Mat. CC.SS. CLM_2000_2010

Ttulo de la obraMatemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.Ejercicios Resueltos de Pruebas de Acceso a Estudios de Grado.Castilla La Mancha 2000-2010

Esta obra es propiedad deJos Manuel Snchez MuozIngeniero de Caminos, Canales y PuertosProfesor de Matemticas

Todos los derechos reservados

E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

I.S.B.N: 978 84 7493 453 3

1 Edicin, Octubre 2011.

Matemticas Aplicadas a las CC.SS

Ejercicios Resueltos

Pruebas de Acceso a Estudios de Grado

Castilla La Mancha

2000-2010

Jos Manuel Snchez Muoz

Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Octubre - 2011

Prlogo

Este libro se ha hecho especialmente por y para los alumnos de Segundo de Bachillerato de

la especialidad de Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, aunque por supuesto tambin

puede hacer uso de l cualquier estudioso de la materia que as lo desee. Se ha elaborado con mucho

esfuerzo y con todo el cario y mimo con el que este humilde autor ha podido.

Las matemticas son una ciencia eminentemente prctica, de ah la importancia que tiene entre-

narse con ella y crear nuevas estrategias de aprendizaje cognitivo que permitan al alumno abordar

con garantas de xito la resolucin de nuevos problemas. Por eso, y por que considero que es una

necesidad imperiosa que nuestros alumnos cuenten con suficiente material pedaggico para abordar

con xito, tanto la superacin del correspondiente curso lectivo, como la realizacin con xito de

su Prueba de Acceso a Estudios de Grado, decid poner esta coleccin de problemas a disposicin

de aquel que lo deseara. Todos los problemas resueltos que aqu aparecen son ejercicios propuestos

en la que algunos seguimos denominando Selectividad de Castilla La Mancha. Por supuesto que

pudiera ser que encontrarais errores, por lo que os agradecera que me los hicierais saber con el

fin de corregirlos para prximas actualizaciones. Si quieres realizar algn comentario, comunicar

algn error o decir algo que se te ocurra, puedes ponerte en contacto conmigo a travs de mi correo

[email protected].

Mi intencin es que este libro se actualice con los exmenes que cada ao vaya proponiendo

la Universidad de Castilla la Mancha, adems de ir engrosando poco a poco la publicacin con

material didctico terico de apoyo y problemas propuestos en sta u otras comunidades.

Este trabajo se ha llevado a cabo utilizando LATEXy su frontend Kile (versin 2.1) para la distri-

bucin de Ubuntu Linux. Para los grficos he usado Geogebra, que es un software dinmico orientado

a las matemticas, en particular a la geometra analtica (http://www.geogebra.org), haciendo uso

de la exportacin de cdigo PSTricks (http://www.tug.org/PSTricks/main.cgi?file=index) que ste

proporciona, e Inkscape para algn grfico vectorial de apoyo (http://www.inkscape.org/?lang=es),

todos ellos software Open Source. Gracias a todos los que han hecho posible estos programas y los

han compartido gratuitamente con los dems.

He hecho una clasificacin de los ejercicios por temtica, esperando que sea del agrado de todos,

dividiendo el documento en tres grandes bloques. En el primero he tratado la parte correspondiente

al lgebra, subdividida a su vez en Matrices y Determinantes, Programacin Lineal y Sistemas de

Ecuaciones. La segunda parte corresponde al Anlisis Matemtico, subdividido a su vez en Funciones

y Continuidad, Derivadas y sus aplicaciones, y por ltimo las Integrales y sus aplicaciones, aunque

esta ltima tambin es tratada en la primera seccin de esta parte. Por ltimo, la tercera parte est

dedicada a la Probabilidad y Estadstica.

As mismo, se ha procurado en la medida de lo posible resolver gran cantidad de ejercicios de

varias maneras posibles, con la finalidad de ofrecer al alumno diferentes herramientas a la hora de

atacar los problemas, y de este modo que ste elija la va con la que se sienta ms cmodo y seguro.

Espero y deseo que este libro os sirva de ayuda no slo a la hora de preparar la asignatura sino

tambin a la hora de preparar vuestra temida Prueba de Acceso a Estudios de Grado de un modo

ms ptimo y eficiente.

iii

iv

En ocasiones el lector encontrar que dentro de un mismo problema intervienen varias temti-

cas. En ese caso, para clasificarlo he atendido (bajo un criterio subjetivo propio) a que temticas

tienen ms peso dentro del ejercicio en su totalidad, no slo en peso de correccin, sino tambin en

importancia para su resolucin y as posibilitar poder continuar el ejercicio adelante.

Quiero agradecer la colaboracin prestada por mi compaeros y compaeras del Grupo de Inno-

vacin Educativa Pensamiento Matemtico de la Universidad Politcnica de Madrid, del que tengo

el honor y orgullo de formar parte, en especial a Maril Lpez mi editora personal. Todos ellos

me ayudan cada da a perseguir un sueo, proponerme nuevos objetivos personales, y a comprender

que esto de la docencia es una profesin tan vocacional que, a pesar de todos los sinsabores, merece

la pena dedicarse.

cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010

vA mi mujer Esther,

y a mi hijo Nam.

Sois la razn de toda mi vida y mi trabajo.

A mis padres.

Por haber hecho de m, el hombre que hoy soy.

Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios

Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010

cJos Manuel Snchez Muoz

ndice general

1. lgebra 1

1.1. Matrices y Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Junio 2000 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Septiembre 2000 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2





















1.2. Programacin Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13



1.2.3. Junio 2001 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4. Septiembre 2001 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17










vii

viii NDICE GENERAL










1.3. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42























2. Anlisis 65

2.1. Funciones, Continuidad y Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65













2.1.13. Junio 2006- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1.14. Septiembre 2006- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


NDICE GENERAL ix







2.1.21. Junio 2010- Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


2.2. Derivadas y sus Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85






















2.3. Integrales y sus Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


3. Estadstica y Probabilidad 103

3.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


















x NDICE GENERAL





























3.2. Estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127





















NDICE GENERAL xi






A. Tablas de Integracin 143

B. Tabla de Distribucin Normal (0,1) 151




Captulo 1

lgebra

1.1. Matrices y Determinantes

1.1.1. Dadas las matrices A =

1 2 11 0 1

2 1 0

, B =

(2 11 2

)y C =

5 2

3 0

7 2

.

Se pide:

1o) Calcular la matriz inversa de A y la matriz inversa de B.

2o) Hallar una matriz X tal que A X B = C.

(Junio 2000 - Bloque 2 - Repertorio A)

- Solucin:

1o) Veamos la matriz inversa de A:

|A| =

1 2 11 0 1

2 1 0

= 4 1 1 = 2; AT =

1 1 2

2 0 1

1 1 0

; Adj AT =

1 1 22 2 21 3 2

A1 = Adj AT

|A| =1

2

1 1 22 2 21 3 2

Veamos ahora la matriz inversa de B:

|B| = 2 11 2

= 4 1 = 3; BT =(

2 11 2

); Adj BT =

(2 1

1 2

)

B1 = Adj BT

|B| =1

3

(2 1

1 2

)

Otra manera de hallar la matriz inversa es mediante la aplicacin del Mtodo de Gauss, que

consiste en llevar a cabo cambios en las filas de la matriz original y de la matriz identidad, hasta

obtener de forma correspondiente la matriz identidad y la matriz inversa, es decir:

(A|I) (...) (I|A1)

1

2 1. lgebra

De este modo veamos como obtenemos A1:

(A|I) =

1 2 1 1 0 01 0 1 0 1 0

2 1 0 0 0 1

F2 F1

F3 F2

1 0 1 0 1 0

2 1 0 0 0 1

1 2 1 1 0 0

F3 2F2

1 0 1 0 1 0

2 1 0 0 0 1

3 0 1 1 0 2

F1 + F3

2 0 0 1 1 22 1 0 0 0 1

3 0 1 1 0 2

F2 + F1

2 0 0 1 1 20 1 0 1 1 13 0 1 1 0 2

F3 3

2F1

2 0 0 1 1 20 1 0 1 1 10 0 1 1

2 3

21

F1 (2)F3 (1)

1 0 0 12

12

1

0 1 0 1 1 10 0 1 1

2

3

21

= (I|A1)

Igualmente para B1:

(B|I) =(

2 1 1 01 2 0 1

) F2 + 1

2F1

(2 1 1 00 3

2

1

21

) F1 + 2

3F2

(

2 0 43

2

3

0 32

1

21

){

F1 2F2 3

2

}(

1 0 23

1

3

0 1 13

2

3

)= (I|B1)

2o) Si resolvemos la ecuacin matricial resulta X = A1 C B1.

X =1

2

1 1 22 2 21 3 2

5 2

3 0

7 2

1

3

(2 1

1 2

)=

1 12 3

1 2

1.1.2. Dadas las matricesA =

1 1 11 2 1

0 1 2

,B =

1 2 2

1 1 1

2 0 2

y C =

0 0 4

2 8 64 2 0

.

Calcular una matriz X tal que X A = 2B + C.

(Septiembre 2000 - Bloque 3 - Repertorio A)

- Solucin:

Si resolvemos la ecuacin matricial resulta X = (2B + C) A1.

A1 =Adj AT

|A| =1

6

3 3 32 2 01 1 3

X =

2

1 2 2

1 1 1

2 0 2

+

0 0 4

2 8 64 2 0

1

6

3 3 32 2 01 1 3

=

1 1 3

2 2 00 0 2


1.1. Matrices y Determinantes 3

1.1.3. Determina una matriz X tal que A+ 2 X B = C, siendo

A =

(1 2 10 3 1

); B =

1 1 12 0 1

1 1 1

; C =

(1 2 3

8 1 1

)


- Solucin:

Si resolvemos la ecuacin matricial, resulta X = 12(C A) B1.

B1 =Adj BT

|B| =1

4

1 2 13 2 12 0 2

X =1

2

((1 2 3

8 1 1

)(1 2 10 3 1

)) 14

1 2 13 2 12 0 2

=

(1 1 10 1 2

)

1.1.4. Los precios, en euros, de las entradas a un parque temtico para Adultos

(AD) y Nios y Jubilados (NJ) en Temporada Alta (TA), Temporada Media

(TM) y Temporada Baja (TB) vienen dados por la matriz P . El nmero de

asistentes, en miles, a dicho parque a lo largo de un ao viene dado por la

matriz N .

P =

(AD TA AD TM AD TBNJ TA NJ TM NJ TB

)=

(25 20 14

20 15 7

);

N =

TA AD TANJTM AD TM NJTB AD TB NJ

=

500 600

350 300

125 100

;

Se pide:

a) Obtener, si es posible, las matrices R1 = P N y R2 = N P .b) A cuntos euros asciende la recaudacin total correspondiente a los nios

y jubilados? Y la correspondiente a la Temporada Baja?.

c) Qu elemento de R1 o de R2 nos proporciona informacin sobre la recau-

dacin total correspondiente a los adultos?.

d) A cuntos euros asciende la recaudacin total?


- Solucin:

a)

R1 =

(25 20 14

20 15 7

)

500 600

350 300

125 100

=

(21250 22400

16125 17200

)

R2 =

500 600

350 300

125 100

(25 20 14

20 15 7

)=

24500 19000 11200

14750 11500 700

5125 4000 2450




4 1. lgebra

b) La recaudacin total de nios y jubilados corresponde al elemento r22 de la matriz R1, es

decir 20 600 + 15 300 + 7 100 = 17200 euros.La recaudacin correspondiente a Nios y Jubilados en Temporada Baja es 7 100 = 700 euros.La recaudacin correspondiente a la Temporada Baja, en total, es el elemento r33 de la matriz

R2. Asciende a 125 14 + 100 7 = 2450 euros.c) El elemento r11 de la matriz R1 nos proporciona informacin sobre la recaudacin total

correspondiente a los adultos que asciende por lo tanto a 21250 euros.

d) La recaudacin total es 21250+17200=38450 euros (que resulta de la suma total de la de

Adultos y la de Nios y Jubilados).

Tambin se podra haber obtenido sumando la recaudacin por temporadas: TA+TM +TB =

24500 + 11500 + 2450 = 38450.

En ambos casos es la suma de los elementos de la diagonal principal de las matrices R1 o R2,

respectivamente.

1.1.5. En una clnica dental colocan tres tipos de prtesis, P1, P2 y P3, en dos modelos

diferentes, M1 y M2. El nmero de prtesis que tienen ya construidas viene

dado en la matriz A. El precio, en euros, de cada prtesis viene dado en la

matriz B.

P =

P1 M1 P1 M2P2 M1 P2 M2P3 M1 P3 M2

=

11 21

16 12

9 14

;

N =

(M1 P1 M1 P2 M1 P3M2 P1 M2 P2 M2 P3

)=

(150 160 240

210 190 220

);

a) Obtener, si es posible, las matrices C = A B y D = B A.b) Qu informacin proporcionan los elementos c12 de la matriz C y el

elemento d22 de D?.

c) Qu elemento de C o de D proporciona el valor total de todas las prtesis

del tipo P2?.


- Solucin:

a) Veamos las matrices C y D.

C = A B =

11 21

16 12

9 14

(150 160 240

210 190 220

)=

6060 5750 7260

4920 4840 6480

4290 4100 5240

D = B A =(150 160 240

210 190 220

)

11 21

16 12

9 14

=

(6370 8430

7330 9770

)

b)El elemento c12 = 11 160+ 21 190 = 5750 no proporciona ninguna informacin vlida, puesmultiplica el nmero de prtesis P1 con los precios de las prtesis P2.

Sin embargo el elemento d22 = 210 21+190 12+220 14 = 9770 nos da el precio de las prtesisP1, P2 y P3 del modelo M2.

c) El elemento c22 = 16 160+ 14 190 = 4840 nos da el precio de todas las prtesis del tipo P2.



1.1.6. Dadas las matrices:

A =

(1 4

2 3

); B =

(1 0

1 1

); C =

(2 0

4 1

)

Calcular una matriz X que verifique AX = BX + C.


- Solucin:

Lo primero que hacemos es resolver la ecuacin matricial dada.

BX AX = C X(B A) = C X = C(B A)1

X = (2 0

4 1

)(

0 41 2

)1=

(2 04 1

)(

1

21

14

0

)=

(1 2 7

44

)


A =

2 0 10 2 1

1 1 1

; B =

2 1

0 1

0 2

; C =

0 0

1 0

0 0

1) Hallar la matriz inversa de A.

2) Resuelve la ecuacin matricial A X B = C.3) Calcular la matriz X.


- Solucin:

1) Veamos la inversa de A.

|A| =

2 0 10 2 1

1 1 1

= 4 + 2 2 = 4 AT =

2 0 1

0 2 1

1 1 1

Adj AT =

1 1 21 3 22 2 4

A1 =Adj AT

|A| =1

4

1 1 21 3 22 2 4

Otro mtodo para hallar la matriz inversa es aplicando el Mtodo de Gauss, que consiste en

realizar cambios por filas en la matriz y en la identidad hasta obtener de forma correspondiente la

matriz identidad y la matriz inversa a la dada, es decir:

(A|I) (...) (I|A1)

De este modo veamos como obtenemos A1:

(A|I) =

2 0 1 1 0 00 2 1 0 1 0

1 1 1 0 0 1

F3 F1

2 F2

2

2 0 1 1 0 00 2 1 0 1 0

0 0 1 12

12

1




6 1. lgebra

F2 F3F1 + F3

2 0 0 12

12

1

0 2 0 12

3

21

0 0 1 12

12

1

F1 2

F2 2

1 0 0 14

14

1

2

0 1 0 14

3

4 1

2

0 0 1 12

12

1

= (I|A1)

2) Despejamos X de la ecuacin matricial, teniendo siempre la precaucin de ver que el producto

de matrices no es conmutativo, resultando X = A1 (C +B).

X =1

4

1 1 21 3 22 2 4

2 1

1 1

0 2

= 1

4

1 4

5 0

6 4

3) Como podemos observar la matriz X no es una matriz cuadrada, luego no tiene determinante

y por lo tanto es imposible que tenga inversa.


A =

1 0 1

0 1 0

1 2 2

; B =

1 1 23 3 34 5 5

1) Hallar la matriz inversa de A.

