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UNIVERSIDAD DEL PACIFICO

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS (C)

SEGUNDO SEMESTRE 2003

PROFESOR DIEGO WINKELRIED

SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINAL

La solucin se encuentra entre flechas

Pregunta 1: Mercado laboral e inmigracin (7 ptos)

En una economa que recibe flujos inmigratorios, Nt es el nmero de trabajadoresempleados mientras que Stdenota el tamao de la PEA1.

La tasa de crecimiento porcentual de Ntevoluciona segn la ecuacin

=

t

t

t N

N

N1

Se aprecia que si = 0, Ntcrece exponencialmente a una tasa mientras que si = 1, ladinmica de Ntresponde a un modelo de crecimiento logstico con capacidad .

Por su parte, la tasa de crecimiento de la PEA es

+=

tt

t

t

t

NS

N

S

S

donde es la tasa natural de crecimiento poblacionaly el segundo trmino es una medidade los flujos inmigratorios a esta economa 2(se cumple que 1 > > > > 0).

Considerando un modelo de crecimiento exponencial paraNt( = 0 ),

a) (0.5 pto)Interprete la variable Et= Nt /St.

Solucin: La variable es el nmero de personas empleadas entre el nmero depersonas en edad de trabajar. Es decir, se trata de proporcin de personas en edad detrabajar que se encuentran trabajando o, en otras palabras, la Tasa de Empleo.

b) (1.0 pto) La tasa de crecimiento porcentual de Et es Et /Et = Nt /Nt St /St .Encuentre una expresin para Et /Eten funcin de Etexclusivamente.

Solucin:Utilizando la definicin de las tasas de crecimiento porcentual de Nty St

=

=

tt

t

t

t

t

t

t

t

NS

N

S

S

N

N

E

E

1Poblacin Econmicamente Activa, es decir, el nmero de personas en edad de trabajar.2Este planteamiento ha sido muy influyente en la literatura sobre migracin y se debe a Todaro,M. P. (1969), A Model of Labor Migration and Urban Unemployment in Less DevelopedCountries,American Economic Review, Vol. 59 (1), pp. 138 148, quien inspir esta pregunta.

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2

Al multiplicar y dividir el trmino entre parntesis por St se obtiene

=

t

t

t

t

E

E

E

E

1

c) (2.0 ptos) La relacin hallada en b) puede escribirse como una ecuacin diferencial

no lineal de primer orden, Et = f(Et). Analcela; es decir, determine cul es el valorde largo plazo de Ety si ste es un equilibrio estable. Sea riguroso en su anlisis ydibuje el respectivo diagrama de fase.

Solucin:La relacin de tasa de crecimiento porcentual de Etequivale a

==

t

tttt

E

EEEfE

1)()(

2

En estado estacionario se cumple que

+

=

=

EE

E

1

Por su parte, la pendiente de la curva de fase alrededor del estado estacionario esnegativa,

0)(2)()(

11)1(2

)()1(

2)()(

2

2

2

0. Esto quiere decir que lacurva de fase tendr forma acampanada comose aprecia en la figura, hecho consistente con laestabilidad del estado estacionario.

Considerando un modelo de crecimiento logstico paraNt( = 1 ),

d) (1.0 pto)Determine e interprete el estado estacionario del sistema Nt, St.

Solucin:Se tiene un sistema de dos ecuaciones diferenciales,

=

2t

tt

NNN y

+=

tt

tttt

NS

NSSS

En estado estacionario se tiene que N= . Asimismo,

=

+= SS

0

tE

tE

+=E

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El estado estacionario de Ntcorresponde a las predicciones del modelo de crecimientologstico: en el largo plazo de Ntest determinado por la capacidad del entorno, . Porsu parte, se aprecia que un incremento en aumenta el valor de estado estacionario deSt(ya que la poblacin crece a una tasa naturalmayor). Por su parte, un incremento en reduce el valor de estado estacionario de St por el mayor efecto de los flujosinmigratorios. Curiosamente, la tasa de crecimiento de St, , no tiene ningn efecto

sobre el valor de estado estacionario de St.

e) (1.5 ptos)Esboce el diagrama de fase relevante en el plano (Nt , St) y caracterice alestado estacionario.

