Manual Sap 2000 NL

M o r r i s o n I n g e n i e r o s

H i g h L e v e l E n g i n n e r i n g

C S I , C A R I B E

Por: MECE Aneuris Hernández Vélez

Dealer, CSI en Puerto Rico

El propósito de este manual es proveer un material

teórico y práctico del Manejo del Programa Sap 2000

específicamente la versión 14, enfocándonos

directamente en el análisis no lineal estático pushover

considerando la respuesta no lineal de los elementos

líneas (Vigas y Columnas), como también los

elementos áreas (Muros).

A fin de que el lector se pueda familiarizar con los

conceptos y procesos usados en este tipo de análisis

hemos incluido en este manual un resumen de los

requerimientos según FEMA 356 y ATC-40.

MANUAL DE ANALISIS NO LINEAL ESTATICO

“PUSHOVER” USANDO SAP 2000 v14

Por: MCE Aneuris Hernández Vélez, Director de High Level Enginnering (www.hlengineering.com)

Nota Importante El objetivo de este trabajo es ofrecer un material didáctico a los participantes de los cursos y

seminarios de Ingeniería Estructural usando el programa ETABS. Aunque los ejercicios y

ejemplos se han verificado con detenimiento, no se garantiza que estén totalmente libres de

errores. Los usuarios son totalmente responsables por el buen uso del programa y el autor no

asume ninguna responsabilidad por el uso incorrecto del programa y de este manual.


Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” y Método del Espectro de Capacidad según ATC-40

En este capítulo se presenta el proceso analítico para evaluar cómo actúan los edificios

existentes y verificar su diseño. Este método estima el máximo desplazamiento, por medio de la

intersección entre la curva de capacidad y el espectro de demanda reducido. Aunque un análisis

elástico da una buena indicación de la capacidad elástica de la estructura indicando donde

ocurre la fluencia en los elementos, este no puede predecir el mecanismo de falla y tomar en

cuenta la redistribución de fuerzas durante la fluencia progresiva de los elementos. El análisis

inelástico ayuda a demostrar como realmente trabaja el edificio, por medio de la identificación

de los modos de falla y el colapso progresivo.

El método del espectro de capacidad es un proceso estático, no lineal que provee una

representación grafica de la curva de capacidad, la cual se compara con el espectro de

demanda sísmica, siendo una herramienta útil para evaluar edificios existentes. La demanda es

la representación del movimiento del suelo, mientras que la capacidad es la habilidad que

posee la estructura para resistir la demanda sísmica. El método requiere la determinación de

tres elementos primarios descritos a continuación.

Capacidad: La capacidad de la estructura depende de la resistencia y la capacidad de

deformación de los componentes individuales de la estructura. En orden de determinar

la capacidad más allá del límite elástico, se usa el proceso “Pushover” este proceso usa

una serie de análisis elásticos secuenciales súper impuestos para aproximar un diagrama

de capacidad fuerza-desplazamiento del conjunto estructural.

El modelo matemático de la estructura se va modificando para tomar en cuenta la

reducción de la resistencia de los componentes que van alcanzando la fluencia. Una

distribución de fuerzas laterales se aplica nuevamente hasta que otros elementos

adicionales alcanzan la fluencia. Este proceso se continúa aplicando hasta que la

estructura se vuelve inestable o hasta que un límite predeterminado se alcanza.

Demanda (Desplazamiento): El movimiento del suelo durante un terremoto produce un

patrón complejo de desplazamientos en la estructura que puede variar con el tiempo.

Para una estructura dada y un movimiento del suelo, la demanda de desplazamiento es

un estimado de la máxima respuesta esperada del edificio durante el movimiento del

terreno.

Desempeño: Una vez se ha definido la curva de capacidad y los desplazamientos de

demanda, se puede verificar el punto de desempeño o punto de respuesta máxima en la

estructura. Este punto es aproximadamente igual al obtenido por el método de los

coeficientes el cual no se explica en este trabajo.


Proceso Paso a Paso para Determinar la Curva de Capacidad

La capacidad de la estructura se representa mediante la curva “Pushover”, se puede crear

graficando el cortante en la base y el desplazamiento en el nivel más alto del edificio.

(Concepto Curva de Capacidad)

La curva de capacidad se construye en representación del primer modo, asumiendo que el

primer modo es el que predomina en la estructura. Esto es generalmente valido para edificios

con un periodo fundamental de vibración menor o igual a 1 segundo. Para edificios más

flexibles con un periodo fundamental mayor de un segundo, el análisis debe ejecutarse

considerando el efecto de los modos más altos.

Procedimiento:

1. Crear un modelo computacional.

2. Clasificar los elementos primarios y secundarios.

3. Aplicar fuerzas laterales a la estructura en cada piso. Para esto se usa la masa que

participa en el primer modo o modo fundamental por medio de la siguiente ecuación Fx

= [Wx фx / ∑Wx фx] V en la determinación de las fuerzas también deben incluirse las

cargas de gravedad.

4. Calcule las fuerzas en los elementos, para la combinación de cargas verticales y

horizontales.

5. Ajustar las fuerzas laterales para que por lo menos algunos elementos alcancen el 10%

de su resistencia.

Nota: Una vez se alcanza la resistencia de un elemento, este es considerado como

incapaz de tomar fuerzas laterales. Detectar la fluencia elemento por elemento, puede

ser un proceso muy lento por lo tanto, muchos elementos son agrupados en conjunto

con un punto de fluencia similar.


