Funciones para Windows 2.6Conceptos y palabras: dos sencillas palabras que enjaulan a dos grandes conceptos.- 2Funciones para Windows 2.6NDICE0-Prlogo.1-Introduccin. Para los que tengan prisa.2-Datos identificativos del autor del programa.3-Diferencias con la versin windows 16 bits.4-Requerimientos de hardware y software. Instalacin y puesta en marcha.5-Manual del Usuario.1-Cmo dibujar una funcin.2-Cuadro de dilogo: Funciones - entrada de datos.3-Normas de sintaxis.4-Cuadros de dilogo: 1-Interpolacin - Introducir valores .2-Regresin - Introducir valores .5-Opciones de los mens.6-Limitaciones.7-Fe de erratas.8-Diagnosis de problemas.6-Gua del profesor.1-Formas de utilizacin.2-Funcionamiento.3-Ejemplos. Fichas didcticas1-Matemticas - Estudio general de las funciones.2-Matemticas - Integral.3-Economa - Clculo de la cuota ntegra...4-Ciencias Sociales - Estudio de pluviometra.5-Matemticas - Series de Fourier.6-Economa - Bolsa.7-Matemticas - Regresin4-Ejemplos. Ideas.7-Gua del Alumno.Fichas del Alumno.1-Matemticas - Estudio general de las funciones.2-Matemticas - Integral.3-Economa - Clculo de la cuota ntegra...4-Ciencias Sociales - Estudio de pluviometra.5-Matemticas - Series de Fourier.6-Economa - Bolsa.7-Matemticas - Regresin- 3Funciones para Windows 2.60 - PRLOGO.Naci el programa FUNCIONES en el ao 1990 y corria en el MSDOS, se present y fue premiado con un segundo premio en el concurso de programas didcticos para ordenador organizado por el Ministerio de Educacin y Ciencia en el ao 1990. Era un programa escrito en el lenguaje QuickBASIC.En el ao 1992 se hizo la versin FUNCIONES para Windows v:1.0, que se present en el mismo concurso, del ao 1992, resultando tambin premiado. Fue realizado en Borland Pascal para windows. Durant el tiempo fue evolucionando hasta llegar a la versin 2.7.A partir de ella en el ao 2005 se hizo la versin FUNCIONES para LINUX. Se hizo en Borland Kylix y utilizando el entorno de ventanas QT. En paralelo se desarrollo una versin para entornos win 32 bits utilizando las mismas librerias. Esta versin, llammosle vrsin 0 de funciones para windows 32 bits tena algunos problemas por lo que:Ahora,principiosdel2007, sepresentalaversin FUNCIONESparaWindows32 bitsparaentornoswindowsde32bits, Windows95, 98, milenium, 2000, XP, Vista, etc. Realizado en Borland Delphi 5. De ahora en adelante le llamaremos Funciones Win 32.Si el usuariodetectaralgunerrorycreeoportunonotificarloal autor, noolvidede enviar un mensaje al autor, jlagares@xtec.cat. Si quisieran mandar algunos comentarios, ideas, etc., tambin seran bien recibidos. La ltima versin del programa con "bugs" y/o modificaciones podr ser bajada de la pgina web,www.lagares.org. No olvide de peridicamentevisitarlanosloparaverlasmodificacionesdeesteprogramasinopor las muchas otras aplicaciones didcticas que se pueden bajar.- 4Funciones para Windows 2.61 - INTRODUCCIN. Para los que tengan prisa.FUNCIONESparaWin32esunprogramaquerepresentafuncionesdefinidasde forma explcita o de forma numrica mediante una tabla de doble entrada.Para arrancarlo haga doble clic en el archivo FuncionsWin32.exe.Su campo de aplicacin es la asignatura de Matemticas, en cualquier dominio donde aparezca el tema FUNCIN. Incluso puede aplicarse para otras materias en las que se trabaja con dicho concepto, como FSICA o ECONOMAPermiteestudiar,dada una funcin (con una variable),TODO (casi todo), lo quehay enlas programacionesoficialesdelaasignatura de Matemticas, durante TODA (casi toda) la enseanza primaria, secundaria y primer ciclo universitario.Suprincipalobjetivo es ayudaralosalumnosaaprehenderunagranmayoradelos conceptos ligados conlas funciones. As, la mayora de las opciones de los mens son referencias directas ligadas a stos, es decir: (una funcin) Imagen, Antiimagen, Races, Discontinuidadesaisladas, Mximos, Mnimos, Puntosdeinflexin, Derivadaenunpunto, Integral definida, Integral delnea, Intervalos decrecimiento, Intervalos dedecrecimiento, Intervalos de concavidad, Intervalos de convexidad, Funcin derivada, Segunda derivada, Funcin integral, Cortes y rea entre dos funciones.Tambin, creemos, puede facilitar el aprendizaje de otros conceptos relacionados con el tema FUNCIN, no necesariamente matemticos y, lo que es ms importante, su interrelacin. Esoesdarsecuentadeloimportantedel temaenotroscamposycmopuedeayudarun conceptomatemticoaresolver problemasnomatemticos. Para unamuestra de ello, veael apartado EJEMPLOS del ndice.Tambin se ofrece un conjunto de fichas didcticas preparadas como guiones directamenteutilizablesporlosalumnos. Tambinpuedenservircomomodeloparaquelos profesores creen las suyas propias. La primera de ellas, es el estudio de todos los elementos notables de una funcin.Otra es el clculo de la cuota ntegra a partir de la base imponible de la declaracin de renta. Puede servir como gua didctica sobre cmo usar el programa para estudiar funciones numricas. Tambin, paradarsecuentadelodiversasquepuedenserlasposibilidadesdel presente programa. Y tambin, por qu no decirlo, ya que creemos que es una de las virtudes del programa, darse cuenta en dnde podemos hallar relaciones entre conceptos matemticos y objetos "ms familiares(??)". Relacin entre derivada y el tipo aplicable.Como el conjunto es bastante numeroso, da una idea de las muchas situaciones en que el programaesutilizable. Tambinpuedenservir comogermendefichas quelos propios profesores puedan realizar. - 5Funciones para Windows 2.62 - DATOS IDENTIFICATIVOS DEL AUTOR Y DEL PROGRAMA.Ttulo del programa: FUNCIONES para Win 32Asignatura: Matemticas, Ciencias Sociales, Ciencias Naturales, Economa...Nivel educativo: Primaria, Secundaria 12-16,17-18Primer ciclo educacin UniversitariaNombre y apellidos del autor: JORDI LAGARES ROSET- 6Funciones para Windows 2.63 - Diferencias con la versin de FUNCIONES para Windows 16 bits.1-Todoel programaseencuentraenunnicoarchivo,FuncionsWin32.exe, yno precisa de ningn tipo de instalacin. Se ejecuta haciendo doble clic en el archivo.2-Nohaydistintos programas paralos distintos lenguajes. Una opcindel men, Lenguaje, permite cambiar en los distintos disponibles.3-Opcin,Cambiarparmetros, estanuevaopcindaunanuevovalorpedaggico muyimportanteyaquesi loquequeremoses, por ejemplo, mostrarlasdiferenciasdelas funcioneslineales, pendienteyordenadaenel origen, funcionesdel tipoy=ax+bpodemos escribir exactamenteesoymedianteunclicderatnopulsandolaflechaarribaoabajo podemos cambiar dinmicamente el valor de dichos parmetros sin necesidad de ir cada vez a la ventana, FUNCIONES - Entrada de datos.4-Opciones:Disminuir (aumentar) el grosor de las lneas. Para ver mejor las grficas.5-Opcin,Transparente, para poder comparar las grficas de dos ventanas del programa Funciones para Win 32.6-Laopcin,Trazarlosclculos, habadejadodetenersentidoenlosordenadores rpidos de hoy en dia. Ahora cualdo se traza un clculo, por ejemplo cuando busca los mnimos odibujalafuncinderivada, lohacems lentamenteparaobservar laconstruccinyno depende de la velocidad del ordenador.7-Cuando calculaba el rea se hizo pensando en resoluciones de pantalla de 640x480. Actualmente la opcin normal es 1024x768 o superior lo que haci que al calcular el rea la partesombreadaencolor rojodejabaunasrayasblancasmuypocodidcticas. Estoseha corregido.8-Qu no hay en la versin win 32 que s habia en la versin para windows 16 bits?i-Men imprimirii-Fichero ayuda.hlp. Por lo tanto los mens y botones de ayuda se han quitado.- 7Funciones para Windows 2.64 - REQUERIMIENTOS DE HARDWARE Y SOFTWARE. INSTALACIN Y PUESTA EN MARCHA.Ordenador con un sistema operativo Windows de 32 bits. Windows 95, 98, XP...Se puede conseguir el programa bajndolo de la pgina web del autor, www.lagares.org. Vienecomprimidoenunficherozip. Enl hayelficherodel programa, FuncionsWin32.exe, yel presentemanual. Sedesomprimeel contenidoenundirectorio cualquiera y para ejecutarlo haga doble clic en el archivo FuncionsWin32.exe.- 8Funciones para Windows 2.65 - MANUAL DEL USUARIO.1 - Cmo Dibujar una funcin.Alarrancarelprograma, apareceuncuadrodedilogodenominado FUNCIONES- Entrada de datos . Este es el dilogo de control principal del programa. Escribaunafuncin, por ejemplo"SEN(X)". Pulseohagaclicenel botn Aceptar. Inmediatamente aparecer la ventana FUNCIONES y se dibujar la funcin.Si pulsa sobre el men "1 funcin.", acceder a toda una serie de opciones que podr ejecutarsobrelafuncindibujada: Imagen, Antiimagen, Races, Discontinuidadesaisladas, Mximos, Mnimos, Puntos de inflexin, Derivada en un punto, Integral definida, Integral de lnea, Intervalos de crecimiento, Intervalos de Decrecimiento, Intervalos de concavidad, Intervalos de convexidad, Funcin derivada, Segunda derivada, Funcin integral.Si quierecambiar lasfunciones olos valoresdelos ejes, escojadentrodel men Principalla opcin Cambiar funciones o parmetros refirindose a los valores de los ejes.- 9Funciones para Windows 2.62 - Cuadro de dilogo: Funciones - Entrada de datos. Es un cuadro de dilogo dividido en tres partes: La superior, sirve para introducir los valores de los ejes. La siguiente, precedidas por F(X)=, G(X)=,... es donde introduciremos las expresiones de hasta seis funciones.A continuacin, la zona de botones.Valores de los ejesHay que recordar que cada cuadro de entrada funciona como una calculadora. As, si quisiramos, por ejemplo, poner como Unidad eje X: pi/2, podemos escribir exactamente eso.Expresiones- 10Funciones para Windows 2.6Escribaaqu las funciones quequierarepresentar, seis comomximo. Paraeditar, utilice las teclas del cursor y . La forma de escribir las funciones debe cumplir una serie de normas de sintaxis son las usuales.Zona de BotonesHay 5 botones: 1Aceptar. Se pulsar cuando se hayan introducido las funciones y se quieran representar.2Cancelar. Cuandonoquieraquesurtaefectolosltimos cambiosenel cuadro ENTRADADEDATOS, sevolveralaventanaprincipal conlasfuncionespreviamente representadas.3 Inicializar ejes. Aparecern stos con los valores originales, que son : para el eje X, -7.5, 1, 7.5 y para el eje Y, -5, 1, 5.4Funcinnumrica. Cuandoquierarepresentarunafuncinnumrica, pulseesta opcin.Apareceruncuadrodedilogoenelcual podrescogercul de lasseisfunciones escoge para representar una funcin numrica. Pueden representarse hasta un mximo de seis funciones numricas. A continuacin, aparecer un nuevo cuadro de dilogo, funcin numrica - Introducir valores, en el cual podr colocar losX y F(X) mediante nmeros de la funcin.Si lo que desea es realizar un ajuste, regresin, (Regresin - Introducir valores) active la casilla de verificacin.- 11Funciones para Windows 2.63 - Normas de sintaxis.Para escribir las funciones se deben seguir unas normas de sintaxis que, en principio, son las usuales. Las describimos a continuacin:La variable independiente la representaremos mediante X.Se permite y recomienda el uso de parntesis.Las operaciones admitidas son:+Suma-Diferencia*Producto/Divisin^PotenciaLas funciones permitidas y su sintaxis son:SEN( ) : Seno radianes. SEG( ) : Seno grados sexagesimalesCOS( ) : Coseno " COG( ) : Coseno "TAN( ) : Tangente " TAG( ) : Tangente "ASE( ) : ArcoSeno " ASG( ) : ArcoSeno "ACO( ) : ArcoCoseno " ACG( ) : ArcoCoseno "ATA( ) : ArcoTangente" ATG( ) : ArcoTangente "LN( ) : Logaritmo Neperiano LOG( ) : Logaritmo en base 10EXP( ) : Exponencial e^x ALO( ):ArcoLogaritmo en base 10. 