Mascareñas

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Monografas de Juan Mascareas sobre Finanzas CorporativasISSN: 1988-1878

La medida del riesgo de los bonos

1

LLaammeeddiiddaaddeellrriieessggooddeelloossbboonnooss

Ju a n M a sca r ea s

Universidad Complutense de Madrid

Versin inicial: mayo 1991 - ltima versin: noviembre 06

- Teoremas de la valoracin de los bonos, 2

- El concepto de duracin, 6

- La duracin modificada como una medida de la volatilidad de

los bonos, 9

- Las variables determinantes de la duracin, 15

- Limitaciones del concepto de duracin, 18

- La duracin de una cartera de renta fija, 19

- El concepto de convexidad, 21

- La duracin efectiva, 28

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2

11..TTeeoorreemmaassddeellaavvaalloorraacciinnddeelloossbboonnooss

Los cinco teoremas que vamos a estudiar a continuacin hacen referencia a cmovaran los precios de los bonos en respuesta a las variaciones de su rendimientohasta el vencimiento. El analista de los ttulos de renta fija deber conocer profun-damente estas propiedades de los mismos debido a la importancia que ello tiene enla previsin de la variacin del precio de mercado de los ttulos con respecto a loscambios en los tipos de inters.

Recordemos, si el precio de mercado de un bono coincide con su valor nomi-nal, entonces el rendimiento del mismo coincidir con el tipo de inters del cupn.Ahora bien, si el precio de mercado es inferior (superior) a su valor nominal, el ren-dimiento hasta el vencimiento ser mayor (menor) que el tipo de inters prometidopor el emisor.

A continuacin pasaremos a enunciar y comentar los cinco teoremas de la

valoracin de los bonos (en aras de una mayor simplicidad supondremos que el cu-pn se paga anualmente).

1.1 Teorema primeroSi el precio de mercado de un bono aumenta, entonces su rendimiento hasta elvencimiento deber decrecer; o bien, si aqul descendiese, ste aumentar. Aspues, el rendimiento hasta el vencimiento del bono es una funcin inversa del pre-cio de mercado.

El bono A tiene una vida de cinco aos, un nominal de 100 euros, y paga

anualmente el 10% de inters (10 euros). Si su precio de mercado es de 100 eurossu rendimiento ser, lgicamente, del 10%. Ahora bien, si el precio de mercado au-mentase a 110 euros, su rendimiento caera hasta el 7,53%. O si aqul descendiesea 90 euros, su rendimiento crecera hasta situarse en el 12,83%. En la figura 1 semuestra la grfica del precio del bono A segn oscile el rendimiento entre el 0% yel 20% y como se aprecia la relacin entre el precio y el rendimiento hasta el venci-miento de un bono tiene forma de curva convexa.

Fig. 1 La curva precio/rendimiento de los bonos ordinarios

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1.2 Teorema segundoSi el rendimiento de un bono no vara a lo largo de su vida, el tamao de su des-cuento, o de su prima, descender conforme su vida se acorte.

Volvamos a estudiar el bono A suponiendo que el precio de mercado fuesede 110 euros, y su rendimiento se mantenga durante toda su vida en el 7,53%, laprima ir descendiendo tal y como se muestra en la tabla 1, conforme el bono seaproxime a su vencimiento.

Tiempo de vida 5 4 3 2 1 0

Precio de mercado 110,00 108,26 106,42 104,43 102,29 100,00

Valor nominal 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Prima 10,00 8,26 6,42 4,43 2,29 0,00

Tabla 1

1.3 Teorema terceroSi el rendimiento de un bono no vara hasta la fecha de su vencimiento, entonces eltamao de su descuento, o de su prima, decrecer a una tasa creciente conformesu vida se acorte.

Tiempo de vida 5 4 3 2 1 0

Prima 10,00 8,26 6,42 4,43 2,29 0,00

Diferencia - -1,74 -1,84 -1,99 -2,14 2,29

Decremento - 17,4% 22,3% 31,0% 48,3% 100,0%

Tabla 2

Si volvemos a observar el ejemplo del teorema anterior y construimos la ta-bla 2 basada en los decrementos de la prima veremos como efectivamente stosaumentan cada vez ms conforme la vida de la emisin se acerque a su trmino(vase tambin la figura 2).

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Prima

4 3 2 1 0

Vida

Fig.2

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4

1.4 Teorema cuartoSi el rendimiento del bono aumenta o desciende en la misma cantidad, la variacinque producir en su precio de mercado ser mayor cuando ste ltimo aumente (elrendimiento decrece) que cuando descienda (el rendimiento crece). La variacin delprecio es asimtrica.

El bono A cuyo rendimiento en el momento de su emisin es del 10%, elcual se corresponde con su precio de mercado inicial que es de 100 euros. Si el ren-dimiento asciende 100 puntos bsicos, esto es, el 11%, el precio de mercado serde 96,30 euros. Pero si dicho rendimiento descendiese 100 puntos bsicos, al 9%,el precio del bono sera de 103,89 euros. Como se aprecia el aumento del precio eneste ltimo caso es de 3,89 euros, algo superior, a los 3,70 euros de descenso dedicho precio en el primer caso. En la tabla 3 se muestra un ejemplo para ms valo-res.

TIR Precio Diferencia Variacin

15% 83,94 233 2,70%

14% 86,27 318 3,55%

13% 89,45 334 3,60%

12% 92,79 351 3,64%

11% 96,30 370 3,70%

10% 100,00 389 3,74%

9% 103,89 410 3,80%

8% 107,99 431 3,84%

Tabla 3

Ahora bien, si la variacin del rendimiento hasta el vencimiento fuese muypequea (unos pocos puntos bsicos) el cambio del precio es prcticamente el mis-mo, sea cual sea la direccin de dicha variacin. As el rendimiento del bono A as-ciende un punto bsico y se sita en el 10,01%, el precio del bono ser de 99,9621euros; mientras que si fuese del 9,99%, el precio alcanzara el valor de 100,0379donde podemos observar como en ambos casos la variacin ha sido de 3,79 cnti-mos.

1.5 Teorema quintoEl porcentaje de variacin en el precio del bono debido a un cambio en su rendi-miento ser menor cuanto mayor sea el tipo de inters del cupn. A esto se le de-nomina efecto cupn. As que cuanto ms grandes sean los cupones menor ser lavariacin del precio; el caso opuesto es el del bono cupn-cero, cuyo precio es elque ms vara ante los cambios habidos en los tipos de inters.

Si poseemos un bono denominado B con un nominal de 100 euros cincoaos de vida y un tipo de inters del 12%, que tiene un precio de mercado de

107,58 euros, tendr un rendimiento del 10% (lo mismo que el bono A). Si el ren-dimiento lo situramos en el 11%, el precio de mercado sera de 103,70 euros, es

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decir, 3,88 euros menos que antes, lo que representa un 3,61% de descenso. Sihacemos lo mismo con el rendimiento del bono A situndolo en el 11%, veremosque su precio de mercado es de 96,30 euros, 3,70 euros menos que antes, es de-cir, un 3,70% lo que representa una variacin relativa mayor.

Un ejemplo ms desarrollado puede verse en la tabla 4. En ella tenemos elbono A cuyo valor nominal es de 100 euros y cuyo plazo de amortizacin es de 5aos. Dicho bono puede tener una serie de cupones como se observa en la primeracolumna. Calcularemos el precio intrnseco del bono para un rendimiento del 12% yel que tendra si aumentase tres puntos, es decir, el 15% (columnas dos y tres dela tabla), extraeremos la diferencia en euros de ambos precios (columna cuatro) ycalcularemos su valor relativo dividiendo sta ltima por el precio terico inicial.

