Mate Limites

Límitesde

Funciones

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

Matemáticasde

1º y 2º de Bachillerato

Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas

del I.E.S. Siete Colinas

Ceuta 2004

Límites de Funciones

Javier Carroquino Cañas

Matemáticas de 1º y 2º de bachillerato–•–

Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnología

Límites de FuncionesPor

Javier Carroquino CañasCatedrático de matemáticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemáticas

Ceuta 2004

© Javier Carroquino CañasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)Límites de Funciones

Depósito Legal : CE&127&2004

ISBN : 84&689&0025&7

Número de Registro : 64185838

Ceuta 2004

Prólogo

Con este tema “Límites de Funciones”, se avanza unpaso más en el estudio de las funciones que iniciamos

con los temas “Funciones Reales de Variable Real”,“Gráficas de Funciones Reales de Variable Real” y“Propiedades y formas de las Funciones Reales deVariable Real”, pertenecientes a la misma colección.

Dentro del Análisis Matemático&una de las ramas deMatemáticas que más ha contribuido al desarrollo científicoy tecnológico&es básico el concepto y estudio de los límitesde las funciones, que nos permitirá conocer elcomportamiento, la forma y gráfica de una función cuandola variables se “dirige” hacia el infinito (± 4) o cuando lavariable se aproxima “tanto como podamos imaginar” a uncierto número x = a para el cual la función no toma ningúnvalor , pero, sin embargo, si toma valores para cualquiernúmero próximo a ese a. Todo esto con el fin de recabarinformación sobre una función, la cual nos permitiráconocer su forma, sus propiedades y, en definitiva, sugráfica, tanto en todo su dominio como en las proximidades(en un entorno) de un punto.

Una vez desarrollados los conceptos y significadosdel límite de una función, pueden construirse otros que sonpilares fundamentales del Análisis Matemático,“continuidad”, “derivación” e “integración”, que veremosen temas posteriores.

Por último, indicar que el contenido de este tema esútil tanto para alumnos de primer curso como de segundo debachillerato, especialmente para aquellos que cursan algunamodalidad científica o tecnológica.

IMatemáticas de 1º y 2º de bachillerato Límites de Funciones

Índice

Página

1.Introducción ........................................... 12.Límite de una función en un punto. Idea intuitiva........ 1

Ejemplo 1 ........................................... 33.Límite de una función en un punto. Idea gráfica ......... 5

Ejemplo 2 ........................................... 74.Límite de una función en un punto. Definición ........... 8

Ejemplo 3 .......................................... 11Ejemplo 4 ........................................... 11

5.Propiedades de los límites .............................. 12Ejemplo 5 ........................................... 13Ejemplo 6 ........................................... 14Ejemplo 7 ........................................... 14Ejemplo 8 ........................................... 15

6.Límite de una función suma o resta de otras dos ..........15Ejemplo 9 ........................................... 16Ejemplo 10 .......................................... 16

7.Límite de una función producto de otras dos ............. 17Ejemplo 11 .......................................... 17

8.Límite de una función cociente de otras dos ............. 18Ejemplo 12 .......................................... 18Ejemplo 13 .......................................... 19

9.Límite del producto de un número por una función ........ 20Ejemplo 14 .......................................... 20

10.Límite de una función potencia de exponente natural .... 21Ejemplo 15 .......................................... 21

11.Límite de una función potencia de exponente entero .... 22Ejemplo 16 .......................................... 22

12.Límite de una función potencia de exponente racional ....22Ejemplo 17 .......................................... 23Ejemplo 18 .......................................... 23

13.Límite de una función exponencial ..................... 23Ejemplo 19 .......................................... 24

14.Límite de una función logarítmica ..................... 24Ejemplo 20 .......................................... 24Ejemplo 21 .......................................... 25Ejemplo 22 .......................................... 25

15.Límite de una función elevada a otra función ........... 25Ejemplo 23 .......................................... 25

16.Límites de funciones trigonométricas .................. 27Ejemplo 24 .......................................... 27

17.Infinitésimo en un punto ............................... 27Ejemplo 25 .......................................... 27Ejemplo 26 .......................................... 28

18.Orden de un infinitésimo en un punto .................. 28Ejemplo 27 .......................................... 29Ejemplo 28 .......................................... 29

19.Infinitésimos equivalentes ............................. 30Ejemplo 29 .......................................... 30Ejemplo 30 .......................................... 30

IIMatemáticas de 1º y 2º de bachillerato Límites de Funciones

Página

20.La indeterminación 0/0 ................................. 3121.Forma de resolver la indeterminación0/0 ................ 33

Ejemplo 31 .......................................... 34Ejemplo 32 .......................................... 35

22.Límites laterales de una función en un punto ........... 36 Ejemplo 33 .......................................... 42Ejemplo 34 .......................................... 43

23.Límites infinitos en un punto .......................... 44Ejemplo 35 .......................................... 51Ejemplo 36 .......................................... 53Ejemplo 37 .......................................... 54

24.Límites finitos en el infinito.......................... 55Ejemplo 38 .......................................... 59

25.La indeterminación 4'4 ................................. 61Ejemplo 39 .......................................... 62Ejemplo 40 .......................................... 64Ejemplo 41 .......................................... 65Ejemplo 42 .......................................... 66

26.Límites infinitos en el infinito ....................... 67Ejemplo 43 .......................................... 68Ejemplo 44 .......................................... 70Ejemplo 45 .......................................... 71Ejemplo 46 .......................................... 72Ejemplo 47 .......................................... 75

27.La indeterminación 4&4 ................................. 75Ejemplo 48 .......................................... 76Ejemplo 49 .......................................... 76Ejemplo 50 .......................................... 76Ejemplo 51 .......................................... 77Ejemplo 52 .......................................... 78Ejemplo 53 .......................................... 79

28.La indeterminación 14 ................................. 80Ejemplo 54 .......................................... 81Ejemplo 55 .......................................... 82

29.El número e ............................................ 8330.Otras funciones cuyo límite es el número e ............. 84

Ejemplo 56 .... ..................................... 85Ejemplo 57 .... ..................................... 85Ejemplo 58 .... ..................................... 85Ejemplo 59 .......................................... 86Ejemplo 60 .......................................... 87Ejemplo 61 .......................................... 87Ejemplo 62 .......................................... 87Ejemplo 63 .......................................... 88Ejemplo 64 .......................................... 88Ejemplo 65 .......................................... 89Ejemplo 66 .......................................... 90Ejemplo 67 .......................................... 91Ejemplo 68 .......................................... 91

Matemáticas de 1º y 2º de bachillerato Página 1 Límite de Funciones

lim ( )x a

f x l→

=

1.Introducción.-En este tema abordaremos el concepto de límite de una función real de variable real

cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un cierto número a, o bien cuando tiendea infinito (+4 o &4), esto es, la variable se hace tan grande (positiva o negativa) como podamosimaginar.

Para una comprensión y utilización del concepto, intentaremos abordarlo de formaintuitiva y, posteriormente, entendiendo su definición matemática y, muy importante, suinterpretación gráfica. Resaltemos que no se debe intentar aprender los conceptos teórico, talescomo definiciones o propiedades, sin haber comprendido previamente el concepto de un modointuitivo y saber trasladar este a una visión gráfica.

Por último decir, que es recomendable, antes de iniciarse en este tema, que el alumnoconozca previamente los siguientes, de esta misma colección:

L Funciones Reales de una Variable Real.L Gráficas de Funciones Reales de Variable Real.L Propiedades y formas de las Funciones Reales de Variable Real.

2.Límite de una función en un punto. Idea intuitiva-\ Sea y = f (x) una función real de una variable real ( x es la variable independiente).\ Sea Df el dominio de la función f, es decir, el conjunto de números que tienen imagen.\ Sea a un número real, es decir, a 0ú. Puede ocurrir que a pertenezca o no pertenezca

al dominio Df , es decir:Si a0Df , entonces f (a) existe, es decir, f (a)0úSi aóDf , entonces f (a) no existe, es decir, f (a)óú

\ Sea l un número real cualquiera, es decir, l 0ú.\ Vamos a desarrollar y definir el siguiente concepto:

“Límite de la función f (x) cuando x tiende a a es igual a l ”

\ La frase anterior se expresa matemáticamente del siguiente modo:

Ya sabemos como se expresa el concepto en forma matemática. Ahora debemoscomprender su significado.

Límites de Funciones

La lectura de la expresión matemática de la izquierda es “ellímite de la función f (x) cuando x tiende a a, es igual a l ”


lim ( ) ( )x a

f x l f a→

= =

lim ( ) ( )x a

f x l f a→

= ≠

lim ( )x a

f x l→

=

\ Veamos el significado del concepto:

\• Cuando x toma valores muy próximos a a, entonces f (x) (las imágenes de esos x)toman valores muy próximos a l. Es decir:

Si x •a , entonces f (x)•lDicho de otra forma: “Si x toma valores infinitamente próximos a a, las imágenesde esos x toman valores infinitamente próximos a l.

\• Añadimos a lo anterior que, a partir de un número próximo a a, cuanto más“cerca” esté x de a, más “cerca” estará f (x) de l. Es decir:

Si x •a , entonces f (x)•lSi x –a , entonces f (x)–l

\• Además de los puntos anteriores, puede darse alguno de los casos siguientes:\•• El número a pertenece al dominio y es f (a) = l. En este caso será:

\•• El número a pertenece al dominio, pero f (a) … l. En este caso será:

\•• El número a no pertenece al dominio, es decir f (a) óú. En este caso será:

\ Ahora vamos a dar una definición intuitiva del concepto:

Insistimos en la idea:Imagina una sucesión de números x1, x2, x3 , x4 , ÿÿ que se aproximan infinitamente(están infinitamente próximos) a a. Entonces, sus imágenes, f (x1), f (x2), f (x3), f (x4)ÿÿse aproximan infinitamente a l, de tal modo que si queremos que una imagen f (xi), estétan próximo a l como queramos, sólo tenemos que elegir un número xi que esté losuficientemente próximo a a.Puede ocurrir que no exista un número xi tal que f (xi) = l, o puede ocurrir que f (a) = l.

Hemos utilizado las expresiones • y – paradistinguir entre próximo y más próximo.

La expresión de la izquierda nos indica que ellímite de la función f (x) cuando x tiende a a esigual a la imagen de la función en a.

La expresión de la izquierda nos indica que ellímite de la función f (x) cuando x tiende a ano es igual a la imagen de la función en a.

La expresión de la izquierda nos indica que ellímite de la función f (x) cuando x tiende a a esigual a l. No dice nada sobre la imagen de a.

Se dice que el límite de la función f (x), cuando x tiende a a, es igual a l si para valoresde x infinitamente próximos a a, las imágenes de esos x están infinitamente próximosa l, de tal modo que cuanto más próximo esté x de a, más próximo estará f (x) de l.


\ Antes de dar la definición formal y matemática al concepto, veamos un ejemplo que nosafiance la idea intuitiva.

Ejemplo 1.-

Sea la función . f xxx

( ) =−

−

2 42

Es evidente que el dominio de esta función es el conjunto formado por todos los númeroreales excepto el 2, es decir, Df = ú&{2} = (&4,2)c(2,+4).

En efecto: f ( )2 00= ∉ R

Sin embargo, si le damos a x valores distintos de 2, pero infinitamente próximos a este,las imágenes de esos valores existen, es decir:

Si x entonces f xn muy proximo an muy proximo a

un numeroreal≅ = =200

, ( )º &

º &&

Nos hacemos la siguiente pregunta (que planteamos de diversas formas):¿Cómo se comporta la función en las proximidades de x = 2?¿Cómo son las imágenes de f (x) cuando x – 2 ?¿Cómo es la gráfica de la función f (x) cuando x 0Eε(a) ?, siendo ε un nº pequeño.

En definitiva:¿Cuál es el valor de ?lim ( )

x af x

→Vamos a encontrar ese valor de un modo experimental, es decir, daremos a la variable x

valores numéricos muy próximos a 2 y veremos cuanto valen las imágenes de esos números.Para ello construiremos dos tablas de valores para la función f (x). Una con valores de x

muy próximos a 2 por su izquierda, es decir, x = 2& y otra con valores muy próximos por suderecha, esto es, x = 2+.

Si los valores que damos a x se van aproximando cada vez más a 2 y esa aproximaciónes tanta como queramos, puede expresarse del modo x 6 2& (x tiende a 2 por su izquierda, estoes, los valores son menores que 2) y x 62+ (x tiende a 2 por su derecha, esto es, los valores sonmayores que 2).

x = 2& f x xx( ) = −

−2 4

2x = 2+

f x xx( ) = −

−2 4

2

1 3 3 5

1´9 3´9 2´1 4´1

1´99 3´99 2,01 4´01

1´999 3´999 2´001 4´001

1´9999 3´9999 2´0001 4´0001

1´99999 3´99999 2´00001 4´00001

þþþþþþ þþþþþþ þþþþþ þþþþþþ

x 6 2& f (x)64& x 62+ f (x)64+

En la tabla de laizquierda se apreciaque cuando x seaproxima a 2 por suizquierda (x<2), lasimágenes f (x) se vanaproximando a 4 porsu izquierda (f (x) = 4&)

A la derecha tenemosque cuando x seaproxima a 2 por suderecha (x>2), susimágenes se vanaproximando a 4 porsu derecha ( (f (x) = 4+)


{f x x g xxx

x xx

si x( ) ( )

( ) ( )= = = + =−

−+ ⋅ −

−≠

2 42

2 22

22

Pues bien, en este caso se dice que “el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2 es igual a 4"Se expresa de la forma:

El significado de esta expresión es la siguiente: “Para valores de xinfinitamente próximos a 2 (tanto por su izquierda como por suderecha), las imágenes de esos x están infinitamente próximos a 4"

Añadimos que esa aproximación de f (x) a 4 es tanta como podamos imaginar (excepto f (x) = 4). Paraque f (x) se aproxime a 4 una cantidad deseada basta con tomar un x suficientemente próximo a 2En la función que nos ocupa en este ejemplo, podemos matizar dos casos:

El significado de esta expresión es la siguiente: “Para valores dex infinitamente próximos a 2 por su izquierda, las imágenes deesos x están infinitamente próximos a 4 (pero por su izquierda)"Puede apreciarse como si damos a x un valor infinitamentepróximo a 2, pero menor que 2, su imagen es un númeroinfinitamente próximo a 4, pero menor que 4.

El significado de esta expresión es: “Para valores de xinfinitamente próximos a 2 por su derecha, las imágenes de esosx están infinitamente próximos a 4 (pero por su derecha)".Puede apreciarse como si damos a x un valor infinitamentepróximo a 2, pero mayor que 2, su imagen es un númeroinfinitamente próximo a 4, pero mayor que 4.

En concreto y en esta función, podemos expresar:Nos viene a decir que el límite dela función f (x) cuando x tiende a 2,tanto por su derecha como por suizquierda (simplemente, cuando xtiende a 2), es igual a 4.

Continuemos con la función f (x) del ejemplo y observa lo siguiente:

Nos preguntamos: ¿Son la misma función f (x) y g(x)?. Nótese que aparentemente son distintas,pero una de ellas la hemos obtenido al simplificar la otra..Pues bien:

Tenemos dos funciones

f x

yg x x

xx( )

( )

=

= +

−−

2 42

2

lim ( )x

f x→

=2

4

lim ( ) ( )x

f x→

−−

=2

4 4

lim ( ) ( )x

f x→

++

=2

4 4

lim ( ) lim ( ) lim ( ) limx x x x

xxf x f x f x

→ → → →−

−− += = = =

2 2 2 24

22

4

NOTA: Quede claro que podría darse el caso de una función h(x) tal que, en cuyo caso se dice que no existe.lim ( ) lim ( )

x xh x h x

→ →− +≠

2 2lim ( )x

h x→ 2

En la expresión de la izquierda hemossimplificado la función f (x) al dividirnumerador y denominador por x&2, algoque se puede hacer para cualquier x…2.El resultado es otra función: g (x) = x+2

Resulta que las funciones f (x) y g(x) soniguales para todo x0ú excepto x = 2 ya quef (2) no existe y, sin embargo, g (2)= 4. Es decir: œx0ú (x…2) es f (x) = g(x)


f xxx

x si xno existe si x( ) =

−−

=+ ≠

=

2 44

2 22

Por tanto:

Dibujemos las gráficas de f (x) y g(x):

x g(x) = x+2 (recta)

0 2

4 6

x f x xx( ) = −

−2 4

2

0 2

2 no existe

3 5

4 6

5 7

-2 0

Ahora vamos a ver como se halla el límite buscado:

lim ( ) lim lim lim ( )( ) ( )

x xxx x

x xx x

f x x→ →

−− →

+ −− →

= = = + = + =2 2

42 2

2 22 2

2

2 2 2 4

Debe entenderse que la expresión significa que x se aproxima a 2 por su derechax → 2y por su izquierda, tanto como se pueda imaginar, pero sin llegar a ser igual a 2, por lo que lasimplificación de la fracción entre x&2 es posible ya que x&2…0.

Al final substituimos x por 2, pero la idea es que ese 2 es el límite a donde tiende x y elresultado es 4, es decir, al valor al que se aproxima f (x) tanto como podamos imaginar (sin quellegue nunca a ser f (x) = 4).

Es importante que los dos párrafos anteriores se comprendan perfectamente para poderentender el concepto de límite.

3.Límite de una función en un punto. Idea gráfica.-En el apartado anterior veíamos la idea intuitiva del límite de una función f (x) cuando

x tiende a un número a, el cual podía pertenecer o no al dominio de f (x).Veíamos también un ejemplo aclaratorio de la idea intuitiva y de la interpretación gráfica

del mismo.

La interpretación gráfica de la igualdad entrelas funciones f (x) y g(x) es que g(x)=x+2 esuna recta y f(x) es otra “recta” que coincidecon g(x) en todos sus puntos excepto en x = 2.

A la izquierda tenemoslas tablas de valores deambas funciones y a laderecha sus gráficas.

Observa que estas sonidénticas excepto en elpunto de coordenadas(2,4) en el que la rectag(x) aparece con un C,mientras que en lafunción f (x) aparece BNótese que C es paraindicar que existefunción en el punto (haygráfica), mientras que Bes para indicar que nohay función en el punto(no hay gráfica).


lim ( )x a

f x l→

=

a D

f x l f af

x a

graficamente∈

= ≠

→

→lim ( ) ( )

&

a D

f x lf

x a

graficamente∉

=

→

→lim ( )

&

En este apartado abundaremos sobre la interpretación gráfica del límite de una funcióncuando la variable independiente tiende a un número a y los diversos casos que pueden darse.3 Supongamos una función f (x) cuyo dominio es Df. Supongamos que a es un número real, es decir, a 0ú. Supongamos que “el límite de f (x) cuando x tiende a a es igual a l “, es decir:

3 Puede darse alguna de las situaciones siguientes: 3.1.El número a pertenece al dominio y además su imagen coincide con el límite l. Es decir:

a D

f x l f af

x a

graficamente∈

= =

→

→lim ( ) ( )

&

En la figura 2 tenemos representada “untrozo” de la gráfica de una función f (x)talque f (a) existe (el C resalta esto, aunqueno es necesario ponerlo).Observa quecuando x está infinitamente próxima a a, susimágenes están infinitamente próximas a f(a) = l (límite de f (x) cuando x tiende a a).

3.2.El número a pertenece al dominio, pero su imagen no coincide con el limite l. Es decir

En la figura 3 tenemos representada “untrozo” de la gráfica de una función f (x)talque f (a) existe, pero no coincide con ellímite de f (x) cuando x tiende a a.Observa que el punto B (es necesarioponerlo) es para indicar que en ese puntode la curva hay un “agujero” porque laimagen de a no está “donde deberíaestar”.El punto C (es necesario ponerlo) nos indica como f (a) existe, pero estádesplazada de “su sitio”.

3.3.El número a no pertenece al dominio (no tiene imagen).

La figura 4 nos explica de un modo gráficoque f (a) no existe (punto B), sin embargo,cuando x toma valores infinitamentepróximos a a, sus imágenes f (x) estáninfinitamente próximas a l, sin llegar a valernunca l.

Recuerda: “Para valores de x infinitamente próximos a a, lasimágenes de esos x están infinitamente próximos a l.


Ejemplo 2.-Sea la función , se pide:f x x x

x( ) = − +

−3 18 27

2 18

2

2

a) Halla su imagen para x = 3b) Comprueba experimentalmente que el límite de f (x) cuando x tiende a 3 es 0.c) Da una idea gráfica de f (x) en un entorno de centro a = 3.

Veamos:a) Imagen de f (x) para x = 3 :

Para x = 3 no hay imagen.x f f= ⇒ = = ∉ ⇒ ∉⋅ − ⋅ +⋅ −

3 3 3 3 18 3 272 3 18

00

2

2( ) R 3 Db) Comprobar de un modo experimental consiste en darle valores a la variable x que estén

infinitamente próximos a 3. Ya sabemos que para x = 3 no hay imagen, pero veamos queocurre en sus proximidades.Para ello daremos a x valores sucesivos que se acercan a 3 tanto por su derecha como porsu izquierda:

x → −3 f x( ) x → +3 f x( )

2 &0´3 4 0´21428571ÿÿ

2´9 &0´02542372ÿÿ 3´1 0´02459016ÿÿ

2´99 &0´0025041736ÿÿ 3´01 0´00249584026þþ

2´999 &0´000250041673ÿÿ 3´001 0´000249958340þþ

2´9999 &0´0000250004166ÿ 3´0001 0´0000249995833þ

þþþþþþ ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ þþþþþþ ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ

x → −3 f x( ) → −0 x → +3 f x( ) → +0Puede apreciarse que cuando damos a x valores que se aproximan infinitamente a 3 porsu izquierda, la función toma valores infinitamente próximos a 0 por su izquierda ycuando x toma valores infinitamente próximos a 3 por su derecha, las imágenes seaproximan infinitamente a 0 por su derecha.Matemáticamente:

lim ( ) ( )

lim ( ) ( )lim ( )x

xx

f x

f xf x→

−

→+ →

−

+

=

=

⇒ =3

33

0 0

0 00

NOTA: Quede claro que una comprobación experimental no puede considerarse como undemostración, es decir, esto no garantiza que el límite sea 0. No obstante, en este caso es ciertoya que lo asegura el enunciado del ejemplo

c) La figura 5 es una idea esquemática delcomportamiento de la función en lasproximidades de x = 3, pero no es larepresentación exacta de dicha función.Observa como a la izquierda de x = 3 esf (x)< 0 y a la derecha es f (x)> 0.

Es decir : “para valores de x infinitamentepróximos a 3, tanto por su izquierda comopor su derecha, sus imágenes estáninfinitamente próximas a 0".


4.Límite de unafunción en un punto. Definición.-L Hemos de suponer que al llegar a este punto se han comprendido las ideas intuitivas y

gráficas del concepto “límite de una función en un punto”. L En este apartado vamos a dar un definición formal matemática a dicho concepto. Esta

definición debe ser totalmente coherente con lo expresado en los apartados anteriores.Veamos:O Sea y = f (x) una función real de variable real cuyo dominio denominamos Df.O Sea a un número real que puede pertenecer o no pertenecer al dominio de f, es decir:

a 0ú y a0Df o a óDfImagina que el número a está representado en el eje de abcisas (eje OX).

O Sea l otro número real cualquiera. Imagina a l representado en el eje de ordenadas.O Vamos a definir el concepto “limite de la función f (x) cuando x tiende a a es igual a l ”

y lo expresaremos de la forma : lim ( )x a

f x l→

=

Matemáticamente: ( z)

O Vamos a ver que esta definición concuerda con la idea intuitiva y la idea gráfica:En la figura 6 hemos representado una hipotéticafunción f (x) en la que f (a) no existe (o bienexiste y está fuera de la curva). Es indiferente elque f (a) exista o no exista, pero en este casohemos expresado que f (a)…l.Por tanto: lim ( )

x af x l

→=

Partiendo de la figura 6, expliquemos ladefinición del recuadro ( z):

Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a a es igual a l, sí y sólo sí paracualquier entorno de centro l y radio ε, existe otro entorno de centro a y radio δ, tal que si xes un número (distinto de a) que está en este entorno, entonces su imagen f (x) está en aquel.

lim ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )x a

x a

f x l E l E a si x E a entonces f x E l→

≠

= ⇔ ∀ ∃ ∈ ∈ε ∂ ∂ ε1 24 34


Figura 7a.- Hemos dibujado un trozo de la gráfica de una función f (x) cuyo límitecuando x tiende a a es l. Observa que en este caso no hemos situado laimagen de a, es decir, f (a), porque no existe o porque existe, pero quedafuera de la figura (el que exista o no la imagen de a, es indiferente). Encualquier caso:

lim ( ) ( )x a

f x l f a→

= ≠

Observa que hemos tomado un número ε > 0 y construido el entornoabierto de centro l y radio ε, es decir: Eε(l) = (l&ε , l+ ε).NOTA: El valor ε lo tomamos arbitrariamente (generalmente pequeño)

Figura 7b.- En esta figura se aprecia como para ese valor ε > 0 que tomamosanteriormente en el eje de ordenadas, encontramos un valor δ > 0 (ver ejeOX) al trazar desde los puntos l&ε y l+ ε paralelas al eje de abcisas hastala gráfica de f (x) y posteriormente paralelas al eje de ordenadas hasta eleje de abcisas. La menor de las distancias de los puntos obtenidos hastael punto a, será δ. De este modo obtenemos el entorno abierto de centroa y radio δ, es decir: Eδ(a) = (a&δ , a+δ)NOTA: Insistimos en que debes apreciar que el entorno Eδ(a) se

obtiene a partir de Eε(l) (elegido arbitrariamente). Por esola definición dice : œ Eε(l) , › Eδ(a) etc.

La figura 8 termina de explicar gráficamente la definición, es decir : * si x0Eδ(a),entonces f (x)0Eε(l) . Veamos:Figura 8a.- A partir del intervalo (a&δ , a+δ) del eje de abcisas trazamos una “banda”

vertical sombreada hasta la curva de f (x) y de esta otra horizontal hastael eje de ordenadas. Observa que se produce un intervalo dentro del queteníamos (l&ε , l+ ε).

Figura 8b.- Observa que cualquier x que tomemos tal que x0Eδ(a) = (a&δ , a+δ), severifica que f (x)0Eε(l) = (l&ε , l+ ε), es decir, las “líneas guías” quecomunican x con f (x) quedan dentro de las bandas sombreadas.

Puedes imaginar que “por muy pequeño que tomemos ε, siempre encontraremos un δ”que verifique la definición, es decir, “si queremos que f (x) esté infinitamente próximoa l “ (ε muy pequeño), “tendremos que tomar un x infinitamente próximo a a “ (δ muypequeño también).


a x a x a− < < + ⇔ − < − <∂ ∂ ∂ ∂

l f x l f x l− < < + ⇔ − < − <ε ε ε ε( ) ( )

x a− < ∂

f x l( ) − < ε

O Se supone que en el punto anterior se ha comprendido la definición del recuadro ( z)correspondiente al límite de una función f (x) cuando x tiende a a.En este punto vamos a modificar ligeramente la definición, dejando claro que el conceptoes el mismo. Veamos:º Identificamos el entorno Eε(l) con el número ε. Nótese que si conocemos ε

tenemos Eε(l).º Identificamos el entorno Eδ(a) con el número δ. Nótese que si conocemos δ

tenemos Eδ(a).De este modo, la definición del recuadro ( z) quedará:

( zz)

La definición ( zz) también podemos modificarla considerando lo siguiente:º x E a a a a x a∈ = − + ⇔ − < < +∂ ∂ ∂ ∂ ∂( ) ( , )º f x E l l l l f x l( ) ( ) ( , ) ( )∈ = − + ⇔ − < < +ε ε ε ε εDe este modo la definición ( zz) quedará:

( zzz)

La definición ( zzz), nuevamente podemos modificarla, al considerar lo siguiente:

º

º

De este modo la definición ( zzz) queda:( zzzz)

Esta última definición es la más operativa para la resolución de cierto tipo de problemas,pero debe entenderse que ( z), ( zz) , ( zzz) y ( zzzz) son equivalentes.

lim ( ) , ( ) , ( ) ( )x a

x a

f x l si x E a entonces f x E l→

≠

= ⇔ ∀ > ∃ > ∈ ∈ε ∂ ∂ ε0 01 24 34

lim ( ) , , ( )x a x a

f x l si a x a entonces l f x l→ ≠

= ⇔ ∀ > ∃ > − < < + − < < +ε ∂ ∂ ∂ ε ε0 0 1 244 344

lim ( ) , , ( )x a

x a

f x l si x a entonces f x l→

≠

= ⇔ ∀ > ∃ > − < − <ε ∂ ∂ ε0 01 24 34

Es decir, el que x esté entrea&δ y a+δ equivale a queel valor absoluto de x&a esmenor que δ

El que f (x) esté entre l&ε yl+ε equivale a que el valorabsoluto de f(x)&l es menorque ε.


Ejemplo 3.-Sea la función . Pedimos lo siguiente:f x x

x( ) = −−

4 41

2

a) Hallar la imagen de x = 1.b) Demuestra que el límite de f (x) cuando x tiende a 1 es 8.c) Considera un entorno de centro 8 y radio ε = 0´01. Halla el mayor entorno de centro 1 tal

que podamos asegurar que todo x de ese entorno tiene a su imagen en el entorno de centro8 y radio ε = 0´01.

Veamos:

a) f x no tiene imagen f( )14 1 4

1 100

2=

⋅ −−

= ∉ ⇒ ⇒ ∉R =1 1 D

b) Hemos visto que 1 no tiene imagen, pero ahora veremos que ocurre en las proximidadesde este valor, esto es, a donde se aproxima la función cuando x tiende a 1. Según elenunciado, las imágenes se aproximan infinitamente a 8 (el límite es 8).

{lim ( ) lim lim( )

lim( )( )

lim ( )x x x x x x

f xxx

xx

x xx

x→ → → → ≠ →

=−

−=

−−

=+ −

−= + = ⋅ + =

1 1

2

1

2

1 1 1

4 41

4 11

4 1 11

4 4 4 1 4 8

Es decir : “Para valores de x infinitamente próximos a 1, sus imágenes f (x) estáninfinitamente próximas a 8".

c) Se trata de aplicar la definición de límite de una función al caso . lim ( )f xx

=→

81

Aplicamos la definición ( zzzz):

lim ( ) , , ( )x

x

f x si x entonces f x→

≠

= ⇔ ∀ > ∃ > − < − <1

1

8 0 0 1 8ε ∂ ∂ ε1 24 34

Consideremos ε = 0´01. ¿Cuál es el valor de δ ? Veamos:

f x x x x

x x x x

x x x

( ) − < ′ ⇔ + − < ′ ⇔ − < ′ ⇔ − ′ < − < ′ ⇔

⇔ − ′ < < + ′ ⇔ ′ < < ′ ⇔ < < ⇔ ′ < < ′ ⇔

⇔ − ′ < < + ′ ⇔ ′ < − < ′ ⇔ − < ′

′ ′

8 0 01 4 4 8 0 01 4 4 0 01 0 01 4 4 0 01

4 0 01 4 4 0 01 3 99 4 4 01 0 9975 1 0025

1 0 0025 1 0 0025 0 0025 1 0 0025 1 0 0025

3 994

4 014

Es decir: f x x( ) − < ′ ⇔ − < ′8 0 01 1 0 0025Literalmente: “La imagen de x dista de 8 una cantidad inferior a ε = 0´01 sí y sólo sí

x dista de 1 una cantidad inferior a δ = 0´0025".Conclusión: Para ε = 0´01 tenemos que δ = 0´0025

Ejemplo 4.-Consideremos la función y los resultados del ejemplo anterior (ejemplo 3).Tomemos un valor cualquiera x0 tal que x00E0´0025(1) y comprobemos que f (x0)0E0´01(8).

Veamos:Tomemos x0 tal que 1&0´0025 < x0 < 1+ 0´0025 , es decir, 0´9975 < x0 < 1´0025.Por ejemplo x0 = 1´0022Su imagen : f E( ) ( , ) ( )1 0022 4 1 0022 4 8 0088 7 99 8 01 80 01′ = ⋅ ′ + = ′ ∈ ′ ′ = ′


5.Propiedades de los límites.-Una vez comprendido el concepto, significado y la interpretación gráfica del límite de una

función en un punto, veremos algunas de las propiedades más elementales de este concepto:

Propiedad 1.- Sea f (x) una función tal que .lim ( )x a

f x l→

=

Consideremos la función g(x) definida de la forma: g x f x l( ) ( )= −

Pues bien, se verifica que

Demostración:Apliquemos la definición al caso para ver que la cumple:lim ( )

x ag x

→= 0

lim ( ) , , ( )x a

x a

g x si x a entonces g x→

≠

= ⇔ ∀ > ∃ > − < − <0 0 0 0ε ∂ ∂ ε1 24 34

Ahora bien: (son la misma).g x g x f x l( ) ( ) ( )− < ⇔ < ⇔ − <0 ε ε εSubstituyendo:

lim ( ) , , ( )

( )

x ax a

g x si x a entonces f x l→

≠

∗

= ⇔ ∀ > ∃ > − < − <0 0 0ε ∂ ∂ ε1 24 34

6 744444444444 844444444444

Hemos “marcado” la segunda parte de la definición con (*). Veamos el motivo:Sabemos que (hipótesis de la propiedad). Por tanto, podemos asegurar:lim ( )

x af x l

→=

∀ > ∃ > − < − <

≠

ε ∂ ∂ ε0 0, , ( )&

si x a entonces f x lx a

1 24 34

Es la definicionde ese limite

Esto significa que lo marcado como (*) es cierto.Como y la parte derecha es cierta, la izquierda también lo será.lim ( ) ( )

x ag x

→= ⇔ ∗0

Conclusión: como queríamos demostrar (c.q.d.)( )lim ( ) lim ( )

x a x ag x f x l

→ →= − = 0

Propiedad 2.- Si una función f (x) tiene límite cuando x tiende a a, ese límite es único.

Es decir : No demostraremos esta propiedad.Sif x l

f x l l lx a

x a

lim ( )

lim ( )→

→

=

= ′

⇒ = ′

Propiedad 3.- Si f (x) = k es una función constante (función polinómica de grado 0) y a esun número real cualquiera, entonces su límite cuando x tiende a a es k.

( )lim ( ) lim ( )x a x a

g x f x l→ →

= − = 0Es decir, el límite de lafunción g(x) cuando xtiende a a es 0


Es decir:

R R R R constantex

f

f(x) k x a x aa es f x k k siendo k →

⇒ ∀ ∈ = = ∈

= → →lim ( ) lim ( )

En efecto:La función f (x) = k nos dice que para todo valor que demos a x, su imagen es k, lo cualserá válido para valores de x que estén infinitamente próximos a a (incluido a), por loque podemos decir que “para valores de x infinitamente próximos a a, sus imágenes estáninfinitamente próximos a k (ya que son k)”.En este caso, por tanto: lim ( ) ( )

x af x k f a

→= =

Propiedad 4.- Si I (x) = x es la función identidad (función que transforma a todo número realen sí mismo), entonces su límite cuando x tiende a a es a. Es decir:

R R Rx

I

I(x) x x a x aa es I x x a →

⇒ ∀ ∈ = =

= → →lim ( ) lim

En efecto:La imagen de cualquier número x es el propio x, por lo que la imagen de un número deltipo a+o a& será I (a+)= a+ o I (a&)= a&, es decir, cuando x 6 a, es evidente que I (x) 6 a

Propiedad 5.- Si f (x) es una función polinómica de grado n y a es un número real cualquiera,entonces el límite de f (x) cuando x tiende a a es igual a f (a) . Es decir:

( )f x x x x con n

f x x x x a a a f an

n

x a x an

nn

n

( )

( ) ( )

= + + + + ∈

= + + + + = + + + + =→ →

α α α α

α α α α α α α α0 1 2

2

0 1 22

0 1 22

LL

LL LL

N

lim lim

En efecto:Si x a f x x x x

a a a f a

≅ ⇒ = + + + + ≅

≅ + + + + ≅

( )

( )

α α α α

α α α α0 1 2

22

2

0 1 22

22

LL

LL

Es decir, “para valores de x infinitamente próximos a a, sus imágenes están infinitamentepróximas a f (a), siendo esta aproximación tanta como podamos imaginar”.

Ejemplo 5.-Consideremos la función que vimos en el ejemplo 3 y cuyo límitef x x

x( ) = −−

4 41

2

cunado x tiende a 1 es igual a 8, es decir, lim ( ) .x

f x→

=1

8

Definamos ahora la función g x f x xx

x xx( ) ( )= − = − =−

−− +−8 84 4

14 8 4

12 2

Vamos a comprobar experimentalmente (con calculadora) que lim ( )x

g x→

=1

0

Veamos (quede claro que no se trata de una demostración, sino de una comprobación):

x x g

x x g

= ′ = ⇒ ′ = = = − ′ ≅

= ′ = ⇒ ′ = = = ′ ≅

− ⋅ ′ − ⋅ ′ +′ −

′− ′

−

+ ⋅ ′ − ⋅ ′ +′ −

′′

+

0 999 1 0 999 0 004 0 0

1 001 1 1 001 0 004 0 0

4 0 999 8 0 999 40 999 1

0 0000040 001

4 1 001 8 1 001 41 001 1

0 0000040 001

2

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )


Lo expresamos de la forma:

[ ] [ ]lim ( ) lim ( ) lim limx x x

xx x

x xxg x f x

→ → →−

− →− +−= − = − = =

1 1 14 4

1 14 8 4

18 8 02 2

Ejemplo 6.-Sea la función constante que transforma todo número real en . − 103

Queremos hallar el límite de esa función cuando x tiende a .11 7Veamos:

es la función constanteh x( ) = −103

lim ( ) limx x

h x→ →

= − = −117

117

10 103 3

Ejemplo 7.-Sea la función identidad I (x) = x.Queremos hallar el límite de dicha función cuando x tiende a &2.