2) Resuelve la ecuacin matricial X A = A+B.3) Calcular la matriz X.


- Solucin:

1) Veamos la inversa de A.

|A| =

1 0 1

0 1 0

1 2 2

= 3 AT =

1 0 10 1 11 0 2

Adj AT =

2 2 10 3 0

1 2 1

A1 =Adj AT

|A| =1

3

2 2 10 3 0

1 2 1

2) Despejamos X de la ecuacin matricial, teniendo siempre la precaucin de ver que el producto

de matrices no es conmutativo, resultando X = (A+B) A1.3)

X =

0 1 33 2 33 4 3

1

3

2 2 10 3 0

1 2 1

=

1 1 1

1 2 21 0 2



1.1.9. 1) Resuelve la ecuacin matricial X A+ AT = X B, siendo AT la matriztranspuesta de A.

2) Hallar la matriz X sabiendo que

A =

1 0 0

0 1 1

1 0 1

; B =

3

20 1

1

21 1

32

1 1


- Solucin:

1) X AX B = AT X (AB) = AT X = AT (AB)12)

X =

1 0 10 1 00 1 1

1

20 1

12

0 01

21 0

1

=

1 0 10 1 00 1 1

0 2 00 1 11 1 0

=

1 1 0

0 1 1

1 1 0

1.1.10. 1) Resuelve la ecuacin matricial X A+X AT = C, siendo AT la matriztranspuesta de A.

2) Hallar la matriz X sabiendo que

A =

1 1 00 1 2

1 1 0

; C =

(0 1 13 0 1

)


- Solucin:

1) X (A+AT ) = C X = C (A+AT )12)

A+AT =

1 1 00 1 2

1 1 0

+

1 0 11 1 10 2 0

=

2 1 11 2 11 1 0

(A+AT )1 = 1

2

1 1 11 1 1

1 1 3

X =

(0 1 13 0 1

) 12

1 1 11 1 1

1 1 3

=

(1 0 2

2 1 0

)

1.1.11. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin A X A = I A X.2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

1 1 0

0 1 2

1 0 1

; I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1





8 1. lgebra

- Solucin:

1)

2A X = I +A A X = I +A2

X = A1 I +A2

2)

I +A

2=

1

2

2 1 0

0 2 2

1 0 2

; A1 = 1

3

1 1 22 1 21 1 1

X =1

3

1 1 22 1 21 1 1

1

2

2 1 0

0 2 2

1 0 2

= 1

6

4 1 22 4 21 1 4

1.1.12. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin A X + A1 X = I siendo A1 lamatriz inversa de A.

2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

1 0 1

0 1 1

0 1 0

; I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


- Solucin:

1) (A+A1) X = I X = (A+A1)1 I X = (A+A1)1.2)

A1 =Adj AT

|A| =

1 1 10 0 1

0 1 1

; A+A1 =

2 1 20 1 2

0 2 1

X = (A+A1)1 =1

10

5 3 40 2 4

0 4 2

1.1.13. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin A X X = B X + C.2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

1 1 0

1 0 1

1 1 1

; B =

2 0 0

1 1 20 0 1

; C =

2 2 02 4 31 2 3


- Solucin:

1) (A I B) X = C X = (A I B)1 C.2)

A I B =

2 1 02 2 11 1 1

(A I B)1 = 1

5

3 1 11 2 24 3 2



X =1

5

3 1 11 2 24 3 2

2 2 02 4 31 2 3

=

1 0 0

0 2 0

0 0 3

1.1.14. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin X A2 B = X.2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

1 1 0

0 1 11 1 1

; B =

0 2 11 1 31 2 4

;


- Solucin:

1) X (A2 I) = B X = B (A2 I)1.2)

A2 = A A =

1 1 0

0 1 11 1 1

1 1 0

0 1 11 1 1

=

1 2 11 0 22 1 0

; A2 I =

0 2 11 1 22 1 1

(A2 I)1 = 19

2 1 44 2 11 5 2

; X =

0 2 11 1 31 2 4

1

9

2 1 44 2 11 5 2

= 1

9

7 1 4

3 12 3

2 17 14

1.1.15. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin 2X A X = C B X.2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

2 1 0

1 2 1

1 1 2

; B =

1 1 0

0 1 0

1 2 1

; C =

0 0 1

1 1 21 3 3


- Solucin:

1) (2I A+B) X = C X = (2I A+B)1 C.2)

2I A+B =

1 0 0

1 1 12 1 1

; (2I A+ B)1 = 1

2

2 0 0

1 1 13 1 1

X =1

2

2 0 0

1 1 13 1 1

0 0 1

1 1 21 3 3

=

0 0 1

1 1 0

0 2 1




10 1. lgebra

1.1.16. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin X1 A+A = B.2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

1 0 10 1 0

0 0 1

; B =

1 1 0

0 1 1

1 0 1

;


- Solucin:

1) X1 = (B A) A1 X = (B A)1 A.2)

B A =

1 1 0

0 1 1

1 0 1

1 0 10 1 0

0 0 1

=

0 1 1

0 0 1

1 0 0

(B A)1 =

0 0 1

1 1 00 1 0

X =

0 0 1

1 1 00 1 0

1 0 10 1 0

0 0 1

=

0 0 1

1 1 10 1 0

1.1.17. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin 2X B = A X.2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

1 0 1

2 1 0

1 3 1

; B =

1 23 34 3

;


- Solucin:

1) (2I A) X = B X = (2I A)1 B.2)

2I A =

1 0 12 1 01 3 1

; (2I A)1 = 1

4

1 3 1

2 2 2

5 3 1

X = 14

1 3 1

2 2 2

5 3 1

1 23 34 3

=

1 11 10 1

1.1.18. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin X AX = B.2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

1 1 20 1 3

1 1 1

; B =

(0 1 81 2 10

);




- Solucin:

1) X (A I) = B X = B (A I)1.2)

A I =

0 1 20 0 3

1 1 2

; (A I)1 = 1

3

3 0 33 2 00 1 0

X =

(0 1 81 2 10

) 13

3 0 33 2 00 1 0

=

(1 2 0

1 2 1

)

1.1.19. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin 2X + A X = I.2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

1 0 1

0 0 2

1 1 1

; I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

;


- Solucin:

1) (2I +A) X = I X = (2I + A)1 I = (2I +A)1.2)

2I +A =

3 0 1

0 2 2

1 1 1

; X = (2I +A)1 = 1

2

0 1 22 2 61 3 6

1.1.20. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin A2 + A X = B.2) Halla la matriz X sabiendo que

A =

1 1 0

0 1 1

1 0 1

; B =

0 2 0

1 0 0

1 0 0

;


- Solucin:

1) A X = B A2 X = A1 (B A2).2)

A1 =1

2

1 1 11 1 11 1 1

; B A2 =

0 2 0

1 0 0

1 0 0

1 2 1

1 1 2

2 1 1

=

1 0 10 1 21 1 1

X =1

2

1 1 11 1 11 1 1

1 0 10 1 21 1 1

=

1 0 00 0 10 1 1




12 1. lgebra

1.1.21. Dada la ecuacin matricial 3 X A X = B 2 A X, se pide:a) Resuelve matricialmente la ecuacin. (0,75 puntos)

b) Si A =

(2 1

1 2

)y B =

(3 4 59 4 1

), calcula la matriz X. (1,75 puntos)


- Solucin:

a) (3I +A) X = B X = (3I +A)1 B.b)

3I +A =

(5 1

1 5

); (3I +A)1 =

1

24

(5 11 5

)

X =1

24

(5 11 5

)(

3 4 59 4 1

)=

(1 1 12 1 0

)

1.1.22. Dada la ecuacin matricial I +A X A2 X = B, se pide:a) Resuelve matricialmente la ecuacin. (0,75 puntos)

b) Si A =

(1 2

1 1

), calcula la matriz AA2. (0,5 puntos)

c) Siendo A la matriz anterior, B =

(3 47 11

), e I =

(1 0

0 1

), calcula la

matriz X. (1,25 puntos)


- Solucin:

a) (AA2) X = B I X = (AA2)1 (B I).b)

AA2 =(

1 2

1 1

)(

1 2

1 1

)(

1 2

1 1

)=

(2 21 2

)

c)

X =

(2 21 2

)1(4 47 10

)=

1

3

(1 1

1 1

)(4 47 10

)=

(1 2

3 4

)


1.2. Programacin Lineal 13

1.2. Programacin Lineal

1.2.1. Las 18 chicas y los 24 chicos de 2o de Bachillerato de un centro docente

organizan un viaje. Para financiarlo deciden trabajar por las tardes en una

empresa encuestadora que contrata equipos de dos tipos:

- Tipo A: Dos chicas y cuatro chicos.

- Tipo B: Tres chicas y tres chicos.

La empresa abona por una tarde de trabajo 3000 ptas al equipo del tipo A y

5000 ptas al equipo del tipo B.

Se pide:

1. Dibujar la regin factible.

2. Como les conviene distribuirse para obtener la mayor cantidad posible de

dinero?

3. Si la empresa abonara por una tarde de trabajo 4000 ptas al equipo del

tipo A y 4000 ptas al equipo del tipo B, cmo les convendra entonces hacer

la distribucin?


- Solucin:

1. Nos encontramos frente a un problema de Programacin Lineal.

Planteamiento:

Equipos Chicas Chicos Dinero

Tipo A x 2x 4x 3000x

Tipo B y 3y 3y 5000y

Personas 18 24

Restricciones:

2x+ 3y 18; 4x+ 3y 24; x 0; y 0Regin Factible:

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 71

Regin Factible

2x+ 3y = 18

4x+ 3y = 24b

A

b

B

b

Cb

O




14 1. lgebra

2. Para la resolucin de este apartado, el objetivo es maximizar los ingresos:

D(x, y) = 3000x+ 5000y

El mximo de la funcin objetivo se encuentra en alguno de los vrtices de la regin factible.

Estos vrtices son O(0, 0), A(0, 6), B(interseccin de las rectas 2x+3y = 18 y 4x+3y = 24) y

C(6, 0). Para obtener las coordenadas del punto B, basta resolver el sistema de dos ecuaciones

con dos incgnitas y obtenemos las coordenadas (3,4).

Para ver en donde se maximizan los ingresos basta sustituir estas coordenadas en la funcin

objetivo D(x, y).

O(0, 0) D(0, 0) = 0.A(0, 6) D(0, 6) = 3000 0 + 5000 6 = 30000 ptas.B(3, 4) D(3, 4) = 3000 3 + 5000 4 = 29000 ptas.C(6, 0) D(6, 0) = 3000 6 + 5000 0 = 18000 ptas.Por lo tanto se maximizan los beneficios en el punto A, es decir formando 6 equipos del Tipo

B.

3. En este apartado, la funcin objetivo ser D(x, y) = 4000x+ 4000y.

Veamos donde se produce el mximo:

O(0, 0) D(0, 0) = 0.A(0, 6) D(0, 6) = 4000 0 + 4000 6 = 24000 ptas.B(3, 4) D(3, 4) = 4000 3 + 4000 4 = 28000 ptas.C(6, 0) D(6, 0) = 4000 6 + 4000 0 = 24000 ptas.Por lo tanto el mximo se alcanza en el punto B, es decir con una configuracin de 3 equipos

del Tipo A, y 4 equipos del Tipo B.

1.2.2. Una fbrica envasa al da durante la campaa de Navidad 180 kg de turrn.

Produce tabletas medianas y grandes de peso neto 200 g y 300 g, respecti-

vamente. Se deben fabricar un nmero de tabletas medianas no superior al

triple de tabletas grandes. El beneficio es de 110 ptas por tableta mediana y

150 ptas por tableta grande.

Se pide:

1. Representar la regin factible.

2. Cuntas tabletas de cada clase deben producirse al da para que el bene-

ficio sea mximo?


- Solucin:

1. Vemos que la Funcin Objetivo es D(x, y) = 110x + 150y, que deberemos maximizar en los

vrtices de la Regin Factible.

Tenemos una serie de restricciones:

0, 2x+ 0, 3y = 180; x 3y; x 0; y 0



Debemos considerar la primera restriccin como una igualdad, ya que el enunciado indica que

se envasan 180 kg, no ms de 180 kg, ni menos de 180 kg.

La regin factible est formada por los puntos del segmento AB representado en la siguiente

figura.

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900

0, 2x+ 0, 3y = 180x 3y = 0

b

A

b

B

Los extremos del segmento son los puntos A(0, 600) y B (interseccin de las rectas 0, 2x +

0, 3y = 180 y x = 3y). Para obtener las coordenadas de B, basta resolver el sistema de dos

ecuaciones con dos incgnitas, y obtenemos B(600, 200).

2. El mximo beneficio se da en alguno de los extremos del segmento AB. Veamos en que punto

se produce:

A(0, 600) D(0, 600) = 110 0 + 150 600 = 90000 ptas.B(600, 200) D(3, 4) = 110 600 + 150 200 = 96000 ptas.Por lo tanto el mximo beneficio se produce en el punto que equivale a una produccin de 600

tabletas medianas y 200 grandes.

1.2.3. Una tienda de golosinas dispone de dos tipos de bolsas para cumpleaos con

el siguiente contenido:

- Tipo I: 2 chicles, 3 piruletas, 8 caramelos y 1 bolsa de patatas fritas.

- Tipo II: 4 chicles, 4 piruletas, 5 caramelos y 2 bolsas de patatas fritas.

En un determinado da, el nmero de chicles de que dispone la tienda para

envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades y el nmero

de piruletas no puede superar las 300 unidades. Adems, por problemas de

envase, el nmero de bolsas del Tipo II no puede ser superior a 40.

El beneficio por venta es: 150 pesetas por cada bolsa del Tipo I y 225 por

cada bolsa del Tipo II.

Halla el nmero de bolsas de cada tipo que deberan venderse en ese da para

que el beneficio obtenido sea el mayor posible.

(Junio 2001 - Bloque 2 - Repertorio B)

- Solucin:

Con los datos especificados en el enuncido formamos la siguiente tabla:




16 1. lgebra

Bolsas Chicle Piruletas Caramelos Patatas f. Beneficios

Tipo I x 2x 3x 8x x 150x

Tipo II y 4y 4y 5y 2y 225y

Disponible 240 300

Nuestro objetivo por lo tanto deber ser maximizar los beneficios expresados por la funcin:

F (x, y) = 150x+ 225y

.

Tenemos las siguiente restricciones:

2x+ 4y 240; 3x+ 4y 300; y 40; x 0; y 0Estas restricciones generan la regin factible especificada en la siguiente figura.

20

40

60

20 40 60 80 100

Regin Factible 2x+ 4y = 240

3x+ 4y = 300

y = 40b

Ab

B

b

C

b

Db

O

Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible. Por

lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A(0, 40), B de coordenadas la solucin del

sistema de ecuaciones x + 2y = 120 e y = 40, es decir B(40, 40), C de coordenadas la solucin del

sistema de ecuaciones x+ 2y = 120 y 3x+ 4y = 300, es decir C(60, 30), D(100, 0) y O(0, 0).

Sustituyendo las coordenadas de los puntos anteriores en la funcin objetivo obtenemos los

beneficios mximos posibles.

O(0, 0) F (0, 0) = 150 0 + 225 0 = 0 ptas.A(0, 40) F (0, 40) = 150 0 + 225 40 = 9000 ptas.B(40, 40) F (40, 40) = 150 40 + 225 40 = 15000 ptas.C(60, 30) F (60, 30) = 150 60 + 225 30 = 15750 ptas.D(100, 0) F (100, 0) = 150 100 + 225 0 = 15000 ptas.Por lo tanto el beneficio obtenido es mximo si se venden 60 bolsas de Tipo I y 30 del Tipo II.



1.2.4. Un Ciber-caf realiza dos ofertas entre sus clientes habituales:

- Oferta I: 1 refresco, 3 bizcochos y 20 minutos de conexin a Internet.

- Oferta II: 1 refresco, 2 bizcochos y 30 minutos de conexin a Internet.

Las caractersticas del local limitan a 50 horas diarias el tiempo mximo de

conexin a Internet. Al no disponer de almacn, slo se puede acumular un

mximo de 100 refrescos y 240 bizcochos. Un cliente que opte por la Oferta

I produce un beneficio de 500 pesetas y si opta por la Oferta II, el beneficio

es de 450 pesetas.

Halla el nmero de clientes que deberan elegir cada una de las ofertas para

que el beneficio total fuese lo mayor posible.

(Septiembre 2001 - Bloque 1 - Repertorio B)

- Solucin:


Cantidad Refrescos Bizcochos Tiempo-Net Beneficio

Oferta I x x 3x 20x 500x

Oferta II y y 2y 30y 450y

Disponibilidades 100 240 5060=3000

Deseamos maximizar los beneficios, es decir maximizar la funcin objetivo:

F (x, y) = 500x+ 450y

Tenemos las siguientes restricciones:

x+ y 100; 3x+ 2y 240; 20x+ 30y 3000; x 0; y 0Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.

20

40

60

80

100

20 40 60 80 100

Regin Factible x+ y = 100

3x+ 2y = 240

20x+ 30y = 3000

b

A

b

B

b

Cb

O




18 1. lgebra



sistema de ecuaciones x+ y = 100 y 3x+ 2y = 2400, es decir B(40, 60), y C(80, 0) .



O(0, 0) F (0, 0) = 500 0 + 450 0 = 0 ptas.A(0, 100) F (0, 100) = 500 0 + 450 100 = 45000 ptas.B(40, 60) F (40, 60) = 500 40 + 450 60 = 47000 ptas.C(80, 0) F (80, 0) = 500 80 + 450 0 = 40000 ptas.Por lo tanto, el mximo beneficio se obtiene cuando se eligen 40 ofertas de Tipo I y 60 del Tipo

II.

1.2.5. En el ltimo Saln Internacional del automvil celebrado en Espaa, un pe-

queo fabricante present sus modelos Caaper (precio por unidad: 16.000

euros) y Ena (precio por unidad: 15.000 euros). El coste de produccin por

unidad es, respectivamente, 10.400 y 9.750 euros. Para la fabricacin de una

unidad del primer modelo se necesitan 3 m2 de un determinado producto

textil y 7,5 kg de pintura especial, mientras que para la fabricacin de una

unidad del segundo modelo se necesitan 4 m2 de producto textil y 7 kg de

pintura. Mensualmente existen en el almacn 96 m2 de producto textil y 195

kg de pintura.

a) Representa la regin factible.

b) Halla cuntas unidades de cada modelo interesa fabricar mensualmente

para que las ventas de las mismas produzcan el mximo beneficio.

c) Calcula dicho beneficio.


- Solucin:


Modelo Cantidad Prod. Textil Pintura Beneficio

Caaper x 3x 7, 5x 5600x

Ena y 4y 7y 5250y

Existencias 96 195

Deseamos maximizar los beneficios, es decir maximizar la funcin objetivo:

F (x, y) = (16000 10400)x+ (15000 9750)y = 5600x+ 5250y


3x+ 4y 96; 7, 5x+ 7y 195; x 0; y 0Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.



5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

Regin Factible

3x+ 4y = 96

7, 5x+ 7y = 195bA

b

B

b

Cb

O



sistema de ecuaciones 3x+ 4y = 96 y 7, 5x+ 7y = 195, es decir B(12, 15), y C(26, 0) .



O(0, 0) F (0, 0) = 5600 0 + 5250 0 = 0 euros.A(0, 24) F (0, 24) = 5600 0 + 5250 24 = 126000 euros.B(12, 15) F (12, 15) = 5600 12 + 5250 15 = 145950 euros.C(26, 0) F (26, 0) = 5600 26 + 5250 0 = 145600 euros.Por lo tanto, el mximo beneficio se obtiene cuando se fabrican 12 automviles del modelo

Caaper y 15 del modelo Ena.

1.2.6. Un fabricante de llaveros decide aplicar durante un da los siguientes criterios

para la produccin y venta de sus artculos: El doble del nmero de llaveros

dorados (x) fabricados debe ser mayor o igual que el nmero de llaveros pla-

teados (y). En cambio, si este ltimo nmero se aumentase en 30, la cantidad

obtenida sera mayor que el doble del nmero de llaveros dorados. El nmero

de llaveros plateados no puede ser mayor de 40. La venta de un llavero dorado

da un beneficio de 0,8 euros y la de uno plateado 0,65 euros.


b) Halla los valores de x e y para que el beneficio sea el mayor posible.

c) Calcula el benfico mximo.


- Solucin:

Este problema se resuelve mediante programacin lineal. Antes de nada veamos las restricciones

de nuestro problema especificadas en el enunciado. Tenemos: 2x y 2x y 0; y + 30 2x2x y 30; y 40; x 0; y 0;

La funcin objetivo a maximizar ser F (x, y) = 0, 8x+ 0, 65y.

Estas restricciones generan la regin sombreada en la siguiente figura:




20 1. lgebra

5

10

15

20

25

30

35

40

5 10 15 20 25 30 35

Regin Factible

y = 2x

2x y = 30

y = 40

b

O

b

Bb

C

b

D


lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A de coordenadas la solucin del sistema de

ecuaciones y = 40 y 2x y = 0, es decir A(20, 40), B de coordenadas la solucin del sistema deecuaciones y = 40 y 2x y = 30, es decir B(35, 40), y C(15, 0) .



O(0, 0) F (0, 0) = 0, 8 0 + 0, 65 0 = 0 euros.A(20, 40) F (20, 40) = 0, 8 20 + 0, 65 40 = 42 euros.B(35, 40) F (35, 40) = 0, 8 35 + 0, 65 40 = 54 euros.C(15, 0) F (15, 0) = 0, 8 15 + 0, 65 0 = 12 euros.Por lo tanto, el mximo beneficio se obtiene cuando se fabrican 35 llaveros dorados y 40 plateados.



1.2.7. Una empresa de productos de papelera dispone de 270 metros cuadrados de

cartn y de 432 metros de cinta de goma para la fabricacin de dos tipos

de carpetas: tamao folio y tamao cuartilla. Para una del primer tipo se

necesitan 0,20 metros cuadrados de cartn y 30 centmetros de cinta de goma

y se vende a 1,40 euros la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se

necesitan 0,15 metros cuadrados de cartn y 27 centmetros de cinta de goma

y se vende a 1,10 euros la unidad.


b) Cuntas carpetas de cada tipo interesa fabricar para que el beneficio que

se obtiene con su venta sea lo ms grande posible?

c) Calcula ese beneficio mximo.


- Solucin:

a) Con los datos especificados en el enuncido formamos la siguiente tabla:

Carpeta Cantidad Cartn Goma Beneficio*

T.Folio x 0, 20x 0, 30x 1, 40x

T.Cuartilla y 0, 15y 0, 27y 1, 10y

Existencias 270 m2 432 m

Deseamos maximizar los beneficios, es decir maximizar la funcin objetivo F (x, y) = 1, 40x +

1, 10y. Tenemos las siguientes restricciones:

0, 20x+ 0, 15y 270; 0, 30x+ 0, 27y 432; x 0; y 0;Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

200 400 600 800 1000 1200 1400

Regin Factible

0, 2x+ 0, 15y = 270

0, 3x+ 0, 27y = 432

b

A

b

B

b

Cb

O

b) Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible, cuyas

coordenadas son A(0, 1400), B de coordenadas la solucin del sistema de ecuaciones 0, 20x+0, 15y =

270 y 0, 30x+ 0, 27y = 432, es decir B(900, 60), y C(1350, 0) .

Para determinar en qu vrtice se da el mximo puede recurrirse al trazado de las rectas de

nivel, cuya ecuacin es 1, 40x+ 1, 10y = k.




22 1. lgebra

Si trazamos una cualquiera de ellas, por ejemplo, 1, 40x+ 1, 10y = 1000 y se traslada hacia la

derecha (as aumenta su nivel, en el sentido del vector (1,40, 1,10), el ltimo punto de contacto de

la regin factible con esas rectas da el mximo de la funcin objetivo.

En este caso, y como puede observarse en la figura, ese punto es B. Por tanto, habr que fabricar

900 carpetas de tamao folio y 600 de tamao cuartilla.