Cupn P(i=12%) P(i=15%) Dif. Variac.(n=5) Variac.(n=10)

15 euros 110,81 100,00 10,81 9,75% 14,49%

12 euros 100,00 89,94 10,06 10,06% 15,05%9 euros 89,19 79,89 9,30 10,42% 15,85%

6 euros 78,37 69,83 8,54 10,89% 17,05%

3 euros 67,55 59,77 7,78 11,52% 19,07%

0 euros 56,74 49,72 7,02 12,38% 23,23%

Tabla 4

Como podemos ver en la tabla 4, cuanto ms pequeos son los cupones,mayores son las variaciones en los precios ante cambios en los tipos de inters. Porotro lado, la ltima columna de la derecha muestra el mismo estudio para un bono

idntico al A pero cuyo plazo de amortizacin es de 10 aos. En ste caso, ademsde observarse el mismo proceso de aumento de las variaciones de los precios te-ricos a medida que los cupones descienden de tamao, podemos compararlo con elejemplo del bono que tiene un plazo de cinco aos, con ello observaremos que lasvariaciones en los precios del bono de mayor plazo son mayores que las del de me-nor plazo ante cambios en la ETTI. Es decir, cuanto mayor sea el plazo de venci-miento de un bono, mayor ser la variacin en el precio provocada por alteracionesen los tipos de inters.

La razn para la existencia del efecto cupnes que cuanto ms pequeossean los cupones, mayor ser la parte del rendimiento total del bono que vendrreflejada por el pago del ltimo cupn ms la devolucin del principal en relacin alos pagos de los otros cupones; incluso, a pesar de que lo que se compara es el va-lor actual de los pagos y que, por tanto, los cupones intermedios son descontadosdesde fechas ms cercanas al momento de la adquisicin del ttulo que el ltimopago, lo que implica que la importancia relativa del principal es mayor cuando loscupones son ms pequeos.

En efecto, el plazo "verdadero" es mayor para un bono con cupones peque-os que para uno que los tuviese mayores (el caso extremo sera un bono cupn-cero). Obsrvese en la tabla 4, como las variaciones en el precio son mayores tantosi el plazo de la emisin es ms grande como si los cupones son ms pequeos, ellose debe a que las emisiones que tienen plazos ms cortos y/o cupones ms altos

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proporcionan los flujos de caja esperados con mayor rapidez y, por lo tanto, su pre-cio intrnseco oscila menos ante variaciones en los tipos de inters.

Resumiendo, imagnese que usted tiene dos bonos que tienen el mismo pla-zo y el mismo rendimiento pero uno de ellos es un cupn-cero y el otro paga loscupones por anualidades vencidas. Si el ltimo da de la vida de ambos la institu-cin emisora se declara en suspensin de pagos, usted no recibir nada del bonocupn-cero, pero s habr recibido los cupones intermedios del otro bono, lo quequiere decir que ambos bonos an teniendo el mismo plazo no se comportan deigual forma y la fecha de vencimiento no es tan definitoria como podra parecer. Es-to nos lleva directamente a estudiar el concepto de duracin como una forma deobtener una medida de ese plazo "verdadero" del que hablbamos en el prrafo an-terior, que adems nos va a proporcionar una medida del riesgo del tipo de intersde los bonos.

22..EEllccoonncceeppttooddeedduurraacciinn

Para tratar con la ambigedad del vencimiento de los bonos que realizan muchospagos, necesitamos una medida del vencimiento medio de los flujos de caja prome-tidos que haga las veces de vencimiento efectivo del bono. Dicha medida tambinpodra ser utilizada como un ndice de la sensibilidad del precio del bono con rela-cin a las variaciones de los tipos de inters puesto que, como hemos visto, dichasensibilidad aumenta con el plazo del bono.

Una derivacin del teorema quinto que acabamos de comentar consiste enque los bonos que tienen la misma fecha de vencimiento pero distintos tipos de in-ters nominales (cupones), pueden reaccionar de distinta forma ante un cambio enla estructura temporal de los tipos de inters. Sin embargo, los bonos que tenganuna duracinsemejante reaccionarn de la misma forma.

El concepto de duracinfue desarrollado por Frederick Macaulay1en 1938 yhace referencia al vencimiento promedio de la corriente de pagos de un bono. Enrealidad, estamos considerando al bono como una cartera formada por pagos indi-viduales y dado que cuando calculamos el rendimiento de una cartera lo hacemosobteniendo la media ponderada de los rendimientos de los ttulos que la componen,

as el vencimiento de esta "cartera" se calcula obteniendo la media ponderada delos vencimientos de cada pago implicado en la misma. Las ponderaciones para cadaperodo de tiempo tson iguales al valor actual de los flujos de tesorera en cada pe-rodo de tiempo (intereses o principal multiplicados por sus factores de descuentorespectivos) dividido por el valor actual del bono. La expresin matemtica de laduracin, en forma discreta, es:

1MACAULAY, Frederick: Some Theoretical Problems Suggested by the Movement of Interest Rates, Bond Yields, andStock Prices in the U.S. Since 1856. National Bureau of Economic Research. Nueva York. 1938

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7

=

=

=

+

=

+

+

=n

1tt

t

0

n

1tt

t

n

1tt

t

r)(1

Qt

P

1

r)(1

Q

r)(1

Qt

D

donde P0representa el precio de mercado del bono en la actualidad, Q

tes el flujo

de caja del perodo (cupn ms principal), res la tasa de rendimiento hasta el ven-cimiento y nel nmero de aos hasta el vencimiento.

Para un bono del tipo cupn cero, la duracincoincide con el plazo hasta suvencimiento (naos). Sin embargo, para un bono clsico parte de su valor actualse deriva de la corriente de los flujos de caja habidos antes de su vencimiento, loque hace que su duracinsea menor que el plazo hasta su vencimiento.

Supongamos un bono de nominal 1.000 con un plazo de vencimiento si-tuado en cinco aos, que paga un 7% de inters anual al final de cada ao y se le

estima un rendimiento anual del 8% hasta su vencimiento. En la tabla 5, se mues-tra el clculo de la duracindel bono; en ella aparecen los flujos de caja, el factorde descuento (que nos permite calcular el valor actualizado de los flujos de caja), elvalor actual de cada flujo, el resultado de multiplicar ste ltimo por el perodo enel que se encuentra y la proporcin del valor actual de cada flujo con relacin alprecio intrnseco del bono.

Perodos(t)

Flujos deCaja

Factor deDescuento

Valor Actual V.A. x t Pesos

1 70 0,9259 64,815 64,815 6,75%2 70 0,8573 60,014 120,028 6,25%3 70 0,7938 55,568 166,704 5,79%4 70 0,7350 51,452 205,808 5,36%5 1.070 0,6806 728,224 3.641,120 75,85%

P0= 960,073 4.198,475

Tabla 5

Si ahora dividimos la suma de la columna representativa del valor actualponderado: 4.198,475 entre el precio terico del bono: 960,073 obtendremos el

valor de la duracin: 4,373 aos. Como se aprecia hay una diferencia de 0,627aos con relacin a la vida de la emisin, que es debida a que parte de los flujos detesorera se reciben antes del vencimiento de la misma.

En la columna de la derecha de la tabla 5 se muestra el porcentaje del valoractual que se obtiene cada vez que recibimos un flujo de caja. As, cuando obten-gamos el primero habremos obtenido el 6,75% del valor actual total de la emisin(que, recordemos, es de 960,073 euros), en el momento de obtener el segundo flu-

jo obtendremos un 6,25% ms de dicho valor y as sucesivamente. Por lo tanto,hay unos flujos que son ms importantes de recibir que otros, debido a la parte quese recupera del valor actual de la emisin. Es decir, si obtenemos el ltimo flujo de

caja cuyo valor nominal es de 1.070 euros pero que tiene un valor actual de728,224 euros lo que representa un 75,85% del valor de la emisin, habremos con-

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seguido ms del setenta y cinco por ciento de su valor. Por ello, cada perodo tieneuna importancia distinta para el inversor, la cual depender del peso que tenga elvalor real del flujo prometido en relacin al valor actual de la emisin. Esto es loque hace que si queremos obtener la duracinde una emisin debamos calcular lamedia de los diversos perodos de tiempo sobre los que se extiende la misma, pon-derados por su importancia con arreglo al valor actual de los flujos de caja que ca-da uno de ellos proporciona.

Otra forma de entender la duracinde un bono es la de que indica el plazohasta el vencimiento de su bono cupn cero equivalente, es decir, si capitalizamoslos 960,073 euros del precio actual del bono al 8% durante 4,373 aos obtendre-mos un valor final de 1.344,21 euros, que mostrara el precio final del bono cupn-cero que tiene la misma duracinque el analizado en la tabla 5.

Otra forma de entender el concepto de duracines verla como el fiel de unabalanza que se encuentra en equilibrio y en cuyo plato figuran los valores actuales

de los flujos de caja prometidos por un bono. Las distancias que separan las masasa pesar (flujos de caja actualizados) son proporcionales a los plazos existentes en-tre los respectivos flujos y los pesos de las masas son proporcionales a sus valoresactuales. El centro de gravedad de este sistema viene dado por la duracin(vasela figura 3 donde se muestra el ejemplo de la tabla 5).

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5

Fig. 3 El fiel de una balanza como smil de la duracinde Macaulay

La razn por la que el concepto de duracinha reemplazado al de madurez

(definido ste como plazo de tiempo hasta el vencimiento) como una medida de lalongitud de la corriente de pagos, radica en que sta ltima se refiere al instantedel tiempo en que tiene lugar el ltimo pago del emprstito, ignorando completa-mente el momento y la magnitud del resto de los pagos que van a ser efectuadosdesde el momento actual hasta su vencimiento. Por ello, la duracines una medidamucho ms exacta de la longitud media del tiempo en la que el inversor espera ob-tener su dinero en una inversin en bonos.

El procedimiento de clculo de la duracina travs de la media ponderada,que hemos visto en los prrafos anteriores, puede resultar tedioso. Por ello hansurgido expresiones matemticas que permiten calcular el valor de la duracinde

los bonos con mayor rapidez. Una de esas expresiones calcula el valor de la dura-

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cin(D) de la siguiente forma (siempre que los perodos de tiempo entre cuponessean un nmero entero, es decir, que no haya un cupn corrido).

D =1 + r

r -

n (c - r) + (1 + r)

c (1 + r)n - (c - r)

Donde res el rendimiento hasta el vencimiento del bono durante el perodoconsiderado (anual o semestral, por lo general); nes el nmero de perodos (aoso semestres) que restan hasta la fecha de maduracin del bono y ces el tipo de in-ters nominal del cupn. As, por ejemplo, en el caso anterior res el 8% anual; ces el 7% anual; nes cinco aos.

aos4,373=0,08)-(0,07-0,08)+(10,07

0,08)+(1+0,08)-(0,075-

0,08

0,08+1=D

5

33..LLaadduurraacciinnmmooddiiffiiccaaddaaccoommoouunnaammeeddiiddaaddeellaavvoollaattiilliiddaaddddeelloossbboonnooss

Cuando hablamos de volatilidadde los bonos u obligaciones nos estamos refiriendoa la sensibilidad de su precio de mercado con relacin a los cambios que se produz-can en el tipo de inters. As que la podemos definir como la variacin que se pro-duce en el precio del bono con respecto a un incremento (o decremento) de cien

puntos bsicos (1%) del rendimiento hasta el vencimiento del mismo.Supongamos que tenemos un bono de nominal 1.000 , con un plazo de

vencimiento situado dentro de cinco aos, que paga un 7% de inters anual al finalde cada ao (70 euros por cupn) y se le estima un rendimiento anual del 8% has-ta su vencimiento. Cul sera su precio terico con arreglo a estos datos? y culsera su precio terico si el tipo de rendimiento desciende un 1%?.

El precio terico si el rendimiento es del 8% ser:

=++++= (1,08)

1.070

(1,08)

70

(1,08)

70

(1,08)

70

1,08

70P

54320960,07

Por otra parte si el tipo de inters del mercado desciende un 1% y se sitaen el 7% el precio terico tomar un valor de:

=++++= (1,07)

1.070

(1,07)

70

(1,07)

70

(1,07)

70

1,07

70P

543201.000

Si ahora, calculamos cuanto vara porcentualmente el precio ante la anteriorvariacin del 1% en el tipo de inters obtendremos un valor de:

[1.000 - 960,07] 960,07 = 0,04159 = 4,159%

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Si, por el contrario, el tipo de inters del mercado hubiese aumentado en1%, situndose en el 9%, el precio del bono habra descendido hasta valer 922,2euros, lo que representara una variacin porcentual igual a:

[922,2 - 960,07] 960,07 = -0,039445 = -3,9445%

Si ahora calculamos el valor medio de los valores absolutos de ambas varia-ciones relativas obtendremos un valor promedio igual a 4,05175%. Cifra que indicael riesgo de inters del bono (es decir, cunto variar el precio terico del bono an-te una variacin porcentual del tipo de inters del 1%).

Para conectar los conceptos de volatilidady duracindeberemos echar manode la denominada duracin modificada(D*), que se obtendr haciendo:

D*=D

1 + r

donde Drepresenta la duraciny rel tipo de rendimiento anual hasta el vencimien-to2.

Si ahora mostramos la ecuacin representativa de la volatilidad del bono,con arreglo a la definicin que utilizbamos unos prrafos ms arriba, veremos quees aproximadamente igual a la duracin modificada.

D* -

(P1 - P0 ) / P0

(r1 - r

0)

= -P / P0

r

donde P0indica el precio del bono antes del cambio del rendimiento; P1el precio delbono despus de variar aqul; y r0es la variacin del rendimiento que ser igual a

100 puntos bsicos. Si en la ecuacin anterior sustituimos la duracin modificada(D*) por la duracinde Macaulay (D) y despejamos su valor, el resultado ser:

D -(P1 - P0 ) / P0

(r1 - r0 ) / (1 + r0 ) = -

P / P0r

(1 + r0)

As, por ejemplo, la duracin modificadadel ejemplo mostrado en la tabla 5ser igual a 4,373 1,08 = 4,049%, cifra que viene a ser muy parecida a la de lavolatilidad 4,05175%- calculada unos prrafos ms arriba (obsrvese que la dura-cin modificadase expresa en tanto por ciento, y no en unidades de tiempo). Paravariaciones muy pequeas del rendimiento se puede mostrar como la duracin mo-dificada coincide con nuestra definicin de volatilidad del bono u obligacin. Paracambios mayores de 50 puntos bsicos, lo anterior slo es aproximadamente cierto.

2El caso general sera: D * =D en aos

(1 +r

m

)

donde m indica el nmero de cupones que se pagan cada ao (m=2 para

los semestres, p.e.). Aunque, es una prctica comn entre los gestores de fondos que tienen bonos con cuponessemestrales, trimestrales, etctera, calcular la duracin modificadadividiendo la duracinde Macaulay (en aos) por 1ms la tasa de rendimiento hasta el vencimiento dividida por dos (r/2).

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La razn de que no coincidan exactamente los valores de la volatilidad y de la dura-cin modificada estriba en que sta ltima est basada en la derivada de P0 conrespecto al rendimiento (dP0/dr), y las derivadas se refieren a cambios infinitesima-

les de las variables. De esta manera podemos ver como la duracines, adems deuna medida del "plazo" del bono, una medida de la volatilidad del mismo. De he-cho, cuanto mayor sea la duracin, mayor ser la volatilidad del bono.

A continuacin se muestra como la duracin modificadaes en realidad la de-rivada del precio con respecto al rendimiento (dP0/dr) dividido por el precio inicial(P0). Para ello haremos que la variacin del rendimiento tienda a ser infinitesimal lo

que implicar la utilizacin de la derivada. Seguidamente calcularemos sta ltimay procederemos, finalmente, sustituyendo los valores obtenidos a demostrar que laduracin modificadase basa en la derivada del precio con respecto al rendimiento.