Solucin:Las curvas de fase del sistema anterior son

== tt NN 0 y

== ttt NSS 0

En el plano (Nt , St), la primera curvade fase corresponde a una lneavertical mientras que la segundacurva de fase es una funcin lineal dependiente positiva que pasa por elorigen. Las curvas de fase semuestran en la figura y dividen alplano en las cuatro regionesnumeradas.

Para analizar la dinmica alrededordel estado estacionario se hace uso dederivadas parciales. Para losmovimientos horizontales se tiene

02

=

=

==SSNNt

t

tt

t

t

t

t

tN

S

NS

S

N

S

que sugiere que en las regiones hacia la derecha de la curva St= 0 (2 y 3), St > 0 por loque se trazan flechas de abajo hacia arriba.

Alternativamente, para los movimientos verticales puede considerarse

02

22

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4

Al analizar la dinmica detrs del diagrama de fase, es fcil concluir que el equilibrioes un nodo estable.

f) (1.0 pto) Confirme lo encontrado en el punto e) mediante el anlisis del Jacobianodel sistema.

El Jacobiano del sistema alrededor del estado se puede construir con las derivadasmostradas previamente. As,

=

=

==

22

22

0

SSNNt

t

t

t

t

t

t

t

t

tS

S

N

SS

N

N

N

J

Se aprecia que los valores propios de J son los elementos de su diagonal. Estosnmeros son reales, distintos y negativos, por lo que se confirma que el estadoestacionario es un nodo estable.

Pregunta 2: Inestabilidad de parmetros (4 ptos)

Considere una variable xtcuya dinmica es gobernada por la ecuacin diferencial

auxx tt =

donde uy ason dos constantes. En t= 0, el valor de xtes igual aA.

En el instante t = T ocurre un cambio en elparmetro u. As,

u= 1 si 0 t< T

u= 1 si tT

Este cambio evidentemente altera la trayectoriade xt, que es mostrada en la figura.

Con la informacin que se le ha proporcionadoencuentre las trayectorias de xtantes y despusdel perodo T y diga cul es el valor de largoplazo de xt .

Solucin:Las soluciones complementaria y particular de la ecuacin diferencial son

)/( uaxCex put

c == Es conveniente considerar la forma general de la trayectoria para ambos tramos

aeCxuTt

aeCxuTtt

t

tt

+==

== 1 y que = 1. Halle la trayectoria del ingreso (Yt) .

Solucin:La ecuacin en diferencias para el ingreso es

tttt gIYYY )()1( 021 =++

cuya solucin complementaria ya ha sido hallada en la parte a) y slo basta conreemplazar = 1. Para la solucin particular se aplica el mtodo de coeficientesindeterminados y se obtiene

2

210

20

2

02

22,

11,

,

)1(

)()1()(

)()(

)(

)(1

)(

)(

)()(

+=

=++

=

++

=

==

g

gIB

gIBgBgB

gIgB

g

gB

g

gB

gBY

gBYgBY

tttt

ttp

ttp

t

tp

donde se aplic el supuesto 2)1(4 += .

e) (1 pto) Asumiendo que la solucin complementaria para Ytes convergente Cul esel valor de largo plazo de It/Yt?

Solucin:Dado que se asume que las soluciones complementarias son convergentes

el anlisis de largo plazo se refiere exclusivamente a las soluciones particulares. Dichoesto se tiene que

2

2412

2

221

20

210210

)1()1())1((

)1()(

))}(({)(

)()(

g

gg

g

gg

g

g

B

I

gB

gggBI

gB

YYgI

Y

It

t

t

ttt

t

t

+++=

+++=

++=

+=

+=