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UNIVERSIDAD DEL PACIFICOMATEMATICAS PARA ECONOMISTAS (A y C)PRIMER SEMESTRE 2004PROFESORES JOS LUIS BONIFAZ Y DIEGO WINKELRIED

SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINALJulio 2004

Primera Pregunta (5 ptos): Correccin de desequilibrios

El siguiente sistema diferencial describe la dinmica conjunta de las variables xte yt :

( ) (0,1)

( )

t t t

t t t

x x y

y x y

=

= +

Los economistas conocen a este tipo de sistema como modelo de correccin de errores o dede desequilibrios 1. La idea es que en el largo plazo existir una relacin estable (unequilibrio) entre xte yt(en este caso es xt= yt ). En el corto plazo no es necesario que estarelacin se cumpla; sin embargo, la dinmica del sistema corregir cualquier desequilibrio.

a) (2 ptos) Considerando las condiciones iniciales x0e y0resuelva el sistema.

b) (2 ptos)Muestre e interprete a la luz de lo expuesto que:

Tanto xtcomo ytson trayectorias divergentes, pero sus tasas de cambio (xte yt) son convergentes y el desequilibrioxt ytse diluir en el largo plazo.

c) (1 pto)Grafique las trayectorias de xte yty de xt ytsuponiendo que: x0> y0 x0< y0

Solucin a):De la segunda ecuacin del sistema se deduce que

t t t t t t y x x y x x = + = +

Al reemplazar estos resultados en la primera ecuacin se llega a la EDO 2 2t tx x + = .

El polinomio caracterstico 2 2 0r r+ = es resuelto por 1 0r = y 2 2r = por lo que lasolucin complementaria es 21 2

t

Cx C C e

= + . Por su parte, dado que una solucin

complementaria es constante (la asociada con 1 0r = ) es linealmente dependiente con eltrmino. As, la solucin particular viene dada por

1Este aporte, conocido como anlisis de cointegracin, hizo que los economistas Robert Engle yCliff Granger fueran galardonados con el Premio Nobel de Economa del 2003.


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(0) 2 2

0

P

P P

P

x At

x A A x t

x

= = + = = =

De modo que

2

1 2

t

tx C C e t

= + + . Con ello, la trayectoria de ytes2 2 2

2 1 2 1 22 t t t

t t ty x x C e C C e t C C e t = + = + + + + = +

Finalmente, al considerar las condiciones iniciales se tiene el sistema

120 1 2 1 0 0

10 1 2 22 0 0

( )

( )

x C C C x y

y C C C x y

= + = += =

Solucin b):De la solucin anterior se deduce lo siguiente

21 2

21 2

t

t

t

t

x C C e t

y C C e t

= + +

= +

22

22

2

2

t

t

t

t

x C e

y C e

= +

= + 222

t

t tx y C e =

Las races del sistema resultaron ser 1 0r = y 2 2r = y son asociadas con solucionescomplementarias convergentes. Sin embargo, tanto xtcomo ytdivergen por la presencia deuna tendencia (t) vinculada con la solucin particular.

La mencionada tendencia es eliminada al derivar las trayectorias una vez, es decir, alcalcular las tasas de cambio. Asimismo, la relacin de largo plazo xt yttambin eliminaeste trmino mvil y, por tanto, deriva en una trayectoria convergente.

Solucin c):De acuerdo con lo hallado previamente se tiene que 20 0( ) t

t tx y x y e = .

Si x0> y0, el desequilibrioinicial de xt ytes positivomientras que en el casocontrario y0 > x0, ste esnegativo.

En el largo plazo, tanto xtcomo yt se comportan deacuerdo al trmino t, loque es consistente con unvalor xt yt = 0. Se

aprecia que en el cortoplazo ambas difieren, perolas discrepancias se diluyenconforme pasa el tiempo.

x0

y0

(A)

x0y

0

0

(B)

x0

y0

(C)

x0y

0

0

(D)

xt

yt

xt

yt


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Segunda Pregunta (4 ptos): Dinmica maltusiana

El economista clsico Thomas Malthuses famoso, entre otras cosas, por la visin pesimistaque tena sobre la dinmica poblacional. Sostena que si bien la disponibilidad de comida (olos salarios reales, wt) fomentaba el crecimiento de la poblacin (Pt), sta creca a una tasalimitada. As, un fuerte incremento en Ptconllevara a una reduccin de wt.

Las ideas de Malthus pueden ser resumidas en el sistema diferencial

tt

t

Pw

P

= + t t

t

wP

w

=

donde todas las constantes son positivas.

a) (1 pto)Encuentre el estado estacionario del sistema.

b) (1 pto)Mediante el anlisis del Jacobiano, caracterice al punto de equilibrio.

c) (2 ptos)Esboce el diagrama de fase y expliquela dinmica de Pty wta la luz de lossupuestos maltusianos.

Solucin a):El sistema puede ser expresado como

( , ) ( , )t t t t t t t t t t t t P f P w P w P w g P w w w P = = + = =

Con ello, los valores (P, w) que satisfacen las condiciones de estado estacionario son

( , ) 0( , ) ,

( , ) 0

f P w P wPP w

g P w w wP

= + = = = =

Solucin b):El Jacobiano del sistema, evaluado en el estado estacionario es

1

1

0

0

P w

P w

w Pf f

g g w P

+ = = =

J

Es sencillo notar que los valores propios de Json 1,2r = i. Las races del sistema sonimaginarias puras por lo que el punto (P, w) es un vrtice.

Solucin c):Las curvas de fase sonbastante sencillas: 1tP

= y

1tw

= . stas, junto con la

dinmica conjunta del sistema se

presentan en la figura:

w

P

P

=

w

=

Salarios altos incrementan

poblacin. Ello presiona los

salarios a la baja.

Reducida poblacin

permite el crecimiento

de los salarios

Salarios por debajo del nivel

de subsistencia reducen

poblacin.

Salarios mayores

fomentan la

recuperacin de la

poblacin


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Tercera Pregunta (5 ptos): Un consumidor

Considere el problema de eleccin de un consumidor1

,max ( , ) ( ) ( ) sat t

t tt t t t t t

x yU x y x y x y M = + =

dondet

es un parmetro que define las preferencias del individuo, Mes su ingreso y porsimplicidad se asume que los precios de xte ytson iguales a 1. Usando los conocimientosadquiridos en la primera mitad del curso, se sabe que las demandas de xte ytson

(1 )t t t t t x M y M x M = = =

La nica diferencia de este problema con respecto a uno convencional de la teora delconsumidor es que las preferencias cambiancon el tiempo. En particular, el parmetro t depende de los valores pasados de xte yt, de acuerdo con

1 1t t tx y =

a) (2 ptos)Con la informacin proporcionada, encuentre una EED no lineal autnoma de

primer orden para xt(o para xt+1). Determine, a su vez, el valor de estado estacionario.b) (2 ptos)Caracterice al estado estacionario. En particular explique las condiciones que

deben satisfacer las constantes y M para que la trayectoria de xt sea estable(inestable) y montona (o fluctuante).

c) (1 pto)Esboce y analice el diagrama de fases de la EED hallada en a)considerandoque = y 5M = .

Solucin a):Al reemplazar 1 1t t tx y = y la igualdad 1 1t ty M x = en la funcin dedemanda de xtse tiene

1 1 1 1( )t t t t t t x M x y M Mx M x = = =

que es la EED 1( )t tx f x= solicitada.

En el estado estacionario, 1 t tx x x= = de forma que

2 2 1 x M x Mx x M M

= =

Solucin b):Las caractersticas de la trayectoria de xtdepende de la pendiente de la curvade fase alrededor del estado estacionario, ( )f x . Considerando la EED no lineal se tiene

2( ) 2t tf x M Mx =

expresin que evaluada en el estado estacionario es 2( ) 2f x M = .

Considere ahora las posibles trayectorias de xtde acuerdo con los valores de ( )f x :

Montona y convergente: ( ) 0f x > y ( ) 1f x < 21 2M < < .

Montona y divergente: ( ) 1f x > 2 1M < .

Fluctuante y convergente: ( ) 0f x < y ( ) 1f x > 22 3M < < .

Fluctuante y divergente: ( ) 1f x < 23 M < .


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Solucin a):De la ecuacin (1)se desprende la siguiente EED para pt

1

1 1t t tp p m

+

=

Dado que la solucin complementaria es cero (por supuesto), slo queda encontrar lasolucin particular. Para ello, conviene rezagar la EED y aplicar el operador de rezagos,

1 1 11

1 1 1 11t t t t t

p p m p m L

= =

La constante (0,1) por lo que 1 1 > . Ello invita a considerar la solucin haciadelante de la EED considerando la expansin

11 2 2 3 3

1 1

1...

1 1L

L L LL L

= = + + +

As, se consigue la trayectoria pten funcin de mty sus adelantos,

11 0

1(1 )j j jt t t j j jp L m m

+= =

= =

Solucion b):Al considerar la definicin de la inflacin se tiene que

1 10 0(1 ) ( ) (1 )j jt t t t j t j t j j jp p m m u

+ + += == = =

Solucin c): Con tu = la expresin anterior se simplifica notablemente,

0 0(1 ) (1 )j jt t jj ju

+= == = =

El resultado sugiere que si la tasa de crecimiento del dinero es constante, tambin lo serla inflacin. Ms an, se consigue la igualdad t tu = = que es justamente lo postuladopor Friedman en la regla del kpor ciento.

Solucin d): Es preciso ahora encontrar la trayectoria de ut . Partiendo de (3) se tiene

1(1 )t tu u =

que es una EED de primer orden sencilla. La solucin particular es constante,

(1 )p p pu u u = =

mientras que la solucin complementaria es (1 )tcu C = . Considerando la condicininicial se tiene luego la trayectoria

0( )(1 )ttu u = + Se aprecia que si 1 = se llega al caso anterior tu = . Asimismo, para 1 < , en ellargo plazo se dar que tu = . No es difcil notar que cuanto menor sea , mayor eltiempo que tomar que el desequilibrio inicial 0u se corrija.


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Al introducir esta trayectoria en la solucin de la inflacin se obtiene

00 0

0 0 0

0

(1 ) (1 ) ( )(1 )

( )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

1( ) (1 )1 (1 )

j j t j

t t jj j

t j j j

j j

t

u u

u

u

++= =

= =

= = +

= +

= +

donde se aprecia nuevamente que en el largo plazo t tu = = . Sin embargo, en el cortoplazo t tu .

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