10^xABS( ) : Valor absolutoPI o P : 3.141593 NE : 2.718282Recordemos que puede calcularse el logaritmo en cualquier base mediante la siguiente frmula: Logb(x)=LN(X)/LN(b).Las reglas de prioridad son las conocidas. Recomendamos escribir todas las operaciones. Delante de parntesis y de las funciones anteriores, no es necesario poner el signo de multiplicar, en el supuesto de que ste sea el caso.Ejemplos de funciones:f(x)= sen(x) g(x)= x^3-4x^2+3x-1 h(x)=(x-1)/((x-1)*(x+3))Al tratarderepresentar unafuncinintroducidaincorrectamente, el programanos avisa, mediante un cuadro de mensaje, que ha ocurrido un error de sintaxis y, en ciertos casos, nosdicedequetipoes:habercerradodemasiadosparntesis, nohaberintroducidoninguna funcin, etc.Si aunparntesis,xofuncin, leprecedeunamultiplicacinyastaun nmero, podemos no escribir el signo de multiplicar. Por ejemplo: 3*x^2+2*sen(2*3.1416*x)-2*(x-3*aln(x))Puede escribirse:3x^2+2sen(2px)-2(x-3exp(x)).- 12Funciones para Windows 2.6Se pueden poner parmetros, a,b,c,d,e,f, (6 como mximo y utilizando estas letras). Por defecto tiene valor 1. Por ejemplo si queremos estudiar las propiedades de las funciones lineales podemos poner como funcin:ax+bPara poder modificar dichos parmetros es necesario abrir el cuadro Cambiar parmetros del men Opciones.- 13Funciones para Windows 2.64 - Cuadros de dilogo: Funcin numrica:1- Interpolacin - Introducir valores.Estees el cuadrodedilogoms complejodel programaFUNCIONES. Pueden introducirse los valores X e Y de dos formas distintas: directamente de teclado o a travs del "Portapapeles", en el cual habrn sido incluidas mediante otro programa, por ejemplo, una hoja de clculo ,como EXCEL, un procesador de textos , como WRITE, o incluso por este mismo programa. Como mximo podemos alojar 400 valores.Vemos dos cuadros de entrada en donde podemos introducir los sucesivos valores de X y su correspondiente imagen. Para pasar al siguiente valor, pulsamos o pulsamos el botn Siguiente. En el caso de que introdujramos mal el nmero, el programa nos avisara mediante un cuadro de mensaje.Unavezintroducidosunoscuantosvalores, encasodequeestuvieranequivocados, podemos volver a editarlos desplazndonos mediante los botonesAnterior,Siguiente(o RETORNO)obienutilizandolabarradedesplazamiento. Si quisiramosincluirunvalor entre dos previamente introducidos, pulsaremos el botn Insertar. En el caso de que hubiera 400 valores, se perdera el ltimo. Cuando queramos eliminar un valor, utilizaremos el botn - 14Funciones para Windows 2.6Suprimir. Si queremosintroducirunanuevafuncinapartirdel primervalor, pulsaremos Inicializar. Debido a que es una operacin peligrosa, aparece un cuadro de confirmacin.Cuando queramos colocar datos procedentes del "Portapapeles", pulsamosPegar. Aparece inmediatamente un cuadro de confirmacin. Hay que decir que los nmeros que lee del "Portapapeles" debenestar enformatotexto. Paraseparar dos nmeros, debehaber como mnimo un carcter no numrico como un espacio. Pueden utilizarse dos columnas numricas creadasconEXCELycopiarlasenel "Portapapeles". Tambindoscolumnascreadascon cualquier procesador de texto, como las del Ejemplo 3. Recordemos que, si hay algn carcter no numrico en medio de un nmero, podemos tener resultados inesperados.Copiar.Copialosvaloresenel"Portapapeles"paracuando se quieranusarenotros programas o en este mismo.Aceptar. Sirve paravalidar los datos introducidos yvolver al cuadrodedilogo principalFUNCIONES. Si escogemos esta opcin, se realizan unas comprobaciones: que no haya errores en los nmeros, que haya un mnimo de dos, y que no haya un valor de X menor que el anterior. En caso contrario, se nos informa y se nos devuelve al punto donde se halla el error. Si tenemosxito, regresamos alCUADROPRINCIPALy, enel cuadrodeentrada correspondiente a la funcin escogida, aparecer la leyenda FUNCIN NUMRICA. As se indicaal programaquenohayunafuncinexplcitaydeberealizarlosclculosdeforma distinta. Si borrramos o aadisemos alguna letra, al tratar de representar se nos informara de un error de sintaxis. En el caso de que escribiramos FUNCIN NUMRICA y no hubisemos introducido datos, al representar la funcin saldra la leyenda NO TIENE IMAGEN para todos lospuntos.Si borramos la palabraFUNCINNUMRICA,podemos utilizareste cuadro de entrada para incluir una nueva funcin explcita. Los valores numricos no se pierden, podemos volver a utilizarlos escribiendode nuevoFUNCINNUMRICAomediante el botn Funcin numrica del CUADRO PRINCIPAL.Cancelar.Cuando queramos olvidarlo quehayamosintroducidodenuevo, comoes una opcin delicada, mediante un cuadro de confirmacin deberemos ratificar la opcin. En el caso de que as sea, los valores que permanecen son los de la anterior funcin.Haytres"Casillas deverificacin"quepodemosactivarodesactivar pulsandoen ellas. Por defecto se encuentran las tres desactivadas.Lineal. Harque la grfica, entrecadados puntos, seaaproximada medianteun segmento de recta.Por defectoaproximamediantepolinomiosdetercergrado dandounalto gradodeaproximacin. Recomendamos comprobarlomediantevalores realesdefunciones polinmicas de 2 y 3 grado.Mostrar puntos. Marca los puntos que definen la funcin en la grfica.Extrapolar. La grfica ser representada ms all de los valores mximo y mnimo de la funcin.- 15Funciones para Windows 2.62- Regresin - Introducir valores.Este cuadro es similar al anterior. Se ofrece un nuevo botn, Coeficientes..., con el cual accedemosaunainformacin: Valoresmximosmnimos, mediasaritmticas, desviaciones tpicas, covarianza, loscoeficientesdecorrelacindeloscuatrotiposdeajusteposiblesas como los errores medios cometidos en cada uno de los casos.Para escoger uno de los cuatro tipos de ajuste pulsaremos el botn correspondiente.Al pulsar el botnAceptarserealizanunaseriedecomprobaciones: quenohaya nmeros errneos: -Que haya un mnimo de 3 pares de valores. -Que no haya valores superiores a 100000000. -En el caso del ajuste parablico y exponencial (a.b^x) el mayor nmero permitido es 100000. -En el caso exponencial no estn permitidos valores de la Y menores o iguales que 0. -En el caso potencial (a.x^b) no estn permitidos valores de X ni de Y menores o iguales a 0. -Finalmente comprueba que dichos valores permiten el tipo de ajuste seleccionado. En cualquier caso, si no es posible realizar el ajuste se nos informa mediante un cuadro de error. No podremos continuarhasta que ste sea subsanado.- 16Funciones para Windows 2.6Si un tipo ajuste no es posible, en el cuadro coeficientes aparece la leyenda NO.Cuandoqueramosconocerelmejortipodeajusteparanuestrosdatospulsaremosel botnCoeficientes.... Se considera el mejor ajuste el que de el menorERROR CUADRTICO MEDIO.La informacin contenida en el cuadrocoeficientespuede ser copiada en el portapapeles pulsando el botn Copiar.Las frmulas utilizadas para calcular los distintos tipos de coeficientes son las siguientes:Media aritmtica xnxiin1_Desviacin tpica( )_x xnSiinx21 Covarianza = ( )( )_ _x x y ynSi iinxy 1Regresin lineal:Coeficiente de correlacin = SSSxyx yRecta de regresin -> y = ax + ba = SSxyx2b = __yxa Regresin cuadrtica:Coeficiente de correlacin = 12 212+ + ( ) ax bx c ynSi i iinyDonde a, b, c,son los coeficientes de la parbola. El proceso para encontrarlos es un poco largo y aqu no lo mencionamos.Regresin exponencial:Se trata de realizar una interpolacin lineal con los valores x, ln(y).Regresin potencial:Se trata de realizar una interpolacin lineal con los valores ln(x), ln(y).Regresin del tipo y=ax/(b+x):Se trata de realizar una interpolacin lineal con los valores 1/x; 1/y.ERROR CUADRTICO MEDIO:- 17Funciones para Windows 2.6EQM = ( ),y yni i tericin21Donde n para todos los casos es el nmero de pares de valores introducidos.- 18Funciones para Windows 2.65 - Opciones de los mens.Si termina el proceso de dibujar una o ms grficas, por ejemplo la funcin "SEN(X)", observaremos la ventana FUNCIONES con el siguiente aspecto: Encontramos los tpicos botones: Minimizacin. La ventana queda reducida a su icono. Esto es muy til para despejar el rea de trabajo cuando empleamos varias aplicaciones juntas o, incluso, cuando trabajamos con varios programas FUNCIONES para Windows simultneamente.Maximizacin. Muyinteresanteparautilizar toda lapantalla pararepresentar los grficos.La esquina inferior derecha sirve para dimensionar la ventana. Con ella podremos dar al grfico el tamao que deseemos.Creemos que la forma habitual de trabajar debe ser con la ventana maximizada. No la utilizaremos cuando queramos ejecutar varias veces el programa o bien cuando queramos darle un cierto tamao al dibujo, cuando, por ejemplo, queramos incluirlo en algn texto.Pulsandoencualquier puntodelaventanaFUNCIONES, conel botnizquierdodel ratn, aparecen sealadas las coordenadas de dicho punto.Vemos unabarrade mencon5opciones:Archivo,1funcin.,2funciones., Opciones, ?.- 19Funciones para Windows 2.6Men Archivo. Si lo seleccionamos, accedemos a seis submens:Cambiarfuncionesovaloresdelosejes... CtrlF. Sirveparairal cuadrode dilogo Funciones - Entrada de datos. Cuando queramos cambiar de funciones o los valores de los ejes. es una tecla aceleradora, es decir que, pulsndola, se accede a dicha opcin.Abrir.... Muestra el dilogo Abrir archivo, en el cual podemos seleccionar un archivo que contenga datos que correspondan a funciones analticas o numricas as como valores de los ejes.Guardar. Guardalosdatosquesehallanenel cuadrodedilogoFUNCIONES- Entradadedatos. Enel casodequenotenganombreapareceel dilogoguardar comoy podemos asignar un nombre al archivo.- 20Funciones para Windows 2.6Guardar como . Guarda los datos que se hallan en el cuadro de dilogo Funciones - Entrada de datos en un archivo con el nombre que deseemosSalir . La forma habitual de abandonar el programa.Men Opciones.Cambiar parmetros.... Si queremosestudiar lasrectas en general podemosescribir una concreta 2x+3, pero podemos generalizar el estudio escribindola con parmetros, ax+b. Se puedeusar hasta 6parmetros distintos mediante las letras: a,b,c,d,e,f. Por defectoestos parmetros valen todos 1, pero podemos cambiarlos mediante esta opcin:Para cambiar los parmetros podemos hacerlo de varias formas. Una es escribir directamenteel valor, veremos comolafuncinseredibujadirectamente. Otramaneraes pulsandoenlasflechasqueaumentaodisminuyeelvalordelparmetroassociadosegnel valor indicado en el cuadro de edicin, incremento, valor que podemos modificar en cualquier momento. Finalmente otra forma ms directa de cambiar los parmetros es teniendo el punto de - 21Funciones para Windows 2.6insercin en un cuadro de edicin de cualquier parmetro pulsar las flechas arriba y abajo que hacenel mismoefectoquehacerclicenlasflechascomentadasanteriormente. Estaesuna nueva opcin que no estaba en las anteriores versiones del programa funciones y pensamos que le aade un nuevo gran valor didctico.Copiar en el portapapeles. Para copiar el contenido de la ventana en el "Portapapeles". Es la forma que tenemos para pasar los grficos creados a otros programas. Para recuperarlos, vamos a la aplicacin receptora. Nossituamos en el lugar donde deseamos que aparezca el grfico y seleccionamos la opcin, que suele estar en el men Edicin, Pegar. Esta opcin tambin se consigue pulsando las teclas CTRL INS.Limpiar. Cuando hemos realizado una de las anteriores opciones, por ejemplo clculo de la integral definida, su efecto queda dibujado hasta que una nueva opcin sea requerida. Si interesa dejar el estado inicial de la grfica, debemos utilizar esta opcin. Esta opcin tambin se consigue pulsando el botn derecho del ratn.Lassiguientescincoopcionessondel tipoActivo/Inactivo. Cuandoestnactivadas aparece el smbolo V delante.Pizarra. Cambia el fondo, generalmente blanco, a negro, que es el color tradicional de FUNCIONES para DOS. Por defecto, aparece desactivadaTrama. Ademsde los ejes,teje una cuadrcula delneas discontinuas.Por defecto, aparece desactivada- 22Funciones para Windows 2.6Valor unidad de los ejes. Cada unidad de los ejes aparece acompaada de su valor. Por defecto aparece desactivadaMostrarpuntossingulares. Cuandoel programaencuentramximos, mnimos, intervalos, etc. aparecen con su valor. Por defecto, esta opcin aparece activada. Si la desactivamos estos valores no aparecern.- 23Funciones para Windows 2.6Trazar clculos.Cuando el programabusca mximos,mnimos, intervalos,etc., lo hace de forma dinmica y nos va indicando por dnde anda la bsqueda mediante una lnea roja quevacruzandodederechaaizquierda.Estaprelacin es muyinteresanteyda, creemos, al programa un gran valor didctico. Aveces, segn como utilicemos el programa, puede interesarnosnovisualizartodoel proceso. Desactivandoestaopcin, loconseguiremos. El beneficio es un gran incremento de la velocidad. Se recomienda especialmente esta opcin para el clculo de la Funcin derivada. Por defecto, esta opcin aparece activada,Mostrarlascoordenadasdelratn. Silaactivamosapareceenlaesquinasuperior derecha las coordenadas donde se encuentra el cursos del "mouse" en cualquier momento.Baja precisin. Cuando se representan los puntos singulares, opcin Mostrar puntos singulares activada, se pueden mostrar los valores con alta precisin, millonsima, o baja , sta dependedelaestimacindel errorcometido. Por defectoapareceactivada, bajaprecisin, porqu lo creemos ms didctico. - 24Funciones para Windows 2.6Error en los clculos. Todos los procesos de clculo del programa son numricos. Mediante esta opcin podemos conocer una estimacin del error de clculo cometido.Novisualizarlosejes. Enalgunoscasospuedeser interesantever laformadela funcin sin que aparezcan los ejes. Si activamos esta opcin no se muestran los ejes.Funciones en negro. En otros casos, por ejemplo si queremos imprimir los grficos en una impresora en blanco y negro puede ser interesante que todo lo que aparezca en el mismo color negro. Esta opcin posibilita el hacerlo.- 25Funciones para Windows 2.6Disminuir (aumentar) el grosor de las lneas. Cada vez que pulsamos una o la otra opcin aumentamos o disminuimos respectivamente el grosos de las lneas. Evidentemente el grososr mnimo s 1 que es el que viene por defecto. Puede ser interesante en algunos casos que queramos que las funciones se vean mejor.Transparente. Si lo que queremos es comparar dos ventanas de dos programas distintosfuncionesparawin32si aunodeellosactivamosestaopcinpodemosponerla ventana encima del otro programa y la parte blanca se ha convertido en transparente para poder hacer la comparacin.- 26Funciones para Windows 2.6Lenguaje. Demomentotodas las informaciones quepresentael programapueden mostrarse en cataln o castellano. Mediante esta opcin podemos cambiar a cualquiera de ellos. la prxima vez que arranque el programa lo har con la ltima opcin escogida. Por defecto el programa est en cataln. Si quiere que aparezca en castellano active la opcin, castellano.Men1funcin.. Este men ser activo slo cuando haya una nica funcin representada. En caso contrario, las opciones aparecen en color gris y no estn activas. Si lo seleccionamos, accedemos a un total de 17 opciones.Imagen AltI. Senos ofrece uncuadrodedilogoenelquepodemos introducirel valor de la X. Pulsando el botn Aceptar o se nos da su imagen en el caso de que la tuviera. Si se encuentra entre los lmites del eje X, es dibujada- 27Funciones para Windows 2.6Las flechas arriba o abajo permiten calcular las imgenes de los puntos contiguos. Esto da unas enormes posibilidades a esta opcin como, por ejemplo, para explicar el concepto de mximo relativo de una funcin.Finalmente, si queremosabandonarestaopcin, pulsaremosel botnCancelarola tecla .Antiimagen. Se nos pideunnmero, medianteuncuadrodedilogo, quehade hallarse entre los lmites deleje Y.De forma dinmica, senos irn indicando, caso de que las tuviera, todas sus antiimgenes.Races. El programa, de forma dinmica, busca las races de la funcin.- 28Funciones para Windows 2.6Discontinuidadesaisladas. El programadalospuntossingularesdondeNOest definidala funcin.En este caso, nos dar el lmite.En el caso "1/(X-2)", nos dir que en 2 lim= infinito. Si fuera "sen(X)/X", nos escribir que en el 0 lim=1.Slo indicalas que haencontradopor suprecisin. Por ejemplo: (x^2-4)/(x-2), que tiene una discontinuidad en x=2, si la unidad del eje X es entera, 1 por ejemplo, s ser encontrada. Pero si representamos (x-3.1234)^2/(x-3.1234), que tiene unaclaradiscontinuidad en3.1234, noserhallada.Parahacerlo,tendramos queponercomounidad delejeX 3.1234ounmltiplosuyo. Estoesdebidoaqueseutilizaunmtodototalmente numrico ya que secalcula en un ciertonmero de puntos.Concretamente, entre los valores izquierdo y derecho del eje X, se calcula en 600 puntos. En casos como TAN(X), aunque no encuentre exactamente donde se halla el punto donde no est definida la funcin y se disparen los valores,nos indica POSIBLE PUNTO DE DISCONTINUIDAD infinito.Mximos. El programa nos da los mximos locales de la funcin.- 29Funciones para Windows 2.6Mnimos. Se nos ofrecen los mnimos.Puntos de inflexin. Clculo de los mismos.- 30Funciones para Windows 2.6Derivada en un punto. Aparece el mismo cuadro de dilogo que en la opcin imagen. El funcionamiento es idntico. Se nos ofrece el valor y el dibujo de la recta tangente. Aqu, la opcin encontrar valores adyacentes, vuelve a ser especialmente til.Recoramos que para hacerlo se usan las flechas arriba o abajo que permiten calcular las imgenes de los puntos contiguos. Esto da unas enormes posibilidades a esta opcin como, por ejemplo, para explicar el concepto de mximo relativo de una funcin. Finalmente, si queremos abandonar esta opcin, pulsaremos el botn Cancelar o la tecla .Integral definida. Nospide el valor delos lmites inferiory superior del intervalo de integracin.Se calcula, ofrece su valor y se dibuja en la grfica lo que representa.- 31Funciones para Windows 2.6Integral de lnea. Nos pide el valorde los lmites. Calcula el valor y se nos dibuja en la grfica lo que representaIntervalos de crecimiento. Aparece en la grfica una lnea roja, donde la funcin es creciente, indicando los extremos de los intervalos.- 32Funciones para Windows 2.6Intervalos de decrecimiento,Intervalos de concavidad,Intervalos de convexidad. Lo mismo que el caso anterior, pero en lazonadonde secumplelo especificado.Para hallar los lmites de los intervalos, podemos, asimismo, encontrarlos de una forma distinta calculando mximos, mnimos, puntos de inflexin y discontinuidades.Funcin derivada. Se nos ofrece,deforma dinmica, la construccin de la grficade la funcin derivada.Para obtener un valor concreto, podemos escoger la opcin derivada en un punto.Segunda derivada. Construccin dela funcin derivada segunda.- 33Funciones para Windows 2.6Funcinintegral. Construccindelafuncinintegral apartir deunpuntoque, previamente, se nos habr solicitado mediante un cuadro de dilogo . Para obtener un valor concreto, escogerlaopcinintegral definida.Ecuacinderegresin.... Estaopcinsloapareceactivacuandohayaunanica funcin numrica del tipo,regresin, introducida. Nos ofrece la ecuacinde la funcin ajustada. Tambin el coeficiente de correlacin. Dicha informacin podemos pasarla al portapapeles pulsando el botn Si.- 34Funciones para Windows 2.6Soloverpuntos. Estaopcinsloapareceactivacuandohayaunanicafuncin numrica del tipo, regresin, introducida. Nos ofrece la posibilidad de slo ver los puntos y no la grfica de regresin.Men2funciones.. Este men ser activo solo cuando haya dos funciones representadas. En caso contrario, las opciones aparecen en color gris y no estn activas. Si lo seleccionamos, accedemos a 2 opciones.Cortes. Busca los puntos de corte entre las dos funciones.rea. Clculodel reaentrelasdosfuncionesentredospuntoscualesquiera. Dichos puntos tendrnque ser introducidos previamente mediante un cuadro de dilogo.Men ?.- 35Funciones para Windows 2.6Acerca.... Apareceelcuadroinicial del programadondeseinformadel nombredel autor .- 36Funciones para Windows 2.66 - Limitaciones.-El nmeromximodefuncionesquesepuederepresentar esdeseis. Puedenser explcitas, numricas, o combinacin de ambas.-Los clculos se realizan en el rango comprendido entre -1019 y 1019. Si se rebasan , el programa nos muestra: Error por desbordamiento, overflow. Durante el clculo de los valores de las imgenes de una funcin, el programa nos indica: No tiene imagen.-La precisin de los clculos es de 10-6. Valores menores que stos, son redondeados a 0.-El nmero mximo de divisiones en los ejes es de 100. Si damos un valor : Unidad eje XoYquelecorrespondaunmayornmerodedivisiones, estosvalorescambianpara adecuarse al mximo de 100 divisiones. El programa no avisa de este hecho.-El nmero mximo de caracteres que puede tener una funcin explcita es de 200.-El nmero mximo de valores que puede tener una funcin numrica es de 400.-El valor absolutomximoquesepuedeintroducir enlas funcionesnumricases 100000000.-El valor absolutomximoquesepuedeintroducir enunaregresincuadrticao exponencial es 100000.-El nmero de puntos en los cuales se calcula la funcin, entre el "Origen del eje X" y el "Final del eje X", es de 600.- 37Funciones para Windows 2.67 - Fe de erratas.1-Al calcular puntos de inflexin, intervalos de concavidad y convexidad en funciones de comportamiento lineal, o casi lineal, puede dar lugar a errores. Las funciones trigonomtricas para valores a partir de pi o -pi, si las calculamos con precisin, dan problemas de este tipo. Es decir si estudiamos, por ejemplo, la funcin seno poniendo origen eje X 0 y final 2pi, al calcular puntos de inflexin o intervalos de concavidad o convexidad puede mostrar resultadosextraos. Elloesdebidoalerrorenqueincurreelordenadorenalgunosclculos, como, por ejemplo, 1-3/30.Para evitar este problema: NO calcular dichos conceptos en las funciones lineales. F(x)=mx+n o casi lineales. Para las funciones trigonomtricas la solucin si queremos estudiar estos conceptos es dejar los valores de los ejes iniciales o algunos similares.2-Si se utiliza la funcin Valor Absoluto,ABS(), podemos encontrar que en algn punto, si calculamosladerivada, puededarunvalorysabemosque, enrealidad, NO existe.Son los puntos angulosos.Ejemplo en F(x)=ABS(X). En el punto 0.Cuandoseutilizalafuncin ValorAbsolutoysequierecalcularladerivadaen algn punto. Se recomienda, ser cuidadoso y tener presente lo dicho.3-Si calculamos laprimera, osegundaderivadadelasfunciones: SEG(X), COG(X),TAN(X),funcionestrigonomtricas expresadas en grados sexagesimales, podemos encontrarnosconunasorpresa. Concretandoenelcasodelseno(x). Laprimeraderivadano parecedarlafuncincoseno(x),sinounafuncin cuyos valores son cercanos al cero. Esto es debido a que la derivada de la funcin seno(x) en grados, , vale:Sabemos que:Sen'()= Cos() , donde" "est expresado en radianes, RAD.Parapasar deRAD a :x = K,dondeK= /180yx est expresado en .Veremos que Sen'(x) = K*Cos(x), donde K 0.017.sen' ( )sen( ) sen( )x limx h xhh+ 0 *1Para calcular los senos lo pasamos a radianes:*1 = limx hK xKhh+ 0sen ( ) sen( )*2*2 = limxK hK xK hK xKhh+ 0sen( ) cos( ) cos( ) sen( ) sen( )*3- 38Funciones para Windows 2.6*3 = 1]1

+hhKxKhhKxK limh) sen() cos(1 ) cos() sen(0*4Calculemos:limhKhlimKhKhkKhh h 00 0sen( ) sen( )*4 =sen(xK) . 0 + cos(xK) . KOsea volviendoacalcularlasrazones trigonomtricas mediante :Sen'(x) = K.Cos(x)EstohacequelafuncinCOSENOquesalecomoderivadadelafuncinSENO (expresadas ambas en grados sexagesimales, ), venga afectada por una constante (0.017). En lapantalla, exceptoquenoaumentemosmucholaescala, NOseverepresentada. Se confunde con el eje X.Para evitar este problema: NOestudiemos las derivadas de las funciones trigonomtricas mediante, stas expresadas en grados. DEBE HACERSE con las equivalentes expresadas en radianes: SEN(X), COS(X), TAN(X).NOTADEL AUTOR: Silosusuariosde esteprograma detectaran algn error o quisieran hacerme alguna sugerencia, les agradecer que me lo hagan saber.- 39Funciones para Windows 2.68 - Diagnosis de problemas.Hemos hecho todo lo posible para evitar fallos del programa, "bugs". Dichos "errores", nonecesariamente, handeser erroresdeprogramacin. Puedenser, tambin, deconcepto matemtico o caracterstica pedaggica. Si el usuario detectara alguno y cree oportuno notificarlo al autor,no olvidede enviar unmensaje alautor,jlagares@xtec.cat. Siquisieran mandar algunos comentarios, ideas, etc., tambin seran bien recibidos. La ltima versin del programa con "bugs" y/o modificaciones podr ser bajada de la pgina web, www.lagares.org. No olvide de peridicamente visitarla no slo para ver las modificaciones de este programa sino por las muchas otras aplicaciones didcticas que se pueden bajar.- 40Funciones para Windows 2.66 - GUIA DEL PROFESOR.Para ejecutar el programa, supondremos que est instalado en un grupo de programas. Haga doble clic en el archivo FuncionsWin32. Para mayor informacin, consulte el captulo anterior: INSTALACIN Y PUESTA EN MARCHA.Bsicamente, esteprogramaloquehacees dibujar funciones, definidas de forma explcita o de forma numrica mediante una tabla de doble entrada. Tienetodoun conjunto de opciones, quelohacendiferentedelos quehastaahorael autor conoce, y, sobretodo, interesante.Su campo de aplicacin es la asignatura de MATEMTICAS, en cualquier dominio dondeaparezcaeltemaFUNCIN. Inclusopuedeutilizarseenotrasmateriasenquese trabaja dicho concepto, como FSICA , QUMICA, ESTADSTICA, ECONOMA ...Permite estudiar, dada una funcin, TODO(casi todo), loque hayenlas programacionesoficialesdelaasignaturadeMatemticas, duranteTODAlaenseanza primaria y secundaria.Dehecho, una delasprimerasaplicacionesdel programa sera dejar al alumno solo conl, probndolo. Sindarsecuenta, puedeaprender muchos conceptos ligados al de FUNCIN, como los de: RAICES, MAXIMOS, MINIMOS, CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, DISCONTINUIDADES, LIMITESenunpunto, CONCAVIDAD, CONVEXIDAD, PUNTOSDEINFLEXION, DERIVADAENUNPUNTO, FUNCIN DERIVADA, INTEGRAL DEFINIDA entre dos puntos, FUNCIN INTEGRAL, CORTES ENTREDOSFUNCIONES, AREAENTREDOSFUNCIONES, etc. (Verapartadode EJEMPLOS PRACTICOS).- 41Funciones para Windows 2.61 - Formas de utilizacin.Puede utilizarse de diferentes formas:En primer lugar como software educativo tradicional, instalado en todos los ordenadoresdel aulaylosalumnosdivididosengrupos, idealmentedosporordenador, se puede desarrollar una clase dirigida por el profesor o bien por un guin (EJEMPLOS) para cada grupo. Otraformadeutilizarloescomoayudadel profesor oalumnos parael dibujode grficas. Esta versin para Windows es especialmente potente en este apartado, ya que podemos pasareldibujoaotrosprogramasdelmismoentornocomoelPAINTBRUSH(programade dibujo) para aadirle cosas o tambin el WRITER (OpenOffice) o WORD (Ofice), procesadores de textos que permite incorporar las grficas entre el texto.Tambin, conayudadeuna pantalladevdeo(ounproyector de transparencias) conectada al ordenador , utilizar sta como una sofisticada pizarra (llamada, a veces, "pizarra electrnica")paramostraralosalumnosaquellasgrficasyaquellosefectostandifcilesde conseguir con una tiza y un tablero negro, donde es totalmente imposible si lo que pretendemos es hacer animacin.Por ltimo, por qu no decirlo, puede utilizarse en contextos no directamente relacionados con la didctica del tema FUNCIN. Como herramienta de trabajo, es til para el clculo de elementos relacionados con ella o tambin, por ejemplo, para el dibujo del ajuste de una funcin numrica. Por ejemplo,si quisiramos ver la grfica de temperaturas mximas y mnimas duranteunaodeunapoblacinoestudiar el comportamientodeunaovarias empresas enlabolsa, podemos representar, incluso, otros parmetros, comolas llamadas medias mviles.- 42Funciones para Windows 2.62 - Funcionamiento.Consultar captulo 7 MANUAL DEL USUARIOModo de trabajo:El programa puede usarse de diferentes formas. Diremos unos comentarios que, creemos ayudarn al profesor a utilizar la forma ms adecuada.Ventana maximizada o minimizada (Botn superior derecha). Creemos que el modo normal defuncionamiento, debeserconlaventanamaximizada. Si loquesepretendees, utilizarlo simultneamente con otros programas o consigo mismo, ser mejor utilizarlo en una ventana ms pequea. Podemos cambiar su dimensin mediante el ratn, pulsando y arrastrando la esquina inferior derecha. Esta posibilidad ser especialmente til, cuando queramos traspasar el dibujo a otro programa, ya que le podremos dar el tamao que creamos conveniente.Aprovechamosparadecirlosiguiente: Nosabamossi elmodoinicial delaventana debaser, enformatopequeoopantallacompleta, maximizada. Enprincipiolaeleccin pareca ser, maximizada, ya que, como acabamos de decir, es la forma, que creemos, habitual deutilizarlo. Alfinaldecidimos, iniciarloenunaventanapequea, parareforzarlaidea, de Windows, de utilizarlo juntamente con otras aplicaciones, y recordemos, tambin simultneamente con varios programas FUNCIONES para Windows.Opciones. Pizarra o no?, es decir, fondo blanco o negro.Se pregunt a los alumnos que lo utilizaron que, qu opinaban?. La respuesta fue: Las funciones se distinguen mejor en fondo negro, V Pizarra. Si lo que se pretende es estudiar 5 6 funciones, creemos que esta eleccin parece obligada. Pero en fondo blanco la vista se cansa menos.Trama, Valor unidad de los ejes. A gusto del usuario, teniendo en cuenta que, si los valores de las unidades de los ejes, cuadroprincipal, sonpequeos comparados conlos extremos, la trama puede llegar a ocultar la grfica y los valores de los ejes superponerse.Mostrar puntos singulares. En general creemos que debe estar siempre activada.TrazarClculos. Creemosqueesunaopcin, cuandoestactivada, quedaunalto contenidopedaggicoalprograma.Porello, creemosquedebeestaractiva.Tambin, decir que, si el ordenador no es muy rpido, 386SX a 16 por ejemplo, puede hacer que los procesos se realicen muy lentamente. sta es la opcin que, el profesor deberautilizar con ms mesura.Baja precisin. Creemos que es ms didctica cuando est activa, porque los nmeros no se escriben con muchos decimales. Si interesa mayor precisin, desactivarla.- 43Funciones para Windows 2.63 - Ejemplos. Fichas didcticas.Loquevieneacontinuacinesungrupodefichasdidcticas, esdecir, guionesde trabajo.La lista no pretende ser exhaustiva. Pensamos que pueden ser utilizadas directamente y creemos que pueden servir de modelo para que cada profesor elabore sus propias fichas. Estas fichas vienen completas y con los grficos dibujados.En la gua del Alumno,captulo 9, vienen las fichas sin realizar. Una metodologa de trabajo sera: -Breve explicacin del entorno Windows.-Breve explicacin del funcionamiento del programa.-Entregarles una ficha para que la rellenen, supervisados por el profesor.Las fichas de los alumnos vienen tambin en ficheros independientes, en formato .WRI, parael procesadordetextoquevieneincluidoenWindows. Enlasprcticasdefunciones numricasparanotenerqueteclearlosvalores, sepuedenpasarmedianteel portapapeles, copiar y pegar.Cuando en una ficha hay letra cursiva, queremos indicar que es una descripcin de una accin que debe realizar el alumno:Enelapartado4deestecaptulo,-Ejemplos. Ideas-,seofreceunconjuntobastante numeroso de problemas. No son guas completas, sino esbozos de la gran cantidad de posibilidades que ofrece este programa y pueden actuar como germen de otras fichas.- 44Funciones para Windows 2.6Ficha 1 - Matemticas.Tema: Estudio general de una funcin.Nivel :3 BUP y COU.Conocimientos previos: Resolucin de ecuaciones. Clculo de derivadas.Objetivo general: Comprender y saber aplicar las distintas tcnicas que ofrece el clculo diferencial para el estudio y representacin de funciones.Objetivos especficos: Comprender y saber calcular los siguientes conceptos: Races.Ordenada en el origen.Mximos relativos.Mnimos relativos.Intervalos de crecimiento.Intervalos de decrecimiento.Puntos de inflexin.Intervalos de concavidad.Intervalos de convexidad.Asntota vertical.Asntota horizontal.Asntota oblicua.Simetra: par, impar.Procedimiento:Ejecutar el programa: Funciones para WindowsCondiciones de trabajo:-Ventanamaximizado.Pulsar enlaventanael botndemaximizacin, esquinasuperior derecha.-La opcin "Baja precisin" del men "Opciones"activa. Creemos que es mejor as. Recordar que, por defecto,al arrancarel programaaparece yaactiva. Comoesta opcinslo afecta a los puntos singulares, mximos, mnimos, intervalos..., puede provocar ligeras diferencias con el clculo de imgenes. Si quiere evitar estas diferencias, desactive esta opcin.-Laopcin"Trazarclculos", delmismomen, creemosquedebeestaractiva(opcinpor defecto), ya que ayuda mucho a la comprensin de los conceptos. Si el ordenador no es muy rpido se aconseja desactivarla.- 45Funciones para Windows 2.61.1 Races, ordenada en el origen.Representemos la siguiente funcin: F(x)=1/36(3x^4-20x^3+12x^2+96x-110) . La llamaremos funcin 1.(ficha11.wfu)Valores de los ejes:Origen eje X -6.5Unidad eje X1Final eje X8.5Origen eje Y -5Unidad eje Y1Final eje Y 5Calcular las races.Men 1 f. .Opcin Races.Races: -2.14, 1.31, 2.76, 4.74.Las races son las intersecciones de la funcin con el eje de abscisas.Calcular la ordenada en el origen.Men 1 f. .Opcin Imagen....Calcular la imagen de 0: -3.055.La ordenada en el origen es la interseccin de la funcin con el eje de ordenadas. O lo que es lo mismo, la imagen de 0.1.2 Mximos y mnimos relativos. Calcular los mximos.Men 1 f. .Opcin Mximos.- 46Funciones para Windows 2.6Hay un nico mximo: (0.5, 2)Calcular los mnimos.Men 1 f. .Opcin Mnimos.Hay dos: (-1, -4.75) y (4,-1.28)Vamos a ver con ms detalle el significado de estos conceptos. Concretaremos en el mnimo (-4,-1.28). Para ello, procedamos del siguiente modo:Men 1 f. .Opcin Imagen....Calcular la imagen de -4: -1.277.Pulsar el botn d->La imagen de 4.025 que es -1.276.Pulsar dos veces el botnLa imagen de 5.525 que es 5.807.Pulsar dos veces el botnLa imagen de 3.525, es -0.980.Pulsar dos veces el botn. Hasta que el valor sea positivo. Observar la forma de la recta tangente representada.Observamos que cuando x=4, la recta tangente es horizontal y su pendiente (la derivada) vale: 0. Recordar que en el 4 hay un mnimo.Calcular la derivada de 1.9: 0.2.Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->. Hasta que el valor sea negativo. Observar la forma de la recta tangente representada.Observamos que, cuando x=2, la recta tangente es horizontal y su pendiente (la derivada) vale: 0. Recordar que en el 2 hay un mximo.- 51Funciones para Windows 2.6De todo ello podemos sacar la siguiente conclusin:En los mximos y mnimos relativos de una funcin la derivada se anula (0).Tambinhemosvistocmodiferenciarunmximodeunmnimo. Enel primercaso, x=4, mnimo, la derivada era negativa para nmeros menores que 4. Se haca 0 en el 4. Y positiva para nmeros mayores que 4. Es decir, la funcin derivada es creciente en el 4. Pero hemos visto que una funcin es creciente cuando su derivada es positiva. A consecuencia de esto:En un punto hay un mnimo, si la derivada = 0, y la segunda derivada es positiva(As la primera derivada es creciente).En el segundo caso, x=2, mximo, la derivada era positiva para nmeros menores que 2. 0 en el 2. Negativa para nmeros mayoresque 2. Es decir,la funcinderivadaescrecienteenel2. Perohemosvistoqueunafuncinesdecrecientecuandosuderivadaesnegativa. Loque implica que:En un punto hay un mximo, si la derivada = 0, y la segunda derivada es negativa(As la primera derivada es decreciente).Para ver un poco mejor esto, dibujemos la funcin derivada.Men 1 f. .Opcin Funcin derivada.Observamosquelospuntos dondesehallanlos mximosymnimos esdondelafuncin derivada (en verde) corta el eje de abscisas . En el mximo, la funcin derivada es decreciente. En los mnimos, decreciente.Resumen:Una funcin es creciente en un punto x ,si F(x)>0.Una funcin es decreciente en un punto x ,si F(x), hasta, por ejemplo,-0.45: 2Observamosquelarectatangentequeda debajodelacurvaentodosloscasos. Tambin hemospodidocomprobarqueel valordeladerivadaibaaumentando. Esdecir, lafuncin derivada es creciente en los puntos donde la funcin es cncava.Ahora calcularemos la derivada en un punto donde sea convexa.Calcular la derivada de 1.4: 1.25.- 54Funciones para Windows 2.6Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->, hasta, por ejemplo,1.8: 0.41Observamos que la recta tangente queda por encimade la curva en todos los casos. Tambin hemospodidocomprobarqueelvalordeladerivadaibadisminuyendo.Esdecir,lafuncin derivada es decreciente en los puntos donde la funcin es convexa.Para comprender mejor esto, proseguiremos con:Men 1 f. .Opcin Segunda derivada.Observamos lo siguiente:Una funcin es cncava donde la primera derivada es creciente, que equivale a que la segunda derivada sea:positiva. Cuando sea convexa, la segunda derivada ser:negativa.En los puntos de inflexin la segunda derivada vale:0.1.7 Asntotas verticales.Representar lasiguiente funcin: F(x)=1/((x+3)*(x-1))+1 .(ficha12.fu)Le llamaremos funcin 2. Valores de los ejes, los iniciales.Calcularemos las imgenes de los puntos cercanos al -3.Men 1 f. .Opcin Imagen....Calcular la imagen de -3.1: 3.43902.Pulsar sucesivamente el botn d->.Vemosquelaimagende-3.025vale10.93789y-3notieneimagen. Si vamosmsala derecha, stas tienen valores negativos.- 55Funciones para Windows 2.6Si calculamos imgenes ms prximas al -3, por la izquierda.f(-3.01)= 25.937f(-3.001)= 250.93f(-3.0001)= 2500.9Vemos que los valores soncadavez mayores. Cuandolas imgenes de una funcin, al acercarnosaunpunto, sehacencadavezmayores, (tiendenainfinitooamenosinfinito) decimos que la funcin tiene una asntota vertical.Podemos ver que si nos acercamos a -3 por la derecha, las imgenes tienden a menos infinito.f(-2.99)= -24.062f(-2.999)= -249.06f(-2.9999)= -2499.0f(-2.999999)= -249999De hecho, se define asntota vertical como la ecuacin de una recta vertical, x=a, donde a es el punto singular.Vemos esas rectas:Men 1 f. .Opcin Discontinuidades aisladas.Las ecuaciones de las asntotas de esta funcin son:x=-3, x=1.1.8 Asntotas Horizontales.Representar la anterior funcin: F(x)=1/((x+3)*(x-1))+1,juntamente con:G(x)=1. Le llamaremos funcin 3.(ficha13.wfu)- 56Funciones para Windows 2.6Observamosque, paralosvaloresextremosdelarepresentacin, lasdosgrficastiendena confundirse. Cuandoestoocurre, decimosquelafuncintieneunaasntotahorizontal. En nuestro caso y=1.Engeneral, laecuacindeunarectaseexpresa:y=ax+bdondeaeslapendiente, que, en nuestro caso, por ser una recta horizontal, siempre vale 0 y donde b, la ordenada en el origen (trmino independiente), se calcula mediante el siguiente lmite:b f xxlim ( )1.9 Asntotas Oblicuas.Representar las funciones: F(x)=x^2/(x-2). Funcin 4. G(x)=x+2. Funcin 5.(ficha14.wfu)Valores de los ejes:Origen eje X -10Unidad eje X2Final eje X20Origen eje Y -10Unidad eje Y2Final eje Y 20- 57Funciones para Windows 2.6Observamosque, paralosvaloresextremosdelarepresentacin, lasdosgrficastiendena confundirse. Cuando esto ocurre decimos que la funcin tiene una asntota oblicua. En nuestro caso, y=x+2.Para hallar la ecuacin de esta recta, y=ax+b:af xxxlim( )b f x axx lim( ( ) )1.8 Simetra: Par, impar.Decimos que una funcin tiene simetra par, funcin par, cuando f(x) = f(-x).Decimos que una funcin tiene simetra impar, funcin impar, cuando f(x) = -f(-x).Veamos el significado de esto.-Representar lasiguiente funcin: F(x)=1/((x^2-2)). Funcin 6.(ficha15.wfu)-Calcular las imgenes de:1, -1; 3.5, -3.5; -2, 2; 5, -5.F(1)=-1 F(-1)=-1F(3.5)=0.097561 F(-3.5)=0.097561F(-2)=0.5 F(2)=0.5F(5)=-0.043478F(-5)=-0.043478Observamosquelaimagendeunnmeroesigualaladesuopuesto. Cuandounafuncin cumple esta propiedad decimos que es par. Tambin se denomina, simtrica respecto al eje Y. El eje Y acta como un espejo.-Representar lasiguiente funcin: F(x)=2/(x^3-2x). Funcin 7.(ficha16.wfu)- 58Funciones para Windows 2.6-Calcular las imgenes de:1, -1; 3.5, -3.5; -2, 2; 0.5, -0.5.F(1)=-2 F(-1)=2F(3.5)=0.055749 F(-3.5)=-0.055749F(-2)=-0.5 F(2)=0.5F(0.5)=-2.285714 F(-0.5)=2.285714Observamosquelaimagendeunnmeroesigual aladesuopuestocambiadadesigno. Cuandouna funcincumple esta propiedaddecimos que espar. Tambinse denomina, simtrica respecto al origen de coordenadas.- 59Funciones para Windows 2.6Resumen:Para representar una funcin, se procede del siguiente modo:Se calcula:Dominio.Cortes con los ejes:Races.Ordenada en el origen.Mximos relativos.Mnimos relativos.Intervalos de crecimiento.Intervalos de decrecimiento.Puntos de inflexin.Intervalos de concavidad.Intervalos de convexidad.Asntotas verticales.Asntotas horizontales.Asntotas oblicuas.Simetras.-Para calcularlos, actuamos tal como hemos visto anteriormente.-Debe tenerse en cuenta que no suele ser necesario calcular todos y cada uno de los puntos. -Despus se traslada todo al dibujo de la grfica.Probar con la siguiente grfica: f(x)=x^3/(x^2-2) (ficha17.wfu)Si escogemos como valores de los ejes:Origen eje X -7.5Unidad eje X2Final eje X7.5Origen eje Y -6Unidad eje Y2Final eje Y 6Debe salir una cosa as:- 60Funciones para Windows 2.6Ficha 2 - Matemticas.Tema: IntegralConocimientos previos: reas. Derivacin. Clculo de primitivas.Nivel :3 BUP, COU y primer curso universitario de carreras cientfico-tcnicas.Insercin Curricular:Clculo Diferencial e Integral.Objetivos: Conocer los conceptos de: Integral definida. Funcin rea. Darse cuenta de que las funciones rea son funciones primitivas. Teorema fundamental del clculo. Comprender, y saber aplicar, el "Segundo teorema fundamental del clculo", regla de Barrow.Procedimiento:2.1 Integral definidaEjecutar el programa: Funciones para WindowsRepresentemos la siguiente funcin: F(x)=1/20(x^3+2x^2-11x+38) . Le llamaremos funcin 1(ficha21.wfu)Valores de los ejes:Origen eje X -7.5Unidad eje X1Final eje X7.5Origen eje Y -4Unidad eje Y1Final eje Y 6Calcular la integral definida entre -4 y 1.Men 1 f. .Opcin Integral definida.... Escribir como extremos de integracin los dados.- 61Funciones para Windows 2.6Observar:El valor :12.60Lo que representa: rea limitada por la curva, eje de abscisas, rectas: x=-4 y x=1Calcular la integral definida entre -4 y -1: 8.737Calcular la integral definida entre -1 y 1: 3.866Suma los resultados: 12.60Observa la siguiente propiedad: (Int. def. entre -4 y -1) + (Int. def. entre -1 y 1) = (Int. def. entre -4 y 1)2.2 Funcin reaCalcularuna primitiva de la funcin anterior: 1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)Ejecutar de nuevo programa Funciones para Windows. Simultneamente con el anterior.Representemos la funcin primitiva: F(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)(ficha22.wfu)Calcular la imagen de -4: -10.933Representemos la funcin primitiva:F(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)+10.933.Le llamaremos funcin 2 (Hemos escogido una primitiva en la cual la imagen del -4 vale 0). (ficha23.wfu)Valores de los ejes:Origen eje X -7.5Unidad eje X1Final eje X7.5Origen eje Y -4*4Unidad eje Y1*4Final eje Y6*4- 62Funciones para Windows 2.6Calcular la imagen de -4: 0.000Calcular la imagen de -1: 8.737Calcular la imagen de 1: 12.60Observa la siguiente propiedad: Las imgenes de x de la funcin 2 son las integrales definidas entre -4 y x de la funcin 1.Anteriormente hemos visto que la integral definida era el rea que quedaba debajo de la curva. Esta nueva funcin (funcin 2) mide esta rea. Le llamamos:Funcin reaLa funcin que utilizamos como funcin rea (funcin 2) es una primitiva de la funcin 1. Se puede demostrar que esto ocurre siempre. Es decir:Dada una funcin, si tiene funciones primitivas, stas son funciones rea.Esto se denomina: Teorema fundamental del clculo.(Tambin se enuncia: Dada una funcin, si tiene una funcin rea, la derivada de la funcin rea es la funcin original).2.3 Clculo de la integral definida entre dos puntos mediante una funcin reaParacalcularlaintegral definidaentre, por ejemplo, -1y1, podemos hacerlomediantela funcin rea (funcin 2). La imagen de 1 es el rea entre -4 y 1. La imagen de -1 es el rea entre -4 y -1. (ver apartado 2.2).Restamos estos dos valores: 3.866Que es el valor encontrado en el apartado 2.1, de la integral definida entre -1 y 1 (empleando la funcin 1)Esta forma de hallar la integral definida entre 2 valores, restando las imgenes de una funcin primitiva, se conoce como: Segundo teorema fundamental del clculo o regla de Barrow.2.4 Distintas funciones reaHemos visto que la funcin rea (funcin 2) es una primitiva de la primera funcin (funcin 1). Pero primitivas de una funcin hay muchas. Si cambiamos la constante 10.933 por cualquier nmero, la funcin resultante tambin cumple el hecho de ser una primitiva de la funcin 1. Lo que ahora comprobaremos es que,si utilizamosotra primitiva,podemos seguir calculando la integral definida entre 2 puntos restando sus imgenes, calculadas en la nueva funcin.Representemos una nueva funcin primitiva:F(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x). Le llamaremos funcin 3. (ficha22.wfu)Valores de los ejes:Origen eje X -7.5Unidad eje X1Final eje X7.5Origen eje Y -4*4- 63Funciones para Windows 2.6Unidad eje Y1*4Final eje Y6*4Calcular la imagen de -1: -2.196Calcular la imagen de 1: 1.670Restamos estos dos valores: 3.866Y observamos el mismo resultado. Es decir: para calcular la integral definida entre 2 puntos de una funcin de la cual conozcamos una primitiva (Para ello se estudia el clculo de integrales indefinidas), se calcula la diferencia de sus imgenes. El resultado no depende de la primitiva escogida. De hecho las distintas primitivas slo se diferencian en una constante aditiva. Lo que hace que, al restar 2 imgenes, esta constante se cancele.Paraverlaformadelasdistintasprimitivasofuncionesrea, representaremos4al mismo tiempo.Representar: (ficha24.wfu)F(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)G(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)+4H(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)-8I(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)+16Observar que tienen la misma forma. Slo se distinguen por una traslacin vertical.