6. Archivar o ir graficando el valor del cortante en la base vs el desplazamiento en el tope

del edificio, como también las fuerzas y las rotaciones en cada elemento, para

compararlas con el diagrama característico de fuerza – curvatura de cada elemento, a

fin de determinar el estado de cada elemento.

7. Actualizar el modelo usando una rigidez más pequeña para aquellos elementos que han

alcanzado la fluencia.

8. Aplicar un nuevo incremento de la carga lateral a la estructura actualizada hasta que

otros elementos alcancen la fluencia.

Nota: La fuerza actual y la rotación para los elementos en el principio de un incremento

son igual a aquellas fuerzas y rotaciones en el final del incremento previo.

Cada aplicación de un incremento de carga lateral es un análisis separado que inicia

desde una condición inicial igual a cero.

Para determinar cuando un próximo elemento fluye es necesario añadir las fuerzas

provenientes del análisis, ejecutado previamente al análisis actual, de igual modo para

determinar las rotaciones.

9. Agregar el incremento de la carga lateral y el correspondiente incremento del

desplazamiento al total previo para de este modo obtener los valores acumulados del la

gráfica.

10. Repetir los paso 7,8 y 9 hasta que la estructura alcance su límite ultimo, es decir la

inestabilidad por efecto P-∆, Distorsión mas allá de los niveles prescritos, los elementos

pierden toda su resistencia.

Fig. 4 (Segmentos del Análisis Pushover)

En algunos casos donde los elementos pierden toda su resistencia para absorber carga lateral,

pero siguen teniendo capacidad para deformarse por ejemplo cuando hay muros acoplados con

vigas de acoplamiento. En estos casos, puede que exista una degradación gradual de la

resistencia y es necesario iniciar otras curvas de capacidad cada vez que ocurra el primer punto


de degradación de la resistencia, cuando el incremento de la carga se detiene en el paso 10

antes de que la estructura haya alcanzado su límite último.

Cuando se comienza una nueva curva la resistencia o rigidez de los elementos que ocasionaron

que el análisis se detuviera debe eliminarse antes de iniciar una nueva curva. Para crear la

nueva curva se debe iniciar a partir del paso 3. La figura 5 muestra la creación de múltiples

curvas para poder modelar la degradación de la resistencia.

(Múltiples Curvas para modelar el efecto de Degradación de Capacidad)

(Degradación de la Curva de Capacidad)


Proceso para Determinar la Demanda Sísmica

El desplazamiento de demanda en el espectro de capacidad ocurre en un punto sobre el

espectro llamado punto de desempeño. Este punto representa la condición de que la capacidad

sísmica de la estructura sea igual a la demanda sobre la estructura debido al movimiento del

terreno.

El desplazamiento en el punto de desempeño inicialmente debe estimarse usando una simple

técnica llamada “Aproximación de igual desplazamiento”, esta técnica asume que el

desplazamiento inelástico espectral es el mismo que el desplazamiento elástico que ocurre si la

estructura permanece perfectamente elástica. Esta técnica es una herramienta usada para

estimar el inicio del proceso iterativo para determinar el punto de desempeño.

La localización del punto de desempeño debe satisfacer lo siguiente:

1. El punto debe quedar sobre la curva del espectro de capacidad.

2. El punto debe quedar sobre la curva de demanda espectral reducida desde su

amortiguamiento inicial de un 5% que es el usual en el espectro de diseño elástico, esta

reducción del espectro es para representar la demanda no lineal. La reducción del

espectro se hace por medio de un factor que se calcula en términos del

amortiguamiento efectivo, esto será discutido más adelante.

La determinación del punto de desempeño requiere un proceso iterativo de (trial and error)

para buscar que se satisfagan los dos criterios requeridos mencionados anteriormente. Para la

iteración se mencionaran tres alternativas que simplifican y estandarizan el proceso, dichas

alternativas se basan en los mismos conceptos y en las relaciones matemáticas pero varían en

su dependencia analítica versus las técnicas graficas.

Proceso A

Esta es la aplicación más directa, es verdaderamente iterativo pero, se basa en formulas que

pueden ser fácilmente programadas en hojas de cálculo. Este es más bien un método analítico

que grafico siendo el método con la aplicación más directa, es el más recomendado.

Proceso B

Este método introduce una simplificación usando la curva de capacidad bilineal que habilita o

permite una solución relativamente directa para determinar el punto de desempeño con un

número pequeño de iteraciones. Igual que el proceso A, el proceso B es un método más

analítico que grafico y es probablemente el más conveniente para programar una hoja de

cálculo. El proceso B tiene menos transparencia que el proceso A.


Proceso C

Este es un proceso puramente grafico, es el más conveniente cuando los cálculos se hacen

manualmente, tiene menos transparencia que los demás métodos.

Conversión de la curva de capacidad a la curva de espectro de capacidad.

Para usar el método del espectro de capacidad es necesario convertir la curva de capacidad que

está dada en términos del cortante en la base y el desplazamiento en el tope a otras

coordenadas en función de aceleración y desplazamientos espectrales (coordenadas ADRS) Sa

vs Sd, las ecuaciones requeridas para la transformación son las siguientes:


En general el proceso para convertir la curva de capacidad a espectro de capacidad (ADRS)

conlleva primero calcular el factor de participación modal para el primer modo, luego el

coeficiente de masa modal; entonces para cada punto que describe la curva de capacidad, usar

las ecuaciones Sa y Sd. Para cualquier punto sobre el (ADRS) el periodo T, puede computarse

usando la relación T = 2π (Sd/Sa)1/2 similarmente para el espectro tradicional el desplazamiento

espectral puede ser calculado usando la relación Sd = SaT2/4π2.

(Comparación entre el Espectro Tradicional y el Espectro en Formato ADRS).

La siguiente figura muestra el espectro de capacidad súper impuesto en la respuesta espectral

presentada en los dos formatos. En ésta gráfica se puede apreciar que cuando la estructura

entra en el rango inelástico el período aumenta ya que la estructura es cada vez más flexible.

Las líneas radiales de periodo constante siempre parten desde el origen.

(Comparación del Espectro de Capacidad sobre el Espectro de Demanda Tradicional y el Espectro de Demanda en

Formato ADRS).


Conversión del espectro estándar a un espectro en formato ADRS.

La aplicación de la técnica del espectro de capacidad requiere que tanto la curva de capacidad

como el espectro de demanda sean ploteado en coordenadas de aceleración espectral y

desplazamiento espectral (ADRS).

El espectro de demanda elástico a convertir, debe ser el espectro requerido por un código

determinado con las características apropiadas de cada región. El espectro convencional está

dado en términos de la aceleración espectral y el periodo por lo cual sólo el período deber

convertirse a desplazamiento espectral, por medio de la siguiente ecuación.

Sdi =

Una vez se ha convertido el espectro, se puede calcular la aceleración o el desplazamiento

espectral para cuando la estructura tiene un periodo determinado por medio de la siguiente

expresión.

Saig =

Sdi =

Construcción Bilineal del espectro de capacidad.

Para estimar el amortiguamiento efectivo en la estructura, es necesario crear una

representación bilineal del espectro de capacidad. Esta construcción requiere definir el punto

api , dpi el cual se usa para iniciar el proceso iterativo de crear el espectro reducido de demanda.

Anteriormente se mencionó que el espectro de capacidad y el espectro de demanda deben

interceptarse, por lo tanto, se puede decir que el punto api , dpi es el punto de intersección o

punto de desempeño. El primer estimado del punto se denomina ap1 , dp1 la segunda asunción

se llama ap2 , dp2 y así sucesivamente.

T2

4 S

ai g

2

Ti

Sv

Ti

2 S

v


A menudo la técnica de “Aproximación de igual desplazamiento”, que se mencionó

anteriormente puede usarse para estimar el puntos ap1, dp1. A continuación se muestra el

espectro de capacidad Bilineal.

Estimación del Amortiguamiento y reducción del espectro creado con un amortiguamiento de

5% del crítico.

El amortiguamiento que ocurre en una estructura en el rango inelástico puede ser visto como

una combinación del amortiguamiento viscoso inherente en la estructura y el amortiguamiento

histeretico. El amortiguamiento histeretico está relacionado al área que se forma dentro de las

vueltas (loops) o lasos de histéresis cuando las fuerzas del cortante se grafican contra el

desplazamiento. El amortiguamiento equivalente asociado con el máximo desplazamiento dpi

puede estimarse según la siguiente ecuación.

Βeq = βo + 0.05

βo = Amortiguamiento histeretico representado como un amortiguamiento viscoso equivalente

0.05 = 5% amortiguamiento viscoso inherente en la estructura (asumido constante)

El termino βo puede calcularse según la siguiente expresión

βo =

ED = disipación de energía por amortiguamiento.

ESo = Máxima energía de deformación

El significado físico del término ED y ESo se ilustra en la siguiente figura.

1

4

ED

ES0


(Disipación de Energía Sísmica)

ED es la energía disipada por la estructura en un simple ciclo de movimiento, que corresponde

al área encerrada dentro de un simple loop (Área no sombreada). ESo es la máxima energía de

deformación asociada con el ciclo de movimiento (Área sombreada).

Según la grafica la ecuación se puede derivar como sigue.

(Derivación de Ecuaciones de Energía Disipada).

ED = 4 * (área sombreada en la figura)=4(ay dpi – dy api)

ESo = (área del triangulo bajo Keff) = api dpi / 2


Si estos valores se sustituyen en βo se obtiene la siguiente expresión escrita en términos de

porcentaje de amortiguamiento crítico.

Βo = 63.7 (ay dpi – dy api) / api dpi

Por lo tanto:

βeq = 63.7 (ay dpi – dy api) / api dpi + 5

El valor del amortiguamiento viscoso equivalente puede ser usado para estimar el factor con el

cual se reduce el espectro de demanda. Como se muestra en la siguiente figura este factor se

usa para disminuir el espectro elástico de 5% al aumentar el amortiguamiento crítico.

(Reducción del Espectro de Demanda)

En algunos casos de edificios, la idealización de los lasos de histéresis no es muy real ya que se

puede subestimar el amortiguamiento real en la estructura. Por esta razón se introduce un

factor de modificación llamado κ. Se puede notar que el amortiguamiento resultante, se llama

efectivo y no equivalente.

Βeff = κ βo + 5

βeff = 63.7 κ (ay dpi – dy api) / api dpi + 5


El facto κ depende del comportamiento estructural del edificio. Hay tres categorías de

comportamiento estructura:

Tipo A: Representa un lazo de histéresis razonable y estable κ = 1

Tipo B: Representa una reducción moderada de los lazos κ = 2/3

Tipo C: Representa un pobre lazo de histéresis con una reducción sustancial κ = 1/3

(Valores del Factor κ, para modificar el Amortiguamiento)

El factor de reducción de la demanda sísmica se determina según la siguiente ecuación.

SRA = 3.21 – 0.68 ln [63.7 κ (ay dpi – dy api) / api dpi + 5] / 2.12

SRV = 2.31 – 0.41 ln [63.7 κ (ay dpi – dy api) / api dpi + 5] / 1.65

Estos valores deben ser mayores o iguales a la siguiente tabla.

Valores para el Factor de Reducción del Espectro de Demanda)


Valores de los factores de reducción en función del amortiguamiento histeretico.

(Amortiguamiento Efectivo y Factor de Reducción en Función del Amortiguamiento Histeretico).

(Tipos de Comportamiento Estructural en Función de la Duración del Terremoto y los distintos Tipos de Edificios).

Intersección del Espectro de Capacidad y el espectro de Demanda

Calculo Usando el Proceso A. Este proceso de iteración puede ser realizado a mano o sobre una

hoja de Excel para hacer converger el punto de desempeño.

1. Desarrollar el espectro elástico de un 5%, apropiado para la localización. 2. Transformar la curva de capacidad a espectro de capacidad. 3. Graficar las dos curvas en un mismo grafico. 4. Seleccionar un punto asumido inicial de desempeño por el método “Aproximación de

igual desplazamiento”, ver figura.

(Aproximación de Igual Desplazamiento).


5. Desarrollar la representación bilineal del espectro de capacidad.

(Representación Bilineal Usando la Aproximación de Igual Desplazamiento).

6. Calcular el factor los factores de reducción espectral. 7. Desarrolle el espectro de demanda reducido y graficar en el mismo gráfico.

(Espectro Bilineal en el Mismo Grafico que el Espectro de Demanda Reducido).

8. Determine si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad en el punto, api, dpi (estos son los puntos asumidos), de lo contrario verifique si el desplazamiento en el punto de intersección di, está dentro de la tolerancia aceptable del dpi (0.95dpi < di < 1.05dpi). (La siguiente grafica muestra la Tolerancia Entre el Punto Asumido y el Punto de

Intersección).

9. Si el espectro de demanda no intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia, se selecciona un nuevo valor api, dpi y se regresa al paso 5.


10. Si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia aceptable, entonces el punto asumido api, dpi será el punto de desempeño (ap, dp), y el desplazamiento dp representa el máximo desplazamiento que se espera en el terremoto.

Cálculo usando el Proceso B.

En este método se hacen unas asunciones que no se hacen en los demás métodos. Este método

asume que no únicamente la pendiente inicial de la representación bilineal permanece

constante sino que también el punto ay, dy permanecen constantes. Estas asunciones permiten

una solución directa sin tener que dibujar múltiples curvas, debido a que el amortiguamiento

efectivo varía cada vez que se grafica una representación bilineal diferente para el espectro de

capacidad.

1. Desarrollar el espectro de demanda elástico 5%.

2. Dibujar una familia de espectros reducidos en el mismo gráfico en un rango desde 5% @

40% (Si el comportamiento Estructural corresponde al Tipo A), 29% (Si corresponde al

Tipo B) y 20% (Si corresponde a Tipo C).

(Familia de Demanda Espectral con Variación en el Amortiguamiento).

3. Transformar la curva de capacidad en curva de capacidad espectral y dibujar sobre la

familia de gráficos de demanda espectral.

4. Desarrollar la representación bilineal del espectro de capacidad. La pendiente inicial de

la curva bilineal es igual a la rigidez inicial del edificio. El siguiente segmento de pos

fluencia debe desarrollarse a través del espectro de capacidad pasando por el punto a*,

d*. Para determinar el punto a*, d* se debe proyectar la línea de la pendiente inicial

hasta que corte el espectro elástico de 5%. La línea de pos fluencia debe ser colocada de

manera que A1 = A2.


(Familia de Demanda Espectral y Espectro de Capacidad Bilineal).

5. Calcule el amortiguamiento efectivo para varios puntos cercanos al punto a*, d*. La

pendiente del segmento de pos fluencia de la representación bilineal es dada por la

siguiente ecuación.

Pendiente Pos Fluencia = (a* - ay) / (d* - dy)

Para algún punto api, ay, sobre el segmento de pos fluencia en la representación bilineal

la pendiente será:

Pendiente Pos Fluencia = (api – ay) / (dpi – dy)

Dado que la pendiente es constante las dos ecuaciones anteriores se pueden igualar

y despejar para api.

api’ = (((a* - ay)(dpi – dy)) / (d* - dy) ) + ay

El amortiguamiento efectivo en función del valor api’.

Βeff = 63.7 κ (ay dpi – dy api’) / api dpi + 5

La ecuación anterior se resuelve para varios valores dpi


6. Para cada valor dpi, dibuje el punto dpi, βeff sobre la misma gráfica de la familia del

espectro de demanda y el espectro de capacidad.

(Puntos dpi , βeff)

7. Conecte los puntos graficados hasta formar una línea. La intersección de esta línea con

el espectro de capacidad define el punto de desempeño. Este proceso provee el mismo

resultado que los demás procesos si el punto de desempeño está cercano al punto a*,

p* de lo contrario en ingeniero debe utilizar otro proceso.

(Unión de los Puntos dpi , βeff).

Solo se han presentado los procesos A y B para la determinación del punto de desempeño o

respuesta máxima, sin embargo, el proceso C, no es presentado, para información con relación

al mismo refiérase a ATC – 40 (8.2.2.1.4).


Modelo Utilizado para Relación Momento Curvatura.

El comportamiento de los elementos por lo general es modelado usando la relación momento –

curvatura, más allá del rango lineal.

(Diagramas de Momento Curvatura Normalizado).

Los valores Qc se refiere a la resistencia y Q se refiere a la demanda impuesta por el terremoto.

La respuesta es lineal hasta el punto B, seguido por la fluencia, como consecuencia existe una

disminución en la rigidez con un comportamiento lineal desde B hasta C, luego se presenta una

reducción súbita de la rigidez desde C hasta D, continua el desplazamiento desde D hasta E con

una cargas constante hasta perder la resistencia desde E en adelante.

El análisis debe ser capaz de rastrear la relación no lineal fuerza-deformación de todos los

componentes, esta relación se compone por lo general de varios segmentos de línea. El grafico

(a) se expresa directamente en términos de deformación, rotación, curvatura o elongación. Los

parámetros a y b corresponden a la deformación plástica. Estos parámetros son definidos más

adelante por las tablas expuestas mas adelante. El grafico (b) se expresa en términos del

ángulo de cortante y el desplazamiento relativo (drift). La curva más conveniente es la (a),

cuando la deformación es por flexión, la curva (b) es más conveniente cundo la deformación se

produce en juntas, deslizamientos, deformaciones por desplazamiento relativo y ángulo de

cortante. La capacidad para rotar plásticamente de la sección se puede tomar directamente

desde las tablas 10 y 11, la cual representanta los puntos donde hay degradación en la sección,

esta tabla se basa en datos de prueba (Aycardi et al. 1992,; Beres et al. 1992; CSSC 1994b;

Pessiki et al. 1990; y Qi and Moehle 1991), como también en el juicio ingenieril.


(Parámetros Numéricos Aceptables, para modelar el Comportamiento No lineal de Vigas).


(Parámetros Numéricos Aceptables, para modelar el Comportamiento No lineal de Columnas).


Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” según FEMA 356

El método consiste en aplicar una distribución vertical de carga lateral a la

estructura la cual debe incrementarse monótonamente hasta que la estructura

alcance el máximo desplazamiento, mediante la grafica del cortante en la base y

el desplazamiento en el tope de la estructura como se muestra en la siguiente

figura.

El ingeniero estructural puede decidir cuál será la condición de la estructura

después de un movimiento sísmico o más bien el nivel de rendimiento que deberá

tener la estructura luego de un sismo. Esta condición depende de los distintos

niveles de rendimiento estos son:

Nivel Operacional

Ocupación Inmediata

Guardar la seguridad de las vidas

Prevenir el Colapso de la estructura

Distribución de la Carga Lateral Desplazamiento en el Tope

Cortante en la Base

Respuesta Estructural

Cortante en la Base

Desplazamiento en el Tope


El espectro de terremoto usado para el diseño va a depender de la zonificación

donde se encuentra la estructura y se determina según los requerimientos del

código usado. Un espectro típico es mostrado en la siguiente figura.

A continuación se explican los distintos pasos que deben efectuarse para realizar

un análisis estático “Pushover” según Fema 356. Esta secuencia de pasos se

efectúa una vez hemos diseñado la estructura con los procedimientos

convencionales.

I. Determinar la Carga de Gravedad usada en el análisis.

QG = Fuerza total de la gravedad.

QD = Carga Muerta Total.

QL = Efecto efectivo de la Carga Muerta. (25% de la carga viva no reducida)

QS = 70% de la Carga de Nieve.

II. Determinar el factor Cvx para la distribución vertical de la Carga Lateral y

Multiplicar por la Fuerza “F” que es el incremento monótono de la fuerza.

Periodo de Vibración

Sa, Aceleración Espectral


El parámetro k varía con el periodo fundamental de la estructura T.

K = 1, Si T < 0.5 seg

K = 2, Si T > 2.5 seg

III. Determinar del Nivel de Desempeño.

El nivel de desempeño es la condición deseada que deberá tener la estructura

luego de ocurrir el terremoto, se determina según la siguiente tabla.


IV. Calculo de la Amenaza Sísmica.

El siguiente proceso es para crear un espectro de respuesta que cumpla con el

criterio de excedencia de un terremoto seleccionado por el diseñador, según el

nivel de desempeño.

I. Se selecciona la probabilidad de excedencia del terremoto en 50 años, la cual

depende del nivel de desempeño seleccionado, según las dos tablas

anteriores. Luego se calcula el periodo de retorno PR según la siguiente

ecuación.

Donde:

PE50 = Probabilidad de excedencia previamente seleccionado.

Por ejemplo si se requiere que se cumpla con la condición A, K y P entonces el

periodo de retorno se debe calcular tres veces por separado. Entonces el análisis

pushover deberá correrse por separado para cada % de excedencia considerado y

el resultado final debe compararse con los criterios de aceptación de FEMA 273,

para los niveles de desempeño en cada % de excedencia.

II. Calcular la respuesta modificada para periodo corto y largo “Ss y S1” (Esta

fórmula aplica solo cuando Ss no modificado y determinado según el mapa, es

menor que 1.5g y cuando la probabilidad de excedencia del terremoto en 50

años está entre 2% y 10%.

Donde: i = S o 1 dependiendo de la aceleración de corto o largo periodo que estemos modificando.

: Logaritmo Natural de la aceleración espectral en una razón de 10% de excedencia en 10 años.

: Logaritmo Natural de la aceleración espectral en una razón de 2% de excedencia en 10 años.

: Logaritmo Natural del Periodo de Retorno Medio que corresponde a la probabilidad de excedencia.


Esta otra fórmula aplica solo cuando el valor Ss obtenido del mapa es mayor o igual a 1.5g y la probabilidad de excedencia sigua estando entre 2% y 10% de excedencia en 50 años.

Donde el valor de n, se determina según la siguiente tabla.

Para el caso de que la probabilidad de excedencia sea mayor del 10% y el valor de

Ss determinado desde el mapa sea menor a 1.5g se debe también usar la

ecuación anterior pero usando los valores de n, que se describen en las siguiente

tabla.

Para el caso de que la probabilidad de excedencia sea mayor del 10% y el valor de

Ss determinado desde el mapa sea mayor o igual a 1.5g se debe también usar la

ecuación anterior pero usando los valores de n, que se describen en las siguiente

tabla.


III. Ajuste Final de las Aceleraciones Espectrales para Corto y Largo Periodo,

Tomando en Cuenta el Tipo se Suelo en el Sitio.

Donde Fa, es una función de la clase de suelo en el sitio y de la aceleración

espectral modificada Ss, para un periodo corto. Fv, es una función de la clase del

suelo en el sitio y de la aceleración espectral modificada S1, para un periodo largo

de un segundo. Estos valores se determinan según las siguientes tablas.


Donde la Clasificación del Suelo se define como:

Class A: Roca Dura con velocidad de corte del agua Vs > 5,000 ft/s

Class B: Roca con Vs > 2,500 ft/s y Vs < 5,000 ft/s

Class C: Suelo muy denso y roca suave con Vs > 1,200 ft/s y Vs < 2,500 ft/s (N>50 y

Resistencia al corte Su>2,000 psf).

Class D: Suelo Rígido con Vs > 600 ft/s y Vs < 1,200 ft/s (15<N<50 Y 1,000 psf < Su

< 2,000 psf).

Class E: Algún suelo con más de 10 ft de arcilla suave con un índice plástico PI > 20

o un contenido de agua w > 40% y una resistencia no drenada al corte Su < 500

psf. También Vs < 600 ft/s. Si no hay suficientes datos para clasificar un suelo

desde los tipos A hasta D, entonces se debe seleccionar un tipo E.

Class F: Este tipo de suelo requiere una evaluación, son suelos vulnerables a fallas

potenciales o colapso bajo cargas sísmicas, como lo es la licuefacción. Estos suelos

tienen arcilla orgánica con un espesor mayor de 10 ft, muy alta plasticidad PI > 75

IV. Graficando el Espectro de Respuesta a Usarse.

El espectro de diseño es una grafica que relaciona el periodo en función de la

aceleración modificada que hemos determinado con la probabilidad de retorno

que hemos seleccionado previamente. Las funciones para crear el espectro se

muestran en la siguiente grafica.

Este espectro es una herramienta usada para

determinar la aceleración espectral de la

estructura cuando esta tiene un periodo

determinado.


Los valores Bs y B1 son parámetros que toman en cuenta el coeficiente de amortiguamiento efectivo de

la estructura y se tabulan a continuación.

El valor To se define como:

V. Calculo del Desplazamiento Máximo que se espera tendrá la Estructura

durante el evento de diseño (Target Displacement). Se determina mediante la

siguiente ecuación.

Nota: Antes de efectuar este proceso se debe haber hecho el análisis de carga

lateral incremental descrito en el paso II, para conocer la respuesta no lineal de la

estructura ante carga lateral.


Donde:

Periodo fundamental efectivo en la dirección en consideración.

Este debe ser calculado usando la relación de fuerza – deformación o curva de

Capacidad. La relación no lineal del cortante en la base y el desplazamiento en el

nudo prescrito debe ser reemplazada por una relación bilineal para estimar de

este modo la rigidez lateral efectiva (Ke) y el cortante de fluencia del edificio Vy.

La rigidez lateral efectiva debe ser tomada como la secante de la rigidez.

Rigidez lateral elástica del edificio (Ki) debe calcularse según se muestra en la

grafica anterior.

El Periodo fundamental elástico de la estructura (Ti) en segundos, se puede

calcular según la siguiente ecuación:

Ct = 0.030


hn = altura en pies desde la base al tope del edificio.

Factor de Modificación Co y C2.

Se pueden determinar con la siguiente tabla:

Tabla 12 (Valores del Factor de Modificación Co).

Tabla 13 (Valores Factor de Modificación C2).

Factor de Modificación C1.

Este es una relación entre el desplazamiento máximo inelástico y el

desplazamiento calculado para la respuesta lineal elástica.


Los Siguientes parámetros fueron descritos en detalle en la sección IV “Amenaza

Sismica”.

R (strength ratio)

Sa = Aceleración Espectral, en el periodo fundamental efectivo en la dirección

considerada

Vy = Resistencia a la Fluencia se calcula con la grafica que relaciona el cortante en

la base y los desplazamientos en el tope de la estructura en el nudo controlado.

W = Carga muerta y viva total

Coeficiente C3.


TUTORIAL PUSHOVER ANALISIS


CARACTERISTICAS DEL MODELO.

Este ejemplo consiste en una estructura compuesta por la acción conjunta de un sistema de pórticos de

acero con propiedad de material A36 y muros de corte en hormigón con una resistencia de 4,000 psi. El

análisis será efectuado en el plano (dos dimensiones). Vamos a efectuar dos análisis el primero

contempla la no linealidad de los elementos vigas y columnas, mientras que el segunda presenta la no

linealidad tanto del sistema de pórticos como del muro conjuntamente. El comportamiento No Lineal

del Muro será evaluado en el plano, se incluirá el comportamiento no lineal de las barras verticales.

También hemos desarrollado varios materiales para considerar el comportamiento no lineal del

hormigón confinado y no confinado. El comportamiento de las barras se definió como unidireccional.

Con relación a las vigas y columnas hemos desarrollado un modelo de rotulas plásticas según los

criterios de FEMA 356. El patrón incremental de cargas laterales parte de las cargas estáticas según las

características geológicas y de zonificación asumidas en este ejemplo. En cuanto a la geometría el

modelo se muestra en la siguiente grafica. Se asume que el modelo ha sido analizado y diseñado

previamente antes de iniciar este ejemplo.

Concreto No Confinado 0.56% (Acero)

Concreto No Confinado 0.80% (Acero)

Elementos de Borde Concreto

Confinado 6% (Acero) 2 ft de ancho

10 pisos @ 9’3”

Espesor del Muro 6”

Ancho total de 10 ft.

18 ft Typ. 10 ft


El análisis sísmico para el diseño inicial se hizo mediante el método estático calculando el cortante en la

base y distribuyéndolo en toda la altura de la estructura. Para esto usamos un coeficiente sísmico de

0.091 tomado del espectro Sto. Dgo para un periodo aproximado de 1.15 seg.

La carga uniformemente distribuida sobre las vigas se tomo como:

DL = 0.4 Kip/ft

LL = 0.12 kip/ft

PRIMER ANALISIS EVALUANDO LA RESPUESTA NO LINEAL DE LAS VIGAS Y LAS COLUMNAS.

Como mencionamos anteriormente en este análisis no vamos a incorporar la propiedades inelásticas del

material que corresponde al muro se asume que el muro permanece elástico. Por otro lado vamos a

incorporar las propiedades inelásticas de las vigas y las columnas al modelo analítico.

Paso I (Asignar las rotulas a los elementos vigas y columnas)

Seleccionar todas las Vigas.

Assign > Frame > Hinges > Add


Luego de presionar Ok, Colocar 1 en la distancia relativa y presione nueva vez Add, finalmente el

recuadro debe verse como el siguiente.

Seleccionar todas las Columnas.

Assign > Frame > Hinges > Add


Luego de presionar Ok, Colocar 1 en la distancia relativa y presione nueva vez Add, finalmente el

recuadro debe verse como el siguiente.

Luego de presionar Ok, para salir.

Paso II (Revisar las Rotulas que el Programa ha Generado Automáticamente)

Define > Section Properties > Hinges Properties


Paso III (Asignar una longitud donde trabaje la rotula sobre el elemento.)

Seleccione todas las vigas y columnas.

Assign > Frame > Hinge Overwrites

Distancia Relativa % de la Longitud Total

Longitud Total

Rotula Plástica


Paso IV (Definición de los Casos de Carga Pushover) (Unidades en Kip-in)

Define > Load Cases > Add New Load Cases > Colocar la Siguiente Información

Presione Ok, para salir del recuadro luego vuelva a Presionar “Add New Load Cases”, para introducir el

caso de carga lateral en dirección X.

Ver en siguiente pagina


Presione Ok, para salir de todas las ventanas.

Paso V (Efectuar el Análisis Pushover)


ANALISIS DE RESULTADOS.

A. DEFORMACION EN CADA INCREMENTO DE CARGA LATERAL Y SECUENCIA DE FORMACION DE

ROTULAS.

Display > Show Deformade Shape (Desplazamientos en Plgs)

Para ir cambiando desde un paso a otro utilizar las flechas de “Star Animation”


B. REVISION DE LAS FUERZAS EN LOS ELEMENTOS EN CADA PASO O INCREMENTO DE CARGA.

Display > Show Forces / Stresses / Frame Cables

C. VERIFICACION DE LA CURVA DE CAPACIDAD LATERAL GLOBAL.

Display > Show Static Pushover Curve

= 34/9.55 = 3.6


Para visualizar los pasos graficados en la curva podemos ir a través del menú File > Display Tables.

D. METODO DEL ESPECTRO DE CAPACIDAD SEGÚN ATC-40.


Nota: En SAP usted tiene dos alternativas para definir el espectro de demanda. La primera alternativa es

introduciendo los valores Ca y Cv, Según los requerimientos que establecen los códigos. La otra

alternativa es definir un espectro manualmente. En nuestro caso hemos usado los factores Ca = 0.36 y

Cv = 0.36, usados para una zona sísmica 0.3 (Puerto Rico).

En la ventana “Pushover Curve” seleccionar “ATC-40 Capacity Spectrum”

Seleccionar “Modify……….” Colocar la Siguiente Información.

Presiona “Update Plot” para actualizar el espectro de demanda.

La curva deberá visualizarse de la siguiente manera.


Para visualizar en que paso del análisis la estructura alcanza su respuesta máxima solo hay que ir

a la tabla a través del menú File.


Comportamiento No Lineal de Cada Elemento en el Paso donde Ocurre la Máxima Respuesta.

Nota: Se puede observar que la máxima respuesta ocurre en el paso 3, la deformada en este paso no

presenta una incursión en la respuesta no lineal de los elementos estructurales. No se genera ninguna

rotula en este paso.

El comportamiento es aceptable.


E. MAXIMA RESPUESTA SEGÚN EL PROCESO DE FEMA 356.

En la misma ventana “Pushover Curve” seleccione “FEMA 356 Coefficient Method”

Vamos a introducir el espectro del UBC-97, para obtener la misma demanda que usamos en el método

del espectro de capacidad. (Este espectro ya había sido definido previamente.) Se muestra a

continuación.

