MATE 3032 - Recinto Universitario de...

MATE 3032

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 20

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Integración por partes

Recuerde lo siguiente:

ddx[f (x) g (x)] = f (x) g 0(x) + f 0(x)g(x)

En la notación para integrales indefinidas, la ecuaciónes:R ddx[f (x) g (x)] dx =

R[f (x) g 0(x) + f 0(x)g(x)] dx

f (x) g (x) =Rf (x) g 0(x)dx +

Rf 0(x)g(x)dx

Rearreglando la ecuación se obtiene:Rf (x) g 0(x)dx = f (x) g (x)−

Rf 0(x)g(x)dx (1)

La fórmula 1 es llamada integración por partes. Si se usa la notación:

u = f (x) y v = g (x)

Entonces los diferenciales son:

du = f 0 (x) dx y dv = g 0 (x) dxP. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 20

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Por la regla de sustitución, la fórmula para integración por partes es:

Rudv = uv −

Rvdu (2)

Combinando las fórmulas para integración por partes con la parte 2 delTeorema Fundamental del Cálculo, evaluando ambos lados de (1) entre a yb, asumiendo que f 0 y g 0 son continuas y usando el teorema fundamental,se obtiene:

R ba f (x) g

0(x)dx = f (x) g (x)]ba −R ba f

0(x)g(x)dx (3)

Nota: Al considerar las sustituciones, se sugiere el orden para elegir u :inversas (I), logarítmicas (L), algebraicas (A), trogonométrocas (T) yexponenciales (E), ILATE


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EjemploEvalúe las siguientes integrales:1.Rxe0.2x dx

Rlnpxdx


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2.Rx tan2 xdx


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3.R (sin−1 x

)2dx


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4.R (x2 + 1

)e−x dx


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Rw2 lnw dw


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5.Rsin (ln x) dx


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Z 2

1

(ln x)2

x3dx


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6. Use integración por partes para probarRxnexdx = xnex − nR

xn−1exdx


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7. Halle el volumen del sólido que se obtiene al rotar la región acotada pory = ex , y = 3, x = 0; sobre el eje x .


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