Veamos: lim ( ) lim

x xI x x

→ − → −= = −

2 22

Es decir, “para valores de xinfinitamente próximos a &2, susimágenes están infinitamentepróximas a &2"

En este caso el límite cuando xtiende a &2 coincide con laimagen de &2, es decir:

lim ( ) ( )x

I x I→ −

= − = −2

2 2

La figura 9 es una representacióngráfica de la función identidad enla que resaltamos la imagen enx = &2 y en la que puede apreciarse que si tomamos valores para x infinitamente próximosa &2, sus imágenes también están infinitamente próximas a &2.Apréciese lo siguiente por la simple observación de la figura:

lim ( )

lim ( ) lim ( )x

xx

I x

I x I x→ −

→ −→ −

−

+

= −

= −

⇒ = −2

22

2

2 2

Puede observarse que lim ( ) ( )x a

I x I a a a→

= = ∀ ∈ R

Cuando x toma valoresinfinitamente próximos a1, las imágenes de g(x)están infinitamentepróximas a 0.

En este caso se verifica que:

( )lim ( )x

h x h→

= = −117

117

3 10


Ejemplo 8.-Dada la función polinómica de grado 3 , queremos hallarf x x x x( ) = − − +6 12 2 43 2

su límite cuando x tiende a 2´5.Veamos:

( )lim ( ) lim ( )x x

f x x x x f→ ′ → ′

= − − + = ′ = ⋅ ′ − ⋅ ′ − ⋅ ′ + = ′2 5 2 5

3 2 3 26 12 2 4 2 5 6 2 5 12 2 5 2 2 5 4 17 75

Por tanto: “Cuando x toma valores infinitamente próximos a 2´5, sus imágenes estáninfinitamente próximas a 17´75". Además, para x = 2´5 existe la imagen y suvalor es 17´75.

Observa que la gráfica es creciente en elpunto x = 2´5.

6.Límite de una función suma o resta de otras dos.-Z Sean f (x) y g(x) dos funciones reales de variable real.Z Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) la función suma de ambas.Z Sea a un número real, es decir, a0ú.

Z Supongamos que lim ( )

lim ( )x a

x a

f x l

g x k→

→

=

=

Pues bien:“El límite de la función suma es igual a la suma de los límites”

Es decir:“El límite de la función (f + g)(x) cuando x tiende a a es igual a la suma de los límitesde las funciones f (x) y g(x) cuando x tiende a a”

Matemáticamente:

NOTA: Se puede demostrar esta propiedad viendo que verifica la definición de límite siguiente

( ) ( )lim ( ) , , ( ) ( )x a

f g x l k si x a entonces f g x l k→

+ = + ⇔ ∀ > ∃ > − < + − + <ε δ δ ε0 0

Para dar una idea gráfica aproximada de lafunción f (x) en un entorno de centro x = 2´5,damos algunos valores próximos a 2´5 tanto asu derecha como a su izquierda :x fx fx f

= ′ ⇒ ′ = ′= ′ ⇒ ′ = ′= ′ ⇒ ′ = ′

2 499 2 499 17 699532992 5 2 5 17 752 501 2 501 17 80053301

( )( )

( )En la figura 10 tenemos una idea (no lagráfica exacta) sobre el comportamiento de f (x) en las proximidades de 2´5.

( )lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x l k→ → →

+ = + = +


Para el caso de la resta de funciones será:

Ejemplo 9.-

Sean las funciones y sea 10ú.f x x x

g x x x x

( )

( )

= − +

= + + −

2 5 3

3 1

2

3 2

Hallemos los límites de estas funciones cuando :x → 1lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( )x x

x x

f x x x

g x x x x→ →

→ →

= − + = ⋅ − ⋅ + = − + =

= + + − = + + ⋅ − = + + − =

1 12 2

1 13 2 3 2

2 5 3 2 1 5 1 3 2 5 3 0

3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 4

Construyamos la función suma (f + g)(x) :( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )f g x f x g x x x x x x x x x

f x g x+ = + = − + + + + − = + − +2 5 3 3 1 3 2 22 3 2 3 2

1 244 344 1 244 344

Hallemos el límite de (f + g)(x) cuando :x → 1lim ( ) ( ) lim ( )x x

f g x x x x→ →

+ = + − + = + ⋅ − ⋅ + = + − + =1 1

3 2 3 23 2 2 1 3 1 2 1 2 1 3 2 2 4

Observa que lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f g x f x g x→ → →

+ = = + = +1 1 1

4 0 4

Ejemplo 10.-Sea la función . Queremos hallar su valor para x = 1 y su límiteh x x x

x( ) = + −−

2 2 31

cuando x tiende a 1.Veamos:

Para x = 1 tenemos , es decir, x = 1 no tiene imagen.h( )1 1 2 1 31 1

00

2

= = ∉+ ⋅ −− R

Veamos que ocurre cuando x está infinitamente próxima a 1, es decir, cuando x → 1

( ){

lim ( ) lim lim lim lim lim

lim lim lim ( ) lim ( )( ) ( ) ( )

x xx x

x xx x

x xxx

xx x

xx x

xx

x

x xx x

xx x x

h x

x

ya que x

→ →+ −

− →− + −

− →−

−−− →

−− →

−−

→

+ −− →

−−

↓ → →

= = = + = + =

= + = + + = + + = + =

≠

1 12 3

1 11 2 2

1 11

12 2

1 11

1 12 2

1

1

1 11 1

2 11 1 1

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 2 4

1

Obsérvese que hemos descompuesto la función h (x) en suma de otras dos cuyos límitescuando x tiende a 1 es fácil de calcular, es decir:

con h x f x g x siendof x

g x

xxxx

( ) ( ) ( )( )

( )= +

=

=

−−−−

2 11

2 21

lim ( )

lim ( )x

x

f x

g x→

→

=

=

1

1

2

2



− = − = −

Si x está infinitamentepróximo a 1, las imágenesh(x) están infinitamentepróximas a 4


7.Límite de una función producto de otras dos.-” Sean f (x) y g(x) dos funciones reales de variable real.” Sea (f · g)(x) = f (x) · g(x) la función producto de ambas.” Sea a un número real, es decir, a 0ú.

” Supongamos que lim ( )

lim ( )x a

x a

f x l

g x k→

→

=

=

Pues bien:“El límite de la función producto es igual al producto de los límites”

Es decir:“El límite de la función (f · g)(x) cuando x tiende a a es igual al producto de los límitesde las funciones f (x) y g(x) cuando x tiende a a”

Matemáticamente:

NOTA: Sepuede demostrar esta propiedad viendo que verifica la definición de límite siguiente

( )lim ( ) , , ( )( ) ( )x a

f g x l k si x a entonces f g x l k→

⋅ = ⋅ ⇔ ∀ > ∃ > − < ⋅ − ⋅ <ε δ δ ε0 0

Ejemplo 11.-

Sean las funciones y el número real &2.f x x x

g x x

( )

( )

= +

= −

3

5

2

2

Construyamos la función producto (f · g)(x) :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f g x f x g x x x x x x x x

f g x x x x x

⋅ = ⋅ = + ⋅ − = − + −

⋅ = + − −

3 5 3 15 5

3 15 5

2 2 4 2 3

4 3 2

Hallemos los límites de las funciones f , g y f · g cuando :x → −2

lim ( ) lim ( ) ( ) ( )

lim ( ) lim ( ) ( )

lim ( )( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x

x x

x x

f x x x

g x x

f g x x x x x

→ − → −

→ − → −

→ − → −

= + = ⋅ − + − = − =

= − = − − = − = −

⋅ = + − − = ⋅ − + − − ⋅ − − ⋅ − = −

2 22 2

2 22 2

2 24 3 2 4 3 2

3 3 2 2 12 2 10

5 2 5 4 5 1

3 15 5 3 2 2 15 2 5 2 10

Observa que:lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) ( )

x x xf g x f x g x

→ − → − → −⋅ = ⋅ = ⋅ − = −

2 2 210 1 10

NOTA: Apréciese que en este caso la función (f · g)(x) es una función polinómica y su límitecuando x tiende a &2 coincide con (f · g)(&2 ) = &10.



⋅ = ⋅ = ⋅


8.Límite de una función cociente de otras dos.-— Sean f (x) y g(x) dos funciones reales de variable real.

— Sea la función cociente de ambas.fg

f xg xx

=( )

( )( )

— Sea a un número real, es decir, a 0ú.

— Supongamos que lim ( )

lim ( )x a

x a

f x l

g x k→

→

=

= ≠

0

Pues bien:“El límite de la función cociente igual al cociente los límites”

Es decir:

“El límite de la función cuando x tiende a a es igual al cociente de los límitesfg x

( )

de las funciones f (x) y g(x) cuando x tiende a a” Matemáticamente:

En la expresión anterior puedeapreciarse por qué se exige queel límite del denominador seadistinto de 0.

NOTA: Se puede demostrar esta propiedad viendo que verifica la definición de límite siguiente

lim ( ) , , ( )x a

fg

lk

fg

lkx si x a entonces x

→

= ⇔ ∀ > ∃ > − <

− <ε δ δ ε0 0

Ejemplo 12.-

Sea la función . h xx x x x

x x( ) =

− + − ++ −

2 6 9 3 13 9 8

4 3 2

3

Queremos hallar su límite cuando x tiende a 23

Veamos:La función h(x) se puede considerar como un cociente de otras dos (en este caso

polinómicas). Por tanto:

( )( )

( ) ( ) ( )( )

lim ( ) lim

lim

limx x

x

x

h xx x x x

x x

x x x x

x x→ →

→

→

− +

− −

=− + − +

+ −=

− + − +

+ −=

=⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

⋅ + ⋅ −=

− + − +

+ −= = = −

⋅

23

23

23

23

2 6 9 3 13 9 8

2 6 9 3 1

3 9 8

2 6 9 3 1

3 9 8

4 2 1

6 8

131 9

4 3 2

3

4 3 2

3

23

4 23

3 23

2 23

23

3 23

3281

169

89

32 144 24381

8 189

13181109

( )81 1013190

23⋅

= − = h

Observa que en este caso coincide el límite con el valor de la función h(x) en el punto 2/3.

lim ( ) limlim ( )

lim ( )( )( )x a

fg x a

f xg x

x a

x a

xf x

g xlk→ →

→

→

= = =


Ejemplo 13.-

Sean las funciones f x x

g x x x

( )

( )

= +

= − −

2

2

1

6

Veamos:a) Llamamos h(x) a la función cociente

. Por tanto: h x xfg

f xg x

xx x

( ) ( )( )( )=

= = +

− −

2

21

6 h x xx x

( ) = +− −

2

21

6b) Para x = 3 :

h( )3 3 13 3 6

100

2

2= = ∉+− −

R

c) Veamos que ocurre cuando x tiende a 3:

( )( )lim

lim

limxx

x

xx x

x

x x→→

→

+− −

=+

− −=

+− −

= ∉3

2

23

2

32

2

21

6

1

6

3 13 3 6

100

R

En este caso la última igualdad no se refiere exactamente a “10 dividido entre 0", sino a“números infinitamente próximos a 10 divididos entre números infinitamente próximosa 0",cuyos resultados son, evidentemente, números reales (aunque resaltamos que 10/0no lo es). No obstante, el resultado del límite no es un número real, es decir, esoscocientes que hemos mencionado no se acercan a ningún número concreto.Investiguemos hacia donde se aproximan esos números:

x → −3 h x xx x

( ) = +− −

2

21

6x → +3 h x x

x x( ) = +

− −

2

21

6

2 -1´25 4 2´833333ÿÿ

2´9 &19´2040816ÿÿ 3´1 20´8039215ÿÿ

2´99 &199´200400ÿÿ 3´01 200´800399ÿÿ

2´999 &1999´20004 3´001 2000´800039ÿÿ

2´9999 -19999´200004ÿÿ 3´0001 20000´8000039ÿÿ

þþþþþ þþþþþþþþþþþþþ þþþþþ þþþþþþþþþþþþþ

3& & 4 3+ + 4De una forma intuitiva podemos decir que:

lim ( )

lim ( )lim ( )x

xx

h x

h x h x→

→→

−

+

= − ∞

= + ∞

⇒ /∃3

33

Pedimos lo siguiente:

a) Construir la función cociente fg

b) Hallar su imagen para x = 3.c) Hallar su límite cuando x tiende a 3.

El significado de esta expresión es que para x = 3 no existeimagen, es decir, h (3) óú. Quede claro que la segundaigualdad de la expresión no es una igualdad entre números.

Para valores de x infinitamente próximos a 3 por suizquierda, las imágenes h(x) se hacen infinitamentegrandes negativas y cuando x se aproximainfinitamente a 3 por la derecha, las imágenes sehacen infinitamente grandes positivas.


9.Límite del producto de un número por una función.- Sean f (x) una función y k un número real. Sea (k · f )(x) = k · f (x) la función “producto de k por f “. Sea a un número real, es decir, a 0ú. Supongamos que lim ( )

x af x l

→=

Pues bien: “El límite de la función producto de k por f es igual al producto de k por el límite de f (x)”Es decir:

“El límite de la función cuando x tiende a a es igual al producto de k por el( ) ( )k f x⋅límite de f (x) cuando x tiende a a”

Matemáticamente:“El límite del producto deun número real por unafunción es igual al númeropor el limite de la función”.

Ejemplo 14.-Sea la función . Queremos hallar su límite cuando x tiende a 3.h x x

x( ) = −−

3 272 6

2

Veamos:

lim ( ) limx x

xxh x

→ →−−

⋅ −⋅ −

−−= = = = ∉

3 33 27

2 63 3 27

2 3 627 27

6 600

2 2

R

De lo anterior deducimos que h (3) no existe y que aún nosabemos el valor del límite buscado.Es posible operar en la función h (x):

[ ]{

lim ( ) lim lim lim lim

lim lim ( ) ( )

( )( )

( ) ( )x x

xx x

xx x

xx x

xx

x

x xx

por serx

x

h x

x

→ →−− →

−− →

−− →

−−

→

+ ⋅ −−

≠→

= = = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ + = ⋅ + =

3 33 27

2 6 3

3 92 3 3

32

93

32 3

93

32 3

3 33

3

32 3

32

2 2 2 2

3 3 3 9

Es decir: “Para x = 3 no existe imagen, pero para valores de x infinitamente próximas a3, sus imágenes están infinitamente próximas a 9".

Puede observarse lo siguiente:

{ }h x con D

f x x con Dsiendo h x f x x x

xx h

f

( )

( )( ) ( )

= = −

= + =

= ∀ ∈ ≠

−−

3 272 632

92

2

33

R

RR

La gráfica de f (x) es una recta y la de h (x) coincide en todo con la de f (x) excepto en elpunto P(3 , 9) ya que h (3) no existe, pero g (3) = 9.

Comprobemos:hh Intuitivamente

x h

x h

( )( )

( )

( )

2 99 8 9853 01 9 015

3 3 9

3 3 9

′ = ′′ = ′

= ⇒ =

= ⇒ =

− − −

+ + +

[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

k f x k f x k f x k l→ → →

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

Recordemos que la expresión 0/0 serefiere a una sucesión de cocientes enlos que el numerador y denominadorson números que se aproximaninfinitamente a 0.


10.Límite de una función potencia de exponente natural.-3 Sean f (x) una función y n un número natural mayor que cero.3 Sea g(x) = [ f (x)]n la función “f elevado a n “ o “potencia n-ésima de f ”.3 Sea a un número real, es decir, a 0ú.3 Supongamos que lim ( )

x af x l

→=

Pues bien: “El límite de la función f elevado a n es igual al límite de f (x) elevado a n”Es decir:

“El límite de la función g(x) = [ f (x)]n cuando x tiende a a es igual al límite de f (x)cuando x tiende a a, elevado a n”.

Matemáticamente:

“El límite de una potenciaes igual a la potencia dellímite”.

Ejemplo 15.-Consideremos la función del ejemplo 1, es decir, .f x x

x( ) = −−

2 42

Vimos que (ver ejemplo 1).lim ( )x

f x→

=2

4

Construyamos la función “f elevado a 3" : [ ] [ ]g x f x f x xx

xx

( ) ( ) ( ) ( )( )

= = = =−−

−−

3 3 42

3 42

2 2 3

2

Queremos hallar el límite de g(x) cuando x tiende a 2.Veamos:

lim ( ) lim ( ) lim ( ) limx x x x

xxg x f x f x

→ → → →−

−=

= =

= =

2 2

3

23

24

2

332

4 64

Es decir: “Para valores de x infinitamente próximos a 2, las imágenes de esos valoresmediante la función g están infinitamente próximas a 64"

Hagamos alguna comprobación:

Según parece: x g

x g

= ′ ⇒ ′ = ′ = ′

= ′ ⇒ ′ = ′ = ′

1 999 1 999 3 999 63 95201

2 001 2 001 4 001 64 048012

3

3

( )

( )

x g

x g

= ⇒ =

= ⇒ =

− − −

+ + +

2 2 64

2 2 64

( )

( )

En la figura 11 damos una idea gráfica aproximadade la función g(x) en un entorno de centro x = 2 .Observa como para x = 2 no hay imagen, perocuando x está infinitamente próximo a 2 por suizquierda, sus imágenes están infinitamentepróximas a 64 por su izquierda (por debajo),mientras que si x lo está a la derecha de 2, susimágenes están a la derecha de 64 (por encima).Aunque el “trozo” de gráfica que hemos dibujado esrecto, este será, en general, curvo.

[ ]lim ( ) lim ( ) lim ( )x a

n

x an

x a

nnf x f x f x l

→ → →= =

=


11.Límite de una función potencia de exponente entero.-De forma similar al punto anterior, puede ocurrir que el exponente sea un numero entero

negativo, en cuyo caso es también válido lo expresado antes, es decir:

[ ][ ]

f x una funcion

a n nf x l

g x f x f xf x f x

x a

n nn n

( ) &

; ;lim ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

*∈ ∈ − <= ≠

= = = =

→

− −R N 00

1 1

Pues bien:

[ ]lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a

n

x a

nn

ng x f x f x ll→ →

−

→

−−= =

= =

1

Ejemplo 16.-Sea la función . Consideremos la función .f x x x( ) = + −4 92 g x f x( ) ( )= − 2

Queremos hallar la imagen de 4 mediante la función g(x) y el límite cuando x tiende a 4.Veamos:

T Construimos la función g (x) : ( ) ( )g x f x x x

x x( ) ( )= = + − =

+ −

− −2 2 2

2 24 91

4 9

T Hallemos la imagen de x = 4: ( )

g( )41

4 4 4 9

159

0 0002872737712 2 2=

⋅ + −= = ′ KK

T Hallemos el límite de g(x) cuando :x → 4

[ ] ( )

[ ]lim ( ) lim ( ) lim ( ) limx x x x

g x f x f x x x→ →

−

→

−

→

−

− −

= =

= + −

=

= ⋅ + − = = = ′

4 4

2

4

2

42

2

3 2 22

4 9

4 4 4 9 591

590 000287273771KK

Observa que en este caso es lim ( ) ( )x

g x g→

=4

4

NOTA: Obsérvese que el límite l de una función cuando x tiende a un número a, puede ser unnúmero de cualquier tipo, es decir, entero, positivo, negativo, decimal, irracional, etc.

12.Límite de una función potencia de exponente racional.-¸ Sea f (x) una función real de variable real y a un número real.

¸ Sea un número racional , es decir, αβ

αβ ∈ Q

¸ Consideremos la función “f elevado a “, es decir: αβ g x f x( ) ( )=

αβ

Obsérvese el motivode exigir que l … 0


¸ Supongamos que (el límite de f (x) cuando x tiende a a es positivo)lim ( )x a

f x l→

= > 0

Pues bien, en este caso :

[ ]lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a x a

g x f x f x f x l l→ → → →

= = =

= =

αβ

αβ

αβ α

α αβ

La expresión anterior puede ponerse del siguiente modo:

[ ]lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a x a x a x a

g x f x f x f x f x f x l→ → → → → →

= = = = =

=

αβ

αβ αβ αβ

αβ αβ

Ejemplo 17.-Sea la función referida en el ejemplo 1.f x x

x( ) = −−

2 42

Consideremos la función [ ]g x f x f x xx( ) ( ) ( )= = = −

−43

243 42

43

Queremos hallar el límite de g(x) cuando x tiende a 2.Veamos:

Recordemos que lim ( )x

f x→

= >2

4 0

[ ] [ ]lim ( ) lim lim limx x

xx x

xx x

xxg x

→ →−

− →−

− →−

−= = =

= = = ′

2 24

2

43

24

2

43

24

2

43 43 32 2 2

4 256 6 34960420KK

Ejemplo 18.-Sea la función g x x( ) = + −5 1Queremos hallar su límite cuando x tiende a 0.

Veamos:lim ( ) lim lim ( )x x x

g x x x→ → →

= − = − = ⋅ − = − ∉0 0 0

5 1 5 1 5 0 1 1 R

Obsérvese que la función f (x) = 5x&1 es una función tal que en las proximidades de x = 0, estoes, en un entorno de centro 0, toma valores negativos, lo cual hace que la función g (x) no existaen ese entorno, esto es, no existe en x = 0 ni en sus proximidades, por lo que no podemos decir“hacia donde se aproxima g(x) cuando x se aproxima a 0".

13.Límite de una función exponencial.-û Sea f (x) una función y a un número real.û Supongamos que lim ( )

x af x l

→=

Observa que alexigir que l > 0, nosgarantiza que existela raíz.

No existe el límite dela función g(x)cuando x tiende a 0


û Sea b un número real positivo, es decir: b 0ú y b>0

û Consideremos la función exponencial g x b f x( ) ( )=Pues bien, se puede demostrar que:

No olvidar que se exige que b > 0lim ( ) lim ( ) lim ( )

x a x af x f x lg x b b bx a

→ →= = =→

Ejemplo 19.-Hallemos el límite de la función cuando f x x( ) = ′0 25 x → 0

Veamos: es una función exponencial de base b = 0´25 >0f x x( ) = ′0 25

Entonces: lim ( ) limlim

x xx x

f x x

→ →= ′ = ′ = ′ =→

0 000 25 0 25 0 25 10

Observa que en este caso es lim ( ) lim ( )x x

xf x f→ →

= ′ = ′ = =0 0

00 25 0 25 0 1

14.Límite de una función logarítmica.-! Sea f (x) una función y a un número real.! Supongamos que lim ( )

x af x l

→=

! Consideremos la función “logaritmo en base b de f(x)”, es decir: g x f xb( ) log ( )=Esta función transforma a cada número x en el logaritmo en base b de f (x), siempre queese logaritmo exista.

Pues bien, se demuestra que:

[ ]lim ( ) lim log ( ) log lim ( ) logx a x a

b bx a

bg x f x f x l k→ → →

= =

= =

Recuerda que logbkl k b l= ⇔ =

Podemos enunciar que: “El límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite”

Ejemplo 20.-Queremos hallar el límite siguiente: [ ]lim log

xxx→

−−3

93

2

Veamos:

[ ]lim log log lim log lim

log lim ( ) log( ) log

( ) ( )

xxx x

xx x

x xx

xx

→−

− →−

− →

+ −−

→

=

=

=

= +

= + = = ′

39

3 393 3

3 33

3

2 2

3 3 3 6 0 7781512KK

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a 3, sus imágenes mediante la función están infinitamente próximas a log 6 = 0´7781512ÿÿ”g x x

x( ) log= −−

2 93


Ejemplo 21.-Queremos hallar el límite siguiente: [ ]lim log

xxx→

−+3

93

2

Veamos:

[ ]lim log log lim log lim

log lim ( ) log( ) log

( ) ( )

xxx x

xx x

x xx

xx

→−

+ →−

+ →

+ −+

→

=

=

=

= −

= − = ∉

393 3

93 3

3 33

3

2 2

3 3 3 0 R

Significa que “No existe el límite de la función cuando x tiende a 3, ya que elg x xx( ) log= −

+2 9

3logaritmo decimal de 0 no existe”.

Ejemplo 22.-Queremos hallar el límite de la función “logaritmo neperiano de ” cuandof x x

x( ) = −−

2 42

x tiende a 2.Veamos ( ver en ejemplo 1 el límite de f (x) cuando x tiende a 2):

lim ( ) lim limx x

xx x

xxL f x L L L

→ →−

− →−

−= = = = ′2 2

42 2

42

2 2

4 1 38629436KK

15.Límite de una función elevada a otra función.-• Sea f (x) una función real de variable real.• Sea g(x) otra función real de variable real.• Sea a un número real, es decir, a 0 ú• Supongamos que , es decir, el límite es mayor que cero.lim ( )

x af x l

→= > 0

• Supongamos que (este límite puede ser cualquier número).lim ( )x a

g x k→

=

• Consideremos la función “f elevado a g”, es decir : (se[ ]h x f x f xg x g x( ) ( ) ( )( ) ( )= =puede escribir de las dos formas).

Pues bien, se demuestra que:“El límite de la función f (x) elevada a g(x) es igual al límite de la función f (x) elevadoal límite de la función g(x)”, cuando x tiende a a ”

Es decir :

lim ( ) lim ( ) lim ( )( )lim ( )

x a x ag x

x a

g xkh x f x f x l

x a

→ → →= =

=

→

Ejemplo 23.-Sean las funciones . Pedimos:f x y g xx x

xx

x x( ) ( )= =+

+

2

25

a) Halla sus imágenes para x = 0.


b) Halla sus límites cuando x tiende a 0.c) Construye la función “f elevado a g “ y halla su imagen para x = 0.

d) Halla el límite de cuando x tiende a 0.f x g x( ) ( )

Veamos:

a) f

g

( )

( )

0

0

0 5 00

00

00 0

00

2

2

= = ∉

= = ∉

+ ⋅

+

R

R

b)

lim

limx

x xx

xx

x x

→+ + ⋅

→ + +

= = ∉

= = ∉

05 0 5 0

000

00

0 000

2 2

2 2

R

R

Intentemos encontrar el límite:

{

{

lim lim lim ( )

lim lim lim

( )

( )

xx x

x x

x xx

por ser x x

xx

x x xx

x xpor ser x x x

x→

+→

+

≠ →

→ + → +≠ → + +

= = + = + =

= = = = =

05

0

5

0 0

0 0 10 0

11

10 1

11

2

2

5 0 5 5

1

c) es la función “ f (x) elevado a g(x) “[ ]f x g x x xx

xx x( ) ( ) = + +

2 25

Para x = 0 tenemos: , esto es, no existe imagen para x = 0.[ ]f g( ) (0 0) 00

00= ∉ R

d) [ ]lim ( ) lim lim( )lim

xg x

xx x

x xx x

xf xx

x x x

xx x

→ →+

→+= =

= =+ → +

0 05

05 12 2 2 0 2

5 5

Significa que “para x = 0 la función no existe, pero si x se aproximaf x g x( ) ( )

infinitamente a 0, sus imágenes se aproximan infinitamente a 5".

En la figura 12 tenemosrepresentada la gráfica de la

función en las f x g x( ) ( )

proximidades de x = 0. Nótese quepara valores del tipo x = 0& lasimágenes son del tipo y para valores f g( ) ( )0 50− +−

= x = 0+ las imágenes son del tipo f g( ) ( )0 50+ −+

=

Deducimos que no existe la imagen de 0 mediantelas funciones f y g, es decir,0óDf y 0óDg .Recordemos que las segundas igualdades en cadaun de las expresiones no son igualdades entrenúmeros.

Las expresiones que aparecen en este caso se00

refieren a números muy próximos a cero divididospor números muy próximos a cero, ya que laexpresión se refiere a que x se aproxima ax → 00 sin llegar a tomar esta valor.


16.Límites de funciones trigonométricas.-- Sea f (x) una función y a un número real.- Supongamos que lim ( )

x af x l

→=

- Sean las funciones : h (x) = sen f (x) “seno de f (x)”t (x) = cos f (x) “coseno de f (x)“

Pues bien, puede demostrarse que:

lim ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim cos ( ) cos lim ( ) cos

x a x a x a

x a x a x a

h x f x f x l

t x f x f x l

→ → →

→ → →

= =

=

= =

=

sen sen sen

Ejemplo 24.-Sea la función f (x) = ex (función exponencial de base e)Sea la función h (x) = sen f (x)Queremos hallar el límite de h (x) cuando x tiende a 1.

Veamos:

[ ]lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim

lim

x x x xx x

h x sen f x f x e e

e e

x

→ → → →= =

=

= =

= = = ′ = ′

→

1 1 1 11

2 71828182 0 04742517

sen sen sen

sen sen sen1 KK KK

Observa que en este caso se verifica que lim ( ) ( )x

h x h→

= = ′1

1 0 04742517KK

17.Infinitésimo en un punto.-

Una función f (x) se dice que es un infinitésimo en el punto x = a, si se verifica que sulímite cuando x tiende a a es igual a 0.

Es decir:

f x funciona f x en a si f x

x a

( ) &( ) & lim ( )

∈

=→R es un infinitesimo 0

Ejemplo 25.-Sea a un número real cualquiera. Sean las funciones siguientes:f x x a

f x x a

f x x a

f x x ann

1

22

33

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

= −

= −

= −

= −

LLLLLLL

Todas ellas son infinitésimos en el punto x = a. En efecto:lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( ) ( )x a x a

x ai

x ai i i

f x x a a a

f x x a a a→ →

→ →

= − = − =

= − = − = =

1 0

0 0


Ejemplo 26.-La función f (x) = sen x (función seno de x) es un infinitésimo en el punto x = 0.La función g(x) = 1&cos x es un infinitésimo en x = 0.

En efecto:

( )

lim ( ) lim lim

lim ( ) lim cos lim lim lim cos

x x x

x x x x x

f x x x

g x x x x

→ → →

→ → → → →

= =

= =

= − =

= − = − =

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

1 1 0 1 1 0

sen sen sen

1- cos =1-cos

18.Orden de un infinitésimo en un punto.- – Sea f (x) una función y a un número real.– Supongamos que f (x) es un infinitésimo en el punto a, es decir, .lim ( )

x af x

→= 0

– Vamos a definir el concepto “orden del infinitésimo f (x) en el punto x = a”

Se dice que el infinitésimo f (x) en el punto a es de orden n si lim( )

( )x a nf x

x ak

→ −= ≠ 0

– Para el caso particular de a = 0, tendremos que:

El infinitésimo f (x) en el punto x = 0 es de orden n si lim( )

x nf xx

k→

= ≠0

0

– Expliquemos de un modo intuitivo el significado de un infinitésimo en un punto x = a.Si f (x) es un infinitésimo de orden n en x = a, entonces ocurren dos cosas:

Observa que el denominador es la función

• =

• = ≠

→

→ −

lim ( )

lim( )

( )

x a

x a

f xx a

f x

kn

0

0g x x a n( ) ( )= −

es un infinitésimo en x = a ya que g x x a n( ) ( )= − lim ( ) ( )x a

n ng x a a→

= − = =0 0

Si tomamos valores para x infinitamente próximos a a, los cocientes seránf xg x

( )( )

aproximadamente iguales a cierto numero real k, es decir, el numerador será,aproximadamente, k veces el denominador.Si f (x) no fuese un infinitésimo del orden n, ocurriría alguno de los dos casos siguientes:

•−

=

•−

= + ∞ − ∞

→

→

lim( )

( )

lim( )

( )

x a n

x a n

f xx af x

x ao

0

El primer caso se interpreta como que el denominadores infinitamente mayor que el numerador, esto es, elnumerador está infinitamente mas próximo a 0 que eldenominador, por lo que el cociente esaproximadamente 0. En el segundo caso ocurre locontrario, esto es, el numerador es infinitamentemayor que el denominador, esto es, el denominadorestá infinitamente más próximo a 0 que el numerador.


Ejemplo 27.-La función f (x) = sen x es un infinitésimo de orden 1 en el punto 0.

En efecto: Veamos que es un infinitésimo en x = 0:

Esto demuestra que es un infinitésimo en x = 0.lim limx x

x x→ →

=

= =0 0

0 0sen sen sen

De forma experimental vamos a comprobar que es de orden 1 (recordemos que esto nosirve como demostración):

f (x) = sen x es un infinitésimo de orden 1 en el punto x = 0 si .limx

xx

k→

= ≠0

0sen

Debemos comprobar si k existe.Para verlo, daremos a x sucesivos valores próximos a 0 (no olvidar poner la calculadoraen radianes RAD):

x → −0 sen xx

x → +0 sen xx

&0´1 0´99833416ÿÿ 0´1 0´99833416ÿÿ

&0´01 0´99998333ÿÿ 0´01 0´99998333ÿÿ

&0´001 0´99999983ÿÿ 0´001 0´99999983ÿÿ

&0´0001 0´999999998ÿÿ

0´0001 0´999999998ÿ

þþþþ þþþþþþþþþ þþþþ þþþþþþþþþ

x = 0& 1& x = 0+ 1&

Puede apreciarse a simple vista que el límite del cociente de las funciones f (x) = sen x eI (x) = x es igual a 1…0, lo cual nos indica que la función f (x) = sen x es un infinitésimode orden 1.

Ejemplo 28.-Comprobar experimentalmente que la función f (x) = sen x no es un infinitésimo de orden

2 en el punto x = 0.Veamos:Y Ya sabemos que f (x) = sen x es un infinitésimo en x = 0 por ser lim

xx

→=

00sen

Y Para ser de orden 2 debería ocurrir que limx

xx

k→

= ≠0 2 0

sen

Para comprobarlo experimentalmente damos valores a x que estén próximos a 0 :

x → −0sen x

x 2 x → +0sen x

x 2

&0´01 &99´9983333ÿÿ 0´01 99´9983333ÿÿ

&0´001 &999´9998333ÿÿ 0´001 999´9998333ÿÿ

&0´0001 &9999´999983ÿÿ 0´0001 9999´999983ÿÿ


Parece evidente que:

por lo que Six entonces

x entonces

sen xx

sen xx

= = − ∞

= = + ∞

−

+

0

0

2

2

/∃ ∈ = ≠→

k tal quex

xk

xR

senlim

0 2 0

Por tanto, la función f (x) = sen x no es un infinitésimo de orden 2 en x = 0.NOTA: Conviene recordar que cuando expresamos x = 0& y x = 0+ nos estamos

refiriendo a que x toma valores infinitamente próximos a 0 por su izquierda y porsu derecha respectivamente. Del mismo modo, las igualdades con +4 y &4 serefieren a que las operaciones de la izquierda son infinitamente grandes positivaso negativas, no deben interpretarse como rigurosas igualdades numéricas.Para una mejor comprensión ver el tema “Funciones reales de variable real”punto 11.”Imágenes borrosas de valores borrosos”.

19.Infinitésimos equivalentes.-U Sean f (x) y g(x) dos infinitésimos en el punto x = a, es decir :

lim ( ) lim ( )x a x a

f x g x→ →

= = 0

U Se dice que “f (x) y g(x) son infinitésimos equivalentes en el punto x = a” si ocurre que :

lim( )( )x a

f xg x→

= 1

Ejemplo 29.-Las funciones s(x) = sen x y I(x) = x son infinitésimos equivalentes en el punto x = 0.

En efecto:

lim ( ) lim lim

lim ( ) limx x x

x x

s x x x

x x→ → →

→ →

= =

= =

= =

0 0 0

0 0

0 0

0

sen sen sen

I

Vimos en el ejemplo 27 que , por lo que las funciones s(x) = sen x y I(x) = x sonlimx

xx→

=0

1sen

infinitésimos equivalentes en el punto x = 0.

Ejemplo 30.-Las funciones t (x) = tg x (tangente de x) y s(x) = sen x son infinitésimos equivalentes

en el punto x = 0.En efecto:

Ya sabemos que s(x) = sen x es un infinitésimo en x = 0.Demostremos que t (x) = tg x también lo es :

Es decir, ambas funcionesson infinitésimos en x = 0.


lim lim limlim

lim cos

lim

limcoscosx x

xx x

x

x

x

x

xx

x

x

x→ → →→

→

→

→

= = =

= = =0 0 0

0

0

0

0

01

00

0tgsen sen

cos

sensen

Ahora veamos que son equivalentes. Para ello debemos comprobar que .limx

xx→

=0

1tg

sen

Lo veremos de un modo experimental (en otro tema posterior se podrá demostrar) dando a xvalores próximos a 0 (no olvides poner la calculadora en radianes RAD):

x → −0 tgsen

xx

x → +0 tgsen

xx

&0´1 1´00502091ÿÿ 0´1 1´00502091ÿÿ

&0´01 1´000050002ÿÿ

0´01 1´000050002ÿÿ

&0´001 1´00000050ÿÿ 0´001 1´00000050ÿÿ

&0´0001 1´000000005ÿÿ

0´0001 1´000000005ÿÿ

þþþþ þþþþþþþþþ þþþþ þþþþþþþþþ

x = 0& 1+ x = 0+ 1+

Observa que cuando x toma valores infinitamente próximos a 0, sus imágenes seaproximan infinitamente a 1 (por su derecha). Esta equivalencia puede apreciarse a simple vista.Sigue la siguiente explicación con detalle:( Imagina el círculo trigonométrico (o circunferencia goniométrica. Recuerda: radio = 1).( Imagina un ángulo (un arco) x muy pequeño (p.e. x = 0´0001 rad.).( Recuerda la representación gráfica del seno de x y de la tangente de x. ¿A que tendrán un

tamaño muy parecido? Pues por eso el cociente es aproximadamente igual a 1. ¿A que eltamaño de la tangente de x será un poco mayor que el tamaño del seno de x? Por eso elcociente es un poco mayor que 1.