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

200 400 600 800 1000 1200 1400

aumenta

0, 2x+ 0, 15y = 270

0, 3x+ 0, 27y = 432

1, 4x+ 1, 1y = 1000

b

A

b

B

b

Cb

O

c) El beneficio en cada uno de los vrtices se obtiene evaluando la funcin objetivo en cada uno

de ellos; as se obtiene:

O(0, 0) F (0, 0) = 1, 40 0 + 1, 10 0 = 0 euros.A(0, 1600) F (0, 1600) = 1, 40 0 + 1, 10 1600 = 1760 euros.B(900, 600) F (900, 600) = 1, 40 900 + 1, 10 600 = 1920 euros.C(1350, 0) F (1350, 0) = 1, 40 1350 + 1, 10 0 = 1890 euros.Por lo tanto, el mximo beneficio es de 1920 euros y se consigue fabricando 900 carpetas de

tamao folio y 600 de tamao cuartilla.



1.2.8. Una fbrica de mesas de jardn est especializada en dos modelos: ovalado y

octogonal. Para la fabricacin de una mesa del primer tipo se necesita 1 hora

de trabajo y 2 kilos de material plstico. Para la fabricacin de una mesa del

segundo tipo se necesitan 3 horas de trabajo y 3 kilos de material plstico.

Diariamente la fbrica dispone de obreros para realizar como mximo 36

horas de trabajo y de un mximo de 60 kilos de material plstico. Adems,

el nmero de mesas ovaladas no puede ser menor de 9 unidades. Por la venta

de una mesa del primer tipo se obtiene 19 euros y por una del segundo tipo,

30 euros.


b) Halla cuntas mesas de cada tipo deben fabricarse diariamente para que

con su venta se obtenga un beneficio mximo.



- Solucin:


No. Mesas Horas kg Plstico Beneficio

M.Ovaladas x x 2x 19x

M. Octogonales y 3y 3y 30y

Disponibilidades 36 60

Deseamos maximizar los beneficios, es decir maximizar la funcin objetivo B(x, y) = 19x+30y.


x+ 3y 36; 2x+ 3y 60; x 9; x 9; y 0;Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.

5

10

15

5 10 15 20 25 30

Regin Factible

x+ 3y = 36

2x+ 3y = 60

x = 9

b

A

b

B

b

C

b

D

b) Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible,

cuyas coordenadas son A(9, 0), B de coordenadas la solucin del sistema de ecuaciones x+3y = 36




24 1. lgebra

y x = 9, es decir B(9, 9), C de coordenadas la solucin del sistema de ecuaciones x + 3y = 36 y

2x+ 3y = 60, es decir C(24, 4) y D(30, 0).

El beneficio en cada uno de los vrtices se obtiene evaluando la funcin objetivo en cada uno de

ellos; as se obtiene:

A(9, 0) B(0, 0) = 19 9 + 30 0 = 171 euros.B(9, 9) B(9, 9) = 19 9 + 30 9 = 441 euros.C(24, 4) B(24, 4) = 19 24 + 30 4 = 456 euros.D(30, 0) B(30, 0) = 19 30 + 30 0 = 570 euros.Por lo tanto el beneficio mximo se obtiene para una configuracin de ventas de 30 unidades de

mesas ovaladas.

c) En este caso, el mximo beneficio es de 570 euros.

1.2.9. Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos A y B. El modelo A requie-

re, para su elaboracin, 20 cm2 de papel, 120 cm2 de lmina de madera y 1

enganche metlico. El modelo B requiere: 60 cm2 de papel, 80 cm2 de lmina

de madera y 1 enganche metlico. El coste de produccin de cada modelo es

1,20 euros el A y 1,30 euros el B. El precio de venta es de 1,80 euros cada

uno, independientemente del modelo. Teniendo en cuenta que las existencias

son de 3000 cm2 de papel, 7200 cm2 de lmina de madera y 70 enganches.


b) Determina el nmero de abanicos de cada modelo que ha de hacer para

obtener un beneficio mximo.

c) Calcula cul es ese beneficio.


- Solucin:

Con los datos especificados en el enuncido, y suponiendo que se hacen x abanicos del modelo A, e

y del modelo B, formamos la siguiente tabla:

Abanico Cantidad Papel Madera Enganches Beneficio

Modelo A x 20x 120x x 0, 60x

Modelo B y 60y 80y y 0, 50y

Existencias 3000 cm2 7200 cm2 70

La funcin objetivo a maximizar ser F (x, y) = 0, 60x+ 0, 50y.

Las restricciones del problema vienen dadas por las existencias y por la no negatividad de las

cantidades:

20x+ 60y 3000; 120x+ 80y 7200; x+ y 70; x 0; y 0;a) Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.



10

20

30

40

50

10 20 30 40 50 60

Regin Factible

20x+ 60y = 3000

120x+ 80y = 7200

x+ y = 70

b

A

b

B

b

C

b

Db

O

b) Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible.

Por lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A(0, 50), B de coordenadas la solucin

del sistema de ecuaciones 20x+ 60y = 3000 y x+ y = 70, es decir B(30, 40), C de coordenadas la

solucin del sistema de ecuaciones 120x+ 80y = 7200 y x+ y = 70, es decir C(40, 30), y D(60, 0).



O(0, 0) F (0, 0) = 0, 60 0 + 0, 50 0 = 0 euros.A(0, 50) F (0, 50) = 0, 60 0 + 0, 50 50 = 25 euros.B(30, 40) F (30, 40) = 0, 60 30 + 0, 50 40 = 38 euros.C(40, 30) F (40, 30) = 0, 60 40 + 0, 50 30 = 39 euros.D(60, 0) F (60, 0) = 0, 60 60 + 0, 50 0 = 36 euros.c) Por lo tanto, el mximo beneficio es de 39 euros y se consigue fabricando 40 abanicos del

Modelo A y 30 del Modelo B.




26 1. lgebra

1.2.10. Un concesionario de motos necesita vender diariamente entre 1 y 5 unidades

del Modelo X y ms de una unidad del Modelo Y. Por cuestiones de estra-

tegia comercial, la suma del nmero de unidades que se deben vender del

Modelo X y del doble de unidades de Y debe ser como mximo 13. Adems

la diferencia entre el nmero de unidades de Y y de X no puede ser mayor

que 2. La venta de una moto del Modelo X le reporta un beneficio de 1000

euros y la venta de una del Modelo Y, 1100 euros.


b) Determina el nmero de motos que debe vender de cada modelo para

que el beneficio sea lo ms grande posible.

c) Calcula cul es ese beneficio mximo.


- Solucin:

Con los datos especificados en el enunciado, consideramos que se venden x motos del Modelo X,

e y del Modelo Y, con las siguientes restricciones:

x+ 2y 13; y x 2; 1 x 5; y 1;La funcin objetivo a maximizar ser B(x, y) = 1000x+ 1100y.

a)Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6

Regin Factible

x+ 2y = 13x y = 2

x = 1

x = 5

y = 1b

A

b

B

b

C

b

D

b

E

b) Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible. Por

lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A(1, 1), B(1, 3), C(3, 5), D(5, 4), y E(5, 1).



A(1, 1) B(1, 1) = 1000 1 + 1100 1 = 2100 euros.B(1, 3) B(1, 3) = 1000 1 + 1100 3 = 4300 euros.C(3, 5) B(3, 5) = 1000 3 + 1100 5 = 8500 euros.D(5, 4) B(5, 4) = 1000 5 + 1100 4 = 9400 euros.E(5, 1) B(5, 1) = 1000 5 + 1100 1 = 6100 euros.



El beneficio se maximiza para una configuracin de ventas de 5 unidades del Modelo X, y 4

unidades del Modelo Y. c) Por lo tanto, en esta ltima configuracin, el mximo beneficio es de

9400 euros.

1.2.11. Un taller pirotcnico fabrica cohetes sencillos que luego vende a 2,70 euros

el paquete de 10 y cohetes de colores que vende a 3,60 el paquete de 10. Por

problemas de mecanizacin no pueden fabricar al da ms de 400 cohetes

sencillos ni ms de 300 cohetes de colores, ni ms de 500 cohetes sumando

los de las dos clases. Se supone que se vende toda la produccin.


b) Cuntos cohetes de cada clase convendr fabricar y vender para que el

beneficio sea mximo?



- Solucin:

a) La regin factible viene determinada por las restricciones, que son:

10x 400; 10y 300; 10x+ 10y 500; x 0; y 0;A continuacin representamos la regin factible que aparece sombreada en la siguiente figura.

10

20

30

10 20 30 40

Regin Factible

10x = 400

10y = 300

x+ y = 50

Rectas de Nivel2, 70x+ 3, 60y = k

b

Ab

B

b

C

b

Db

O

b) La funcin objetivo es f(x, y) = 2, 70x+ 3, 60y, que se desea maximizar.

Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Grficamente puede deter-

minarse trazando las rectas de nivel, cuya ecuacin es 2, 70x+ 3, 60y = k, donde k indica el nivel

que alcanza la funcin. El nivel aumenta cuando las rectas se desplazan paralelamente siguiendo la

direccin del vector (2,70; 3,60). El valor mximo de k se consigue en el punto B, pues es el mayor

desplazamiento que puede darse a las rectas de nivel dentro de la regin factible.

Las coordenadas de B son (20, 30). Por tanto habr que fabricar 20 paquetes sencillos y 30 de

colores: 200 cohetes sencillos y 300 de colores.

c) Los ingresos mximos sern f(20, 30) = 162 euros.




28 1. lgebra

1.2.12. Una empresa de autobuses de diversos tipos y capacidades dispone, en un

determinado da, de un mximo de 7 conductores y de 6 conductoras. Reci-

be el encargo de transportar a los 528 alumnos de un centro docente con el

fin de realizar una excursin de un da de duracin. Si un conductor maneja

un autobs de 44 plazas, entonces las conductoras deben manejar obliga-

toriamente los de 66 plazas. Por el contrario, si una conductora maneja un

autobs de 24 plazas, entonces los conductores deben manejar obligatoria-

mente los de 72 plazas. La cantidad que cobra la empresa es de 500 euros al

da por conductor, independientemente de si es hombre o mujer.


b) Determina el nmero de conductores y el nmero de conductoras para

que el beneficio empresarial sea mximo.

c) Calcula ese beneficio mximo


- Solucin:

Consideramos x como el nmero de conductores hombres, e y el de conductoras mujeres. a) La

regin factible viene determinada por las restricciones, que son:

44x+ 66y 528; 72x+ 24y 528; x 7; y 6; x 0; y 0;A continuacin representamos las regin factible que aparece sombreada en la siguiente figura.

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 71

Regin Factible

44x+ 66y = 528

72x+ 24y = 528

x = 7

y = 6b

Ab

B

b

C

b

D

b

Eb

O

b) La funcin objetivo es B(x, y) = 500x + 500y, que se desea maximizar. Como sabemos,

la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible. Por lo tanto la funcin

objetivo se maximiza en los puntos A(0, 6), B, que resulta de la interseccin de las rectas 2x+3y =

24 (44x + 66y = 528) e y = 6, es decir B(3, 6), C, que resulta de la interseccin de las rectas

2x + 3y = 24 y 3x + y = 22 (72x + 24y = 528), es decir C(6, 4), D, que resulta de la interseccin

de las rectas 3x+ y = 22 e x = 7, es decir D(7, 1), y E(7, 0) . Sustituyendo las coordenadas de los

puntos anteriores en la funcin objetivo obtenemos los beneficios mximos posibles.

O(0, 0) B(0, 0) = 500 0 + 500 0 = 0 euros.



A(0, 6) B(0, 6) = 500 0 + 500 6 = 3000 euros.B(3, 6) B(3, 6) = 500 3 + 500 6 = 4500 euros.C(6, 4) B(6, 4) = 500 6 + 500 4 = 5000 euros.D(7, 1) B(7, 1) = 500 7 + 500 1 = 4000 euros.E(7, 0) B(7, 0) = 500 7 + 500 0 = 3500 euros.Por lo tanto el mximo beneficio se consigue con una configuracin de 6 conductores hombres,

y 4 conductoras mujeres.

c) Con esta ltima configuracin el beneficio mximo es de 5000 euros.

1.2.13. En una tienda de artculos deportivos se pueden adquirir, entre otros pro-

ductos, raquetas de bdminton y raquetas de tenis. El beneficio por la venta

de cada raqueta es de 20 y 25 euros, respectivamente. Por cuestiones de

estrategia comercial, se decide vender al da, como mximo, 6 raquetas de

bdminton y 5 de tenis. Considerando que el nmero total de raquetas ven-

didas no puede ser mayor que 7.


b) Halla el nmero de raquetas que debe venderse de cada clase para que el

beneficio sea mximo.



- Solucin:

Si se venden x raquetas de bdminton e y de tenis, el objetivo es maximizar B(x, y) = 20x+25y.

Restringido por: x 6; y 5; x+ y 7; x 0; y 0;a) La regin factible es la zona sombreada en la siguiente figura.

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7

Regin Factible

x = 6

y = 5

x+ y = 7

b

Ab

B

b

C

b

Db

O

b) Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Las coordenadas de estos

vrtices son O(0, 0); A(0, 5); B(2, 5); C(6, 1); D(6, 0);

El beneficio para cada una de esas posibles ventas es:




30 1. lgebra

B(0, 0) = 0; B(0, 5) = 125; B(2, 5) = 165; B(6, 1) = 145; B(6, 0) = 120;

El beneficio mximo se obtiene vendiendo 2 raquetas de bdminton y 5 de tenis.

c) Ese beneficio mximo asciende a 165 euros.

1.2.14. Un establecimiento de electrodomsticos decide ofrecer a sus clientes habi-

tuales lavadoras a 200 euros la unidad y frigorficos a 250 euros la unidad.

Para atender esta oferta, se dispone de 10 lavadoras y 7 frigorficos. Consi-

derando que el doble del nmero de lavadoras que se vendan ms el triple

del nmero de frigorficos no puede ser mayor que 29.

a) Representa la regin factible. b) Determina cuntas unidades de cada

uno de los electrodomsticos citados deben venderse para que el beneficio

sea mximo.



- Solucin:

Consideremos x al nmero de lavadoras vendidas, e y al nmero de frigorficos vendidos. Ten-

dremos que la funcin objetivo a maximizar ser por lo tanto F (x, y) = 200x+ 250y.

Las restricciones que se especifican en el enunciado son:

2x+ 3y 29; x 10; y 7; x 0; y 0;a) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en

la siguiente figura.

2

4

6

2 4 6 8 10

Regin Factible

x = 10

y = 7

2x+ 3y = 29

b

Ab

B

b

C

b

Db

O


vrtices son O(0, 0); A(0, 7); B es la solucin del sistema 2x+ 3y = 29 e y = 7, es decir B(4, 7); C

es la solucin del sistema 2x+ 3y = 29 e x = 10, es decir C(10, 3); y D(10, 0);

El beneficio para cada una de esas posibles ventas es:

O(0, 0) F (0, 0) = 200 0 + 250 0 = 0 euros.A(0, 7) F (0, 7) = 200 0 + 250 7 = 1750 euros.B(4, 7) F (4, 7) = 200 4 + 250 7 = 2550 euros.C(10, 3) F (10, 3) = 200 10 + 250 3 = 2750 euros.D(10, 0) F (10, 0) = 200 10 + 250 0 = 2000 euros.



El beneficio mximo se obtiene vendiendo 10 lavadoras y 3 frigorficos.

c) Ese beneficio mximo asciende a 2750 euros.

1.2.15. Una persona tiene 1500 euros para invertir en dos tipos de acciones A y B.

El tipo A tiene un inters simple anual del 9% y el tipo B del 5%. Decide

invertir como mximo 900 euros en acciones A y como mnimo 300 euros en

acciones del tipo B y adems decide invertir en A por lo menos tanto como

en B.

a) Dibuja la regin factible.

b) Cmo debe invertir los 1500 euros para que los beneficios anuales sean

los mximos posibles?

c) Calcula esos beneficios anuales mximos.