- 64Funciones para Windows 2.6Ficha 3 - Economa.4.1Tema:Clculo de la cuota ntegra de una declaracin de renta correspondiente al ejercicio del ao 1994 (Declaraciones realizadas durante 1995).Problema: Supongamos que una persona ha realizado el clculo de la base imponiblede su declaracinderentay suvaloresde,porejemplo, 4800000pts.Elproblema consisteen calcular la cuota ntegra, que es el total que le corresponde pagar aHacienda.Procedimiento:La tabla que relaciona la cuota ntegra en funcin de la base imponible es lo que se llama escala de gravamen.BaseCuotaImponible ntegra0 0415000 01035000 1240001625000 2538002215000 3983502805000 5576503395000 7346503985000 9234504575000 11240005165000 13364505755000 15606506345000 17966506935000 20474007525000 23129008115000 25902008705000 28793009295000 31802009885000 3495850(Fuente:Guapracticaparalacumplimentacindeladeclaracinderenta,Hacienda Pblica.)El significado de esta tabla es el siguiente:Silabaseimponiblees uno delosvaloresde laizquierda,la cuota ntegra esel valor dela derecha. Enel casodequeestentre2valores, queeslonormal, lacuotantegraesla interpolacin lineal entre los dos valores.Para calcular el resultado de nuestro problema, procederemos de la siguiente manera:Programa: Write-Seleccionamos los valores de la tabla.-Los copiamos en el portapapeles, men Edicin, opcin Copiar.- 65Funciones para Windows 2.6-Ejecutamos el programa funciones, en el caso de que no estuviera ya en funcionamiento.Programa: Funciones para Windows (ficha3.wfu)-Seleccionamos la opcin funciones, submen Cambiar funciones o parmetros.-Clic en el botn de dilogo Funcin numrica.-Escogemos una funcin en el grupo de Radio-Botones, por ejemplo F(X), mediante un clic de ratn o con la combinacin de teclas Alt F, apretamos el botn de Aceptar.-Escogemos la opcin Pegar, contestamos Si al siguiente cuadro de dialogo.-Activamos la Caja a chequear, mediante un clic o Alt L.-Terminamos el cuadro mediante otro Aceptar, volviendo al men principal.-Cambiaremos los valores de los ejes por los siguientes:

Origen eje X -1000000 Origen eje Y -1000000Unidad eje X2000000 Unidad eje Y1000000Final eje X10000000 Final eje Y5000000-Pulsamos Aceptar.-Escogemos la subopcin Imagen dentro del men 1 f.-Escribimos el valor 4800000, Aceptar i obtenemos el valor buscado:Resultado: 1205019 pts., valor de la Cuota ntegra.4.2Tema:Clculo del tipo aplicable. Porcentaje (%)Procedimiento:Eltipo aplicableno es ms que el tanto por ciento que se ha de aplicar alResto de la base imponible para sumar a la Cuota ntegra.- 66Funciones para Windows 2.6As, porejemplo, ennuestrocaso:Labaseimponibleesde4800000queseencuentraentre 4420000 y 4990000. A 4542000 le corresponde una cuota ntegra de 186150. Al resto, hasta llegar a 4800000, que es de 380000 (=4800000-4420000) le corresponde una cuota ntegra de 136800 pts. (=1222950-1086150). ElTipo aplicablees el tanto por ciento que representa las 136800pts. respectoalas380000, quesecalcularamediantelafrmulasiguiente:Tipo aplicable=(136800/380000)*100 y da de resultado el 36%.MedianteFuncionespodemos calcular elTipoaplicablemedianteunaformamuchoms sencilla:Programa: Funciones para Windows-Desactivamos la opcin Baja precisin del men Opciones.-EscogemoslaopcinDerivadaenunpunto, men1f., yescribimos el valor 4800000 pulsando la tecla Aceptar, nos muestra el valor 0.36 que, multiplicado por 100, nos da el Resultado:Tipo aplicable = 36%- 67Funciones para Windows 2.6Creemos interesante poner la tabla de los aos,1991, 1992, 1993, 1994:1991 1992 1993 1994B. I. C. I. B. I. C. I. B. I. C. I. B. I. C. I.0 0 0 0 0 0 0 0681300 0 400000 0 400000 0 415000 01135500113500 1000000120000 1000000120000 1035000 1240001703250261165 1570000245400 1570000245400 1625000 2538002271000414458 2140000385050 2140000385050 2215000 3983502838750573428 2710000538950 2710000538950 2805000 5576503406500743753 3280000709950 3280000709950 3395000 7346503974250925433 3850000892350 3850000892350 3985000 9234504542000 1118468 4420000 1086150 4420000 1086150 4575000 11240005109750 1322858 4990000 1291350 4990000 1291350 5165000 13364505677500 1541441 5560000 1507950 5560000 1507950 5755000 15606506245250 1774219 6130000 1735950 6130000 1735950 6345000 17966506813000 2021190 6700000 1978200 6700000 1978200 6935000 20474007380750 2282355 7270000 2234700 7270000 2234700 7525000 23129007948500 2557714 7840000 2502600 7840000 2502600 8115000 25902008516250 2847266 8410000 2781900 8410000 2781900 8705000 28793009084000 3151013 8980000 3072600 8980000 3072600 9295000 31802009550000 3377550 9550000 3377550 9885000 3495850(Fuente:Guapracticaparalacumplimentacindeladeclaracinderenta,Hacienda Pblica.)Puede ser interesante comparar las grficas, por ejemplo, que es lo que debi pagar una persona con la misma Base Imponible, durante los distintos aos.- 68Funciones para Windows 2.6Ficha 4 - Ciencias Sociales.El entorno natural de este programa podra creerse que se halla en la asignatura de matemticas. El hecho de poder representar funciones numricas ampla mucho su dominiodeaplicacin. Creemos queenciencias sociales es dondemejor podran aplicarse sus potencialidades. Elaboramos esta ficha, estudio de caractersticas climatolgicas, como muestra de los mltiples usos que puede tener el programa. Estafichalaconsideramos ms como un modelo para otras fichas,que como una ficha ya directamente utilizable. Tambin es directamente aplicable en otros campos como: estudio de temperaturas, en general, valores climatolgicos; estudios demogrficos; estudios econmicos; estudios de ndices; etc.Tema: Estudio comparativo de la pluviosidad en diversas zonas de Espaa.Objetivo general: Comparar las caractersticas pluviomtricas dedistintas zonas climticas de Espaa: Espaa lluviosa, Espaa seca y Espaa semirida.Procedimiento:Ejecutar el programa: Funciones para WindowsCondiciones de trabajo:-Grfico maximizado. Pulsar en la ventana el botn de maximizacin, esquina superior derecha.-La opcin "Baja precisin" del men "Opciones" activa.Creemos que es mejor as. Recordar que, por defecto, al arrancar el programa aparece ya activa. Como esta opcin sloafectaalospuntossingulares, mximos, mnimos, intervalos..., puedeprovocar ligeras diferencias con el clculo de imgenes. Si quiere evitar estas diferencias, desactive esta opcin.-La opcin "Trazar clculos", del mismo men,No activa.-Las funciones quevamos arepresentar sonnumricas. Recordemos quepodemos copiar los datos en el portapapeles y pegarlos en el cuadro,FUNCIONES NUMRICAS - Introducir valores.-En todos los casos activaremos la opcin Lineal. Tambin puede ser interesante activar la opcin Mostrar puntos.- 69Funciones para Windows 2.6Partimos de las siguientes tablas de valores. He adjudicado los siguientes valores a los meses:Enero 15Febrero 45Marzo 75Abril 105Mayo 135Junio 165Julio 195Agosto 225Setiembre 255Octubre 285Noviembre 315Diciembre 345Datos de pluviosidad (en milmetros). Fuente Juan Vil Valenti, ESPAA tomo II, Ed. Ocano, 1983. No indica el ao.Espaa lluviosa Lugo (442 m.)Espaa secaValladolid (715 m.)Espaa semiridaAlmera (30 m.)15 118 15 27 15 2345 132 45 32 45 2175 149 75 38 75 20105 75 105 31 105 27135 80 135 40 135 23165 44 165 37 165 7195 30 195 15 195 0225 37 225 12 225 4255 58 255 28 255 16285 82 285 39 285 24315 112 315 44 315 33345 185 355 41 355 27-Pulsamos el botn Funcin numrica del cuadro de dilogo principal.-Escogemos la primera funcin F(x).-Introducimos los valores correspondientes a Lugo, o los pegamos si previamente losseleccionamos y los copiamos en el portapapeles.-Activamos las opciones Lineal y Mostrar puntos.-Pulsamos el botn Aceptar.-Repetimos la operacin tres veces ms para las siguientes poblaciones. Utilizamos para ello las funciones: G(x), H(x), I(x).Valores de los ejes:Origen eje X 0 Origen eje Y 0Unidad eje X30 Unidad eje Y20- 70Funciones para Windows 2.6Final eje X360 Final eje Y200-Pulsamos el botn Aceptar.Se dibujan las grficas pluviomtricas para las tres poblaciones. (ficha4.wfu)Calcularemosahorasobreelgrficolas diferenciasentre los mximosymnimosde pluviosidad para las distintas poblaciones.La Lnea azul corresponde a Lugo.-Pulsamos con el botn izquierdo en el punto ms bajo de la grfica.Escribimos el resultado: (195,30) que corresponde al mes de Julioy una pluviosidad de 30.-Pulsamos con el botn izquierdo en el punto ms alto de la grfica.Escribimos el resultado: (345,185) que corresponde al mes deDiciembrey una pluviosidad de 185.As, la diferencia pluviomtrica es de 185-30=155.Haremos lomismoenlas dos poblaciones restantes. Previamente, limpiaremos la pantalla.-Pulsamos la opcin ,Limpiar del men, Opciones.Las diferencias pluviomtricas restantes:Valladolid = 44-12=22 Almera = 33-0= 33- 71Funciones para Windows 2.6Ficha 5 - Matemticas.Tema: Estudio de las series de Fourier.Nivel :COU. Primer y segundo curso universitario, carreras cientfico-tcnicasConocimientos previos: Conocer las funciones trigonomtricas y, en general, el concepto de funciones peridicas. Podraserinteresanteconocerelclculodeprimitivas, pero, comoparacalcular integrales definidas utilizaremos el mismo programa funciones, no lo creemos imprescindible. Objetivo general: Conocer que se puede aproximar una funcin peridica mediante una suma de funciones trigonomtricas.Procedimiento:-Ejecutar el programa: Funciones para Windows.Valores de los ejes, los iniciales. (ficha51.wfu)Condiciones de trabajo:-Grfico minimizado.-La opcin "Baja precisin", del men "Opciones", No activa..-La opcin "Trazar clculos", del mismo men,No activa. Aqu el programa realiza muchos clculos y precisamos de la mxima rapidez.La funcin que estudiaremos es la de diente de sierra. Utilizaremos los siguiente valores:x F(X)-10 -2-6 2-5.9999 -2-2 2-1.9999 -22 22.0001 -26 26.0001 -210 2-Recordemos que podemos copiar los datos enel portapapeles ypegarlos enel cuadro, FUNCIONES NUMRICAS - Introducir valores.-Activar la opcin Lineal. Muy importante.Es una funcin peridica de perodo 4.La serie de Fourier o desarrollo de Fourier de F(X) se define por:- 72Funciones para Windows 2.6

,_