20.La indeterminación 0/0.-Hemos visto que al calcular el límite de un cociente de dos funciones nos podemos

encontrar con que el límite del numerados sea 0 y el del denominador también, es decir :

lim( )( )

lim ( )

lim ( )x ax a

x a

f xg x

f x

g x→→

→

= = ∉00

R

En estos casos la expresión “0 partido por 0" se dice que es una indeterminación, ya queel límite puede ser cualquier valor. Expliquemos esto:

t (x) = tg xtambién es uninfinitésimo enx = 0

Repetimos nuevamente que el significado de la expresiónanterior no es “0 dividido por 0", sino que cuando x6a nosencontramos con cocientes en los que tanto elnumerador como el denominador son números taninfinitamente próximos a 0 como podamos imaginar.


Las funciones f (x) y g(x) son infinitésimos en el punto x = a ya que :lim ( )

lim ( )x a

x a

f x

g x→

→

=

=

0

0

Supongamos que son del mismo orden, es decir:

los dos son de orden n.lim( )

( )lim

( )( )x a n x a n

f xx a

k yg x

x am

→ →−= ≠

−= ≠0 0

En este caso:

{lim( )( )

limlim

lim

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

x

x-a

x

f xx ag xx a

x

f xx a

x

g xx a

f xg x

km

l ln

n

n

n→ →

−

−

→ −

→ −

= = = = ∈ ≠↓0 0

0

0dividimosnumerador ydenominadorpor ( ) n

R ( 0)6 744 844

Es decir, si el numerador y denominador son infinitésimos del mismo orden en el puntox = a, el límite del cociente es un número real l …0.

Supongamos que el numerador es un infinitésimo de orden superior al denominador:

lim( )

( )lim

( )( )x a n x a r

f xx a

k yg x

x am siendo n r

→ →−= ≠

−= ≠ >0 0

En este caso:

{lim( )( )

limlim

lim

lim

lim

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

lim( )

x

x-a

x

f xx ag xx a

x

f xx a

x

g xx a

x

f xx a

x

g xx a x a

mx a

m

f xg x

k k k

n

n

n

n

n

r n r

x

n r

→ →

−

−

→ −

→ −

→ −

→ − ⋅ −

−

= = = =

= = =∞

=

↓−

→

−

0 00

0

0

0

00

0

dividimosnumerador ydenominadorpor ( ) n

6 744 844

Es decir, si el numerador es un infinitésimo de orden superior al denominador, el límitedel cociente es 0. A simple vista se debe apreciar que el numerador está infinitamente máspróximo a 0 que el denominador, lo que hace que el cociente tienda a ser 0.

Supongamos que el numerador es un infinitésimo de orden inferior al denominador:

. En este caso:lim( )

( )lim

( )( )x a n x a r

f xx a

k yg x

x am siendo n r

→ →−= ≠

−= ≠ <0 0

{lim( )( )

limlim

lim

lim

lim

lim ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

x

x-a

x

f xx ag xx a

x

f xx a

x

g xx a

x

f xx a x a

x

g xx a

xr k

f xg x

kx a

m m m

r

r

r

r

n r n

r→ →

−

−

→ −

→ −

→ − ⋅ −

→ −

→

= = = =

=−

= =∞

= ∞

↓

−

0 00

0

0

0

0 0

dividimosnumerador ydenominadorpor ( ) r

6 744 844


Es decir, si el numerador es un infinitésimo de orden inferior al denominador, el límitedel cociente de esos infinitésimos es infinito (positivo o negativo). A simple vista debeapreciarse que en este caso el denominador está infinitamente más próximo a 0 que elnumerador, lo que hace que el numerador sea infinitamente mayor que el denominadory por tanto el cociente tiende a infinito.

21.Forma de resolver la indeterminación 0/0.-En este punto veremos el modo de resolver esta indeterminación cuando el numerador y

denominador son funciones polinómicas, dejando para temas posteriores el caso de otro tipo defunciones. Veamos:& Sean f (x) y g(x) dos funciones polinómicas que son infinitésimos en el punto x = a.

Es decir: ( por ser polinómicas es f(a)=g(a) = 0)lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

x a x af x f a y g x g a

→ →= = = =0 0

& Consideremos la función cociente “f dividido por g”:

es una función racional.h x xfg

f xg x( ) ( )

( )( )=

=

Es evidente que h no tiene imagen para x = a. En efecto:

h af ag a( )

( )( )= = ∉0

0 R

& Ya sabemos que para x = a la función h(x) no tiene imagen, pero nos interesa saber sucomportamiento cuando x se aproxima infinitamente a a, es decir, su límite cuando xtiende a a. Veamos:

Buscamos lim ( ) limlim ( )

lim ( )( )( )

( )( )x a x a

f xg x

x a

x a

h xf x

g xf ag a→ →

→

→

= = = =00

Indeterminado

f x funcion polinomicaf a La division f x x a es exacta

g x funcion polinomicag a La division g x x a es exacta

( ) & &

( )& ( ):( )

( ) & &

( )& ( ):( )

=⇒ −

=⇒ −

0

0Efectuamos ambas divisiones:

{ {

{ {

f x x ac x cocienter x resto f x x a c x

g x x ad x cocientes x resto g x x a d x

dividendo

divisor

cociente

dividendo

divisor

cociente

( ): ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ): ( )( )( )

( ) ( ) ( )

− ⇒==

⇒ = − ⋅

− ⇒==

⇒ = − ⋅

0

0

678

678

Substituyendo en el límite de h(x) cuando x tiende a a :

En este caso 0/0 si se refiere a “cero dividido por cero”, lo cualno es un número real, por lo que la última igualdad no serefiere a una igualdad entre números.


{lim ( ) lim( )( )

lim( ) ( )( ) ( )

lim( )( )

( )( )x a x a x a como

x ax a

h xf xg x

x a c xx a d x

c xd x

c ad a

l

→ → →− ≠

→= =

− ⋅− ⋅

= = =∈

∞

0

Ro

Puede ocurrir:' c(a) y d(a) son dos números distintos de 0. En este caso el límite es un número

real distinto de 0.' c(a) es distinto de cero y d(a) = 0. En este caso el límite es infinito.' c(a) = 0 y d(a)…0. En este caso el límite es 0.' Si c(a) = d(a) = 0 entonces tenemos que las funciones polinómicas c(x) y d(x) son

infinitésimos en el punto x = a, por lo que hay repetir el proceso anterior con esasfunciones, es decir:

lim ( ) lim( )( )

lim( )( )

( )( )x a x a x a

h xf xg x

c xd x

c ad a→ → →

= = = =00

Indeterminado

Hay que resolver la indeterminación efectuando las divisiones :

y por tanto c x x ad x x a

( ):( )( ):( )

−−

c x x a xd x x a x

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= − ⋅= − ⋅

αβ

Nos queda:

lim ( ) lim( )( )

lim( )( )

lim( ) ( )( ) ( )

lim( )( )

( )( )x a x a x a x a x a

h xf xg x

c xd x

x a xx a x

xx

aa→ → → → →

= = =− ⋅− ⋅

= =αβ

αβ

αβ

Ejemplo 31.-Dada la función , queremos:f x x x

x x x( ) = − +

− − +

3

3 221 20

5 2 24a) Su imagen para x = 4b) Su límite cuando x tiende a 4.Veamos:

a) f ( )4 4 21 4 204 5 4 2 4 24

64 84 2064 80 8 24

00

3

3 2= = = ∉− ⋅ +− ⋅ − ⋅ +

− +− − + R

b) lim ( ) limx x

x xx x x

f x→ →

− +− − +

− ⋅ +− ⋅ − ⋅ +

− +− − += = = =

4 421 20

5 2 244 21 4 20

4 5 4 2 4 2464 84 20

64 80 8 2400

3

3 2

3

3 2 Indeterminado

De lo anterior se deduce que las divisiones:

son exactas. Efectuemos ambas divisiones por Ruffini:( )( )x x x

x x x x

3

3 2

21 20 4

5 2 24 4

− + −

− − + −

:( )

:( )

1 0 &21 20 1 &5 &2 24

4 4 16 &20 4 4 &4 &24

1 4 -5 0 1 &1 &6 0

Cocientes: c x x x y d x x x( ) ( )= + − = − −2 24 5 6

La función f (x) no tieneimagen en 4, esto es, 4óDf


Utilizando la expresión Dividendo = divisor × cociente + resto :

x x x x x

x x x x x x

x xx x x

x x xx x x

x xx x

x x

x

3 2

3 2 24

3 2

3 2 4

2

2

4

2

2

2

2

21 20 4 4 5

5 2 24 4 6

21 205 2 24

4 4 54 6

4 56

4 4 4 54 4 6

27

− + = − ⋅ + −

− − + = − ⋅ − −

⇒

− +

− − +=

− ⋅ + −− ⋅ − −

=

=+ −− −

=+ ⋅ −

− −=

→ →

→

( ) ( )

( ) ( )

lim lim( ) ( )( ) ( )

lim( )( ) 6

92

4 5= = ′

Por tanto:El significado de los dos apartados esque “para x = 4 la función no existe,pero si x toma valores infinitamentepróximos a 4, sus imágenes estáninfinitamente próximas a 4´5".

Hagamos algunas comprobaciones:

x f

x f

= ′ ⇒ ′ = ′ ′

= ′ ⇒ ′ = ′ ′

+

−

3 999 3 999 4 503252911 4 5

4 001 4 001 4 496753188 4 5

( ) ( )

( ) ( )

Una idea gráfica de la función f (x) en las proximidades de x = 4 es:

En la figura 13 hemos representadoun trozo de lo que podría seraproximadamente la función f (x) enun entorno de x = 4.Puede apreciarse como en x = 4 nohay imagen, a la izquierdainmediata de x = 4 las imágenes sonmayores que 4´5 y a la derechainmediata de x = 4 las imágenes sonmenores que 4´5. Aunque la curva la hemos dibujadocóncava hacia arriba, podría sercóncava hacia abajo.

Ejemplo 32.-Queremos estudiar el comportamiento de la función en el punto x = &1f x x x x

x x x( ) = + − −

+ + +

3 2

3 21

5 7 3Veamos:9 Hallemos la imagen de f (x) en x = &1 :

. Por tanto, &1óDff ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

− = = = ∉− + − − − −

− + ⋅ − + ⋅ − +− + + −− + − +1 1 1 1 1

1 5 1 7 1 31 1 1 11 5 7 3

00

3 2

3 2 R

9 Hallemos el límite de f (x) cuando :x → −1

lim ( ) limx x

x x xx x x

f x→ − → −

+ − −+ + +

= =1 1

15 7 3

00

3 2

3 2 Indeterminado

lim ( ) limx x

f xx x

x x x→ →=

− +− − +

= = ′4 4

3

3 221 20

5 2 2492

4 5

Aparentemente, cuando x se aproxima a 4por su izquierda, las imágenes seaproximan a 4´5 por su derecha y si x seaproxima a 4 por su derecha, las imágenesf (x) se aproximan a 4´5 por su izquierda.

Es el cociente de dosinfinitésimos en x = &1


9 Resolvamos la indeterminación:

Dividimos por el método de Ruffini:( ):( )

( ):( ).

x x x x

x x x xson exactas

3 2

3 2

1 1

5 7 3 1

+ − − +

+ + + +

1 1 &1 &1 1 5 7 3

&1 &1 0 1 &1 &1 &4 &3

1 0 &1 0 1 4 3 0

Cocientes: c x x y d x x x( ) ( )= − = + +2 21 4 3

Dividendo divisor cociente restox x x x x

x x x x x x= × + ⇒

+ − − = + ⋅ −

+ + + = + ⋅ + +

3 2 2

3 2 2

1 1 1

5 7 3 1 4 3

( ) ( )

( ) ( )Substituyendo:

lim ( ) lim lim lim( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )x x

x x xx x x x

x xx x x x

xx x

f x→ − → −

+ − −+ + + → −

+ ⋅ −+ ⋅ + + → −

−+ +

− −− + ⋅ − +

= = = = =1 1

15 7 3 1

1 11 4 3 1

14 3

1 11 4 1 3

00

3 2

3 2

2

2

2

2

2

2

Ha vuelto a salir indeterminado, es decir, volvemos a tener el cociente de dosinfinitésimos.

9 Resolvemos la nueva indeterminación:

A simple vista vemos: ( ):( )

( ):( ).

x x

x x xson exactas

2

2

1 1

4 3 1

− +

+ + +

x x x2 1 1 1− = + ⋅ −( ) ( )

Efectuamos la segunda división:

1 4 3

&1 &1 &3

1 3 0Substituyendo:

lim ( ) lim lim lim( ) ( )( ) ( )x x

xx x x

x xx x x

xxf x

→ − → −−

+ + → −

+ ⋅ −+ ⋅ + → −

−+

−= = = = = −1 1

14 3 1

1 11 3 1

13

22

2

2 1

Conclusiones:â La función f (x) no tiene imagen para x = &1.

ã lim ( )x

f x→ −

= −1

1


x f

x f

= − ′ ⇒ − ′ = − ′ −

= − ′ ⇒ − ′ = − ′ −

−

+

0 999 0 999 0 999000499 1

1 001 1 001 1 0010005 1

( ) ( )

( ) ( )

22.Límites laterales de una función en un punto.-? Sea f (x) una función real de variable real y sea a un número real.? Puede ocurrir que a pertenezca o no al dominio de f, es decir, a 0Df o a óDf .

Cociente: β ( )x x= + 3Factorizando el polinomio d (x):

x x x x3 4 3 1 3+ + = + ⋅ +( ) ( )

“Significa que para valores de x infinitamente próximosa &1, sus imágenes están infinitamente próximas a &1"


? Vamos a definir los límites laterales de la función f (x) cuando x tiende a a. Es decir:?ì Límite de f (x) cuando x tiende a a por su izquierda.?í Límite de f (x) cuando x tiende a a por su derecha.

Veamos:?ì Límite de f (x) cuando x tiende a a por su izquierda.

Definición intuitiva:

La definición anterior no es una definición formal, sino intuitiva. La forma de expresarla idea es la siguiente:

Recordemos que la expresión se interpreta como que x sex a→ −

aproxima infinitamente a a tomando valores menores que a, siendodicha aproximación tanta como podamos imaginar, sin ser x = a.

Gráficamente se interpreta del siguiente modo:

figura 14.aLa función f (x) tiende a lcuando x tiende a a por suizquierda. En este caso laimagen f(a) no existe, o almenos, no coincide con l.

figura 14.bLa función f (x) tiende a lcuando x tiende a a por suizquierda. Ahora la imagenf(a) existe y además coincidecon l, es decir, f (a) = l

figura 14.cLa función f (x) tiende a lcuando x tiende a a por suizquierda. Ahora la imagenf(a) existe pero no coincidecon l, es decir, f (a) … l

Dada la definición intuitiva y la interpretación gráfica, vamos a dar la definición formal:

“Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a a por su izquierda es iguala l, si para valores de x infinitamente próximos a a, por su izquierda, las imágenes deesos x están infinitamente próximos a l, de tal modo que, a partir de un número, cuantomás próximos esté x de a (por su izquierda), más próximo estará f (x) de l”.

lim ( )x a

f x l→ −

=

“Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a a por su izquierda es igual a l, si paratodo entorno de centro l y radio ε, existe un entorno de centro a y radio δ tal que si xestá en la mitad izquierda de este (siendo x…a), su imagen f (x) está en aquél”.


Matemáticamente : (r)

Nótese lo siguiente: significa que x está en la mitad izquierda del entorno y x…a.a x a− < <δ E aδ ( )

significa que la imagen del x anterior verifica que f x E l( ) ( )∈ ε l f x l− < < +ε ε( )

La definición (r) la podemos modificar del siguiente modo:Identificamos , considerando que entendemos que el centro es l. E l conε ε( )Identificamos , considerando que entendemos que el centro es a. E a con∂ δ( )Consideramos que equivale a que f x E l( ) ( )∈ ε l f x l− < < +ε ε( )La definición (r) quedará (es evidente que ε>0 y δ>0 ):

(rr)

Ahora modificamos la definición (rr) del siguiente modo:

l f x l f x l f x l− < < + ⇔ − < − < ⇔ − <ε ε ε ε ε( ) ( ) ( ) (rrr)

Ahora vamos a expresar literalmente la definición (rrr):

En la figura 15 (página siguiente) interpretamos gráficamente esta definición:

figura 15.af (x) es una función cuyolímite cuando x tiende a apor su izquierda es l. Hemostomado un ε>0 y se lo hemossumado y restado a l en el ejede ordenadas. Tenemos Eε(l)

figura 15.bA partir del ε anteriorobtenemos un δ>0 en el ejed e a b c i s a s y c o m oconsecuencia tenemos a&δ.El intervalo (a&δ, a) es lamitad izquierda de Eδ(a).

figura 15.cPuede apreciarse quecualquier número x quetomemos tal que a&δ < x < a,su imagen f (x) estará entrel&ε y l+ε, es decir, *f (x)&l*<εEn la figura llamamos x = α.

lim ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( )x a

f x l E l E a si a x a entonces f x E l→ −

= ⇔ ∀ ∃ − < < ∈ε ∂ ε∂

lim ( ) , , ( )x a

f x l si a x a entonces l f x l→ −

= ⇔ ∀ > ∃ > − < < − < < +ε δ ∂ ε ε0 0

lim ( ) , , ( )x a

f x l si a x a entonces f x l→ −

= ⇔ ∀ > ∃ > − < < − <ε δ ∂ ε0 0

“Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a a por su izquierda es igual al, sí y sólo sí para cualquier número ε positivo, existe otro δ positivo tal que si x es unnúmero menor que a y distante de este una cantidad inferior a δ, su imagen f (x) distade l una cantidad inferior a ε.


?í Límite de f (x) cuando x tiende a a por su derecha.Definición intuitiva:

La definición anterior no es una definición formal, sino intuitiva. La forma de expresarla idea es la siguiente:

Recordemos que la expresión se interpreta como que x sex a→ +

aproxima infinitamente a a tomando valores mayores que a, siendodicha aproximación tanta como podamos imaginar, sin ser x = a.

