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0=ts

ts

tp

s

p

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3

4

E

UNIVERSIDAD DEL PACIFICO

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICAS

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS

PRIMER SEMESTRE 2003

PROFESORES JOS LUIS BONIFAZ y DIEGO WINKELRIED

SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINALJulio 2003

La solucin est escrita con Arial Narrow

Pregunta 1: Modelo de overshootingcambiario

En un conocido modelo de determinacin del equilibrio en una economa abierta1, setiene el siguiente sistema diferencial lineal

)]()[(

)])(()([

ppsss

ssppp

ttt

ttt+=

+=

dondeptes el nivel de precios interno y stes el tipo de cambio nominal. Los parmetros

, y son positivos. Por su parte, y son las velocidades de ajuste de los mercadosde bienes y de activos (financiero), respectivamente.

a) (2.5 ptos) Elabore un diagrama de fase en el plano (st , pt) y, con el anlisis delJacobiano del sistema, califique al punto de equilibrio2. Sea claro(a).

Conviene expresar matricialmente el sistema,

+

++

+=

spsp

sp

sp

t

t

t

t

)()(

Para elaborar el diagrama de fases, las curvas de fase son las siguientes:

spspsspspp tttttt

++

==

++

+==

1100

que, como se esperaba, son dos lneas rectas. La curva de fasep = 0 se asocia con el equilibrio en el mercado de bienes ytiene pendiente positiva. En cambio, la curva s = 0representaal equilibrio en el mercado de activos y tiene pendiente negativa.En la figura, se aprecian ambas rectas.

Con el propsito de analizar la dinmica de ambas variables enel plano, se consideran las derivadas parciales cruzadas,

00)( +=

t

t

t

t

p

s

s

p

La primera derivada establece que hacia la derecha de la curva

1Se trata del modelo de Dornbusch, extendido en Garca-Cobin, R. (2003), Complecin del Modelo deOvershooting de Dornbusch, PUCP, Departamento de Economa, Documento de Trabajo No. 222.2Considere que las races del sistema son reales.

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0=tp

0=ts

ts

tp

s

pE

A

overshoothing

p = 0(las regiones 3 y 4 del diagrama), ocurre que p > 0por lo que el movimiento ser vertical haciaarriba (el norte). Por otro lado, la segunda derivada cruzada sostiene que en las regiones por encima dela curva s = 0(1 y 4) se tendr s < 0por lo que se caracterizan por movimientos horizontales hacia laizquierda (el oeste).

Analizando el jacobiano del sistema se tiene

0)()det(

0)(tr

>++=

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Pregunta 2: La Ecuacin de Bernoulli

La ecuacin diferencial no lineal de primer ordencttt bxaxx =+

es conocida como ecuacin de Bernoulli con coeficientes constantes3. En ella, c es unnmero real positivo distinto de 0 1 y aes una constante positiva.

a) (1.5 ptos) Determine el valor de estado estacionario de xty estudie cualitativamentesu estabilidad. En particular, qu condiciones deben cumplir los parmetros a, bycpara que el equilibrio sea estable?

Al remplazar la condicin de estado estacionario, x = 0, en la ecuacin se tiene el valor de equilibrio,

cc

a

bxxbxa

==+1

1

)0(

Para estudiar la estabilidad de la ecuacin, es preciso evaluar la pendiente de la curva de fase alrededor

del estado estacionario. As, considerando que tcttt axbxxfx == )( se tiene

)1()()( 1 == caxfacbxxf ctt

Dado que a es positivo, esta derivada ser negativa (y se tratar de un equilibrio estable) si c< 1.

b) (2.0 ptos) Considere quec

tt xz = 1 . Con esta nueva variable la ecuacin de Bernoulli

puede ser transformada en una ecuacin lineal. Determine la trayectoria de zty dextsin considerar ninguna condicin inicial. Analice la estabilidad de xt .

Si ctt xz

= 1 , entonces tc

tt xxcz = )1( . Luego, al multiplicar la EDO por ctxc)1( se tiene

bczcazbcx

xca

x

xc ttc

t

tct

t )1()1()1()1()1( =+=+

que es una EDO lineal de primer orden. La trayectoria de ztest dada por

abCez tcat /)1( +=

y la de xt, por

ctcat abCex

+= 11

)1( ]/[

donde Ces una constante arbitraria de integracin. Se aprecia que xtconverge si c< 1 (a> 0). Msan, como era previsible, converge al estado estacionario hallado en a).

c) (1.5 ptos) La ecuacin ttt knskk )( += es la conocida regla de acumulacin de

capital del Modelo de Solow. Desde ahora, Ud. est en condiciones de resolverlaanalticamente. Encuentre, luego, cul es trayectoria y el lmite del producto medio

del capital (kt/kt). Interprete el valor de este ltimo lmite.

Para resolver la ecuacin de Solow, es bueno hacer un paralelo entre sta y la ecuacin de Bernoulli

planteada. Es fcil notar que +=== nacsb ,, por lo que la trayectoria de ktes

+ ++= 11

)1)(( )]/([ nsCek tnt

3Consltese el ejercicio 90 del captulo IV del Apuntes de Estudio No. 44 para una versin ms general.

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El producto medio del capital es igual a1/ = ttt kkk y su trayectoria es

1)1)((1 )]/([ + ++= nsCek tnt

Dado que < 1, la trayectoria de ktes convergente. Tambin lo es la del producto medio del capital conlmite

snnsktt

/)()]/([lim 11 +=+=

El lmite establece que cuando menor es la tasa de ahorro, s, mayor ser el producto medio del capital.Ello se debe a que con una tecnologa ms productiva (con mayor producto medio del capital), lainversin necesaria para alcanzar un nivel de producto dado ser menor.

Asimismo, una menor tasa de crecimiento poblacional disminuye el valor de equilibrio de esta ratio. Unaeconoma ms productiva podr mantener una poblacin creciente a tasas mayores. Del mismo modo,una economa ms productiva podr reponer con mayor facilidad el capital depreciado por lo que se tieneuna relacin directa entre la tasa de depreciacin y la ratio de equilibrio.

Pregunta 3: La Raz Unitaria

Una ecuacin muy conocida en la literatura economtrica es4

tttt wyyy += )1(1

en donde yt es una variable cualquiera y wt es una secuencia convergente con lmitecero. Esta sencilla ecuacin dinmica ha sido el centro de muchos debateseconomtricos y ha tenido implicancias, incluso, en la teora macroeconmica. La razn

es el valor del parmetro , que bien puede ser positivo pero menor que 1 igual a 1.

Ud. analizar la ecuacin y se enterar de por qu tanta controversia para ello,

a) (2.5 ptos) Resuelva la ecuacin en diferencias, con condiciones iniciales y0= w0= 0 y

diga cul es el valor de equilibrio de yt . Considere una solucin hacia atrs.La ecuacin equivale a ttt wyy = 1 . Utilizando el operador de rezago, la solucin particular es

= =

==

0)(

1

1)1(

j jtj

ttttt wywL

ywyL

y la solucin total (complementaria ms particular) es

= +=

0)()(

j jtjt

t wCy

Con las condiciones iniciales proporcionadas se desprende que C=0, por lo que la trayectoria de ytesigual a la solucin particular de la EED. Finalmente, considerando que el lmite de wtes cero, el valor delargo plazo de ytser, tambin, igual a cero.

b) (1.5 ptos) Suponga ahora que wttiene un comportamiento sencillo. Se define como

la secuencia wt= 0 para t1 y wt= 1 para t= 1. Con este supuesto, encuentre la

trayectoria de yt . Grafique la trayectoria de yt para varios valores de . En

particular, se recomienda (no se exige) utilizar = 0.5, 0.8 y cuando tiende a 1.0.

4Dickey, D.A. y W.A. Fller (1979), Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with aUnit Root,Journal of the American Statistical Association, 74, pp. 427-431.

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Considerando la forma de wty las condiciones iniciales, la ecuacin puede ser resuelta recursivamente:

121

2323

212

101

0

)0()(

)0()(

)0()1(

1)1()0(

0

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=

ttttt wyy

wyy

wyy

wyy

y

Alternativamente, puede usarse la expresin hallada en a). A saber,

112

011

22

10

)0()1()0()0()0(

)(

=

=+++++=

+++++==ttt

tttttj jt

jt wwwwwwy

Con este resultado se obtienen las siguientes trayectorias de ytpara distintos valores de:

c) (1.0 ptos) En la literatura economtrica wt se interpreta de la siguiente manera:

Inicialmente ytse encontraba en su valor de equilibrio y tras un evento no esperadollamado, en jerga econmica, choque (que en este caso es w1= 1), yt se aleja de su

valor de equilibrio (ocurre un desequilibrio). Dicho esto, Qu papel tiene en lareaccin que tiene ytante el choque?

Como se aprecia en la figura anterior, cuanto ms pequeo sea , ms rpida es la transicin del valor 1(en t = 1) al valor 0 (el valor de equilibrio). En otras palabras, cuanto ms cercano es a 1, eldesequilibrio tiende a durar ms.

En la jerga establecida, un choque tiende a ser ms persistente cuando es un valor cercano a 1. En el

lmite, cuando = 1, el choque ocurrido en t = 1 nunca se diluye e yt nunca regresa a su valor deequilibrio.

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Pregunta 4: Dinmica del ingreso y vulnerabilidad

Es de primera importancia conocer la dinmica que sigue el ingreso de un hogar, yaque ello permite disear polticas sociales que le ayuden a enfrentar eventos (choques)adversos5. Los hogares pueden ser catalogados en dos grandes grupos:

1. No Vulnerable: Este hogar puede enfrentar choques desfavorables con facilidad. En

el Panel (1) de la figura (ver abajo) se muestra la trayectoria de su ingreso tras unchoque. Inicialmente, ste es igual a A. Tras el choque, el ingreso desciende pero,con el paso del tiempo, retorna a su valor inicial. Este resultado es ciertoindependientemente del tamao del choque: pequeo (un aumento transitorio en elimpuesto a la renta) o grande (el despido del jefe del hogar).

2.

Vulnerable: El hogar enfrenta con xito ciertos choques. En el Panel (2) se muestraque, dado un nivel inicial de ingreso, B, el hogar fue capaz de recuperarse tras unchoque pequeo (el atraso de una cosecha). No obstante, como se ve Panel (3), ladinmica del ingreso es distinta frente a un choque grande (el Fenmeno del Nio):cuando el ingreso se reduce a menos de C, el hogar pierde la capacidad de

recuperarse y su ingreso pasa a ser D, el mnimo indispensable para sobrevivir.

Si la dinmica del ingreso es aproximada por la EED no lineal )(1 tt yfy =+ ,

a) (1.5 ptos) Esboce un diagrama de fase para los ingresos de un hogar no vulnerable.Considere que Aes el valor de equilibrio y responda:

Qu propiedades tiene la curva de fase y el estado estacionario?

Tras un choque, cmo se refleja la trayectoria (1) en su diagrama?

b) (2.5 ptos) Esboce un diagrama de fase para los ingresos de un hogar vulnerable.Considere a B y C como valores de equilibrio y que D es el mnimo valor deldominio def. Responda:

Qu propiedades tiene la curva de fase y los estados estacionarios?

Tras un choque, cmo se reflejan (2) y (3) en el diagrama de fase?

Importante: No es necesario plantear una forma explcita para f ; s los es ser muy claroen sustentar la lgica de su respuesta.

c) (1.0 pto) Piense como economista y plantee una poltica de asistencia para los

distintos hogares, considerando el tamao del choque como criterio primordial.

5Una aplicacin interesante de la lgica de esta pregunta se encuentra en Loshkin, M. y M. Ravallion(2001), Household Income Dynamics in Two Transition Economies, World Bank.

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B

C

M

N

ty

ty

tt yy =+1

1+ty

)(1 tt yfy =+

A

M

N

ty

1+ty

tt yy =+1

)(1 tt yfy =+

En el caso de un hogar no vulnerable, dado el Panel (1) se deduce que Aes un equilibrio estable. Entrminos matemticos, la pendiente de falrededor de Adebe ser menor que la unidad. Asimismo, dadoque el ingreso retorna a su equilibrio montonamente, se concluye que esta pendiente es positiva.

Este anlisis permite concluir que la curvade fase en el caso de un hogar novulnerable es una curva cncava como la

mostrada en la figura a la izquierda.Es posible replicar la dinmica del Panel (1).Originalmente el ingreso asciende al puntoA. Imagine que ocurre un choque pequeode modo que el hogar pasa a tener uningreso sobre el punto M. Dada la forma dela curva de fase, el ingreso aumentarpaulatinamente hasta llegar a A. Como Aesun equilibrio estable, una vez que sealcance este punto la dinmica de la EED nooperar ms.

Si el choque es grande, la reduccin delingreso correspondera al punto N. La

correccin de este desequilibrio sigue lamisma lgica que en el caso del choquepequeo.

El caso de un hogar vulnerable, es ms interesante. De acuerdo con el, enunciado se aprecia quemientras que B es un equilibrio estable, C es un equilibrio inestable. En trminos matemticos, lapendiente defalrededor de Bdebe ser menor que la unidad (y positiva) mientras que alrededor de Cstaser mayor que uno (y positiva).

En la figura de la izquierda se ha esbozadoun diagrama de fase para este caso. Elanlisis se inicia sobre el punto B; tras unchoque pequeo el ingreso del hogar seubica sobre el punto M. dado que B es

estable y C es inestable, la dinmica de laEED llevar al ingreso, nuevamente, haciaB. As se ha perfilado una trayectoria similara la del Panel (2) del enunciado.

Por otro lado, si el hogar es sujeto a unchoque grande el ingreso pasar del puntoB al punto N. Dado que C es inestable, ladinmica de la EED tender a alejar alingreso de C, llegndose as al punto D,definido como un nivel de ingreso desusbsistencia (Panel (3)).

Con estos resultados, qu polticasasistencialistas se pueden plantear? En

primer lugar, no hace falta asistir a un hogar no vulnerable ya que, sin escatimar en la magnitud delchoque, siempre ser capaz de recuperarse (A es globalmente estable). As, es preciso disear unapoltica para un hogar vulnerable. Si somos capaces de anticipar el choque y caemos en la cuenta queste es pequeo, la mejor poltica es no hacer nada. Sin embargo, si sabemos que el choque es grande yllevar al hogar a niveles de ingreso menores que C, es necesario, por ejemplo, aplicar una transferencia(una donacin) para que el ingreso no caiga por debajo de C. Si esto se cumple, y el ingreso tras el

choque es igual a C+ , el hogar ser capaz de retronar a B(con la poltica volvimospequeoal choquegrande). Si transferimos recursos y no hacemos que el ingreso del hogar supere al punto C, tarde otemprano el ingreso caer a niveles mnimos.