Manual Geometra español

Módulo II

Introducción a la geometría dinámica

The Geometer's Sketchpad

Conceptos Básicos del Software de Geometría Dinámica The Geometer's

Sketchpad V: 4.05

El Geometer's Sketchpad, a pesar de que este programa fue diseñado

como una poderosa herramienta para la exploración de la geometría, nos permite

realizar diseños para la simulación del comportamiento real de algunos objetos

donde se pueden visualizar diferentes registros como el numérico, el gráfico del

objeto en estudio, y del gráfico de la relación de las variables en un sistema

cartesiano, así como, su interrelación dinámica entre todos ellos. A continuación

se mencionan algunos otros recursos con que cuenta el programa.

El Geometer's Sketchpad permite construir gran variedad de figuras como:

Figuras simples para libros de texto

Modelos funcionales del teorema de Pitágoras

Dibujos en perspectiva

Mosaicos estilo Escher

Fractales

Ondas senoidales animadas

Gráficas de funciones

Una vez que se ha dibujado una figura en el programa Geometer's

Sketchpad, se utiliza el Mouse para transformar las figuras conservando la

relación geométrica de su construcción. Toda construcción guía en forma natural a

generalizar observando cuáles aspectos de la geometría cambian y cuáles se

mantienen iguales.

Con el Geometer's Sketchpad se puede construir puntos, rectas y círculos usando

las normas geométricas; diseñar un punto como el punto medio de un segmento;

Profesor: Salvador Moreno Guzmán 1

Módulo II

fijar una recta para que sea paralela a otra; Fijar el radio de un circulo igual a una

longitud dada.

Mientras se transforma alguna parte de la figura, todas las partes

relacionadas se actualizan simultanea y constantemente. Mientras un dibujo

utilizando papel y lápiz demuestra tan sólo un caso de relación geométrica, el

Geometer's Sketchpad permite examinar un vasto conjunto de casos similares.

A medida que se trabaja con este programa, se pueden medir cantidades

que oscilan desde simples distancias hasta expresiones complejas de su propio

diseño. Nos permite visualizar el comportamiento de una expresión matemática en

diferentes registros de representación.

En seguida se muestran los principales menús que integran el programa,

los cuales durante el curso se utilizaran para la construcción de objetos

geométricos que permitirán a través de la manipulación dinámica mostrar las

propiedades de algunos teoremas de la geometría plana.

No se pretende hacer un manual del programa sin embargo se considera

que es necesario hacer una breve descripción de los recursos que este ofrece

antes de empezar a describir la forma en que se desarrollarán los módulos de

simulación de problemas.

Figura 1

La figura 1 muestra el ambiente donde se trabaja la geometría en forma dinámica


Módulo II

Figura 2 Figura 3 Figura 4Barra de herramienta Menú de la herramienta Menú de herramientas

creadas para el programa y por el usuario

La figuras muestran un puntero con un dibujo en forma de flecha que en su

primera opción proporciona uno de los recursos más utilizados en el desarrollo de

un trabajo, debido a que permite desactivar la herramienta que en el momento se

esté utilizando, la misma función se realiza al presionar la tecla Esc . Con la

segunda opción que se encuentra a la derecha del puntero (ver figura 2) se puede

rotar los objetos construidos y con la tercera se pueden amplificar o reducir dichos

objetos. En la parte de abajo se muestra un icono con la figura de un punto, con

esta herramienta se construyen puntos, así, como un icono con un círculo con el

cual se construyen circunferencias de diferentes diámetros.

En la figura 3, abajo del icono del circulo se muestra una herramienta para

construir segmentos, rayos y rectas.

En la figura 4 se muestra un icono con el símbolo de la letra A con esta

opción dando doble clic en cualquier área de la página de trabajo se puede

insertar texto.

El icono que se encuentra abajo del A, cuya figura es una doble punta de

flecha este recurso permite construir o utilizar herramientas.


Módulo II

Las figuras que siguen muestran algunos de los recursos con que cuenta el programa.

Figura 5 Figura 6

Abre una nueva hoja de trabajo Deshace la última orden

Figura 7 Figura 8

Muestra la paleta de colores que se puede utilizar Construye un punto sobre un objeto


Módulo II

Figura 9 Figura 10 Figura 11

Menú transformar Menú medir Menú graficar

Figura 12 Figura 13

Muestra los archivos abiertos Muestra la ventana de ayuda


Módulo II

Figura 14 Figura 15

Dando un clic en el botó de la flecha Dando un clic en el botón segmentoAbre un menú para rotar o amplificar muestra un menú para construir

Segmentos de recta, Rayos o Rectas

Figura 16

Dando u clic en este botón se pude utilizar las herramientas que el programa proporciona o se pueden crear nuevas herramientas.


Módulo II

Actividades para construir ambientes computacionales para mostrar algunas propiedades de la geometría euclidiana

Actividad 1

Diseño de un ambiente computacional como el que se muestra en la figura 1,

en el cual se van a construir:

Puntos

Líneas rectas, líneas paralelas o verticales a otra que pasen por un punto

dado.

Segmentos de recta

Polígonos

Interior de los polígonos

El propósito de las actividades anteriores es para aprender a:

Medir segmentos, ángulos, perímetros y áreas de polígonos

Utilizar la calculadora para verificar las medidas que proporciona el

programa en una sola acción

Descubrir algunas propiedades (teoremas) de las figuras que se designan

con el nombre de invariantes al desplazar los puntos del polígono

Etiquetar los objetos construidos

Insertar texto y utilizar los recursos que este proporciona

Figura 17


Módulo II

Para iniciar una sesión con el programa Geometer's Sketchpad se puede

hacer de varias formas como abrir el Programas y dar clic en GSP 4.00 (ver figura

18) o también dando clic en el icono del escritorio (ver figura 19), de esta forma, se

abre el programa dejando ver la imagen de la figura 1.

Figura 18 Figura 19

Una vez que se tiene el programa activo se construyen los elementos que

se muestran en el ambiente computacional de la figura 1.

Construcción de un punto

Se da clic en el icono de la barra de herramientas, se llevar el cursor

del Mouse a la ventana de trabajo del programa, se da clic en botón derecho para

insertar el punto y se desactiva esta herramienta dando clic en la tecla Esc del

tablero o llevando el cursor del Mouse y dando clic en el icono de la barra de

herramientas.

Construcción de una recta

Se da clic en el icono de la barra de herramientas y se sostiene

presionando hasta que abra el menú del cual se puede elegir un

segmento, un rayo o una recta, en nuestro caso, se elige el de recta. Se da clic en

la ventana de trabajo en un lugar determinado y se arrastra el Mouse, apareciendo

una recta que se puede poner en cualquier inclinación arrastrando el cursor del

Mouse, pero, si se quiere poner horizontal en una forma sencilla, antes de soltar la

tecla del Mouse se presiona la tecla Mayúsculas (Shift) y finalmente se suelta la

tecla del Mouse.


Módulo II

Cuando se construye un objeto este queda seleccionado, para quitarle esta

selección se da un clic en cualquier lugar de la ventana donde no haya objetos, y

para seleccionarlos se da un clic en ellos.

Recuérdese, para liberar la herramienta hay que dar clic en la tecla Esc o

en .

Para etiquetar un objeto se da clic en de la barra de herramientas y el

cursor del Mouse se transforma en una mano señalando con el dedo índice, si se

acerca a un objeto esta cambia al color negro y dando clic aparece una etiqueta

representada por una letra la cual si se da doble clic aparece una ventana de

dialogo donde se le puede poner cualquier nombre o caracteres como se muestra

en la figura 20.

Construcción de una recta perpendicular

Dados una recta y un punto, construir una recta perpendicular a la primera y

que pase por dicho punto.

Se seleccionan los dos objetos dando clic en cada uno (recuerde que hay

que liberar la barra de herramientas) se da clic en Construc para desplegar su

menú y luego en Perpendicular Line (ver figuras 20, 21 y 22)


Construcción de una recta paralela


Módulo II

Dados una recta y un punto, trazar una recta paralela a la primera y que pase por

el punto.

Se seleccionan dando un cli en la recta horizontal y en el punto, se abre el menú

Construc y se da clic en Parallel Line (ver figura 23 y 24). Para ocultar las

etiquetas se da clic en y otro en los objetos (con la mano) ver figura 25.

Para ocultar objetos, estos se seleccionan, se abre el menú Display y se da clic

en Hide Points (ver figura 24). Obsérvese en la figura 25, que ya no aparece el

punto en la recta horizontal.

Figura 23 Figura 24

Figura 25 Figura 26

Construcción de un triángulo cuyos vértices se encuentran entre líneas

paralelas


Módulo II

Construir un punto en la línea superior y dos en la inferior, etiquetarlos dando clic

en y otro en cada objeto, después cambiarles las etiquetas por las letras A, B

y C. Dando doble clic aparece la ventana de diálogo como se muestra en las

figuras 27, 28 y 29. en la figura 27 aparece la letra C y se cambia por A (ver figura

28). Al final debe de quedar como la figura 29.

Estos Actividad nos sirven para poner, quitar y cambiar los nombres de las

etiquetas.

Figura 27 Figura 28

Figura 29

Hay varias formas de construir los segmentos para formar el triángulo, una de

ellas es de la barra de herramientas seleccionar el primer icono el cual


Módulo II

corresponde a segmento este es . Con esta herramienta unir

arrastrando el Mouse, cada uno de los vértices (ver figura 30).

Para construir el interior del polígono, se seleccionan sus puntos en orden

de las manecillas del reloj o en sentido contrario, esto, con el propósito de que no

queden cruzadas las líneas. Después abrir el menú Construct y dar clic en

Triangle Interior


Construir el interior del polígono tiene sus ventajas, se puede medir en una sola

acción su área o su perímetro como más adelante se va a llevar a cabo.

Medidas de los lados del triángulo

Se puede medir los segmentos por diferentes vías, una de ellas es

seleccionar los segmentos y del menú Measure se da clic en Length de lo cual

aparecen las tres medidas (ver figuras 33 y 34).

Medida del perímetro y del área del triángulo


Módulo II

Para medir el perímetro y el área en una acción cada medida, se selecciona el

interior del triángulo y del menú Measure se da clic en una primera acción

Perimeter y después en Area.

Medida de ángulos

Para medir los ángulos, se seleccionan los tres puntos y como lo índica la

forma convencional la medida que se obtiene corresponde al vértice que fue

seleccionado en el segundo lugar, para esto, del menú Measure se da clic en

Angle y esto se repite para medir los ángulos faltantes (ver figura ).

Edición de Texto

Para editar texto se da clic en y doble clic en el área donde se desea insertar.

Realizando las acciones anteriores aparece la barra de edición de la cual se

puede cambiar el tipo de letra color y símbolos matemáticos (ver figura 33).

Figura 33 Figura 34


Módulo II

Figura 35

Figura 36

Actividad 2

Diseño de un ambiente computacional como el que se muestra en la figura 2, en el

cual se van a construir:

Circunferencias

Diámetros

Arcos

El propósito de las actividades anteriores es para aprender a:

Medir la longitud de un arco, el área del círculo y el perímetro de la

circunferencia

Utilizar la calculadora para verificar las medidas que proporciona el

programa, así, como descubrir algunas propiedades de las figuras

A trabajar con las diferentes animaciones que proporciona el programa a

través de la construcción de botones

Integrar varias hojas en un mismo archivo

Copiar y ordenar hojas


Módulo II

Figura 37

Construcción de circunferencias

Para construir circunferencias se da clic en el icono de la barra de

herramientas y se ubica el cursor del Mouse desplazándolo en la ventana del

programa (ver figura 38).

Figura 38

Con el siguiente problema se van a ilustrar diferentes efectos de animación.


Módulo II

Mostrar que el triángulo, inscrito en una semicircunferencia donde uno de

los lados es el diámetro, es rectángulo.

Trazo del diámetro de una circunferencia

Una vez construida la circunferencia se construye una línea dando clic en

de la barra de herramientas, se lleva el cursor del Mouse hasta el

centro y se arrastra dando el ángulo deseado. Con lo anterior se asegura que la

recta pasa por el centro. Después, se traza un segmento de recta que una los

puntos de intersección y se oculta la recta. Para no tener problemas que de lugar

a los cambios del tamaño de la circunferencia y a la inclinación de la recta, se

ocultan los puntos que los modifican (ver figuras 39, 40 y 41 ). Se pone un punto

en la circunferencia y se unen con los extremos del diámetro por medio de

segmentos de línea (ver figura 42).

Figura 39. Puntos que modifican los objeto Figura 40. Puntos ocultos

Figura 41. Recta oculta Figura 42. Triángulo

Animación de un punto


Módulo II

Etiquetar los puntos como se muestra en la figura 43. Seleccionar el punto

C, abrir los Menús Edit, Actinon Buttons, Animation, (ver figuras 43 y 44)

Figura 43 Figura 44

De las acciones anteriores, aparece el botón y una ventana

de dialogo de la cual se pueden utilizar tres menús que son Animate, Label y

Objet. A su vez en Animate se muestran las opciones que el programa tiene para

la animación como sentido contrario a la manecillas del reloj, en el sentido de

las manecillas del reloj, bidireccional y aleatorio. (ver figura 45). También se

tiene diferentes opciones para realizar la animación al desplegar el menú Speed,

como lento, medio, rápido (ver figura 46) y otro donde se puede ajustar este

último a las necesidades del problema (ver figura 47). Cave mencionar que si se

da clic Once Only la animación se realiza en un ciclo, de lo contrario esta se

realiza hasta que se presiona el botón que le dio lugar.


Módulo II

Figura 45 Figura 46

En la ventana Lavel se puede cambiar el titulo del botón de animación (ver

figura 48).

Figura 47 Figura 48

En la ventana Objet se puede observar las propiedades del objeto, así

como de los objetos de los que depende su construcción y de los que dependen

de él (ver figura 49 Menús y Children).


Módulo II

Cuando se da clic en el botón Animar el Punto C, este punto se mueve

alrededor de la circunferencia en la figura 50 se muestra el punto C en un tiempo

determinado.

Medir los tres ángulos del triángulo y mover el punto C. obsérvese que el

ángulo ACB es un invariante, esto es, su valor no cambia y debido a este valor

(90º), se concluye que el triángulo es rectángulo.

Figura 49 Figura 50

Construcción de un arco de circunferencia

Para construir un arco de circunferencia se ubican tres puntos sobre ella y

se seleccionan en sentido de las manecillas del reloj para generar el arco que se

encuentra en la parte inferior o en sentido contrario para obtener el arco superior y

del menú Construct se da clic en Arc Trough 3 points lo cual genera el arco (ver

figura 52).

Para ocultar la circunferencia y solo se observe el arco, esta se selecciona

en un lugar que no contenga el arco y se oculta (ver figuras 53 ).


Módulo II

Figura 51 Figura 52

Figura 53

Medida de la longitud y radio de un arco de circunferencia

Para medir la longitud y el radio de un arco de circunferencia, se selecciona

el arco y del menú Measure, se determina una por una las medidas del ángulo, la

longitud y el radio del arco (ver figuras 54 y 55).


Módulo II

Figura 54 Figura 55

Gráfica de funciones en Geometer's Sketchpad

Para graficar funciones en el Geometer's Sketchpad, se despliega el menú

Graph y se da clic en New Function con lo cual aparece una calculadora donde

se captura la expresión matemática (ver figuras 56 y 57)

Figura 56 Figura 57


Módulo II

Ejemplo

Graficar

Se captura la expresión x2, para la expresión sinx se despliega el menú

Function, se da clic en sin y en x, y al dar clic en Ok el programa le asigna la

notación f(x) (ver figuras 58, 59 y 60)

Figura 58 Figura 59

Figura 60 Figura 61


Módulo II

Para graficar, se selecciona la expresión, del menú Graph se da clic en

Plot Function lo cual da lugar a la grafica de la función (ver figuras 62 y 63).

Figura 62 Figura 63


Módulo II

Introducción al programa derive

Uno de los programas de manipulación simbólica más comerciales en el

mundo es el Derive, el cual permite realizar múltiples operaciones de tipo

matemático, por lo cual se emplea como un auxiliar para realizar operaciones

complejas. Entre muchas posibilidades que nos da el Derive, tenemos las

siguientes: realiza productos, factorizaciones, solución de ecuaciones,

desigualdades, límites, derivadas, integrales, cálculo de áreas, de volúmenes de

revolución, de superficies, etc. Ecuaciones diferenciales de primero y segundo

orden, series de Taylor y de Fourier, Transformadas de Laplace, realiza

operaciones entre vectores y matrices, calcula determinantes, resuelve sistemas

de ecuaciones lineales contemplando los tres casos posibles (solución única,

infinidad de soluciones y sin solución), calcula los valores y vectores propios de

una matriz. El Derive trabaja con números complejos, funciones de Bessel,

Función Z, polinomios ortogonales de Chevichev, de Legendre etc. Se pueden

realizar gráficas en dos y tres dimensiones, gráficas en coordenadas polares, de

funciones paramétricas, etc.

Además de lo anterior el Derive, da opción a la creación de sus propios

macrocomandos para enriquecer más su potencial, cabe señalar que el Derive por

si solo no es suficiente para el aprendizaje, se necesita la elaboración de una serie

de actividades bien diseñadas para llevar a cabo el proceso enseñanza-

aprendizaje de las matemáticas.

Algunos de los campos de las matemáticas en los cuales se puede utilizar el

Derive son:

Aritmética

Trigonometría

Álgebra (campo de los números reales)

Álgebra (campo de los números complejos)

Álgebra de vectores

Operaciones con funciones


Módulo II

Álgebra lineal

Cálculo Diferencial

Cálculo integral

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodos iterativos

Distribuciones de probabilidad

Etc.

Algunos de los recursos del programa que serán utilizados en el curso

estarán contenidos en el campo de la aritmética, el álgebra y funciones, así como

el uso de la interfaz gráfica para la visualización y exploración de la gráfica de las

funciones.

La interfaz gráfica de Derive permite visualizar la gráfica de una a n

funciones en un mismo sistema cartesiano, inserta el cursor en la trayectoria de la

gráfica lo que permite explorarla haciendo un recorrido por ella, así también

proporciona los valores de su posición, se puede cambiar de escala, de rango, se

pueden modificar los colores tanto de la gráfica como de la ventana de trabajo, y

tiene la opción de copiar los gráficos en algún procesador de texto.

Pasos para trabajar con el programa Derive

Para iniciar una sesión de trabajo se da doble clic en el icono que se

encuentra en el escritorio (ver figura 1) de inmediato aparece la figura 2, si se

trabaja con una versión de prueba se da clic en el botón Probar, si la versión no es

de prueba, aparece una imagen similar con los créditos de los autores y de

inmediatos sigue una imagen con una pregunta y dos botones que indica si se

desea utilizar la configuración determinada en la sesión anterior o la que el

programa proporciona por default. Esto es debido a que en el programa Derive se

pueden modificar los tipos de letras sus tamaños y colores, así como, la alineación

de los objetos.


Módulo II


Cuando se da clic a cualquiera a una de las dos opciones de la figura 3

aparece la pantalla de Derive (ver figura 4) la cual está integrada por los

elementos que en seguida se indican de arriba hacia abajo:

Barra de títulos (Derive 6 Álgebra 1)

Barra de Menú

Barra de órdenes

Ventana de álgebra

Barra de estado


Módulo II

Barra de introducción de expresiones, también llamada línea de edición

Barra de letras griegas y de símbolos matemáticos.

Dada la importancia que tienen los comando para trabajar con el ambiente

computacional Derive, en seguida se muestran los iconos y los nombres de las

acciones que ejecutan.

Los comandos anteriores se van a utilizar a través de una serie de Actividad

inscritos en diferentes temas de las matemáticas como aritmética, álgebra,

trigonometría, funciones, tabla de valores de funciones, gráfica de funciones,

funciones por secciones (trozos), límites de funciones continuidad de funciones

etc.


Módulo II

Actividad

Actividad 1

Sumar 12 + 5

La expresión anterior se captura dando clic en la barra de edición o en el icono

editar expresión

Se presiona la tecla Intro o Enter del teclado para pasar la expresión a la

ventana de álgebra, donde el programa automáticamente la numera, en está

ventana es donde se procesan las expresiones simplificando, factorizando,

resolviendo, derivando, graficando, etc. Para nuestro caso se da un clic en el

comando dando el programa el resultado en el centro de la siguiente

línea, numerando la expresión en forma consecutiva.

Actividad 2

Obtener

El símbolo de la raíz cuadrada se puede insertar en la barra de edición de

dos formas, presionando las teclas ctrl + Q o dando clic en la barra de edición y

luego, en la barra de símbolos , y se teclea 36, después se da clic en Enter

para procesar la expresión en la ventana de álgebra, finalmente dando clic en el

icono con lo cual se obtiene la expresión #4


Módulo II

Actividad 3

Obtener

Se captura la expresión y se pasa a la ventana de álgebra y se simplifica,

pero, el resultado es la misma expresión, esto resulta por el programa trabaja en

dos modos, en el modo exacto por default y en el aproximado. Dado que el valor

exacto de es, , este es el valor que da el programa.

Pero si se desea determinar su valor aproximado se selecciona la expresión

#5, dando en ella un clic con el puntero del ratón y luego en el icono

Se puede configurar el programa para que siempre se encuentre en el

modo aproximado o donde la salida de las relaciones trigonométricas se de en

grados o radianes o un determinado número de dígitos. Esto se puede hacer de la

siguiente forma

Se da un clic para abrir la ventana del menú Definir y otro en Preferencias

de Simplificación que a su vez abre la ventana Opciones de Simplificación en ellas

se pueden hacer los cambios pertinentes como se muestra en las figuras.


Módulo II

Sin embargo, se recomienda tener el programa en el modo exacto y si es

necesario obtener el valor aproximado de una expresión, esta deberá

determinarse bajo la acción del comando .

Actividad 4

Sumar + +

Tener configurado el programa en el modo exacto tiene sus ventajas como

se puede ver en el Actividad anterior, donde el programa lleva las expresiones a la

simplificación de los radicandos más simples y realiza la suma de los términos

semejantes.

Esto se puede realizar paso a paso seleccionando uno de los radicales y

simplificarlo, después otro radical del resultado anterior y simplificarlo, y así

sucesivamente (ver figura).


Módulo II

La forma de seleccionar una parte de una expresión es dando clics en la

misma expresión sobre el lugar que se quiere aislar (ver en la figura anterior que

únicamente está seleccionado ).

Otra de las ventajas que se tiene con el programa configurado en el modo

exacto es cuando se trabaja con los números racionales.

Actividad 5

Simplificar

Capturando la expresión y simplificando, se tiene el siguiente resultado

Actividad 6

Simplificar

En forma similar al Actividad anterior, se obtiene el siguiente resultado

Uno de los recursos que ofrece el programa para formar expresiones

laboriosas de editar o de utilizar expresiones que se tienen en el programa, es a

través de seleccionar con el ratón la expresión requerida y dar clic en la tecla F3, y

cuando se requiere la expresión entre paréntesis se da clic en la tecla F4. las

acciones anteriores pegan la expresión en el menú de edición (ver figuras)


Módulo II

pega la expresión sin paréntesis pega la expresión con paréntesis

Actividad 7

utilizando la tecla F4 construir la siguiente fracción y simplificarla

Se selecciona la expresión #13 y se da clic en la tecla F4, en seguida se

captura el símbolo de división, luego, se selecciona la expresión #15 y se da clic

en F4, finalmente se simplifica (ver figura)


Módulo II

Simplificar las siguientes expresiones

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7)

8) 9) 10) 11)

Derive es un potente manipulador simbólico que permite realizar muchas

tareas propias del álgebra, como suma, resta multiplicación y división de

monomios y polinomios. Así como simplificación de radicales, resolución de

ecuaciones de primero, segundo grado, resolución de desigualdades también de

primero y segundo grado, factorización, resolución de sistemas de ecuaciones

lineales y no lineales, etc.

Los Actividad que siguen van enfocados a estos temas

Resolución de ecuaciones con una o varias literales

Actividad 8

Resolver


Módulo II

Se captura en forma similar a las expresiones anteriores, solo que ahora se va a

resolver utilizando el comando del icono el cual abre la siguiente

ventana de dialogo.

Se da clic en resolver y se obtiene el resultado (ver figura)

Actividad 9

Resolver

El proceso es similar al Actividad anterior, con la diferencia de que

aparecen en la ventana de dialogo tantas literales como variables tiene la

expresión


Módulo II

para indicarle al programa la variable que se desea despejar, esta se selecciona

dando un clic en ella y otro en la que aparece seleccionada para no sea tomada

en cuenta en la selección, en la figura se muestra a la variable v0 para ser

despejada.

Para introducir los símbolos como índices se

hace a través de que se encuentra en la barra de símbolos.


Módulo II

Nota.- para poner la potencia se hace a través del acento , que se encuentra en

la barra de símbolos. Se debe tener cuidado de no confundirlo con la conjunción

que se encuentra más abajo.

Actividad 10

Resolver 3x2-5x-2 = 0

Así se debe capturar 3x^2-5x-2 = 0

El proceso es el mismo que en el Actividad anterior

Factorización

Actividad 11

Factorizar 3x2-5x-2

Se captura la expresión en la barra de edición y se abre la ventana del menú

Simplificar y se da clic en Factorizar de la cual se abre otra ventana donde se

solicita información sobre la expresión. En la cual se le da clic en el botón

Factorizar.


Módulo II

El resultado de la factorización se observa en la siguiente figura

Actividad 12

Factorizar 4x3 – 8x2 + 16x – 32 por medio de las opciones Trivial, Sin cuadrados,

Racional, Radicales y Complejos

Los resultados se muestran en la siguiente figura

Actividad 13

En forma similar al Actividad anterior, factorizar 3x3y+ 9x2y- 6xy – 18y


Módulo II

Suma y resta de monomios y polinomios

Actividad 14

Simplificar la siguiente expresión (3ab –6) + (3a2 –8ab +5)

Se captura la expresión y se simplifica con el comando (ver figura)

Producto de monomios y polinomios

Actividad 15

Realizar el siguiente producto (3m + n)(m – 2n)


Módulo II

Los resultados de expandir respecto a m o a n se muestran en la figura

División de monomios y polinomios

La división entre monomios o entre monomios y polinomios se realiza con el

comando , y la división entre polinomios se determina con el comando

Expandir del menú Simplificar como se hace en el producto de polinomios, sólo

que hay que interpretar el resultado que proporciona el programa Derive.

La explicación de esta situación la realizamos a través de una división con

números enteros

Derive proporciona el resultado en una forma equivalente .

Actividad 16

Dividir 3a5 + 10a3b2 + 64a2b3 – 21a 4b + 32ab4 entre a3 – 4ab2 – 5a2b

En este caso el residuo es cero.


Módulo II

Actividad 17

Dividir 6m4 – 4m3n2 – 3m2n4 + 4mn6 – n8 entre 2m2 – n4

En este Actividad Derive proporciona el residuo en dos fracciones propias

respecto a m, pero este se puede procesar para representarlo en una sola fracción

como la mostrada en la expresión #58.

Funciones

Asignación de funciones

Para trabajar con funciones se recomienda que estas se simbolicen

definiéndolas a través del programa o en la línea de Edición.

Ejemplo: Si se requiere trabajar con la función esta se captura

anteponiendo dos puntos al signo de igualdad o también del

menú definir, dar clic en Función lo cual abre una ventana solicitando el nombre y

el argumento en la primera línea y la expresión algebraica en la segunda (ver

figuras).

