MÁSTER DE ENSAYOS EN VUELO Y CERTIFICACIÓN DE...
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Máster deEnsayos en Vuelo
(ETSIA-UPM)
ETSIA-UPM29.04.08
MMÁÁSTER DE ENSAYOS EN VUELOSTER DE ENSAYOS EN VUELO
Y CERTIFICACIY CERTIFICACIÓÓN DE AERONAVESN DE AERONAVES
(Curso 2008/09)(Curso 2008/09)
Modelos MatemModelos Matemááticos de la Mecticos de la Mecáánica (F5.1 y F5.2)nica (F5.1 y F5.2)
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ÍNDICE
•Introducción
•Modelos de primer orden (caída libre y con fricción)
•Modelos de segundo orden (vibraciones mecánicas)
•Teoría cualitativa de ecuaciones
• Soluciones de equilibrio y estabilidad lineal
• Modelo simplificado de vuelo (modo Fugoide)
• Modelos armamentísticos (Richardson)
• Modelos de combate (Lanchester)
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INTRODUCCIÓN
FENÓMENO FÍSICO
LEYESFÍSICAS
MODELO MATEMÁTICO
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
EN GENERAL
LEYESDE LA
MECÁNICA
NUESTRO CASO
ACTUACIONES DE UNA AERONAVE
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
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MODELOS DE PRIMER ORDEN
0
d = d
(0) =
vm m gt
v v
⎧⎪⎨⎪⎩
-Problema
-Solución
0( ) v t v gt= +
Caída libre
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MODELOS DE PRIMER ORDEN
0
d = - d
(0) =
Dvm m g Ft
v v
⎧⎪⎨⎪⎩
-Problema
-Solución
20 0
20 0
( ) ( )( ) ; con lim ( )( ) ( )
kgm
kgm
tL L
L Lt tL L
v v e v v mgv t v v v tkv v e v v →∞
+ − −= = =
+ + −
Caída con fricción del medio
1 2 2 = = 2D DF C Sv k vρ
Ley de resistenciacuadrática:
2
d d = (variables separadas)v tmg kv m−
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MODELOS DE PRIMER ORDEN
Caída con fricción del medio2
0 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
kgm
kgm
tL L L L
L L LtL L L L
v v e v vv v v t v v t vv v e v v
+ − −• = ⇒ = ⇒ ≡
+ + −
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MODELOS DE PRIMER ORDEN
Caída con fricción del medio
0 Lv v• <
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MODELOS DE PRIMER ORDEN
Caída con fricción del medio
0 Lv v• >
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MODELOS DE PRIMER ORDEN
Paracaidista
2
2
1( )1
kgm
kgm
t
L t
Cev t vCe
−=
+
0( ) v t v gt= +
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MODELOS DE PRIMER ORDEN
2 2
2
22
2
Para , con ,
d d ( ) = = 2 2d d
cuyas soluciones son de la forma ( ) .
1 2Nótese que, para 1, ( )1
kgm
kgm
L L
L
L
kgtm
L
t kgtL m
L Lt
mgv v u u vk
v kv u k v u u kgg g g ut m t m v m
v t v Ae
Ce vt v t v v eCCe
−
−
= + =
+− ⇒ − − = −
= +
−= −
+
Tratamiento aproximado
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones armónicas forzadas
Segunda ley de Newton'' ' ( )Mx cx kx f t+ + =
x , con 0.', con 0.
( )D
ext
F kx kF cx cF f t
= − >= − >=
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones libres no amortiguadas
2 2'' 0, con kx a x aM
+ = =
x , con 0.0D ext
F kx kF F
= − >= =
k es la rigidez del muelle
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones libres no amortiguadas
2 2 2'' ( ) 0 .tx a x a e iaλλ λ+ = + = ⇒ = ±
Se prueba con soluciones del tipo ( ) tx t eλ=
1 2( ) cos( ), ( ) sin( ).2 2
iat iat iat iate e e ex t at x t ati
− −+ −= = = =
1 2( ) ( ) ( ),x t Ax t Bx t= + donde
La solución general es de la forma
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones libres no amortiguadas
2
0 0
'' 0,(0) , '(0) 0.
x a xx x v x
⎧ + =⎨
= = =⎩
-Masa inicialmente desplazada y en reposo
0( ) cos( )x t x at=La solución particular es:
0( ) cos( ) sin( ), (0)'( ) sin( ) cos( ), '(0) 0
x t A at B at x A xx t aA at aB at x aB
= + = =
= − + = =
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones libres no amortiguadas
0
0
Amplitud: ,
2( ) cos( ) Periodo: 2 2
1 1Frecuencia: 2
x
Mx t x at aT Ta kkf
T M
ππ π
π
⎧⎪⎪⎪= = ⇒ = =⎨⎪⎪
= =⎪⎩
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones libres amortiguadas
x , con 0.', con 0.
0.D
ext
F kx kF cx cF
= − >= − >=
c mide la resistencia del medio
2 2'' 2 ' 0, con y 2
c kx bx a x b aM M
+ + = = =
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones libres amortiguadas
2 2 2
2 2 2 21 2
'' 2 ' ( 2 ) 0
y
tx bx a x b a e
b b a b b a
λλ λ
λ λ
+ + = + + = ⇒
= − + − = − − −
Se prueba con soluciones del tipo ( ) tx t eλ=
Se consideran tres casos:2 2
2 2
2 2
000
b ab ab a
• − >
• − =
• − <
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Movimiento sobreamortiguado2 2 0b a• − > (El efecto de la fricción supera al del muelle)
1 2
2 2 2 21 2
Solución general: ( ) , con
<0, 0.
t tx t Ae Be
b b a b b a
λ λ
λ λ
= +
= − + − = − − − <
La solución particular para el caso de masainicialmente desplazada y en reposo es:
( )2 101 2
1 2
( ) t txx t e eλ λλ λλ λ
= −−
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Movimiento sobreamortiguado2 2 0b a• − > (El efecto de la fricción supera al del muelle)
( )2 101 2
1 2
( ) t txx t e eλ λλ λλ λ
= −−
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Amortiguamiento crítico2 2 0b a• − = (El efecto de la fricción equilibra el del muelle)
1 2Las dos raíces son iguales, 0.
La solución general es: ( ) ( ) . bt
b
x t A Bt e
λ λ−
= = − <
= +
La solución particular para el caso de masainicialmente desplazada y en reposo es:
0( ) (1 ) btx t x bt e−= +
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Amortiguamiento crítico2 2 0b a• − =
0( ) (1 ) bt
(El efecto de la fricción equilibra el del muelle)
x t x bt e−= +
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Movimiento oscilatorio amortiguado
2 2 0b a• − < (El efecto de la fricción es inferior al del muelle)
2 21,2
0
Raíces complejas conjugadas:
, con .
Solución general: ( ) ( cos( ) sin( )).Solución particular para masa desplazada en reposo:
( ) cos(
bt
bt
b i a b
x t e A t B t
x t x e
λ ω ω
ω ω
ω
−
−
= − ± = −
= +
= ) sin( ) bt tωω
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Movimiento oscilatorio amortiguado
2 2 0b a• − < (El efecto de la fricción es inferior al del muelle)
0( ) cos( ) sin( )bt bx t x e t tω ωω
− ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones forzadas
x
0
, con 0.', con 0.
( ) cos( ).D
ext
F kx kF cx cF f t f t
= − >= − >= = Ω
20
2 00
'' 2 ' cos( ),
con , y 2
x bx a x F tfc kb a F
M M M
+ + = Ω
= = =
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones forzadas2
0Las soluciones de '' 2 ' cos( ) sonde la forma ( ) ( ) ( ), donde es unasolución particular de la ecuación completa y esuna solución de la homogénea ( ( ) 0), es decir:
( )
P H P
H
b
H
x bx a x F tx t x t x t x
xf t
x t Ae−
+ + = Ω
= +
≡
• = ( ) ( )
( ) ( )( )
2 2 2 22 2
2 2
2 2 2 2
2 2
, para 0
( ) ( ) , para 0
( ) cos sin ,
para 0
b a t b b a t
btH
btH
Be b a
x t A Bt e b a
x t e A t a b B t a b
b a
+ − − + −
−
−
+ − >
• = + − =
• = − + −
− <
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones forzadas
( )( )
( )( )
( )
0
1 2
2 2
1 0 22 2 2 2 21 2 0
2 21 2
2 0 22 2 2
1
Para ( ) cos( ), la solución particular se puedeobtener probando con ( ) cos( ) sin( ) :
2 4
22 0
4
Luego ( ) ( ) cos(
P
H
f t F tx t C t C t
aC F
a C b C F a b
bb C a C C Fa b
x t x t C
= Ω
= Ω + Ω
−Ω=
⎫−Ω + = −Ω +⎪⇒⎬− + −Ω = ⎪⎭ =
−Ω +
= + Ω
( )
2
102 222 2 2
) sin( )cos( ) 2( ) , con tan
4H
t C tF t bx t
aa b
φ φ −
+ Ω =
Ω − ⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟−Ω⎝ ⎠−Ω +
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Vibraciones forzadas
( )0
22 2 2
La parte homogénea desaparece para 1 lim ( ) 0. Luego
cos( )( ) ( ) , para 1.4
Obsérvese que la frecuencia de la respuesta es la deltérmino forzante y su amplitud es máxima par
Ht
P
tx t
F tx t x t ta b
φ→∞
=
Ω −=
−Ω +
a , la frecuencia correspondiente a las vibraciones no amortiguadas. Este máximo tiende a para 0.A este fenómeno se le conoce como RESONANCIA.
a
b
Ω =
∞ =
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Resonancia
( )0
22 2 2Am
4
F
a b=
−Ω +
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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN
Resonancia
Isla de Alexander Selkirk(Archipiélago de Juan Fernández)
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
IntroducciónDado un sistema de ecuaciones diferenciales:
se trata de conocer determinados aspectos “cualitativos”de sus soluciones que nos permitan, incluso en el caso deque no podamos resolverlo explícitamente, deducir elcomportamiento del sistema modelizado ante determinadascondiciones del mismo.
( , )x f x t=rr r&
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Definiciones
•Soluciones críticas: Son las soluciones constantes, es decir,
•Sistema autónomo: Cuando el segundo miembro no dependedel tiempo.
•Solución estable: Cualquier solución “cercana” a ella en uninstante permanece en sus “inmediaciones” para todo
•Solución inestable: La que no es estable.
0t 0t t>
0 0tal que ( , ) 0x x f x t≡ =rr r r
( )x f x=rr r&
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Sistemas autónomos:En muchos modelos de la física y de la mecánica, elanálisis de la estabilidad de las soluciones críticas deun sistema autónomo será suficiente para conocer elcomportamiento del sistema en la zona de diseño.Obsérvese que, cerca de una solución crítica, el sistemase puede aproximar como:
[ ][ ]
[ ]
0 0 0
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
Si ( ) 0, ( ) , con ( ).
( ) es la matriz jacobiana de en .
x f x f x Jf x x x
f x x Jf x x x x x
Jf x f x
= + − +
≡ Δ Δ Δ = −
r rr r r r r r& Lr rr r r r r r r&
rr r
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Estabilidad de sistemas lineales (I):Luego, en muchos casos bastará con analizar la estabilidadde la solución nula de un sistema lineal de coeficientesconstantes:
Si probamos con soluciones de la forma:se tiene que
Es decir, que debe ser un autovalor de la matriz A y elvector constante un autovector asociado con dichoautovalor.Por tanto, los exponentes son las soluciones del polinomio
.y A y=r r&
0 ,ty e yλ≡r r
[ ] 0 0.te A I yλ λ− ≡rr
λ0yr
λ[ ]det 0.A Iλ− ≡
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Estabilidad de sistemas lineales (II):Todas las soluciones de son de la forma:
donde los son autovalores de A y las componentes delos vectores son, a lo sumo, polinomios en t.Las anteriores funciones tenderán a la solución nula, si laspartes reales de todos los son negativas. Por lo tanto, setiene el siguiente criterio de estabilidad de la solución nula:•Si todos los autovalores de A tiene parte real negativa, lasolución nula es estable•Si algún autovalor de A tiene parte real positiva la soluciónnula es inestable.
,y A y=r r&
jλ1
( ) ( ) ,jN
tj
jy t a t eλ
=
=∑r r
( )ja tr
jλ
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Sistemas autónomos de primer orden:Si es una solución crítica de la ecuación escalar:
Entonces, al linealizar,
•Si la solución es estable.•Si la solución es inestable.•Si puede darse cualquier caso.
( ).x f x=&
0 0'( ) , con .x f x x x x xΔ = Δ Δ = −&
0x
0'( ) 0,f x < 0x x≡0'( ) 0,f x > 0x x≡0'( ) 0,f x =
TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
( )x v0 ( )Lx v x0x
0x x
Mapas de fase
solución estable(paracaidista)
solución inestable
solución semiestable'( ) 2 0L Lkf v vm
⎛ ⎞= − <⎜ ⎟⎝ ⎠
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Sistemas autónomos de segundo orden (I):Si es un punto crítico del sistema:
Al linealizar,
( , )( , )
x f x yy g x y= ⎫
⎬= ⎭
&
&
0, 00, 0
0, 00, 0
2
1,2
2
( )( ), con
( )( )
Tr (Tr ) 4 Det cuyos autovalores son: ,2
donde Tr ( ) y Det ( ).Denotaremos Dis ((Tr ) 4 De
yx
yx
b f x ya f x yx a b xd g x yc g x yy c d y
A A A
A a d A ad bcA A
λ
==Δ Δ⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ==Δ Δ⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎩ ⎭
± −=
= + = −
= −
&
&
t )A
0 0( , )x y
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Sistemas autónomos de segundo orden (II):Casos posibles:
•Si Det A<0, un autovalor es positivo y el otro negativo, lasolución crítica es inestable (Punto silla o puerto).0 0( , )x y
0 0( , )x y
Punto silla
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Sistemas autónomos de segundo orden (II):Casos posibles:•Si Det A>0 y Dis A>0, los dos autovalores son reales y elpunto crítico es un nodo.•Si Det A>0 y Dis A<0, los dos autovalores son complejosconjugados y el punto crítico es un foco o espiral.•En ambos casos, cuando Tr A<0, el punto es estable y, siTr A<0, es inestable.
0 0( , )x y
0 0( , )x y
0 0( , )x y
Nodo Foco
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (I):Se considera un avión en vuelosimétrico, longitudinal y queidealmente se mantiene con unángulo de ataque fijoHaciendo uso de las dos ecuacionesdel movimiento en ejes tierra, seobtiene:
d ( )cos sindd ( )sin cosd
um T D Ltwm T D L mgt
θ θ
θ θ
⎫= − − ⎪⎪⎬⎪= − − − +⎪⎭
0.α =
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (II):Adimensionalizando las ecuaciones, se tiene:
22 2
2
ˆ ˆd ˆ ˆ ˆ( ) ˆˆ ˆ ˆcon yd , ˆ ˆd , y constantes.ˆ ˆ ˆ( ) 1ˆd
T D L
T D LT D L
u uC C V C VwV u wV
w w C C CC C V C VuV
τ
τ
⎫= − + ⎪⎪ = +⎬⎪= − − +⎪⎭
( )( )
22 4 2
3 2
ˆ ˆ 1 0.
ˆ ˆ ˆˆ ˆ,
L T D
L T D
C V C C V
u C V w C C V V
+ − − =
= = − −
Sólo tiene un punto críticoque cumple
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (III):Perturbando las ecuaciones alrededor del caso de vuelorectilíneo, horizontal y uniforme,
2
d 2 con d , d Eficiencia aerodinámica2 d
1Tr 2 , Det 2 y Dis 4 2
LLL
D
L
LL L
Cu Cu C w EE Cw C u
CA A C A C
E E
τ
τ
⎫Δ= − Δ + Δ ⎪ = =⎪
⎬Δ ⎪= − Δ ⎪⎭
⎛ ⎞= − = = −⎜ ⎟⎝ ⎠
0̂ 1 / :LV C=
Se trata de un punto espiral estable, pues normalmente E>1,es decir, la respuesta ante perturbaciones es oscilatoria yamortiguada (modo Fugoide): ( )2
1,2 1 2 1LCi E
Eλ = − ± −
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (IV):
Respuesta a unimpulso.
Respuesta a unapérdida prolongadade potencia.
2, ,
2
T c
c
T mgC Vmg S
mtg S
ρ
ρ
= =
=
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (V):Respuesta a unincremento de potencia
Respuesta a un incrementotemporal de potencia
Respuesta en resonancia
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Teoría del conflicto (I):
Se consideran dos bloques en conflicto, A y B, cuyos nivelesde armamento en cada instante t son respectivamente x(t) ey(t). La teoría del conflicto de Richardson plantea que elcrecimiento de las armas de cada uno de los contendienteses proporcional a la cantidad de armas del contrario y estádirectamente relacionado con los agravios que le achaca.Esto se plasma matemáticamente así:d con (agravios de B a A) y d , (agravios de A a B) constantes.d , , y constantes positivas.d
x fx a y ft gy b x y g a bt
α
β α β
⎫= − + + ⎪⎪⎬⎪= − +⎪⎭
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Teoría del conflicto (II):El sistema anterior tiene un punto crítico, que se alcanzarásólo si Det A=αβ − ab>0:
0 0, .ag f bf gx yab abβ α
αβ αβ+ +
= =− −
En el caso de que sea alcanzable, es un nodo estable puesTr A=−(α+β)<0 y Dis A>0, pero, si Det A=αβ − ab<0, elpunto está en el tercer cuadrante y es un punto silla.0 0( , )x y
y
0 0( , )
x
x y0 0( , )x y
y
x
Situación deguerra fría
Situación deconflicto bélico
0abαβ − > 0abαβ − <
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Modelos de combate (Lanchester):En estos modelos, se distinguen dos tipos de combatientes:convencionales o guerrilleros. La tasa de bajas de los prime-ros, como su situación es conocida en el campo de batalla,es proporcional a la eficacia y efectivos del enemigo. Lasbajas de los guerrilleros dependen de que se produzcan en-cuentros con el enemigo y su tasa de variación es proporcionalal producto de los efectivos de ambos combatientes, así:
ambas fuerzas son son guerrillerosconvencionales
d d ( ) ( )d d, . d d ( ) ( )d d
x
x xy f t x y f tt ty yx g t x g tt t
α α
β β
⎫ ⎫= − + = − +⎪ ⎪⎪ ⎪⎬ ⎬⎪ ⎪= − + = − +⎪ ⎪⎭ ⎭
son convencionalesy
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Combate entre dos fuerzas convencionales (I):Sin tasa de refuerzos (f=g=0)
2 2 2 20 0
Det 0, (el origen es un punto silla)d dd , ,
d d d Las órbitas son hipérbolas
Ax yy xt y x y x K
y x yxt
αβα
β α β α βαβ
= − <⎫= − ⎪⎪ = ⇒ − = − =⎬⎪= −⎪⎭
y
x
Si K>0 gana el ejercito Y
Si K<0 gana el ejercito XK=0
K>0
K<0
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Combate entre dos fuerzas convencionales (II):Un ejemplo con refuerzos, la batalla de Iwo Jima:•Americanos: x(0)=0, f(t) no nulo, Fuerzas totales=73.000 combatientes.•Japoneses: y(0)=21.000 combatientes, g(t)=0.
1 1d ( ) 0.0544 (dia) , 0.0106 (dia)d , d ajustados empíricamente d
x y f tty xt
α α β
β
− −⎫= − + ⎪ = =⎪⎬⎪= −⎪⎭
Fuente: M. Braun. Springer
Máster deEnsayos en Vuelo
(ETSIA-UPM)
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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES
Combate entre guerrilla y fuerza convencional:Sin tasa de refuerzos (f=g=0)
2 20 0
d d 2 2 ,d d , d Las órbitas son parábolasd
x yx y y x y x Kt x yy xt
βα α β α βα
β
⎫= − ⎪ = ⇒ − = − =⎪⎬⎪= −⎪⎭
y
Si K>0 gana el ejercito Y
Si K<0 gana la guerrilla X
x
K=0K>0
K<0
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BIBLIOGRAFÍA
•Ledder, Glenn; Ecuaciones diferenciales : un enfoque de modelado. McGraw-Hill Internacional (México), 2006.
•Zill, Dennis G.; Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Thomson Learning (México), 2007.
•Nagle, R. K.; Saff, E. B.; Snider, A. D.; Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Pearson Educación (Naucalpan de Juárez, México), 2005.
•Braun, Martin; Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica (México), 1990.
•Cordero Gracia, M.; Gómez López, M.; Ecuaciones Diferenciales (Sistemas Lineales y Teoría Cualitativa). 20 problemas útiles. García-Maroto (Madrid), 2007.
•Simmons, George F.; Ecuaciones diferenciales : con aplicaciones y notas históricas. Mac Graw-Hill (Madrid), 1993.