Mat024 Par201 Ayud 8
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7/25/2019 Mat024 Par201 Ayud 8
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Universidad Tecnica Federico Santa Mara
Departamento de Matematica
Ayudanta 8 MAT024
10 de Diciembre 2015
1) Considere el siguiente campo vectorial
F(x,y ,z) = (3x2y 3z+ex sin(z))i+x2j+ (ex cos(z) 3x)k
(a) Calcule rot( F).(b) Considere la curva parametrizada por : (t) = (cos(t),sin(t),cos(t)),
t [0, 2]. Calcule
F dr
2) Sean u, v: U R3 R de clase C2.(a) calcule F cuando F es:(uv), uv y vu.(b) Calcule
S
uv ndS
cuando u(x,y ,z) = x3
y3
z2, v(x,y ,z) = x+ y + z y S es el hemisferio
superior de x2 + y2 + z2 = 1, z 0 orientada de acuerdo a la normal exterior.
3) Sea Sel hemisferio superior de la esfera x2 +y2 + (z 1)2 = 1 orientadosegun la normal superior. Considere el campo definido por
F(x,y ,z) = (z sen(x) y3, z cos(y) +x3,cos(xy))
Calcule
S F ndS
4) Calcule el flujo hacia afuera producido por el campo
F(x,y ,z) =
x2 +y2 +z2(x,y ,z)
Sobre la region : 1 x2 +y2 +z2 2.
5) [C3-2013-2] Sea Sla superficie del cubo con centro en el origen, de aristasparalelas a los ejes y de longitud 2, orientada exteriormente. Considerar lasfunciones u(x,y ,z) =cos(x) + 9z2 y v(x,y ,z) = 3x+y2. Calcular
S
uv
ndS
Dondenes el vector normal unitario que apunta hacia afuera y vn
correspondea la derivada direccional de v en la direccion de n.
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7/25/2019 Mat024 Par201 Ayud 8
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6) Calcule
S( F) ndS, Mediante el Teorema de Stokes y el Teorema de
la divergencia. Donde F(x,y ,z) =x2yzi+yz2j+z3exyk y Ses la parte de laesfera x2 + y2 + z2 = 5 que se encuentra sobre el plano z= 1;nesta orientadohacia afuera.
Propuestos:-Calcular
M
F ndS
donde F(x,y ,z) = (x,y ,ex2+y2) y M correspondiente al manto del cilindro
x2 +y2 = 1 entre los planos z= x+ 6 y z=y + 8.-Considerar el campo:
F(x,y ,z) = (xy2+ cosh(y)arccos(z))i + (x2y + sinh(x)arcsin(z))j + (x2 + y2)k
Calcular, usando el Teorema de la Divergencia, la integral
SFndS, donden
es el vector normal unitario exterior aSySes el manto del cono z2 =x2 + y2,entre los planos z= 2 y z= 4.
-Sea S la superficie del casquete esferico x2 + y2 + z2 = 4, que se encuentra enla regionz 1 y que se orienta segun la normal superior (exterior a la esfera).Calcule el flujo de Fa traves de S donde
F(x,y ,z) = (e
z
x2
y)i+ (z+xy
2
)j+ y
2
1 +z4
k
-Sea R3 un abierto no vaco, F : R3 un campo vectorial y g: Run campo escalar, ambos de clase C1. Pruebe que si S S , donde S esuna superficie regular a pedazos, entonces se tiene la formula de integracionpor partes
S
g rot( F) d A=S
g F dr
S
g F d A
2