D* -

(P1 - P0 ) / P0

(r1 - r0 )

= -P / P0

r

dP/P0

dr

=dP

dr

x1

P0

dP

dr =

-j Qj

(1+r)j+1J=1

n

= 1(1+ r)

-j Qj

(1+r)jj=1

n

D*

=1

P0x

dP

dr =

1

P0x

1

(1+r)

-j Qj

(1+r)jj=1

n

= D(1+r)

Como ya hemos sealado anteriormente, la volatilidad es el porcentaje devariacin en el precio por unidad de variacin en el rendimiento. La volatilidad esnegativa, lo que indica que a un aumento del rendimiento le seguir un descenso

en el precio, es decir, que ambas variables estn relacionadas inversamente entres.

100

r-rxD-precioelenvariacin% 01*=

Concretando, el precio de los bonos est inversamente relacionado a su ren-dimiento; la duracin modificadaacta como un multiplicador dado que cuanto msgrande sea, mayor ser el impacto en el precio de los bonos ante un cambio de lostipos de inters; y, por ltimo, para una duracin modificadadeterminada, cuanto

mayores sean las variaciones en el tipo de inters, mayor ser el porcentaje decambio en el precio.

3.1 La d u r ac inen euros y el valor del punto bsico (VPB)

El producto de la duracin modificada(expresada en tanto por uno) y el precio delbono se denomina duracin en euros, que indica cuanto asciende (desciende) el va-lor del bono medido en euros cuando el rendimiento desciende (asciende) 100 pun-

tos bsicos3, es decir, es la derivada parcial del precio del bono con respecto al ren-

dimiento. Su principal ventaja es que es aditiva, esto es, la duracin en eurosde

3A la duracin en eurostambin se la denomina riesgo del precio.

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una cartera es igual a la suma algebraica de la duracin en eurosde los activos quela componen (siempre que la estructura temporal de los tipos de inters sea plana).

Si, por ejemplo, queremos calcular la duracin en eurosde un bono cuyo va-lor nominal y de mercado es actualmente de 100 euros, que paga un cupn anualdel 10% durante 15 aos y cuya duracin modificadaes del 7,606%, no tendremosms que hacer la siguiente operacin:

D* = 100 x (- 7,606) x 0,01 = - 7,606

lo que quiere decir que si el tipo de inters asciende (desciende) 100 puntos bsi-cos el bono se deprecia (aprecia) en 7,606 euros.

70

80

90

100

110

120

130

140

150

5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%

curva precio/rendimiento

duracin en euros

punto de tangenci a

TIR (%)

P

Fig. 4 Representacin grfica de la duracin en eurosy de la curva precio/rendimiento

En la figura 4 se muestra un grfico de la curva precio/rendimiento de dichobono y de su valor estimado a travs de la duracin en euros. Esta ltima es tan-gente a aqulla para una TIR hasta el vencimiento determinada, es decir, muestrala pendiente de la curva para dicho valor de los tipos de inters (o lo que es lo mis-mo la dP/dr). A una mayor pendiente de la curva le corresponder una mayor dura-cin modificada y lo contrario. Lo que en realidad se ha hecho es sustituir la curva

por la recta representativa de la duracin en euros(el error cometido se denominaconvexidady ser analizado en un epgrafe posterior), de esta forma es mucho msrpido calcular el efecto que una variacin en el tipo de inters del mercado produ-ce en el valor del bono. Adems, como sabemos la recta representativa de la dura-cin en eurospuede sustituir a la curva representativa de la relacin precio-rendi-miento cuando el tipo de inters vara unos pocos puntos bsicos (normalmente noms de 50 pb.) puesto que ambas prcticamente se confunden.

Por otra parte, el valor del punto bsico (VPB) es una medida del riesgo deinters alternativa a la de la duracin en euros, que se define como la variacin enel precio terico de un bono inducida por la oscilacin de un punto bsico en su ren-

dimiento. El VPB se expresa en euros. As:

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14

Una vez que se ha establecido el nuevo cupn, el FRN se comporta como unbono ordinario con cupones fijos con vencimiento inferior a un semestre (si pagacupones semestrales). Concretemos, digamos que queda para su vencimiento unafraccin wde un perodo semestral, entonces la relacin entre el precio del bono ysu rendimiento (r) es la siguiente (donde C es el cupn semestral y 100 es el valornominal del bono):

wr/2)+(1

100Cw=P

+

calculando la primera derivada con respecto a ry, posteriormente, dividiendo por Pobtendremos su duracin modificada, que es igual a:

r/2)+2(1

w-

r/2)+2(1

w100)(Cw-x

100Cw

r/2)(1

r/2)+2(1

w100)(Cw-x

P

1=D

1w

w

1w

* =+

+

+=

+

++

Por tanto, el bono con cupn variable cada seis meses tendr una duracininferior a un semestre, es decir, su precio no es especialmente sensible a las varia-ciones del rendimiento.

Veamos un ejemplo, supongamos que tenemos un bono de 1.000 euros denominal que paga cupones variables semestrales de 35 euros. El tipo de inters no-minal anual actual es del 6%. Si quedan tres meses exactos para el siguiente cupn(w = 0,5), el precio ser igual a:

P0= 0,5w 0,06/2)(1

1.0000,5x35

r/2)+(1

1.000Cw

++=+ = 1.002,57 euros

Y su duracin modificadaser igual a:

0,06/2)(12

0,5-

r/2)+2(1

w-=D*

+= = -0,2427%

Efectivamente, si el tipo de inters ascendiese sbitamente al 7% nominal

anual, el valor actual del bono sera de 1.000,15 euros, un 0,2416% menos que an-tes; y, si el tipo de inters cayese al 5%, el precio se situara en 1.005,01 euros, un0,24386% mayor. El valor medio de ambas variaciones ser de 0,24273%, quecoincide con el valor de la duracin modificadaobtenida.

3.3 La d u r ac inde un bono entre dos fechas de pago del cupn.

Por desgracia, cuando es necesario calcular la duracin modificadade un bono casisiempre ser en una fecha que no coincide exactamente con la del pago del cupn.Esto nos lleva a mostrar la frmula de la duracin modificada a utilizar en ese

momento:

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15

r)(1

FCf)-(j

Pr)(1

1=D

1j

j

0

f-1

*

++ =n

j

donde res la tasa de rendimiento hasta el vencimiento, fes el tanto por uno del

tiempo transcurrido desde la fecha de pago del ltimo cupn (0,5 si los cupones sepagan anualmente y han transcurrido seis meses), P0es el precio actual del bonoen el mercado (con cupn corridoincluido) y nes el plazo que resta hasta el venci-miento del bono.

El lector se habr dado cuenta de que esta expresin es realmente la ex-presin general de la duracin modificadaporque si f=0 lo que tenemos es la ex-presin que hemos estado manejando a lo largo del epgrafe 3.

3.4 La expresin de la d u r ac inen tiempo continuo

En los epgrafes anteriores hemos estado trabajando en tiempo discreto a travsdel tipo de inters compuesto. Sin embargo, en este subepgrafe vamos a ver la ex-presin de la duracinen tiempo continuo. Para ello lo primero es ver la expresinque calcula el precio de un bono en este contexto:

eFCeP=P1

t)-(tr-

j

t)-(nr-

ntj

=

+n

j

donde Pnes el precio de reembolso del bono en la fecha de amortizacin del mismo

(n), res la tasa de rendimiento hasta el vencimiento, tindica el instante en el quese calcula el precio, FCjes el flujo de caja del perodo, y ees el famoso nmero2,718281828.

Si extraemos la primera derivada con respecto a robtendremos la pendientede la curva precio/rendimiento para la tasa de rendimiento r, y si a este valor ledividimos por el precio actual del bono obtendremos el valor de la duracin

P

1eFCt)-(tePt)-(n-=

P

1

r

P

t1

t)-(tr-

jj

t)-(nr-

n

t

t j

+

=

n

jd

d

La duracin modificadaslo se puede calcular en tiempo discreto.

44.. LLaassvvaarriiaabblleessddeetteerrmmiinnaanntteessddeellaadduurraacciinn

Las variables que determinan la duracinde un bono y, por extensin, su volatili-dad o riesgo de inters son siete: el cupn, el plazo hasta el vencimiento, el cupncorrido, el rendimiento del bono, la amortizacin parcial de la emisin, la amortiza-cin anticipada de la emisin y el paso del tiempo.

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16

El cupn. La duraciny el tipo de inters pagado a travs del cupn estninversamente relacionados, pues a mayor tipo de inters menor duracin. Esto esfcil de ver pues cuanto mayor sea el cupn, el propietario del bono recibe una can-tidad mayor, relativamente hablando, de flujos de caja en los primeros aos de lavida del bono (tanto por el mayor volumen en euros recibido, como porque el pro-ceso de descuento tiene un menor efecto sobre los primeros flujos de caja), lo cualdisminuye la duracin. Tambin cuanto mayor sea la frecuencia de pago de los cu-pones, menor ser la duracinde la emisin. Por otro lado, cada vez que se pagaun cupn la duracin aumenta.

Fig.5 El efecto cupn

El plazo hasta el vencimiento. Por regla general, cuanto mayor sea el pla-zo hasta el vencimiento, mayor ser la duraciny mayor la volatilidad del bono. Es

lgico, puesto que cuanto ms se tarde en llegar a la fecha de vencimiento del bonomayor ser el riesgo de dejar de cobrar algn cupn y ms tendremos que esperara cobrar los cupones que nos faltan. Esta relacin no es lineal ya que la tasa de cre-cimiento de la duracinva disminuyendo conforme aumenta el plazo de vencimien-to. An ms, esta regla no se cumple cuando los cupones son bajos, el plazo de laemisin es muy grande y su precio es inferior a la par (vase la figura 6). Por lotanto, al invertir en bonos a muy largo plazo no se asume un aumento sustancialdel riesgo de inters por elegir los bonos de mayor vencimiento, lo que no ocurreen los bonos a corto y medio plazo, donde sus diferenciales de riesgo (duracin)son mayores.

Por otro lado, los bonos perpetuos tienen una duracin cercana al inversodel rendimiento del bono hasta su vencimiento, sin importar cul sea el cupn. As,por ejemplo, un bono perpetuo que tenga un rendimiento esperado del 8%, tendruna duracinde 13,5 aos (D = [1+r]/r). Esto es importante, puesto que se puedeconsiderar a las acciones preferentes como un tipo de bono perpetuo cuya duracinser igual a la inversa de su rendimiento actual.

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17

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

i = 2% i = 4% i = 6% i = 8%

Fig.6

En la tabla 6 se muestra el clculo de la duracinrealizada por Fisher y Weilpara una serie de cupones y de plazos sobre una obligacin que paga un 8% de in-ters nominal por semestres vencidos. En dicha tabla se aprecia como a medidaque aumenta el plazo hasta el vencimiento tambin lo hace la duracinhasta unperodo determinado en el caso de los bonos emitidos con descuento ( i

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18

sta se encuentra relacionada inversamente con dicho cupn corrido. Es decir, unbono que tenga un cupn corrido tendr una duracinms pequea que otro se-mejante que carezca del mismo, debido a que en cuanto el inversor reciba el primercupn al que tiene derecho va a ver reembolsado el cupn corrido que tuvo quepagar al vendedor en el momento de la adquisicin del ttulo.

El rendimiento hasta el vencimiento. Existe una relacin inversa entre laduracin(y la volatilidad del precio del bono) y el tamao del rendimiento hasta elvencimiento. As que a mayor rendimiento, menor duracin y volatilidad. Esto esas, debido a que el rendimiento hasta el vencimiento (r) es la tasa de descuentoutilizada en la determinacin del valor actual del bono y cuando aqul aumenta,desciende el valor actual de los flujos ms lejanos en el tiempo, tanto en valor ab-soluto como relativo. Por ello, las ponderaciones de estos flujos se reducen y la du-racin se aleja del momento del vencimiento, es decir, desciende. Curiosamente,cuando los tipos de inters descienden y la duracinaumenta se est diciendo que

en un mercado de bonos alcista (los precios aumentaran al descender los rendi-mientos) la volatilidad de los precios con relacin a dichos tipos de inters es mayorque en uno bajista. Observe que cuando varan los tipos de inters, no vara el ven-cimiento de la emisin pero s su duracin.

La amortizacin parcial de la emisin. Cuando un bono puede ser amor-tizado antes de su vencimiento, porque pertenece a una emisin que va a seramortizada parcialmente, ver reducirse su duracin en comparacin con la deotros bonos semejantes que no tengan dicha posibilidad. La posibilidad del reem-bolso anticipado del bono reduce el vencimiento promedio de los flujos de caja delmismo, as como el nmero de stos, todo lo cual producir un acortamiento de la

duracin.La amortizacin anticipada de la emisin.Por la misma razn que en elcaso anterior la duracindel bono se ver acortada si la empresa emisora tiene laposibilidad de amortizar completamente la emisin antes de su fecha de vencimien-to.

El paso del tiempo. Como parece lgico conforme va transcurriendo eltiempo, la duracinse va acortando. Esto es debido a que el ltimo flujo de caja, elque contiene el reembolso del principal, es el flujo de mayor calibre de toda la in-versin por lo que ejerce su fuerza de atraccin sobre la duracin, que se aproximacada vez ms rpidamente hacia el mismo. En el caso de los bonos cupn cero esta

tasa es constante puesto que slo hay un pago, el ltimo.

55..LLiimmiittaacciioonneessddeellccoonncceeppttooddeedduurraacciinn

Hay, al menos, cuatro limitaciones a la utilizacin de la duracincomo medida delriesgo de una cartera de renta fija.

Primero, la duracinhace referencia nicamente al riesgo asociado con loscambios en los tipos de inters. Esto es, no refleja los cambios en el precio de mer-

cado del bono procedentes de alteraciones en la corriente de los flujos de caja es-perados; lo que puede suceder cuando el bono es convertible, o porque exista la

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posibilidad de ser amortizado anticipadamente por la empresa5, o porque el riesgode insolvencia de la empresa ha aumentado, etc.

Segundo, la duracinse limita a medir exclusivamente la relacin existenteentre los cambios habidos en el rendimiento hasta el vencimiento. Lo que quieredecir que indica el porcentaje de cambio entre una estructura de tipos de intersplana y otra que tienda a crecer o a decrecer de forma paralela. Como es lgico, laETTI no es plana y los cambios habidos en la misma no son paralelos.

Tercero, si bien es cierto que el precio de mercado de las emisiones de deu-da con una duracinmayor es ms sensible que el precio de las emisiones con me-nor duracin, ante un cambio dado en el rendimiento esperado hasta su vencimien-to, tambin es verdad que el rendimiento de las emisiones de menor duracinesms voltil que el de las de mayor (el rendimiento de las Letras del Tesoro, porejemplo, suele ser ms voltil que el rendimiento de las obligaciones del Estado).Esto ltimo no lo refleja el concepto de duraciny a la hora de valorar el riesgo fi-

nal de la emisin es necesario tener en cuenta conjuntamente ambos factores.Cuarto, es relativamente fcil medir la duracinde los bonos pero es bastan-te ms complejo medir la de otras inversiones como las acciones ordinarias6, porejemplo. Ello limita las posibilidades de valorar el riesgo de una cartera mixta for-mada por ttulos de renta fija y variable a travs del uso de la duracin.

66..LLaadduurraacciinnddeeuunnaaccaarrtteerraaddeerreennttaaffiijjaa

Una cartera de bonos no deja de ser una corriente de flujos de tesorera que se es-pera obtener a lo largo del tiempo. Por lo tanto su duracinse medir a travs de lamedia ponderada del vencimiento de los flujos de caja de la cartera, utilizando co-mo ponderacin los valores actuales de dichos flujos. Como se aprecia, el sistemade clculo es el mismo que para activos individuales con la nica diferencia de quela misma es un conjunto de cupones con diferentes vencimientos y que, adems, elrendimiento interno de la cartera, que es el que se utiliza para actualizar los flujosde caja, no coincide con el rendimiento medio ponderado de los rendimientos hastael vencimiento de cada uno de los ttulos que la componen.

En la tabla 7 se muestra una cartera formada por cuatro ttulos con diferen-

tes vencimientos (tres, cinco, diez y quince aos), que pagan distintos tipos de in-ters, que tienen distintos precios de mercado, distintas TIR hasta el vencimiento,diferentes duracionesnormales (D) y modificadas (D*) y diferentes ponderacionesdentro de la cartera (segn el porcentaje de su valor de mercado en el valor actualde la cartera).

5El concepto de duracin efectivahace referencia precisamente a este caso.6Sobre la duracin de las acciones ordinarias vase FERRER, Romn (1994): "Modelos de Valoracin del Riesgo de

Inters de los Ttulos de Renta Variable".Actualidad Financieran 44. Pgs.: 623-654

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20

Ttulos Nmero Cupn Plazo Precio TIR D D* ValorMercado

%Cartera

A 200 7,0% 3 102,00 6,25% 2,81 2,64 20.399,10 20%

B 250 7,4% 5 102,26 6,85% 4,36 4,08 25.566,05 24%

C 300 7,8% 10 105,26 7,05% 7,37 6,89 31.576,66 30%

D 250 8,0% 15 107,95 7,12% 9,47 8,84 26.988,64 26%

104.530,45

Tabla 7

En la tabla 8 se muestran los flujos de caja totales de cada ttulo, individual-mente considerados, y los de la cartera. La TIR de la cartera se ha calculado to-mando como valor inicial de la misma su valor de mercado: 104.530,45 euros,obtenindose un rendimiento del 6,97%. Obsrvese que si la hubisemos calculadoa travs de la media ponderada de los rendimientos hasta el vencimiento (cosa que

no se debe hacer nunca) de cada uno de los ttulos habramos obtenido: 0,2 x6,25% + 0,24 x 6,85% + 0,3 x 7,05% + 0,26 x 7,12% = 6,86%. Por otra parte, laduracinde dicha cartera tomar un valor de 6,33 aos y su duracin modificadaser de 5,91%.

Ao A B C D Cartera

0 -104.5301 1.400 1.850 2.340 2.000 7.590

2 1.400 1.850 2.340 2.000 7.590 TIR = 6,97%3 21.400 1.850 2.340 2.000 27.590

4 1.850 2.340 2.000 6.190 D = 6,335 26.850 2.340 2.000 31.1906 2.340 2.000 4.340 D* = 5,91%7 2.340 2.000 4.3408 2.340 2.000 4.3409 2.340 2.000 4.34010 32.340 2.000 34.34011 2.000 2.00012 2.000 2.00013 2.000 2.00014 2.000 2.000

15 27.000 27.000Tabla 8

Ahora bien, como ya hemos comentado en el epgrafe anterior, el clculo dela duracin implica que suponemos la existencia de una ETTI plana, es decir, quelos rendimientos de todos los ttulos de igual riesgo son iguales sean cuales seansus plazos (lo que, todo hay que decirlo, no es muy realista). Esta suposicin nospermite calcular la duracinde una cartera (Dp) como la media ponderada de lasduracionesde sus activos financieros componentes (Di)7:

7Vase la demostracin matemtica en BIERWAG, Gerald (1991):Anlisis de la Duracin. Alianza. Madrid. Pgs.: 125-126. En dicha demostracin Bierwag utiliza una ETTI plana al suponer que el rendimiento de todos los bonos es elmismo sin importar cul es su plazo.

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21

Dp = D1X1+ D2X2+ ..... + DnXn

donde Xiindica la ponderacin del valor de mercado del activo en el valor de la car-

tera (la suma de todas las ponderaciones deber ser igual a la unidad). As, porejemplo, la duracinde la cartera segn esta idea sera:

D = 2,81 x 0,20 + 4,36 x 0,24 + 7,37 x 0,20 + 9,47 x 0,26 = 6,287 aos

que es ligeramente diferente del clculo realizado en el ejemplo anterior debido aque en l no exista una ETTI plana sino que era de tipo creciente. Si calculamos laduracin modificadade la cartera de igual forma obtendremos un valor del 5,877%(tambin podramos haber dividido 6,287 entre 1,0686 y obtendramos un resulta-do casi idntico, pero es ms coherente hacerlo a travs de la media ponderada).

Si calculamos la duracin en eurosde la cartera veremos que es igual a lasuma algebraica de las de sus componentes. As, la duracin en eurosde cada bonoser:

D*eur. (A) = 200 x 102,00 x (-2,64) x 0,01 = 539,50 D*eur. (B) = 250 x 102,26 x (-4,08) x 0,01 = 1.044,37 D*eur. (C) = 300 x 105,26 x (-6,89) x 0,01 = 2.175,00 D*eur. (D) = 250 x 107,96 x (-8,84) x 0,01 = 2.384,91

La suma algebraica es igual a 6.143,79 que coincidira (salvo por erroresde redondeo) con la duracin en eurosde la cartera si la duracin modificadadesta se hubiera calculado a travs de una media ponderada.

En todo caso, la suposicin de que la ETTI es plana no debera producir unerror demasiado grande cuando el diferencial entre los tipos de inters a corto y alargo plazo es pequeo. Otra cosa ocurrira si dicho diferencial fuera significativo.

77..EEllccoonncceeppttooddeeccoonnvveexxiiddaadd

Como ya se ha visto anteriormente, el precio de los bonos est inversamente rela-cionado con el valor de los tipos de inters. Cuando stos ascienden aqul cae, y locontrario. En la figura 7 se muestra en el grfico de la izquierda dicha relacin atravs de la denominada curva precio/rendimiento. La primera derivada de la fun-cin que dibuja dicha curva es lo que en el epgrafe anterior denominamos duracinmodificada, que dicho de otra forma, es la pendiente de la curva precio/rendimientoen un punto determinado que coincide con el rendimiento actual y que acta depunto de tangencia entre ella y la recta representativa de la duracin modificada,tal y como aparece en la grfica de la derecha de la figura 7.

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22

Fig.7 Curva precio/rendimiento, duracin modificaday convexidad

La duracin modificadaes una estimacin de tipo lineal de una relacin pre-cio-rendimiento no lineal, que puede ser utilizada para predecir la variacin en el

precio de los bonos cuando se mueven los tipos de inters.

% de cambio en elprecio de los bonos

= - duracinmodificada

x % de cambio enel rendimiento

Pero como se puede apreciar en la figura 7, el uso de la duracin modificadaproduce un error (la zona rallada) en la estimacin de la curva precio/rendimiento.Esto es, la duracin modificadaexplica bastante bien las variaciones en el preciodebidas a pequeos cambios en el rendimiento, pero no funciona tan bien cuandoestas alteraciones son grandes (ms all de 50 puntos bsicos de variacin en los

tipos de inters). Esto es debido a que la duracin modificada asume que existeuna relacin lineal entre las variaciones del rendimiento y las del precio, lo que im-plica cometer errores cuando las variaciones son de una magnitud importante.

En la figura 8 se puede observar lo mismo a travs de un ejemplo real. Po-demos ver el punto de tangencia entre la curva precio/rendimiento y la duracinmodificada. La diferencia entre ambas es la convexidadque se muestra en formacurva y cuyos valores aparecen en la ordenada de la derecha (C).

Con objeto de predecir dicho error o disparidad, surge la convexidadque es,en realidad, la segunda derivada de dicha curva y muestra cmo vara la duracinmodificadacuando se alteran los tipos de inters. Dicha segunda derivada es igual

a:

= +

+

+=

n

jj

j

r

Qjj

rr

P

122

2

)1(

)1(

)1(

1

donde Qjes el cupn que el bono proporcionar en el perodoj, el mximo nmero

de perodos ser ny res la tasa de rendimiento interna de ese bono en el momentodel anlisis.

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23

70

80

90

100

110120

130

140

150

5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%

0

2

4

6

8

10

12

14P C

TIR(%)

punto de tangencia

D*

Fig.8 La convexidadcomo diferencia entre el precio real de un bono y el obtenido a travs de laduracin

modificadacuando varan los tipos de inters.

As, si quisiramos averiguar la variacin en el precio de un bono debida auna ascenso de un 1% en el tipo de inters sumaramos la variacin producida porla duracin modificada (que aparecer con signo negativo) y la producida por laconvexidadpara la misma variacin en el rendimiento (100 puntos bsicos en am-bos casos):

dP/P = -D* x (dr) + (1/2) x convexidad x (dr)2=

= - D* x (0,01) + (1/2) x convexidad x (0,01)2

En realidad lo que estamos haciendo es utilizar la frmula de Taylor8 (losdos primeros trminos del sumatorio) con objeto de aproximarnos al valor real dela curva precio/rendimiento.

7.1 EjemploSupongamos que estamos analizando una emisin de obligaciones a diez aos, quepaga un cupn de 70 euros por ttulo y ao vencido, que tiene un rendimiento has-ta el vencimiento del 8%, una duracinde 7,42 aos y una duracin modificadadel6,87%. En la tabla 9 se puede ver lo que sucedera con el cambio porcentual en el

precio, tanto si es el estimado como el actual, al variar la tasa de rendimientoanual. La primera columna muestra los diversos valores del rendimiento (TIR); lasegunda la variacin en porcentaje de la misma; la tercera el precio terico del titu-lo segn el valor del rendimiento; la cuarta la variacin porcentual actual del precio(por ejemplo, (1.035,9-932,9) 932,9 = 11,04%). La quinta columna nos muestrala estimacin, a travs de la duracin modificadade dicha variacin (por ejemplo,[-6,87] x [-1,5%] = 10,31%) y en la sexta se puede ver el valor de la convexidaden porcentaje sin ms que restar el valor de las dos columnas anteriores (0,73%).

8Frmula de Taylor (x)dx

fdxj!

1f(x)x)f(xj

j

j

1j

+=+ =

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24

Como se observa en la tabla 9 cuanto ms varen los tipos de inters mayores la diferencia entre el precio estimado a travs de la duracin modificada y elprecio intrnseco del bono, es decir, mayor es la convexidad. De hecho, sta ltimaes prcticamente despreciable cuando la variacin es igual o inferior a 50 puntosbsicos, como ya sealamos anteriormente.

TIR

(%)

% cambio

TIR

Precio

intrnseco

% cambio del precio

Actual Estimado

Convexidad

(%)

4,5 -3,5 1.197,8 28,40 24,05 4,35

5,0 -3,0 1.154,4 23,75 20,61 3,14

5,5 -2,5 1.113,1 19,32 17,18 2,14

6,0 -2,0 1.073,6 15,08 13,74 1,34

6,5 -1,5 1.035,9 11,04 10,31 0,73

7,0 -1,0 1.000 7,19 6,87 0,32

7,5 -0,5 965,7 3,52 3,44 0,088,0 0,0 932,9 0,0 0,0 0,0

8,5 0,5 901,6 -3,36 -3,44 0,08

9,0 1,0 871,6 -6,57 -6,87 0,30

9,5 1,5 843,0 -9,64 -10,31 0,67

10,0 2,0 815,7 -12,56 -13,74 1,18

10,5 2,5 789,5 -15,37 -17,18 1,81

11,0 3,0 764,4 -18,06 -20,61 2,55

11,5 3,5 740,5 -20,62 -24,05 3,43

Tabla 9Si la duracinde un bono fuese constante para todos los niveles de rendi-

miento, la convexidadno existira. Es precisamente la variacin en la duracindeltitulo lo que da lugar a la convexidad. Esta ltima tiene un efecto positivo: la dura-cinde un bono se alarga cuando el mercado es alcista (aumentan las ganancias decapital al aumentar los precios y descender los rendimientos) y se acorta cuando esbajista (suavizando las cadas de los precios debidas a incrementos en los rendi-mientos).

Si queremos corregir la duracin modificadacon la convexidaden el caso denuestro ejemplo y para una variacin de un 3% de los tipos de inters hacia arriba

o hacia abajo, lo primero ser calcular la segunda derivada de la curva precio-ren-dimiento para un tipo de rendimiento del 8%, lo que se conoce como convexidad eneuros:

= +

+

+=

n

jj

j

r

Qjj

rr

P

122

2

)1(

)1(

)1(

1

++++=

103222

2

)08,1(

070.11110...

)08,1(

7043

)08,1(

7032

)08,1(

7021

)08,1(

1 xxxxxxxx

r

P= 58.425,22

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seguidamente dividiremos la convexidad en euros entre el valor actual del bono(932,9 ), lo que nos dar el valor de la convexidad: 62,63. Y ahora aplicaremos lasiguiente frmula:

- Si los tipos de inters ascienden en un 3%:dP/P = - 6,87 x (0,03) + (1/2) x 62,63 x (0,03)2= -17,79%- Si los tipos de inters descienden en un 3%:dP/P = - 6,87 x (-0,03) + (1/2) x 62,63 x (-0,03)

2= 23,43%

Compruebe como en la cuarta columna de la tabla 9 los valores reales son,respectivamente, del 18,06% y del 23,75% para la subida y bajada de los tipos deinters en 300 puntos bsicos. El error cometido es ahora, despus de corregirlocon la convexidad, mucho ms pequeo para variaciones importantes de los tiposde inters.

7.2 Ejemplo: bono con cupones semestralesUn bono al que le quedan 8 aos de plazo hasta su vencimiento y que paga treseuros cada semestre hasta el final de su vida se est vendiendo a 93,953 euros porlo que su rendimiento hasta el vencimiento en trminos nominales es igual al 7%.Se desea calcular el nuevo precio del bono si los tipos de inters anuales descien-den 85 puntos bsicos.La TIR semestral la vamos calcular dividiendo 7% entre 2 = 3,5%La duracines igual a:

D =1 + r

r -

n (c - r) + (1 + r)

c (1 + r)n - (c - r) =

1,035

0,035 -

16 (0,03 - 0,035) + 1,035

0,03 (1,035)16 - (0,03 - 0,035)

D = 12,82 semestres = 6,41 aos

D* =

6,41

(1 + 0,035) = 6,19%

Convexidad en euros =

d2P

dr2 =

1

(1+ r)2

j (j+1) Qj

(1+ r)j =

j=1

n

1

(1,035)2

j (j+ 1) Qj

(1,035)j =

j=1

16

17.661,83

Convexidad: 17.661,83 93,953 = 187,986

Convexidad equivalente en aos: 187,986 (2)2= 47

Variacin de del precio =dP/P = - 6,19 x (-0,0085) + (1/2) x 47 x (-0,0085)2 = 0,052615 + 0,0017 =5,43%

Nuevo precio del bono: 93,953 x (1 + 0,0543) = 99,05 euros. (El nuevo precioreal del bono es 99,063 euros)

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NOTA: Para evitarse problemas con las expresiones de la duraciny de la convexi-dadtodos los clculos deben estar referidos a una base nominal anual. Es decir, laTIR hasta el vencimiento debe estar en trminos nominales anuales y el posible au-mento o descenso de los tipos de inters debe expresarse sobre dicha tasa nominalanual; as, en nuestro caso un descenso del tipo de inters de 85 puntos bsicosimplica que la nueva TIR hasta el vencimiento va a ser del 6,15% nominal anual.Por tanto, si la variacin de los tipos de inters se refiere a una base anual efectivadeberemos calcular su variacin en base nominal anual.

7.3 La co n v e x id adde un bono entre dos fechas de pago del cupn.

Como vimos en el apartado 3.3 con la duracin modificada, ocurre lo mismo con laconvexidad cuando es necesario calcularla en una fecha que no coincide exacta-mente con la del pago del cupn. La expresin a utilizar es:

r)(1

FC1)f-(jf)-(j

P

r)(1=C

1j

j

0

2-f

+

++

=

n

j

donde res la tasa de rendimiento hasta el vencimiento, fes el tanto por uno deltiempo transcurrido desde la fecha de pago del ltimo cupn (0,5 si los cupones sepagan anualmente y han transcurrido seis meses), P0es el precio actual del bonoen el mercado (con cupn corridoincluido) y nes el plazo que resta hasta el venci-miento del bono.

En la misma idea que dijimos en el apartado 3.3, esta expresin es realmen-

te la expresin general de la convexidadporque si f=0 lo que tenemos es la expre-sin que hemos estado manejando a lo largo del epgrafe 7.

7.4 La expresin de la co n v e x id aden tiempo continuo

De la misma forma que en el sub-epgrafe 3.4 vimos la expresin en tiempo conti-nuo para la duracin ahora extraeremos la segunda derivada de la expresin pre-cio-rendimiento para la tasa de rendimiento r con el objetivo de obtener la convexi-dad.

P

1eFCt)-(tePt)-(n=

P

1

r

P

t1

t)-(tr-

j

2

j

t)-(nr-

n

2

t

2

t

2

j

+

=

n

jd

d

donde Pnes el precio de reembolso del bono en la fecha de amortizacin del mismo(n), res la tasa de rendimiento hasta el vencimiento, tindica el instante en el quese calcula el precio, FCjes el flujo de caja del perodo, y ees igual a 2,718281828.

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7.5 La convexidad de una cartera

El clculo de la convexidad de la cartera debera hacerse considerando todos los flu-jos de caja generados por ella, al igual que hacamos en el caso de su duracin.Aunque, si suponemos que la ETTI es plana, bastara con calcular la media ponde-rada de las convexidades de los bonos que la componen.

Efectivamente, la convexidad de la cartera mostrada en el epgrafe 6 esigual a 55,32 pero si la calculamos teniendo en cuenta las convexidades individua-les (en la tabla 10 se muestra el clculo de la convexidadde cada bono; al valor ac-tual obtenido se le divide por el valor de mercado de cada ttulo y el resultado es:9,73; 21,86; 63,10; y 109,83 respectivamente para los bonos A, B, C y D) ponde-radas por su participacin en la cartera, obtendremos:

conv = 9,73 x 20% + 21,86 x 24% + 63,10 x 30% + 109,83 x 23% = 54,66

un valor muy aproximado al obtenido a travs de los flujos de caja de la cartera.VA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

9 92, 9 13 ,2 37 ,2 1. 07 0, 5

2.235, 7 13, 9 38, 9 72, 8 113, 5 2. 313, 4

6.642, 0 14, 6 40, 8 76, 3 118, 8 166, 4 217,7 271, 1 325, 6 380, 2 5 .999, 9

11.856,6 14,9 41,8 78,1 121,5 170,2 222,4 276,8 332,2 387,7 442,4 495,6 546,7 595,4 641,4 9.238,0 Tabla 10. Valor actual de los flujos de caja de cada bono multiplicados por t y por t+1 y dividido el

resultado entre (1+r)2.

7.6 Factores que influyen en la co n v e x id ad

La d u r a ci n. La convexidadest relacionada positivamente con la duracindel bono subyacente, es decir, las emisiones con una duracinmayor tienen tam-bin mayor convexidadque aqullas cuya duracinsea ms pequea. En realidad,la convexidades una funcin creciente de la duracin, puesto que la relacin entreambas no es lineal, lo que explica que un bono que tenga el doble de duracinqueotro, tenga ms del doble de convexidad.

Los flujos de caja. La convexidad est relacionada positivamente con elgrado de dispersin de los flujos de tesorera de un bono. Es decir, si comparamosdos bonos de la misma duracin, aqul que tenga la mayor distribucin de los flujosde caja tendr una mayor convexidad. Esto se debe al hecho de que los flujos de

caja a largo plazo soportan progresivamente una mayor cantidad de convexidad.La volatilidad de los tipos de inters. La convexidadest relacionada di-

rectamente con la volatilidad del mercado. Una gran volatilidad de los tipos deinters del mercado crean unos mayores efectos de convexidad, puesto que au-menta la probabilidad de una mayor variacin en el rendimiento del mercado. Estoltimo hace que el efecto de la volatilidad de la TIR sea mayor sobre los bonos demayor plazo.

El sentido de la variacin del rendimiento. La convexidadest ms in-fluida por los descensos del rendimiento que por los ascensos del mismo.

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88..LLaadduurraacciinneeffeeccttiivvaa

La duracin modificadade un bono que tiene caractersticas especiales, por ejem-plo, que pueda ser amortizado anticipadamente, que sea convertible, etctera, sedenomina duracin efectiva. De hecho, la principal diferencia entre la duracin mo-dificaday la efectivaestriba en que en sta ltima se supone que al variar los tiposde inters tambin varan los flujos de caja esperados del activo financiero, cosaque no ocurre con la duracin modificada. Hay varios mtodos para calcularla se-gn sea el activo financiero subyacente, sin embargo, vamos a mostrar una expre-sin muy sencilla que sirve para calcular el riesgo de inters de cualquier tipo deactivo financiero; siendo dicho riesgo la variacin porcentual inducida en su precioante un pequeo cambio de los tipos de inters anuales. La expresin es la siguien-te:

D*

aprox.=P P+

P0 r+ r( )

Para calcular esta expresin debern seguirse los tres pasos que se mues-tran a continuacin:

1. Aumente el rendimiento del bono un pequeo nmero de puntos bsi-cos y determine su nuevo precio. Al nuevo rendimiento le denomina-remos r+y al nuevo precio P+

2. Reduzca el rendimiento del bono un pequeo nmero de puntos bsicos

y determine su nuevo precio. Al nuevo rendimiento le denominaremosr-y al nuevo precio P-3. Siendo P0el precio original, calcule la duracin modificadaaproximada

a travs de la expresin anterior.

Veamos un ejemplo, supongamos que estamos analizando una emisin deobligaciones a diez aos, que paga un cupn de 12 euros por ttulo y ao vencido,que tiene un rendimiento hasta el vencimiento del 12%. Si el rendimiento aumenta50 puntos bsicos el nuevo precio ser P+= 97,232 euros; mientras que si el ren-dimiento desciende hasta situarse en el 11,50%, el nuevo precio ser P-= 102,884

euros. La duracin modificadaaproximada ser:

( )5,652%=

0,115)-(0,125100

97,232-102,884=

rrP

PPaprox.D

0

*

+

+

=

teniendo en cuenta que la duracin modificadareal es de 5,65%, la aproximacines bastante buena.

De la misma manera podramos obtener una frmula aproximada de la con-vexidadutilizando la misma notacin que anteriormente:

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C aprox. =P+ + P- - 2P0

P0[(r+ - r- ) / 2]2

As, en el ejemplo anterior la convexidadaproximada sera 46,28 (la real es

de 46,26).La importancia de estas dos frmulas aproximadas radica en que se puedenutilizar para cualquier activo financiero. No se olvide la definicin de duracin modi-ficada, pues es normal encontrarse con activos financieros cuyo plazo es muy infe-rior al de su duracin modificadadebido a que ste nos indica la variacin del pre-cio ante un cambio en el rendimiento (a diferencia de la duracinde Macaulay quehace referencia al vencimiento promedio de los flujos de caja); as, es posible en-contrarse con activos financieros (opciones, hipotecas o productos estructurados,por ejemplo) con plazos de 5 aos y duraciones modificadas del 20% (y no deveinte aos!).

Direcciones tiles de Internet

Investopedia http://www.investopedia.com

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