Gráficamente se interpreta del siguiente modo:

La explicación de la interpretación gráfica del concepto la damos a continuación:lim ( )x a

f x l→ +

=

“Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a a por su derecha es iguala l, si para valores de x infinitamente próximos a a, por su derecha, las imágenes deesos x están infinitamente próximos a l, de tal modo que, a partir de un número, cuantomás próximos esté x de a (por su derecha), más próximo estará f (x) de l”.

lim ( )x a

f x l→ +

=


figura 16.aLa función f (x) tiende a lcuando x tiende a a por suderecha. En este caso laimagen f(a) no existe, o almenos, no coincide con l.

figura 16.bLa función f (x) tiende a lcuando x tiende a a por suderecha. Ahora la imagenf(a) existe y además coincidecon l, es decir, f (a) = l

figura 16.cLa función f (x) tiende a lcuando x tiende a a por suderecha. Ahora la imagenf(a) existe pero no coincidecon l, es decir, f (a) … l

Dada la definición intuitiva y la interpretación gráfica, vamos a dar la definición formal:

Matemáticamente : (y)

Nótese lo siguiente: significa que x está en la mitad derecha del entorno y x…a.a x a< < + δ E aδ ( )

significa que la imagen del x anterior verifica que f x E l( ) ( )∈ ε l f x l− < < +ε ε( )

La definición (y) la podemos modificar del siguiente modo:Identificamos , considerando que entendemos que el centro es l. E l conε ε( )Identificamos , considerando que entendemos que el centro es a. E a con∂ δ( )Consideramos que equivale a que f x E l( ) ( )∈ ε l f x l− < < +ε ε( )La definición (y) quedará (es evidente que ε>0 y δ>0 ):

(yy)

Ahora modificamos la definición (yy) del siguiente modo:

l f x l f x l f x l− < < + ⇔ − < − < ⇔ − <ε ε ε ε ε( ) ( ) ( ) (yyy)

Igual que hicimos con el límite por la izquierda, expresaremos ahora de un modoliteral la definición (yyy) relativa al concepto :lim ( )

x af x l

→ +=

lim ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( )x a

f x l E l E a si a x a entonces f x E l→ +

= ⇔ ∀ ∃ < < + ∈ε ∂ ε∂

lim ( ) , , ( )x a

f x l si a x a entonces l f x l→ +

= ⇔ ∀ > ∃ > < < + − < < +ε δ ∂ ε ε0 0

lim ( ) , , ( )x a

f x l si a x a entonces f x l→ +

= ⇔ ∀ > ∃ > < < + − <ε δ ∂ ε0 0

“Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a a por su derecha es igual a l, si paratodo entorno de centro l y radio ε, existe un entorno de centro a y radio δ tal que si xestá en la mitad derecha de este (siendo x…a), su imagen f (x) está en aquél”.


En la figura 17 interpretamos gráficamente esta definición:

figura 17.af (x) es una función cuyolímite cuando x tiende a apor su derecha es l. Hemostomado un ε>0 y se lo hemossumado y restado a l en el ejede ordenadas. Tenemos Eε(l)

figura 17.bA partir del ε anteriorobtenemos un δ>0 en el ejed e a b c i s a s y c o m oconsecuencia tenemos a+δ.El intervalo (a, a+δ) es lamitad derecha de Eδ(a).

figura 17.cPuede apreciarse quecualquier número x quetomemos tal que a < x < a+δ,su imagen f (x) estará entrel&ε y l+ε, es decir, *f (x)&l*<εEn la figura llamamos x = α.

Ya hemos interpretado y definido los conceptos de límites laterales de una función f (x)en un punto a. Ahora veremos las diversas situaciones que pueden darse con este concepto.

Sea f (x) una función real de variable real y sea a un número real. Veamos algunos casos que podrían darse respecto del límite de f (x) cuando x tiende a

a por su izquierda y por su derecha:

Î Los límites laterales de f (x) cuando x tiende aa existen y son distintos (figura 18).En la figura 18 hemos representado “un trozo”de la gráfica de una función f (x) cuyocomportamiento en las proximidades de x= a esel siguiente:

lim ( )

lim ( ) lim ( )x a

x ax a

f x l

f x k l k f x→

→→

−

+

=

=

≠ ⇒ /∃

f (a) o no existe o no está representado.También hemos representado la recta vertical en a, es decir, la recta de ecuación x = a.

“Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a a por su derecha es igual al, sí y sólo sí para cualquier número ε positivo, existe otro δ positivo tal que si x es unnúmero mayor que a y distante de este una cantidad inferior a δ, su imagen f (x) distade l una cantidad inferior a ε.


Ï Los límites laterales de f (x) cuando x tiende a a existen y son iguales (figura 19).En la figura 19 hemos representado “untrozo” de la gráfica de una función f (x) cuyocomportamiento en las proximidades de x= aes el siguiente:

lim ( )

lim ( ) lim ( )x a

x ax a

f x l

f x l f x l→

→→

−

+

=

=

⇒ =

f (a) existe, pero no coincide con l, es decir: lim ( ) ( )

x af x f a

→≠

Podría ocurrir que coincidiesen, es decir: lim ( ) ( )

x af x f a

→=

Ð Sólo existe uno de los límites laterales en x = a, mientras que el otro no existe. Una de lascausas puede ser porque a “un lado” de a no está definida (no existe) la función f (x).

En la figura 20 hemos representado el casode una función tal que:

f a existef x l f a

f x no existe

f xx a

x a

x a

( )lim ( ) ( )

lim ( )

lim ( )→

→

→+

−

= =

⇒ /∃

A la vista de la gráfica observamos que enel intervalo (&4,a) no está definida o noexiste la función.Del mismo modo puede darse el caso de que existe el límite por la izquierda y no por laderecha, o que exista f (a) pero no coincida con el límite lateral, o que no existe f (a), etc.

Ejemplo 33.-Sea la función . Queremos estudiar su comportamiento en x = 1 y susf x x( ) = −3 1

proximidades.Veamos:

3 Para x = 1 tenemos que . Por tanto, 10Df (dominio de f ).f ( )1 1 1 0 03= − = = ∈ R3 Estudiemos el límite de f cuando x tiende a 1. Nótese que en este caso sería un error la

siguiente expresión:

¡ ERROR !lim ( ) lim lim ( )x x x

f x x x→ → →

= − = − = − = =1 1

31

3 31 1 1 1 0 0

El motivo es que si tomamos valores muy próximos a 1 por su izquierda, el radicando esnegativo, por lo que la raíz cuadrada no existe, es decir:

x f= ⇒ = − = − = ∉− − − − −1 1 1 1 1 1 03( ) ( ) R


Quede claro que las igualdades de la última expresión no son igualdades numéricas.Por tanto, si x < 1 la función no existe, esto es, el dominio es Df = [1 , + 4), de lo que sededuce que no existe el límite de f (x) cuando x tiende a 1 por su izquierda.En definitiva:

lim ( )

lim ( ) lim ( ) ( )

( )

lim ( )

x

x x x

f x no existe

f x x

f

f x

→

→ →+ + + +

→

−

+ += − = − = − = =

=

⇒ /∃

1

1 13 3

11 1 1 1 1 0 0 0

1 0

3 Interpretemos los resultados:3.1.- En x = 1 existe la función y toma el valor 0, es decir, f (1) = 03.2.- Para valores de x menores que 1 la función no existe. No existe el límite de f (x) cuando x tiende a 1 por su izquierda.3.3.- Para valores de x infinitamente próximos a 1 por su derecha, sus imágenes están

infinitamente próximas a 0 por su derecha (por arriba en el eje de ordenadas). 3 Dibujemos la gráfica de la función:

Tabla de valores

x $1y x= −3 1

1 0

1& 0+

2 7 2 64575131= ′ K

3 26 5 09901951= ′ K

4 63 7 93725393= ′ K

5 124 11 1355287= ′ K

En la figura 21 se aprecia que la función f (x) existe en elintervalo [1, + 4) y es estrictamente creciente en todo él.

Ejemplo 34.-Dada la función definida por intervalos del siguiente modo:

f xsi x e

e si x e

x ex e( ) ( )=

<

≥

−−

2 2

2

Queremos estudiar su comportamiento en un entorno de centro e y dibujar su gráfica.Veamos:S Recordemos que e = 2´ 71828182ÿÿS Por definición de la función es f (e) = e, por lo que e0DfS Es fácil apreciar que todo número x tiene imagen, es decir, Df = úS Hallemos el límite de f (x) cuando x tiende a e por su izquierda:

lim ( ) lim .( )( )

( )x e x ex e

x ee e

e ef x→ →

−−

−−− −

−

= = =2 2 2 2

2 200 indeterminado


Resolvamos la indeterminación:

{lim ( ) lim lim lim( )( ) ( )

( )x e x ex e

x e x e

x e x ex e

si x e x ex e e e e

f x e→ →

−− →

+ −−

≠ →

+ +− − − −

−

= = = = = =2 2

2 2 2 222

S Hallemos el límite de f (x) cuando x tiende a e por su derecha:lim ( ) lim

&

x e x ef x e e

→ →+ += =

limite de unafuncionconstante

123

Conclusiones:lim ( ) lim ( )

( )lim ( ) ( )x e x ex e

f x f x e

f e ef x f e e→ →

→

− += =

=

⇒ = =

En la figura 22 tenemos representada la función f (x), pudiendo apreciarse lo siguiente:a En el intervalo (&4,e) es una

recta (semirrecta) de pendientepositiva y en el intervalo [e,+4)es una recta (semirrecta) paralelaal eje de abcisas (pendiente 0).

a Cuando x6e& ocurre que f (x)6eCuando x6e+ ocurre que f (x)6ePor tanto, lim ( )

x ef x e

→=

a Existe f (e) y es f (e) = e

23.Límites infinitos en un punto.-þ Sea f (x) una función real de variable real.þ Sea a un número real. Puede ocurrir que a pertenezca al dominio de f (x) o que no

pertenezca, aunque, en general, para el concepto que vamos a estudiar en este apartado,suele ocurrir que a óDf.

þ Vamos a estudiar y definir los siguientes conceptos:ì “El límite de f (x) cuando x tiende a a es + 4 “lim ( )

x af x

→= + ∞

í “El límite de f (x) cuando x tiende a a es - 4 “lim ( )x a

f x→

= − ∞

þ Estudiemos y definamos el concepto ì : lim ( )

x af x

→= + ∞

Expresado de otro modo:

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a, tanto porsu izquierda como por su derecha, las imágenes f (x) soninfinitamente grandes positivas, de tal modo que cuanto más próximoesté x de a (sin llegar a ser x = a), más infinitamente grande es f (x)”


Six ao

x a

entonces f x=

=

= + ∞

+

−

( )

Vamos a expresarlo gráficamente :

Apréciese en la figura 23 que:g f (a) no existe.g Si x • a entonces f (x) es grande positiva y cuanto máspróximo está x de a, mayor esla imagen de x, de tal modo queesta se hace infinita positiva.g Aunque en la figura lagráfica de f aparece cortada,debe entenderse que seaproxima cada vez más a larecta vertical x = a.g La recta x = a se denominaasíntota vertical de la función f.g La gráfica de la función sea aproxima a la recta vertical x = a tanto como podamosimaginar, pero nunca llega a tocarla.g En este caso, se dice que en el punto a, del eje de abcisas, hay una asíntota vertical porambos lados y hacia arriba (hacia + 4).

Hemos de suponer que ya se ha comprendido el concepto .lim ( )x a

f x→

= + ∞

Ahora intentemos dar una definición formal y a matemática. Para ello, intenta seguir elsiguiente razonamiento:a) Imaginemos un número muy grande positivo al que llamaremos M. Imagina ese

número situado en el eje de ordenadas.b) Imagina que existe un número real x muy próximo a a tal que su imagen es mayor

que M, es decir, existe x • a tal que f (x) > M.Los dos puntos (T) anteriores podemos resumirlos en el siguiente enunciado:“Por muy grande positivo que imaginemos un número (M), existe otro número x muypróximos a a tal que su imagen mediante f supera al número M”.De esta idea sacamos la siguiente definición:

La definición anterior nos garantiza que por muy grande que imaginemos un número M(situado en el eje de ordenadas), existe un entorno de centro a (situado en el eje deabcisas) tal que la imagen de ese entorno “está por encima” de M.

Entiéndase esta última igualdad comoque f (x) es infinitamente grande positivo

Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a a es + 4 si para cualquiervalor M positivo, existe un entorno de centro a tal que si x está en ese entorno, suimagen es mayor que M.


Vamos a explicar esta definición gráficamente en la figura siguiente (figura 24):

figura 24.1En esta figura hemosrepresentado una función fcuyo límite cuando x tiende aa es +4 y hemos tomado unnúmero M>0 (supuestamentegrande) en el eje deordenadas.

figura 24.2Puede apreciarse como, apartir de M, obtenemos unentorno de centro a y radio δ,es decir, Eδ(a) = (a&δ,a+δ).Si al trazar las verticales ano quedase en el centro,tomaríamos un subentorno.

figura 24.3En la figura 24.3 es fácilobservar que para cualquiernúmero c que se encuentre enEδ(a), su imagen es mayorque M, es decir, f (c) > M.Apréciese que para cada Mobtendremos un Eδ(a) distinto

Con todo lo expuesto anteriormente, ya podemos escribir la definición matemática: ()

Nótese que en la definición se exige que x…a porque puede ocurrir que f (a) no exista.La definición () la podemos modificar si identificamos Eδ(a) = (a&δ,a+δ) con δ yconsideramos que la expresión x0Eδ(a) equivale a que a&δ < x < a+δ.La nueva definición quedará: ()

También podemos modificar la definición () si consideramos que:

a x a x a x a− < < + ⇔ − < − < ⇔ − <∂ ∂ ∂ ∂ ∂Nuevamente tenemos otra expresión para definir el concepto: ()

Hemos concluido el estudio del concepto ì : “Límite de f (x) es +4 cuando x tiende a a”

lim ( ) ( ) ( ) , ( )x a

x a

f x M E a si x E a entonces f x M→

≠

= + ∞ ⇔ ∀ > ∃ ∈ >0 ∂ ∂1 24 34

lim ( ) , ( )x a x a

f x M si a x a entonces f x M→ ≠

= + ∞ ⇔ ∀ > ∃ > − < < + >0 0∂ ∂ ∂1 244 344

lim ( ) , ( )x a

x a

f x M si x a entonces f x M→

≠

= + ∞ ⇔ ∀ > ∃ > − < >0 0∂ ∂1 24 34


þ Estudiemos y definamos el concepto Ù : “El límite de f (x) cuando x tiende a a es - 4 “ lim ( )

x af x

→= − ∞

De otro modo:

Six ao

x a

entonces f x=

=

= − ∞

+

−

( )

Vamos a expresarlo gráficamente :

Apréciese en la figura 25 que:h f (a) no existe.h Si x • a entonces f (x) es grande negativa y cuanto máspróximo está x de a, menor esla imagen de x, de tal modo queesta se hace infinita negativa.h Aunque en la figura lagráfica de f aparece cortada,debe entenderse que seaproxima cada vez más a larecta vertical x = a.h La recta x = a se denominaasíntota vertical de la función f.h La gráfica de la función sea aproxima a la recta vertical x = a tanto como podamosimaginar, pero nunca llega a tocarla.h En este caso, se dice que en el punto a, del eje de abcisas, hay una asíntota vertical porambos lados y hacia abajo (hacia & 4).

Hemos de suponer que ya se ha comprendido el concepto .lim ( )x a

f x→

= − ∞

Ahora intentemos dar una definición formal y a matemática. Para ello, intenta seguir elsiguiente razonamiento:a) Imaginemos un número muy grande negativo al que llamaremos K. Imagina ese

número situado en el eje de ordenadas.b) Imagina que existe un número real x muy próximo a a tal que su imagen es menor

que K, es decir, existe x • a tal que f (x) < K.Los dos puntos (X) anteriores podemos resumirlos en el siguiente enunciado:“Por muy grande negativo que imaginemos un número (K), existe otro número x muypróximos a a tal que su imagen mediante f es menor que el número K”.

De esta idea sacamos la siguiente definición:

Entiéndase esta última igualdad comoque f (x) es infinitamente grandenegativo

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a, tantopor su izquierda como por su derecha, las imágenes f (x) soninfinitamente grandes negativas, de tal modo que cuanto máspróximo esté x de a (sin llegar a ser x = a), más infinitamentegrande negativa es f (x)”


La definición anterior nos garantiza que por muy grande negativo que imaginemos unnúmero K (situado en el eje de ordenadas), existe un entorno de centro a (situado en eleje de abcisas) tal que la imagen de ese entorno “está por debajo” de K.Vamos a explicar esta definición gráficamente en la figura siguiente (figura 26):

figura 26.1En esta figura hemosrepresentado una función fcuyo límite cuando x tiende aa es &4 y hemos tomado unnúmero K<0 (supuestamentegrande) en el eje deordenadas.

figura 26.2Puede apreciarse como, apartir de K, obtenemos unentorno de centro a y radio δ,es decir, Eδ(a) = (a&δ,a+δ).Si al trazar las verticales ano quedase en el centro,tomaríamos un subentorno.

figura 26.3En la figura 26.3 es fácilobservar que para cualquiernúmero c que se encuentre enEδ(a), su imagen es menorque K, es decir, f (c) < K.Apréciese que para cada Kobtendremos un Eδ(a) distinto

Con todo lo expuesto anteriormente, ya podemos escribir la definición matemática: (r)

Nótese que en la definición se exige que x…a porque puede ocurrir que f (a) no exista.La definición (r) la podemos modificar si identificamos Eδ(a) = (a&δ,a+δ) con δ yconsideramos que la expresión x0Eδ(a) equivale a que a&δ < x < a+δ.La nueva definición quedará: (rr)

También podemos modificar la definición (rr) si consideramos que:

lim ( ) ( ) ( ) , ( )x a

x a

f x K E a si x E a entonces f x K→

≠

= − ∞ ⇔ ∀ < ∃ ∈ <0 ∂ ∂1 24 34

lim ( ) , ( )x a x a

f x K si a x a entonces f x K→ ≠

= − ∞ ⇔ ∀ < ∃ > − < < + <0 0∂ ∂ ∂1 244 344

Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a a es & 4 si para cualquiervalor K negativo, existe un entorno de centro a tal que si x está en ese entorno, suimagen es menor que K.


a x a x a x a− < < + ⇔ − < − < ⇔ − <∂ ∂ ∂ ∂ ∂Nuevamente tenemos otra expresión para definir el concepto: (rrr)

Hemos concluido el estudio del concepto Ù : “Límite de f (x) es &4 cuando x tiende a a”

Observaciones:Hemos visto los conceptos y definiciones de lim ( ) lim ( )

x a x af x y f x

→ →= + ∞ = − ∞

En ellos debe quedar claro que la variable x se aproxima al número a por ambos lados,es decir, debe entenderse lo siguiente:

lim ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

x a x a x a

f x f x f x

f x f x f x→ → →

→ → →

= + ∞ ⇔ = = + ∞

= − ∞ ⇔ = = − ∞

+ −

+ −

Sin embargo, es posible que existan los dos límites laterales y que uno de ellos sea +4 yel otro &4. También es posible que sólo exista uno de ellos y el otro no exista o que uno sea +4o &4 y el otro límite lateral sea un número finito.