+ +10) sen( ) cos(nn nlx nblx na a donde los coeficientes de Fourier son:) ( ) (1) cos( ) (1 llnllnlx nsin x flblx nx fla Donde 2L es el valor del periodo y n=0,1,2,3,...Lo que vamos a realizar es superponer los sucesivos desarrollos de la serie de Fourier sobre la funcin diente de sierra.Para ello, debemos calcular previamente los coeficientes de Fourier, an, bn.Podemoshacerlocalculandolasintegralesdefinidascorrespondientesoutilizandolaopcin, clculo de Integral definida, que nos ofrece el programa. A continuacin, describiremos cmo hacerlo.-Ejecutar de nuevo el programa: Funciones para Windows.Valores de los ejes, los iniciales.Los trminos an valen 0 en todos los casos. La funcin Cos(x) es par y la funcin x es impar. El producto de ambas es impar. Como hemos de calcular la integral definida entre -L y L, sta ser siempre 0. Se puede comprobar calculando la integral definida de la funcin:f(x)=x.cos(n.p.x/2), entre -2 y 2, siendo n cualquier nmero natural.Calcular el trmino b1.-Escribir la funcin, f(x)=1/2x.sen(px/2).-Representarla. Botn Aceptar. Men 1 fu.. Calcular la integral definida entre -2 y 2 = 1.273076.Repetimos el proceso para calcular los sucesivos coeficientes.Trmino b2.-Escribir la funcin, f(x)=1/2x.sen(2px/2).Calcular la integral definida entre -2 y 2 = -0.636292.Trmino b3.-Escribir la funcin, f(x)=1/2x.sen(3px/2).Calcular la integral definida entre -2 y 2 = 0.423922.Trmino b4.-Escribir la funcin, f(x)=1/2x.sen(4px/2).- 73Funciones para Windows 2.6Calcular la integral definida entre -2 y 2 = -0.317655.Trmino b5.-Escribir la funcin, f(x)=1/2x.sen(5px/2).Calcular la integral definida entre -2 y 2 = 0.253829....El desarrollo de Fourier, para los coeficientes que hemos calculado, queda:G(x)=1.273076 sen(px/2) -0.636292 sen(2px/2) +0.423922 sen(3px/2)-0.317655 sen(4px/2) +0.253829 sen(5px/2)(ficha52.wfu)Volvemosalaventanadondetenemosrepresentadalafuncindientedesierra. Vamosal cuadro de dilogo: FUNCIONES - Entrada de datos. En el cuadro de entradaG(X), introducimos la anterior funcin.-Pulsamos el botn, Aceptar. Se dibujan las dos funciones.NOTA: Creemos que puede ser muy instructivo hacer esto ltimo cada vez que se calcula un coeficiente. Observaremos cmo la aproximacin va mejorando sucesivamente.- 74Funciones para Windows 2.6Ficha 6 - Economa.Tema: Estudio grfico de las cotizaciones de Bolsa y de las medias mviles.Objetivo general: Se dice que cuando la grfica de las medias mviles corta a la de cotizaciones, es uno de los criterios que puede tenerse en cuenta a la hora de comprar y/o vender.Concretamente, cuandocorta en situacin de cotizaciones ascendentes, se sugiere comprar. En situacin contraria, se sugiere vender.Concretaremos estos trminos a continuacin.NOTA: Hayquetenerencuentaquelosinversorestienenencuentaunamultituddeotros factores, muchos de ellos tambin grficos, volmenes de negocio...Procedimiento:-Ejecutar el programa: Funciones para Windows.Valores de los ejes, los iniciales.Condiciones de trabajo:-Grfico maximizado.-La opcin "Baja precisin", del men "Opciones", No activa..-La opcin "Trazar clculos", del mismo men,No activa. -Cambiaremos los valores de los ejes por los siguientes: Origen eje X 0 Origen eje Y 0Unidad eje X8 Unidad eje Y50Final eje X105 Final eje Y600Lasmediasmvilessonunanuevatabladevaloresenquecadavaloreslamediadelas cotizaciones de n das. Apartir de una tabla decotizaciones de Bolsa, dependiendodel nmerode das que utilicemos, podemos elaborar diferentes tablas de medias mviles.Partiremosdeunejemplo. Sonlascotizacionesdelosaos1987y1988deunacompaa cementera. Losvaloressonloscorrespondientesal cierresemanal. Deberahacerseconlos valores del cierre diario. Como se trata de un ejercicio, este hecho carece de importancia.Las medias mviles calculadas son de 6 semanas, es decir , 42 das. (ficha61.wfu)- 75Funciones para Windows 2.6Sem. Coti.Medias mv.Sem. Coti.Medias mv.53 290 256,33332 272 54 309 264,53 330 55 280 2774 400 56 294 291,83335 510 57 289 292,83336 468 58 278 2907 456 406 59 285 289,16678 541 450,8333 60 294 286,66679 549 487,3333 61 316 292,666710 520 507,3333 62 386 30811 442 496 63 391 32512 430 489,6667 64 406 346,333313 425 484,5 65 450 373,833314 460 471 66 454 400,515 490 461,1667 67 452 423,166716 495 457 68 440 432,166717 471 461,8333 69 442 440,666718 472 468,8333 70 432 44519 445 472,1667 71 432 44220 475 474,6667 72 403 433,521 450 468 73 402 425,166722 458 461,8333 74 400 418,523 475 462,5 75 421 41524 466 461,5 76 428 414,333325 465 464,8333 77 432 414,333326 504 469,6667 78 424 417,833327 496 477,3333 79 392 416,166728 475 480,1667 80 395 415,333329 475 480,1667 81 402 412,166730 485 483,3333 82 393 406,333331 520 492,5 83 390 399,333332 493 490,6667 84 411 397,166733 490 489,6667 85 394 397,534 480 490,5 86 396 397,666735 590 509,6667 87 384 394,666736 515 514,6667 88 365 39037 522 515 89 367 386,166738 555 525,3333 90 365 378,539 515 529,5 91 328 367,540 518 535,8333 92 360 361,541 542 527,8333 93 350 355,833342 485 522,8333 94 353 353,833343 425 506,6667 95 360 352,666744 365 475 96 362 352,166745 360 449,1667 97 368 358,833346 345 420,3333 98 352 357,547 290 378,3333 99 327 353,666748 260 340,8333 100 337 35149 205 304,1667 101 320 344,333350 205 277,5 102 316 336,666751 283 264,6667 103 328 33052 295 256,3333 104 318 324,3333Representamos los valores de las cotizaciones en una funcin numrica, por ejemplo en F(X). Los valores de las medias mviles enuna nueva funcinnumrica, G(X). Recordar que podemos Copiar y Pegar.El aspecto de la grfica es el siguiente:- 76Funciones para Windows 2.6Estudiemos concretamenteel segundoao. Parecequelascondicionesinversorassonms favorables.Para ello, cambiar los valores de los ejes: (ficha62.wfu)Origen eje X 50 Origen eje Y 0Unidad eje X8 Unidad eje Y50Final eje X105 Final eje Y600Calcular los puntos de corte. Men, 2 fu. opcin, Cortes.Fijarse en los 4 primeros. Redondeamos los valores.Semana Cotizacin modoaccin51 266 Crece Comprar56 292 Decrece Vender59 288 Crece Comprar69 441 Decrece VenderCalcular si hubiramos tenidoalgnbeneficioenel casodequehubiramos comprado1 accin.292-266= 26441-288= 53Entotal, 79. Noestmal. Puedecalcularsedurantelos2aos. Alomejor, elbeneficiono hubiera sido tanto.- 77Funciones para Windows 2.6Ficha 7 - Matemticas.Tema: Regresin.Conocimientos previos: Estadstica bsica. Clculo de: medias, desviacin tpica.Nivel :3 BUP, COU y en general estudios que incluyan estadstica.Insercin Curricular:Estadstica. Experiencias con dos variables. Relacin estadstica.Objetivos: Conocer el concepto de relacin lineal estadstica. Significado del coeficiente de correlacin lineal.Significado de la ecuacin de la recta de regresin.Prediccin.Otras ecuaciones de regresin.Procedimiento:1- Planteemos el siguiente problema:Sean 10 alumnos de COU seleccionados al azar. Se nos da los pesos y las alturas en la tabla siguiente: (ficha71.wfu)altura (metros) Peso (Kg)1.91 841.78 781.77 771.87 861.75 651.65 461.66 491.68 601.74 601.68 60Las preguntas que tratamos de contestar son:1 - Existe alguna relacin entre estos datos?2 - Si existe, en qu medida es cierta?3 - Cual es la relacin?. 4 - Cmo utilizarla para conocer valores no incluidos en la tabla?.Procedamos de la forma siguiente:Ejecutar el programa: Funciones para Windows.Pulsar el botn Funcin numrica.Escoger una funcin, activando el botn regresin.Introducir los datos de la tabla anterior. Recordar que podemos utilizar el portapapeles.- 78Funciones para Windows 2.6Pulsar Aceptar.Contestar S a la modificacin de los ejes.Pulsar Aceptar en el cuadro Principal. Vemos representados los puntos y una recta. De momento slo nos fijaremos con los puntos:Observar quehayunaciertatendenciaenel sentidodequeavaloresaltos delasalturas corresponde valores mayores de peso, y viceversa. Aclararemos mejor esto con otros ejemplos.Para contestar a las preguntas 2 y 3:Escoger men 1 fu, opcin Ecuacin de regresin...Observamos que:Coeficiente de Correlacin : 0.926 Y = 148 x- 193El coeficiente de correlacin es un valor entre 1 y -1. Cuando ms cerca se encuentre de ellos ms alta ser la relacin entre las dos variables. Ms adelante hablaremos de ello.La ecuacin de la recta es la contestacin a la tercera pregunta.Para contestar a la pregunta n 4, por ejemplo: Cual es el peso esperado de una persona que mida 1.70 m.?Escoger men 1 fu, opcin Imagen...Escribir 1.70.El valor esperado es de unos 59 Kg.2- Hagamos lomismoconlas dos tablas siguientes, Calcularemos paracadaunael Coeficiente de correlacin.a- Sean 10 alumnos de COU seleccionados al azar. Se nos da el nmero de aciertos en dos ejercicios de matemticas y filosofa: (ficha72.wfu)Matemticas Filosofa80 53- 79Funciones para Windows 2.648 6162 5353 7243 4572 5960 4541 5853 5057 46Procedemos como en el caso anterior. Observamos la grfica y el coeficiente de correlacin.No parece que haya una gran relacin entre los dos tipos de valores.El coeficiente de correlacin, -0.039b- Hemos sacado al azar 10 monedas de una bolsa. Medimos la antigedad y el peso en gramos. Los resultados son los siguientes: (ficha73.wfu)Antigedad (aos) Peso (Kg)5 9.419 9.4514 9.3317 9.3423 9.3131 9.2635 9.2242 9.2146 9.1550 9.08- 80Funciones para Windows 2.6Procedemos como en el caso anterior. Observamos la grfica y el coeficiente de correlacin.El coeficiente de correlacin, -0.97En este caso s parece que hay una gran relacin entre los dos tipos de valores. Pero es distinta a ms aos menos peso. El coeficiente de correlacin es negativo y cercano a -1c- De todo ello llegamos a la siguiente conclusin si dos variables no tienen absolutamente ninguna relacin el coeficiente de correlacin tendr un valor cercano a cero. Si hay mucha relacin un valor absoluto cercano a uno. Si el coeficiente es positivo la correlacin serdirecta, es decir ms valorxmayory, yviceversa. Si el coeficientees negativola correlacin ser inversa, mayor valor de la x implica menor valor de la y.3- Puedequedosvariablesestnrelacionadas, perononecesariamenteatravsdeuna relacin lineal. lo veremos con el siguiente ejemplo:Dejamoscaerunapiedraenunpozoyanotamosendistintosinstantesdetiempoel espacio recorrido, obtenemos la siguiente tabla: (ficha74.wfu)Tiempo (segundos) Espacio (metros)0 00.5 1.251 51.5 11.252 203 455 1256 1808 320Observamos que hay una cierta relacin. De hecho el coeficiente de correlacin lineal es muy bueno 0.96.- 81Funciones para Windows 2.6Probemos otro tipo de ajuste.Nos dirigimos al cuadro Regresin. Introducir Valores.Pulsamos el botn Cuadrtica.Finalmente pulsamos el botn Aceptar.Observamosqueunaparbolaajustaperfectamentelosparesdevalores. El coeficientede correlacinparablicoes1, loquesignificaquelos datos seajustanperfectamenteauna parbola.- 82Funciones para Windows 2.64 - Ejemplos. Ideas.Con el nombre ejem**.wfu queremos indicar el archivo donde hay los datos del ejemplo.8 EGB y 1 de BUPFUNCIN LINEAL1-Representarlasfunciones: F(x)=x,G(x)=3x, H(x)=(1/3)*x.Valores de los ejes: los iniciales. (ejem01.wfu)Observar:Todas pasan por el origen.F(x) es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.G(x)Estmsinclinadaquelasotrasdos.Ideade pendiente.2-Representar las funciones: F(x)=x, G(x)=x+2, H(x)=x-3Valores de los ejes: los iniciales. (ejem02.wfu)Observar:Todas tienen la misma pendiente.G(x)y H(x) no pasan por el origen. Idea de ordenada en el origen.3-Representarlas funciones F(x)=2x-1,G(x)=2x+1.5, H(x)=0.5x-2.- 83Funciones para Windows 2.6Valores de los ejes: los iniciales. (ejem03.wfu)Indicar:Las pendientes y ordenadas en el origen respectivas.4-Representar la funcin F(x)=2.5x+0.8Valores de los ejes: los iniciales. (ejem04.wfu)Calcular:Imagen del 0. Ordenada en el Origen. Interseccin eje Y.Imagen del 1.Calcula ladiferenciaentre estos valores. Pendiente.Calculalaraz.InterseccinejeX.Solucindela ecuacin 2.5x+0.8=0.RESOLUCIN GRFICA DE UN SISTEMA DE PRIMER GRADO5-Representarlasgrficas.F(x)=2x-3 y G(x)=(1/4)*x+(10/4).Valores de los ejes: los iniciales. (ejem05.wfu)Calcular:El punto de corte. Es la solucin del sistema:2x-y=3x+4y=10- 84Funciones para Windows 2.6Plantear otros casos en que las rectas sean paralelas.FUNCIN DE SEGUNDO GRADO6-RepresentarlasfuncionesF(x)=x^2,H(x)=(1/2)*x^2, y G(x)=2x^2.Valores de los ejes: los iniciales. (ejem06.wfu)Observar:Las ramas se dirigen hacia arriba. Todas pasan por el origen.El punto ms bajosehalla enelorigen.Vrtice de la grfica. Tienen todas un eje de simetra. Eje Y.Cuanto mayor es el coeficiente, ms cerrada es la grfica.7-Representar las funcionesF(x)=-x^2,H(x)=-(1/2)*x^2, y G(x)=-2x^2.Valores de los ejes: los iniciales. (ejem07.wfu)Observar:Las ramas se dirigen hacia abajo. Todas pasan por el origen.Elpunto ms altosehalla enel origen.Vrtice de la grfica. Tienen todas un eje de simetra. Eje Y.Cuantomayor eselcoeficiente envalorabsoluto, ms cerrada es la grfica.- 85Funciones para Windows 2.68-RepresentarlasfuncionesF(x)=x^2+1,H(X)=-x^2+1 y G(x)=x^2-1.5.Valores de los ejes: los iniciales. (ejem08.wfu)Observar:Tienen lasmismas caractersticas delcaso anterior. Pero el vrtice se desplazaeneleje Y tanto comoel coeficiente independiente.9-Representar la funcin F(x)=x^2-4x+1Valores de los ejes: los iniciales. (ejem09.wfu)Observar:Ramas hacia arriba.El eje de simetra est desplazado 2 unidades a la derecha.El vrtice est desplazado en horizontal y vertical, punto (2,-3). Para calcularlo,acudir al men "otras Opciones", escoge "mnimos". F(x) tambin puede indicarse, F(x)=(x-2)^2-3.Calcular:Lospuntos de corte conel eje X. Opcin "races". El vrticeest en el punto medio. El punto de corte con el eje Y. Imagen del 0.- 86Funciones para Windows 2.6RESOLUCIN DE SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO10-Representar las funciones F(x)=x^2-2x+2 y H(x)= x+2.Valores de los ejes:(ejem10.wfu)Origen eje X -7.5 Origen eje Y -3Unidad eje X1 Unidad eje Y1Final eje X7.5 Final eje Y7Calcular: Los puntos de corte.Plantearotroscasos:Quenotengansolucin.Que la solucin sea nica.2 DE BUPFSICA 11-Se lanza unapiedra verticalmente haciaarriba con una velocidad de 20 m/s.Valores de los ejes: (ejem11.wfu)Origen eje X -2 Origen eje Y -10Unidad eje X1 Unidad eje Y10Final eje X6 Final eje Y40- 87Funciones para Windows 2.6Calcular:a/La altura mxima.b/ El tiempo que tarda en volver a tierra.Representar F(x)=-5x^2+20x(altura(t)=-(1/2)gt+Vt)Para hallar la altura mxima hay que calcular el valor x del mximo.El tiempo que tarda en regresar a tierra sehalla buscando las races y restando sus valores.ESTUDIO DE FUNCIONES12-Estudio de generalidades: Representar F(x)=x^3/3+x^2/2-2x-1.5Valores de los ejes: los iniciales. (ejem12.wfu)Calcular:Imagen 0, 1, 3, -2Antiimagen 1, 0,-3racesmximosmnimosintervalos de crecimiento- 88Funciones para Windows 2.6intervalos de decrecimientopuntos de inflexinintervalos de concavidadintervalos de convexidadCalcular la derivada en los puntos 1.5, -2, 1Calcular la funcin derivadaCalcular la funcin segunda derivadaCalcular la integral definida entre -2.5 y -1LMITES13-Representar la funcin F(x)=SEN(x)/xValores de los ejes: los iniciales. (ejem13.wfu)Calcular: Discontinuidades aisladasDERIVADA EN UN PUNTODerivada de f(x) en x es:f x limf x f xx xx x' ( )( ) ( )000014-Calcular,mediante la definicin, la derivada de x^2 en el punto x=3.RepresentarlafuncinF(x)=(x^2-9)/(x-3).- 89Funciones para Windows 2.6Valores de los ejes: (ejem14.wfu)Origen eje X -7.5 Origen eje Y -2Unidad eje X1 Unidad eje Y1Final eje X7.5 Final eje Y10Calcular: Discontinuidades aisladas.Paracomprobarlo, representarF(x)=x^2ycalcularla derivada en x=3.LA FUNCIN EXPONENCIAL15-Representar la funcin F(x)=2^xValores de los ejes: (ejem15.wfu)Origen eje X -7.5 Origen eje Y -2Unidad eje X1 Unidad eje Y1Final eje X7.5 Final eje Y10Calcular:Las imgenes de 0,1,1.4,2,3,-1,-2Las antiimgenes de 1/16,0.25, 4, raz cbica de 2, raz quinta de 4.- 90Funciones para Windows 2.616-Representar lasfunciones F(x)=2^x, H(x)=1.5^x, G(x)=(1/2)^x, I(x)=0.3^x.Valores de los ejes: (ejem16.wfu)Origen eje X -7.5 Origen eje Y 0Unidad eje X1 Unidad eje Y1Final eje X7.5 Final eje Y10Observar:Si la base mayor que uno es creciente. Cuanto mayor es la base, crece ms deprisa.Si la base es menor queuno, decrece. Cuantomenorsea,decrecemsdeprisa.2^x y(1/2)^xson simtricas respecto al eje Y. Todas pasan por el punto (0,1). Las imgenes son siempre positivas.17-Si disponemos de un capital de 1000 pts. colocado al 15%, calcular el capital al cabo de 4 aos.Calcular cunto tiempo hay que dejar el dinero para que elcapitalse quintuplique.Representar la funcin F(x)= 1000*1.15^x.Valores de los ejes: (ejem17.wfu)Origen eje X -1 Origen eje Y -1000Unidad eje X2 Unidad eje Y1000Final eje X20 Final eje Y10000Calcular: - 91Funciones para Windows 2.6La imagen de 4. La antiimagen de 5000.LA FUNCIN LOGARTMICA18-Representar la funcin F(x)=LN(X) "logaritmo neperiano".Valores de los ejes: los iniciales. (ejem18.wfu)Observar:No estdefinidaparanmerosnegativos.Laforma que tiene.Es creciente. Al acercarnos al cero, las imgenes tienden a -infinito.Calcular:La imagen de 1, 2, -3, 0.La antiimagen de 0, 1, -1.19-Representarlas funciones F(x)=2^x, G(x)=x y H(x)=LN(X)/LN(2). Es la funcin Logaritmo en base 2.Valores de los ejes: los iniciales. (ejem19.wfu)Observar:Son simtricas respecto a la bisectriz, H(x).- 92Funciones para Windows 2.620-Representar las funciones F(x)=LN(X)/LN(2), G(x)=LN(X)/LN(5), H(x)=LN(X)/LN(1/2), I(x)=LN(X)/LN(1/5).Valores de los ejes: los iniciales. (ejem20.wfu)Observar:Los logaritmos de base mayor que 1 son crecientes. Los dems, decrecientes. Cuanto mayor es la base, crecen ms despacio. Pasan todas por el punto (1,0). Slo estn definidas para nmeros positivos. Log en base 2 y Log en base (1/2), son simtricas respecto al eje X.LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS21-Representar F(x)=SEG(X). Valores de los ejes: (ejem21.wfu)Origen eje X -6*90 Origen eje Y -5Unidad eje X90 Unidad eje Y1Final eje X6*90 Final eje Y5Observar:El recorrido est entre -1 y 1.Es una funcin peridica. El periodo es 360.Representar F(x)=COG(X).- 93Funciones para Windows 2.6Observar:El recorrido est entre -1 y 1Es una funcin peridica. El periodo es 360.Representar juntas F(x)=SEG(X) y G(x)=COG(X).Observar:Sonfuncionesparecidas. Lanicadiferenciaesqueunaesttrasladada respecto a la otra 90.Puedehacerse elestudioconSEN(X)yCOS(X) , ngulos expresados en radianes, con los siguientes valores de los ejes:Origen eje X -3pi Origen eje Y -5Unidad eje Xpi Unidad eje Y1Final eje X3pi Final eje Y522-Representar F(x)=TAG(X). Valores de los ejes: (ejem22.wfu)Origen eje X -6*90 Origen eje Y -5Unidad eje X90 Unidad eje Y1Final eje X6*90 Final eje Y5Observar:El recorrido parece que es todo R.Hay puntos que no tienen imagen: 90, -90, 270, -270, etc.Es peridica. El periodo vale 180.- 94Funciones para Windows 2.623-Representar F(x)=SEN(x), G(x)=SEN(2X), H(x)=SEN(1/2x).Valores de los ejes: (ejem23.wfu)Origen eje X -3pi Origen eje Y -5Unidad eje Xpi Unidad eje Y1Final eje X3pi Final eje Y5Observar:Que el periodo es inversamente proporcional a la constante.24-Representar 1/SEN(X),1/COS(X), 1/TAN(X). Es el estudio de las funciones: Cosecante(x), Secante(x) y Cotangente(x).Valores de los ejes: (ejem24.wfu)Origen eje X -3pi Origen eje Y -5Unidad eje Xpi Unidad eje Y1Final eje X3pi Final eje Y5Observar:Las formas de estas funciones.El periodo. Puntos donde no estn definidas.- 95Funciones para Windows 2.6LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS25-RepresentarASG(X),ACG(X), ATG(X). Valores de los ejes: (ejem25.wfu)Origen eje X -5 Origen eje Y -180Unidad eje X1 Unidad eje Y90Final eje X5 Final eje Y180Observar:El dominio y el recorrido.3 BUPGEOMETRA26-Calcular el punto de corte entre las rectas: (ejem26.wfu)a/La recta que pasa por los puntos (-1,1)y ( 2, 3).b/ La recta de ecuacin, y= -x/3-2Valores de los ejes: los iniciales.Representamos la funcin numrica que pasa por los puntos:F(x)=-1 12 3Activar las opciones: mostrar puntos y extrapolar.- 96Funciones para Windows 2.6G(x)=-x/3-2Escogemos la opcin, Cortes.27-Calcular el punto de corte entre las rectas: (ejem27.wfu)a/La recta que pasa por los puntos (-1,1)y ( 2, 3).b/La recta perpendicular a la anterior y que pasa por el punto (1,-3)Para hallar g(x) necesitamos otro punto. El vector, de origen (-1,1) y extremo (2,3), es (3,2). g(x) es perpendicular a f(x), un vector director de g(x) es (-2,3). Si aadimos este vector al punto de g(x) que conocemos (1,-3), obtenemos otro punto de g(x), (-1,0).Valores de los ejes: los iniciales.Representamos dos funciones numricas. Recordar que podemos copiar estos valoresy pegarlos en el cuadro de dilogo, Funciones numricas - introducir valores:F(x)=-1 12 3G(x)=-1 01 -3Activar las opciones: mostrar puntos y extrapolar.Las representamos y escogemos la opcin, Cortes.- 97Funciones para Windows 2.628-Calcular el ortocentrodel tringulo de vrtices A=(-1,1); B=(3,4) y C=(5,-2).Valores de los ejes:Origen eje X -6.5 Origen eje Y -4Unidad eje X1 Unidad eje Y1Final eje X8.5 Final eje Y6En primer lugar, representar las siguientes funciones numricas. No activar ninguna opcin.F(x)=-1 13 4G(x)=3 45 -2H(x)=-1 15 -2Obtenemos el dibujo del tringulo.A continuacin necesitamos encontrar la ecuacin de las alturas.Para ello utilizamos los vectores:AB=(4,3)BC=(2,-6)AC=(6,-3)La altura del vrtice A, pasa por este punto (-1,1) y el (-1,1)+(6,2)=(5,3)La altura del vrtice B, pasa por este punto (3,4) y el (3,4)+(3,6)=(6,10)La altura del vrtice C, pasa por este punto(5,-2) y el (5,-2)+(-3,4)=(2,2)Representemos las siguientes funciones:I(x)=-1 15 3J(x)=3 46 10K(x)=- 98Funciones para Windows 2.62 25 -2Pulsar con el ratn en el punto interseccin de las tres rectas y obtenemos el ortocentro.(ejem28.wfu)ESTUDIO GENERAL DE FUNCIONES29-Representar F(x)=exp(1/x).Valores de los ejes: los iniciales. (ejem29.wfu)Calcular:Imagen 0, 1, 3, -2Antiimagen 1,2,-3racesmximosmnimosintervalos de crecimientointervalos de decrecimientopuntos de inflexinintervalos de concavidadintervalos de convexidadCalcular la derivada en los puntos 1.5, -2, 1Observar:- 99Funciones para Windows 2.6El comportamiento asinttico para x tendiendo a +infinito y -infinito,asntota horizontal.Para x tendiendoa0por la derecha,asntotavertical "x=0".Para x tendiendo a 0por la izquierda, F(x) tiende a 0.NOTA: Para observar mejor esto ltimo, cambiar los extremos de los ejes dividindolos por 2.30-Estudio de generalidades:Representar F(x)=x^3/3+x^2/2-2x-1.5Valores de los ejes: los iniciales. (ejem30.wfu)Calcular:mximosmnimosintervalos de crecimientointervalos de decrecimientopuntos de inflexinintervalos de concavidadintervalos de convexidadCalcular la derivada en los puntos 1.5, -2, 1Calcular la funcin derivadaObservar:Enlospuntosdondehaymximosymnimos, lafuncinderivadase anula.En los puntosdondelafuncinderivadaespositiva,lafuncines creciente.Enlos puntos donde la funcin es decreciente, la funcin derivada es negativa.Calcular la funcin segunda derivadaObservar:Los puntos deinflexincorrespondenapuntos enlos cuales lasegunda derivadaseanula. Observaquedondelafuncinescncava, lasegundaderivadaes positiva.Donde es convexa, la segunda derivada es negativa.Calcular la integral definida entre -2.5 y -1Observar:Lo que representa la integral definida de una funcin entre 2 puntos.Calcular la funcin integral a partir del 0- 100Funciones para Windows 2.631-De entre los cilindros de volumen 1litro, hallar el de menor rea total. Volumen=pi*Ra,Area=2pi*R+2pi*Ra. Siendo: R:radio,a:altura.Area(R)= 2pi*R + 2/RHayquer