabla siguiente, los valores de Hazen y Williams C en, para el cálculo

hidráulico de las redes de distribución de agua que establecen las Normas Técnicas Peruanas

NTP, para diferentes tipos de materiales la tubería.

COEFICIENTES DE DSTRIBUCON “C” EN LA FÓRMULA

DE

HAZEN Y

WILLAMS

TPO DE TUBERIA C

Asbesto cemento 140

Policloruro de vinilo PVC 140

Acero sin costura 120

Acero soldado en espiral 100

Fierro fundido 100

Fierro galvanizado 100

Concreto 110

Polietileno 140

Se muestra en la tabla siguiente algunas variaciones que podrían adoptarse según el criterio y

experiencia del ingeniero.

COEFICIENTES DE DSTRIBUCON “C” EN LA FÓRMULA

DE

HAZEN Y

WILLAMS

TPO DE TUBERIA C

Policloruro de vinilo PVC 150

Hierro fundido nuevo con revestimiento interior de mortero y

bitumen:

Para diámetros altos (>800 mm)

Para diámetros menores (<750 mm)

150

140

Hierro fundido revestido alquitrán, con 5 años 120

39


Hierro fundido tuberculizado con 20 años 95

Concreto moldeado liso 120

Concreto moldeado no metálico (moldes) 110

4.3 TUBERÍA EQUIVALENTE:

Pc1 =

f ( L+ΔL )D

xV 2

2 g (Tubo recto)

Pc1 = Pc + Pca

Pc1 =

f ( L )D

xV 2

2 g+K a

V 2

2 g

KaV 2

2 g =

f ( ΔL )D

xV 2

2g ΔL=

Ka D

f

4.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS DE LAS TUBERÍAS SIMPLES:

Se considera que las tuberías se componen de elementos y componentes. Básicamente, los

elementos son tramos de tubos de diámetro constante o variable y los componentes son

válvulas, tees, codos, reductores o cualquier otro dispositivo que provoque una pérdida en el

sistema. Además de los componentes y elementos, las bombas agregan energía al sistema y las

turbinas extraen energía. Los elementos y componentes se unen en juntas para formar el sistema

de tuberías.

Después de analizar las pérdidas, se analizan varios sistemas de tuberías, incluidos reservorios

de almacenamiento, configuraciones ramales en serie y en paralelo, tuberías con servicio en su

recorrido. La atención se dirige después a sistemas de redes más amplios, en los que se

presentan varios métodos de solución. La mayoría de los problemas de tuberías analizados son

aquellos en los que la descarga es la variable desconocida.

a) TUBERÍAS EN SERIE

Son Aquellas tuberías que se encuentran conectadas unas a continuación de otras conduciendo

el mismo caudal tal como se muestra en la figura.

El dimensionamiento o diseño de estas tuberías se basa en según las características del

problema:

1.Determinar el caudal Q, conocida la carga H.

2.Determinar la carga H, conocido el gasto Q.

40


H=∑i=1

nfi Li . Vi2

Di 2 g+∑

i=1

nKi . Vi2

2 g

H=0. 5(k ) V

12

2 g+

f 1 L1

D1

⋅V

12

2 g+2

(k ) (V 12−V

22)

2 δ+

f 2 L2

D2

⋅V 2

2

2 g

Datos que se conocen del problema:

Li = Longitud i

Di = Diámetro i

fi = Coeficiente de Fricción i

Condición del problema:

Se conoce H = Pérdida de carga total (Q ► se determina)

Se conoce Q = Caudal (H ► se determina)

H = h1 + h2 + h3

Q1 = Q2 = Q3 = Q

Donde:hi=

8 fiLi2 Q2

π2 gDi5=0 . 0827 fiLi2

Di5⋅Q2

1) Conociendo H y Determinando Q:

a) Si el coeficiente de fricción fi es conocido:

La pérdida de carga se calcula por:

h1 = 0.0827 f1L1.Q2 (α )

D15

h2 = 0.0827 f2L2.Q2 (β )

D25

h3 = 0.0827 f3L3.Q2 (γ )

D35

H = K1Q2+K2Q2+K3Q2

41


H = (K1+K2+K3)Q2

Q=√ HK1+K2+K3

Donde:

K1 = 0.0827 f1L1

D15

K2 = 0.0827 f2L2

D25

K3 = 0.0827 f3L3

D35

Determinado Q se reemplaza en (α ), (β ), (γ ) para obtener los valores de h1, h2 ¿ h3

b) Si el coeficiente de fricción fi no es conocido:

Se asume una velocidad “V1” donde (0.6 m/seg ¿V≤ 4 m/seg)

Q1 = Q2 = Q3

A1V1 = A2 V2 = A3 V3, donde el área interna de la tubería es: Ai =

πD2i4

Se determinan las otras velocidades V2 ¿ V3

Se obtienen los coeficientes de fricción fi, de acuerdo al régimen de flujo en la tubería:

f =

Re64 ► flujo laminar

f =

0 .316

Re1/ 4► flujo de transición

1

√ f=2 log (Re√ f )−0 .8

► flujo turbulento-liso

1

√ f=2 log( D

K )+1 .14► flujo turbulento-rugoso

Al asumir un “V1” se obtuvo un supuesto caudal “Q” y un coeficiente de fricción “f i”, además se

determinaron las otras velocidades y “f” correspondientes, con estos valores se hallan las

pérdidas de carga:

h1 = 0.0827 f1L1.Q2

D15

h2 = 0.0827 f2L2.Q2

D25

h3 = 0.0827 f3L3.Q2

42


D35

Se obtiene una altura calculada: H1 = h1 + h2 + h3

Se debe cumplir que: H1 = H (altura disponible real)

Pero difícilmente se cumple, entonces se asume otra velocidad “V1” para obtener otra Hi hasta

realizar 3 tanteos y plasmarlos en un gráfico:

Se intercepta la proyección de la ordenada H con la curva obtenida mediante los 3 tanteos, y se

proyecta con la abscisa, hallando la V, real y el cual Q1 = Q

b) TUBERÍAS EN PARALELO

Son aquellas tuberías donde el algún punto de su recorrido se une en dos o más ramales y que

son conectadas en un mismo punto común. Tubería ramal B1C // B2C

Datos conocidos del problema:

Li ► Longitud i

Di ► Diámetro i

QE = QS ► Caudal de entrada o caudal de salida

fi ► Coeficiente de fricción

Ci ► Coeficiente de Chezy

H ► Pérdida de carga total

La incógnita o variable del problema (Q ► se determina)

Del gráfico se puede observar:

43


QE = QS = Q = Q1 + Q2

H = h1 =h2

hi=0.0827fiLiDi5

⋅Q2 ∧ hi=1 . 718 x 106 LiC1 . 85 . D4 . 87

⋅Q1. 85

1) Conociendo Q y Determinando H:

* Si fi ó Ci es conocido:

h1 = H = K1 Q1n

h2 = H = K2 Q2n ► n = {2 ;1. 85 }

K1 Q1n = K2 Q2

n

Q1 + Q2 =Q

n = 2 para la ecuación de Darcy Weisbach

n = 1.85 para la ecuación de Hazen y Williams

Se hallan los valores de Q1 ¿ Q2 luego el valor de H

* Si fi ó Ci no es conocido:

Se asume una velocidad “V”:

Q1 = V1.A1

Q2 = Q -Q1

V2 = Q2

A2

Se obtienen los coeficientes de fricción fi, de acuerdo al régimen de flujo en la tubería:

f =

Re64 ► flujo laminar

f =

0 .316

Re1/ 4► flujo de transición

1

√ f=2 log (Re√ f )−0 .8

► flujo turbulento-liso

1

√ f=2 log( D

K )+1 .14► flujo turbulento-rugoso

Si se utiliza la ecuación de Hazen y Willians se utiliza la transformación siguiente:

C=√ 8 gf

44

SISTEMA DE 2 ECUACIONES


Al asumir un “V”, se obtuvo un supuesto caudal “Q”, y un coeficiente “f” o “C”, además se

determinaron las otras velocidades y su coeficiente correspondiente. Con estos valores se hallan

las pérdidas de carga:

h1=K1 Q1n

h2=K2 Q2n

Se debe cumplir que: h1 = h2 = H

Pero difícilmente se cumple, entonces se asume

otra velocidad “V1” para obtener un h1 ¿ h2

hasta realizar 2 tanteos y plasmarlos en un

gráfico:

La intersección de las curvas de h1 ¿ h2 es el H

real con su correspondiente velocidad V1 y Q1

real.

C) DESCARGA LIBRE POR 2 O MÁS RAMALES

Datos que se conocen del problema:

Tubería troncal: L, D, C

Tuberías ramales: Li, Di, Ci

Alturas disponibles: H1, H2, H3

(1): L1, D1, C1

(2): L2, D2, C2

(3): L3, D3, C3

45


Cota del nudo J (Zj)

Cota del reservorio A (Za)

El método para calcular los caudales es el siguiente:

Calculamos las energías disponibles para cada tramo.

h = Za – CPJ

h1 = H1 - h

h2 = H2 – h

h3 = H3 – h

Se calcula el gasto en cada tubería, utilizando la ecuación de Darcy o Hazen y Willians

Q=3 . 477 √ D5

flh1

2

Q=0 . 000426 CD2 . 63

L0. 59h0 .54

En forma general se puede escribir: Q = Khx x= {0 .50 ;0. 54 }

Q1 = K1 h1x

Q2 = K2 h2x

Q3 = K3 h3x

De acuerdo al procedimiento utilizado se debe cumplir: Q = Q1 + Q2 + Q3 = Q1

Si no se cumple entonces se asume otra CPJ:

∑1=1

3

Qi > Q ⇒Disminuir CPJ

∑1=1

3

Qi > Q ⇒Disminuir CPJ

Según esto se realiza en total 3 tanteos, para luego plasmar los resultados en un gráfico:

46


Con la CPJ real se determinan las pérdidas de energía reales y se reemplazan en la ecuación

del gasto para cada tramo obteniéndose el caudal verdadero y se comprueba igualando su

suma con el valor de “Q” hallado en la grafica.

D) EL PROBLEMA DE LOS TRES RESERVORIOS

En la figura se muestran tres depósitos ubicados a diferentes niveles y que están comunicados

entre si por un sistema de tuberías que concurren en un punto P.

Los valores de Z representan a las cotas piezométricas (Energía debida a la posición, más la

energía debida a la Presión). Por ejemplo, en los depósitos la cota piezométrica corresponde a la

elevación de la superficie libre y para el nudo P se incrementa la altura correspondiente a la

presión.

Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal y cotas

piezométricas (elevaciones de la superficie libre)de cada estanque. Se busca el gasto en cada

ramal y la cota piezométrica del punto. Para determinado problemas pueden presentarse

diferentes combinaciones entre los datos e incógnitas mencionados.

El sentido del escurrimiento en cada tubería dependerá de la diferencia entre la cota

piezométrica del nudo P y la del estanque respectivo.

Evidentemente que la cota piezométrica del punto P no puede ser superior a la de los tres

reservorios, pues en este caso el punto P debería comportarse como un punto alimentador del

sistema. Tampoco puede ser que el punto P tenga una cota inferior a la de los tres estanques,

pues entonces todo el caudal escurriría allí lo que implicaría que P sea un punto de desagüe.

47


La cota del punto P determinará el sentido del escurrimiento en cada ramal. Así por ejemplo si

la cota de P está por encima de los estanques 1 y 2, pero debajo del estanque 3, los sentidos del

escurrimiento serán los mostrados en la figura siguiente. La discusión anterior excluye el caso

de un sifón.

En este caso particular la ecuación de la continuidad es:

Q1+ Q2= Q3

Esto significa que el estanque 3 es alimentador. Podrían hacerse dibujos análogos para otras

combinaciones de cotas piezométricas. Debe verificarse siempre la ecuación de continuidad en

el nudo: la suma de los gastos en el nudo con su propio signo es cero.

Para resolver el problema de los tres reservorios, conociendo los diámetros, longitudes y

rugosidades de cada tubería, así como las cotas piezométricas de cada estanque, se sugiere el

método siguiente:

1. Suponer un valor para cada cota piezométrica del punto P.

2. Calcular por simple diferencia, las energías disponibles en cada tramo. Corresponden a

las pérdidas un valor para la cota piezométrica de cada hf1, hf2 y hf3.

Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal plantear tentativamente la

ecuación de la continuidad.

3. Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación:

Q=3 . 477 √ D5

fLhf 1/2

Esta ecuación toma para cada tubería la forma:

Q=K hf 1/2

Si en lugar de la ecuación de Darcy se quiere usar otra ecuación, como por ejemplo, la de

Hazen y Williams que estudiaremos más adelante, entonces la ecuación genérica es de la

forma.

48


Q=K hf X

Determinándose los valores de K y de x para la ecuación particular que se está empleando.

Calculando el valor de K es fácil hacer sucesivos reemplazos y tanteos.

4. Verificar la ecuación de continuidad en el nudo.

5. Si la ecuación no quedará verificada, lo que es lo más probable, hay que hacer nuevos

tanteos, reiniciando el cálculo a partir del punto 1.

6. A fin de no aumentar el número de tanteos auxiliarse con un gráfico. Así por ejemplo,

para la última figura se tiene que la ecuación de continuidad debe ser.

Q1+ Q2= Q3

Como es un tanteo cualquiera lo más probable es que esta ecuación no se verifique, se

tiene que hay un error, que es: Q3 - (Q1+ Q2)

El gráfico sería:

Q3 - (Q1+ Q2)

Cada punto corresponde a un tanteo. Los puntos se unen con una cota suave. La

intersección con el eje vertical significa que.

Q3 - (Q1+ Q2) = 0

Con lo que queda verificada la ecuación de continuidad y se obtienen los gastos en

cada ramal.

Para hacerse este gráfico es necesario definir previamente el sentido del

escurrimiento en cada ramal y escribir la ecuación de continuidad en su forma

correspondiente

Se puede obtener una rápida información sobre el sentido del flujo en el ramal 2 asumiendo

P una cota piezométrica igual a la del estanque 2. Esto implica Q2= 0. Comparando Q1 y Q3

se deduce el sentido del escurrimiento en cada tubería.

UNA VARIANTE DE ESTE PROBLEMA ES EL DE LOS CUATRO RESERVORIOS.

49


El método general se basa en aproximaciones sucesivas. Debe tenerse cuidado de hacer una sola

suposición cada vez. Se puede por ejemplo, iniciar el cálculo suponiendo una cota piezométrica

en el nudo P1. Esto determina el flujo en los ramales 1 y 2. Habrá luego que calcular la cota

piezométrica en P2. Evidentemente que el flujo entre P1 y P2es igual a Q1 + Q2 La pérdida de

carga se calcula por ejemplo con la ecuación:

h f=0 . 0827fL

D5Q2

U otro similar sino se estuviera empleando la ecuación de Darcy.

La fórmula genérica de esta ecuación es:

h f=KQ X

En donde los valores de K y X dependen de la ecuación particular empleada (Chezy, Darcy,

Hazen y Williams, etc). Para el cálculo de K se ha supuesto que el coeficiente de resistencia (C,

f, CH, etc.), es constante. Conviene limitar esta constancia del coeficiente a un rango de valores

de velocidad.

Habiendo calculado la cota piezométrica de P2 se calcula los gastos Q3 y Q4 y se verifica luego la

ecuación de continuidad. Caso que está no quede satisfecha deberá repetirse el procedimiento y

recurrir a un gráfico.

E) TUBERIAS CON SERVICIO EN SU RECORRIDO

Se dice que u conducto es filtrable cuando a lo largo de su recorrido pierde parte del gasto que

transporta. Es el caso de una tubería que da servicio y que cada cierta distancia tiene una toma

(salida de agua). Podría ser una tubería de agua potable que a lo largo de una calle da servicio a

cada vivienda.

50


Resulta evidente que en estas condiciones el gasto de la tuberías va disminuyendo, lo mismo

que la velocidad, puesto que el diámetro permanece constante.

Si admitimos la validez de la fórmula de Darcy y la constancia del coeficiente f se tendría que,

en general, dicha fórmula nos indica que la pérdida de carga es proporcional al cuadrado del

gasto y a su longitud.

h f=fLV 2

D 2g

De donde: h f=KQ2 L

ExPresiónes en las que:

hf es la pérdida de carga

f es el coeficiente de Darcy

L es la longitud de la tubería

D es el diámetro de la tubería

V es la velocidad media

Q es el gasto

K es igual a 0.0827 f/(D5)

En el conducto de la figura el gasto inicial es Q0. Consideraremos que el gasto que sale a lo largo

del conducto es q m3/s por metro lineal de tubería. Supongamos que este gasto q es constante.

Luego, el gasto en cualquier sección es:

Q = Q0 – qxL.........(1)

Siendo L la distancia desde el punto inicial. La pérdida de la carga en un tramo pequeño es

dh f=KQ2 dL

y por lo tanto:

h f=K∫0

L

Q2 dL

Introduciendo la ecuación (1):

51


h f=K∫0

L

(Q0−qL )2dL

h f=K [Q02 L+q2 L3

3−Q0 L2]

h f=KL [Q02+

q2 L2

3−Q0 qL]

h f=KL [Q02+(Q0−Q )2

3−Q0(Q0−Q )]

h f=KL3

(Q02+Q0Q+Q2 )

que es la ecuación que no da la pérdida de carga para un tramo de longitud L en cuyo extremo el

gasto es Q. Para el caso particular que el gasto final Q sea cero.

h f=K3

LQ0

2

Significa esta ecuación que en este caso la pérdida de carga sería la tercera parte de la que

ocurriría si el gasto fuera constante.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Ejercicio N° 01:

Una bomba impulsa agua a través de una tubería de 12” de diámetro y 2 Km. de longitud, la que

al término de esta distancia se bifurca en 2 ramales de 3 y 2 Km. El primero, que descarga a un

reservorio situado 20 m. sobre la bomba, y el otro de 10” y 2 Km., que descarga a un segundo

reservorio.

¿Qué altura sobre la bomba deberá tener el segundo reservorio para que el gasto en ambos

ramales sea igual, si la presión a la salida de la bomba es de 70 m. de columna de agua?

Todas las tuberías tienen un coeficiente de Hazen & Williams: Cw = 120

Debemos asumir diferentes pérdidas de carga en el tramo (1) hasta conseguir: Q1=2Q2

Asumiendo: h1 =10m

52


S1=102

=5mKm

¿}D1=12 {} # right rbrace left none C rSub { size 8{1} } =120 {} # right rbra } } rbrace Q rSub { size 8{1} } =85 ital < /s} {} # alignl { stack { left none S rSub { size 8{2} } = { {70−30 } over {3} } =13 . 3 { {m} over { ital Km} } {} # right rbrace left none D rSub { size 8{2} } =8 ¿ }¿¿Q2=49 lt /s

Luego :Q1=85 lt /s<2 Q2=98 lt /sAsumiendo: h1 =20m

S1=202

=10mKm

¿}D1=12 {} # right rbrace left none C rSub { size 8{1} } =120 {} # right rbra } } rbrace Q rSub { size 8{1} } = 130 ital < /s} {} # alignl { stack { left none S rSub { size 8{2} } = { {70−40 } over {3} } =10 { {m} over { ital Km } } {} # right rbrace left none D rSub { size 8{2} } =8¿ }¿¿Q2=43 lt /s

Luego :Q1=130lt /s<2Q2=86 lt /sAsumiendo: h1 =15m

S1=152

=7 .5mKm

¿}D1=12 {} # right rbrace left none C rSub { size 8{1} } =120 {} # right rbra } } rbrace Q rSub { size 8{1} } = 108 ital < /s} {} # alignl { stack { left none S rSub { size 8{2} } = { { 70−35 } over {3} } =11 . 67 { {m} over { ital Km} } {} # right rbrace left none D rSub { size 8{2} } =8 ¿ }¿¿Q2=46 lt /s

Luego :Q1=108 lt /s<2Q2=92 lt / sGraficamos h1 en ordenadas contra Q1 y 2Q2 en abscisas:

53


80 90 100 110 120 130 140

101112131415161718192021

Q1

2Q2

Q

h1

Q3= 48lts¿}¿

¿¿¿

Cota topográfica B= Cota piezométrica de bomba – h1= 70 – 12 = 8.8

Ejercicio N° 02:

1º- Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros

6m. y 9” en los 15m restantes. La embocadura es con bordes agudos y el cambio de sección es

brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 6m. La

tubería es de fierro fundido nuevo y la temperatura del agua es de 20ºC. Calcular el gasto y cada

una de las pérdidas de carga.

Solución: La ecuación de la energía es:

6=0 .5V 1

2

2g

+ f 1

L1

D1

V 12

2g

+(V 1−V 2)2

2g

+ f 2

L2

D2

V 22

2g

−V 2

2

2g

De la ecuación de continuidad se obtiene V 1=2. 25 V 2

Reemplazando los valores conocidos,

6=(5 . 09+199 .21 f 1+65 .62 f 2 )V 2

2

2g

54

Obtenemos que Q1 y 2Q2,Cuando; h1=12 m. Q2 = Q3= 96/2 = 48 lts/s Luego, para el tramo (3) se puede hallar la pérdida de carga.

Cota reservorio de bomba B = +49.2 m


Por tratarse de una tubería de fierro fundido, que conduce agua podríamos suponer inicialmente

f1 = f2 = 0.02. Se puede tener una idea aproximada de este valor calculando las rugosidades

relativas y observando el valor de f para flujo con turbulencia plenamente desarrollada. El

objetivo de esta suposición es obtener el orden de magnitud del valor de la velocidad V 2.

Reemplazando se obtiene,

V2 = 3.36 m/s

Lo que significa que: V1 = 7.56 m/s

Considerando que para 20ºC la viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s

Los números de Reynolds son,

Re1 = 1.15 x 106 Re2 = 7.7 x 105

Y las rugosidades relativas,

kD1

=0 .0016k

D2

=0 .0011

Para la rugosidad absoluta se ha tomado el valor 0.00025m, según la tabla de la Pág. 20

Del Diagrama de Moody, se obtienen los valores de f

f1 = 0.022 f2 = 0.0205

Estos valores difieren ligeramente de que habíamos supuesto (0.02. Usando estos valores

calculamos un nuevo valor para las velocidades en (2):

V1 = 7.42m/s V2 = 3.3 m/s

Luego se calculan los números de Reynolds y los valores de f. Se obtiene valores iguales a los

supuestos. Por lo tanto,

Q=A1 V1 = 135 lt/seg

Verificación de la ecuación de la energía

hloc=0 .5V 1

2

2g

= 1 .40 m

h f 1=f 1

L1

D1

V 12

2g

= 2 . 43m

55


hloc=(V 1−V 2)2

2g

= 0. 87 m

h f 2=f 2

L2

D2

V 22

2g

= 0 .75 m

V 22

2g

= 0 . 56

Con lo que queda verificada la ecuación (1). Obsérvese que en este caso las tuberías son

relativamente cortas. La importancia de las pérdidas de carga locales es grande. Constituyen el

47% de la energía total.

Ejercicio N° 03:

Para el sistema que se muestra (H1=25 m, H2=35 m), cuales son los gastos que discurren por las

tuberías.

L1= 0.80 Km 1) L2= 1 Km 2) L3= 1.5 Km

= 10” = 6” = 8”

C = 120

√ pieseg C = 100

√ pieseg C = 120

√ pieseg

h1 =1 .72 x106 1

1001.85 x 64 .87Q1

1 .85=5.55 x10−2 xQ11.85

h2 =1 .72 x106 1

1201.85 x 84.87Q2

1.85=1 .46 x10−2 xQ21 .85

ht = 2.64 x 10-3 Qt

Asumimos hT = 15 mt h1 = 25 – hT = 10 mt

h2 = 35 – hT = 20 mt

De las ecuaciones anteriores:

Q1=[ h1 x102

5 . 55 ]0. 54

=16. 52lt

seg

Q2=[ h2 x102

1 . 46 ]0 .54

=49 .41lt

seg

56

Q1+ Q2 = 65.93


QT=[ h1T x103

2 . 64 ]0 .54

=106 .52lt

seg

Tabulación de datos:

hT QT Q1 Q2 Q1+Q2

15 106.52 16.52 49.41 >65.93

13 98.60 18.23 52.02 >70.25

10 85.57 20.57 55.70 >76.27

8 73.86 22.01 58.10 <80

Si Q1+Q2 < QT

Aumentar Q1 y Q2 significa aumentar h1 y h2 o disminuir hT

Ejercicio N° 04: (APLICACIÓN DE TUBERÍAS EN SERIE Y PARALELO)

Se tiene el siguiente esquema mostrado en la figura, donde la tubería BCD no existe

inicialmente.

a) Calcular el nivel de agua del reservorio para mantener una presión de 15 mt en la salida de la

tubería (Punto D) y un caudal Q igual a 150 lt/seg.

b) ¿Qué longitud de tubería deberá conectarse en paralelo con el tramo BD con el fin de que el

caudal en el sistema se incremente en un 50% y la presión aumente a 2 kg/cm2

Datos:

L1 = 1500 m ^ L2 = 950 m

⊄1 = 120 ^ ⊄2 = 120

D1 = 10” ^ D2 = 8”

ZA = ? ^ ZD = 80 msnm

1) Nivel de agua en el reservorio ZR:

Q1 = 150 lt/s

57

Del grafico HT = 8.6 mt


Q2 = 150 lt/s

PD = 15m

hi=1 .72 x 106 xLi x Qi

1 . 85

⊄i1. 85 x Di

4. 87

h 1=1 .72 x 106 x1.5 x 1501. 85

1201. 85 x 104 .87=52 .59 m

h 2=1 . 72 x 106 x0.95 x 1501. 85

1201. 85 x 84 . 87=98 .74 m

ZR = ZD + PD + h2 + h1, Luego: ZR = 80m + 15m + 52.59m + 98.74m

ZR = 246.33m ¿ 246 msnm.

2) Longitud de la tubería en paralelo:

El caudal del sistema Se incrementa en un 50% para satisfacer las necesidades futuras.

Q1 = (150 + 50% x 150) lt/seg

Q1 = 225 lt/segV 1=

Q1

A1

= 0 . 225 x 4π (10 x 0 .0254 )2

=4 .44 m /seg

Q2 + Q3 = 225 lt/seg

PD = 2 ks/cm2 [10mca = 1 kg/cm2]

PD = 20m

58


hi=1 .72 x 106 xLi x Qi

1 . 85

⊄i1. 85 x Di

4. 87

h 1=1 . 72 x 106 x1. 5 x 2251. 85

1201. 85 x 104 .87

h1 = 116.59m

h2 = ZR – ZD – PD – h1

h2 = 246 – 80 – 20 – 116.59

h2 = 29.74 m = h3

De la expresión de Hazen y Williams:

Qi=0 .0004264 ⊄i Di2.63 hi

0 .54

Li0 .54

Para la tubería en paralelo Nº 2

Q2=0 . 0004264 x 120 x 82. 6329 .790. 54

(0 .95 )0. 54

Q2 = 77.94 lt/sV 2=

Q2

A2

= 0.07794 X 4π (8 X 0 .0254 )

=2 . 40 m /sg

Q2 + Q3 = 225 lt/s

Q3 = (225 – 77.94) lt/s = 147.06 lt/s

Considerando un D3 = 10” y el mismo tipo de tubería:

59


L3 = ? ^ H3 = 29.74m

⊄3=120D3=10 {} # Q rSub { size 8{ { overstrike {3}}} } `=`147 . 06 ` ital < /s {} } } {¿

¿

hi=1 .72 x 106 xL x Q1. 85

⊄1. 85 x D4. 87

L3=h3⊄3

1 . 85 D34 . 85

1 . 72 x 106 xQ31 . 85

L3 = 0.840 Km

L3 = 840 m

Verificación la velocidad del flujo en la tubería

V 3=QA= 0 . 147 X 4

π (10 X 0 . 0254 )2=2 . 90 m /seg

Resumen de la verificación de velocidades del flujo en el sistema:

a) Condición inicial:

PD = 15 m

Q1 = 150 lt/s ^ D1 = 10”

Q2 = 150 lt/s ^ D2 = 8”

V = Q/A

V 1=150 x10−3 m3

s

π /4(10 x 0.0254 )2=2. 96 m

s

V 2=150 x10−3 m3

5

π /4( 8x 0 .0254 m)2=4 . 63 m

s

b) Condición final:

PD = 20 mt

60


Q1= 225m/seg, Q2 = 77.94 lt/seg Q3 = 147.06 lt/seg

D1 = 10”

D2 = 8”

D3 = 10”

V 1=225 x10−3 m3

5

π /4(10 x 0.0254 m)2=4 . 44 m

s

V 2=77 . 94 x10−3 m3

5

π /4( 8x 0 .0254 m)2=2 . 40 m

s

V 3=147 . 06 x10−3 m3

5

π /4 (10 x 0 .0254 m)2=2 . 90 m

s

Comentarios:

Se recomienda que las velocidades del flujo en una tubería no sean mayores a los 3 m/seg para

evitar el deterioro de las válvulas, medidores y aditamentos de regulación del caudal.

Por tanto, para el sistema resuelto, es necesario aumentar el diámetro de la la tubería 2 de 8” a

10” para la condición inicial.

De igual modo aumentar el diámetro de la tubería 1 de 10” a 12” para la condición final futura.

Ejercicio N° 05:

De un estanque sale una tubería de 8” de diámetro y 300 m. de longitud. Esta tubería se bifurca

en ramales de 6” de diámetro y 150m. de largo cada uno. Los extremos descargan libremente a

la atmósfera. Uno de los ramales es un conducto filtrante que tiene tomas de descarga

distribuidas uniformemente a lo largo de la tubería de modo que la suma de la descarga de todas

ellas es igual a la mitad del gasto inicial en ese ramal (la otra mitad descarga por el extremo

final). Los extremos de los dos ramales están en el mismo nivel (15m. debajo de la superficie

libre del estanque). Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de cargas locales.

Considerar f = 0.024, constante e igual para todas las tuberías.