Al proceso de designar con dos puntos seguidos del signo de la igualdad, se llama

Asignar la expresión algebraica al símbolo que la va a representar.


Módulo II

Al dar un clic en el botón Si, el programa proporciona la expresión #59.

Algunas de las ventajas que se tienen al definir las funciones de esta forma,

son: evaluar la función al sustituir la variable del argumento por algún número o

expresión algebraica; al procesar la expresión f(x) es como si se procesara toda la

expresión que la define; determinar tabla de valores, graficar, derivar, integrar etc.

Actividad 18

Sea

Evaluar la función en x = 0, en x = 4 y en x = 2a + b

Para realizar lo anterior se editan las expresiones una por una f(0), f(4) y f(2a + b)

y en cada caso se da clic para simplificar.

Tabla de valores de la función

Actividad 19

Obtener dos tablas de valores para donde x tome valores de 1 a

4 y otra donde x inicie en –2 y termine en 3.


Módulo II

Con el comando Table (f(x), x, 4) y se da clic en Simplificar. El primer

término después de abrir el paréntesis corresponde a la función, esta se puede

poner por su símbolo de definición o por la expresión algebraica, el segundo lugar

lo ocupa el símbolo que se desea variar y el tercero el número de enteros que se

requieren en la tabla (ver figura #67). Por otro lado si se desea iniciar con un valor

como –2 y terminar en 3, la expresión a editar es la que se muestra en #68, lo cual

da como resultado la tabla #69.

Actividad 20

Con la función anterior construir una tabla donde x inicie con el valor –2,

termine en 3 y los incrementos entre valores sea de 0.5

Se puede cambiar el valor de los incrementos al designarlo en el quinto

lugar (ver figura).


Módulo II

Si se requieren los valores en notación decimal, lo que se hace es

seleccionar la tabla y dar clic en Aproximar

Gráfica de funciones y de los valores de tablas

Gráfica en dos dimensiones

Para graficar una función en dos dimensiones, lo que se hace es capturar la

expresión en la línea de edición y dar clic en el icono , esto hace que se

abra una ventana que muestra un sistema cartesiano y después se da clic en el

icono para que surja finalmente la gráfica de la función.


Módulo II

Actividad 21

Graficar

Aprovechando que se tiene definida la función basta con editar f(x) o seleccionarla

después se da clic en y luego en (ver figura)

Para regresar a la ventana de álgebra se da clic en el icono

. La interfaz gráfica del programa Derive es muy

versátil porque ofrece varios recursos para modificar los ejes del sistema, explorar

la función, insertar el cursor en la línea de la gráfica, amplificarla alejarla,

acercarla, etc

Gráfica de los puntos proporcionados por una tabla de valores

Para graficar los puntos de una tabla de valores, se selecciona esta y se

procede como en el caso anterior, pero si se desea que en la gráfica los puntos


Módulo II

aparezcan unidos, entonces se abre el menú Opciones luego se da clic en

Pantalla lo cual abre la ventana Opciones de Pantalla en ella se pueden hacer

los cambios pertinentes como modificar la configuración de los ejes, del cursor, el

color de la gráfica, el fondo de la pantalla y si los puntos se quieren presentar

unidos por segmentos de líneas o no, y el tamaño de ellos (ver figuras).

Actividad 22

Graficar los puntos de la tabla dada por la expresión #69 con los puntos unidos por

segmentos de líneas.

Expresión #69


Módulo II

Gráfica de la expresión #69

Para borrar las gráficas, una de las opciones que se puede utilizar es dando

clic en .

Gráfica en tres dimensiones

Los pasos a seguir para graficar en tercera dimensión son similares a los de dos

dimensiones.

Actividad 23

Graficar z = x2 – y2

Se edita la ecuación y se da clic en el icono , aparece una barra que

muestra las opciones que se pueden utilizar para editar la gráfica.

luego se da clic en , lo cual da como resultado la siguiente figura.


Módulo II

Gráfica en tercera dimensión

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales

Para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, se abre el menú

resolver y se da clic en Sistema, donde aparece la ventana de dialogo

Introducción de un sistema, por default aparece el número 2 el cual se puede

cambiar según el numero de ecuaciones a resolver (ver figuras).


Módulo II

Si el número de ecuaciones es de tres, este es valor que se introduce y se

da clic en el botón Si, de lo cual aparece una ventana con tres líneas donde se

editan las ecuaciones del sistema y se da clic en el botón Si o Resolver

Actividad 24

Resolver 2x + y – 3z = 12

5x – 4y + 7z = 27

10x + 3y – z = 40


Módulo II

Se da clic en resolver y se obtiene la solución que se muestra en la expresión #75

(ver figura)

Editar texto para documentar los problemas

Para editar texto se da clic en y aparece una línea de edición

(un rectángulo) donde se captura el texto. Sí se desea cambiar el formato como el

tipo de letra, su tamaño, el color, su alineación, etc., entonces se abre la barra de

edición de texto abriendo el menú Ventana, dando clic en Barra de Herramientas y

Barra de formato, al realizar estas acciones aparece la barra de Formato ver

figuras


Módulo II

Solución paso a paso de un sistema de ecuaciones lineales con Derive

Los procesos algorítmicos se pueden desarrollar paso a paso y

documentarlos, un ejemplo se muestra en el siguiente Actividad.

Actividad 25

Resolver paso a paso el sistema anterior por el método de sustitución.

Se da clic en y se edita lo siguiente

Para realizar el paso 2 se selecciona la expresión #76 y se procede en forma

similar a lo realizado en el Actividad 8. Lo anterior da lugar a #80, luego se

selecciona #77 y se da clic en lo cual abre la ventana donde se

indica la variable y la expresión en que se va a sustituir y a continuación dar clic en

el botón Sí (ver figura)


Módulo II

Repetir el proceso despejando y de #81 de lo cual se obtiene #83, esta expresión

se sustituye seleccionando #78 y dando clic en luego se da clic en

Sí (ver figura)

Después

Después se da clic en Sí y se obtiene #84, en seguida se sustituye y de #83 en

#84 y se resuelve la ecuación #85 para obtener el valor de z, este valor se

sustituye en #83 para obtener el valor de y. Finalmente este ultimo valor se

sustituye en #80 para obtener el valor de x (ver figuras)


Módulo II


Módulo II

Trigonometría

Por dafault el programa se inicia configurado en radianes, pero se puede

cambiar la opción a grados se puede trabajar con las expresiones trigonométricas

o con sus inversas y realizar gráficas de sus funciones. los comandos son

similares a los que se manejan en el lenguaje español excepto el comando

seno(x) el cual se debe de llamar sin(x).

Actividad 26

Determinar a) sin(30º), b) cos (30º), c) tan(45º)

Se editan por separado las expresiones y se simplifican (ver imagen)

Se puede trabajar con identidades trigonométricas


Módulo II

Actividad 27

Simplificar a) (sin(x))2 + (cos(x))2, b) 1 – (cos(x))2 c) (cos(x))2 d) (tan(x))2

Bibliografía

Aebli, Hans, (1958). Una didáctica fundada en la psicología de Jean Piaget. Ed. Kapelusz 5. A., Buenos Aires Argentina.Aebli, Hans, (1995). 12 formas básicas de enseñar NARCEA. España.

Bennett, D., Finzer, William. (1998). El Geómetra. Geometría Dinámica para el Siglo XXI. Grupo Editorial Iberoamérica. México


Módulo II

Carretero, M. (1985). Constructivismo y Educación. Alianza, Madrid. Carrillo, A., y Llamas, I.: DERIVE. Aplicaciones matemáticas para PC,

RA-MA, Madrid, 1994. Castro Chadid, Iván: Cómo Hacer Matemáticas con DERIVE. Editorial

Reverté Colombiana, S.A., Calle 37 No. 22-72, Bogotá, Colombia, 1992, ISBN 958-95511-0-6. Este libro habla sobre el Álgebra, la Trigonometría, el Cálculo y ecuaciones diferenciales utilizando DERIVE. Incluye ejemplos. 446 pags.

Flores, Alfinio. "Curves as Envelopes with The Geometer's Sketchpad" Mathematics and Computer Education 31 (January 1997): 56-65.

García, Alfonso, ed.: Prácticas de Matemáticas con DERIVE, Distribuidora A.G.L.I., S.L., c/ Islas Marshall, 1, 28035-Madrid, España, 1994, ISBN 84-368-0759-6, Teléfono (91) 373 66 40, fax (91) 373 24 00. Elaboradas por los profesores del Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Universitaria de Informática de la Universidad Politécnica de Madrid. 418 págs. Incluye diskette 3,5"

González Pareja, Alfonso: Matemáticas con DERIVE en la economía y en la empresa, RA-MA, Madrid, 1995, ISBN 84-7897-201-3, 285 páginas.

Hitt, F. (1994). Simulación de fenómenos físicos vía la microcomputadora para la foración de conceptos matemáticos. Memorias del quinto simposio internacional sobre la investigación en educación matemática. Cuadernos de Investigación No. 31 Año VII, Septiembre, 1994.

Porter y Masingila (2001). Proccedings Fourteenh PME Conference. México Tall, David. (1996) Function and Calculus. Chapter 8. University of

Warwich, United Kingdom. A. J. Bishop at al. (eds.) International Handbook of Mathematics Educations.289-325.


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