El factor de escala viene dado por 0.36g = 0.36 * 386.4 = 139.1plg/seg^2, Ts = 0.4 seg


F. VERIFICACION DEL COMPORTAMIENTO GRADUAL DE LAS ROTULAS EN CADA PASO.

Display / Show Hinges Results

Vamos a revisar las Rotulas Mostradas en la siguiente grafica correspondiente al paso 3 de máxima

respuesta y en el elemento donde ocurre el momento mayor.


SEGUNDO ANALISIS INCLUYENDO LA RESPUESTA NO LINEAL DEL MURO EN EL ANALISIS PUSHOVER.

Paso I (Definir unos Materiales Específicos para el Análisis No Lineal de los Muros)

Material Asumiendo un Comportamiento Confinado del Hormigón del Muro.

Define > Materials > Seleccionar la Casilla “Show Advance Properties” > Add New Material

Nota: Introducir los valores según esta tabla para el

comportamiento no lineal del hormigón confinado.

Presione Ok, para salir. Luego presione “Add Copy”


Material Asumiendo un Comportamiento No Confinado del Hormigón del Muro.

Introduzca los datos para el comportamiento no lineal del hormigón no confinado.

Material para las Barras.


Paso II (Definiendo las Secciones de las áreas que van a representar las tres secciones diferentes de los

muros para el Análisis No Lineal)

A fin de estudiar el comportamiento No Lineal de los Muros en la estructura es necesario definir la

sección de dichos muros especificando los leyer y sus características no lineales.

Define > Section Properties > Area Sections > Add New Sections

Sección No Lineal para el Muro No Confinado con una cuantía de acero igual a 0.56%

Seleccione Modify/Show…….. > Luego selección “Quick Start”


Elimine las filas según se muestra en la grafica, ya que no vamos a tomar en cuenta el comportamiento

del hormigón y de las barras fuera del plano.

Presione Ok dos veces.

Sección No Lineal para el Muro No Confinado con una cuantía de acero igual a 0.80%

Presione Add Copy… > Colocar la siguiente información. Luego Presionas Ok dos veces.


Sección No Lineal para el Muro Confinado con una cuantía de acero igual a 6%

Presione Add Copy… > Colocar la siguiente información.

Presione Ok hasta salir de todas las ventanas.

Paso III (Asignar las Propiedades No Lineal a los Muros)

Seleccione los siguientes muros y valla al menú Assign > Area Sections > 0.56% Conc No

Confinado.

Centro del Piso 5 @ 10


Seleccione los siguientes muros y valla al menú Assign > Area Sections > 0.80% Conc No

Confinado.

Seleccione los siguientes muros y valla al menú Assign > Area Sections > 6% Conc Confinado.

Centro del Piso 1 @ 4

Extremos del Piso 1 @ 4


Paso IV (Analizar la Estructura)

Nota: Usar los mismos parámetros definidos en el primer caso para los casos de carga PGRAV y PUSHX.

ANALISIS DE RESULTADOS.

A. REVISION DE LA CURVA DE CAPACIDAD.

Display > Show Static Pushover Curve

= 26.7/4 = 6.7

Nota: Se puede observar en la curva de capacidad global una estructura más dúctil debido a las

deformaciones no lineales que se capturan en el muro, no tomadas en cuenta en el análisis anterior


Para visualizar los pasos graficados en la curva podemos ir a través del menú File > Display Tables.


B. METODO DEL ESPECTRO DE CAPACIDAD SEGÚN ATC-40.

Nota: En SAP usted tiene dos alternativas para definir el espectro de demanda. La primera alternativa es

introduciendo los valores Ca y Cv, Según los requerimientos que establecen los códigos. La otra

alternativa es definir un espectro manualmente. En nuestro caso hemos usado los factores Ca = 0.36 y

Cv = 0.36, usados para una zona sísmica 0.3 (Puerto Rico).

Nota: En el primer caso sin considerar la no linealidad en el muro el máximo desplazamiento fue 3.23”

en este caso el desplazamiento máximo real que tendrá la estructura será igual a 5.32”.


Aunque el desplazamiento es mayor no se generan rotulas plásticas en la estructura en la respuesta

máxima correspondiente al paso numero 5.


Display / Show Hinges Results

Vamos a revisar las Rotulas Mostradas en la siguiente grafica correspondiente al paso 3 de máxima

respuesta y en el elemento donde ocurre el momento mayor.


C. VERIFICAR COMO VARIA EL COMPORTAMIENTO NO LINEAL DE LOS LAYER EN EL MURO.

Display > Show Forces….. > Shell


Sobre el autor El Ingeniero Aneuris Hernández Vélez completo su bachillerato en la Universidad

Nacional Pedro Henríquez Ureña (UNPHU) el año 2004. Su tesis se titula “Estudio

estructural basado en la comparación de la respuesta estática, lineal y no lineal en

torres localizadas en Santo Domingo”. Posteriormente, obtuvo una Maestría en

Ingeniería Civil con especialidad en Estructuras en el año 2009 con su proyecto

titulado “Evaluación Sísmica y Rehabilitación de Estructuras Existentes” enfocado

básicamente en el análisis “Pushover” no lineal. Además en la actualidad se

desempeña como ingeniero en la Autoridad de Carreteras y Transportación de

Puerto Rico en la Oficina de Ingeniería de Puentes. El ingeniero Aneuris ha trabajado

en proyectos de construcción de puentes y carreteras de más de 40 millones de

dólares, también ha impartido cursos y seminarios de ingeniería estructural usando

los software de diseño más poderosos en el mercado “ETABS, SAP2000 y SAFE”.

Actualmente es Dealer Autorizado en Puerto Rico de CSI.

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