61


En un conducto filtrante, la pérdida de carga es según la ecuación:

h f=KL3

(Q02+Q0 Q+Q2 )

Este caso particular Q = QO/2, luego:

h f=KL3

74

Q0

2=7

D5Q

02

Sustituyendo los datos f, L y D Para el conducto filtrante se obtiene:

h fo=2112.52 Q02

pérdida de carga entre el estanque y el nudo es:

h f=0 .0827fL

D5Q2=1718 .78 Q2

debe cumplirse que:

h f +h fo=1718 .78Q2+2112.52Q0

2=15 m

la pérdida de carga en el otro ramal es:

h f 1=0.0827fL

D5Q

12=3621.46 Q

12

debe cumplirse que:

h f 1+h fo=3621. 6 Q1

2+1718 .78 Q2=15 m

62


Luego:

2112.52Q02=3621. 46 Q

12

Q02=1 .7173Q

12

Q0=1 . 31Q1

De donde:

Q1=34 .2 l /sQ=79 .0 l / sQO=44 . 8 l /s

Ejercicio N° 06: (determinación de la potencia de una bomba)

se desea bombear 6 l/s de agua a 40ºc a través de una tubería de acero nuevo

que tiene una rugosidad absoluta € = 0.052mm, con un constante de 50 mm,

y una longitud cuyo trazo se muestra.

Existen los siguientes accesorios: 1 válvula check, 1 válvula de pie con canastilla,

1 válvula compuerta, válvula globo, 6 codos de 90ª y una entrada brusca al reservorio superior.

Vida útil de la instalación 8 años.

Determinar la altura y potencia de la bomba que va a trabajar en la en la

instalación ,considerando eficiencia de la bomba 70%

Proporcionar la ecuación de funcionamiento.

63


SOLUCION:

Ecuación de Bernoulli entre los reservorios R1 y R2:

Densidad del Agua y mercurio a distintas temperaturas

t 0 ºC

t 0 ºC

t 0 ºC

t 0 ºC

103 Kg/cm3 103 Kg/cm3 103 Kg/cm3 103 Kg/cm3

a) Densidad de Agua

-10 0.99815 6 0.99997 50 0.98807 250 0.79400

-5 0.99930 7 0.99993 60 0.99824 300 0.71000

0 0.99987 8 0.99988 70 0.97781 350 0.57400

1 0.99993 9 0.99981 80 0.97183 374.15

( tempe

ratura

critica*)

0.30700

2 0.99997 10 0.99973 90 0.96534

3 0.99999 20 0.99823 100 0.95838

4 1.00000 30 0.99567 150 0.91730

5 0.99999 40 0.99224 200 0.86900

b) Densidad de Mercurio (Siendo la Presión de 1 atm)

0 13.5951 25 13.5335 50 13.4723 75 13.4116

5 13.5827 30 13.5212 55 13.4601 80 13.3995

10 13.5704 35 13.5090 60 13.4480 90 13.9530

15 13.5580 40 13.4967 65 13.4358 100 13.3514

20 13.5457 45 13.4845 70 13.4237 300 12.8750

* En lo que se refiere a la temperatura Critica véase las pgs. 63,70

64

P1 + 1 12 + 1 + HB = P2 + 2 2

2 + 2 + HP

2g 2g


Viscosidad del agua a distintas temperaturas

De las tablas

= 992 kg / m3

= 655 x 10-6 kg/m – seg

= g0 = 9732 N/m2

La velocidad de la Tubería

Datos:

Diámetro, D : 50 mm = 0.05 m

Caudal, Q : 6 Lt/s = 6 x 10-3 m3/s

Reemplazando los valores en las siguientes fórmulas :

A = ð D2

4

A = ð x (0.05)2

4

A = 4.91 x10-6

Q = A = Q

A

= _6 x 10 -3 _

4.91 x10-6

= 3.056 m/s

El Número de Reynold Re

Datos:

Densidad , : 992 kg / m3

Velocidad , : 3.056 m/s

Diámetro, D : 50 mm = 0.05 m

Viscosidad, : 655 x 10-6 kg/m – seg

Reemplazando los valores en las siguiente fórmula :

65


Re = D

Re = 992 kg / m 3 x 3.056 m/s x 0.05 m

655 x 10-6 kg/m – seg

Re = 232124 (Flujo Turbulento)

Coeficiente de Coriolis

= 1.0262 ≈ 1 Nota = 2 F. Laminar

= 1.062 F. Turbulento

En la Ecuación de Bernoulli

P1 = P2 (atmosfera)

1 = 2 (Caudal Constante)

Cálculo de las Pérdidas

Pérdidas Primarias :

a) Determinación de ƒ (Diagrama de Moody)

Con å = 0.0052 mm= 0.00104 y Re = 232124 ƒ = 0.0212

DH 50 mm

b) Longitud Total de la Tubería

L = ΣL = 4 +2 +2 + 24 + 3 + 20 + 3+ 23 + 1 = 80 m

Hf = 0.0212 x 80 m x _(3.0569) 2 = 16.14 m

0.05 m 2 x 9.81 m/s2

Pérdidas Secundarias :

66

1 + HB = 2 + HP

HB = (2 +1) + HP

Hf = L 22

DH 2g

HP = Hf + Hs

Hs = ( Σ K) 22

2g


Σ K = 14.78

Hs = 14.78 x _(3.056) 2

2 x 9.81

Hs = 7.04 m

ACCESORIOS

CA

NT

IDA

D

VALOR DE K

Usando la tabla 4.5

UNITAR. TOTAL

- Válvulas de pie 1 0.8 0.8

- Colocador o canastilla 1 1.3 1.3

- Válvula de globo con Brida1 8.1 8.1

- Válvula check con Brida1 2.0 2.0

- Válvulas compuerta con Brida 1 0.28 0.28

- Codo de 90º largo con Brida 1 0.3 1.8

- Entrada brusca de la tubería al

deposito

1 0.5 0.5

TOTAL Σ K 14.78

Medidas Totales:

HP = 16.14 + 4.04 = 2318 m (sin envejecimiento)

FACTORES MULTIPLICADORES A LA ALTURA DE PÉRDIDAS CALCULADAS

Aumento de pérdidas por fricción, debidas al envejecimiento de la tubería

Edad del Tubo

(Años)

Tubos Pequeños

10 – 25 cms Ф

Diámetro

Tubos Pequeños

30 – 150 cms Ф

Diámetro

Nuevo 1.0 1.0

5 1.40 1.30

10 2.20 1.60

15 3.60 1.80

67


20 5.00 2.00

25 6.30 2.10

30 7.25 2.20

HP con envejecimiento = FE x HP

HP con envejecimiento = 1.4 x 23.18

HP con envejecimiento = 32.45 m

CARACTRISTICA DE LA BOMBA:

SIN ENVEJECIMENTO

HB = 12 + 23.18 = 35.18 m

Potencia: PB = Q H B

ηB

PB = 9732 X 6X10-3 X 35.18

0.7

PB = 2.935 Watts

PB = 2.9 Kw

CON ENVEJECIMENTO

HB = 12 + 32.45 = 44.45 m

PB = Q H B

ηB

PB = 9732 X 6X10-3 X 44.45

0.7

PB = 3.708 Watts

PB = 3.7 Kw

Caudal al cabo de 8 años, será:

Q8 = _2935 x 0.7 _ = 4.75 x 10-3 m/s (con envejecimiento)

9732 x 44.45

Caudal en un principio será

Q8 = _3708 x 0.7 _ = 7.58 x 10-3 m/s (sin envejecimiento)

9732 x 35.18

68


4.5 TRAZADO DE LÍNEAS DE NIVELES PIEZOMÉTRICOS Y DE ENERGÍA

TOTAL.

En general, en el diseño de las tuberías, los niveles piezométricos se refieren a la presión

relativa no considerando la presión atmosférica, salvo en los casos en que sea menester hacerlo.

Existen por lo tanto dos líneas de carga: la de niveles piezométricos y la de carga absoluta, que

se obtiene sumando a la anterior la altura, representativa de la presión atmosférica exterior.

Así por ejemplo, en la figura:

Si ρ0=1 . 0333 Kg/cm2 y γ=1 , 000 kg./m3, la distancia de separación de ambas líneas será:

h=P0

γ=10 , 333

1, 000

kg ./m2

kg ./m3 =10 . 33 mt.

Las condiciones de funcionamiento dependen de la posición de la tubería. Por ejemplo, si en la

tubería de la figura anterior el perfil esta dispuesto por debajo de los niveles piezométricos; se

cumple el funcionamiento continuo, sin intermitencia y completamente normal; el aire se

acumula en las partes mas altas del conducto (puntos E y F), en las cuales es necesario colocar

ventosas para la eliminación del mismo.

Supongamos que la tubería excede el nivel piezométrico. Será necesario proceder al cebado de

los mismos por bombeo, y además no podrá funcionar por gravedad si algunos de sus puntos

excedieran de una altura superior al nivel de carga absoluta inicial. Pero estos no serian los

únicos inconvenientes en el funcionamiento, como se observa analizando las tuberías de las

figuras a, b, c y d.

En la Fig. a), parte de la tubería se encuentra ubicado superior a los niveles piezométricos e

inferior a la horizontal de origen. El cebado es automático pero el funcionamiento resulta

irregular, pues entre A y B se va acumulando aire lo que provoca una disminución del caudal

que circula hasta cierto límite.

69


En la Fig. b) parte del perfil del conducto excede no solo el nivel piezométrico sino también la

horizontal de origen. El cebado debe realizarse y además el funcionamiento es irregular por la

misma causa del caso anterior. La disminución del caudal puede ser total, interrumpiéndose la

circulación del flujo.

En la Fig. c) el perfil de la tubería esta dispuesto debajo de la horizontal del nivel piezométrico

de origen que corta a la línea de carga absoluta. Por la primera circunstancia, el cebado es

automático pero debido a la segunda el caudal que circula es inferior a la que correspondería en

condiciones normales de descarga libre. El tramo BC funciona con irregularidad debido a la

acumulación de aire y se encuentra parcialmente llena.

Fig. a) Fig. b)

En la Fig. d), el perfil del conducto esta dispuesto superior a la línea de carga absoluta y a la

horizontal de origen. Su máxima altura con respecto a ella no debe alcanzar el valor

P0

γ , pues

sino el funcionamiento por gravedad seria imposible. El cebado de la tubería debe hacerse por

bombeo y su funcionamiento es muy irregular debido a que el tramo BC se va llenando de aire y

el caudal que circula es muy pequeño.

Fig. c) Fig. d)

70


4.6 DISEÑO HIDRÁULICO DE REDES CERRADAS DE TUBERÍAS

Una red cerrada de tuberías es aquella en la cual los conductos o tuberías que la componen se

ramifican sucesivamente, conformando circuitos o anillos cerrados. Un circuito es cualquier

trayectoria cerrada que puede recorrer una partícula fluida, partiendo desde un punto o nudo de

la red, fluyendo por distintos tramos, hasta llegar al punto de partida.

Las redes urbanas de distribución de agua potable, las redes de distribución de gas para usuarios

urbanos, las redes de distribución de agua en distritos de riego, las redes de distribución de gas

en sistemas de refrigeración, las redes de distribución de aceite en sistemas de lubricación y las

redes de distribución de aire en sistema de ventilación, son ejemplos clásicos de conformación

de redes cerradas de tuberías. Sin embargo, en esta oportunidad, el análisis se centrará en las

redes de distribución de agua, cuya aplicación es de gran interés para los profesionales de las

Ingeniería Hidráulica, Civil, Industrial, Agrícola, Sanitaria y Minas.

Las redes urbanas de distribución de agua forman ramificaciones sucesivas de tuberías,

siguiendo el trazado de las calles y vías de acceso, conformando circuitos o anillos cerrados, de

manera que el agua, en un nudo de la red, puede venir por dos o más direcciones distintas, lo

cual presenta la ventaja de no interrumpirse el suministro en los eventos de reparación o de

mantenimiento.

El análisis de una red cerrada de tuberías conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones

no lineales, de solución muy laboriosa, que solamente es posible resolver por métodos de

aproximaciones sucesivas, dos de los cuales son el Método de Hardy Cross y el método de la

teoría lineal.

A) EL MÉTODO DE HARDY CROSS

El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de

dos principios o leyes:

Ley de continuidad de masa en los nudos;

Ley de conservación de la energía en los circuitos.

El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de

"pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen & Williams o, bien, la ecuación de Darcy &

Weisbach.

71


La ecuación de Hazen & Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías que conducen

agua de diámetros mayor de 2", ha sido por muchos años, empleada para calcular las pérdidas

de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que

supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad C, de la superficie interna de la

tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía.

La ecuación de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha

empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el

cual es función de la rugosidad k, de la superficie interna del conducto, y el número de

Reynolds Re, del flujo; el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del

caudal del flujo en las tuberías.

Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición

de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los

nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular Q. En cada iteración se deben

calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los

valores de Re y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable

y agotador si hubiese que "hacerlo manualmente" con una calculadora sencilla. Más aún,

sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones

sucesivas.

Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la

manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías. Hoy, esto será no sólo posible y fácil

de ejecutar con la ayuda de los modernos modelos matemáticos o programas computacionales

como el EPANET. OPIWATER, WATERCAD, que permiten hacer modificaciones en los

diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red

completamente cuantas veces sea conveniente.

a) FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS

El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:

1. Ley de continuidad de masa en los nudos:

"La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

(1)

Donde,

Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.

72


qi : Caudal concentrado en el nudo i

m : Número de tramos que confluyen al nudo i.

2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos:

"La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo

cerrado debe ser igual a cero".

(2)

donde,

hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo Tij.

n : Número de tramos del circuito i

b) ECUACIONES BÁSICAS

La ecuación de Hazen & Williams originalmente expresa:

(3)

Donde,

V : Velocidad del flujo, m/seg.

C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.

D : Diámetro de la tubería, m.

Sf : Pérdida unitaria de carga (m/m).

(4)

Por continuidad,

Luego,

73


(5)

De la cual resulta:

(6)

Donde,

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

L : Longitud del tramo de tubería, m.

hf : Pérdida de carga, m.

La ecuación anterior se puede transformar de tal manera que el diámetro se exprese en pulgadas

y el caudal en l/s, obteniéndose la siguiente ecuación.

(7)

Haciendo

(8)

Resulta:

(9)

La ecuación de Darcy & Weisbach expresa, en términos de velocidad del flujo, la siguiente:

(10)

donde f es el coeficiente de fricción, de Darcy

Y en términos del caudal, expresa:

74


(11)

Haciendo;

(12)

Resulta:

(13)

En general, la ecuación de pérdidas de carga por fricción expresa:

(14)

Donde,

r : Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuación empleada para el cálculo.

n : Exponente del caudal, que depende la ecuación de resistencia empleada.

n : 1.85, según la ecuación de Hazen & Williams.

n : 2.0 según la ecuación de Darcy & Weisbach.

El Método de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteración tras iteración, los caudales en los

tramos, con la siguiente ecuación general:

(15)

Reemplazando valores en la fórmula de Hazen-Williams para la cual n=1,85 la corrección

queda:

Q= - h f

1,85 (hf/Q0)

El coeficiente de fricción, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuación de

Colebrook & White, que expresa lo siguiente:

75


(16)

Donde:

k : El coeficiente de rugosidad de la tubería, mm.

D : Diámetro de la tubería, mm.

R : El número de Reynolds del flujo, adimensional.

Nótese que la relación k/D, en la ecuación (16) debe ser adimensional.

A su vez, el número de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuación:

(17)

Donde,

v : Velocidad del flujo, m/seg.

: Densidad del fluido (agua), kg/m3.

: Viscosidad dinámica del fluido, kg/m.s.

v : Viscosidad cinemática del fluido, m2/s.

D : Diámetro del conducto, m.

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

C) CONVENCIONES

Los caudales Qij y sus correspondientes pérdidas de carga, hfij, y velocidades, vij serán

positivos si fluyen en sentido de las manecillas del reloj, o negativos en sentido

contrario.

La nomenclatura de los tramos Tij sólo requiere que el primer subíndice represente el

número de circuito al cual pertenece. El subíndice j es un número consecutivo que inicia

en 1 y termina en el número de tramos del circuito considerado. Ejemplo, el tramo T 2.4

es el cuarto tramo del circuito No.2

76


En la nomenclatura de los tramos no se requiere designarlos siguiendo un estricto orden

consecutivo, como tampoco un sentido horario o antihorario.

Un tramo cualquiera de la red puede pertenecer a un único circuito, o a dos,

simultáneamente. En el primer caso, el número del circuito adyacente, solicitado por los

programas, es cero. En el segundo caso, se entrará el número del otro circuito que lo

camparte con el actual.

D) Aplicación del método de Hardy Cross a una red de abastecimiento

Las fases del trabajo serán resumidas en la siguiente manera:

a) Consideraciones generales. El sistema no se emplea para redes ramificadas. Por el

contrario, está ligado al método de distribución por anillos o circuitos que es más flexible

en el uso y distribuye mejor las Presiones. Tampoco se emplea para investigar cañerías

secundarias, las cuales resultan siempre de condiciones mínimas exigidas para las redes.

b) Trazado de circuitos. En el trazado debe tenerse presente una buena distribución con

relación a las áreas que serán abastecidas y a sus consumos. Las líneas serán dirigidas por

los puntos de mayor consumo, por los centros de mayores masas que son influenciadas por

factores locales: demandas de incendios (localizadas), instalaciones portuarias, calles

principales, condiciones topográficas especialmente, altimétricas, facilidades de ejecución,

etc.

c) Consumos y su distribución. El área por ser abastecida por un determinado circuito es

conocida; población puede ser estimada o prevista; puede establecerse además una cuota

máxima de agua para ser entregada al consumo, de donde se conoce la cantidad de agua

que debe ser suplida por el circuito o anillo. Esta cantidad puede ser distribuida en varias

partes a lo largo del anillo, estableciéndose puntos de entrega, con demandas uniformes o

diferentes conforme al caso, (particularidades del sector, locales o conveniencias del

proyecto, etc.). Tales puntos deben ser marcados teniéndose en vista el trazado de las

calles, de modo de permitir una ejecución precisa de las derivaciones secundarias previstas.

d) Anotación y marcado de tramos. Deberán medirse las distancias entre las entregas,

indicándose las cantidades de agua que serán suplidas y el sentido estimado de su

escurrimiento en los diversos tramos. Este sentido será verificado o corregido con el

análisis.

e) Condiciones que deben cumplir las tuberías. En general se fijan una de las siguientes

condiciones comunes a los proyectos de redes de distribución:

i. Velocidad máxima de las tuberías de acuerdo con los diámetros comerciales;

ii. Pérdida de carga unitaria máxima tolerada en la red;

77


iii. Presiones disponibles mínimas en diferentes puntos a lo largo de la red.

De cualquiera de estas condiciones que se parta, resultará una indicación para los diámetros

de las cañerías. Con el análisis, tales diámetros podrán ser alterados o corregidos.

f) Cálculos. Los elementos mencionados en los ítems anteriores permiten organizar un cuadro

semejante al del ejemplo que sigue. Los resultados finales dirán si fue un acierto el hecho

de la distribución o bien lo contrario.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Una aplicación del método de Hardy Cross estudiado se presenta en el diseño de la red de agua

potable para el área urbana de una ciudad, como se muestra en la figura. El proyecto consiste

en dos anillos integrados, uno para Ciudad Vieja y otro para Ciudad Nueva. De este segundo

circuito sale una derivación importante para abastecer futuro barrio de expansión con un valor

de 17 lt/seg.

Datos catastrales y censo considerados:

Designación Ciudad Vieja Ciudad Nueva

Area en km2

Extensión en calles, km

Calles: km/km2

Nº de predios

Predios por km2

Habitantes/predio

Población

Habitantes/km2

0,35

9,405

26,8

1.126

3.040

5,6

6.305

18.100

0,36

6,956

19,3

441

1.200

6,3

2.778

7,720

Datos de previsión (futuros)

Designación Ciudad Vieja Ciudad Nueva

Nº de predios

Habitantes/predio

Población futura

Habitantes/m.l. futuro

Habitantes/km2 futuro

1.175

6

7.050

0,75

20.100

820

6

4.920

0,70

13.700

Partiendo de los antecedentes dados y de una dotación de 150 It/pers/día y un coeficiente de

gasto máximo diario de 1,5 se llega a:

Circuito Nº 1............... 12,8 lt/seg

Circuito Nº 2............... 18,4 lt/seg

78


Los dos circuitos fueron trazados en un plano de la ciudad y en los puntos como cruces de calles

se marcaron las derivaciones que satisfacen los valores fijados para las áreas a servir.

El cálculo se hizo considerando los valores de los coeficientes de fricción de las tuberías, según

el material fabricado. El cuadro final fue organizado como sigue:

- Para todas las tuberías se adoptó un coeficiente C=100 y enseguida se obtuvieron las

reducciones para las tuberías cuyos diámetros eran diferentes de 8” en largos equivalentes.

- Inicialmente se supuso una distribución de valores que se señalan en la columna Q 0. Se

entra al ábaco con las longitudes equivalentes y los valores de Q 0 obteniéndose valores de

hf y de 1,85 (hf0/Q0) con los cuales se calcula la corrección:

0 = - h f0

1,85 (hf0/Q0)

Conviene mencionar que para obtener la primera corrección 0 en lt/seg, es necesario

dividir por 1.000 el valor obtenido del ábaco para el denominador, por las unidades que

aparecen, m3/seg.

- Una vez corregidos los valores se obtienen los Q1 con los cuales se continúa hacia adelante.

Esto mismo se hace en cada anillo o circuito. Al observar el cuadro, se ve la rápida

convergencia de los errores: para el primer circuito fueron -1,60; 0,29 y 0,00. Para el

segundo fueron +1,57; -0,34 y -0,03.

- En base a los signos obtenidos para los valores de Q3 se puede señalar en los dos circuitos

el sentido de la circulación del agua

Cuadro de cálculo de una malla, verificar equilibrio.Tram

o

Diám

.

(pulg

.)

Largo

(m)

Long.

Equiv.

de 8”

Gasto

Q0

(l/seg)

hf0 X0

1,85hf0

Q0

Corre

c

0

Gasto

Q1

(l/seg)

hf1 X1

1,8

5hf1

Q1

Corre

c

1

Gasto

Q2

(l/seg)

hf2 X2

1,85hf2

Q2

Corre

c

2

Gasto

Q3

(l/seg)

A B 12 550 77 31,0 +0,60 36 -1,60 29,40 +0,52 35 +0,29 29,69 +0,54 35 - 26,69

B C 8 275 275 14,0 +0,48 66 -1,60 12,40 +0,40 61 +0,29 12,69 +0,40 61 - 12,69

C D 8 525 525 11,4 +0,69 105 -1,60 9,80 +0,49 95 +0,29 10,09 +0,53 97 - 10,09

D E 8 250 250 8,8 +0,19 41 -1,60 7,20 +0,13 34 +0,29 7,49 +0,14 35 - 7,49

E F 6 250 1.015 6,2 +0,40 120 -1,60 4,60 +0,22 95 +0,29 4,89 +0,26 100 - 4,89

-1,60 +0,29

F

G(x)

4 75 2.175 0,0 - - -1,57 -3,17 -0,23 140 +0,34 -2,54 -0,17 120 0,03 -2,51

G H 8 445 445 -14,6 -0,88 110 -1,60 -16,20 -1,00 120 +0,29 -15,91 -1,00 120 - 15,91

H A 10 670 228 -17,2 -0,61 66 -1,60 -18,80 -0,72 73 +0,29 -18,51 -0,70 71 - -18,51

Suma +0,87 544 Suma -0,19 653 Suma -0,00 639

0 = - 0,87 / 0,544 = - 1,60

lt

1= + 0,19 / 0,653 = 0,29

lt

2 = 0

F I 6 345 1.401 6,2 +0,55 170 +1,57 7,77 +0,85 210 -0,34 7,43 +0,80 200 -0,03 7,40

79


I J 6 345 1.401 3,1 +0,16 97 +1,57 4,67 +0,32 130 -0,34 4,33 +0,29 125 -0,03 4,30

J K 4 260 7.540 0,0 - - +1,57 1,57 +0,22 270 -0,34 1,23 +0,15 220 -0,03 1,20

K L 6 560 2.275 -3,1 -0,25 150 +1,57 -1,53 -0,07 85 -0,34 -1,87 -0,10 97 -0,03 -1,90

L M 6 380 1.543 -6,1 -0,58 180 +1,57 -4,53 -0,35 140 -0,34 -4,87 -0,38 150 -0,03 -4,90

M N 8 390 390 -9,2 -0,32 66 +1,57 -7,63 -0,32 56 -0,34 -7,97 -0,25 58 -0,03 -8,00

N G 8 550 550 -12,2 -0,79 120 +1,57 -10,63 -0,22 105 -0,34 -10,97 -0,65 110 -0,03 -11,00

+1,57 -0,34

F

G(x)

4 75 2.175 0,0 - - +1,60 3,17 +0,23 140 -0,29 2,54 0,17 120 -0,03 2,51

Suma -1,23 783 Suma +0,38 1136 Suma +0,03 1080

0 = + 1,23 / 0,783 = 1,57 lt 1 = - 0,38 / 1,136 = - 0,34

lt

2 = - 0,03 / 1,08 = - 0,03

lt

Figura: trazo de las 2 zonas que corresponden a la ciudad vieja y a la ciudad nueva.

80


B.- METODO DE LA TEORIA LINEAL

Este método fue desarrollado por D.J. Word y C. O. A. Charles entre 1970 y 1972. Se basa en la

linealización de las ecuaciones de energía en cada una de las tuberías de la red. Es un método

81

E

F

D


muy apto para ser programado, ya que solo requiere matrices y algunas iteraciones. Se ha

demostrado que converge mucho más rápidamente que los métodos antes visto.

El método de la teoría lineal se basa en las siguientes ecuaciones:

1.- para cada unión (nodo) de la red se debe cumplir la ecuación de continuidad:

NTi

∑ Qij – QDi (+ Qei) = 0 (7.2)

j=1

Si Nu representa en número de nodos de la red se tendrán Nu ecuaciones, una de las cuales es

redundante.

2.- para cada uno de los circuitos de la red se debe cumplir la ecuación de conservación de la

energía.

NTi NTj

∑ (hfij + ∑ hmij) = 0 (7.6)

j=1 j=1

Si NC representa el número de circuitos de la red, se tendrán NC ecuaciones. Mediante la

ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación 7.6 de obtiene.

NTi Q2ij lij

∑ ∑ kmij + fij = 0 (7.7)

j=1 2 gA2ij dij

La anterior ecuación indica que se tienen NC ecuaciones no lineales para el caudal. dado que no

es posible resolver directamente estas ecuaciones simultaneas no lineales, en el caso de flujo en

redes se deben utilizar métodos iterativos.

Las ecuaciones 7.7 , de las cuales existe una por cada circuito, se pueden transformar en:

NTi

∑ kij Q2ij (7.40)

j=1

es claro que el factor kij estaría definido como:

lij

∑ kmij + fij dij

kij = (7.41)

2 gA2ij

82


Para resolver el sistema de ecuaciones, el método de la teoría lineal propone el procedimiento

siguiente:

hfij + ∑ hmij = kíj Qij (7.42)

En donde:

kíj = kij Q0ij (7.43)

El caudal Q0ij es el caudal estimado si se trata de la primera iteración, o el caudal corregido de l

iteración previa para las demás iteraciones. al remplazar la ecuación 7.43 en la ecuación 7.40 se

obtiene que:

NTi

∑ kij Qij = 0 (7.44)

j=1

Si en el circuito existe una bomba esta última ecuación cambia a:

NTi

∑ kij Qij = Ha (7.44´)

j=1

Las NC ecuaciones 7.44, una para cada circuito, se combinan con las n ecuaciones de

continuidad (una de las cuales es redundante, luego en realidad se utilizan n-1 ecuaciones) para

formar un sistema de NT = NC + UN – 1 ecuaciones lineales. es fácil demostrar que NT es el

número de tubos de la red. Es decir, se tiene una ecuación para cada tubo y la incógnita para

ellas es el caudal. Las cabezas de los nodos pueden ser calculadas, si se requieren,

posteriormente.

Para utilizar las ecuaciones anteriores se debe suponer un caudal inicial en cada tubo. una de las

grandes ventajas del método de la teoría lineal radica en que al no tener estos que cumplir la

ecuación de continuidad en el nodo no se requiere tiempo para la preparación de datos iniciales.

El caudal inicial puede ser supuesto igual para todos los tubos: por ejemplo, Q = 100 l/s para

todo ti . Esta situación no afecta la velocidad de convergencia.

Para obtener los kíj en cada iteración se utilizan las siguientes ecuaciones:

factor de pérdidas

lij

∑ kmij + fij dij

kij = (7.41)

2 gA2ij

83


ecuación de Colebrook-White:

ksij 2.51

1 = -2 log10 + (1.67)

f 3.7 dij Reij f

numero de Reynolds:

vij dij 4 Q0ij

Reij = = (7.45)

v dij v

junto con la ecuación 7.43

k´ij = kij Q0ij (7.43)

Al observar que en todos los procesos de cálculo de redes (Ardí-Cross, Newton-Raphson, etc)

los valores del caudal en cada tubo convergen por encima y por debajo, sucesivamente, al

caudal final, Wood propuso que el caudal de la siguiente iteración (k+1) no fuera el calculado

en la iteración anterior (k), sino el siguiente:

Q0ijk + Qijk

Q0ijk+1 = (7.46)

2

Esta última ecuación acelera de manera considerable el proceso de convergencia. El método

puede resolverse matricialmente en la forma ilustrada en la figura 7.11 representativa de una red

cerrada, en donde se observa la topología de la red con dos circuitos y seis nodos.

84

I II

QD3

QD4QD5

QD6

QD2QE

1 2

6 5

3

4


Red cerrada para ilustrar el uso del método de la teoría lineal.

En la figura anterior, las direcciones de los caudales son supuestas en forma arbitraria. Para esta

red se pueden plantear las siguientes ecuaciones:

ecuaciones de continuidad en los nodos:

Se utiliza la convención usual: si el caudal llega al nodo positivo, si sale de el es

negativo. Por consiguiente:

-Q12 + Q16 = -QE

+Q12 – Q23 –Q25 = QD2

+Q23 – Q34 = QD3

+Q34 – Q45 = QD4

+Q25 + Q45 – Q56 = QD5

+Q56 – Q61 = QD6 (redundante) (7.47)

Ecuaciones de conservación de energía en los circuitos :

Nuevamente se utiliza la convención normal: si el caudal (por consiguiente, la pérdida

de energía) se dirige en sentido de las agujas del reloj es positivo; si lo hace en sentido

contrario, es negativo. Para la red cerrada de la figura 7.11 se tiene que:

k´12 Q12 + k´

25 Q25 + k´56 Q56 + k´

16 Q16 = 0

(7.48)

k´23 Q23 + k´

34 Q34 + k´45 Q45 - k´

25 Q25 = 0

Las ecuaciones 7.47 y 7.48 pueden ser ordenar en forma matricial de la siguiente manera:

-1 0 0 0 0 0 1 Q12 -QE

1 -1 0 0 -1 0 0 Q23 QD2

0 1 -1 0 0 0 0 Q34 QD3

0 0 1 -1 0 0 0 Q45 = QD4

0 0 0 1 1 -1 0 Q25 QD5

85


k´12 0 0 0 k´25 k´56 k´61 Q56 0

0 k´23 k´34 k´45 -k´25 0 0 Q61 0

O, en forma reducida:

A B = C (7.49)

Las incógnitas en cada iteración son los Qij (matriz columna B , es decir, los caudales en cada

uno de los tubos que conforman la red; luego:

B = A -1 C (7.50)

Los valores de los k´ij de la matriz A se calculan con los Q0ij para la primera iteración o

Con los Q0ij(k+1) para las demás iteraciones.

En el proceso de cálculo de la red mediante el método de la teoría lineal se proponen los

siguientes pasos:

1.- se suponen los caudales con sus respectivas direcciones para cada uno de los tubos. por

ejemplo, se puede suponer un caudal de Q ij = 100 l/s para todo tubo i, j; todos ellos en la

dirección de las agujas del reloj.

2.- con estos caudales se calculan los k´ij en las ecuaciones 7.41, 1.67, 7.45 y 7.43 para cada tubo

de la red.

3.- se plantean las ecuaciones lineales de continuidad y de conservación de energía (ecuaciones

7.2 y 7.44).

4.- se construye la matriz (A) (ecuación 7.49), la cual es una forma compacta de las ecuaciones

de continuidad en los nodos (ecuaciones 7.47) y de conservación de energía en los circuitos

(ecuaciones 7.48).

5.- se calculan los caudales Qij en cada uno de los tubos de la red invirtiendo la matriz (A), y

resolviendo la ecuación 7.50.

86


6.- se corrigen los Q0ij , los caudales iniciales para la primera iteración o los caudales corregidos

para las demás, antes de pasar a la siguiente iteración, utilizando la ecuación 7.46.

7.- se calculan los nuevos k´ij mediante las ecuaciones 7.41, 1.67, 7.45 y 7.43 y los caudales

corregidos.

8.- se repiten los pasos 3 a 7 hasta que los Q ij sean todos lo suficientemente parecidos en dos

iteraciones sucesivas. El grado de aproximación en los caudales es definido por el diseñador

teniendo en cuenta factores tales como el tamaño de la red y los caudales de consumo en cada

uno de los nodos.

El siguiente ejemplo ilustra el uso del método de la teoría lineal para el cálculo de redes de

distribución de agua potable. En el se resuelve la misma red de distribución planteada en los

ejemplos anteriores.

Ejemplo:

Método de la teoría lineal

Resolver el problema del ejemplo 7.1 utilizando el método de la teoría lineal.

Para todos los tramos de tuberías se ha supuesto un caudal inicial de 100 l/s con las direcciones

mostradas en la figura 7.12. Estas direcciones fueron supuestas en forma arbitraria:

Figura 7.12 suposición inicial de caudales en las tuberías. Todos los caudales están dados en l/s.

Para esta red se pueden plantear las siguientes ecuaciones:

ecuaciones de continuidad en los nodos:

87


Se utiliza la convención usual: si el caudal llega al nodo es positivo; si sale de el es

negativo.

ecuaciones de conservación de energía en los circuitos:

Nuevamente se utiliza la convención normal: si el caudal (por consiguiente, la pérdida

de energía) se dirige en sentido de las agujas del reloj es positivo; si lo hace en sentido

contrario, es negativo.

Circuito Ecuaciones de conservación de energía

I k´12 Q12 + k´

25 Q25 + k´56 Q56 + k´

16 Q16 = 0

II k´23 Q23 + k´

34 Q34 + k´45 Q45 - k´

25 Q25 = 0

Primer ciclo

Los valores de los kíj de la matriz (A) se calculan con los Qij en cada iteración.

Este cálculo se resume en la siguiente tabla:

Tubería Caudal

(m3/s)

km f kij

(s2/m5)

Kíj

(s/m2)

1-2 0.1 0 0.0159 622.28 62.23

1-6 0.1 0 0.0159 373.42 37.34

2-3 0.1 10 0.0166 8221.44 822.14

Tubería Caudal

(m3/s)

km f kij

(s2/m5)

Kíj

(s/m2)

3-4 0.1 0 0.0178 27098.60 2709.86

5-4 0.1 0 0.0166 6688.90 668.89

2-5 0.1 0 0.0178 27098.50 2709.85

6-5 0.1 0 0.0161 2308.81 230.88

Las ecuaciones 7.47 y 7.48 pueden ser ordenadas en forma matricial de la siguiente manera:

-1 -1 0 0 0 0 0 Q12 -0.2

1 0 -1 0 0 -1 0 Q16 0.06

88


0 0 1 -1 0 0 0 Q23 0.04

0 0 0 1 1 0 0 Q34 = 0.03

0 0 0 0 -1 1 1 Q54 0.03

62.23 -37.34 0 0 0 2709.85 -230.88 Q25 0

0 0 822.14 2709.86-668.89 -2709.85 0 Q65 0

A B = C

Las incógnitas en cada iteración son los Qij (matriz columna B ; luego:

B = A -1 C

Los resultados para el vector Qij son:

Q12 = 0.10320

Q16 = 0.09680

Q23 = 0.03940

Q34 = -0.00060

Q54 = 0.03060

Q25 = 0.00380

Q65 = 0.05680

Los nuevos caudales se calculan mediante la ecuación 7.46:

Q12 = 0.102

Q16 = 0.098

Q23 = 0.070

Q34 = 0.050

Q54 = 0.065

Q25 = 0.052

Q65 = 0.078

89


Segundo ciclo

Las ecuaciones 7.47 y 7.48, establecidas anteriormente, siguen válidas para este ciclo.

El cálculo de los k´ij de la matriz (A) se resume en la siguiente tabla:

Tubería Caudal

(m3/s)

km f kij

(s2/m5)

K´ij

(s/m2)

1-2 0.102 0 0.0159 621.42 63.14

1-6 0.098 0 0.0159 373.89 36.79

2-3 0.070 10 0.0169 8342.90 581.51

3-4 0.050 0 0.0181 27678.14 1375.62

5-4 0.065 0 0.0170 6836.78 446.44

2-5 0.052 0 0.0181 27631.70 1434.12

6-5 0.078 0 0.0164 2349.30 184.18

Las ecuaciones 7.47 y 7.48 ordenadas en forma matricial son:

-1 -1 0 0 0 0 0 Q12 -0.20

1 0 -1 0 0 -1 0 Q16 0.06

0 0 1 -1 0 0 0 Q23 0.04

0 0 0 1 1 0 0 Q34 = 0.03

0 0 0 0 -1 1 1 Q54 0.03

63.14 -36.79 0 0 0 1434.12 -184.18 Q25 0

0 0 581.51 1375.62-446.44 -1434.12 0 Q65 0

90



Q12 = 0.1040

Q16 = 0.0960

Q23 = 0.0389

Q34 = -0.0011

Q54 = 0.0311

Q25 = 0.0051

Q65 = 0.0560

Los nuevos caudales (ecuación 7.46) son:

Q12 = 0.103

Q16 = 0.097

Q23 = 0.054

Q34 = 0.024

Q54 = 0.048

Q25 = 0.028

Q65 = 0.067

Tercer ciclo


Tubería Caudal

(m3/s)

km f kij

(s2/m5)

K´ij

(s/m2)

1-2 0.103 0 0.0159 620.79 63.82

1-6 0.097 0 0.0160 374.29 36.38

2-3 0.054 10 0.0172 8450.91 458.99

3-4 0.024 0 0.0188 28769.20 699.44

5-4 0.048 0 0.0174 6977.81 336.24

2-5 0.028 0 0.0187 28472.74 811.15

6-5 0.067 0 0.0166 2379.15 159.88


91


-1 -1 0 0 0 0 0 Q12 -0.20

1 0 -1 0 0 -1 0 Q16 0.06

0 0 1 -1 0 0 0 Q23 0.04

0 0 0 1 1 0 0 Q34 = 0.03

0 0 0 0 -1 1 1 Q54 0.03

63.82 -36.38 0 0 0 811.15 -159.88 Q25 0

0 0 458.99 699.44 -336.25 -811.15 0 Q65 0


Q12 = 0.1050

Q16 = 0.0950

Q23 = 0.0382

Q34 = -0.0018

Q54 = 0.0318

Q25 = 0.0068

Q65 = 0.0550

Los nuevos caudales, de acuerdo con la ecuación 7.46, son:

Q12 = 0.104

Q16 = 0.096

Q23 = 0.046

Q34 = 0.011

Q54 = 0.040

Q25 = 0.018

Q65 = 0.061

Cuarto ciclo


92


Tubería Caudal

(m3/s)

km f kij

(s2/m5)

K´ij

(s/m2)

1-2 0.104 0 0.0159 620.22 64.45

1-6 0.096 0 0.0160 374.68 36.00

2-3 0.046 10 0.0174 8532.25 394.56

3-4 0.011 0 0.0202 30812.62 346.45

5-4 0.040 0 0.0176 7081.83 283.32

2-5 0.018 0 0.0193 29482.86 520.74

6-5 0.061 0 0.0168 2398.76 146.55


-1 -1 0 0 0 0 0 Q12 -0.20

1 0 -1 0 0 -1 0 Q16 0.06

0 1 1 -1 0 0 0 Q23 0.04

0 0 0 1 1 0 0 Q34 = 0.03

0 0 0 0 -1 1 1 Q54 0.03

64.45 -36.00 0 0 0 520.74 -146.55 Q25 0

0 0 394.56 346.45 -283.32 -520.74 0 Q65 0


Q12 = 0.1059

Q16 = 0.0941

Q23 = 0.0373

Q34 = -0.0027

Q54 = 0.0327

Q25 = 0.0086

Q65 = 0.0541

Los nuevos caudales son:

Q12 = 0.105

Q16 = 0.095

Q23 = 0.042

93


Q34 = 0.004

Q54 = 0.036

Q25 = 0.013

Q65 = 0.058

Quinto ciclo


Tubería Caudal

(m3/s)

km f kij

(s2/m5)

K´ij

(s/m2)

1-2 0.105 0 0.0159 619.72 65.01

1-6 0.095 0 0.0160 375.02 35.66

2-3 0.042 10 0.0176 8588.77 358.66

3-4 0.004 0 0.0231 35245.21 150.13

5-4 0.036 0 0.0178 7140.23 259.66

2-5 0.013 0 0.0199 30308.19 398.37

6-5 0.058 0 0.0169 2412.21 138.94


-1 -1 0 0 0 0 0 Q12 -0.20

1 0 0 0 -1 -1 0 Q16 0.06

0 0 -1 0 0 0 0 Q23 0.04

0 0 1 1 0 0 0 Q34 = 0.03

0 0 0 -1 1 1 1 Q54 0.03

65.01 -35.66 0 0 0 398.37 -138.94 Q25 0

94


0 0 358.66 150.12 -259.66 -398.37 0 Q65 0


Q12 = 0.1063

Q16 = 0.0937

Q23 = 0.0365

Q34 = -0.0035

Q54 = 0.0335

Q25 = 0.0098

Q65 = 0.0537

Los nuevos caudales son:

Q12 = 0.106

Q16 = 0.094

Q23 = 0.039

Q34 = 0.000

Q54 = 0.035

Q25 = 0.011

Q65 = 0.056

Sexto ciclo


Tubería Caudal

(m3/s)

km f kij

(s2/m5)

K´ij

(s/m2)

1-2 0.106 0 0.0159 619.37 65.41

1-6 0.094 0 0.0160 375.27 35.42

2-3 0.039 10 0.0176 8627.37 337.72

3-4 0.000 0 0.0396 60370.51 23.89

5-4 0.035 0 0.0178 7164.78 250.17

2-5 0.011 0 0.0201 30749.65 352.28

6-5 0.056 0 0.0169 2420.02 134.67

95



-1 -1 0 0 0 0 0 Q12 -0.20

1 0 -1 0 0 -1 0 Q16 0.06

0 0 1 -1 0 0 0 Q23 0.04

0 0 0 1 1 0 0 Q34 = 0.03

0 0 0 0 -1 1 1 Q54 0.03

65.41 -35.42 0 0 0 352.28 -134.67 Q25 0

0 0 337.72 23.89 -250.17 -352.28 0 Q65 0

Las Presiones en los nodos para estos caudales son:

H1 = 100 m

H2 = 93.01 m

H3 = 81.72 m

H4 = 82.27 m

H5 = 89.75 m

H6 = 96.76 m


Q12 = 0.1063

Q16 = 0.0937

Q23 = 0.0361

Q34 = -0.0039

Q54 = 0.0339

Q25 = 0.0102

Q65 = 0.0537

Los caudales definitivos son:

Q12 = 0.106

Q16 = 0.094

Q23 = 0.038

96


Q34 = -0.002

Q54 = 0.034

Q25 = 0.011

Q65 = 0.055

4.7 MOVIMIENTO NO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS

Considerando que en todo fenómeno transitorio de un flujo a presión, en un conducto cerrado,

se presenta la ocurrencia simultanea de las fuerzas de peso y de elasticidad; se puede inferir que

hay dos clases de oscilaciones mencionadas que se superponen: Las oscilaciones debidas al

peso, que se manifiestan por ejemplo en una chimenea de equilibrio de una central

hidroeléctrica (figura 1) debido a las oscilaciones que ocurren en la columna de agua cuando

esta se encuentra comunicado a través de una galería (túnel casi horizontal) con un embalse o

reservorio, ambos a superficie libre. Las oscilaciones se deben a la predominancia del peso del

fluido.

Asimismo, en la tubería forzada de la misma central se producen oscilaciones de la presión

debido a la maniobra de las válvulas, En este fenómeno predominan las acciones elásticas.

La distinción física entre ambos fenómenos es notoria, debido a que la velocidad de

propagación de las acciones del peso es del orden del metro por segundo, mientras que la

propagación de las ondas elásticas es la del sonido, es decir de aproximadamente 1,420 m/seg.

97


Figura 1. Esquema general de una central hidroeléctrica

GOLPE DE ARIETE

Golpe de ariete (Water Hammer). es la variación pulsatoria de la presión encima y debajo de la

presión normal, resultante de la rápida aceleración o desaceleración de la velocidad de flujo

debido a la interrupción de la corriente por el cierre o apertura brusca de una válvula o por el

arranque y parada de una bomba o por operaciones análogas.

Cualquier variación en el caudal de una tubería producido por las acciones mencionadas u otras

como la rotura intempestiva de una tubería, originan un cambio de la cantidad de movimiento

del flujo, dando origen a una fuerza de impulso que se conoce comúnmente como golpe de

Ariete. El cambio súbito del gasto en una tubería puede originar esfuerzos de suficiente

magnitud, que podrían exceder las Presiones normales de servicio contempladas en el diseño y

resultar perjudicial al sistema.

La teoría del golpe de ariete fue desarrollada por N.J. Zhukovsky(1898), de la siguiente manera:

Fórmula de Allieve:

98

P.R.


Simbología:

C = Velocidad de la onda

E = Modulo de elasticidad del Material del tubo

e = Espesor de la tubería

D = Diámetro de la tubería

L = Longitud de la tubería

x = Distancia de una sección a lo largo del eje, medido desde la sección de cambio de flujo

t = Tiempo medido del origen del cambio de flujo

Htx = Carga total de la sección x en el tiempo t.

Qtx = Descarga de la sección x en el tiempo t.

Vtx = Velocidad de la sección x en el tiempo t.

V = Velocidad inicial antes del tiempo 0 (Veloc. Inicial)ε = Modulo de elasticidad del agua (2.07 x 104 kg/cm2)

g = aceleración de la gravedad

= densidad del flujo.

= Peso especifico del fluido

A = Sección transversal del conducto

consideraremos para el análisis una tubería corta L < 1 000 mt.

Z0 + Ho0 +

V 02

2 g = ZX + H0X +

V X2

2 g

H0X = Ho0 - ∫0

XSenαdα

+

V 02−X X

2

2 g

Z X−Z0

x = Sen

99

H+∂H∂ x

dx

u+ ∂ u∂ x

dx


1

ρx∂ p∂ x =

1

ρ

∂H∂ x = g

∂H∂ x

U ¿=dUdt , U/ = (x,t) ,

U ¿=∂U∂ t

+U∂U∂ x

En (I) g∂H∂ x = -gSen - [

∂U∂ t

+U∂U∂ x ]

∂U∂ x

=1e∂U∂ t , {U

∂U∂ x (puede ser despreciable)}

g

∂H∂ x = - gSen -

∂U∂ t

∂U∂ t = - gSen - g

∂H∂ x ..................(1)

100

A[ p−( p+∂ p

∂ xdx )]−ρ gAdxSen α=ρ AdxU ¿

-A

∂ p∂ x

dx - ρ gAdxSen α=ρ AdxU ¿

1

ρx∂ p∂ x = -g Sen - U

¿ ............... (I)

Pero ρ = H ∂ p = ∂H

ρ =

γg


Ecuación de continuidad:

Masa : - ρ A

∂U∂ x

dxdt .......... (2)

∂ ( ρ Adx )∂ t

dt = Adx

∂ p∂ t dt + ρ dx

∂ A∂ t

dt........... (3)

Compresión del agua

∂ ρ∂ t dt =

ρε

γ∂ H∂ t

dt ........... (4)

= -

∂ pd ∀∀ =

−γ ∂ H∂∀∀ m = = 1

∂∀∀

+∂ ρρ=0

Por consiguiente : =

γ ∂ H∂ ρρ

∂ ρ= ργε

(∂ H )

∂ ρ= ργε

(∂ H )

.:

∂ ρ∂ t dt =

ρε

γ∂ H∂ t

dt (4)

ECUACIONES GENERALES DEL FLUJO EN UNA TUBERÍA CIRCULAR

ELASTICA.

Se adoptan las siguientes hipótesis:

El fluido es perfecto y ligeramente compresible

La tubería es cilíndrica y elástica.

El esfuerzo longitudinal se expresa por:

101


σ= pD2 e

2e = pD

2[ed + de] = Ddp + pdD

dσσ+ de

e=dD

D+ dp

p

dee y

dDD despreciable ,

dσσ=dp

p

d =

dpp d =

pD2 e

xdpp =

D2e

dp

E =

dσdDD

dσE=dD

D

dσE=

π (dD )π ( D ) (dD) = D

dσE

d =

D2 e

dp

Pero

A :

πD2

4

dA= πD2

dD

dD= D2

2 eExdD

∂ A∂ t

=ADeE

x∂ p∂ t

dt

( ∂ A∂ t

)dt= AD γeE

x∂H∂ t

dt ................ (5)

p = H

Luego la variación de la masa será:

102

dA =

2 πD4

xD2

2eEdp

dA = A

DEe

dp

dD = D x

D2 e

xdpE

dD =

D2

2 eExdp


ρA∂U∂ x

dxdt= ∂∂ t

( ρ Adx ) dt=Adxρε

γ∂H∂ t

dt+ ρ dxADeE

γ∂H∂ t

dt

Simplificando:

−∂U∂ x

= γε

x∂H∂ t

+γDeE

x∂ H∂ t

=γ [ 1ε+ DeE ]∂H

∂ t

−∂U∂ x

=γ [ 1ε+ D

eE ] ∂H∂ t

Si llamamos: ρ[ 1

ε+ D

eE ]= 1

c2

(6) .: −∂U∂ x

=( g

C2 )∂H∂ t

C=√ 1

ρ[ 1ε+ DeE ]

C=√ 1ρε [1+ D

ex

εE ]

C=√ ε

ρ[1+ De

xεE ]

H tx=Hox+F ( t−xc)+ f ( t+

xc)

U tx=V ox−gc [F (t−x

c )−f (t+ xc )]

103

C : Celeridad o velocidad de desplazamiento de la onda en el fluido

C0

= √ ερ , C0 = 1.422 m/seg (para el agua)


Modulo de elasticidad para algunos Materiales: (E)

Material E x 106(P.S.I.)

Acero 30

F°F° 15

Aluminio 10

Asbesto Cemento 3

Concreto 2.5

Madera 1.5

Agua 0.31 (2.07 x 104 Kg/cm2)

Algunos valores de la celeridad de la onda de presión en el agua:

C=4 ,665√ 1

[1+ εE

xDe ]

pies/seg

C=1 , 422√ 1

[1+ εE

xDe ]

m/seg

Tiempo critico de cierre : tc =

2 LC

Tc = Tiempo que tarda una onda en ir y volver

Exceso de presión : p '= ρCV en cierre instantáneo total de la

válvula

La presión en la tubería oscilara dentro del intervalo:

p=p0±p '

104


Donde la presión p0, es igual a la presión en la válvula abierta (condición inicial para flujo en

estado permanente)

p¿=63 .6 V √ 1

[1+ εE

xDe ]

(lb/pulg2) P.S.I. (V en pies/seg)

donde : V = velocidad de desplazamiento inicial.

Ó

p¿=9 ,150V √ 1

[1+ εE

xDe ]

lb/pie2 (V en pies/seg)

Cierre lento de la válvula:

El tiempo de cierre de una válvula no es realmente igual a cero, sino a un cierto periodo finito t.

La Presión del golpe de ariete aumenta gradualmente con la velocidad de cierre de la válvula.

Dependiendo de que t sea menor o mayor a tc, se establece la diferencia entre el cierre rapido y

el cierre lento.

Si t es menor que tc, la Presión de la onda de choque alcanzara su máximo valor p’. Por lo tanto,

el cierre rapido es equivalente al cierre instantáneo. Si t excede a tc, no se desarrollara

plenamente la Presión máxima p’ debido a que las ondas negativas reflejadas que llegan a la

válvula después del tiempo tc, la contrarrestaran. Para cierre lento de una válvula, la Presión

máxima de la onda se puede calcular por la expresión de Allieve:

p¿=p0 [ N2+√ N2

4+N ]

en lb/pie2

en donde: N = ( LV ρ

p0 t )2

t = Tiempo de cierre de la válvula en seg.

TcriticoTapertura

PP max

=

2 LC

t= tc

t Joukowsky (1898)

105


Tambien:

P '= ρ LVt c = sobre presión en cierre lento de una válvula tubería rígida.

El cálculo de la sobre presión depende del tiempo de cierre tc de la válvula.

Ejercicio 1 de Aplicación:

Se tiene una tubería: L = 800m. (Aproximadamente 2500 pies)

Presión estática = 130 P.S.I ( 9.1 Kg/ cm2 )

Velocidad inicial = 2.81 pie/seg. (0.85 m/seg)

Material de la tubería : asbesto – cemento

D = 6”

e = 1/8”

tiempo de cerrado : 8 segundos

E H20 = 3 x 105 P.S.I

C=4 ,665√ 1

[1+ 3 x105

3 x 106x

61/8 ]

p¿=63 .6 x 2.81√ 1

[1+ 3 x105

3 x106x

61/8 ]

Tc =

2 x 25001937 .03 = 2.58 seg

p = pmax.

2 LC

t = p máx. tc/t

106

146.9 P.S.I = 10.3 Kg/cm2

= 51.45 m

C = 1937.03 pies/seg = 590.4 m/seg


p = 146.9 x

2. 588 = 47.37 P.S.I

Presión total = Pr = 130 + 47.37 = 177.37 P.S.I.

Ejercicio 2 de Aplicación:

Se tiene una tubería de 800 m de longitud que sale de un reservorio ubicado en el nivel + 91 m,

el material de la tubería es de asbesto – cemento = 6” y espesor 1/8”, considerando que la

tubería tiene en su extremo final una válvula inicialmente abierta ¿ Calcule la sobre presión que

se origina en este dispositivo de regulación del caudal para un tiempo de cerrado de 8 seg.?

E = 3 x 106 lb/ plg2 = 0.3 x 106 lb/ plg2

1) Cálculo del flujo en el estado permanente ( P0 , V , Q )

2) Celeridad de la onda

3) P max = P’ = P

Solución:

- Aplicamos Bernoulli entre los puntos A y B

107


Z A+PA

γ+

V A2

2 g=ZB+

PB

γ+

V B2

2 g+∑ hAB

Z A+PA

γ+

V A2

2 g=ZB+

PB

γ+

V B2

2 g+∑ hAB

91=0+PB

γ+

V B2

2 g+1 .72 x106 LQ1 . 85

C1. 85 D4 . 87+0 . 5

V B2

2 g .......... (1)

1 .72 x106 LQ1 . 85

C1. 85 D4 . 87= fL

D

V B2

2 g

Vemos que el la ecuación (1) se posee dos variables que son la PB y VB, entonces sabemos que

si:

PB

γ = P atm. = 0 VB = V …………..

PB

γ 0 PB existe (Se asumirá una Q ) …………..

En este problema se tomara como el enunciado de

91=0+PB

γ+

V B2

2 g+1 .72 x106 LQ1 . 85

C1. 85 D4 . 87+0 . 5

V B2

2 g

91=0+PB

γ+

V B2

2 g+ fL

D

V B2

2 g+0. 5

V B2

2 g

Se sabe que : C=√ 8g

f = f=8g

C2

f=8 x9 . 81

1202 = 0.0055

91=0+0+V B

2

2 g+ fL

D

V B2

2 g+0 . 5

V B2

2 g

91=V B

2

2 x 9. 81+ 0 . 0055 x 800

6 (0 .0254 )(2 )(9 .81 )V B

2 +0 . 5V B

2

2g

108


91 x 2 x 9.81 = V B2

+ 28.87V B2

+ 0.5 V B2

1756.55 = 1.5V B2

V B = 7.7 m/seg 25 pie/seg

- Celeridad de la onda:

c=4665√ 1

[1+ εE

xDe ]

c=4665√ 1

[1+ 0 .31 x106

3x 106x 6} over {0 . 125 ]

c = 1911 plg/seg

- Tiempo critico de cierre:

t c=2 Lc

t c=2 x800 x3 . 281911

=2 .75 seg

¿En qué situación de cierre nos encontramos?

Cuando:

tc > tiempo de cerrado de la válvula = Rápido

tc < tiempo de cerrado de la válvula = Lento

Entonces, por dato: tiempo de cerrado de la válvula 8 seg.

t = 8 seg. > tc 0 2.75 seg. Cierre Lento

Usando Allieve :

N=( LV ρP0 . t )

Si P0 = H0 = g H0

109


N=( LV ρ

P0 t )= (800 x 7 .7

9 . 8 x 91 x8 ) = 0.86

N = 0.86

Luego hallamos la sobre presión:

P .'=γH0 [ N2+√ N2

4+N ]

P .'=1000 x (91)[ 0 .862

+√ 0 .862

4+0 .86 ]

P’ = 132.428 Kg/m2 P’ = 13.2 Kg/cm2

Considerando el cierre instantáneo de la válvula

P’ = c V = 102 Kg cm2 / m4 x 582 m/seg x 7.7 m/seg =

P’ = 457.474 Kg/m2 = 45.75 Kg / cm2

P’= 472 mca

P total = P0 + P’ = 91 + 136 = 127 mca = 22 Kg/ cm2

P total = 22 Kg/ cm2

110

II UNIDAD


FLUJO A SUPERFICIE LIBRE EN CANALES

V. FLUJO EN CANALES

Los canales se pueden clasificar según el uso final que tengan: canales para agua potable, riego,

drenaje, energía hidroeléctrica, etc. Los canales tienen la finalidad de conducir los caudales de

captación desde la obra de toma hasta el lugar de carga o distribución, de acuerdo a la

naturaleza del proyecto y en condiciones que permitan transportar los volúmenes necesarios

para cubrir la demanda.

En general, el canal de aducción en una cuenca de montaña, es la obra que requiere las mayores

inversiones comparando con las demás obras civiles de un sistema hidráulico, ya que debido a

su longitud y condiciones topográficas, los volúmenes de excavación, materiales de

construcción, etc. superan en general al resto de obras civiles (obra de toma, cámara de carga o

tanque de almacenamiento). En muchos casos el costo de inversión del canal será fundamental

para establecer la viabilidad de un proyecto.

En nuestro país, los incas fueron grandes constructores de obras hidráulicas, un ejemplo de ello

constituye la ciudadela de Machupicchu, en el que se construyeron un sistema de canales que

abastecían de agua en diferentes puntos de uso. El canal de Cumemayo, en Cajamarca es otro

ejemplo.

111

El canal Cumbemayo,

cerca de Cajamarca en

Perú, fue excavado en la

roca viva, en su primer

tramo, de un kilómetro de

distancia.


5.1 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN LA SECCIÓN DE UN CANAL

Debido a la presencia de una superficie libre y a la fricción a lo largo de las paredes del canal,

las velocidades en un canal no están uniformemente distribuidas en la sección de un canal. La

velocidad máxima medida en canales comunes, normalmente parece ocurrir debajo de la

superficie libre a una distancia de 0.05 a 0.25 de la profundidad; y cuanto más cerca de los

bancos, más profundo está el máximo.

112

El Cumbemayo, y otro

canal moderno, de

hormigón (que nace más

abajo), corren hacia el

divisorio continental del

Pacifico

by


La distribución de la velocidad en una sección del canal depende también de otros factores, tales

como forma poco común de la sección, la rugosidad del canal y la presencia de codos o curvas.

El escurrimiento en un canal recto prismático es en efecto tridimensional, manifestando un

movimiento espiral, aunque la componente de velocidad en la sección transversal del canal es

normalmente pequeña e insignificante comprobada con las componentes de la velocidad

longitudinal.

ISOTACAS: Curvas de igual velocidad.

Q = A V = ∑i=1

n

Ai V i

V = QA

=∑ Ai V i

∑i=1

n

A i

La distribución de velocidades es variable, debido a las irregularidades del lecho del río.

- En canales de gran anchura: RH = y (cuando el ancho del canal es mayor que 10 veces el

tirante)

A = by

P = b + 2y

“y” es pequeño y/b 0

Luego: RH = y (b >> y = 10y)

Según U.S. Geological Survey:

V =V 0. 2 y + V 0 .8 y

2

ENERGÍA ESPECÍFICA EN UN CANAL.

T

Tdy =dA

d

113

S0

Sw

L.E.

N.R.

La sección se divide en varios tramos y de

determinan las velocidades a 0.60y (e = 3%).

Mayor precisión cuando V es a 0.2y 0.8y

y

dy

d2Cos

Vo2/2g

hf1-2

Z2

1

2

RH=by

b+2 y= y

1+2 y /b


H = Z + d Cos θ + αV 2

2 g ; = 0°

H = Z + d + αV 2

2 g ; Pero d = y (canales de poca pendiente)

Si el N.R. es la superficie del canal:

Para Q = cte. E = y + α

V 2

2 g Energía Especifica

H = E + Z

A = f(y)

E = (y)

E = y + α

V 2

2 g y = 0 E = α

Q2

2 gA2

Cuando

E = y + α

Q2

2 gA2y = E =

Valores máximos, se obtienen derivando:

dEdy

= ddy

( y + αQ2

2 gA2)

dEdy

= ddy

( y + αQ2 A−2

2 g)

dEdy

=1− αQ2

gA3

dAdy Pero:

dAdy

=T

dEdy

=1− αQ2

gA3T = 0

1 = αQ2 TgA 3

, Q2

g= A3

αT

También: V = Q/A , D = A/T

1 = αQ2

gA2( AT )

= αQ2

gA2 D= αV 2

gD

1 = αV 2

gD= F2

F = 1 y = yc

114


dEdy

=1− αQ2TgA3

= 1 + F2

F < 1 , Flujo Subcrítico

1 – F2

F > 1 , Flujo Supercrítico

y

y1

yc

y2

Emin E E

Para una energía E (la recta corta la curva en dos puntos)

y1 y2 Satisfacen la ecuación

y1 y2 Tirantes alternos

5.2 FLUJO CRÍTICO EN UN CANAL

El estado crítico del flujo través de una sección del canal se caracteriza por varias condiciones

importantes ellas son:

1.- La energía específica es un mínimo para una descarga dada.

2.- La descarga es un mínimo para una energía específica dada.

3.- La fuerza especifica es un mínimo para una descarga dad.

4.- La altura de velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica en un canal de

pendiente pequeña.

5.- El número de Froude es igual a la unidad.

6.- La velocidad del flujo en un canal de pendiente pequeña con distribución uniforme de

velocidad es igual a la celeridad de pequeñas ondas de gravedad en aguas bajas ocasionada por

disturbios locales.

Caudal o Gasto Crítico:

115

dE dy

dEdy

Q = cte


Es el caudal máximo para una energía específica determinada, o el caudal que se producirá con

la energía especifica mínima.

Tirante critico:

Es el tirante hidráulico que existe cuando el caudal es el máximo para una energía específica

determinada, o el tirante al que ocurre un caudal determinado con la energía especifica mínima.

Velocidad critica:

La velocidad media cuando el caudal es el crítico.

Pendiente critica:

Es el valor particular de la pendiente del fondo del canal para lo cual este conduce un caudal Q

en régimen uniforme y con energía especifica mínima, o sea, que en todas sus secciones se tiene

el tirante crítico.

Régimen subcrítico:

Son las condiciones hidráulicas en los que los tirantes son mayores que los críticos, las

velocidades menores que las críticas y los números de Froude menores que 1. Es un régimen

lento, tranquilo, fluvial, adecuado para canales principales o de navegación.

Régimen supercrítico:

Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son menores que los críticos, las

velocidades mayores que las críticas y los números de Froude mayores que 1. Es un régimen

rápido, torrencial, pero perfectamente estable, puede usarse en canales revestidos.

Los tipos de flujo están claramente representados en la curva de energía específica.

116


En la figura, la zona superior de la curva de energía especifica corresponde al flujo subcrítico

(Y2> Yc) y la inferior al flujo supercrítico (Y1>Yc).

El número de Froude F=V/√gy, es una especie de indicador universal en la caracterización del

flujo de superficie libre. La condición de flujo supercrítico se produce cuando F>1, flujo

subcrítico para F<1 y crítico para F=1.

En flujo subcrítico una perturbación puede moverse hacia aguas arriba, esto significa en

términos prácticos, que mecanismos o condiciones de control tales como una compuerta o una

caída influyen sobre las condiciones de flujo aguas arriba del control; por ello se afirma que el

flujo subcrítico está controlado por las condiciones de aguas abajo. Por otra parte, en flujo

supercrítico una perturbación solo puede viajar hacia aguas abajo; estableciendo los posibles

controles únicamente del lado de aguas arriba.

a) Por medio de los tirantes:

si y<yc flujo supercrítico o rápido.

si y=yc flujo crítico.

si y>yc flujo subcrítico o lento

b) Por medio de la pendiente de fondo (Sf):

si Sf<Sc flujo supercrítico o rápido.

si Sf=Sc flujo crítico.

si Sf>Sc flujo subcrítico o lento

c) Por medio del número de Froude:

si F<1 flujo supercrítico o rápido.

si F=1 flujo crítico.

si F>1 flujo subcrítico o lento

d) Por medio de las velocidades medias:

si V<Vc flujo supercrítico o rápido.

si V=Vc flujo crítico.

si V>Vc flujo subcrítico o lento

Ecuación del Régimen Critico:

Q2

g= A3

αT

αV 2

2 g= D

2

El estado crítico no solo proporciona la energía específica mínima para un caudal dado, sino

también el caudal máximo para una energía especifica dada. Para este último caso la energía

117


especifica mínima E, es la mínima con la cual puede pasar el caudal máximo a través de la

sección.

ECUACIÓN ADIMENSIONAL DE LA ENERGÍA ESPECÍFICA PARA UN CANAL

RECTANGULAR.

E = y + α

V 2

2 g

E = y + α

Q2

2 gA2

Eyc

= yyc

+

αQ2

2gA2

yc

F = 1

αQ2

g= A3

T=

b3 yc3

b= b2 yc

3

Flujo Crítico

Eyc

= yyc

+

b2 yc2

2b2 y2

yc

Eyc

= yyc

+ 12(

yc

y)2

Si

yyc

= x

Eyc

= x + 1

2 x2

x

T = b

y

Q = AV = Vby

Q/b = q = vy

1

E/yc E/yc

118

Q = cte


- Canal Rectangular de Sección Variable:

H = E = y + αV 2

2 g

H = y + αQ2

2 gA2

H = y + αQ2

2 gb2 y2 q = y √ 2 gα

(H − y )

H = y + αq2

2 gy2

q = φ( y )H = cte

q = y √ 2 gα

(H − y ) , E = cte, Q = (y)

dqdy

= √ 2 gα

(E − y )+ y x12

−2g /α

√ 2 gα

(E − y )= 0

2 gα

(E − y ) − gyα

= 0 ⇒ 2 g Eα

= 3 g yα

E = 32

yc ó

yc = 23

E

Para: F = 1

E = y + αV 2

2 g

E = y + αQ2

2 gA2

Pero: A = by (canal rectangular)

Q/b = q

E = y + αQ2

2 gb2 y2

E = y + αq2

2 gy2

q = y √ 2 gα

(E− y )

E = cte. q = f(y)

119

q qmax

yc

y

q

H - y

q

H - y

E

Súper crítico

Sub crítico

q qmax

y1

y

q

Súper crítico

Sub crítico

yc

y2

∴ q2 = 2 gy2

α(H − y )


dqdy

= y x12

(−2 g /α )√2g /α (E− y )

+ √2 g/ α(E− y ) = 0

-

gyα

+ 2 gα

(E− y ) = 0 2E = + 3y

E=3

2yc

oyc=

23

E

Para: F = 1

5.3 FLUJO UNIFORME EN CANALES

CONDICIONES NORMALES

Los aspectos teóricos más importantes del flujo uniforme en canales ha sido ya presentados en

los capítulos I y II. Ahora, en este capítulo V, se expone esencialmente el cálculo de canales. Es

decir, el dimensionamiento de la sección transversal para conducir un gasto en determinadas

condiciones.

Supongamos que en un canal escurre libremente un canal Q. El movimiento es permanente y

uniforme. La profundidad del agua (tirante está determinada por la pendiente, la rugosidad, a

forma de la seca transversal y por el caudal Q, que según hemos dicho antes se supone que es

constante. El tirante con el que escurre el agua (o cualquier otro fluido) en estas condiciones se

llama tirante normal. El tirante normal es, pues, el que caracteriza al movimiento permanente y

uniforme. Si el movimiento fuera, por ejemplo, gradualmente variado habría para cada sección

un tirante diferente del normal (mayor o menor según el caso).

En el capítulo II hemos establecido la ecuación general para el cálculo de la velocidad media en

un conducto.

V = C √R S

V es la velocidad media, C el coeficiente de Chezy, R el radio hidráulico, S la pendiente.

Esta ecuación corresponde a una sección determinada cuya radio hidráulico R implica un tirante

“y” que es el tirante normal. Esta ecuación llamada de Chezy fue establecida mediante

consideraciones teóricas basadas en las ecuaciones de Karman – Prandil esencial en esta

ecuación es que el coeficiente C Chezy tiene estructura que es función de las características del

escurrimiento y la naturaleza de las paredes. La expresión general del coeficiente es:

C = 18 log

6 Rk2+

67

120


R es el radio hidráulico, K la rugosidad absoluta, δ el espesor de subcapa laminar. Según los

valores relativos de k y de δ , el contorno puede considerarse hidráulicamente liso o

hidráulicamente rugoso. E es la forma presentada por Thijsse. La ecuación de Chezy resulta ser

entonces.

C = 18 log

6 Rkδ+

δ7

√RS

VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA k

Tubos muy lisos sin costura (vidrio,

cobre, acera nuevo con super-

ficie pintada, plástico, etc). 1.5 x 10-6m

Fierro forjado 4.5 x 10-5

Acero rolado, nuevo 5 x 10-5

Acero laminado, nuevo 4 x 10-5 10-4

Fierro fundido, nuevo 2.5 x 10-4

Fierro galvanizado 1.5 x 10-4

Fierro fundido, asfaltado 1.2 x 10-4

Fierro fundido, oxidado 10-3 1.5 x 10-3

Acero remachado 0.9 x 10-4 0.9 x 10-3

Cemento enlucido 4 x 10-4

Asbesto cemento, nuevo 2.5 x 10-5

Concreto centrifugado, nuevo 1.6 x 10-4

Concreto muy bien terminado, a mano 10-5

Concreto liso 2 x 10-4 3 x 10-4

Concreto bien acabado, usada 2 x 10-4 3 x 10-4

Concreto sin acabado especial 10-3 3 x 10-3

Concreto rugoso 10-2

Duelas de madera 1.8 x 10-4 9 x 10-4

Piedra asentada y bien lisa 5 x 10-4

Revestimiento de piedra 2 x 10-3

Grava 10-2

Piedra pequeña 2 x 10-2

Piedra grande 5 x 10-2

Roca 0.1

Tierra (lisa) 3 x 10-3

Fondo con transporte de arena 10-2 5 x 10-2

Acequia con vegetación 0.1

121


NOTA.- Téngase presente que el valor de k señalando para los contornos muy rugosos (roca,

fondo de arena, etc) es absolutamente referencial y sujeta a grandes variaciones según

las circunstancias de cada caso particular.

El gasto se obtiene inmediatamente a partir de la ecuación de continuidad.

La velocidad media puede expresarse también por medio de la ecuación de Colebrook y White,

estudiada en el capítulo III:

V = -2 √8 g - √√RS log [ k14 . 8 R

+ 2. 514 √8 g R√RS ]

Esta ecuación es equivalente a la de Chezy.

Como en muchos casos el canal es hidráulicamente rugoso las ecuaciones 6 – 3 ó 6 pueden

fácilmente reducirse a este caso particular.

Fórmulas antiguas del Flujo Uniforme

Desde el siglo XVIII se conocía la ecuación de Chezy (6-1), pero se ignoraba la raleza y

estructura del coeficiente C.

La fórmula se originó en 1,768 cuando Chezy recibió el encargo de diseñar un canal para el

suministro de agua a París.

Hubo una larga época en la que se creyó que el coeficiente C era constante e igual 50, para

cualquier río.

Examinaremos brevemente algunas de las numerosas fórmulas de origen experimental en el

pasado se estableciera para el coeficiente C.

Las fórmulas que presentaremos a continuación son las de Ganguillet – Kutter, Kutt y Bazin.

Las tres fórmulas se caracterizan por corresponder a la siguiente expresión genérica.

C =

X

1 +Y

√R

Los valores de X e Y corresponden a cada fórmula particular. R es el radio hidráulico. C es el

coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy.

a) Fórmula de Ganguiller – Kutter

122


La fórmula, establecida en 1, 869 por los ingenieros suizos El Ganguiller y W. R. se basó en

numerosas mediciones, incluyendo el río Mississippi. Durante muchos contuvo bastante

extendido el uso de esta fórmula. Su expresión es:

C =

23 + 1n+ 0 . 00155

5

1 + (23 +0 .00155

S ) m

√R

C es la coeficiente de Ganguiller – Kutter a usarse en la fórmula de Chezy, S es la pendiente, R

es la radio hidráulica y N un coeficiente de rugosidad (de Kutter).

Conviene observar algunas particularidades de esta fórmula. Si la radio hidráulica es igual a 1

entonces C resulta ser independiente de la pendiente y la fórmula se reduce a:

C = 1 / n

Según señala King la pendiente S fue introducida en la fórmula de Ganguillet – Kurter para

lograr concordancia con las mediciones efectuadas por Humphreys y Abbotten el río

Mississippi. Sin embargo, parecía que los errores (10 a 15%) que tuvieron esas mediciones

orientaron erróneamente a Ganguillet y Kurter. Algunos piensan que si no se hubiera

introducido la influencia de la pendiente, los resultados de la fórmula serían más precisos.

La fórmula en el sistema de unidades inglesas es:

C =

41 . 65 + 0 .00281S

+ 1 . 811n

1 + (41 .65 +0. 00281

S ) n

√R

b) Fórmula de Kutter

Para pendientes mayores que 0.0005 (1/2,000) la fórmula de Ganguillet – Kurter tiene una

forma particular establecido por Kurter :

C =

100 √Rm√R

Los valores del coeficiente de rugosidad m son diferentes de los valores de n (Kurter). R es la

radio hidráulica. C es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy. Los valores de m

aparecen en tablas.

c) Fórmula de Bazin

123


Esta fórmula fue establecida por Bazin en 1 897:

C =

87

1 +G

√R

C es el coeficiente de Chezy, R el radio hidráulico, y G el coeficiente de rugosidad de Bazin.

VALORES DEL COEFICIENTE n DE KUTTER QUE GENERALMENTE SE USA EN LOS

DISEÑOS

Superficie metálica, liso, sin pintar 0.012

Superficie metálica, lisa, pintada 0.013

Superficie metálica, corrugada 0.025

Cemento liso 0.011

Mortero de cemento 0.013

Madera cepillada 0.012

Madera sin cepillar 0.013

Tablones sin cepillar 0.014

Concreto liso 0.013

Concreto bien acabado, usado 0.014

Concreto liso 0.013

Concreto frotachado 0.015

Concreto sin terminar 0.017

Gunita (sección bien terminada) 0.019

Gunita (sección ondulada) 0.022

Superficie asfáltica lisa 0.013

Superficie asfáltica rugosa 0.016

Tierra, limpia, sección nueva 0.018

Tierra, limpia, sección antigua 0.022

Tierra gravosa 0.025

Tierra, con poca vegetación 0.027

Tierra, con vegetación 0.035

Tierra, con piedras 0.035

Tierra, con pedrones 0.040

Para secciones circulares (trabajando como canal)

Metal liso 0.010

Acero soldado 0.012

Acero riveteado

124


VALORES DEL COEFICIENTE m DE RUGOSIDAD A USARSE EN LA FÓRMULA DE KUTTER

PARA PENDIENTES MAYORES QUE 0.0005

CATEGORÍA FORMA DESCRIPCION m

I

II

SEMICIRCULAR Superficie muy lisa. Cemento muy pulido

Superficie bastante lisa. Madera cepillada

0.12

0.15

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

RECTANGULAR

Y

OTROS

Superficie bien terminada

Superficie usada. Tuberías de abastecimiento de

agua con mucho tiempo de servicio, pero sin grandes

incrustaciones.

Piedra labrada bien acabada

Piedra no bien terminada, usada.

Piedra rustica, fondo con poco lodo.

Piedra mal terminada, fondo fangoso.

Piedra antigua, sin vegetación fangoso

0.20

0.25

0.30

0.35

0.45

0.55

0.75

1.00

Xa

Xb

X1a

X1b

XII

TRAPEZOIDAL

Fondo rocoso. Ancho inferior a 1.50m. Poca

vegetación

Sección definida, en tierra sin vegetación

En tierra con fondo pedregoso o fangoso. Poca

vegetación. Ancho superior a 2m (corresponde a

algunos arroyos y ríos)

En tierra o piedra, lecho fangoso, con vegetación

abundante(corresponde a algunos arroyos y ríos)

En tierra con vegetación muy abundante. Con mal

mantenimiento, lecho fangoso, arrastre de material

de fondo.

1.25

1.50

1.75

2.00

2.50

Los valores del coeficiente G aparecen en la tabla determinada por el autor de la fórmula

VALORES DEL COEFICIENTE G DE RUGOSIDAD A UTILIZARSE EN LA FÓRMULA

DE BAZIN

Categoría Descripción G

1 Contorno muy liso, perfectamente ejecutad, Plancha metálica

Cemento liso, madera muy cepillada

0.66

2 Contornos lisos. Concreto bien acabado 0.16

3 Concreto sin pulir. Albañilería de piedra bien terminada 0.46

4 Canales en tierra, sin vegetación 0.85

5 Canales en tierra con hierbas. Ríos de cauce irregular, sin

vegetación.

1.30

6 Canales en tierra con vegetación. Fondo de cantos rodados. Canales

en tierra muy erosionados e irregulares

1.75

125


Además de las tres fórmulas acá presentadas ha habido desde fines del siglo pasado una

cantidad enorme de ellas. Solo a título ilustrativo podríamos mencionar los siguientes.

Knauff, quien en realidad presentó un conjunto de fórmulas, cada una de las cuales se aplica

según la forma de la sección y la naturaleza de las paredes. Utilizó el concepto de rugosidad de

Kutter.

Siedek publicó en Viena en 1901 “una nueva fórmula para el cálculo de canales” que es en

realidad bastante complicada. Al igual que muchas de las fórmulas de esta época está basada en

modificaciones de las ideas de Kutter y Bazín.

Lindboe publicó en 1910 una “nueva fórmula” para el cálculo de la velocidad media en

corrientes naturales.

Matakiewiz publicó en 1910 otra nueva fórmula para cursos naturales (ríos).

Hay muchos otros más como la de Christen (1913), Forchheimer (1915), Groeger (1914),

Scobey, etc.

Fórmula de Manning

Es la fórmula cuyo uso se halla más extendido en la actualidad. Proviene de considerar que en la

fórmula de Chezy el coeficiente C es:

C = R 1/6

n

De donde al sustituir, se obtiene:

V = R 2/3 S 1/2

n

Y el gasto es: Q = AR 2/3 S 1/2

n

Los valores del coeficiente de rugosidad son los de Kutter, los mismos que se utilizan en la

fórmula de Ganguillet – Kutter.

Se observa que las dimensiones de n son TL -1/3. En consecuencia al tener n unidades debería

cambiar de un sistema de unidades a otro, sin embargo desde el principio se impusieron los

valores de n determinados por Kutter (sistema métrico decimal) y se halló una solución práctica

que consiste en considerar o n como adimensional e incorporar en la ecuación de Manning en

unidades inglesas, un factor de corrección que es parte de la fórmula.

Así se tiene, que en el sistema de unidades inglesas la ecuación de Manning es:

V = 1.486 R2/3S1/2

126


n

Las unidades de 1.486 son ft1/3/sec. (1486 = 3.28081/3). En el sistema métrico decimal la

constante vale 1 y sus unidades son m1/3/s.

Dado el carácter empírico de la fórmula de Manning debe esperarse que su Vallrouse, en su

“Hidráulica” señala que: “la fórmula de Manning es aceptable para valores intermedios de la

rugosidad relativa. Tampoco hay que olvidar que una expresión de este tipo no puede englobar

la acción de la viscosidad. Es, pues, de suponer que su poca exactitud disminuya con números

de Reynolds bajos”

V = k R2/3S1/2

Siendo: K = 1

n

La ecuación de Strickler se conoce frecuentemente en los libros técnicos franceses con el

nombre de fórmula de Gauckerl, quien fue un ingeniero que en 1868 publicó en “Annales des

Ponts et Choussees” la fórmula en cuestión, la misma que en 1891 fue atribuida en su forma

actual al irlandés Manning.

Algunos autores soviéticos consideran que en lugar de la fórmula Manning, debería usarse otra

similar, pero con exponente variable. En 1925 Pavlovski presentó la expresión siguiente:

C = R y

n

Siendo:

Y = 2.5 √n - 0.13 – 0.75 √R (√n - 0.10)

C es el coeficiente de Chezy en unidades métricas. Esta fórmula es válida para radios

hidráulicas comprendidos entre 0.1 m y 3 m y para valores de n comprendidos entre 0.011 y

0.040.

La ecuación se puede simplificar para fines prácticos, con las siguientes ecuaciones.

Para k < 1 m , y = 1.5√n

Para R > 1 m, y = 1.3√n

Para el cálculo de un canal, o sea para el dimensionamiento de la sección transversal, deberá

tomarse en cuenta todos los factores que afectan al coeficiente n de Kutter, los mismos que

serán analizados más adelante.

Ejemplo 1:

127


Se tiene un canal rectangular de10 m. de ancho y 3 m. de tirante que conduce de agua. La

superficie es de concreto, bien acabado, pero con varios años de uso. La pendiente es 0.0008.

Calcular el gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet – Kutter, Kutter, Bazin, Manning y

Chezy. Comparar los resultados. (T = 20° C)

Solución:

En primer lugar se calcula el radio hidráulico que resulta:

R = 1.875 m

a) Fórmula de Ganguillet – Kutter. La descripción del contorno corresponde a n =

0.014. entonces,

C =

23 + 10 .014

:0. 001550. 0008

1 : (23 :0 .001550 . 0008 ) 0 . 014

√1 . 875

= 77 m1/2/ s

De donde:

V = C √RS = 2.98m/s

Q = A V = 89.4m/s

b) Fórmula de kutter (5 > 0.0005). la descripción del contorno corresponde a m = 0.25

C =

100 √1. 8750 .25 : √1 .875

= 851/2/ s

De donde:

V = 3.29 m/s

Q = 98 m/s

c) Fórmula de Bazin. La descripción del contorno corresponde a C = 0.18

C =

87

1 :0.16

√1. 875

= 78 m1/2/ s

De donde:

V = 3.02 m/s

Q = 90.6m/s

d) Fórmula de Chezy. La descripción del contorno corresponde a K = 3 x 10-4m

V = 0.121 m/s δ = 0.000096m

V kV = 36 (transición) C = 87 m1/2/s

Por lo tanto:

128


V = 3.37 m/s

Q = 101.1m3/s

e) Fórmula de Manning (n = 0.014)

V = R 2/3 S 1/2 = 3.07 m/s

n

Q = 92.1 m3/s

Corresponde a un valor de C igual a 79 m1/2/s que se obtiene aplicando la comparación de los

resultados:

FORMULA C V m/s Q m3/s

Ganguiller –

Kutter

Kutter

Bazin

Chezy

Manning

77

85

78

87

79

2.98

3.29

3.02

3.37

3.07

89.4

98.7

90.6

101.1

92.1

Promedio 81 3.15 94.4

Ejemplo 2:

¿Cuáles serían los valores del gasto en el canal del ejemplo anterior según las mismas fórmulas

y considerando que el canal fuera de tierra con fondo pedregoso, en buen estado. Comparar los

resultados de ambos ejemplos?

Solución:

a) Ganguillet – Kutter

n = 0.025

C = 45 m1/2/s

V = 1.74 m/s

Q = 52.2 m3/s

b) Kutter

m = 1.75

C = 44 m1/2/s

V = 1.70 m/s

Q = 51 m3/s

c) Bazin

G = 1.3

129


C = 45 m1/2/s

V = 1.74 m/s

Q = 52.2 m3/s

d) Chezy

k = 5 x 10-2m

C = 48 m1/2/s

V = 1.86 m/s

Q = 55.8 m3/s

e) Manning

n = 0.025

V = 1.72 m/s

Q = 51.6 m3/s

Comparación de los gastos calculados (m3/s)

Fórmula Concreto bien acabado varios años de

uso

En tierra con fondo pedregoso, buen

estado

Ganguiller –

Kutter

Kutter

Bazin

Chezy

Manning

89.4

98.7

90.6

101.1

92.1

52.2

51

52.2

55.8

51.6

De este ejemplo obtenemos algunas conclusiones importantes.

En primer lugar las diversas fórmulas no dan una gran dispersión en los resultados. En segundo

lugar, y esto es muy importante, la velocidad está fuertemente influenciado por a naturaleza del

contorno. En el diseño de un canal una de primerísima importancia la correcta estimación de la

rugosidad de las paredes.

Vemos la importancia que tiene el revestimiento. Al obtenerse una superficie más lisa se logra

disminuir el tamaño de la sección transversal y mayor capacidad de conducción.

Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a a emplearse en la fórmula de

Manning

Básicamente se presentan dos problemas de naturaleza diferente:

a) Dado un curso de agua existente calcular el gasto Q que escurre, aplicar la fórmula de

Manning. Para ello se requiere estimar el valor de n que corresponde al cauce.

130


b) Dado un problema de diseño hay que considerar para la superficie (revestimiento) que

va a tener el canal, cual es el valor de n que se le asigna.

Las tablas consideran los valores usuales del coeficiente n para condiciones que podríamos

llamar normales. En realidad estas condiciones no son normales sino todo lo contrario. Son

excepcionales, pues lo natural es que un canal tenga uno o varios de los problemas que a

continuación se señalan y que modifiquen el valor original que podía haberse asignado a n.

El coeficiente n depende, pues, esencial, pero no exclusivamente de la aspereza de la superficie.

a) Curvas .- No es correcto considerar el coeficiente de rugosidad, que estrictamente es un

coeficiente de resistencia, como independiente del alineamiento del canal. La presencia

de curvas aumenta la resistencia. Especialmente si estas son numerosas y de pequeño

radio de curvatura.

b) Vegetación .- Es particularmente importante en canales pequeños. Su crecimiento

puede alterar esencialmente los valores supuestos en base únicamente a la rugosidad.

Es frecuente en canales en tierra. Su crecimiento desmedido puede dar lugar fácilmente

a aumentos del orden del 50% en el valor de n.

c) Irregularidades .- los canales en tierra se caracterizan por no tener una sección

transversal invariable. Las pequeñas irregularidades que pueden ocurrir como

consecuencia de bancos, depósitos de sedimentos, etc. alteran el valor de la rugosidad

supuesta.

Esto se agrava cuando el canal tiene transporte sólido, que motiva una configuración

variable del lecho.

Simons, da los siguientes valores para lechos de fondo móvil, sin vegetación y

constituidos por partículas cuyo diámetro es inferior a 1 mm.

Flujo subcrítico (F < 1) Valores de n

Fondo plano 0.014 – 0.020

Rizos 0.018 – 0.030

Dunas 0.020 – 0.040

Transición 0.014 – 0.025

Fondo plano 0.010 – 0.013

Flujo supercrítico (F > 1)

Ondas estacionarias 0.010 – 0.015

Antidunas 0.012 – 0.020

131


Se observa pues, que al aumentar notablemente la velocidad y pasar de un fondo plano

a rizos y dunas, el coeficiente n aumenta. Luego de una transición, y siempre para

velocidad creciente, aparece nuevamente un fondo plano con la consiguiente

disminución del coeficiente n de Manning.

Para el río Luznice, se observó que la formación de rizos determinó que el coeficiente

n de Manning pasará de 0.0165 a 0.0334.

d) Tirante .- En general al aumentar el tirante se tendrá, de acuerdo a la teoría, que la

rugosidad relativa disminuye y por lo tanto también debe desminuir el coeficiente n.

Cowan determinó que el valor de n a considerarse en los cálculos debería tomar en cuenta

los factores anteriormente señalados según la ecuación siguiente:

n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) m5

Dónde:

n0 el valor básico que depende de la rugosidad

n1 es un valor adicional para tomar en cuenta las irregularidades.

n2 es un valor adicional para tomar en cuenta las variaciones en la forma y tamaño

de la sección transversal.

n3 es para tomar en cuenta las obstrucciones

n4 es para tomar en cuenta la vegetación

m5 es un factor para tomar en cuenta los meandros.

Al respecto en el libro de Ven Te Chow se muestra la tabla siguiente:

TABLA DE COWAN PARA DETERMINAR LA INFLUENCIA DE DIVERSOS FACTORES

SOBRE EL COEFICIENTE n

Superficie del Canal Tierra

no

0.020

Roca 0.025

Grava fina 0.024

Grava gruesa 0.028

Irregularidad Suave

n1

0.000

Menor 0.005

Moderada 0.010

Severa 0.020

Variación de la sección Gradual

n2

0.000

Ocasional 0.005

Frecuente 0.010 -0.015

Efecto de la Obstrucción Despreciable 0.000

132


n3

Menor 0.010- 0.015

Apreciable 0.020- 0.030

Severa 0.040- 0.050

Vegetación Bajo

n4

0.005- 0.010

Medio 0.010- 0.025

Alto 0.025- 0.050

Muy alto 0.005 - 0.1

Intensidad de Meandros Menor

n5

1.000

Apreciable 1.150

Severo 1.300

Determinación de la sección transversal

En el cálculo de la sección de un canal debe partirse del hecho que, desde el punto de

vista hidráulico, hay en principio un número infinito de soluciones: es el caso de un

canal que va a ser construida. El gasto o caudal está dado por las condiciones de diseño.

No proviene de un cálculo hidráulico, sino de la función del canal, de la naturaleza del

servicio que presta y por cierto del análisis que se ha hecho de las disponibilidades de

agua. El caudal de diseño Q es un dato impuesto al que debe adecuarse al cálculo de la

sección.

Un canal puede servir para abastecer de agua a una ciudad, servir a una irrigación, a una central

hidroeléctrica a tener un uso múltiple.

Para transportar un gasto Q podemos, dentro de las limitaciones topográficas, adoptar una

determinada pendiente compatible con la naturaleza del revestimiento, que escogeremos en

función de varios factores: costo, seguridad, disponibilidad de materiales, etc. En esas

condiciones podemos diseñar diversas secciones transversales: rectangular, trapezoidal,

semicircular u otra sección.

Analicemos con un poco más de detenimiento cuales son los factores limitantes para el diseño.

Es muy difícil que un canal conduzca siempre agua totalmente libre de partículas sólidas

(sedimentos). Debemos admitir, pues, que en la mayor parte de los casos el agua contendrá

partículas en suspensión (arenas, limas, arcillas) de diferentes diámetro.

Si la velocidad del canal es pequeño hay posibilidad que estas partículas sedimenten formando

bancos o depósitos. Dado que la sección transversal se caracteriza por tener una distribución de

velocidades, hay zonas en las que la velocidad es notablemente menor que la velocidad media.

133


Sin embargo, se considera que, por lo menos en primera aproximación, la velocidad media es un

parámetro útil para examinar la posibilidad de sedimentación. Cada partícula sólida se mantiene

en suspensión en función de la relación que existe entre su velocidad de caída w y la velocidad

y de la corriente.

Valores altos de esta relación indican tendencia a la sedimentación y al depósito. Las partículas

actúan como proyectiles y si la velocidad es alta pueden destruir el revestimiento.

Según la naturaleza de las paredes hay tablas que dan las velocidades límites.

La velocidad ideal es aquellos que para las características del agua y del revestimiento no

produce erosión no sedimentación y da lugar a un caso mínimo de construcción.

El talud de la sección depende de la naturaleza del terreno. Desde el punto de vista puramente

hidráulico se puede lograr los mismos resultados con un canal de cualquier forma.

Los taludes que generalmente se recomiendan son los siguientes:

(En seco)

Material Talud z

Roca dura y sana 0

Roca fisurada 0.5

Suelos cementados, firmes 1

Tierra arcillosa 1.25

Tierra arenosa 1.5

Arena 2.6 más

Los valores consignados en esa tabla deben considerarse meramente referenciales. Siempre

consideramos 1 vertical y z horizontal.

Q = AR 2/3 S 1/2

134

wv

w

v

z

1


n

de donde, AR2/3 = Qn

S1/2

El miembro de la izquierda describe la geometría de la sección transversal. El valor AR 2/3 en la

mayor parte de los casos crece al aumentar el tirante. Para un valor del gasto y una rugosidad y

pendiente dadas hay un valor de AR2/3 que corresponde al tirante normal.

Para realizar un buen diseño debemos tener una idea clara de cómo varía el gasto con el tirante.

Q = f (y)

Caudal de diseño

Empezaremos por analizar el caso en el que hay una condición impuesta. Esta puede ser el

ancho en la base o el tirante. Si ninguna de estas dos condiciones es impuesta entonces tenemos

mayor libertad para escoger la sección transversal.

CASO A

Se conoce el ancho b en la base

Los datos son:

b ancho en la base

Q gasto

S pendiente

z talud

n rugosidad

La incógnita es el tirante y.

Este caso se presenta con alguna frecuencia dado que por razones constructivas se puede

requerir un ancho determinado.

Para la solución de este caso Ven Te Chow ha preparado un gráfico al que se entra con los

valores de AR2/3/b8/3 y se obtiene el valor de y/b, para cada talud. Actualmente el uso del

computador y las técnicas de solución numérica por aproximación de las ecuaciones del flujo,

facilitan los cálculos hidráulicos.

Ejemplo 3.

135

Q

y


Se tiene un canal trapezoidal revestido en tierra en regulares condiciones. El ancho en la base es

de 4 m. El talud de 45°. La longitud del canal entre los puntos A y B es 835.8 m. (ambas cotas

estas medidas en la superficie libre). El gasto es de 8 m3/s. Calcular el tirante normal.

Solución:

Q = 8m3/s

b = 4 m

z = 1

S = 0.0007

n = 0.02

AR2/3 = Qn = 6.047 AR 2/3 = 0.15

S1/2 b8/3

Mediante el empleo del grafico adimensional en el libro de Ven Te Chow correspondiente, se

obtiene el tirante de flujo en el canal:

y = 1.26 m

Aplicando las ecuaciones estudiadas se obtiene las expresiones siguientes:

A = (b + zy) y

P = b + 2y √1+z2

R =

(b : zy ) y

b+2 y √1+z2

Q = (b+zy)y

[ (b+ zy ) y

b+2 y √1+z2

Q ]2/3

S1/2

Reemplazando los datos del ejemplo se tiene:

A = (4 + y)y

P = 4 + 2 √2y

136

1

z

y

b


R =

(4+ y ) y4+2√2 y

(4+y)y

[ 4+ y ) y4+2√2 y ]

2/3

(0 . 0007 )1/2

0.02= Q

Tenemos así una ecuación con una incógnita, que puede ser resuelta por el método de tanteos.

1323(4+y)y [ (4+ y ) y

4+2√2 y ]2 /3

= Q

Dando valores al tirante y se obtiene lo siguiente:

Y (mts) Q m3/seg

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

4.48

5.37

6.34

7.37

8.48

9.66

10.92

(y = 1.257 mts ; Q = 8 m3/seg)

CASO B.

Se conoce el tirante y

Los datos son:

y tirante

Q gasto

S pendiente

z talud

n rugosidad

La incógnita es el ancho en la base

Este caso se presenta cuando por razones de servicio se requiere un tirante determinado.

137

Q=8m3/s

Y=1.26 m


Para la solución de este caso se puede recurrir al método de tanteos descrito anteriormente.

Evidentemente que con una pequeña calculadora programable se resuelve muy fácilmente la

ecuación de Manning en cualquier caso y se halla la curva gasto – tirante.

CASO C.

Se desconoce los valores de b e y

En este caso se pueden escoger libremente los valores del ancho en la base y el tirante. Se

vuelve usar entonces el concepto de máximo eficiencia hidráulica que se estudiará a

continuación.

Sección de máxima eficiencia hidráulica

Como se ha visto anteriormente hay muchas secciones transversales que satisface las ecuaciones

del flujo en canales. Como normalmente los datos son Q, n, z y S, hay muchas combinaciones

de b e y, que satisfacen la fórmula de Manning.

Anteriormente hemos visto los casos en los que hay una condición impuestos: por ejemplo el

ancho en la base. Entonces se calcula el tirante que satisface la condición hidráulica. O bien al

contrario.

También puede darse el caso que haya libertad para escoger los valores del ancho en la base y el

tirante.

En estos casos puede buscarse la sección de máxima eficiencia hidráulica o el de minima

infiltración, según corresponda

Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la misma área,

pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. O bien, es aquella que para el

mismo gasto, pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima.

La sección de M. E. H. se puede interpretar a la luz de la fórmula de Manning:

Q = AR 2/3 S 1/2

n

Luego, A5/3 = Qn P2/3

S1/2

A = [ Qn

S1 /2 ]3/5

P2/5

Como es un canal dado, Q, y S son constantes:

A = K P2/5

138


La sección de M.E.H es aquella que para la mínima área tiene el perímetro mínimo. En

consecuencia la sección de máxima eficiencia hidráulica es la semicircular.

Esto, basándose en la propiedad geométrica de ser el círculo la figura que para la misma área

tiene el perímetro mínimo.

En condiciones normales la sección de M.E.H. involucra la mínima sección de excavación, de

revestimiento y de superficie de infiltración. También debe tenerse presente que el perímetro

mínimo involucra menor rozamiento. Naturalmente que en un canal en media ladera la sección

de M.E. H. no da la mínima excavación.

En la práctica se reemplaza la sección semicircular por una trapezoidal. Sin embargo los canales

circulares son poco usados

La que nos interesa es la relación que debe haber entre b e y para que la sección sea de máxima

eficiencia hidráulica. Llamemos m a esta relación.

m = b

y

Mediante simples consideraciones geométricas se obtiene:

A = (m + z)y2

De donde y = √ Am+z

El perímetro es:

139

T

z y

y

b

z

1


P = my +2y√1+z2

Mediante transformaciones sucesivas se obtiene:

P2 =

Am+z

[(m2 + 4 m √1−z2 + 4 (1+ z2]

P2 = m + P2 z = A (m2 + 4m √1+z2 +4 + 4z2)

Derivando el perímetro P con respecto a m:

dPdm =

2 A (m+2√1+z2)−P2

2 P(m+ z ) = 0

De donde,

m = 2(√1+z2-z)

Así por ejemplo en un canal rectangular z = 0, de donde m = 2, significa que en un canal

rectangular la máxima eficiencia hidráulica se obtiene cuando el ancho es igual al doble del

tirante.

y

b = 2y

Para las diferentes secciones trapezoidales la relación m se obtiene para cada talud, aplicando la

ecuación deducida para canales de MEH.

Los valores más comunes son:

z 0 0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4

m 2 1.56 1.24 0.83 0.61 0.47 0.39 0.32 0.25

En una sección de M.E.H. el radio hidráulico es:

R =

(m+z ) y2

my+2 y √1+ z2

140


Se demuestra que en una sección de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es igual a

la mitad del tirante (sección trapezoidal)

R = y

2

También puede obtenerse las condiciones de máxima eficiencia hidráulica para talud variable.

Se busca así el llamado “talud más eficiente”, de esta manera:

El perímetro es:

P = y (m+2√1+z2)

Por condición de M.E.H:

m = 2(√1+z2-z)

Sustituyendo se obtiene que el perímetro mínimo es:

P min = 4y √1+z2 - 2 yz

dP mindz = 0

De donde,

z =

√33

Ejemplo 5.

Un canal debe transportar 6 m3/s. la inclinación de las paredes (talud) impuesta por la naturaleza

del terreno es 60° con la horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la

condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0.003 y el

coeficiente de rugosidad de Kutter se ha considerado de 0.025

Solución:

Tg 60° = 1.732, Luego, z = 0.577

Para máxima eficiencia hidráulica se tiene que,

m = 2 (√1+z2) = 1.155 b = 1.155

y

utilizando el gráfico adimensional, obtenemos:

A R 2/3 = 0.74

b8/3

Pero,

141


A R2/3 = Qn = 2.74, b = 1.63 m

S 1/2

Luego los otros valores son:

y = 1.41 m

A = 3.45 m2

V = 1.74 m/s

R = 0.705 m

El cálculo podría haberse hecho de otra manera. A partir de la ecuación

A = (m + z) y2 se obtiene A = 1.73 y2

Aplicando la fórmula de Manning:

y

Q = 1.73 y2(2) 2/3 (0.003) 1/2

0.025

Se obtiene: Q = 2.39 y8/3

Para Q = 6 m3/s se obtiene y = 1.41 m, con lo que la sección transversal queda así:

Q = 6 m3/s V = 1.74 m/s R = 0.705 m

A = 3.45 m2 P = 4.89 m Y = 1.41 m

Se observa que por ser una sección trapezoidal de máxima eficiencia hidráulica, el radio

hidráulico es igual a la mitad del tirante y cada talud es igual a la mitad del ancho superficial.

El talud, por la naturaleza del terreno es de 60°. Causalmente resulta ser el talud que da el

perímetro mínimo (talud más eficiente). En este caso particular la sección hidráulica obtenida es

la mitad de un hexágono.

142

60°

1.63m

1.63m

1.41m

3.26m

1.63m


Si resolviéramos este mismo problema para un talud diferente de 60° obtendríamos siempre una

sección de máxima eficiencia hidráulica (para el talud respectivo), pero el perímetro sería mayor

que 4. 89 m.

Con la ecuación Q = 2.39 y 8/3 obtenida, se puede hacer una gráfica.

La ecuación que se ha obtenido gasto – tirante es muy importante. Así por ejemplo si el gasto

fuera 10% mayor (6.6 m3/s). Entonces:

y = 1.46 m

Concepto de Borde Libre

Se denomina borde libre (free board) a la altura (tirante) adicional que se da a fin de absorber

los niveles extraordinarios que puedan presentarse por encima del caudal de diseño de un canal.

¿Por qué puede presentarse en un canal un tirante mayor que el correspondiente al del gasto de

diseño?

Por ejemplo si se diseña un canal para 30m3/s y se encuentra que el tirante (normal) es 3.20 m

¿por qué hemos de esperar un tirante mayor?

Las razones son las siguientes, entre otras.

a) cuando se calcula la sección transversal de un canal hay que suponer un valor para la

rugosidad, pero en el momento de la construcción y por causas que escapan al

ingeniero diseñador puede ser que la superficie tenga una mayor rugosidad. En

consecuencia requería de un tirante mayor para que escurra el mismo caudal.

Con el lapso de los años el revestimiento del canal se deteriora y tiende a hacerse más

rugoso. Si este fenómeno fuera más intenso que el previsto, la diferencia es tomada

por el borde libre.

143

Borde libre


b) Una mala operación en las compuertas de entrada al canal puede dar lugar a que

ingrese a este un caudal mayor que el de diseño.

c) A lo largo de la conducción pueden presentarse ingresos de agua no previstos.

d) Puede ocurrir una obstrucción parcial a lo largo de la conducción. Por ejemplo caída

de un tronco. E borde libre sirve para absorber los incrementos en el tirante que se

produzcan como consecuencia de lo anterior.

e) Por una razón u otra puede presentarse una onda en el canal. El borde libre debe

absorberse la altura de ola correspondiente.

El borde libre es, pues, una seguridad que toma el ingeniero diseñador contra fenómenos que

tienen una cierta probabilidad de ocurrencia. Entonces la magnitud del borde libre depende

esencialmente del grado de seguridad que se debe dar al canal como consecuencia de una

estimación de la posibilidad que ocurra algún fenómeno extraordinario.

En consecuencia en la magnitud del borde libre juega un gran papel la naturaleza del terreno en

que está construido el canal. Si el canal rebalsa y está en zona arenosa las consecuencias pueden

ser mucho más graves que en otro tipo de suelo.

Para dimensionar el borde libre (entendido como una altura vertical adicional al tirante)

debemos tener en cuenta la forma de la sección transversal y esencialmente la curva gasto –

tirante.

y

Q

Supongamos que se tiene dos secciones transversales

144


3 m 8m

Si ambos llevan el mismo gasto es evidente, y puede demostrarse mediante cálculos, que un

borde libre igual en ambas representará en la primera un pequeño aumento de caudal y en la

segunda un aumento de caudal bastante mayor.

El análisis de la curva gasto – tirante nos permite visualizar e problema del borde libre bajo una

perspectiva diferente. No pensemos únicamente en centímetros adicionales para el tirante, sino

en su equivalente en metros cúbicos por segundo.

Por último podríamos señalar que en zonas en las que los estudios hidrológicos no ofrecen una

gran confiabilidad, tanto en la estimación de la oferta como de la demanda, y en los que sea cara

el agua, es conveniente dimensionar con generosidad el borde libre. Naturalmente que hay que

tener presente como varía el costo de un canal con el tirante. Esta función no es lineal, de modo

que es frecuente que un gran aumento en el tirante produzca un aumento pequeño en el costo del

canal.

Ven Te Chow señala que el borde libre varía entre menos del 5% y más del 30% del tirante.

Indudablemente se trata de valores extremos.

Para canales en tierra, donde dicho sea de paso es mayor la incertidumbre con respecto al

coeficiente de rugosidad, el Bureau of Reclamatión señala el borde libre varía entre 1 ft (0.30

cm) para canales pequeños y poco profundos, hasta 4ft (1.20 m) para canales grandes,

profundos y con caudales de 85m3/s ó más. Para cálculos preliminares el Bureau recomienda la

fórmula siguiente:

BL = √cyBL es el borde libre en metros

y es el tirante en metros

c es un coeficiente que varía así

0.46, para Q = 0.60 m3/s

0.76, para Q = 85 m3/s

Cálculo de canales de sección compuesta

Puede haber canales que tenga una sección transversal como esta;

145


Se dice entonces que es una sección compuesta, está formada por la suma de dos figuras

geométricas.

También puede ocurrir algo similar en un cauce natural. Un río tiene en época de estiaje un

caudal pequeño, pero en época de abundancia hay un caudal grande que ocupa las áreas

adyacentes.

Zonas de

inundación

Una sección compuesta se puede dividir en N secciones parciales de modo que el gasto total Q

es igual a la suma de los gastos parciales

Q = Q1 + Q2 + Q3 + ------ QN

Cada parte de la sección tiene su propia rugosidad: n1, n2 .... nN., por lo que se tendrá:

Vi = Ri2/3 S 1/2

ni

Qi = AIRi2/3 S 1/2 = Ki S1/2

ni

Ki = AIRi2/3

ni

El gasto total es:

Q = ∑ ¿ ¿(Ki) S1/2

i = N

Q = ∑ ¿ ¿ (Ki) S1/2

i = 1

De donde:

V = ∑ ¿ ¿ (Ki) S 1/2

A

146

Q2 Q3 Q1


Que es la expresión de la velocidad media en una sección compuesta

Rugosidad compuesta

Un canal puede ser construida de modo que le fondo y las paredes tengan rugosidades

diferentes. En este caso habrá dos valores para el coeficiente de rugosidad. Uno para el fondo y

otro para las paredes.

Vidrio

Madera

Piedra Concreto

Si cada parte de la sección tiene un coeficiente n i de Kutter entonces el problema consiste en

hallar un valor de n que sea representativa de todo el perímetro.

Consideremos que hubiera N rugosidades diferentes. A casa una le corresponde una parte del

perímetro mojado.

Rugosidades n1 n2 n3 .... nN

Perímetro P1 P2 P3 .... PN

Supongamos, por facilidad operativa, que solo hubiera dos rugosidades diferentes. Para cada

una de ellas habrá un radio hidráulico correspondiente y se puede calcular cada velocidad

parcial.

Vi = Ri2/3 S 1/2

ni

V2 = R22/3 S 1/2

n2

o bien,

147


R1 = [V 1 n1

S1/2 ]3/2

R2 = [V 2 n2

S1/2 ]3/2

En consecuencia, y aplicando la ecuación A = R P se tiene que:

A1 = [V 1 n1

S1/2 ]3/2

P1 A2 = [V 2 n2

S1/2 ]3/2

P2

El área total es igual a la suma de las áreas parciales

[ Vn

S1 /2 ]3/2

P = [V 1 n1

S1/2 ]3/2

P1 + [V 2 n2

S1/2 ]3/2

La pendiente es la misma. Horton y Einstein hicieron la suposición que:

V1 = V2 = ………VN

Luego:

n = [ p1n

13/2+ p2 n

23 /2

P ]2/3

Que es el coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección transversal.

Ejemplo 6.

Se tiene un canal trapezoidal de 4 m. de ancho en la base. El talud es de 45°. La pendiente es

0.07%. Originalmente las paredes eran lisas y para un gasto de 6 m 3/s el tirante normal es 0.88

m. luego el mismo canal se reviste con mortera preparado a base de arena gruesa, con lo que la

rugosidad aumenta, determinándose que para un caudal de 10 m3/s el tirante normal es 1.44m.

a) determinar el gasto par aun tirante normal de 1.10m, si el fondo tuviera el acabado

rugoso y las paredes el acabado liso original.

b) Determinar el gasto para el mismo tirante normal, para el caso que el fondo fuera liso y

las paredes rugosas.

Solución:

si el canal es liso entonces:

n1 =

AR2/ 3S1/2

Q =

4 .29(0 .66 )2/3 (0 . 0007)1/2

6 = 0.014

Si el canal es rugoso entonces

148


n1 =

7 .83 (0. 97 )2/3 (0. 0007 )1/2

10 = 0.020

a) Si el fondo es rugoso y las paredes lisas.

n = [ p1n

13/2+ p2 n

23 /2

P ]2/3

n =

[3.11(0.014 )3/2+4 (0 .02 )3/2]2/3

(7 .11)2/3 = 0.0175

El gasto es:

Q =

AR2/ 3S1/2

n =

5. 61(0 . 79)2/3 (0 .0007 )1/2

0 . 0175 = 7.25

b) si el fondo es liso y las paredes rugosos

n =

[4 (0 .014 )3 /2+3(0 .02)3/2 ]2/3

(7 .11)2/3 = 0.017

Luego,

Q =

5.61(0 .79)2/3 (0 .0007 )1/2

0 . 017 = 7.46 m3/s

Escurrimiento en tubo parcialmente lleno

Es frecuente el caso de un conducto cerrado llevando un fluido que no ocupa totalmente la

sección transversal. Es el caso de una tubería de desagüe o una alcantarilla.

Se presenta también en un túnel (que no trabaje a presión)

Examinemos el caso de un tubo circular parcialmente lleno.

149

yD

y


Mediante simples consideraciones geométricas se puede determinar el área, perímetro y demás

elementos de la sección transversal. Sin embargo los cálculos se pueden simplificar con el

gráfico de la fig. De las “Características geométricas de la Sección Circular” que nos da para

cada valor de la relación y/D el correspondiente valor del área, perímetro, tirante hidráulica y

radio hidráulica.

La tubería que trabaja parcialmente llena se caracteriza por la posibilidad de tener una velocidad

media y unos gastos mayores a los que corresponderían a tubo lleno.

Examinemos en primer lugar las condiciones para tener velocidad máxima.

Consideremos una tubería cuyo diámetro es D y cuyo radio es r. el flujo corresponde a un

tirante y.

Se trata de hallar la relación y/D que da la máxima velocidad para el flujo AB es a superficie

libre, θ es el ángulo en el centro.

Las expresiones correspondientes al área, perímetro mojada y radio hidráulica son:

A = r 2 (θ - sen θ)

2

P = r θ

R = r (θ – sen θ)

2 θ

Si observamos las fórmulas de Manning o de Chezy, o cualquier otra, para el cálculo de la

velocidad media encontramos que siempre se cumple que:

150

D

y

θ

D

y


V = k RX

Para pendiente y rugosidad constantes k y x dependen de la fórmula particular empleada.

Por lo tanto para que la velocidad sea máxima se requiere que el radio hidráulico sea máximo.

dR = 0

dθ

r senθ – θ cos θ = 0

2 θ2

De donde, θ = tg θ

θ = 4.4934 rad.

θ = 257°27’10’’ ≈ 257°30’

θ es el ángulo que corresponde a la velocidad máxima.

Se determina inmediatamente que

El tirante es 2 - θ = 102°30’

y = r (1 - cos θ/2)

De donde y = 0.012. ≈ 0.81

d

Luego cuando el tirante es 0.81D, la velocidad es máxima.

Se observa que el resultado obtenido es independiente de la fórmula con la que se calcula la

velocidad media.

Calcularemos ahora cual es el valor de y/D que hace que el gasto sea máximo.

En la figura se observa que:

A = r 2 (θ - son θ)

2

P = r θ

R = r (θ – sen θ)

2θ

El gasto, si usamos la fórmula de Manning, tiene por expresión.

Q = AR 2/3 S 1/2

151


n

Se observa que para S y n constante, el máximo valor del gasto corresponde al máximo valor de

AR2/3

d(AR 2/3 ) = 0

dθ

2 AR-1/3 dR + R2/3 dA = 0

3 dθ dθ

- 2 A dR = R dA

3 dθ dθ

- 2 r 2 (θ - sen θ) r (sen θ–θ cos θ) = r 2 (1–cos θ) r (θ-senθ)

3 2 2θ2 2 2θ

De donde, 5θ cos θ – 2 sen θ – 3 θ = 0

θ = 5.278 rad.

θ = 302° 24’ 26’’≈ 302° 30’

Que es el ángulo que corresponde al gasto máximo. Se determina inmediatamente que:

El tirante es 2 ∏ ¿ ¿ - θ = 57°30’

y = r (1 - cos θ/2)

De donde y = 0.938. ≈ 0.94

D

Luego cuando se usa la fórmula de Manning para los cálculos, es máximo cuando y = 0.94D.

Si se hubiera empleado la fórmula de Chezy, entonces la condición hubiera sido.

d(AR 1/2 ) = 0

d θ

se habría obtenido

θ = 5.3784 rad.

Θ = 308° 09’ 35’’≈ 308°

Y = 0.95

D

Luego cuando se usa la fórmula de Chezy para los cálculos, el gasto es máximo y = 0.95D.

152


Un canal semicircular es el más conveniente desde el punto de vista exclusivo de la eficiencia

hidráulica. Sin embargo este tipo de canales es poco usado por las dificultades constructivas que

requieren, que podrían luego de un análisis resultar no económicos.

Ejemplo 7

Por una alcantarilla de 60 cm. de diámetro fluye un caudal de 80 l/s. La pendiente es de 0.0008,

el coeficiente n de Kutter es 0.015. Calcular la velocidad.

Solución: Si el flujo fuera a tubo lleno se tendría que

Q0 =

∏ (0 .60)4

( 0.604

)2 /3 (0 .0008 )1/2

0.015 = 0.1505 m3/s ¿ 151 1/s

Luego:

QQ0

= 80151 = 0.53

Del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales de Ven Te Chow, se obtiene

Y = 0.52 y = 0.31 m.

D

Para Y = 0.52 se obtiene

D

V = 1.02V0

La velocidad a tubo lleno es:

V0 = Q = 0.150 x 4 = 0.53 m/s

A (0.60)2

O bien (para verificar)

V0 = (0.15) 2/3 (0.0008) 1/2 = 0.53 m/s

0.015

Luego:

V = 1.02 x 0.53 = 0.54 m/s

La velocidad es:

V = 0.54 m/s

Ejemplo 8.

153


Hallar el tirante “y”, que corresponde a la condición de caudal máximo en una sección cuadrada

de lado a de la figura, en la que una de las diagonales es vertical. Usar la fórmula de Chezy.

Solución:

Mediante consideraciones geométricas se obtiene:

A = a2 – ½ AB MP

A = a2 – ½ AB (a√2 -y)

Considerando las semejanzas de los triángulos MAB y MRS se obtiene:

AB = 2(a√2 -y)

Luego:

A = 2a √2y – a2 –y2

Similarmente se obtiene para el perímetro:

P = 2√2y

Tomando en cuenta la ecuación 6-50

3P dA = AdP

Se obtiene:

5y2 -4a√2y – a2 =0

De donde se obtiene:

Y = 1.287a

5.4 CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CANALES RECTANGULARES.

El Momentum del flujo pasando por la sección de un canal por unidad de tiempo se expresa por:

βωQV/g;

donde:

β= Es el coeficiente de Momentum.

ω= Es el peso unitario del agua.

Q= Es la descarga.

V= Es la velocidad.

De acuerdo a la segunda ley de Newton del movimiento, el cambio de momentum por unidad de

tiempo en el cuerpo de agua en un canal fluyendo es igual a al resultante de todas las externas

154

S

N

R

M

a

y


que están actuando en el cuerpo. Aplicando este principio en un canal de gran pendiente; la

expresión para el cambio del momentum por unidad de tiempo en el cuerpo de agua encerrado

entre las secciones 1 y 2 se puede escribir:

ωQ(βV1-βV2) = P1- P2 + WsenØ – Ff ……………….. (1)

g

Donde ω, Q, y V son previamente definidos, con subscritos referidos a la sección 1 y 2; P1 y P2

son las resultantes de las Presiónes actuantes sobre las dos secciones; W es el peso del agua

encerrada entre las secciones; Ff es la fuerza total externa de fricción y resistencia actuando a lo

largo de la superficie de contacto entre el agua y el canal. La ecuación superior es conocida

como la ecuación de cantidad del Momentum.

Para un flujo paralelo o gradualmente variado, los valores de P1 y P2 en la ecuación del

momentum se pueden calcular asumiendo una distribución hidrostática de presión. Para un flujo

curvilíneo o rápidamente variado, sin embargo, la distribución de presión no es hidrostática; por

lo tanto, los valores de P1 y P2 no pueden ser calculados pero deben ser corregidos por el efecto

de curvatura de las líneas de corriente del flujo.

Establecemos una sección de control de longitud “L”, y el sistema de fuerzas actuantes en

el:

F1 – F2 – Ff + W Sen = Q (V2 - V1) …….. (I)

Para canal rectangular: b = Ancho del canal

W = γ x b x L ( y1 + y2

2 ),

Sen α =Z1 − Z2

L

yF1 = 1 A1

F1 = γ

y1

2x b x y1 = γb

y12

2y =

y1+ y2

2

155

F1

W.

L

WSen.

1

2

Ff

F2

y2

y1

Z1

1

2


F2 = γ

y2

2x b x y2 = γb

y22

2 F f = γ y x bh f

También: Q = AV = b y (V 1 + V 2

2 )Reemplazando en (I) y ordenando: Considerando 2 = 1 = 1

12

γ by12 − 1

2γ by 2

2 − γ y bhf + γ bL (V 1 + V 2

2 ) xZ1−Z2

L= ρb y(V 1 + V 2

2 ) x(V 2−V 1 )

y1− y2−h 'f +Z1−Z2 =V 2

2

2g−

V 12

2g

β1

V 12

2 g+ y1 + Z1 = β2

V 22

2 g+ y2 + Z2 + h' f

FUERZA ESPECÍFICA.

Consideremos un tramo corto horizontal y 2 = 1 = 1

V2 = Q/A2

F1 = F2 = Q [ Q

A2

−QA1 ] , Q = AV V1 = Q/A1

F1 = F2 =

γg

Q [ QA2

−QA1 ]

γ yg1 A1 − γ yg2 A2 = γQ2

gA2

− γQ2

gA1

= γQ2

gA1

+ γ yg1 A1 =γQ2

gA1

+ γ yg2 A2

Simplificando:

Q2

gA1

+ yg1 A1 =Q2

gA2

+ yg2 A2 = M = F

F = Fuerza Especifica

M = Momenta (L3) = Invariante, momenta de momenta.

5.5 SALTO HIDRÁULICO EN UN CANAL RECTANGULAR.

La ecuación de la Momenta:

Q2

gA1

+ yg1 A1 =Q2

gA2

+ yg2 A2

y la ecuación de la continuidad,

156

yc

Salto Hidráulico

21

Sección de Control


reemplazando en la ecuación de

la energía, permite calcular los

tirante.

Ej: A1 = by1 , yg1 = y1/2

A2 = by2 , yg2 = y2/2

Q2

gby1

+y1

2x by1 = Q2

gby2

+y2

2x by 2

Q1 = A1V1 = A2V2 Q = by1V1 = by2V2

b2 y12 V 1

2

gby1

+ by1

2

2=

b2 y22V 2

2

gby 2

+ by2

2

2

Simplificando:

V 12 y1

g+

y12

2=

V 22 y2

g+

y22

2⇒

y22− y1

2

2=

V 12 y1

g−

V 22 y2

g

( y2 + y1 )( y2 − y1 )2

=V 1

2 y1

g−

V 22 y2

g ,

Por continuidad: V2 = V1

y1

y2

( y2 + y1 )( y2 − y1 )2

=V 1

2 y1

g−

V 12

g ( y1

y2)2

x y2 =V 1

2

gy1[1− y1

y2]

( y2 + y1 )( y2 − y1 )2

=V 1

2

g ( y1

y2) [ y2− y1 ] ⇒

( y2 + y1 )2

=V 1

2

g ( y1

y2)

Multiplicando x ( y2

y2)

: ( y2

y1)( y1

y2)[1 +

y2

y1] = V 1

2

g

Multiplicando x ( 2

y1)

:

2V 12

gy1

= ( y2

y1)[( y2

y1

)+1] ⇒ ( y2

y1)2

+( y2

y1) − 2 F1

2= 0

Resolviendo: ( y2

y1) = −1±√1+8 F1

2

2⇒ y2

y1

= 12

(√1+8F12 − 1)

RESALTO HIDRAULICO

Ejemplo de aplicación:

157

LT

21


De una canal rectangular de 0.75m de ancho, se ha colocado una compuerta plana vertical que

descarga por el fondo una vena liquida cuya altura es 0.25m y que luego forma un resalto

hidráulico. Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es 1.10m. se pide calcular:

1. El caudal.

2. La fuerza sobre la compuerta.

3. La altura conjugada del resalto hidráulico.

4. La energía disipada.

5. La pendiente que debería tener el canal aguas abajo del resalto. Considerar n=0.015.

6. La altura y la eficiencia del salto.

Para todos los efectos no considerar las fuerzas por fricción.

SOLUCION:

Planteamiento: Como sabemos cuándo un flujo pasa de un estado supercrítico a un estado

subcrítico se presenta el resalto hidráulico.

Como recomendación para resolver problemas con flujo uniforme y permanente utilice estas

tres ecuaciones:

Ecuación de la energía.

Ecuación de la continuidad.

Ecuación de la cantidad de movimiento.

1.- Cálculo del caudal: Para el ejemplo aplicaremos la ecuación de cantidad de movimiento

para canales entre (1) y (2), esto considerando que Q1=Q2 = Q, caudal en la compuerta.

158


Q12

gA1

+ y g1 A1=Q2

2

gA2

+ y g2 A2

Q2

g (1. 1x 0 .75 )+(1. 1/2 )(1 . 1 x 0 .75 )= Q2

g (0 .75 x 0.25 )+(0 .25 /2 )(0 .75 x 0. 25 )

Q=0. 323 m3 /seg

2.- Cálculo de la fuerza sobre la compuerta: Para ello tomemos un volumen de control entre

(1) y (2) y analicemos las fuerzas que actúan sobre la compuerta.

Hacemos equilibrio horizontal:

∑ Fx=0

Fp1−Fp2−Fc=ρQ (V 2−V 1)

γyn 1

2b−γ

yn2

2b−Fc=

γg

Q(V 2−V 1 )

3.- cálculo del tirante conjugado y2 del resalto hidráulico: Para un canal rectangular

podemos emplear la siguiente expresión:

y2

y1

=12 √1+8F1

2−1) ; F1=V

√gy1

Ahora suponiendo y1=h=0.25 m . Si se desea precisión para hallar el valor real de y1 se

deben usar las ecuaciones de flujo gradualmente variado.

V 1=Q1

A1

= 0.3230 .75 x 0.25

=1 .723 m / seg .

F>1 ⇒ El flujo es supercrítico y de la tabla A, se toma un resalto hidráulico moderado.

Tabla A.

Numero de Froude Tipo de Resalto Hidráulico

159


F=1 No hay resalto Hidráulico.

1 < F < 1.7 Resalto Ondular.

1.7 < F < 2.5 Resalto Débil.

2.5 < F < 4.5 Resalto Oscilante.

4.5 < F < 9 Resalto Permanente.

F > 9 Resalto fuerte.

Y2 = Y1 ((1+8*1.098^2)0.5-1)*0.25/2 = 0.28cm.

4.- Energía disipada por el resalto hidráulico:

ED = E1 – E2 = ( Y2 - Y1) 3

4 Y1 Y2

ED = E1 – E2 = (0.28-0.25) 3 = 9.64x10-5 m.

4 *0.28*0.25

5.- Pendiente del canal: Para el cálculo se considera n=0.015

S = (Q.n) 2 A= 0.75x1.1=0.825 ; R= 0.825/(0.75+2x1.1)=0.28

A2 R4/3

S= (0.323 x 0.015) 2 = 1.88x10-4

(0.825)2(0.28)4/3

6.- Altura y Eficiencia del Salto:

6.1.- Altura del Salto:

hs = Y2 - Y1 = 0.28 - 0.25 =0.03m.

6.2.- Longitud del Salto:

L = (5 – 7) (Y2 - Y1), tomaremos 56 por ser un valor promedio.

L = 6 (0.28-0.25) = 0.18m.

160

1.5m

0.813m 1

0.75


6.3.- Eficiencia del Salto: Es la relación entre la energía específica después del resalto y la

energía especifica antes del resalto.

E2 = (8 F 2 +1) 3/2 – 4 F 2 +1

E1 8F2 (2+F2)

(841.098 2 + 1) 3/2 – 41.098 2 +1 = 0.9996

8x1.0982 (2 + 1.0982)

Ejercicios de Flujo Uniforme en Canales:

1) Un canal trapezoidal cuyo ancho de solera es de 1.5 m, tiene un m= 0.75 y S= 8/10 000. Si

el canal estuviera completamente revestido de mampostería (piedras con concreto) entonces

para un caudal de 1.5 m3/seg. El tirante seria de 0.813 m; si el mismo caudal estuviera

revestido de concreto se tendría un caudal de 1.2 m3/seg. Con un tirante de 60 cm.

Calcular la velocidad que se tendría en el canal cuando se transporta 1.3 m3/seg. Si el fundo

es de concreto y las paredes de mampostería.

Solución:

V=R

h2/3 S1/2

np , n p=[ P1 n

11/2+P2 n

23/2+P3n

33/2

P ]2/3

n p = Rugosidad Ponderada

P1 P2 P 3 = Perímetros

n 3 , n1 = Rugosidad de mampostería

n2 = Rugosidad de concreto

Cálculo de las Rugosidades

Datos:

a) Q=1 . 5m3

S=0 .0008

b=1. 5 m

yn=0 . 813m

161

1.5m

0.6m 1

0.75


Ah=by n+my2 n=1 .72 m2

Rm=b+2 yn√1+m2=3 . 53 m

Rh=Ah

Pn

=1 . 723 . 53

=0 . 49m

Ecuación de Manning y Continuidad

Q=Ah R

h2 /3 S1/2

n1 n1=

Ah Rh2/3 S1/2

Q

n1=1. 72(0 . 49)2 /3 (0 . 0008)1/2

1 .5=0 .02

b) Q=1 . 2 m3 /seg

S=0 .0008

b=1. 5 m

yn=0 .60 m

m=0 . 75

n2=?

Ah=1 .5 (0 .6 )+0 . 75(0 .6 )2=0 .17

P m=1.5+2(0 . 60)√1+0 .752=3

Rh=

1.173

=0 . 39 m


n=

Ah Rh

1/3 S1/2

Q=

1. 17(0 .39)1/2 (0 .0008 )1/2

1 . 2=0 .015

Para concreto

b) Cálculo de n p

P1=P3= yn√1+0 .752=1 .25 y n .m

P2=1.5m

162


n p=[ 2 x1 . 25 yn(0 .02)3 /2+1. 5(0 . 015)3 /2

1 .5+1 .25 x 2 yn]2/3

=[ 0 .007 yn+0 .0027

1 .5+2 .5 yn]2/3

.....(I)

n p=

AhRh S1/2

Q=

Ah

5/3 S1/2

Pn2/3Q

.............................(II)

Ah=by n+my2

n=1. 5 yn+0. 75 y2n

Pm=1 . 5+2. 5 yn

(III) en (II)

n p=(1 . 5 yn+0 . 75 y

2n )5/3 (0. 0008 )1/2

(1. 5+2 . 5 y n)2/3 (1. 3 )=

0. 022(1 .5 yn+0 .75 y2

n )5/3

(1 .5+2. 5 yn )2/3

...........(IV)

(IV) = (I)

(0 . 007 yn+0 . 0027 )5/3

(1.5+2 .5 yn )2/3 =

0 . 022(1. 5 yn+0 .75 y2n )5/3

(1 .5+2. 5 yn )2/3

(0 . 0071+0 .00275 )=0 . 022(1 .5 yn+0 .75 y2

n )5 /3(1 .5+2 . 5 y n)1/3

(0 . 05 yn+0 . 0225)3 /3−0. 22(1 .5 yn+0 .75 y2

n)5 /3=(0 .25 yn )=0

¿ yn=0 . 695 m

V=R

h2/3 S1/2

np V=

0 . 4342/3(0 . 0008 )1 /2

0 .0177

n p=0 . 05(0 .675)+0 .0225

1.5+2 .5 (0.695 )=0 .0177

V=0. 92 m/ segAh=1 .5 (0 .695 )+0 .75 (0 .695 )2=1.405

Pm=1 . 5+2. 5(0 . 695 )=3 .238

Rh=0 . 434 m

163

...........................(III)

1.5m

0.703m 1

0.75

Revestido de Concreto (n2 = 0.015)

Revestido de Mampostería (n1 = 0.020)

1.0m

0.4m

Concreto(n = 0.013)


Q=1 . 3m3 /segyn=0 . 703 m

S=0 .0008

m=0 . 75

V=0. 92 m/ segV=0. 91<2 . 0m /s (Velocidad máx.)

La Velocidad Máxima del Agua Recomendada (Para concreto y mamposteria).

V max=2. 0m /s Para yn<1.0 m

2) Calcular la pendiente que debe dársele a un canal revestido de concreto de sección

rectangular de un metro de ancho en el fondo para que conduzca un caudal de 1m 3 por

segundo fluyendo con un sentido de 40cm. n concreto =0.013

Solución:

Datos:

Q=1 m3 /segyn=0 . 40 m

b=1. 0 m

nconc=0. 013

S=?Canal Rectangular

Ecuación de Maning Q=

Ah Rh2 /3 S1/2

n

S=[ QnAh R

h2/3 ]

2

Ah=1 x0 .4=0 . 4 m2

Rh=0 .41. 80

=0 . 22 m

Pm=1+0. 4 x2=1 .80

164

4.0m

1.0m 1

1

14m3/s

6m.

1.0m 1

1

6m.

b

yn

y’n


S=[ 1 x 0. . 013

0. 4 x0 . 222/3 ]2

=8/1000

3) Si se tiene un canal trapezoidal de 6m de ancho en la superficie (T), 4m de ancho en el

fondo (b), y 1m de profundidad de agua (yn ), el coeficiente de rugosidad de Kutter es de

0.022, la capacidad del cual es de 1 4000 lt/s.

Se quiere saber cuanto habrá que profundizar dicho canal conservando el mismo ancho

superficial y Taludes para aumentar el caudal en 3.5 m3/seg.

Solución:

Datos:

m=0 . 022

T=6 mZ=1

yn=1 m

Ecuación de Chezy:

V=CRh1/ 2 S1/2

.................(I), donde C, según Kutter:

C=100√Rh

m+√Rh ................(II), m=0 . 022 (coeficiente de Rugosidad)

De (II) e (I)

QAh

=V =100√Rh

(0 .022+√Rh )(Rh )S

1/2

Q=Ah x100 Rh S1/2

0 .022+√Rh

=100 A2h S1 /2

Pm(0 . 022+A

h1/2

Pm1 /2

)

165


=

100 A2

h S1/2

0 .022 Pm+Pm1/2 A

h1/2

QT=

A2h

0 . 022Pm+√Ah Pm ................(II)

Cálculo de la Pendiente(S)

Ecuación de Chozy:

V=(100√Rh

0 .022+√R h) xR

h1/ 2 xS1/2

Q=Ah=(100 Rh

(0 .022+√R h ))2

=(14(0 . 022+√0 .732 )100 x5 x0 . 732 )

2

=0 .0011=11/10000

Reemplazando S en III

(14+3 .5 )100√0 .0011

= A2

h

0 . 022 Pm+√ Ah Pm

=5 . 276

A2

h

5.276−0.022 Pm−√Ah Pm=0

................(IV)

Donde:

Ah=by n+ y2n

Pm=b+2√2 yn ..........(V)

Por tanteo

Para: Ah≥5

Ah=5 . 8m2

En IV

Pm=6. 689

En V

Ah=((Pm−2√2 yn ) yn+ y2n )

5 .8=(6 .689−2√2 yn ) yn+ y2

n

yn1

=1 .412

yn2

=2 .246

yn1=1 .412 m>1m

OK

166

Condiciones:b < 4 m yn>1m


b=Pm−2√2 yn=6. 689−2√2(1 .412)=2. 695<4 m OK

∴ b=2 .695 yn=1 . 412

Rh=

Ah

Pm

= 5 . 86 .689

=0 .867m

Verificación:

Q=Ah [100√Rh

0 . 022+√Rh](Rh)

1/2( S )1/2

Q=5 . 8 x 100 x0 . 867 x0 . 00111/2

0 .022+√0. 867

Q=17 .498≃17 . 5m3 /seg

∴ y n' =1 . 412−1 .0=0 .412

Se tiene que profundizar: 41.2 cm.

4) Se desea elegir la sección hidráulica de un canal para un gasto de 5900 hs/s. La pendiente

igual a 1/1000 y el Coeficiente de Rugosidad de Manning igual a 0.016, entre las secciones

b= 1.20 m= 1.5 y la otra b= 90cm nT= 1.25, decir cuál es la más conveniente y porqué.

Cuánto ascenderá el ahorro de revestimiento de mortero de 2Km de canal, si se sabe que el

m2 cuesta 50 soles.

Solución:

Datos:

Q=5 . 9m3 /segS=1° /00

n=0 .016


Q=Ah R

h2 /3 S1/2

n=

Ah5 /3 S1/2

Pm2/3n

167

1.257m 1

1.5

5.4m3/s

1.2m

L= 2km


Qn

S1/2=A

h5/3

Pm

2/3=(

Ah5

Pm

2

)

Q3n3

S3/2 =A

h5

pm

2

Ah5

Pm

2

=5. 93 x 0 . 0163

0. 0013/2 =26 . 602

Ah5

Pm

2

=26 .602

Para: m= 1.5

(1 .2 yn+1 .5 y2n )5

(1 . 2+3. 61 yn )2=26 . 602

yn=1 .257m

Para: m= 1.25

(0 .90 yn+1 .25 y2

n )5

( 0.9+3 .2 yn )2

=26 .602

yn=1 . 419 m

Elegimos: m=1 .5 Pm=5 . 738

m=1 . 25 Pm=5 . 441

AT=5 .441 x 2000=10881 . 6m2 x S/.50 = S/.544.080

S/. 544 soles.

Pm= 5.738m

ATarrajeo= Pm x L = 5.738 x 2000

168

1.419m 1

1.25

5.4m3/s

0.9m

L= 2km


= 11 476 m2

Revestimiento (m2) 50 soles/m2

Costo= 50 soles/m2

= 573 800 soles

Pm= 5.441 m

ATarrajeo= Pm x L = 5.738 x 2000

= 10 882 m2

Costo = 50 soles/m2 x 10 882

= 544 100 soles

Ahorro= 573 800-544 100= 29 700 soles

169


FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y VERTEDEROS

6.1 ESTUDIO DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO.

El flujo gradualmente variado constituye una clase del flujo permanente no informe, y se

caracteriza por una variación continua del tirante (y con ello al área, la velocidad, etc) a lo largo

del canal (Figura 1).

Este tipo de flujo se presenta en la llegada o salida de estructuras hidráulicas tales como

represas, compuertas, vertederos, etc; y en general cuando las condiciones geométricas de la

sección transversal o del fondo del canal cambian abruptamente: o bien cuando en el recorrido

representa algún obstáculo que haga variar las condiciones del movimiento.

CONSIDERACIONES:

1. La pendiente del canal es pequeña 0°, y = d

2. El factor de corrección de presión Cos = 1

3. No ocurre ingreso no incorporación de aire.

4. El canal es prismático (sección cte., forma y pendiente cte.)

5. La distribución de velocidad en la sección del canal es cte. ( = = cte.)

6. K y el factor de rugosidad n, es independiente del tirante de flujo y constante en el

tramo del canal en estudio.

Se supone:

- Las ecuaciones para flujo uniforme son válidas para flujo gradualmente variado.

- La pendiente Sf del flujo generalmente variado se emplea en reemplazo de S para flujo

uniforme.

170

III UNIDAD

V2/2g

d Cos d

Sw

Sf


- Del gráfico:

H = Z + dCos θ + αV 2

2 g

dHdx

= dzdx

+ Cos θdddx

+ αd (V 2 /2 g )

dx

Pero

dzdx

= −S0 ,dHdx

=−S f

S0 – Sf = Cos

dddx

+ αd (V 2 /2 g )

dx

S0 – Sf = Cos

d (d )dx

+ αd (V 2/2 g)

ddx

dddx

S

0 – Sf =

dddx [Cos θ + α

d (V 2 /2 g )dd ]

dddx

=S0 − S f

Cos θ + αd (V 2 /2 g )

dd

- Análisis de la ecuación fundamental del flujo gradualmente variado:

Si

dddx

= 0 Flujo Uniforme Sf = S0

Curva de Remanso:

dddx

> 0 (+) Sf < S0 Sw < S0

Curva de Depresión:

dddx

< 0 (- ) Sf > S0 Sw > S0

171

N.R

.

S0

dxZ


Si 0

dddd

= dydx

dddx

= dydx

=S0 − S f

1 − αd (V 2 /2 g )

dy

=S0 − S f

1 − ( yc

y )3

También:

dydx

=S0 [1 − ( Kn

K )2]

1 − ( ZcZ )

2=

S0 [1 − ( yn

y )3 ]

1 − ( yc

y )3

; y = Tirante actual

La pendiente del fondo del canal S0 para canales cuyo lecho desciende en la dirección del flujo,

es positiva y puede clasificarse como subcrítica (S0 < Sc), crítica (S0 = Sc) o supercrítica (So >

Sc). Si el canal es horizontal, entonces la pendiente del fondo es nula (S0 = 0), si el lecho del

canal asciende en la dirección del flujo, se trata de una pendiente adversa (S0 < 0).

Para las pendientes positivas es posible determinar una profundidad normal (y0) y una

profundidad crítica (yc); mientras que para las pendientes horizontal y adversa, el valor de (y0)

no existe. En el primer caso se han determinado las siguientes relaciones, para flujo uniforme:

Pendiente Subcrítica S0 < Sc Y0 > Yc F0 < 1

Pendiente Crítica S0 = Sc Y0 = Yc F0 = 1

Pendiente Supercrítica S0 > Sc Y0 < Yc F0 > 1

Estas relaciones pueden ser utilizadas cuando se determinen los valores de (S0 – Sf) y de

(1 – F2), para determinar el signo de

dydx en la ecuación # 5, siempre que se conozca el entorno

de valores de la profundidad de flujo (y). Por ejemplo, si la pendiente es supercrítica (S 0 > Sc ,

y0 < yc), y si y0 < y < yc , podemos concluir:

Y Y0 S0 Sf S0 - Sf 0

Y Yc F 1 1 – F2 0

CLASIFICACIÓN DE LOS PERFILES DE FLUJO PARA FLUJO GRADUALMENTE

VARIADO.

172


La curva que forma la superficie del agua en un flujo gradualmente variado, que sirve como

transición de un estado dado de flujo al flujo uniforme o viceversa, se llama Perfil de Flujo.

La forma que toman los perfiles de flujo dependerá de la pendiente del fondo S0 y de la

pendiente de la rasante de energía Sf en el tramo del canal bajo análisis, y puede ser bosquejada

si se conocen las profundidades críticas (yc) , normal (yo) en el canal, y la zona en que se

encuentra la profundidad de flujo real (y) en el tramo estudiado. Para el análisis se emplea la

ecuación # 5, obtenida anteriormente.

CÁLCULO DE EJES HIDRÁULICOS

Se conoce como curva de remanso o eje hidráulico, al perfil longitudinal que adquiere la

superficie libre del líquido en un canal, cuando se efectúa un escurrimiento bajo las condiciones

de flujo gradualmente variado. Cualquiera que sea el método a utilizar, el cálculo de la curva de

remanso se hace a partir de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, es decir:

dydx

=So [1− Se

So ]1−F r

2

El cálculo de los perfiles del flujo gradualmente variado se realiza básicamente, dando solución

a la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Existen varios procedimientos para el

cálculo, los mismos que en forma genérica se pueden clasificar en tres métodos básicos, a saber:

Método de integración gráfica

Método de integración directa

Métodos numéricos

173

Nivel Variable

Qc

Qn

Q

yc

Línea de Flujo Crítico

Línea de Flujo Normal Uniforme

Zona I

Zona II

Zona III

yn

yc

y

yn

Nivel Constante


Método de integración gráfica

Este método está basado en la integración artificial de la ecuación dinámica del flujo

gradualmente variado, mediante un procedimiento gráfico.

Método de integración directa

La expresión diferencial del flujo gradualmente variado, no puede expresarse explícitamente en

términos del tirante y, para todos los tipos de sección transversal de un canal, por lo que el

cálculo en forma directa y exacta de la ecuación no es posible en general. Sin embargo, se han

introducido simplificaciones que hacen posible la integración en casos particulares, dentro de

las cuales se tienen:

Solución de Bakhmeteff

Solución de Bresse

Métodos numéricos

El método numérico es el que tiene aplicaciones más amplias debido a que es adecuado para el

análisis de perfiles de flujo tanto en canales prismáticos como no prismáticos.

Los métodos de integración numérica más utilizados son:

Método directo por tramos

Método de tramos fijos

Un análisis exhaustivo de los perfiles de flujo requiere analizar el valor de la derivada:

dydx

Esto es, para cada tipo de pendiente y para todos los valores relativos de (y) respecto a (y 0) y a

(yc).

La tabla N° 1 presentada a continuación muestra los resultados de ese análisis.

Obsérvese que al dibujar las líneas de profundidad crítica y profundidad normal, como se hizo

anteriormente, el espacio encima del canal queda dividido en tres zonas:

Zona 1. El espacio encima de la línea superior.

Zona 2. El espacio entre las dos líneas

174


Zona 3. El espacio debajo de la línea inferior.

Esta nomenclatura sirve para designar los perfiles resultantes, los cuales se muestran en la tabla,

designándoles por una letra que corresponde al tipo de pendiente, de acuerdo a la siguiente

clasificación:

M: Pendiente suave o subcrítica

C : Pendiente crítica

S : Pendiente fuerte o supercrítica

H : Pendiente horizontal

A : Pendiente Adversa

Cada letra va seguida de un número que corresponde a la zona donde ocurre el perfil. Por

ejemplo, si se trata de una pendiente fuerte (S) y la curva ocurre entre las LTN y LTC (zona 2),

como se muestra en la figura # 1, el perfil se llama S2.

Tabla N° 1: Clasificación de los Perfiles de Flujo

Pendiente del

Lecho

Designación Relación

Y, Yn, Yc

dy/dx Tipo de

Flujo

Zona 1 Zona

2

Zona 3 Zona

1

Zona 2 Zona

3

Horizontal

S0 = 0

- Y Yn Yc - No hay

H2 Yn Y Yc 0 Subcrítico

H3 Yn Yc Y 0 Supercrítico

Suave

0S0Sc

M1 Y Yn Yc 0 Subcrítico

M2 Yn Y Yc 0 Subcrítico

M3 Yn Yc Y 0 Supercrítico

Crítica

S0=Sc0

C1 Y Yc = Yn 0 Subcrítico

C2 Yc = Y = Yn 0 Uniforme Crítico

C3 Yc = Yn Y 0 Supercrítico

Fuerte

S0Sc0

S1 Y Yc Yn 0 Subcrítico

S2 Yc Y Yn 0 Supercrítico

S3 Yc Yn Y 0 Supercrítico

Adversa

S0 0

- Y (Yn)* Yc - No hay

A2 (Yn)* Y Yc 0 Subcrítico

A3 (Yn)* Yc Y 0 Supercrítico

Nota: (Yn)* en realidad no existe

175


CALCULO DE LA SUPERFICIE DEL AGUA

(METODO DEL PASO DIRECTO)

El cálculo de la superficie del agua consiste en determinar las profundidades de flujo a lo largo

del tramo de canal donde ocurre el flujo gradualmente variado. El cálculo de estas

profundidades se hace resolviendo la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Dado

que esta solución no siempre puede ser explícita, se utilizarán métodos iterativos como el

Método del Paso Directo, que se caracteriza por dividir el canal en pequeños tramos y efectuar

los cálculos paso a paso de un extremo a otro del tramo.

El concepto de “pequeño tramo” es relativo ya que su longitud puede no ser tan pequeña. La

idea básica es que se puede admitir, sin gran error, que tanto la rasante de energía como la

superficie del agua son rectas entre esos tramos.

A continuación se explica el llamado método del paso directo, aplicable a canales prismáticos.

1 2

SfΔxV1

2/2g

V22/2g

Y1

h1 Y2 Y2

S0Δx h2

z1

Δx z2

Figura # 2: Tramo de un canal para la aplicación del método de paso directo

La figura anterior muestra un “tramo pequeño” de un canal con flujo gradualmente variado. Al

igualar las energías en las dos secciones extremas resulta:

176


S0 Δx+ y1+V

12

2 g= y2+

V22

2 g+S f Δx

De donde resulta:

Δx=E2−E1

S0−S f

= ΔES0−S f

En las ecuaciones anteriores, (y) es la profundidad del flujo, (V) es la velocidad media, (So) es la

pendiente del fondo y (Sf) es la pendiente de la rasante de energía, la cual puede ser obtenida de

la fórmula de Manning.

Para aplicar el método del paso directo deben conocerse el caudal Q, la pendiente del fondo S 0,

la forma y dimensiones de la sección y una profundidad inicial para comenzar los cálculos.

Cabe señalar que en canales con pendiente positiva, si el flujo uniforme es subcrítico los pasos

del cálculo se realizan en dirección aguas arriba a partir de la profundidad dada, y en dirección

contraria si el flujo es supercrítico. Siempre es recomendable hacer un bosquejo del perfil del

flujo.

Los cálculos pueden ponerse en forma tabular como se muestra en la tabla N° 2, los valores de

cada columna de la tabla se explican a continuación:

Columna Número:

1. Profundidad de flujo en metros, asignándosele valores desde la profundidad dada en

intervalos de 5 cm.

2. Área de la sección en m2, correspondiente a la profundidad (y) en columna 1.

3. Radio Hidráulico en m, correspondiente a la profundidad (y) en columna 1.

4. Radio Hidráulico elevado a la potencia 4/3.

5. Velocidad media en m/seg, obtenida de V= Q/A, A en columna 2.

6. Carga a velocidad en m.

7. Energía específica en m, obtenido al sumar (y) en la columna 1 con (V2/2g) en la

columna 6.

8. Cambio en la energía específica en m, igual a la diferencia entre el valor E en la

columna 7 y el correspondiente al paso anterior.

9. Pendiente de la rasante de energía calculada con la ecuación # 7, con el valor dado de

(n) y los valores de (V) de la columna 5 y el radio hidráulico de la columna 4.

10. Pendiente media de la rasante de energía entre dos pasos consecutivos, igual a la media

aritmética de (Sf) calculado en columna 9.

11. Diferencia entre la pendiente del fondo dada (S0) y la pendiente media de la rasante de

energía.

12. Longitud del tramo en m, entre dos pasos consecutivos, calculado con la ecuación #8, o

sea, dividiendo el valor ΔE de la columna 8, entre el valor de la columna 11.

177


13. Distancia desde la sección en estudio hasta la sección donde se inició el cálculo. Este

valor es igual a la suma acumulativa de los valores de la columna 12, calculados en los

pasos anteriores.

El perfil de flujo puede graficarse calculando la elevación del fondo del canal con las

distancias (x) de la columna 13 de la tabla, (z = S 0 * x) y usando los valores de (y) de la

columna 1 de la tabla.

PROBLEMAS DE FLUJO UNIFORME Y GRADUALMENTE VARIADO

METODO DE INTEGRACION GRAFICA.

Ejemplo 1: Un canal trapezoidal con ancho menor de 20 ft, Z= 2, S 0 = 0.0016 y n = 0.025.

Tiene una descarga de 400 ft3/seg. Calcular el perfil de remanso creado por un dique que

mantiene el agua a una profundidad de 5ft, inmediatamente aguas arriba del dique. El extremo

aguas arriba del perfil se supone a una profundidad igual a 1% mas grande que la profundidad

normal. El coeficiente de energía α = 1.10.

Sol:

S0 = 0.0016

n = 0.025

Q = 400ft3/seg

α = 1.10.

Y0 = 5ft

Y1 = 1.01Yn

Se puede trabajar con cualquiera de las fórmulas:

178

d x

d y

=1−(

Y c

Y)3

S0 [1−(Y N

Y)3]

=1−(

Zc

Z)2

S0 [1−(Kn

K)2]


1. Cálculo de Zc y Kn:

2. Análisis:

Se determina Yn y Yc.

Cálculo de Yn, donde:

179

Z= Q

√ gα

=400

√32 .21 .10

=74 Kn=Q

√S=400

√0 .0016=10000

A=Y (b+ZY ) R= AP

P=b+2 Y √1+Z2

Q= AR23 S

12

n

400=

[Y (b+ZY )]( [Y (b+ZY )]b+2 Y √1+Z2 )

23 (0 . 0016 )

12

0.025

400=

[Y (20+2 Y )]( [Y (20+2 Y ) ]2+2 Y √1+22 )

23 (0 . 0016 )

12

0 . 025

10=[Y n(20+2Y )]( [Y n (20+2Y )]2+2Y √1+22 )

23(0 . 04 )

250=[Y n (20+2Y )]( [Y n (20+2Y )]2+2Y √1+22 )

23

250=[Y n(20+2 Y )]

53

(2+2Y n √5 )23


Dando valores tenemos: Yn = 3.36ft.

Cálculo de Yc:

Dando valores a YC tenemos: Yc = 2.22ft.

Análisis: 3.36 > 2.22

Yn > Yc ……………..….Tenemos un flujo subcrítico.

Como: Y > Yn > Yc ……..…..Zona І.

Tipo de Curva:

Cálculo de Sc:

......……………. Sc > Sc

Tipo de curva……………..………..M-І

Luego, con los resultados obtenidos y la aplicación de las expresiones:

180

Q2

g= A3

αT

4002

32 .2=

Y c( b+ZY c)1 . 1(b+2 ZY )

4002

32 .2=

Y c(20+ZY c )1 . 1(20+4 Y )

4968 .94=[Y c(20+2Y c )]31 . 1(20+4 Y )

Q2

g= A3

αT

Sc=Q2 n2

1 . 4862∗54 .252∗1 . 8143

Sc=4002∗0. 0252

1 . 4862∗54 .252∗1 . 8143

Sc=0 . 0069

Z= Q

√ gα

K=1 . 486 AR23

n


y

procedemos a calcular el valor de la relación:

Dónde:

Zc = 74.0

Kn = 10,000

Y T A R Rh K Z dx/dy ∆A x

5.00

4.80

4.60

4.40

4.20

4.00

3.80

3.70

3.60

3.55

3.50

3.47

3.44

3.42

3.40

3.36

40.00

39.20

38.40

37.60

36.80

36.00

35.20

34.80

34.40

34.20

34.00

33.88

33.76

33.68

33.60

33.44

150.00

142.08

134.32

126.72

119.28

112.00

104.88

101.38

97.92

96.21

94.50

93.48

92.45

91.80

91.12

89.78

3.54

3.43

3.31

3.19

3.08

2.96

2.84

2.77

2.71

2.68

2.65

2.63

2.61

2.60

2.59

2.56

2.323

2.274

2.221

2.167

2.117

2.062

2.006

1.972

1.944

1.929

1.916

1.904

1.894

1.890

1.886

1.872

20 800

19 230

17 770

16 360

15 050

13 750

12 550

11 910

11 350

11 060

10 800

10 600

10 440

10 340

10 230

10 000

290.2

270.4

251.5

232.3

214.5

197.5

181.0

173.0

165.0

161.1

157.3

155.2

153.0

151.7

150.0

147.0

760

792

836

913

1 000

1 140

1 430

1 750

2 260

2 770

3 480

4 520

5 990

7 930

10 760

155

163

175

191

214

257

159

201

126

156

120

158

139

187

155

318

493

684

898

1 155

1 314

1 515

1 641

1 797

1 917

2 075

2 214

2 401

∆y = 0.2ft Entonces tenemos………L = 2401ft

181

d x

d y

=1−(

Zc

Z)2

S0 [1−(Kn

K)2]


Ejemplo 2: Calcular la altura de río y de torrente que podrían producirse en un canal cuya

sección aparece en la figura siguiente, para un gasto de 6 m3/ seg. Y una energía especifica de

3.14m. Calcular también para cada uno de los regimenes, el nº de Froude y el correspondiente

valor de (dE/ dY) en la curva E – y. Dibujar la curva (E – y), y verificar todos los valores

calculados, así como las condiciones críticas.

Solución:

Z = 0.25

A = Y(b + z x Y)

A = Yb

Por dato:

Q = 6.5m3 /Seg.

Aplicando la fórmula de la Energía:

E = V 2 + Y ; E = 3.14

182


2g

3.14 = V 2 + Y

2g

Torrente: Y < YC ; F > 1

Río: Y > YC ; F < 1

Y A Q V = Q/A V2/2g E F dE/Dy

0.100 0.103 6.500 63.415 204.965 205.065 64.026 -4098.303

0.200 0.210 6.500 30.952 48.830 49.030 22.098 -487.303

0.300 0.323 6.500 20.155 20.705 21.005 11.749 -137.031

0.400 0.440 6.500 14.773 11.123 11.523 7.458 -54.615

0.500 0.563 6.500 11.556 6.806 7.306 5.218 -26.223

0.600 0.690 6.500 9.420 4.523 5.123 3.883 -14.077

0.700 0.823 6.500 7.903 3.183 3.883 3.016 -8.095

0.799 0.959 6.500 6.781 2.343 3.142 2.422

0.800 0.960 6.500 6.771 2.337 3.137 2.417 -4.842

0.900 1.103 6.500 5.896 1.772 2.672 1.984 -2.937

1.000 1.250 6.500 5.200 1.378 2.378 1.660 -1.756

1.100 1.403 6.500 4.635 1.095 2.195 1.411 -0.990

1.200 1.560 6.500 4.167 0.885 2.085 1.214 -0.475

YC1.300 1.723 6.500 3.774 0.726 2.026 1.057 -0.117

1.400 1.890 6.500 3.439 0.603 2.003 0.928 0.139

1.500 2.063 6.500 3.152 0.506 2.006 0.822 0.325

YC = 4B x E

(5B + b)

YTC = 0.728 x (6.5 / tg)2/3

YTC = 2.680

YRC = 0.468 x (6.5 / 1)2/3

183


YRC = 1.63

YC = ( (1.632 x 2.682 )/ (1.632 + 2.682))

YC = 1.393

Curva (E – y)

Se comprueba que:

Torrente: (dE/ dY) < 0

Río: (dE/ dY) > 0

Ejemplo 3: Un canal rectangular pasa de 1.20m de ancho a otra sección de 1.80m. de ancho,

por medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna

alteración. El gasto es de 2.1m3/ seg. El tirante en la segunda sección es de 1.15m. Hallar el

tirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. Dibujar

el perfil de la superficie libre.

184


Solución:

Cálculo de S en la ecuación de Manning:

Q = A x R 2/3 x S 1/2

n

Reemplazando:

10 = [3.527 x (2.5 + 3.527)] x (0.208) 2/3 x S 1/2

0.014

10 = 533.033 x S ½

100 = 533.0332 x S

S = 100 / (533.0332)

S = 0.00035

Sabiendo que el valor de Chezy es: C = 55 m1/2

S

Y que la relación entre los coeficientes “n” de Manning y “C” de Chezy, es:

185


C = R1/6 ...............................(*)

n

Hallando: SC para que produzca una mínima contenido de energía.

C = 55 m ½ /Seg.

Q = 10 m 3 /Seg.

Z = 1

Considerando: n = 0.014 (concreto revestido)

El tirante que genera energía mínima se considera flujo crítico:

F = V

(g x Y)

Reemplazando los valores en la siguiente ecuación (*):

55 = R1/6

0.014

R = 0.208 m.

Calculando Y:

R = A = y(b + zy)

P (b +2y ( 1 + z2))

0.208 = y(2.5 + y)

(2.5 +2y y)

y = 3.527 m.

A = 3.527 x (2.5 + 3.527)

A = 21.25 m 2

Reemplazando los datos, tendremos:

21.25 = (B + 2.5) x3.527

2

186


B = 9.55 m

YB = 1.50m.

Q 2 + Yg1 A1 = Q 2 + Yg2 A2

g1A1 g2 A2

Reemplazando en la ecuación anterior tenemos:

(2.1) 2 + Y1 (120Y1) = (2.1) 2 + 1.15 (1.80x1.15)

(9.81)(120Y1) 2 (9.81)(180x1.15) 2

0.375 + 0.60Y1 2 = 0.217 + 1.19

Y1

0.60Y1 3 - 1.4074 + 0.375 = 0

Y1 = 1.375 m.

CONSIDERACIONES FINALES PARA EL DISEÑO DE CANALES

Los Canales se construyen con la finalidad de transportar agua desde la infraestructura de

captación (bocatoma) hasta un tanque de almacenamiento o zona de distribución. Para su diseño

se tiene como base la información de las características de suelos, caudales, topografía, entre

otros.

187


Diseño del canal:

1) Definir el tipo de sección geométrica para lo cual se deberán definir como mínimo tres

secciones diferentes: una sección rectangular, una sección trapezoidal y sección circular

2) Con base en la información de suelos, determinar si es necesario o no revestir los

canales

3) Defina la geometría de cada una de las secciones.

4) Definir la condición de flujo establecida para diseño (flujo subcrítico o supercrítico).

5) Cálculo de pendiente y profundidad de flujo en las diferentes secciones (Método de la

velocidad permisible y la fuerza tractiva en los tramos erosionables).

6) Borde libre

7) Diseño de estructuras de transición.

8) Diseño y localización de estructuras hidráulicas necesarias para el aforo, control y

regulación de los niveles de agua:

a. Vertederos ( de cresta ancha o delgada )

b. Compuertas deslizantes

c. Orificios

9) Cálculo del resalto en los sitios donde se espere su ocurrencia.

10) Cálculo de los perfiles de flujo gradualmente variado (Se deben usar por lo menos dos

métodos diferentes para su cálculo).

11) Planos planta - perfil donde se presente el alineamiento del canal con las

correspondientes estructuras de transición, vertederos, compuertas y orificios. El perfil

debe contener nivel de fondo, nivel de la superficie y borde en el canal.

Adicionalmente se deben presentar en detalle las secciones típicas, donde se muestre el

espesor del recubrimiento y sus detalles constructivos (tamaño de losas, juntas y

refuerzo cuando el recubrimiento se haga en concreto), al igual que las

recomendaciones constructivas.

12) Planos detallados de las estructuras hidráulicas: transiciones, vertederos, compuertas,

orificios, así como las estructuras de entrada y salida del canal (bocatoma - canal, canal

- tanque)

6.2 VERTEDEROS

Fundamento Teórico

Se llama vertedero a la estructura hidráulica sobre la cual se efectúa una descarga a superficie

libre. El vertedero puede tener diversas formas según las finalidades a las que se destine. Si la

descarga se efectúa sobre una placa con perfil de cualquier forma pero de arista aguda, el

vertedero se llama de pared delgada; cuando la descarga se realiza sobre una superficie, el

vertedero se denomina de pared gruesa. Ambos tipos pueden utilizarse como dispositivos de

aforo en el laboratorio o en canales de pequeñas dimensiones. El vertedero de pared gruesa se

188


emplea además como obra de control o de excedencias en una presa y como aforador en grandes

canales.

1. DEFINICIONES

Son estructuras de control hidráulico. Su función es la de presentar un obstáculo al libre

flujo del agua, con el consiguiente represamiento aguas arriba de la estructura, y el

aumento de la velocidad aguas abajo.

Es un dique o pared que intercepta la corriente, causando una elevación del nivel aguas

arriba, y que se emplea para control de nivel o para medición de caudales.

Se llama vertedero a un dispositivo hidráulico que consiste en una escotadura a través de

la cual se hace circular el caudal que se desea determinar, también actúan como

aliviadores en reservorios, pozas, etc.

Un vertedero consiste en una obstrucción en el canal, donde el líquido se acumula para

después pasar sobre él. Al medir la altura de la superficie del líquido aguas arriba del

vertedero, se puede determinar el gasto.

Son aquellas aberturas prácticadas en las cercanías de la superficie al final de los canales

o en los bordes superiores de los reservorios y destinados a permitir el flujo de agua por

rebose.

Los vertederos son estructuras que tienen aplicación muy extendida en todo tipo de

sistemas hidráulicos y expresan una condición especial de movimiento no uniforme en

un tramo con notoria diferencia de nivel.

2. COMPONENTES

b

H

P P

- Umbral: borde superior del vertedero, sobre el cual pasa o discurre el flujo a medir.

189


- Ancho del umbral o cresta (b).

- Altura del umbral (P): distancia vertical desde el fondo del canal hasta el borde del

umbral.

- Carga sobre el vertedero o altura de la napa (H): es el espesor de la lámina de carga

medida desde el umbral hasta la superficie libre del agua.

- Distancia donde se realiza la lectura de la carga, mayor o igual que 4h.

3. VENTAJAS

- Se logra precisión en los aforos.

- La construcción de la estructura es sencilla.

- No son obstruidos por los materiales que flotan en el agua.

- La duración del dispositivo es considerable.

- Normalmente desempeñan funciones de seguridad y control

-Un vertedero puede tener las siguientes misiones:

Lograr que el nivel de agua en una obra de toma alcance el nivel de requerido

para el funcionamiento de la obra de conducción.

Mantener un nivel casi constante aguas arriba de una obra de toma, permitiendo

que el flujo sobre el coronamiento del vertedero se desarrolle con una lámina

líquida de espesor limitado.

En una obra de toma, el vertedero se constituye en el órgano de seguridad de

mayor importancia, evacuando las aguas en exceso generadas durante los eventos

de máximas crecidas.

Permitir el control del flujo en estructuras de caída, disipadores de energía,

transiciones, estructuras de entrada y salida en alcantarillas de carreteras,

sistemas de alcantarillado, etc.

4. CLASIFICACION

I. Según la altura de la lámina aguas abajo:

A. Vertederos de lámina libre (Z < Zc)

B. Vertederos sumergidos (Z > Zc)

II. Según la disposición en planta del vertedero con relación a la corriente:

A. Vertederos normales

B. Vertederos inclinados

C. Vertedero quebrado

D. Vertedero curvilíneo

III. Según el espesor del umbral o cresta:

A. Vertederos de cresta delgada

190


B. Vertedero de cresta gruesa

5. CARACTERÍSTICAS

Por las situaciones de uso más común se detallarán los Vertederos de Cresta Delgada y

Vertederos de Cresta Gruesa.

VERTEDEROS DE CRESTA DELGADA.-

La utilización de vertederos de pared delgada está limitada generalmente a laboratorios,

canales pequeños y corrientes que no lleven escombros y sedimentos. Los tipos más

comunes son el vertedero rectangular y el triangular. La cara de aguas arriba debe ser

instalada verticalmente, la placa suele ser una chapa de 5 mm de espesor, de un material

distinto como latón o acero inoxidable. y el borde de la placa debe estar cuidadosamente

conformado. La estructura delgada (placa) está propensa a deteriorarse y con el tiempo

la calibración puede ser afectada por la erosión de la cresta.

Según la forma de la abertura se clasifican en rectangulares, trapezoidales, triangulares,

parabólicas, etc. Siendo el vertedero triangular el preferido cuando las descargas son

pequeñas, porque la sección transversal de la lámina vertiente muestra de manera

notoria la variación en altura.

La relación entre la descarga y la altura sobre la cresta del vertedero, puede obtenerse

matemáticamente haciendo las siguientes suposiciones del comportamiento del flujo:

191

De aquí la diferencia de aplicaciones: los de cresta delgada se

emplean para medir caudales y los de cresta gruesa como parte

de una presa u otra estructura hidráulica, para control de nivel.


1. Aguas arriba del vertedero el flujo es uniforme y la presión varía con la profundidad

de acuerdo con la hidrostática ( p = gh ).

2. La superficie libre permanece horizontal hasta el plano del vertedero y todas las

partículas que pasan sobre el vertedero se mueven horizontalmente (en realidad la

superficie libre cae cuando se aproxima al vertedero).

3. La presión a través de la lámina de líquido o napa que pasa sobre la cresta del

vertedero es la atmosférica.

4. Los efectos de la viscosidad y de la tensión superficial son despreciables.

Estas suposiciones conducen al siguiente modelo de flujo ideal:

Figura 1 . Flujo ideal sobre un vertedero de pared delgada

5.1.1 VERTEDERO DE SECCIÓN RECTANGULAR:

Es una de las secciones más comunes de los vertederos.

* Ecuación Para Un Vertedero Rectangular De Pared Delgada:

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 sobre una misma

línea de corriente, se obtiene:

Un coeficiente Cd determinado experimentalmente, se involucra para

considerar el uso de las suposiciones, entonces:

Cd es conocido como Coeficiente de Descarga.

Un vertedero rectangular sin contracción es aquel cuyo ancho es igual al del

canal de aproximación. Para este tipo de vertedero es aplicable la fórmula de

Rehbock para hallar el valor de Cd:

192


Donde p es la altura de la cresta del vertedero medida desde el piso del canal.

Un vertedero rectangular con contracción es aquel en el cual el piso y los muros

del canal están lo suficientemente alejados del borde del vertedero y por lo

tanto no influyen en el comportamiento del flujo sobre él. Para este tipo de

vertedero es aplicable la fórmula de Hamilton-Smith para hallar el valor de Cd:

* TIPOS DE VERTEDERO RECTANGULAR DE PARED DELGADA: Se

encontró que un vertedero rectangular de cresta delgada se clasifica en:

a) Vertederos sin contracción lateral, si el ancho de la abertura del vertedero es

igual al ancho del canal. La ecuación del caudal es:

Q = 1.84 b h 3/2

b) Vertederos con contracción lateral, longitud de la cresta es menor que el ancho

del canal. La ecuación del caudal es:

Q = 1.84 ( b – 0.1 n h ) 3/2

Dónde: Q = caudal que fluye por el vertedero

L = ancho de la cresta (m)

h = carga en el vertedero (m)

n = Número de contracciones (1 ó 2)

193


5.1.2 VERTEDERO DE SECCIÓN TRIANGULAR: Este vertedero se emplea mucho

para medir caudales pequeños inferiores a 6 lts/seg. Se usa comúnmente con un

ángulo de vertedero igual a 2.

* Ecuación Para Un Vertedero Triangular De Pared Delgada:

Siguiendo el mismo procedimiento anterior y despreciando el valor de v1/2g

puesto que el canal de aproximación es siempre más ancho que el vertedero, se

obtiene la descarga a través de:

La fórmula general obtenida experimental es:

Q = c h5/2

De experiencias se tiene C = 1.4 ,

luego:

King obtuvo fórmulas pequeñas para caudales pequeños que son:

Si : = 30° Q = 0.775 h2.47

Si : = 45° Q = 1.34 h2.47

194


5.1.3 VERTEDERO DE SECCIÓN TRAPEZOIDAL :

Dentro de las secciones trapezoidales el más utilizado es el llamado vertedor

Cipollelti, el cual tiene por característica que la inclinación de sus paredes son

una horizontal por 4 vertical, es decir z =1/4. Su ecuación será:

Q = 1.89 L h3/2

h 4

1

L

5.1.4 CONDICIONES DE FLUJO EN VERTEDEROS DE PARED DELGADA

Son adoptadas para la Fórmula De Poleni-Weisbach. Considerando la Ecuación

de la Energía, a lo largo de una línea de flujo se presenta un incremento de la

velocidad y correspondientemente una caída del nivel de agua. En el

coronamiento del vertedero queda el límite superior del chorro líquido, por

195


debajo del espejo de agua, con una sección de flujo menor al asumido por

Poleni-Weisbach.

5.1.5 LINEA DE ENERGIA EN VERTEDEROS DE PARED DELGADA

En la sección contraída X, ubicada aguas abajo de la cresta del vertedero, la

distribución de Presiones se desarrolla con ambos extremos iguales a la presión

atmosférica. En estos sectores las velocidades coinciden con las determinadas a

través de la ley de Torricelli, considerando únicamente las pérdidas de energía.

En el mismo chorro, las velocidades adquieren valores menores a las definidas

por la indicada ley.

5.1.6 VERTEDEROS DE PARED DELGADA EN FUNCIÓN DE LAS

CONDICIONES DE FLUJO AGUAS ARRIBA:

196


VERTEDERO DE CRESTA GRUESA.-

Los vertederos de cresta gruesa son utilizados para el control de niveles en los

embalses, ríos o canales. Son estructuras fuertes que no son dañadas fácilmente y

pueden manejar grandes caudales. Pueden utilizarse como medidores de flujo; pero dan

menos precisión que los de cresta delgada. Se presenta diversos tipos de vertederos de

pared gruesa:

Para un vertedero de pared gruesa, donde b/h mayor o igual a 10. La fórmula para el

cálculo del caudal es:

Q = 1.45 L h3/2

Dónde: Q = caudal (m3/seg)

L = ancho de cresta (m)

h = carga sobre vertedero

197


b = ancho de la pared de vertedero

Diversos tipos de Vertederos de Pared Gruesa, utilizados

principalmente como estructuras de control

El vertedero horizontal de bordes redondeados y el triangular, pueden utilizarse para un

amplio rango de descarga y operan eficazmente aún con flujo con carga de sedimentos.

El vertedero rectangular es un buen elemento de investigación para edición del flujo de

agua libre de sedimentos. Es fácil de construir, pero su rango de descarga es más

restringido que el de otros tipos.

5.2.1 FLUJO CRÍTICO SOBRE VERTEDEROS DE BORDE ANCHO:

En estas condiciones se presentará un flujo crítico en algún punto sobre la

cresta del vertedero, y la descarga total será:

198


El coeficiente Cd es introducido para expresar el caudal real:

donde, como se muestra en la figura, H es la cabeza total aguas arriba sobre la

cresta del vertedero. En el laboratorio la velocidad de aproximación V puede

ser obtenida mediante la medición del caudal y del área de la sección

transversal, permitiendo así el cálculo de H. Sin embargo en el campo, la

profundidad h es la única medida tomada y la ecuación del caudal debe

modificarse así:

5.2.2 VERTEDERO DE PARED GRUESA SIN PÉRDIDAS

Sobre el vertedero de pared gruesa y en un tramo muy corto, se presentará el tirante

crítico (sección B) antes del límite de la caída, bajo dominio de un flujo rápidamente

variado. En este sector el flujo alcanza su mínima altura (menor a hcrit) debido a la

aceleración originada por la caída libre del chorro. Según Rouse-Knapp.

199


Para grandes alturas de carga, es decir para Ho/L > 3, el desarrollo del flujo se aleja de

las características de vertedero de cresta ancha.

Flujo sobre un vertedero de cresta ancha para ho/l > 3

5.3 COEFICIENTE DE DESCARGA

Los valores límites aproximados del coeficiente de descarga, resultan de la hipótesis

de presencia del tirante crítico sobre el coronamiento del vertedero y de las

velocidades aguas arriba y aguas abajo definidas por la ecuación de Torricelli.

Consideremos el siguiente esquema:

200


Coronamiento o cresta de vertedero.

5.4 FORMAS PRÁCTICAS DE VERTEDEROS

201

Para obras de gran magnitud es usual realizar estudios sobre modelos

hidráulicos, para determinar el valor del coeficiente de descarga, sin

embargo para el diseño de pequeñas obras se contará únicamente con la

referencia bibliográfica y la experiencia del proyectista.


5.5 VERTEDERO DE PARED ANCHA CON LA ARISTA DE AGUAS ARRIBA

REDONDEADA

El efecto de redondear la arista de aguas arriba de un vertedero de cresta ancha se aproxima a la

acción de disminuir el nivel del coronamiento, ya que se reduce la contracción, incrementando

la capacidad de evacuación.

5.6 EXPERIENCIA DEL VERTEDERO DE PARED ANCHA

Consideremos el siguiente esquema:

Con un radio de 10 cm. en la arista de aguas arriba, el coeficiente K se incrementa en un 9 %.

Blackwell, experimentó con tres vertederos de 0.9 m. de ancho y con coronamiento ligeramente

inclinado. La inclinación parece incrementar ligeramente el coeficiente de descarga, sin

embargo los resultados son incompatibles para alturas de carga pequeñas.

202


203

La pendiente del coronamiento de un vertedero de pared gruesa tiene su efecto sobre la eficiencia; la aplicación de una inclinación en un vertedero con arista redondeada en valores entre I = 0.085 a I = 0.055, tiene resultados que se resumen en la siguiente figura siguiente.


La Relación entre c y H. Vertedero de cresta ancha con pendiente y arista redondeada puede

modificarse mucho o aún invertirse cuando tiene lugar un cambio de forma de la lámina

vertiente. La curva de los coeficientes para cualquier forma de vertedero es una línea continua y

204


uniforme. Cuando la lámina vertiente se deprime, se desprende o es sumergido en el sector

aguas abajo, la curva resultante para los coeficientes puede consistir en una serie de arcos

discontinuos y aún desconectados que terminen bruscamente en puntos de inflexión, en los

cuales varía la forma de la lámina. Las modificaciones de la forma de la lámina están limitadas,

Por lo general, a cargas relativamente pequeñas, sufriendo la lámina a veces varios cambios

sucesivos a medida que aumenta la altura de carga desde cero hasta que se alcanza una

condición estable, más allá de la cual un incremento ulterior de la altura de carga no origina

ningún cambio. La condición de la lámina vertiente cuando es deprimida o sumergida en el

sector aguas abajo puede convertirse en la de descarga libre, proporcionando ventilación

adecuada.

5.7 FLUJO CON CARGA PEQUEÑA SOBRE UN VERTEDERO DE CRESTA ANCHA

A no ser que se especifique otra condición, se supondrá que sus caras o paramentos son

verticales, su cresta plana y horizontal y sus aristas vivas y escuadradas. La altura de

carga se mide a una distancia mínima de 2.5 Ho aguas arriba del vertedero. A causa de

la arista viva de aguas arriba, se contrae la lámina vertiente, iniciando la contracción de

la superficie libre a poca distancia aguas arriba del vertedero.

Desde este punto, el perfil de la superficie libre continúa con una curva descendente que

pasa a cóncava en un punto de inflexión y se hace tangente a un plano aproximadamente

paralelo a la cresta, a una corta distancia aguas abajo de la arista aguas arriba del

vertedero. En el punto de tangencia la profundidad del agua es h y la altura de carga

correspondiente al caudal de escurrimiento es Ho. Blackwell, Bazin, Woodburn, el U.S.

Deep Waterways Board y el U.S.Geological Survey y otros investigadores (12) han

efectuado experimentos en vertederos de cresta ancha, que cubre un amplio intervalo de

condiciones de carga hidrostática, ancho y altura del vertedero.

Para alturas de carga hasta 0.15 m. Existe gran discrepancia entre los diferentes autores.

Para cargas entre 0.15 m. y 0.45 m. el coeficiente de descarga K se vuelve más

205


uniforme y para cargas entre 0.45 m. hasta aquellas en que la lámina vertiente se

desprende de la cresta, el coeficiente de descarga es casi constante e igual

aproximadamente a 1.45. Cuando la altura de carga llega a una o dos veces el ancho, la

lámina vertiente de desprende y el vertedero funciona esencialmente como uno de cresta

delgada. El efecto de la rugosidad de la superficie sobre el caudal puede ser calculado

aplicando los principios del flujo en canales abiertos.

206


5.8 FLUJO CON VERTEDERO TRIANGULAR CON PARAMENTO DE AGUAS ARRIBA

VERTICAL

Al inclinar el coronamiento de un vertedero de cresta ancha, éste resulta similar a uno de

sección triangular con el paramento aguas arriba vertical.

La ley de los coeficientes de descarga puede modificarse mucho o aún invertirse cuando tiene

lugar un cambio de forma de la lámina vertiente. La curva de los coeficientes para cualquier

forma de vertedero es una línea continua y uniforme. Cuando la lámina vertiente se deprime, se

desprende o es sumergido en el sector aguas abajo, la curva resultante para los coeficientes

puede consistir en una serie de arcos discontinuos y aún desconectados que terminen

bruscamente en puntos de inflección, en los cuales varía la forma de la lámina.

Las modificaciones de la forma de la lámina están limitadas, por lo general, a cargas

relativamente pequeñas, sufriendo a veces la lámina varios cambios sucesivos a medida que

aumenta la altura de carga desde cero hasta que se alcanza una condición estable, más allá de la

cual un incremento ulterior de la altura de carga no origina ningún cambio. La condición de la

lámina vertiente cuando es deprimida o sumergida en el sector aguas abajo puede convertirse en

la de descarga libre, proporcionando ventilación adecuada.

5.9 VERTEDERO SUMERGIDO O AHOGADO .-

La figura muestra un vertedero que funciona ahogado siendo:

h : carga sobre vertedero aguas arriba

z : carga sobre vertedero aguas abajo, se mide donde el régimen sea establecido.

207


La ecuación para el cálculo del caudal es:

Q = Cd L {[ 2g ( h – z)] (2h + z)} / 3

Para el caso de vertederos con contracciones laterales, la ecuación es:

Q = Cd ( L – 0.1nh ) {[ 2g ( h – z)] (2h + z)} / 3

Dónde: Q = caudal (m3/seg)

L = ancho de cresta (m)

N = Número de contracciones

Cd = coeficiente de descarga para pared delgada (0.61)

h , z = cargas aguas arriba, aguas abajo sobre el vertedero

6.3 COMPUERTAS

1. DEFINICIÓN

Son estructuras de control hidráulico. Su función es la de presentar un obstáculo al libre

flujo del agua, con el consiguiente represamiento aguas arriba de la estructura, y el

aumento de la velocidad aguas abajo.

No es más que un orificio rectangular de altura a y de ancho b, que supondremos

constante e igual al ancho del canal. Se hace entre el piso de un canal y el borde inferior

a la compuerta.

Ciertas compuertas de control en canales pueden llamarse compuertas bajo el fluido

debido a que el agua pasa debajo de la estructura.

Una compuerta consiste en una placa móvil plana o curva que al levantarse permite

graduar la altura del orificio que se va descubriendo, a la vez que controla el caudal

producido.

El flujo en un canal cuando se coloca una compuerta por lo general es normal a ella.

2. COMPONENTES

208


Los elementos son:

H = y1+v21/2g : carga total aguas arriba de la compuerta.

h1: tirante aguas arriba de la compuerta.

ac: Cc x a: tirante de la vena contraída aguas debajo de la compuerta.

a : abertura de la compuerta.

b : ancho de la compuerta.

Cc: coeficiente de contracción.

L: a/Cc: longitud desde la compuerta hasta y2 (sección contraída).

h2 : tirante normal (si las condiciones lo permiten) aguas debajo de la compuerta.

3. DISEÑO

Al diseñar tales compuertas, el ingeniero hidráulico está más interesado en dos aspectos

principales: la relación altura – descarga y la distribución de presión sobre las superficies de

la compuerta para varias posiciones de la compuerta y forma de los bordes de las

compuertas. La forma de los bordes no solo afectan a las distribuciones de velocidad y

presión y la pérdida de energía en el flujo a través de la abertura de la compuerta, sino que

puede también desarrollar vibraciones muy molestas que deberían ser evitadas durante las

operaciones de la compuerta.

4. CLASIFICACIÓN

1. Compuertas de fondo.

2. Compuertas Tainter.

3. Compuerta rodillo.

4. Compuertas de fondo con flujo.

5. Combinado sobre y debajo de la estructura.

5. TIPOS DE COMPUERTA

Compuertas de cresta.

Incluyen un buen número de tipos de dispositivos permanentes y temporales que funcionan

en la cresta de un vertedor para aumentar en forma individual el almacenamiento en un

embalse, a la vez que se mantiene el control del flujo en los vertedores. Durante los

periodos de bajo caudal, cuando no se requiere toda la capacidad del vertedor, la carga y

almacenamiento adicionales logrados con las compuertas de cresta pueden ser muy

valiosos.

Las alzas removibles Y las vigas horizontales de cierre son los tipos más comunes de

compuertas de cresta para instalaciones pequeñas con baja carga. Las alzas removibles,

por lo general, son tablones de madera que abarcan el espacio entre los tubos verticales

que están en voladizo encima de la cresta de¡ vertedor. Cuando la superficie del agua en el

209


embalse llega a cierto nive1 predeterminado, fallan los tubos y permiten utilizar toda la

capacidad del vertedor. Las vigas horizontales de cierre también son tablones, que abarcan

el espacio entre columnas verticales ranuradas que estén en voladizo encima de la cresta

del vertedor.

En instalaciones con vigas horizontales grandes, la fuerza hidrostática crea grandes

fuerzas de fricción entre el elemento deslizable y la viga vertical, lo cual dificulta

quitarla. Estas fuerzas de fricción necesitan el uso de un tipo de compuerta que

depende de la rotación en vez de la fricción deslizable y que funcione libremente bajo

la presión hidrostática.

Las compuertas de abanico (Tainter)

Las compuertas de guillotina montadas en cojinetes de rodillos de baja fricción son los

tipos en uso más extenso en compuertas de cresta en instalaciones grandes. En la

compuerta de abanico la fricción se concentra en el muñón y no afecta el

funcionamiento. Como el flujo pasa por debajo de las compuertas de abanico y de

guillotina, hay una tendencia a que la basura y el hielo se acumulen contra ellas,

ocasionando daños y entorpeciendo el funcionamiento.

210


Las compuertas de alza y compuertas de tambor

Dejan pasar el agua sobre la parte superior. La compuerta de alza consta de dos hojas

embisagradas. Para elevar una compuerta de alza, se deja entrar agua al espacio debajo

de las hojas para empujarlas hacia arriba. La compuerta de tambor consta de un

segmento de cilindro, que se baja en un rebajo en la cresta cuando no está en uso.

Debido a que el rebajo necesario en la cortina es muy grande, las compuertas de tambor

no son adecuadas en cortinas pequeñas.

211


EJERCICIOS

1. El caudal que transporta un canal oscila entre 1.2 106 y 1.9 106 l/h. En una pared

transversal al canal se instalan dos vertederos, uno triangular de 90° y otro rectangular de

aristas vivas y ventiladas. Se quiere que el vertedero triangular no desagüe menos de 9.2

105 l/h ni más de 1.1 106 l/h. El resto del caudal será desaguado por el vertedero

rectangular (Cq=0.715)

Calcular el ancho del vertedero rectangular y la lámina de agua máxima en los vertederos.

Subíndice vertedero triangular

Subíndice R vertedero rectangular

Solución

hmax - hmin = hmax R - hmin R = h...................(1)

Qmin = 9.2 105 l/h = 0.2556 m3/s

Qmaxc = 1.1 106 l/h = 0.3056 m3/s

Qmin R = ( 1.2 106 - 9.2 105 ) l/h = 0.0778 m3/s

Qmax R = ( 1.9 106 – 1.1 106 )l/h = 0.2222 m3/s

En el vertedero triangular:

Qmin = 0.593 (8/15).[(2g) h5/2min ]

hmin = {Qmin *15 / [0.593*8*(2*9.81)]}0.4 = 0.506 m.

Asi mismo :

hmax = {Qmin *15 / [0.593*8*(2*9.81)]}0.4 = 0.544 m.

h = 0.5439 – 0.5064 = 0.0375 m.

En el vertedero rectangular:

Qmin R = 0.715 (2/3)*bhmin R *[2ghmin R ]

Qmin R = 0.715 (2/3)*b *[2gh3/2min R ]...............(2)

Asimismo:

212


Qmin R = 0.715 (2/3)*bhmin R *[2gh3/2max R ]..........(3)

Eliminando hmin R entre las ecs. (1) y (2) se tiene:

Qmin R = 0.715 (2/3)*b *[2g(hmax R - h ]3/2........(4)

Despejando b en (3)

b = 0.1053 / (h3/2maxR)

y sustituyendo en (4)

[0.1053 / (h3/2maxR)][(hmaxR - h )3/2 = 0.0368

6.4 HIDRAULICA DE POZOS

1.- Experiencia de Darcy

En 1856 estableció Ley General del movimiento de fluidos en medios porosos

saturados. Observó que la cantidad de agua que fluía a través de una muestra de

arena, por unidad de tiempo, era proporcional a diferencia de carga hidráulica de la

entrada y salida de la muestra (dh = h1 – h2); e inversamente proporcional a

longitud de la muestra (L).

Ensayo del Permeámetro de Darcy, para determinar la Permeabilidad de una muestra

de Suelo.

La ecuación propuesta por Darcy es la siguiente:

213

Experimento de Darcy


Q = A k (dh / dl)

Dónde:

Q = caudal que pasa a través de sección transversal A.

A = área de sección transversal (m²);

k = constante de proporcionalidad, equivalente a

permeabilidad o conductividad hidráulica (m/d);

dh/dl = gradiente hidráulico (adim.)

Q/A = representa la descarga por unidad de área de sección transversal y se denomina

velocidad aparente (v). Por tanto:

V = Q / A

La Ley de Darcy, establece que la velocidad aparente es directamente proporcional al

gradiente hidráulico

V = - ki

El signo negativo indica que la dirección del flujo es de una zona de mayor a uno de

menor carga hidráulica. k es el coeficiente de permeabilidad o conductividad hidráulica

del medio poroso.

Como el flujo solo ocurre a través de los poros, la velocidad real, es mucho mayor que

la velocidad aparente, ya que el área de la sección transversal al flujo será:

AT = nA

Por lo que considerando la porosidad efectiva del medio poroso, obtendremos la

velocidad efectiva del fluido, así tenemos:

Ve = V / ne

La ley de Darcy es válida solamente para Flujo Laminar.

La Experiencia de Darcy, se realiza en laboratorio para determinar la Permeabilidad de

las muestras de suelo del acuífero, a través del Método del Permeámetro.

En Campo, la permeabilidad se determina a través de la realización e interpretación de

las Pruebas de Bombeo.

214


2.- Flujo Radial Hacia Pozos de Bombeo

Darcy Para establecer, la ley general del flujo en medios porosos, trabajo con el tipo de

flujo más elemental, es decir el flujo Lineal, pero desde el punto de vista físico, todos

los sistemas de fluidos se entienden en tres dimensiones, siendo entonces su análisis

muy complicado.

Sin embargo en muchos casos el flujo subterráneo es en un mismo plano o en planos

paralelos, por lo que se puede tratar como Flujo Bidimensional. Un caso del flujo

bidimensional es el del flujo de aguas subterráneas hacia un pozo que penetra

totalmente en el acuífero, cuando se somete a un bombeo, este flujo es conocido como

Flujo Radial.

Fig. N° 08: Flujo Radial Hacia Pozos de Bombeo.

Si observamos una muestra del suelo:

Fig N° 09: Flujo Radial hacia Pozos.

Por continuidad sabemos que:

Q = A V

Reemplazando tenemos que:

215


Q = (2rh)(kdh/dr)

Despejando tenemos la ecuación para Flujo Permanente y acuífero Libre:

h0² - h1² = ( Q0/Tk) * ln (R/r) (Dupuit)

Asimismo para hallar el abatimiento “s” en acuíferos libres y flujo no Permanente, se

utiliza la ecuación para acuíferos confinados a la cual se efectúa luego una corrección;

así, tenemos:

(Ecuación de Jacob para acuífero confinado, flujo no permanente.)

S=0 ,183QT

log2, 25Tt

r2 S

(Corrección de Jacob, para acuíferos libres y flujo no Permanente.)

S ´ f=Sf −Sf 2

2m

Cuando un pozo se encuentra en reposo, es decir, no existe flujo de él, la presión del

agua en el interior es igual a la de la formación que lo rodea. Si se bombea un pozo, se

reduce la presión dentro de éste, la presión mayor en la capa acuífera del exterior del

pozo impulsa el agua dentro de este produciéndole un flujo. Esta disminución de

presión dentro del pozo está acompañada por una reducción del nivel de agua en éste y

sus alrededores.

En un estrato acuífero de forma y textura uniformes, la depresión de la capa freática

(acuífero libre) o de la superficie piezométrica (acuífero confinado) en la vecindad del

pozo sometido a bombeo o que fluye libremente (manantial), adopta la forma de un

cono invertido, éste es conocido como cono de depresión, que tiene su vértice en el

nivel del agua en el pozo durante el bombeo, y su base en el nivel estático del agua. La

diferencia de niveles entre el nivel estático del agua y la diferencia del cono de

depresión se conoce como aspiración.

Por lo tanto, la aspiración aumenta desde cero, en los límites exteriores del cono de

depresión, hasta un máximo en el pozo sometido a bombeo. El radio de influencia es la

distancia desde el centro del pozo hasta el límite exterior del cono de depresión.

216


CONO DE DEPRESIÓN EN LAS CERCANÍAS DE UN POZO CON BOMBA.

Cuando comienza el bombeo en un pozo, la cantidad inicial de agua descargada

procede de la reserva acuífera que rodean inmediatamente al pozo. Entonces, el cono de

depresión es pequeño. Al continuar el bombeo, el cono se extiende hasta llenar la

demanda creciente de agua procedente de la reserva acuífera. Si la velocidad de bombeo

se mantiene constante, el grado de expansión y profundización del cono de depresión

disminuye con el tiempo.

El aumento en función del tiempo del radio de influencia R y la aspiración se hacen

cada vez más pequeños hasta que la capa acuífera suministra una cantidad de agua igual

a la velocidad de bombeo, entonces el cono no se extiende ni profundiza más y se

dice que se ha alcanzado el equilibrio.

La agrupación o sistemas de pozos presentan problemas debido a la interferencia entre

ellos cuando operan simultáneamente. Dicha interferencia entre dos o más pozos ocurre

cuando sus conos de depresión se superponen, reduciendo así el rendimiento de cada

uno de ellos. De allí la gran importancia del radio de influencia en pozos agrupados.

3.- POZOS DE BOMBEO.

Es sabido que la masa de agua que se encuentra en el subsuelo constituye una fuente de

aprovechamiento impresionante. Los manantiales, en los que esa agua brota

espontáneamente, constituyen el aprovechamiento natural más obvio y seguramente

más antiguo. Artificialmente, la captación de las aguas subterráneas se logra por medio

de estructuras que genéricamente reciben el nombre de pozos de bombeo.

Un pozo de bombeo es una perforación generalmente vertical que alcanza

profundidades mayores que el nivel de aguas freáticas (tabla de agua) y cuyo objeto es

extraer aguas subterráneas a la superficie para sus aplicaciones útiles, entendiéndose

217


estas como todos aquellos usos del líquido elemento que proporciona al hombre algún

beneficio, sea económico, social o simplemente psicológico.

A continuación presentamos algunas definiciones de términos que nos ayudarán a

comprender mejor la teoría sobre pozos:

a.- Nivel Estático del Agua (Tabla de Agua).- Es el nivel al que el agua

permanece dentro de un pozo cuando no se está extrayendo agua del pozo por bombeo o

por descarga libre (manantiales). Este nivel coincide con el nivel de la capa freática para

acuíferos libres y con la superficie piezométrica en acuíferos confinados.

b.- Nivel Dinámico o de Bombeo.- Es el nivel al que se encuentra el agua

dentro del pozo conforme avanza la prueba de bombeo.

La ubicación del nivel dinámico, se determina mediante la siguiente ecuación:

ND=NE+SpDónde:

ND : Nivel dinámico, en m. (Por debajo del nivel del terreno)

NE : Nivel estático. (m) (Por debajo del nivel del terreno)

S : Abatimiento. (m)

c.- Abatimiento.- Es el descenso que experimenta el nivel de agua cuando se

está bombeando o cuando el pozo fluye naturalmente. El abatimiento es la diferencia

entre al nivel estático y el nivel dinámico.

s = NE – ND

d.- Rendimiento de un pozo.- Es el máximo volumen de agua por unidad de

tiempo que el pozo puede descargar, ya sea por bombeo o por flujo natural, sin provocar

desbalances considerables en el acuífero. Se expresa, por lo general, en m3/h, l/s., etc.

4.-Ecuaciones en La Hidráulica de Pozos:

En la hidráulica de pozos se tiene dos teorías o regímenes para el estudio del

movimiento del agua desde el acuífero hacia los pozos.

- Régimen de equilibrio o permanente.

- Régimen No permanente

A. Régimen de Equilibrio o Permanente.

Los trabajos de DUPUIT constituyen la base del estudio dinámico de las aguas

subterráneas en las proximidades de las obras de captación en régimen de equilibrio.

218


Se llama de equilibrio porque el cono de depresión llega a alcanzar una posición

estable y no se expande más, permaneciendo el bombeo constante; tenemos dos casos:

- El de acuífero Libre.

- El de acuífero Confinado.

Caso 1: Acuífero Libre.

POZO PERFORADO EN ACUÍFERO LIBRE.

Dónde:

NT : Nivel del Terreno.

TA : Tabla de Agua.

ND : Nivel Dinámico.

Q : Gasto de explotación (m3/s)

S : Descenso del nivel estático a la distancia “x” del eje del pozo, en el

cono de depresión. (m)

S0 : Máximo descenso (en el pozo). (m)

h0 : Altura del agua en el pozo. (m)

r0 : Radio del pozo. (m)

R : Radio de influencia del pozo o alcance. (m)

Y : Espesor del acuífero a la distancia “x” dentro del cono de depresión.

(m)

H : Espesor del acuífero. (m)

La ecuación para acuíferos libres en condiciones de equilibrio, o también conocida como

ecuación de DUPUIT es la siguiente:

219


Q=πK (H2−h0

2 )Ln(R /r0 )

Para ubicar el nivel dinámico tenemos:

S0=QLn (R /r0)πK (H+h0)

La ecuación de la curva de abatimiento o de depresión de DUPUIT es:

Y 2−h02=

( H2−h02 )

Ln(R/r0 )Ln( x /r0 )

Caso 2: Acuíferos Confinados.

POZO PERFORADO EN ACUÍFERO CONFINADO

La ecuación DUPUIT para acuíferos confinados es.

Q=2 π . K .m .(H−h0)

LnR /r o

En función del descenso: S0 = H – h0 la ecuación se escribe como:

220


Q=2 π . K .m . S0

LnR/r0

De donde tenemos que el nivel dinámico es:

So=Q∗LnR /r0

2 π . K . m

Y la ecuación de la curva de abatimiento o de depresión:

Y−h0=(H−h0 )LnR /r0

Lnx /r 0

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Determine el rendimiento de un pozo ordinario a un abatimiento del nivel freático de

Smáx = 3.5m. El radio del pozo es r0=0.10m. El espesor del estrato saturado es H0 = 7m.

El radio de influencia es R = 100m, K=0.005 m/seg. Plotee la curva de depresión.

Solución:

Para un acuífero libre:

Q=1 .36 x 0 .005 x (72−3 .52)

log(1000 . 1 )

Q=0. 0836m3 /seg

Curva de Depresión, lo obtenemos a partir de :

Y=√(72−12 .206 log(100x ))

X (m) Y (m)

221


Ύ0=0.1 3.5

1 4.95

10 6.06

25 6.45

50 6.73

75 6.88

100 7.0

2) Calcule el flujo de agua a un pozo, si este penetra un manto de 7m. de espesor de

arena media saturada. Se ha determinado K = 0.005 m/seg., el radio del pozo r 0 =

0.10m. El abatimiento máximo requerido es de 3.5m.

Solución:

Se trata de acuífero libre sobre lecho impermeable

H0 = 0.7 m.

Ύ = 0.10 m.

K = 0.005 m/seg

Smáx = 3.5 m = H

Q=1 .365 K (H

02−H2 )

log( Rr )

Se desconoce el radio de influencia, por lo que determinamos R:

R=3000 xSmáx√K

R=3000 x 3 .5√0 .005R=742. 5 m .

Luego:

Q=1 .365 x 0. 005 (72−3.52 )

log(742 .50.10 )

Q=0. 0647 m3 /seg

222


Q=233.27 m3 /hr

¿Qué Ocurre Con el Gasto Q, Si el Radio del Pozo se Incrementa a R0= 0 0.20 m?

Q=1 .365 x 0. 005 (72−3.52 )

log(742 .50.20 )

Q=0. 0647 m3 /seg

Q=252. 95 m3/hr

Al incrementar el Ύ0 en 100%, el caudal aumenta en 8.43%

¿Qué Ocurre con Q, Cuando el Radio de Influencia Re es 200 m ?

Q=1 .365 x 0. 005 (72−3.52 )

log(2000 .10 )

Q=273. 53 m3/hr

Al incrementar R aproximadamente 4 veces, el gasto Q disminuye en 14.7%

3) Con los mismos datos del problema 9, calcule el flujo en un acuífero confinado (pozo

artesiano), con R = 200m. y espesor del acuífero 7m.

Solución:

Q=2 .73 x 0.005 x7 x 3 .5

log [2000. 10 ]

Q=0. 101 m3/ seg

Q=364 .71m3 /seg

223


ANEXO

PROBLEMAS PROPUESTOS

224


1. Hallar una expresión para la pérdida de cargo hf en un canal de longitud L, en función de la

carga de velocidad y del radio hidráulico.

2. Un canal tiene un ancho en el fondo de 2.5 m. el tirante es 0.8 m y el talud es de 60°. La

velocidad media es 1.80m/seg. ¿cuál es el gasto? ¿cuál es el radio hidráulico?. Dibujar la

sección transversal

3. Un canal rectangular tiene un ancho en el fondo de 2m. y un coeficiente de rugosidad de

Kutter de 0.014. el tirante es 1.20 m y la pendiente O.012, calcular el gasto.

Calcular el tirante con el que fluirá el mismo gasto en un canal triangular, de 90°, que tiene

la misma rugosidad y la misma pendiente.

4. Hallar el radio que debe tener la sección semicircular de un canal para transportar 3m 3/seg.

La pendiente del canal es 1 en 2.500. considerar que el coeficiente C d Chezy es 49 m1/2/seg.

Si el canal tuviera forma rectangular, pero el mismo ancho y profundidad total que la

sección anterior, cuál sería el gasto con el mismo valor de C y la misma pendiente.

5. El canal mostrado en la figura tiene una pendiente de 0.0009. el coeficiente n de Kutter es

0.013. calcular el gasto ¿en cuánto aumentará el gasto si la pendiente fuera el doble?

1.50 m

90°

6. ¿Qué sucede con el gasto en un canal si se cuadruplica la pendiente y el contorno se hace de

una rugosidad doble? Explicar detalladamente la respuesta.

7. En el problema número 21 pendiente del canal es 0.003. calcular

a) El coeficiente n de Kutter

b) El coeficiente c de Ganguillet – Kutter

c) La velocidad media a partir del coeficiente de Ganguillet – Kutter. Comparar con la

velocidad media dato el problema.

d) El coeficiente k de Stricker

e) El coeficiente C de Chezy con la fórmula de Pavlovskii.

8. Un canal tiene según la tabla de Kutter una rugosidad n = 0.035. Calcular el coeficiente C

de Chezy usando las fórmulas de Ganguillet – Kutter y Manning. El canal es muy ancho y

el tirante es 1 m.

9. Hallar los valores de X e Y, a que se refiere la ecuación 6 – 5, de las ecuaciones de

Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.

225

1.00m


10. Calcular el gasto en un canal que tiene 1.80m de tirante. La pendiente es 0.0018. la

rugosidad de Kutter a considerarse es 0.018,

a) Para una sección rectangular de 6m de ancho

b) para una sección triangular con un ángulo de 60°

c) para una sección circular de 4m de diámetro

d) para una sección parabólica que tiene 4 metros de ancho a la profundidad de

1m.

11. Un canal de sección trapezoidal, en tierra sin vegetación, debe transportar un gasto de 10

m3/seg, con una velocidad no mayor de 1m/seg. El talud es de 30° (con la horizontal). La

pendiente es de 8 en 10, 000. calcular las dimensiones de la sección transversal. Usar la

fórmula de Bazin.

12. un canal trapezoidal tiene 24 ft de ancho superficial, un talud de 45° y un ancho en la base

de 8ft. El canal es de concreto frotachado. La pendiente es 0.0006. calcular el gasto. Usar la

fórmula de Ganguillet – Kutter y la Manning (en unidades inglesas)

13. Se tiene un canal trapezoidal de 8m de ancho en la base y 2 m de tirante. El talud es de 1.5.

El canal es de tierra, sin vegetación y varios años de uso. La pendiente es 0.0004. calcular el

gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet - Kutter, Bazin, Manning y Chezy. Comparar

resultados (la temperatura del agua es 15° C)

14. En un canal de 0.80 m de ancho y 0.30 m el tirante fluye petróleo. La pendiente del canal es

0.0008. el canal es de tierra galvanizado. La viscosidad del petróleo es 10-5 m2/seg y su peso

específico relativo es 0.86. calcular el gasto.

15. Un canal trapezoidal del concreto frotachado tiene una capacidad de 4m3/seg. La pendiente

es 0.006. el talud es 0.5. si el ancho en el fondo es de 1m ¿cuáles son las dimensiones de la

sección transversal y la velocidad media? Si el borde libre fuera de 30cm. ¿qué caudal

adicional podría ser absorbido? (en porcentaje)

16. Se quiere construir un canal con una pendiente de 0.0035 para conducir 4m3/seg ¿qué

dimensiones debe tener el canal para que la velocidad no sea superior a 1.5m/seg. El talud

es 1.5. considerar que le coeficiente n de Kutter es 0.025?

17. Se tiene un canal trapezoidal de 5m de ancho superficial y 3m de ancho en el fondo. Talud

de 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0.030. la capacidad del canal es de 10m 3/seg.

Calcular:

a) cuanto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y

taludes, para aumentar su capacidad en 50%.

b) Cuanto habría que ensanchar el canal, conservando la misma profundidad y taludes,

para aumentar su capacidad en 50%.

18. Demostrar que en un canal de máxima hidráulica se cumple que la suma de los taludes es

igual al ancho superficial.

19. Demostrar que en una sección trapezoidal de máxima eficiencia hidráulica se cumple que:

½ (b+2zy)= y√1+z2

20. Demostrar que en un canal trapezoidal de máxima eficiencia hidráulica cuyo talud es de

45°, se cumple que

AR 2/3 = 1.90

226


b 8/3

21. Demostrar que para un canal que está en máxima eficiencia hidráulica se cumple para la

sección más eficiente que:

Y = 0.96 a (

Qn

S1/2)3/8

b = 1.110 (

Qn

S1/2)3/8

22. demostrar que en un canal con una velocidad V, dada la condición de máxima eficiencia

hidráulica (M.E.H) corresponde a pendiente mínima

23. En un canal de M.E.H. el ancho en el fondo es de 3m y el superficial es 8m. la pendiente es

0.006 y el coeficiente n de rugosidad de Kutter es 0.025. hallar el gasto.

24. El gasto del canal de alimentación de una central hidroeléctrica es de 60m3/seg. El talud es

1.25.

a) Calcular las dimensiones de la sección transversal para un tirante de 2m y una

pendiente de 0.0008 (el coeficiente de rugosidad G de Bazin es 0.30)

b) Conservando la velocidad del caso anterior ¿cuáles serían las dimensiones del

canal en condiciones de máxima eficiencia hidráulica? ¿Cuál deberá ser la

pendiente del canal?

c) ¿Cuál sería la sección de máxima eficiencia hidráulica manteniendo una

pendiente 0.001 ¿cuál será la velocidad en este caso?

25. Un canal debe transportar 8m3/seg. El talud es de 45°. Determinar las dimensiones de la

sección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente

es 0.002 y el coeficiente de Kutter es 0.022. en caso de revestir el contorno con concreto (n

= 0.016) determinar cuáles serían las nuevas dimensiones ¿de la sección transversal.

26. Un canal debe transportar 10m3/seg. Al inclinación de las paredes (talud) es 60°. Determinar

las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia

hidráulica. La pendiente del canal es 0.005. El canal es de concreto frotachado.

27. Un canal debe conducir 750 lt/seg. El talud es 2. determinar las dimensiones de la sección

transversal con la condición que la pendiente sea mínima. Ala velocidad no debe ser mayor

de 1m/seg. (a fin de prevenir erosiones). Considerar que n es 0.03

En el caso de revestir el canal (n = 0.022) ¿con que tirante fluirá el mismo gasto,

manteniendo la pendiente y la forma de la sección calculada en el caso anterior?

28. Un canal debe transportar 6m3/seg la inclinación de las paredes (talud) es de 603 con la

horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de

obtener eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0.003 y el coeficiente de Kutter es

0.025. en caso de revestir el canal con concreto frotachado ¿cuáles serían las nuevas

dimensiones de la sección?

227


29. Un canal trapezoidal debe transportar 12.5m3/seg. El talud es 0.5 determinar las

dimensiones de la sección transversal de modo de obtener máxima eficiencia hidráulica. La

pendiente es 0.0015. el coeficiente C de Chezy es 55m1/2/s.

30. Se trata de diseñar un canal para 8m3/s que debe ser construido en media ladera (inclinación

media 30°). El ancho en el fondo es de 4m la pendiente del canal debe ser 0.00025 y el

coeficiente de rugosidad de Kutter 0.025. el talud será de 45°. El borde libre se obtendrá del

gráfico de la pag. 317. Se pregunta si, desde el punto de vista del costo de excavación,

habría resultado más económico un canal de máxima eficiencia hidráulica.

31. Determinar el talud que debe tener un canal triangular para que sea de máxima eficiencia

hidráulica.

32. A igualdad de pendiente y calidad de paredes ¿en cual de los siguientes casos se obtendrá

una mayor velocidad de flujo para el escurrimiento de un mismo gasto?

a) Usando un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica

b) Usando un canal triangular de máxima eficiencia hidráulica.

33. Un canal trapezoidal cuyo ancho en la base es de 3.80m. tiene un talud igual a 0.7. La

pendiente es 1 por 1.000. si el canal estuviera completamente revestido de albañilería de

piedra, entonces para un gasto de 45m3/seg el tirante es 3.06 m. si el mismo canal estuviera

revestido con concreto frotachado se tendría para un gasto de 40 m3 un tirante de 2.60m.

a) Cuál será el gasto si el fondo es de concreto y las paredes de albañilería de piedra,

siendo el tirante de 3.0m

b) Cuál será el gasto si el fondo es de albañilería y las paredes de concreto para un tirante

de 3m.

34. Hallar las dimensiones que debe tener un canal trapezoidal en máxima eficiencia hidráulica

para llevar un gasto de 70m3/seg. La pendiente es de 0.0008 y el talud es de 1.5. el fondo es

de concreto frotachado y los taludes están formadas de albañilería de piedra bien terminada.

35. Un canal trapezoidal transporta 12m3/seg y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es

de 3m y el tirante de 1.5. si se necesita transportar 20m3/seg, se desea saber ¿cuántos metros

habría que profundizar la base del canal manteniendo el talud? Considerar para concreto

antiguo 0.018 y para el nuevo revestimiento 0.014 ¿qué dimensión tendría la nueva base del

canal?

36. Calcular el radio hidráulico de una sección triangular, a partir de la ecuación 6-29

37. Hallar las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado, radio hidráulica, ancho

superficial, tirante hidráulico y factor hidráulico para un canal circular parcialmente lleno

en el que el tirante es el 60% del diámetro. Hallar también el ángulo en el centro. Hallar

luego las expresiones correspondientes al gasto y velocidad máximas, para n igual

constante y para n igual variable.

Como aplicación calcular todos los valores para D = 16’’, S = 0.001 y n= 0.014 ¿cuál es

el máximo gasto que podría haber en esta tubería y cual es la máxima velocidad que

puede presentarse?

38. Hallar cual es el grado de sumergencia (y/D) que corresponde a un ángulo de 240° en una

tubería circular parcialmente llena.

228


39. Determinar el diámetro mínimo de un colector de desagües para conducir cada uno de los

gastos siguientes: 160, 200 y 2501/seg. La velocidad no debe ser menor de 0.60 m/s ¿cuál

es el tirante en cada caso? La cota del colector en el punto inicial es 100m y en el punto

final es 99.85. la longitud es de 200m. el coeficiente n de Kutter es 0.014.dibujar la curva

de variación entre Q y D.

40. Determinar el diámetro que debe tener un túnel de sección circular (n = 0.030) para

conducir un gasto de 20 m3/seg de modo que sea a mínima sección posible. A pendiente

es 0.0008. calcular también el tirante y velocidad respectivos.

41. Calcular la pendiente mínima con la cual se podrá tender un conducto circular para que

conduzca un gasto de 500 1/seg. El diámetro debe ser de 36’’ y a fin de evitar

sedimentaciones la velocidad debe ser superior a 0.60 m/seg (n = 0.14). determinar

también con que tirante se producirá el escurrimiento.

42. Un conducto tiene forma oval, formada por arcos circulares. La parte superior es un

semicírculo de radio r. el área y el perímetro mojado de la sección debajo del diámetro

horizontal del semicírculo son 3r2 y 4.82r. respectivamente. Demostrar que la máxima

descarga se presenta cuando a superficie libre subtiende un ángulo de 305° en el centro

de curvatura del semicírculo (usar la ecuación de Chezy)

43. La porción superior de la sección transversal de un canal es un semicírculo de radio r. la

porción inferior es una semieclipse de ancho 2r, profundidad 2r y perímetro 4.847, cuyo

eje menor coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. El canal debe llevar

15m3/seg trabajando a ¾ (y/D = 0.75). La pendiente es 1 en 1000, n = 0.014. hallar las

dimensiones de la sección y el tirante que daría un gasto

máximo.

44. Un acueducto tiene la forma que se muestra en la figura.

S = 0.0005

Q = 800l/seg

n = 0.012

Calcular el tirante, la velocidad media correspondiente y

determinar cuál sería el tirante para las condiciones de gasto

máximo y de velocidad máxima

45. Se tiene un conducto de la forma siguiente

Q max = 1001/s

S = 0.2%

n = 0.013

Calcular el valor del ancho b, el tirante y la velocidad media

229


REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

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EEUU, 1995.

2. Gilberto Sotelo; "Hidráulica General", España, Editorial Limusa 1,990.

3. Hubert Chanson; "Hidráulica del Flujo en Canales Abiertos", Colombia, Editorial Mc.

Graw-Hill 2002.

4. Joseph Franzini, Jhon Finnemore, “Mecánica de Fluidos con Aplicación en Ingeniería”,

Mc Graw Hill. Inc España, Novena Edición 1999.

5. Juan Saldarriaga; "Hidráulica de Tuberías", Colombia, Editorial Mc. Graw-Hill 1,998.

6. Lomax W. R., Saul A.J., Laboratory Work In Hydraulics. Bolton Institute Of Technology.

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7. Mataix Claudio, “Mecánica de Fluidos Y Maquinas Hidraulicas", Editorial.

8. Naudasher Edward; "Hidráulica de Canales", Alemania, Editorial Limusa, 2002

9. Rocha Arturo, “Mecánica de Fluidos", Editorial Lima- Perú.

10. Rojas Rubio H, “Manual de Mecánica de Fluidos II”, Portal web de la UNS, enlace en sala

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LINKS

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http://www.imft.fr/

2. WL Delft Hydraulics- Holanda

www.wldelft.nl

3. U.S. Army Corps of Engineers- USA

www.usace.army.mil

4. U.S. Geological Survey – Water Supply- USA

http://www.water.usgs.gov/

230

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