- Solucin:

Consideremos x al valor invertido de acciones del tipo A, e y al valor invertido de acciones

del tipo B. Tendremos que la funcin objetivo de beneficio neto a maximizar ser por lo tanto

B(x, y) = 0, 09x+ 0, 05y.


x 900; y 300; x+ y 1500;a) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en


200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

200 400 600 800 1000200

Regin Factible

x = 900

y = 300

x+ y = 1500

b

A

b

B

b

C

b

D


vrtices son A(0, 300), B(0, 1500), C(900, 600), y D(900, 300).

El beneficio despus de un ao para cada una de esas posibles inversiones es:

A(0, 300) B(0, 300) = 0, 09 0 + 0, 05 300 = 15 euros.B(0, 1500) B(0, 1500) = 0, 09 0 + 0, 05 1500 = 75 euros.C(900, 600) B(900, 600) = 0, 09 900 + 0, 05 600 = 111 euros.




32 1. lgebra

D(900, 300) B(900, 300) = 0, 09 900 + 0, 05 300 = 96 euros.El beneficio mximo se obtiene invirtiendo 900 euros en acciones del tipo A, y 600 euros en

acciones del tipo B.

c) Despus de un ao, la inversin le reporta al inversor unos beneficios de 111 euros.

1.2.16. Una fbrica de lmparas produce dos modelos A y B. El modelo A necesita

dos horas de trabajo de chapa y 1 una hora de pintura. El modelo B necesita

una hora de chapa y 2 de pintura. Semanalmente se emplean como mximo

80 horas en trabajos de chapa y 100 horas en trabajos de pintura. Cada

unidad del modelo A se vende a 75 euros y cada unidad del modelo B a 80

euros.


b) Determina el nmero de lmparas de cada tipo que interesa producir

para que el beneficio obtenido con su venta sea lo mayor posible.

c) Calcula el beneficio mximo.


- Solucin:

Consideremos x al nmero de unidades vendidas del Modelo A, e y al nmero de unidades

vendidas del Modelo B. Tendremos que la funcin objetivo de beneficio a maximizar ser por lo

tanto F (x, y) = 75x+ 80y.


2x+ y 80; x+ 2y 100; x 0; y 0;a) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en


10

20

30

40

50

10 20 30 4010

Regin Factible

2x+ y = 80

x+ 2y = 100

b

A

b

B

b

Cb

O

b) Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Las coordenadas de



estos vrtices son O(0, 0), A(0, 50), B, que resulta de la interseccin de las rectas 2x + y = 80 y

x+ 2y = 100, es decir B(20, 40), y C(40, 0).

El beneficio en estos vrtices resulta:

O(0, 0) F (0, 0) = 75 0 + 80 0 = 0 euros.A(0, 50) F (0, 50) = 75 0 + 80 50 = 4000 euros.B(20, 40) F (20, 40) = 75 20 + 80 40 = 4700 euros.C(40, 0) F (40, 0) = 75 40 + 80 0 = 3000 euros.El beneficio mximo se obtiene vendiendo 20 unidades del Modelo A, y 40 unidades del Modelo

B.

c) En este ltimo caso el beneficio mximo asciende a 4700 euros.




34 1. lgebra

1.2.17. Una compaa de telefona mvil quiere celebrar una jornada de Consumo

razonable y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 cntimos de euro por

cada mensaje SMS y 25 cntimos de euro por cada minuto de conversacin

incluyendo el coste de establecimiento de llamada. Impone las condiciones:

a) El nmero de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el nmero

de mensajes aumentado en 3, ni ser menor que el nmero de mensajes dis-

minuido en 3.

b) Sumando el quntuplo del nmero de mensajes con el nmero de llamadas

no puede obtenerse ms de 27.

1. Dibuja la regin factible.

2. Determina el nmero de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea

mximo.

3. Cul es ese beneficio mximo?


- Solucin:

Consideremos x al nmero de SMS, e y al nmero minutos de llamadas. Tendremos que la

funcin objetivo de beneficio a maximizar ser por lo tanto F (x, y) = 0, 15x+ 0, 25y.


y x 3; y x+ 3; 5x+ y 27; x 0; y 0;1) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en


1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6

Regin Factible

y = x 3

y = x+ 3

5x+ y = 27

b

A

b

B

b C

b

Db

O

2) Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Las coordenadas de estos

vrtices son O(0, 0), A(0, 3), B, que resulta de la interseccin de las rectas y = x+3 y 5x+ y = 27,

es decir B(4, 7), C, que resulta de la interseccin de las rectas y = x 3 y 5x + y = 27, es decirC(5, 2), y D(3, 0).




O(0, 0) F (0, 0) = 0, 15 0 + 0, 25 0 = 0 euros.A(0, 3) F (0, 3) = 0, 15 0 + 0, 25 3 = 0, 75 euros.B(4, 7) F (4, 7) = 0, 15 4 + 0, 25 7 = 2, 35 euros.C(5, 2) F (5, 2) = 0, 15 5 + 0, 25 2 = 1, 25 euros.D(3, 0) F (3, 0) = 0, 15 3 + 0, 25 0 = 0, 45 euros.El beneficio mximo se obtiene con una configuracin de 4 mensajes SMS y 7 minutos de llamadas

por cliente y da.

3) En este ltimo caso el beneficio mximo asciende a 2,35 euros por cliente y da.

1.2.18. Un camin para el transporte de electrodomsticos cobra 25 euros por cada

frigorfico de 0,6 m2 de base y 22 euros por cada lavavajillas de 0,5 m2 de

base. El camin dispone de 9 m2 como mximo para este tipo de carga. Por

necesidades de demanda el nmero de lavavajillas no puede superar al 60%

del nmero de frigorficos. Se deben transportar como mnimo 5 frigorficos.


b) Determina el nmero de electrodomsticos de cada clase para que el

beneficio obtenido con el transporte sea lo ms grande posible.

c) Calcula el beneficio mximo.


- Solucin:

Consideremos x al nmero frigorficos, e y al nmero de lavavajillas. Tendremos que la funcin

objetivo de beneficio a maximizar ser por lo tanto F (x, y) = 25x+ 22y.


0, 6x+ 0, 5y 9; y 0, 6x; x 5; x 0; y 0;a) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en


2

4

6

8

2 4 6 8 10 12 14

Regin Factible

0, 6x+ 0, 5y = 9

y = 0.6xx = 5

b

A

b

B

b

C

b

D


vrtices son A(5, 0), B, que resulta de la interseccin de las rectas y = 0, 6x y x = 5, es decir B(5, 3),

C, que resulta de la interseccin de las rectas y = 0, 6x y 0, 6x + 0, 5y = 9, es decir C(10, 6), y

D(15, 0).


A(0, 3) F (0, 3) = 25 0 + 22 3 = 66 euros.




36 1. lgebra

B(5, 3) F (5, 3) = 25 5 + 22 3 = 191 euros.C(10, 6) F (10, 6) = 25 10 + 22 6 = 382 euros.D(15, 0) F (15, 0) = 25 15 + 22 0 = 375 euros.El beneficio mximo por transporte se obtiene con una configuracin de 10 frigorficos y 6

lavavajillas.

c) En este ltimo caso el beneficio mximo asciende a 382 euros.

1.2.19. Una confitera realiza una oferta a sus clientes travs de dos tipos de lotes A

y B. El lote A lleva 3 tabletas de turrn y 5 cajas de bombones. El lote B est

compuesto por 5 tabletas de turrn y 3 cajas de bombones. Por cuestiones

de estrategia comercial, el nmero de lotes del tipo B debe ser menor que

el nmero de lotes del tipo A incrementado en 4. El nmero de tabletas

de turrn disponibles en el almacn para esta oferta es 52 y el de cajas de

bombones, 60. La venta de un lote del tipo A reporta una ganancia de 6,5

euros y uno del tipo B, 8,5 euros.


b) Determina el nmero de lotes de cada tipo que debe vender para que la

ganancia sea lo mayor posible.

c) Calcula esa ganancia mxima.


- Solucin:


Cantidad Turrn Bombones Beneficio

Lote A x 3x 5x 6, 5x

Lote B y 5y 3y 8, 5y

Disponibilidades 52 60

Mat. CC.SS. CLM_2000_2010

Documents

Transcript of Mat. CC.SS. CLM_2000_2010