A continuación daremos las definiciones correspondientes a los límites laterales infinitosen un punto. Son fácilmente deducibles si se han comprendido las definiciones mencionadas eneste apartado. lim ( )

x af x

→ += + ∞

La definición matemática es: (i)

Literalmente:

En la figura 27 hemos dibujado la gráfica de una función f (x)cuyo límite cuando x tiende a a por su derecha es +4.Puede apreciarse que a la izquierda de a no existe función.La recta de ecuación x = a se dice que es una asíntota vertical dela función f (x) por la derecha y hacia arriba (hacia +4).En este caso:

lim ( ) ; lim ( ) ; ( )x a x a

f x no existe f x f a no existe→ →− +

= + ∞

lim ( ) , ( )x a

x a

f x K si x a entonces f x K→

≠

= − ∞ ⇔ ∀ < ∃ > − < <0 0∂ ∂1 24 34

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por suderecha, las imágenes se hacen infinitamente grandes positivas”

lim ( ) , ( )x a

x a

f x M si a x a entonces f x M→

≠+

= + ∞ ⇔ ∀ > ∃ > < < + >0 0∂ ∂1 244 344

El límite de una función f es +4 cuando x tiende a a por su derecha, si para cualquier númeroM positivo, existe un entorno de centro a y radio δ, tal que si x está en la mitad derecha deeste, su imagen es mayor que M.


lim ( )x a

f x→ −

= + ∞

La definición matemática es: (j)

Literalmente:

En la figura 28 hemos representado la gráfica de una hipotética función f (x) que verifica lo siguiente: lim ( ) ; lim ( ) ; ( )

x a x af x f x l f a no existe

→ →− += + ∞ =

En este caso se dice que lim ( )x a

f x no existe→

Nótese que podría ocurrir que lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

En este caso la recta x = a es una asíntota vertical de la función f, por la izquierda y hacia arriba (hacia +4).

lim ( ) ; lim ( )

lim ( )

( ) .

x a x a

x a

f x f x

f x no existe

f a no existe figura

→ →

→

− += − ∞ = + ∞

29 1

lim ( ) ; lim ( )

lim ( )

( ) .

x a x a

x a

f x f x

f x no existe

f a no existe figura

→ →

→

− += + ∞ = − ∞

29 2

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por suizquierda, las imágenes se hacen infinitamente grandes positivas”

lim ( ) , ( )x a

x a

f x M si a x a entonces f x M→

≠−

= + ∞ ⇔ ∀ > ∃ > − < < >0 0∂ ∂1 244 344

El límite de una función f es +4 cuando x tiende a a por su izquierda, si para cualquier númeroM positivo, existe un entorno de centro a y radio δ, tal que si x está en la mitad izquierda deeste, su imagen es mayor que M.


En la figura 29.1, la recta x = a es una asíntota vertical de la función f (x), por la izquierdahacia abajo y por la derecha hacia arriba. En la figura 29.2 ocurre lo contrario, x = a es unaasíntota vertical por la izquierda hacia arriba y por la derecha hacia abajo.

lim ( )x a

f x→ −

= − ∞

La definición matemática es: (l)

Literalmente:

lim ( )x a

f x→ +

= − ∞

La definición matemática es: (m)

Literalmente:

Ejemplo 35.-Sea la función . Se pide:f x

xx

( ) =+−

2 10252

a) Estudiar su comportamiento en x = 5 y sus proximidades.b) Estudiar su comportamiento en x = &5 y sus proximidades.c) Representa de un modo aproximado lo ocurrido en los apartados a) y b).

Veamos:a) Hallemos la imagen de x = 5:

f f( )520

25 25200

5=−

= ∉ ⇒ ∉R D

Veamos qué ocurre en un entorno de x = 5 :

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por suizquierda, las imágenes se hacen infinitamente grandes negativas”

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por suderecha, las imágenes se hacen infinitamente grandes negativas”

lim ( ) , ( )x a

x a

f x K si a x a entonces f x K→

≠−

= − ∞ ⇔ ∀ < ∃ > − < < <0 0∂ ∂1 244 344

lim ( ) , ( )x a

x a

f x K si a x a entonces f x K→

≠+

= − ∞ ⇔ ∀ < ∃ > < < + <0 0∂ ∂1 244 344

El límite de una función f es &4 cuando x tiende a a por su izquierda, si para cualquier númeroK negativo, existe un entorno de centro a y radio δ, tal que si x está en la mitad izquierda deeste, su imagen es menor que K.

El límite de una función f es &4 cuando x tiende a a por su derecha, si para cualquier númeroK negativo, existe un entorno de centro a y radio δ, tal que si x está en la mitad derecha deeste, su imagen es menor que K.

Quede claro que las igualdades anterioresno son igualdades entre números.


Nos preguntamos si es +4 o &4.lim ( ) limx x

f xx

x→ →=

+−

= = ∞5 5 2

2 1025

200

Para averiguarlo debemos ver si “el cero” del denominador es 0+ o 0&. Esto dependerá desi x tiende a 5 por la izquierda o por la derecha, es decir, debemos hallar los límiteslaterales.

lim ( ) lim

lim ( ) limlim ( ) lim ( )

( )

( )

x xx

x

x xx

xx x

f x

f xf x f x→ →

+−

⋅ +−

+−

→ →

+−

⋅ +−

+−

→ →

− −

−

−

−

−

−

−

+ +

+

+

+

+

+

+

− +

= = = = = − ∞

= = = = = + ∞

⇒ ≠5 5

2 1025

2 5 105 25

10 1025 25

200

5 5

2 1025

2 5 105 25

10 1025 25

200

5 5

2 2

2 2

Por tanto, no existe el límite de f (x) cuando x tiende a 5.Conclusiones:a) La función no existe para x = 5, es decir, f (5) no existeb) La recta de ecuación x = 5 (recta vertical) es una asíntota vertical de la función

f (x), por la izquierda hacia abajo y por la derecha hacia arriba.c) Si tomamos valores de x que estén infinitamente próximos a 5 por su izquierda,

las imágenes de esos x son infinitamente grandes negativas.d) Si tomamos valores de x que estén infinitamente próximos a 5 por su derecha, las

imágenes de esos x son infinitamente grandes positivas.

b) Hallemos la imagen en x =&5:

f f( )− =− +

−= ∉ ⇒ − ∉5

10 1025 25

00

5R D

¿Que ocurre en los alrededores de x =&5?

lim ( ) lim( )

( )x xf x

xx→ − → −

=+−

=⋅ − +− −

=5 5 2 2

2 1025

2 5 105 25

00


lim ( ) lim lim( )

( ) ( )lim

x x x xf x

xx

xx x x→ − → − → − → −

=+−

=+

+ ⋅ −=

−=

−= − = − ′

5 5 2 5 5

2 1025

2 55 5

25

210

15

0 2

Por tanto:“La función f (x) no tiene imagen para x = &5, pero para valores de x que esténinfinitamente próximos a &5, sus imágenes están infinitamente próximas a &0´2, sinllegar a valer nunca &0´2".

c) Nos piden una representación gráfica aproximadaen un entorno de x =5 y otro de x =&5.En la figura 30 tenemos un esquema sobre elcomportamiento de la función f (x) en los puntosx = &5 , x = 5 y sus proximidades.Podemos ayudarnos de una calculadora para verlos valores en x = &5& y x =&5+. Veamos:

x f

x f

= − ′ → − ′ = − ′ − ′

= − ′ → − ′ = − ′ − ′

+

−

5 01 5 01 0 199800199 0 2

4 99 4 99 0 2002002 0 2

( ) ( )

( ) ( )Observa que la recta x = &5 no es asíntota.

Esta expresión significa que ellímite está aún indeterminado,esto es, puede ser cualquiera.

Quede claro que las igualdades anterioresno son igualdades entre números.


Ejemplo 36.-Dada la función , pedimos:f x x

x( )

( )=

− 4 2

a) Determinar su dominio.b) Averigua si tiene asíntotas verticales y estudia la posición de la gráfica con

respecto a estas.Veamos:a) ¿Qué valores debe tomar x para que f (x) no exista?

f x x xxx

( ) ( )( )

= ∉ ⇔ = ⇔ − = ⇔ =− 4

22 0 4 0 4R denominador

Por tanto, el único número que no tiene imagen mediante f es 4.

b) Se trata de encontrar un número a que haga que en sus proximidades a& y/o a+, lasimágenes f (a&) y/o f (a+) se hagan infinitas (&4 o +4). Estos valores se buscan entreaquellos que anulan el denominador. Por tanto, en este caso la recta x = 4 es una posibleasíntota vertical. Veamos:

(puede ser +4 o &4)lim ( ) lim( ) ( )x x

f xx

x→ →=

−=

−= ∞

4 4 2 244

4 440

=

Para distinguir entre +4 o &4 debemos ver los límites laterales.

lim ( ) lim( ) ( ) ( )

lim ( ) lim( ) ( ) ( )

lim ( )x x

x x

x

f xx

x

f xx

x

f x→ →

−

−

−

−

−

+

→ →

+

+

+

+

+

+→

− −

+ +

=−

=−

= = = + ∞

=−

=−

= = = + ∞

⇒ = + ∞4 4 2 2 2

4 4 2 2 24

44

4 44

040

44

4 44

040

La figura 31 da una idea gráfica aproximada de la función en los alrededores de x = 4

Quede claro que en la figura 31no se ha representado la funcióndel enunciado en un entorno decentro 4, sino que es una ideaaproximada de como secomporta dicha gráfica conrespecto a la asíntota vertical deecuación x = 4.Para comprobar, demos algunosvalores con calculadora:

f

f

( )

( )

( )3 999 3999000

4 001 4001000

3 9990 001

4 0010 001

2

2

′ = =

′ = =

′− ′

′′

Es decir, si damos a x valoresinfinitamente próximos a 4, susimágenes son infinitamentegrandes positivas.

{ }D f = − = − ∞ ∪ + ∞R 4 4 4( , ) ( , )


Ejemplo 37.-Sea la función . Queremos lo siguiente:f x

x( ) =

+1

a) Determinar su dominio.b) Estudiar su comportamiento en los entornos de centro 0.c) Dibujar su gráfica.

Veamos:a) El denominador de la función f (x) es otra función que no existe si elg x x( ) = +

radicando x es negativo, esto es, si x < 0. Por tanto, f (x) no existe si x < 0. Además, si esx = 0, tendremos que y, por tanto, f (0) tampoco existe. Los números x > 0 si0 0=tienen imagen ya que y por tanto f (x) existe.g x x( ) = + > 0Conclusión:

{ }D x R xf = ∈ > = + ∞0 0( , )

b) Hemos visto que para x = 0 no existe función ya que f ( )0 10

10= = ∉

+R

Nota: Quede claro que las últimas igualdades no expresan igualdades numéricas.Veamos ahora qué ocurre en las proximidades de 0 :

lim ( ) lim

lim ( ) limlim ( )

º

x x x

x x x no es n realx

f x

f xf x no existe→ → + +

→ → + +→

+ + + +

− − −

= = = = + ∞

= = = ∉

⇒0 0

1 10

10

0 0

1 10

1 0R

Por tanto: “Para valores de x infinitamente próximos a 0 por su izquierda, lasimágenes de f no existen”.“Para valores de x infinitamente próximos a 0 por su derecha, lasimágenes son infinitamente grandes positivas”.

c) Para dibujar su gráfica nos ayudamos de una tabla de valores:

x > 0 f xx

( ) =+

1

1 1

0´25 2

0´01 10

0´0001 1000

0+ + 4

4 0´5

25 0´2

100 0´1

+ 4 0+

En la figura 32 se ha representado la gráfica de f (x) ypodemos apreciar como cuando x 6 0+ es f (x) 6+4 ycuando x 6+4 ocurre que f (x) 60+. Esto último eslo que veremos en el punto siguiente.


24.Límites finitos en el infinito.-ú Sea y = f (x) una función real de variable real y sea l un número real.ú Supongamos que ocurre lo siguiente:

“Para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imágenes f (x) están infinitamentepróximas a l, de tal modo que f (x) puede aproximarse a l tanto como podamos imaginar(basta con tomar un x suficientemente grande). Es posible que f (x) se aproxime a l sinllegar a que se produzca la igualdad f (x) = l”.

ú La idea anterior puede expresarse de siguiente modo de una forma no muy rigurosa:

Expresión que nos indica que si x toma valores infinitamentegrandes positivos, sus imágenes se aproximan a l.

ú La forma correcta de expresar la idea es que “cuando x tiende a + 4, f (x) tiende a l “Matemáticamente:

“El límite de la función f cuando x tiende a más infinito es igual a l”

ú Vamos a expresar gráficamente este concepto:

figura 33.aEn este caso observamos que cuando x tiende a+4 (x1 , x2 , etc.), las imágenes ( y1 , y2 , etc.)tienden a l. Puede apreciarse como la gráfica def (x) se aproxima a la recta horizontal y = l tantocomo imaginemos (sin llegar a tocarla). La rectade ecuación y = l se llama asíntota horizontal de lafunción, por la derecha (hacia +4). En este caso lagráfica de f (x) va por debajo de la asíntota.Nótese que cuanto más se aleja x hacia +4, más seaproxima f (x) a l. En este caso:

f x l si x( ) → → + ∞−

figura 33.bEn este caso observamos que cuando x tiende a +4(x1 , x2 , etc.), las imágenes ( y1 , y2 , etc.) tienden al. Puede apreciarse como la gráfica de f (x) seaproxima a la recta horizontal y = l tanto comoimaginemos (sin llegar a tocarla). La recta deecuación y = l se llama asíntota horizontal de lafunción, por la derecha (hacia +4). En este caso lagráfica de f (x) va por encima de la asíntota.Nótese que cuanto más se aleja x hacia +4, más seaproxima f (x) a l. En este caso:

f x l si x( ) → → + ∞+

f l l o l( ) ( )+ ∞ = + −

lim ( )x

f x l→ + ∞

=


ú Supuesto comprendido el concepto de un modo intuitivo y la interpretación gráfica delmismo, intentemos dar una definición formal a la idea siguiente:

lim ( )x

f x l→ + ∞

=

Para ello, sigue el siguiente razonamiento:Ø Imagina un entorno cualquiera (tan pequeño como quieras) de centro l y radio ε,

es decir, Eε(l). Sitúa este entorno en el eje de ordenadas.Ù Imagina que, una vez fijado dicho entorno, existe un número real k (situado en el

eje de abcisas) talque, si x es mayor k, entonces su imagen f (x) está en Eε(l).Ø y Ù Si te fijas bien, los puntos anteriores nos vienen a decir que si queremos que una

imagen f (x) esté tan próxima a l como queramos, únicamente tenemos que tomarun x suficientemente grande positivo para que su imagen f (x) pertenezca a Eε(l).

Pues bien, esta es la idea sobre la que se basa la definición que damos seguidamente:(f)

Literalmente:

Vamos a interpretar gráficamente esta definición. Observa la figura 34 :

Î Hemos tomado unentorno cualquiera decentro l y radio ε. Lohemos situado en el ejede ordenadas.

Ï A partir de ese entornohemos encontrado elnúmero k en el eje deabcisas. Observa que kdepende de ε.

Ð Cualquier número t quetomemos (t > k), severifica que su imagenes f (t) 0E ε(l).

La definición (f) la podemosmodificar si consideramos lo siguiente:9 Identificamos E ε(l) con ε, ya que el centro l es fijo.9 Substituimos la expresión f (x) 0E ε(l) por su equivalente l & ε < f (x) < l + ε

(ff)

lim ( ) ( ) , , ( ) ( )x

f x l E l k si x k entonces f x E l→ + ∞

= ⇔ ∀ ∃ ∈ > ∈ε εR

lim ( ) , , ( )x

f x l k si x k entonces l f x l→ + ∞

= ⇔ ∀ > ∃ ∈ > − < < +ε ε ε0 R

“Se dice que el límite de la función f (x) es l cuando x tiende a +4, si para cualquierentorno de centro l, existe un número k tal que, si x es mayor que k, entonces suimagen está en ese entorno”.


También podemos modificar la definición (ff) si consideramos lo siguiente:

: l f x l f x l f x l− < < + ⇔ − < − < ⇔ − <ε ε ε ε ε( ) ( ) ( )Por tanto:

(fff)

Literalmente:

Con esto concluimos el estudio y definición del concepto .lim ( )x

f x l→ + ∞

=

Ahora vamos a estudiar el concepto lim ( )x

f x l→ − ∞

=

ü Sea y = f (x) una función real de variable real y sea l un número real.ü Supongamos que ocurre lo siguiente:

“Para valores de x infinitamente grandes negativos, sus imágenes f (x) estáninfinitamente próximas a l, de tal modo que f (x) puede aproximarse a l tanto comopodamos imaginar (basta con tomar un x suficientemente grande negativo). Es posibleque f (x) se aproxime infinitamente a l sin llegar a producirse la igualdad f (x) = l”.

ü La idea anterior puede expresarse de siguiente modo de una forma no muy rigurosa:

Expresión que nos indica que si x toma valores infinitamentegrandes negativos, sus imágenes se aproximan a l.

ü La forma correcta de expresar la idea es que “cuando x tiende a & 4, f (x) tiende a l “Matemáticamente:

“El límite de la función f cuando x tiende a menos infinito es l”

ü Vamos a dar la definición de este concepto. Para ello sigue el siguiente razonamiento:â Imagina un entorno cualquiera (tan pequeño como quieras) de centro l y radio ε,

es decir, Eε(l). Sitúa este entorno en el eje de ordenadas.ã Imagina que, una vez fijado dicho entorno, existe un número real k (situado en el

eje de abcisas) talque, si x es menor k (x está a la izquierda de k), entonces suimagen f (x) está en Eε(l).

â y ã Si te fijas bien, los puntos anteriores nos vienen a decir que si queremos que unaimagen f (x) esté tan próxima a l como queramos, únicamente tenemos que tomarun x suficientemente grande negativo para que su imagen f (x) pertenezca a Eε(l).

f l l o l( ) ( )− ∞ = + −

lim ( ) , , ( )x

f x l k si x k entonces f x l→ + ∞

= ⇔ ∀ > ∃ ∈ > − <ε ε0 R

lim ( )x

f x l→ − ∞

=

“Se dice que el límite de la función f (x) es l cuando x tiende a +4, si paracualquier número positivo ε (generalmente pequeño), existe un número k (engeneral grande positivo) tal que si x es mayor que k, entonces su imagen dista de lmenos de ε.”.


Gráficamente:

figura 35.aEn este caso observamos que cuando x tiende a&4 (x1 , x2 , etc.), las imágenes ( y1 , y2 , etc.)tienden a l. Puede apreciarse como la gráfica def (x) se aproxima a la recta horizontal y = l tantocomo imaginemos (sin llegar a tocarla). La rectade ecuación y = l se llama asíntota horizontal de lafunción, por la izquierda (hacia &4). En este casola gráfica de f (x) va por debajo de la asíntota.Nótese que cuanto más se aleja x hacia &4, más seaproxima f (x) a l. En este caso:

f x l si x( ) → → − ∞−

figura 35.bEn este caso observamos que cuando x tiende a&4 (x1 , x2 , etc.), las imágenes ( y1 , y2 , etc.)tienden a l. Puede apreciarse como la gráfica def (x) se aproxima a la recta horizontal y = l tantocomo imaginemos (sin llegar a tocarla). La rectade ecuación y = l se llama asíntota horizontal de lafunción, por la izquierda (hacia &4). En este casola gráfica de f (x) va por encima de la asíntota.Nótese que cuanto más se aleja x hacia &4, más seaproxima f (x) a l. En este caso:

f x l si x( ) → → − ∞+

Pues bien, esta es la idea sobre la que se basa la definición que damos seguidamente:(e)

Literalmente:

La definición (e) la podemos modificar si consideramos lo siguiente:3 Identificamos E ε(l) con ε, ya que el centro l es fijo.3 Substituimos la expresión f (x) 0E ε(l) por su equivalente l & ε < f (x) < l + ε

(ee)

lim ( ) ( ) , , ( ) ( )x

f x l E l k si x k entonces f x E l→ − ∞

= ⇔ ∀ ∃ ∈ < ∈ε εR

lim ( ) , , ( )x

f x l k si x k entonces l f x l→ − ∞

= ⇔ ∀ > ∃ ∈ < − < < +ε ε ε0 R

“Se dice que el límite de la función f (x) es l cuando x tiende a &4, si para cualquierentorno de centro l, existe un número k tal que, si x es menor que k, entonces suimagen está en ese entorno”.


También podemos modificar la definición (ee) si consideramos lo siguiente:

4 l f x l f x l f x l− < < + ⇔ − < − < ⇔ − <ε ε ε ε ε( ) ( ) ( )Por tanto:

(eee)

Literalmente:

Vamos a interpretar gráficamente esta definición. Observa la figura 36 :

ì Hemos tomado unentorno cualquiera decentro l y radio ε. Lohemos situado en el ejede ordenadas.

í A partir de ese entornohemos encontrado elnúmero k en el eje deabcisas. Observa que kdepende de ε.

î Cualquier número tque tomemos (t < k),se verifica que suimagen es f (t) 0E ε(l).

Con esto concluimos el estudio y definición del concepto .lim ( )x

f x l→ − ∞

=

Ejemplo 38.-Sea la función . Queremos estudiar su comportamiento cuando x tiendef x x

x( ) = ++

6 22 5

a +4 y cuando tiende a &4.Veamos:Lo que buscamos son los siguientes límites: lim ( ) lim ( )

x xf x y f x

→ + ∞ → − ∞Lo vamos a resolver de un modo intuitivo (no sirve como demostración, pero puede ser

útil para aclarar ideas):¸ Imaginemos un número x infinitamente grande positivo, es decir, x = +4

La imagen de ese número será f ( )+ ∞ = =⋅∞ +⋅∞ +

6 22 5

nº infinitamente grande positivonº infinitamente grande positivo

lim ( ) , , ( )x

f x l k si x k entonces f x l→ − ∞

= ⇔ ∀ > ∃ ∈ < − <ε ε0 R

“Se dice que el límite de la función f (x) es l cuando x tiende a &4, si paracualquier número positivo ε (generalmente pequeño), existe un número k (engeneral grande negativo) tal que si x es menor que k, entonces su imagen dista de lmenos de ε.”.


Es fácil apreciar que el numerador es “casi-casi” el triple que el denominador (un pocomenor que el triple).Si efectuamos la división numerador : denominador, obtendríamos como cociente 3&. Es fácil comprender que cuanto mayor sea x (infinitamente grande positivo), más seaproxima el cociente a 3.Por tanto:

lim ( ) ( )x

f x→ + ∞

−= 3 3

¸ Imaginemos un número x infinitamente grande negativo, es decir, x = & 4

La imagen de ese número será f ( ) ( )( )− ∞ = =

⋅ − ∞ +⋅ − ∞ +

6 22 5

nº infinitamente grande negativonº infinitamente grande negativo

Es fácil apreciar que el numerador es “casi-casi” el triple que el denominador (un pocomenor que el triple). En valor absoluto el numerador es mayor que el denominador.Si efectuamos la división numerador : denominador, obtendríamos como cociente 3+. Es fácil comprender que cuanto menor sea x (infinitamente grande negativo), más seaproxima el cociente a 3.Por tanto:

lim ( ) ( )x

f x→ − ∞

+= 3 3

¸ Aunque no vamos a dibujar la gráfica, si vamos a dar una idea aproximada de como esel comportamiento de esta en +4 y &4. Podemos ayudarnos dando valores a x que sean“infinitamente” grandes positivos y negativos.

x → + ∞ 10 100 1000 10000 100000 +4

y f x= ( ) 2´48 2´936585... 2´993516... 2´999350... 2´999935... 3&

x → − ∞ &10 &100 &1000 &10000 &100000 &4

y f x= ( ) 3´666666... 3´066666... 3´006516... 3´000650... 3´000065... 3+

En la figura 37 tenemos unaidea del comportamiento dela gráfica de la función(insistimos en que no se tratade la gráfica exacta) f (x) conrespecto a la asíntotahorizontal de ecuación y = 3.Nótese que la asíntotahorizontal es por la izquierday por la derecha. Por laizquierda la gráfica va porencima de ella y por laderecha está por debajo.

Es decir, “para valores de x infinitamentegrandes positivos, las imágenes f (x) estáninfinitamente próximas a 3 por su izquierda”

Es decir, “para valores de x infinitamentegrandes negativos, las imágenes f (x) estáninfinitamente próximas a 3 por su derecha”


25.La indeterminación 4/4.-Al resolver el ejercicio planteado en el ejemplo 38 advertíamos que lo resolveríamos de

un modo intuitivo. Veremos ahora cual es el mecanismo adecuado para resolverlo:

3 lim ( ) lim limx x x

f xxx→ + ∞ → + ∞ → + ∞

=++

=⋅ ∞ +⋅ ∞ +

=∞∞

=6 22 5

6 22 5

Indeterminado

La expresión anterior (con forma de cociente) (o mejor ) nos indica que se trata∞∞

+ ∞+ ∞

de un cociente entre dos números infinitamente grandes (conceptos borrosos) y decimosque se trata de una indeterminación porque un cociente entre dos números infinitamentegrandes puede dar cualquier resultado, esto es:

Si el numerador es infinitamente mayor que el denominador.+ ∞+ ∞ = + ∞

Si ambos infinitos son de la misma categoría (igual fuerza). + ∞+ ∞ = ∈k R

El resultado del cociente es k porque el numerador es“aproximadamente” k veces el denominador.

Si el denominador es infinitamente mayor que el numerador.+ ∞+ ∞ = 0

Para evitar, resolver o salvar (se dice así) la indeterminación, dividimos numeradory denominador por la mayor potencia de la variable (x) en el denominador (sabemosque si en una fracción dividimos el numerador y denominador por un mismo número, estano varía porque obtenemos otra equivalente).En el caso del ejemplo 38:

lim lim lim limx x

xx

xx x

xx xx

x x xx

x

xx→ + ∞ → + ∞

+

+ → + ∞ → + ∞+ ∞

+ ∞

+

+

+

+++

= =+

+=

+

+=

+

+=

++

= =6 22 5

6

2

6

2

6 02 0

62

36 2

2 5

6 2

2 5

2

5

2

5

Observa que “quitamos” el término lim cuando se supone que la x “ha llegado” a + 4.Para distinguir (si lo deseamos) entre 3+ y 3&, podemos dar a x un valor muy grandepositivo y hallar su imagen.

3 Del mismo modo se trata el caso . Veamos:lim ( )x

f x→ − ∞

lim ( ) lim lim( )( )x x x

f xxx→ − ∞ → − ∞ → − ∞

=++

=⋅ − ∞ +⋅ − ∞ +

=− ∞− ∞

=6 22 5

6 22 5

Indeterminado

Es evidente que en este caso el resultado será positivo al ser cociente entre dos negativos.

lim lim lim limx x

xx

xx x

xx xx

x x xx

x

xx→ − ∞ → − ∞

+

+ → − ∞ → − ∞− ∞

− ∞

−

−

−

−++

= =+

+=

+

+=

+

+=

++

= =6 22 5

6

2

6

2

6 02 0

62

36 2

2 5

6 2

2 5

2

5

2

5

Para distinguir (si lo deseamos) entre 3+ y 3&, podemos dar a x un valor muy grandenegativo y hallar su imagen.

4 En general, supongamos que tenemos una función h (x) que es cociente de otras dos yprendemos determinar su límite cuando x tiende a ± 4). Es decir:

y buscamos h xf xg x

( )( )( )

= lim ( ) lim( )( )x x

f xg xh x

→ ± ∞ → ± ∞=


Supongamos que ocurre lo siguiente:

lim ( )lim ( )

lim ( )xx

x

h xf x

g x→ ± ∞→ ± ∞

→ ± ∞

= =± ∞± ∞

= Indeterminado

En el caso en que las funciones f (x) y g(x) sean polinómicas, la indeterminación sesalva dividiendo el numerador y denominador de la función h (x) por la mayor potenciade la variable x en el denominador.En el caso en que las funciones f(x) y g(x) no sean polinómicas, se utiliza,generalmente, otro método de resolución para salvar la indeterminación.

Ejemplo 39.-Sea la función . Se pide:h x x x

x x( ) = − +

+ −3 2 72 2 4

2

2

a) Hallar su límite cuando x tiende a +4 y &4. Indicar sus asíntotas horizontales.b) Determinar sus asíntotas verticales.c) Hacer un esquema de la gráfica con respecto a las asíntotas.

Veamos:a) Tenemos una función h (x) que es cociente de dos funciones polinómicas.

lim ( ) limx x

h xx xx x→ + ∞ → + ∞

=− ++ −

=⋅ ∞ − ⋅ ∞ +⋅ ∞ + ⋅ ∞ −

=+ ∞ − ∞ ++ ∞ + ∞ −

=+ ∞+ ∞

=3 2 72 2 4

3 2 72 2 4

74

2

2

2

2

2

2 Indeterminado

Nótese que el infinito del numerador y del denominador son del mismo orden (tienen lamisma fuerza), por lo que el límite está aún sin determinar.

Salvamos la indeterminación dividiendo numerador y denominador por x2 :

lim ( ) lim lim lim

lim

x x x

x xx

x xx

x

xx

xx x

xx

xx x

x

x x

x x

h xx xx x→ + ∞ → + ∞ → + ∞

− +

+ − → + ∞

→ + ∞

+ ∞ + ∞

+ ∞ + ∞

=− ++ −

= =− +

+ −=

=− +

+ −=

− +

+ −=

− ++ −

= = ′

3 2 72 2 4

3

2

3

2

3 0 02 0 0

32

1 5

2

2

3 2 7

2 2 4

3 2 7

2 2 4

2 7

2 4

2 7

2 4

2

2

2

2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2

2

2

lim ( ) lim( ) ( )( ) ( )x x

h xx xx x→ − ∞ → − ∞

=− ++ −

=⋅ − ∞ − ⋅ − ∞ +⋅ − ∞ + ⋅ − ∞ −

=+ ∞ + ∞ ++ ∞ − ∞ −

=+ ∞+ ∞

=3 2 72 2 4

3 2 72 2 4

74

2

2

2

2

2

2 Indeterminado

Salvamos la indeterminación dividiendo numerador y denominador por x2 :

lim ( ) lim lim lim

lim ( )

( )

x x x

x xx

x xx

x

xx

xx x

xx

xx x

x

x x

x x

h xx xx x→ − ∞ → − ∞ → − ∞

− +

+ − → − ∞

→ − ∞

− ∞ − ∞

− ∞ − ∞

=− ++ −

= =− +

+ −=

=− +

+ −=

− +

+ −=

+ +− −

= = ′

3 2 72 2 4

3

2

3

2

3 0 02 0 0

32

1 5

2

2

3 2 7

2 2 4

3 2 7

2 2 4

2 7

2 4

2 7

2 4

2

2

2

2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2

2

2

Por tanto: La recta de ecuación y = 1´5es una asíntota horizontal porambos lados, es decir:

lim ( ) lim ( )x x

h x h x→ + ∞ → − ∞

= = ′1 5


Para ver la posición de la gráfica de h (x) respecto de la asíntota, damos valores a x:

h h( ) ; ( )1000 1 49750898 1000 1 5025090129980072001996

30020071997996= = ′ − = = ′K K

Aparentemente hemos obtenido que la gráfica está por debajo de la asíntota cuando xtiende a +4 y está por encima cuando x tiende a &4.

b) Las posibles asíntotas verticales de la función h (x) hay que buscarlas entre los valoresque anulan el denominador. Busquemos esos valores:denominador

posible asintota vertical

posible asintota vertical

= ⇒ + − = ⇒ ⋅ + − = ⇒ + − =

= = = == →

= − →

− ± + − ± − ±

0 2 2 4 0 2 2 0 2 0

1

2

2 2 2

1 1 82

1 92

1 32

1

2

x x x x x x

xxx

( )&

&

Factorizamos el polinomio denominador: 2 2 4 2 1 22x x x x+ − = ⋅ − ⋅ +( ) ( )

Podemos expresar la función h (x) del modo: h x x xx x( ) ( ) ( )= − +

⋅ − ⋅ +3 2 7

2 1 22

Hallemos los límites cuando :x y x→ → −1 2

lim ( ) lim ( )( ) ( ) ( ) ( )x xx xx xh x o

→ →− +

⋅ − ⋅ +⋅ − ⋅ +

⋅ − ⋅ += = = = + ∞ − ∞1 1

3 2 72 1 2

3 1 2 1 72 1 1 1 2

80

2 2

Ya sabemos que la recta x = 1 es una asíntota vertical. Para determinar la posición de lagráfica respecto de dicha asíntota, debemos hallar los límites laterales. Veamos:

lim ( ) lim

lim ( ) lim

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x xx xx x

x xx xx x

h x

h x

→ →

− +⋅ − ⋅ +

⋅ − ⋅ +⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

→ →

− +⋅ − ⋅ +

⋅ − ⋅ +⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

+ + + + + + +

− − − − −

= = = = = = + ∞

= = = =

1 1

3 2 72 1 2

3 1 2 1 72 1 1 1 2

82 0 3

86 0

80

1 1

3 2 72 1 2

3 1 2 1 72 1 1 1 2

82 0 3

2 2

2 2 86 0

80⋅ − −= = − ∞

Por tanto:“Para valores de x infinitamente próximos a 1 por su derecha, lasimágenes h (x) son infinitamente grandes positivas y para valores de xinfinitamente próximos a 1 por su izquierda, las imágenes h (x) soninfinitamente grandes negativas”.La recta de ecuación x = 1 es una asíntota vertical

lim ( ) lim ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )x x

x xx xh x o

→ − → −− +

⋅ − ⋅ +⋅ − − ⋅ − +⋅ − − ⋅ − += = = = + ∞ − ∞

2 23 2 7

2 1 23 2 2 2 72 2 1 2 2

230

2 2

Ya sabemos que la recta x = -2 es una asíntota vertical. Para determinar la posición de lagráfica respecto de dicha asíntota, debemos hallar los límites laterales. Veamos:

lim ( ) lim

lim ( ) lim

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

x xx xx x

x xx xx x

h x

h x

→ − → −

− +⋅ − ⋅ +

⋅ − − ⋅ − +⋅ − − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅

→ − → −

− +⋅ − ⋅ +

⋅ − − ⋅ − +

+ + + + + + −

− −

= = = = = = − ∞

= =

2 2

3 2 72 1 2

3 2 2 2 72 2 1 2 2

232 3 0

236 0

230

2 2

3 2 72 1 2

3 2 2 2 72

2 2

2 2

⋅ − − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅− − − − += = = = + ∞( ) ( ) ( )2 1 2 2

232 3 0

236 0

230

Por tanto:“Para valores de x infinitamente próximos a &2 por su derecha, lasimágenes h (x) son infinitamente grandes negativas y para valores de xinfinitamente próximos a &2 por su izquierda, las imágenes h (x) soninfinitamente grandes positivas”.La recta de ecuación x = &2 es una asíntota vertical

lim ( )

lim ( )x

x

h x

h x→

→

+

−

= + ∞

= − ∞1

1

lim ( )

lim ( )x

x

h x

h x→ −

→ −

+

−

= − ∞

= + ∞2

2


c) Hagamos un esquema de los resultados obtenidos:En la figura 38 tenemos unesquema que nos indica laposición de la gráfica de lafunción h (x) con respecto a laasíntota horizontal y a lasverticales. Según parece, lagráfica corta a la asíntotahorizontal y = 1´5 en un puntodel primer cuadrante.Supongamos que deseamoshallar ese punto de corte. Paraello debemos resolver el sistemade dos ecuaciones con dosincógnitas siguiente:

Sy

y

x xx x:

=

=

− ++ −

3 2 72 2 432

2

2

Resolvemos por el método de igualación:

y y x x x x x x

Para x es y Por P es el punto de corte

x xx x

= ⇒ = ⇒ − + = + − ⇒ = ⇒ = = ′

= ′ = ′ ′ ′

− ++ −

3 2 72 2 4

32

2 2 135

2

2 6 4 14 6 6 12 10 26 2 6

2 6 1 5 2 6 1 5. ( , ) .tanto

En ocasiones, la obtención del límite en el caso de una indeterminación del tipo ,∞∞

puede apreciarse a simple vista, esto es, sin realizar cálculos. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 40.- Queremos conocer el comportamiento de la función cuando x 6 +4f x x x x

x x( ) = − + +

− +9 5 2

3 6 5

3 2

3

Veamos:Se trata de hallar el límite de f (x) cuando x 6 +4.

lim ( ) limx x

f xx x x

x x→ + ∞ → + ∞=

− + +− +

=⋅ ∞ − ⋅ ∞ + ∞ +

⋅ ