1

Una máquina eléctrica es un dispositivo que puede convertir energía mecánica en energía eléc­trica o energía eléctrica en energía mecánica. Cuando este dispositivo es utilizado para convertirenergía mecánica en energía eléctrica, se denomina generador; cuando convierte energía eléctri­ca en energía mecánica, se llama motor.

Puesto que puede convertir energía eléctrica en mecánica o viceversa una máquina eléctricapuede utilizarse como generador o como motor. Casi todos los motores y generadores útilesconvierten la energía de una a otra forma a través de la acción de campos magnéticos. En estelibro sólo se consideran las máquinas que utilizan campos magnéticos para tales conversiones.

Otro aparato relacionado con los motores y los generadores es el transformador. Un trans­formador es un dispositivo que convierte energía eléctrica de corriente alterna de cierto nivel devoltaje en energía eléctrica de corriente alterna de otro nivel de voltaje. Puesto que Jos transfor­madores operan sobre los mismos principios que los generadores y los motores, dependiendo dela acción de un campo magnético para llevar a cabo el cambio del nivel de voltaje, se estudianjunto con aquéllos.

Estos tres tipos de dispositivos eléctricos se encuentran en cualquier campo de la vidacotidiana moderna. En el hogar, los motores eléctricos hacen funcionar enfriadores, congelado­res, aspiradoras, ventiladores, equipos de aire acondicionado, licuadoras y otros muchos apara­tos similares. En los talleres, los motores suministran la fuerza motriz para casi todas lasherramientas. En consecuencia, los generadores son necesarios para suministrar la energía atodos estos motores.

¿Por qué son tan comunes los motores y generadores eléctricos? La respuesta es muysimple: la energía eléctrica es una fuente de energía limpia y eficiente, fácil de controlar y transmi­tir a largas distancias. Un motor eléctrico no requiere ventilación ni combustible constantes, adiferencia de los motores de combustión interna; por esta razón, es el adecuado en ambientesdonde no son deseables los residuos contaminantes de la combustión .. Además, la energíacalorífica o la energía mecánica pueden ser convertidas en energía eléctrica en sitios lejanos yésta puede ser transmitida a largas distancias hasta cualquier hogar, oficina o fábrica donde se

1-1 MÁQUINASELÉCTRICAS,TRANSFORMADORES, Y LA VIDA DIARIA

INTRODUCCIÓNA LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS

CAPÍTULO1

2

Casi todas las máquinas eléctricas rotan sobre un eje llamado eje de la máquina. Debido a lanaturaleza rotatoria de la máquina, es importante tener un conocimiento básico de1movimientorotatorio. Esta sección contiene un breve repaso de los conceptos de distancia, velocidad, acele­ración, ley de Newton y potencia, aplicados a las máquinas rotatorias. Para un análisis másdetallado de los conceptos de dinámica rotatoria, veánse las referencias 1, 3 ó 4.

En general, se requiere un vector tridimensional para describir la rotación de un objeto en elespacio. Sin embargo, dado que las máquinas giran sobre un eje fijo, su rotación queda restringi­da a una dimensión angular. Con relación a un extremo del eje de la máquina, la dirección derotación puede ser descrita ya sea en sentido de las manecillas del reloj (CW) o en sentidocontrario a las manecillas del reloj (CCW). Para los propósitos de este volumen, un ángulo derotación en sentido contrario a las manecillas del reloj será positivo y en sentido de las manecillas

1-3 MOVIMIENTO ROTATORIO, LEY DE NEWTONy RELACIONES DE POTENCIA

El estudio y diseño de las máquinas eléctricas se encuentran entre las áreas más antiguas de laingeniería eléctrica. Su estudio comienza a finales del siglo diecinueve. En ese entonces lasunidades eléctricas comenzaron a estandarizarse internacionalmente y llegaron a ser utilizadaspor los ingenieros de todo el mundo. Volt, ampere, ohm, watt y unidades similares del sistemamétrico de unidades han sido utilizadas para describir las cantidades eléctricas en las máquinas.

En los países de habla inglesa, las cantidades mecánicas han sido medidas durante muchotiempo con el sistema inglés de unidades (pulgadas, pies, libras, etc.) Esta práctica se siguió en elestudio de máquinas. Por esa razón, durante muchos años las cantidades eléctricas y mecánicasse han medido con diferentes sistemas de unidades.

En 1954 fue adoptado corno norma internacional un sistema de unidades basado en elsistema métrico. Este sistema se conoce como Sistema Internacional (SI) y ha sido acogido en lamayor parte del mundo. Estados Unidos es prácticamente el único país que se ha mantenido en elsistema inglés ya que incluso Gran Bretaña y Canadá adoptaron el SI.

Las unidades del sistema internacional serán norma en los Estados Unidos con el tiempo, ylas corporaciones internacionales harán uso de ellas en el futuro. Sin embargo, debido a quemucha gente ha crecido utilizando las unidades del sistema inglés, éste permanecerá en usodurante un buen tiempo. En la actualidad los estudiantes de ingeniería en los Estados Unidosdeben estar familiarizados con ambos sistemas de unidades puesto que deberán utilizar ambosdurante sus vidas profesionales. Por 10 anterior, este libro incluye ejercicios y ejemplos queutilizan unidades de ambos sistemas. El énfasis en los ejemplos se hace sobre las unidades del SI,pero los viejos sistemas no se descartan por completo.

1-2 NOTAREFERENTE A LAS UNIDADES

requiera. Los transformadores ayudan a este proceso reduciendo las pérdidas de energía entre elsitio de generación de energía eléctrica y el de utilización de ésta.

CAPíTULO 1

3

En estos símbolos el subíndice m indica una cantidad mecánica en contraposición a una cantidadeléctrica. Si no existe posibilidad alguna de confusión entre las cantidades mecánica y eléctrica,se omite el subíndice.

W /11 velocidad angular expresada en radianes por segundoi; velocidad angular expresada en revoluciones por segundo"111 velocidad angular expresada en revoluciones por minuto

Si las unidades de la posición angular están en radianes, la velocidad angular se mide en radianespor segundo.

Tratándose de máquinas eléctricas normales, los ingenieros utilizan con frecuencia unida­des diferentes de radianes por segundo para describir la velocidad del eje. En general, la veloci­dad angular se expresa en revoluciones por segundo o revoluciones por minuto. Puesto que lavelocidad angular es un concepto tan importante en el estudio de las máquinas, es costumbreutilizar diferentes símbolos para la velocidad cuando se expresa en unidades diferentes, 10 cualpermite minimizar cualquier posible confusión en cuanto a las unidades.

Los siguientes símbolos se utilizan en este libro para describir la velocidad angular:

(1-2)

la velocidad angular se define mediante la ecuación

(1-1)drv = dt

La velocidad angular es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo. Espositiva si la rotación es contraria a la dirección de las manecillas del re1oj.La velocidad angularcorresponde al concepto de velocidad lineal. Así como la velocidad lineal unidimensional estádefinida por la ecuación

Velocidadangular w

La posición angular e de un objeto es el ángulo en que se sitúa, medido desde algún puntoarbitrario de referencia. La posición angular se mide en radianes o grados; corresponde al con­cepto de distancia en el movimiento rectilíneo.

Posición angular e

del reloj, se asumirá negativo. Para la rotación sobre un eje fijo, todos los conceptos de estasección se reducen a magnitudes escalares.

Enseguida se definen los conceptos importantes del movimiento rotatorio y se relacionancon la idea correspondiente en el movimiento rectilíneo.

INTRODUCCIÓN A lOS PRINCIPIOS DE MÁQUIN.l,S

4

En el movimiento rectilíneo, una fuerza aplicada sobre un objeto ocasiona un cambio de veloci­dad en éste. Si no se ejerce una fuerza neta sobre el objeto, su velocidad permanece constante.Cuanto mayor sea la fuerza aplicada al objeto, más rápidamente cambiará su velocidad.

En el movimiento rotatorio, existe un concepto similar. Cuando un objeto rota, su velocidadpermanece constante a menos que se ejerza un par sobre él. Cuanto mayor sea el par aplicado alobjeto, más rápidamente cambiará su velocidad angular.

¿Qué es par? El par puede llamarse con poca exactitud la "fuerza de torsión" aplicada alobjeto. Este concepto es fácil de entender. Imagine un cilindro que rota libremente alrededor de sueje. Si se aplica una fuerza al cilindro, de manera que la línea de acción pase por el eje del cilindro(figura 1-la), el cilindro no rotará. Sin embargo, si la misma fuerza se aplica de modo que su líneade acción pase a la derecha del eje del cilindro (figura l-lb), el cilindro tenderá a rotar en direccióncontraria a las manecillas del reloj. El par o acción de torsión sobre el cilindro depende de:1) la magnitud de la fuerza aplicada y 2) la distancia entre el eje de rotación y la línea de acción dela fuerza.

El par sobre un objeto se define como el producto de la fuerza aplicada al objeto por ladistancia mínima entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación del objeto. Si r es un

Par 'T

Si las unidades de la velocidad angular están en radianes por segundo, la aceleración angular semide en radianes por segundo cuadrado.

(1-5)dwa=-dt

la aceleración angular se define mediante la ecuación

(14)dva=-dt

La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo. Espositiva si la velocidad angular se incrementa en sentido algebraico. La aceleración angularcorresponde a la aceleración en el movimiento rectilíneo. Así como la aceleración linealunidimensional está definida por la ecuación

Aceleración ángular a

(l-3b)

(l-3a)

Estas medidas de velocidad del eje se relacionan entre sí mediante las siguientes ecuaciones:

CAPíTULO 1

5

Figura 1-1a) Una fuerza aplicada a un cilindro de modo que pase por su eje de rotación 7 = O. 17) Una fuerza aplicada a uncilindro de manera que su línea de acción no pase por el eje de rotación . Aquf T va en sentido opuesto a lasmanecillas del reloj.

b)a)

7=0El par es cero

7Par en sentido opuesto alas manecillas del reloj

FF

\)

~----------IIII,

(1-7)F=ma

La ley de'Newton en cuanto a objetos que se mueven en línea recta describe la relación entre lafuerza aplicada a un objeto y su aceleración resultante. Esta relación está dada por la ecuación

Ley de rotación de Newton

donde (j es el ángulo entre el vector r y el vector F. La dirección del par tendrá el sentido de lasmanecillas del reloj si tiende a causar la rotación en sentido de las manecillas del reloj y en sentidocontrario a las manecillas del reloj, si tiende a causar la rotación en este sentido (figura 1-2).

Las unidades del par son newtonlmetro en las unidades del SI y libra/pie en el sistemainglés.

(1-6)

7 = (fuerza aplicada) (distancia perpendicular)= (F) (r sen (J)= r Fsen (J

vector que apunta desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza y si F es lafuerza aplicada, el par puede ser descrito como

INTRODUCCiÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUli\AS

6

Figura) -2Obtención de la ecuación del par en un objeto.

T = (distancia perpendicular) (fuerza)T = (r sen (f) F, en sentido opuesto a las manecillas del reloj

\\,,F'

r sen (180°- 8) = r sen (1

donde T es el par neto aplicado, expresado en newtonlmetro o libra/pie, y a es la aceleraciónangular resultante expresada en radianes por segundo cuadrado. El término J, que sirve el mismopropósito de la masa del objeto en el movimiento lineal, representa el momento de inercia delobjeto y se mide en kilogramos/metro cuadrado o slug/pie cuadrado. El cálculo del momento deinercia de un objeto está fuera del alcance de este libro. Puede verse información al respecto enlas referencias 1 ó 3 al final de este capítulo.

(1-8)T = la

En unidades SI, la fuerza se mide en newton, la masa en kilogramos y la aceleración en metros porsegundo cuadrado. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras, la masa en slugs y la aceJera­ción en pies por segundo cuadrado.

Una ecuación semejante describe la relación entre el par aplicado a un objeto y su acelera­ción angular resultante. Esta relación, llamada ley de rotación de Newton, está dada por laecuación

donde F = fuerza neta aplicada al objetom = masa del objetoa = aceleración resultante

CApiTULO 1

7

p = dd~ = ;/70) = r(~~)= 7WP = TW (1-15)

Así mismo, sí el par es constante, en el movimiento rotatorio la potencia está dada por

(1-14)dW d (dr)p = dt = d/Fr) = F dt = Fv

Se mide generalmente en joules por segundo (watts), pero también puede medirse en libra/pie porsegundo o en caballos de fuerza (HP).

Aplicando esta definición y suponiendo que la fuerza es constante y colineal con la direc­ción del movimiento, la potencia está dada por

(1-13)dWp=-dt

La potencia es la razón de cambio del trabajo o e] incremento en el trabajo por unidad de tiempo.La ecuación de potencia es

PotenciaP

(1-12)W = rOy si el par es constante,

(l-U)W = f -rdO

En el sistema SI, la unidad de medidad del trabajo es el joule, y la libra/pie en el sistema inglés.En el movimiento rotatorio, trabajo es la aplicación de un par a través de un ángulo. En este

caso la ecuación es

(1-10)W=Fr

donde se supone que la fuerza es colineal con la dirección del movimiento. Para el caso especialde una fuerza constante aplicada en forma colineal con la dirección del movimiento, esta ecuaciónse transforma en

(1-9)W = IFdr

En el movimiento lineal, el trabajo se define como la aplicación de una fuerza a través de unadistancia, y se expresa mediante la ecuación

Trabajo W

INTRODUCCIÓN A lOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS

8

11-18)

La ley básica que gobierna la producción de un campo magnético por una corriente es la ley deAmpére:

Producción de un campo magnético

Esta sección describe y trata sobre la producción de un campo magnético por un conductor queporta corriente, mientras que las secciones posteriores de este capítulo explican los otros tresprincipios.

1. Un conductor que porta corriente produce un campo magnético a su alrededor,2. Un campo magnético variable con el tiempo induce un voltaje en una bobina de alambre si

pasa a través de ésta (ésta es la base de1fimcionamiento del transformador).3. Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético experimenta una

fuerza inducida sobre él (ésta es la base del funcionamiento del motor).4. Un conductor eléctrico que se mueva en presencia de un campo magnético tendrá un voltaje

inducido en él (ésta es la base delfimcionamiento del generador).

Como se indicó antes, los campos magnéticos son el mecanismo fundamental. para convertir laenergía de ca en energía de cc, o viceversa, en motores, generadores y transformadores. Existencuatro principios básicos que describen cómo se utilizan los campos magnéticos en estosaparatos:

1-4 EL CAMPO MAGNÉTICO

(1-17)P ( b JI d f )_ T(lb. pie) n (r/min)ca a os e uerza - 5252

donde el par se mide en libra/pie y la velocidad en revoluciones por minuto.

(1-16)T(lb .pie) n (r/min)P (watts) = 7.04

La ecuación (1-15) es muy importante en el estudio de las máquinas eléctricas porque decribe lapotencia mecánica aplicada al eje de un motor o un generador.

La ecuación (1-15) es la relación correcta entre la potencia, el par y la velocidad, si la potenciaestá medida en watts, el par en newton/metro y la velocidad en radianes por segundo. Si seutilizan otras unidades para medir cualquiera de las cantidades indicadas, debe introducirse unaconstante en la ecuación como factor de conversión. Es todavía común en los Estados Unidosmedir el par en libra/pie, la velocidad en revoluciones por minuto y la potencia en watts (IN) ocaballos de fuerza (HP). Si se emplean los factores de conversión adecuados en cada término, laecuación (1-15) se convierte en

CApíTULO 1

--_ .....•_ __ _ .._ .

9

Figura 1-3Un núcleo magnético sencillo.

Sección transversalA

Longitud mediat.

(1-21)B = p.H

(1-20)H = Nile

La intensidad de campo magnético H es, de alguna manera, una medida del "esfuerzo" deuna corriente por establecer un campo magnético. La potencia del campo magnético producidoen el núcleo depende también del material de éste. La relación entre la intensidad de campomagnético H y la densidad de flujo magnético resultante B producida dentro del material estádada por

donde H es la magnitud del vector de intensidad de campo magnético H. De esta manera, lamagnitud de intensidad de campo magnético en el núcleo debido a la corriente aplicada es

(1-19)

donde H es la intensidad de campo magnético producida por la corriente 1,,<1' En unidades del SI,l se mide en amperes yH, en amperes-vuelta por metro. Para entender mejor el significado de estaecuación, es de gran ayuda aplicarla al sencillo ejemplo de la figura 1-3, que muestra un núcleorectangular con un devanado de N vueltas de alambre enrollado sobre una de las ramas delnúc1eo.Si el núcleo es de hierro o algunos metales similares (llamados materiales ferromagnéticos),casi todo el campo magnético producido por la corriente permanecerá dentro del núcleo, de modoque el camino de integración en la ley de Ampére es la longitud media del núcleo le' La corrienteque pasa por el camino de integración In.1 es entonces Ni, puesto que la bobina de alambre cortadicho camino N veces mientras porta la corriente i. La ley de Ampére se expresa entonces

INTRODUCCIÓN A lOS PRINCIPIOS DE ML\QUII\'AS

1 O

(l-25a)

y el flujo total en cierta área está dado por

(1-24)N·B = ¡..tH = Mf:!lle

La permeabilidad relativa es una medida útil para comparar la capacidad de magnetización de losmateriales. Por ejemplo, los aceros utilizados en las máquinas modernas tienen permeabilidadesrelativas de 2000 a 6000 o más. Esto significa que, para una cantidad de corriente dada, en lasección de acero, habrá entre 2000 y 6000 veces más flujo que en la secci6n correspondiente enel aire. (La permeabilidad del aire es la misma que la del espacio libre.) Los metales que forman losnúcleos de un transformador o de un motor cumplen un papel de extrema importancia paraincrementar y concentrar el flujo magnético en el aparato.

Debido a que la permeabilidad del hierro es mucho mayor que la del aire, la mayor parte delflujo en un núcleo de hierro, como el que aparece en la figura 1-3, permanece dentro del núcleo enlugar de viajar a través del aire circundante, cuya permeabilidad es mucho más baja. La pequeñacantidad de flujo disperso que abandona el núcleo de hierro es muy importante para determinar elflujo ligado entre bobinas y las autoinductancias de las bobinas en transformadores y motores.

En un núcleo como el mostrado en la figura 1-3, la magnitud de la densidad de flujo estádada por

(1-23)II.=J!:..r=r JLo

La permeabilidad de cualquier material comparada con la permeabilidad del espacio libre se deno­mina permeabilidad relativa:

(1-22)}Lo = 47T X 10-7H/m

La intensidad de campo magnético se mide en ampére-vuelta por metro, la permeabilidad enhenrys por metro y la densidad de fluj o resultante en webers por metro cuadrado, conocido comoteslas (T).

La permeabilidad del espacio libre se denomina m., y su valor es

H que representa el esfuerzo de la corriente por establecer un campo magnéticofL que representa la facilidad relativa para establecer un campo magnético en un

material dado

La densidad de flujo magnético real producida en una sección del material está dada enton­ces por el producto de dos términos:

donde H = intensidad de campo magnéticofl = permeabilidad magnética del materialB = densidad de flujo magnético resultante

CAPÍTULO 1

1 1

donde ?Jf es el simbolo de la fuerza magnetomotriz, medida en amperes-vuelta.En el circuito magnético, al igual que la fuente de voltaje en el circuito eléctrico, la fuerza

magnetomotriz tiene una polaridad asociada a ella. El terminal positivo de la fuente mmf es elterminal de donde sale el flujo y el terminal negativo es el terminal por donde el flujo retorna a lafuente. La polaridad de la fuerza magnetomotriz de una bobina de alambre puede ser determinadamediante la regla de la mano derecha modificada: si la curvatura de los dedos de la mano derechaapunta en la dirección del flujo de corriente de la bobina, el dedo pulgar apuntará en la direcciónpositiva de la fuerza magnetomotriz (véase figura 1-5).

(1-27)?:F = Ni

En el circuito eléctrico, el voltaje o fuerza electromotriz genera el flujo de corriente. Por analogía,la cantidad correspondiente en el circuito magnético se denominajuerz« magnetomotri; (mmf).La fuerza magnetomotriz de un circuito magnético es igual al flujo efecti vo de corriente aplicadoal núcleo:

V = IR

En la ecuación (1-26) se observa que la corriente en una bobina de alambre conductor enrolladoalrededor de un núcleo produce un tlujo magnético en éste. Esto es, en cierta forma, análogo alvoltaje que produce un flujo de corriente en el circuito eléctrico. Es posible definir un "circuitomagnético" cuyo comportamiento sea gobernado por ecuaciones análogas a aquellas estableci­das para un circuito eléctrico. Con frecuencia, el modelo de circuito magnético del comportamien­to magnético se utiliza en el diseño de máquinas y transformadores eléctricos para simplificar elproceso de diseño que, de otro modo, sería muy complejo.

En un circuito eléctrico sencillo como el de la figura 1-4a, la fuente de voltaj e Vgenera unacorriente 1 a lo largo de la resistencia R. La relación entre estas cantidades está dada por la ley deOhm:

Circuitos magnéticos

donde A es el área de la sección transversal del núcleo.

(1-26)

De esta forma el flujo total en el núcleo de la figura 1-3, producido por la corriente ien eldevanado, es

(l-25b)1> = BA

donde dA es la diferencial del área. Si el vector de densidad de flujo es perpendicular a un planode área A y si la densidad de flujo es constante en toda el área, la ecuación se reduce a

INTRODUCCiÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINASI

1 2

En ciertas circunstancias, es más fácil trabajar con la permeancia del circuito magnético que consu reluctancia.

(1-30)

La relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo puede ser expresada como

(1-29)

La reluctancia de un circuito magnético es el homólogo de la resistencia del circuito eléctrico ysemide en amperes-vuelta por weber.

Existe también un análogo magnético de la conductancia. Así como la conductancia en elcircuito eléctrico es el inverso de su resistencia, lapermeancia c¿p de un circuito magnético es elinverso de su reluctancia:

donde ?:fo ;o:: fuerza magnetomotriz del circuitorp = flujo del circuitom = reluctancia del circuito

(1-28)

En un circuito eléctrico el voltaje aplicado ocasiona un flujo de corriente J. En forma similar,en un circuito magnético, la fuerza magnetomotriz aplicada ocasiona un flujo rp . La relación entrevoltaje y corriente en un circuito eléctrico está dada por la ley de Ohm (V = JR); en forma semejan­te, la relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo es

figura 1-4(/) Circuito eléctrico sencillo. b) Circuito magnético análogo para el núcleo del transformador.

b)a)

V1= -R

'!j =NiRv

I

CApíTULO 1

. _<:

13

(1-33)

En un circuito magnético, las reluctancias obedecen las mismas reglas que las resistenciasen un circuito eléctrico. La reluctancia equivalente de un número de reluctancias en serie es lasuma de las reluctancias individuales:

(1-32)

Comparando la ecuación (1-31) con la ecuación (1-28), se observa que la reluctancia del núcleo es

~ = .J:_p.A

(1-31)

(1-26)4> BA jJNiAle

= Ni(f)

=~(f)

¿Cuál es la reluctancia del núcleo de la figura] -3? En este núcleo el flujo está dado por laecuación (1-26):

Figura 1-5Determinación de la polaridad de una fuente de fuerza rnagnetomorriz en un circuito magnético.

-: /rr=CP-i- _...

N _.... I-

V

INTRODUCCIÓN A tOS PRINCIPIOS DE MÁQUIN<\S

1 4

Ejemplo 1~1 En la figura 1-7a se observa un núcleo ferromagnético. Tres ladosde este núcleo son deanchura uniforme, mientras que el cuarto es un poco más delgado. La profundidad del núcleo (haciadentro de la página) es 10 cm, y las demás dimensiones se muestran en la figura. Hay una bobina de200 vueltas enrollada sobre e! lado izquierdo del núcleo, Si la permeabilidad relativa zzies 2500, ¡,quécantidad dc flujo producirá una corriente de 1 A en la bobina?

Es posible eliminar parcialmente estas fuentes internas de error utilizando una longitud derecorrido media y una sección transversal "corregidas" o "efectivas" en lugar de la longitud físicay del área reales obtenidas en los cálculos.

Aunque existen muchas limitaciones inherentes al concepto de circuito magnético, éste esaún la herramienta más útil disponible para el cálculo de los flujos en el diseño práctico de lasmáquinas. Efectuar el cálculo exacto utilizando las ecuaciones de Maxwell es muy difícil, y no serequiere puesto que con el método aproximado se obtienen resultados satisfactorios.

Los siguientes ejemplos ilustran los cálculos básicos de circuitos magnéticos. Observe queen estos ejemplos, las respuestas están dadas con tres cifras significativas.

1. El concepto de circuito magnético supone que el flujo está confinado dentro del núcleo, locual no es cierto. La permeabilidad de un núcleo ferromagnético es de 2000 a 6000 veces ladel aire, pero una pequeña fracción del flujo escapa del núcleo al aire circundante de bajapermeabilidad. Este flujo que sale del núcleo se denominafiujo disperso y es de gran impor­tancia en el diseño de las máquinas eléctricas.

2. En el cálculo de la reluctancia se supone cierta longitud media y una sección transversal delnúcleo. Asumir esto no es muy adecuado, especialmente en los ángulos de los núcleos.

3. En los materiales ferromagnéticos, la permeabilidad varía con la cantidad de flujo presentedesde antes en el material. Este efecto de no linealidad, descrito en detalle más adelante,añade otra fuente de error al análisis del circuito magnético puesto que las reluctanciasutilizadas en el cálculo del circuito magnético dependen de la permeabilidad del material.

4. Si hay entrehierros en el camino del flujo en el núcleo, la sección transversal efectiva del.entrehierro será mayor que la sección transversal del núcleo en cada lado del entrehierro. Lasección extra efectiva se debe al "efecto marginal" tfringing effect) del campo magnético enel entrehierro (figura 1-6).

Las permeancias en serie y en paralelo obedecen las mismas reglas que las conductancias eléc­tricas.

Los cálculos de flujo en el núcleo, obtenidos utilizando los conceptos del circuito magnéti­co, son siempre aproximaciones (en el mejor de los casos su aproximación está dentro del5% delvalor real). Existe un buen número de razones para esta inexactitud:

(1-34)

De la misma forma, las reluctancias en paralelo se combinan de acuerdo con la ecuación

CApiTULO 1

1 5

= (2500)(4'17" x 10-7)(0.015 rrr')

= 27,600 A· vuelta/Wb

(1-32)1" 119Jt2 = ~2 = /-Lrf.LoA2

1.3 m

La longi tud media de la región 2 es 130 cm y el área de la sección transversal, es 15 x 10= 150 cm'. Deesta forma, la reluctancia de esta región es

= (2500)(47T X 10 7)(0.01 m2)

= 14,300 Avvuelta/Wb

(1-32)ffil = _1_1 = II¡..LA I !J.rJ-LoA )

0.45 ro

Solución. Se presentan dos soluciones a este ejercicio: una a mano y la otra utilizando el programaMATLAB, las cuales conducen a la misma respuesta.

Tres lados del núcleo tienen las mismas secciones transversales mientras que el cuarto lado tieneun área diferente. Entonces se puede dividir el núcleo en dos regiones: 1) la correspondiente aliadomás delgado y 2) los otros tres lados en conjunto. El circuito magnético correspondiente a este núcleose muestra en la figura 1-7b.

La longitud media de la región 1 es 45 cm y el área transversal, 10 x 10= 100 cm-. De esta forma,la reluctancia de esta región es

Figura 1-6Efecto marginal (jángillg effect) dc un campo magnético en un entrehierro. Nótese el incremento de la seccióntransversal del entrehierro comparada con la sección transversal del metal.

N

t

S

INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQlJINAS

1 6

Figura 1-7(1) El núcleo ferromagnético del ejemplo 1-1. b) Circuito magnético correspondiente a a.

30cm

15 cm

b)

~(=Ni)

a)

D N = 200 vueltas

+-------------------~-- -- ---- ---

---------

15 cm

_____f-------+ ,i :.:..iI---_'_ --__1_ --1 1 1 II I I I1 I I I1-15 cm---I----- 30cm----- .....10cm-l1 I

-D( ----- ----

----4 ----- ----

_________ D

___---D-----

----- ---- ----T-----------------T-- -- ---- ---

I I1---15 cm---I----- 30cm----- .....10cm-lI I1 11 I-----+--------~----------------~----~----,---

CApiTULO 1

1 7

% Finalmente, obtenga el flujo en el núcleoflujo = fmm / rtot¡

% Calcule la fmmfmm = n * i;

% Calcule la reluctancia totalrtot = rl + r2;

% Calcule la segunda reluctanciar2 = 12 / (ur * uO * a2);disp (['r2 = ' num2str (r2)));

% Calcule la primera reluctanciarl = 11 / (ur * uO * al);disp (['rl = . num2str (rl)]);

calcular el flujo en el ejemplo 1-1.% Longitud de región 1% Longitud de regi6n 2% Área de región 1% Área de región 2% Permeabilidad relativa% Permeabilidad del espacio libre% Número de vueltas sobre el núcleo% Corriente en amperes

% Archivo M para11 0.45;12 1.3;al 0.01;a2 0.015;ur 2500;uO 4*pi*lE-7;n 200;i 1;

% Archivo M:exl_l.m

Este cálculo puede hacerse utilizando una copia del texto del MATLAB, si se desea. Se muestra unasimple transcripción:

r:; 200 A . vueltas<P = m = 41,900 A· vuelta/Wb

= 0.0048 Wb

El flujo total en el núcleo está dado por

?Ji = Ni = (200 vueltasu 1.0A) = 200 A .vuelta

La fuerza magneto motriz total es

~eq = ~l + <fR_2

= 14,300 A'vuelta'Wb + 27,600 Avvuelta/Wb

= 41.900 A·vueltaiWb

Por tanto, la reluctancia total del núcleo es

INTRODUCCiÓN A lOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS

18

El entrehierro contribuye con la mayor cantidad de reluctancia a pesar de que su longitud es 800veces menor que la del núcleo.

<lJLeq = ffie + C!lta= 66,300 A· vuelta /Wb + 316,000 A·vuelta/Wb= 382,300 A· vuelta /Wb

Entonces, la reluctancia total en el camino del flujo es

= (471' x 10-7)(0.00126 m2)

= 316,000 A· vuelta/Wb

0.0005 m

(1-32)

El área efectiva del entrehierro es 1.05 x 12 cm' = 12.6 cm', por tanto la reluctancia del entrehierroes

= (2500)(471' x 10 7)(0.01 m2)

= 14,300 A'vueltaíWb

(1-32)m. = JL. = l.p.A I J..LrJLoA •

0.45 m

a) La reluctancia del núcleo es

Solución. El circuito magnético correspondiente a este núcleo se muestra en la figura 1-8b.

Ejemplo 1-2 La figura 1-8a muestra un núcleo ferromagnético cuya longitud media es 40 cm. Hay unpequeño entrehierro de 0.05 cm en la estructura del núcleo. La sección transversal del núcleo es 12 cm',la permeabilidad relativa del núcleo es 4000 y la bobina de alambre en el núcleo tiene 400 vueltas.Suponga que el efecto marginal en el entrehierro incrementa la sección transversal efectiva del entrehierroen un 5%. Dada esta información, encuentre a) la reluctancia total del camino del flujo (hierro másentrehierro) y b) la corriente requerida para producir una densidad de flujo de 0.5 T en el entrehierro.

Este programa produce la misma respuesta encontrada mediante los cálculos manuales. •

» exl_lrl ~ 14323.9449r2 = 27586.8568Flujo = 0.004772

Cuando se ejecuta el programa, sus resultados son:

% t-luestreel resul tadodisp (('flujo ~ , num2str (flujo))};

CApiTULO 1

19

•Puesto que se requería el flujo en el entrehierro, el área efectiva de éste fue utilizada en laecuación.

= 0.602 A

. BA01,=--N(0.5 T)(O.00126 m2)(382,300 A . vuelta /Wb)

400 vueltas

entoncesNi = BAffi

Puesto que el flujo q; =EA y?JP =Ni, esta ecuación se transforma en

(1-28)

b) La ecuación (1-28) establece que

Figura 1-8a) Núcleo ferromagnético del ejemplo ¡-2. h) Circuito magnético correspondiente a a.

h)

(!}I.a (Reluctancia del entrehierro)

I!R.c (Reluctancia del núcleo)

g; ( = Ni)

a)

A = 12 cm-

B

10.05 cm-r

INTRODUCCiÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS

20

~ =Ni = (200vueltas)(1.0 A) = 200 A . vuelta

La fuerza magnetomotriz neta aplicada al núcleo es

rzkeq = rzks + CZkal + CZkr + ~a2

= 166,000 + 284,000 + 16,600 + 284,000 A ·vuelta/Wb

= 751,000 A . vuelta /Wb

El circuito magnético correspondiente a esta máquina se muestra en la figura 1-9b.La reluctancia totaldel camino del flujo es

= (1)(47T x 10-7)(0.0014 m2)

= 284,000 A· vuelta/Wb

0.0005 ID

La reluctancia del entrehierro es

= (2000)(4'1T X 10 7)(0.0012 rrr')

= 16,600 A· vuelta/Wb

O.OSm

CZkr = /-Lrf.LoA r

La reluctancia del rotor es

0.5 m= (2000)(4'1T X 10 7)(0.0012 m2)

= 166,000 A- vueltaíWb

Solución. Para determinar la densidad de flujo en el entrehierro, es necesario calcular primero lafuerza magnetomotriz aplicada al núcleo y la reluctancia total en el recorrido del flujo. Con estainformación se puede encontrar el flujo total en el núcleo. Finalmente, conociendo la sección transver­sal del entrehierro, se puede calcular la densidad de flujo.La reluctancia del estator es

Ejemplo 1-3 La figura 1-9a muestra un rotor y un estator sencillos de un motor de. La longitud media delrecorrido del flujo en el estator es 50 cm, y su sección transversal es 12 cm".La longitud media correspon­diente al rotor es 5 cm y su sección transversal también es 12 cnr', Cada entrehierro entre el rotor y elestatortiene un ancho de 0.05 cm y su sección transversal (incluido el efecto marginal) es 14cm2• El hierrodel núcleo tiene una permeabilidad relativa de 2000, y hay 200 vueltas alrededor del núcleo. Si la corrienteen el alambre se ajusta a 1A, ¿cuál será la densidad de flujo resultante en el entrehierro?

CApíTULO 1

21

•B = p. = 0.000266 Wb = 019 TA 0.0014 m2 •

Finalmente, la densidad de flujo en el entrehierro del motor es

CJfo 200 A . vueltac/J = 1Jt = 751,000 A . vuelta/Wb

= 0.00266 Wb

El flujo total en el núcleo es

Figura 1-9a) Diagrama simplificado de un rotor y un estator de motor de ce. b) Circuito magnético correspondiente a «.

h)

ma2 Reluctancia del entrehierro 2

c¿¡¡_r Reluctancia rotórica

c¿j(a¡ Reluctancia del entrehierro I

ms Reluctancia estatórica

?Ji ( :;:Ni )

a)

l = 0.05 cm"

1,.:;: 5 cm

A = 12 cm-

INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS

22

es fácil deducir que la intensidad de campo magnético es directamente proporcional a la fuerzamagnetomotriz, y que la densidad deflujo magnético es directamente proporcional alflujo paraun núcleo dado. Por tanto, la relación entre B yH es semejante a la relación entre el flujo y la fuerzamagnetomotriz. La pendiente de la curva de densidad de flujo contra intensidad de campo magné­tico para cualquier valor de H, en la figura 1-10b es por definición la permeabilidad del núcleo adicha intensidad de campo magnético. La curva muestra que la permeabilidad es grande y relati­vamente constante en la región no saturada, y que decrece de manera gradual hasta un valor muybajo cuando el núcleo se encuentra saturado.

La figura l-lOc es la curva de magnetización de una pieza típica de acero mostrada más endetalle, y cuya intensidad de campo magnético está dada en una escala logarítmica. Sólo cuando

(1-25b)4> = BA

(1-20)

Se indicó que la permeabilidad magnética de los materiales ferromagnéticos es muy alta, hasta6000 veces la permeabilidad del espacio libre. En esa discusión y en los ejemplos que la siguieron,se supuso que la permeabilidad era constante, independiente de la fuerza magnetomotriz aplicadaal material. Aunque la permeabilidad es constante en el espacio libre, no Jo es en el hierro y enotros materiales ferromagnéticos.

Para ilustrar el comportamiento de la permeabilidad magnética en un material ferromagnético,se aplica una corriente directa al núcleo mostrado en la figura 1-3, comenzando en cero amperese incrementándola lentamente hasta la máxima corriente posible. Cuando se representa el flujoproducido en el núcleo contra la fuerza magnetomotriz que 10 produce, se obtiene una gráficacomo la de la figura 1-1Oa, la cual se denomina curva de saturación o curva de magnetización. Alcomienzo, un pequeño incremento en la fuerza magnetomotriz produce un gran incremento en elflujo resultante. Después de cierto punto, aunque se incremente mucho la fuerza magnetomotriz,los incrementos en el flujo serán cada vez más pequeños. Finalmente, el incremento de la fuerzamagnetomotriz casi no produce cambio en el flujo. La región de esta figura en la cual la curva seaplana se llama región de saturación, y se dice que el núcleo está saturado. La región en la cualel núcleo cambia con rapidez se llama región no saturada de la curva, y el núcleo no estásaturado. La región de transición entre las regiones no saturada y saturada se denomina a veces"rodilla" de la curva. Note que el flujo producido en el núcleo varía linealmente con la fuerzamagneto motriz aplicada en la región 00 saturada y se aproxima a un valor constante, indepen­diente de la fuerza magnetomotriz eo la región saturada.

Otro diagrama estrechamente relacionado con el anterior se muestra en la figura l-lOb. Lafigura 1-10b representa la densidad del flujo magnético B contra la intensidad de campo magné­tico H.De las ecuaciones (1-20) y (1-25b),

(1-21)B = ILH

Al comienzo de esta sección, la permeabilidad magnética se definió mediante la ecuación

Comportamiento magnético de los materiales ferromagnéticos

CApiTULO 1

23

= ~ = 0.0072 H/m = 5730I-Lr JLo 41T X la 7 H/m .

y

B 0.72 TJL = H = 100 A -vuelta/m = 0.0072 H/m

b) Cuando H; 100 A . vuelta/m, B = 0.72 T, entonces

= ~ = 0.0056 H/m = 4460JLr lJ.o 41T X 10-7 H/m

y

B 0.28 TI-L = H = 50 A . vueltaim= 0.0056 H/rn

a) Cuando H = 50 A . vuelta/m,B = 0.28 T, entonces

Entonces, es fácil determinar la permeabilidad para cualquier intensidad de campo magnético.

(1-23)11. =.l:!;_r-r J..Lo

y la permeabilidad relativa está dada por

B¡..¿=­H

Solución. La permeabilidad de un material está dada por

Ejemplo 1-4 Encuentre la permeabilidad relativa del material ferromagnético tipico cuya curva demagnetización se muestra en la figura l-lOc cuando H = 50, H = 100, H = 500 Y H = 1000A . vuelta1m.

la intensidad de campo magnético se expresa con logaritmos, la región de saturación de la curvapuede detallarse en la gráfica.

La ventaja de utilizar núcleos de material ferromagnético en máquinas eléctricas y transfor­madores radica en que al aplicarles cierta fuerza magnetomotriz se obtiene un flujo mayor que elobtenido en el aire. Sin embargo, si el flujo resultante debe ser proporcional o aproximadamenteproporcional a la fuerza magnetomotriz aplicada, el núcleo debe ser operado dentro de la regiónno saturada de la curva de magnetización.

Puesto que los generadores y motores reales dependen del flujo magnético para producir elvoltaje y el par, se diseñan para producir el máximo flujo posible. Como resultado, la mayoría delas máquinas reales operan cerca del punto de rodilla de la curva de magnetización y, en susnúcleos, el flujo no está linealmente relacionado con la fuerza magnetomotriz que lo produce. Estano linealidad se tiene en cuenta en las muchas conductas particulares de las máquinas que seexplicarán en los próximos capítulos. ElMATLAB se utilizará para resolver ejercicios que impli­quen conducta no lineal de máquinas reales.

INTRODUCCiÓN A lOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS

24

Figura 1-10a) Curva de magnetización con ce para un núcleo ferromagnético. b) Curva de magnetización en términos dedensidad de flujo e intensidad de campo magnético. e) Curva de magnetización detallada para una pieza típicade acero.

e)

Intensidad de campo magnético R, A • vuelta/m200 300 500 2000 5000100010020 30 40 5010

,I

I

I i1

I !j f.-'---H ~

L..--

V I

L

/V

/V I

1

Y I I

V i'/ I

~,A' vuelta H,A . vuelta/ma) b)

rP, Wb B, T

2.8

2.6

2.4

2.2

2.0

r-< 1.8<5.S' 1.6ed)"O 1.4"Oc::~ 1.2'"eQ)

el 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

O

CApíTULO 1

25

•= 1!:... = 0.00151 Hlm = l200ILr J.l.Q 47T X 10 7 H/m

y

B 1.51TIL = H = 1000 A .vuelta/m= 0.00151 H/m

d) Cuando H = 1000 A . vuelta/m, B = 1.51 T, entonces

= 1!:... = 0.0028 H/m = 2230ILr J.l.Q 47T X 10 7 H/m

y

B 1.40 TIL = H = 500 A .vuelta/m = 0.0028 H/m

e) Cuando H = 500 A • vuelta/m, B = 1.40 T, entonces

Figura 1-10 (continuación)ti)Dibujo de la permeabilidad relativazz, en función de la intensidad de campo H para una pieza típica deacero.

d)

Intensidad de campo magnético N, A • vuelta/m

1000500200 30010020 30 40 50o10

vV"

~Ll '\

f\ -,~

"I r-~

f'..r-1'-¡-..

7000

6000

5000

<Oc:o4000.;;;

e<:)

E:.o~~ 3000

2000

1000

INlRODUCClÓN A lOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS

26

•e) La reluctanciadelnúcleoes

<:; 63.25 A .vuelta 5270 A .vuelta /Wb0't = <p = 0.012 Wb

Por tanto, la permeabilidad relativa es

_ J!:... _ 0.00696 H/m = 5540IL, - /.Lo - 47T X 10 7 H/m

0.00696 H/mB O.8TIL = H = 115 A . vuelta/m

b) La permeabilidad del núcleo para esta corriente es

i = '!f = 63.25 A .vuelta = 0.316 AN 200 vueltas

entonces la corriente requerida es

/ '!f = Ni = Hl¿= (115A .yuelta/m)(0.55 m) = 63.25 A . vuelta

De la ecuación (1-20), la fuerza magnetomotriz necesaria para producir esta intensidad decampo es

H = 115A -vuelra/m

De la figura 1-10e, la intensidad de campo magnético requerida es

B = !2 = 1.012 Wb = 08 TA 0.015 m2 .

Solucióna) La densidad de flujo requerida en el núcleo es

Ejemplo 1-5 Un núcleo magnético cuadrado tiene una longitud media de 55 cm y una seccióntransversal de 150 cm". Una bobina de 200 vueltas de alambre está enrollada en una de las columnasdel núcleo. El núcleo está hecho de un material cuya curva de magnetización se muestra en la figural-lOc. a) ¿Cuánta corriente se requiere para producir un flujo de 0.012 Wb en el núcleo? b) ¿Cuál esla permeabilidad relativa del núcleo para esa corriente? e) ¿Cuál es su reluctancia?

Nótese que cuando la intensidad de campo magnético se incrementa, la permeabilidad pri­mero se incrementa y luego comienza a decrecer. La permeabilidad relativa del material comofunción de la intensidad de campo magnético se muestra en la figura 1-IOd. Esta figura es la típicade todos los materiales ferromagnéticos. De la curva de P,. contra H, puede observarse conclaridad que el haber supuesto como constante la permeabilidad relativa en los ejemplos 1-1 a 1-3 es válido únicamente en un rango no muy amplio de valores de intensidad de campo (o defuerzas magnetomotrices).

En el siguiente ejemplo, se supone que la permeabilidad relativa no es constante. En cam­bio, la relación entre B y H se da en una gráfica.

CAPiTULO 1

27

Curva o lazo de histéresis trazado por el flujo en un núcleo cuando se le aplica la corriente í(t).Figura 1-11

b)

----d

FlujoresidualifJ,.,.

b- - --ifJ (o B)

a)

i(t)

En vez de aplicar una corriente continua a los devanados dispuestos sobre el núcleo, se aplicauna corriente alterna para observar qué ocurre. Dicha corriente se muestra en la figura l-lla.Suponga que el flujo inicial en el núcleo es cero. Cuando se incrementa la corriente por primeravez, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria ab, dibujada en la figura 1-11b. Ésta es básicamentela curva de saturación mostrada en la figura 1-10. Sin embargo, cuando la corriente decrece, elflujo representado en la curva sigue una trayectoria diferente de la seguida cuando la corrien­te iba en aumento. Cuando la corriente va decreciendo, el flujo en el núcleo sigue la trayectoriabcd y, más tarde, cuando la corriente se incrementa de nuevo, el flujo sigue la trayectoria deboNótese que la cantidad de flujo presente en el núcleo depende no sólo de la cantidad de corrienteaplicada a los devanados del núcleo, sino también de la historia previa del flujo presente en elnúcleo. Esta dependencia de la historia previa del flujo y el seguir una trayectoria diferente en lacurva. se denomina histéresis. La trayectoria bcdeb descrita en la figura] -IIb, que representa lavariación de la corriente aplicada, se denomina curva o lazo de histéresis.

Pérdidas de energía en un núcleo ferromagnético

INTRODUCCiÓN A lOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS

28

Figura 1-12a) Dominios magnéticos orientados al azar. b) Dominios magnéticos alineados en presencia de un campomagnético externo.

b)

- - - - - - -- - "..., - <, - -"..., - - -- - ,../-<, -- -....._ -. - -- -- - ,../ <, - -....._

-- - ....._ - '" --a)

- ,,/ <, t \ -- -t X ¡ - X - t- 1 - / \ <, X

-, - -, - <, / -/ X / I • • -t ¡ \ / -, t /

Nótese que si primero se aplica al núcleo una fuerza magnetomotriz intensa y luego deja deaplicarse, la trayectoria del flujo en el núcleo será abe. Cuando se suspende la fuerza magnetomotriz,el flujo no llega a cero ya que permanece cierto flujo en el núcleo, denominado flujo residual (oflujo remanente), el cual es la causa de los imanes permanentes. Para que el flujo llegue a cero, sedebe aplicar al núcleo, en dirección opuesta, cierta fuerza magnetomotriz llamada fuerzamagnetomotri; coercitiva gjPc.

¿Por qué ocurre la histéresis? Para entender el comportamiento de los materiales ferromag­néticos es necesario conocer algo de su estructura. Los átomos del hierro y de materiales simila­res (cobalto, níquel y algunas de sus aleaciones) tienden a tener sus campos magnéticosfuertemente alineados entre sí. Dentro del metal hay unas pequeñas regiones llamadas dominios,en las que todos los átomos se alinean con sus campos magnéticos apuntando en una mismadirección, de modo que el dominio actúa dentro del material como un pequeño imán permanente.Una pieza de hierro no manifiesta polaridad magnética definida porque los dominios se encuen­tran dispuestos al azar en la estructura del material. La figura 1-12 representa un ejemplo de laestructura de los dominios en un trozo de hierro.

Cuando se aplica un campo magnético externo a este trozo de hierro, los dominios orienta­dos en dirección del campo exterior crecen a expensas de los dominios orientados en otrasdirecciones debido a que los átomos de sus vecindades cambian físicamente su orientación conel campo aplicado. Los átomos extras alineados con el campo incrementan el flujo magnético enel hierro, 10 cual causa el alineamiento de más átomos que incrementan la intensidad del campomagnético. Este efecto de realimentación positiva es la causa de que el hierro adquiera unapermeabilidad mayor que el aire.

A medida que el campo magnético externo se fortalece, dominios completos alineados enotras direcciones se orientan como una unidad para alinearse con el campo.

CAPíTULO 1

29

Hasta aquí la atención se ha concentrado en la producción de un campo magnético y sus propie­dades. Ahora, se examinará cómo un campo magnético puede afectar sus alrededores.

El primer gran efecto que debe considerarse es la ley de Faraday, base del funcionamientodel transformador. La ley de Faraday establece que si un flujo atraviesa una espira de alambreconductor, se inducirá en ésta un voltaje directamente proporcional a la tasa de cambio del flujocon respecto al tiempo, lo cual se expresa mediante la ecuación

1-5 LEY DE FARADAY: VOLTAJE INDUCIDOPOR UN CAMPO MAGNÉTICO VARIABLE

Por último, cuando casi todos los átomos y dominios en el hierro se han alineado con elcampo externo, el incremento de la fuerza magnetomotriz puede ocasionar tan sólo un aumento deflujo igual al que ocurriría en el espacio libre (cuando todos los dominios se encuentran alinea­dos, no habrá más realimentación para reforzar el campo). En este momento, el hierro estarásaturado con el flujo. Ésta es la situación mostrada en la región saturada de la curva demagnetización en la figura 1-10.

La histéresis se produce porque cuando el campo magnético exterior se suprime, los domi­nios no se ubican de nuevo al azar. ¿Por qué los dominios permanecen alineados? Porque losátomos requieren energía para recuperar su anterior posición. La energía para el alineamientooriginal fue provista por el campo magnético exterior; cuando el campo magnético exterior sesuprime, no hay fuente alguna que ayude a que los dominios regresen a sus posiciones. El trozode hierro es ahora un imán permanente.

Una vez que los dominios se alinean, algunos de ellos permanecerán alineados hasta que seles aplique alguna fuente de energía externa para cambiar su orientación. Ejemplos de fuentesexternas de energía que pueden cambiar los límites entre los dominios o su alineamiento son lafuerza magnetomotriz aplicada en otras direcciones, un fuerte choque mecánico y el calor. Cual­quiera de estos eventos puede suministrar energía a los dominios para cambiar sus alineamientos(por esta razón un imán permanente puede perder su magnetismo si se deja caer, se golpea o secalienta).

El hecho de que cambiar la posición de los dominios requiere energía origina cierto tipo depérdidas de energía en todas las máquinas y transformadores. Las pérdidas por histéresis en elnúcleo de hierro corresponden a la energía requerida para reorientar los dominios durante cada ciclode corriente alterna aplicada al núcleo. Se puede demostrar que el área encerrada comprendida en lacurva de histéresis formada al aplicar corriente alterna es directamente proporcional a la energíaperdida en un ciclo dado de corriente alterna. Cuanto menores sean las variaciones de la fuerzamagnetomotriz aplicada al núcleo, el área de la curva de histéresis será menor y serán más pequeñaslas pérdidas resultantes. La figura 1-13 muestra este hecho.

En este momento debe mencionarse otro tipo de pérdidas, causadas también por la varia­ción del flujo en el núcleo: las pérdidas por corrientes parásitas, las cuales se explicarán poste­riormente cuando se haya introducido la ley de Faraday. Las pérdidas por histéresis y las pérdidaspor corrientes parásitas ocasionan calentamiento en los núcleos y se deben tener en cuenta en eJdiseño de cualquier máquina o transformador. Puesto que estas pérdidas ocurren dentro del metaldel núcleo, se agrupan en el nombre de pérdidas en el núcleo.

INTRODUCCiÓN A lOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS

30

El signo menos en la ecuación es una expresión de la ley de Lenz, la cual establece que ladirección del voltaje inducido en la bobina es tal que si los extremos de ésta estuvieran encortocircuito, se producirla en ella una corriente que generaría unflujo opuesto al cambio del flujoinicial. Puesto que el voltaje inducido se opone al cambio que lo causa, se incluye un signomenos en la ecuación (1-36). Para entender con claridad este concepto, observe la figura 1-14. Siel flujo mostrado en la figura se incrementa, el voltaje que se forma en la bobina tenderá a crear unflujo que se opone a ese incremento. Una corriente que fIuya como se muestra en la figura l.-14b

donde einrl = voltaje inducido en la bobinaN = número de vueltas de alambre en la bobina1> = flujo que circula en la bobina

(1-36)I eind = -N4j¡ I

donde eind es el voltaje inducido en la espira y fjJ es el flujo que atraviesa la espira. Si una bobinatieneN espiras y el.mismo flujo circula en todas, el voltaje inducido en toda la bobina estará dadopor

(1-35)_ 4!P_

eind - - dt

Figura 1-13Efecto del tamaño de las variaciones de la fuerza magnetomotrizen la magnitud de las pérdidas porhistéresis.

Afea ex: depérdidas porhistéresis

4> (o B)

CApíTULO 1

i'1

/'

3 1

Figura 1-14Significado de la ley de Lenz. a) Una bobina encierra un flujo magnético creciente. b) Determinación de lapolaridad del voltaje resultante.

b)a)

+

cp creciente

D¡reccÍón_-r delflujo

opuesto

i-

Dirección requerida de i

(1-40)

(1-39)= f_ d(<p¡);=1 dt

(1-38)N

eind = L e¡;=1

Si hay N espiras en la bobina, el voltaje total en ésta es

(1-37)

'producirá ese flujo opuesto al incremento, y por ello el voltaje formado en la bobina debe tener lapolaridad adecuada para dirigir esta corriente hacia el circuito externo. Entonces, el voltaje deberáconcentrarse con la polaridad indicada en la figura. Puesto que la polaridad del voltaje puedededucirse del análisis físico, el signo menos de las ecuaciones (1-35) y (1-36) se omite frecuente­mente, y será omitido en el resto del libro.

Al utilizar la ecuación (1-36) en la práctica, se presenta una dificultad mayor puesto que laecuación establece que hay exactamente la misma cantidad de flujo en cada espira de la bobina. Pordesgracia, esto no es verdad debido al flujo que se dispersa en los alrededores de la bobina. Si lasespiras están estrechamente ligadas, de modo que la mayor parte del flujo que circula en una espiratambién circula en las demás, la ecuación (1-36) dará respuestas válidas. Pero si la dispersión essignificativa o si se requiere la máxima exactitud, se necesitará una expresión diferente que nosuponga tal hecho. La magnitud del voltaje en la r-ésima espira de la bobina está dada siempre por

INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS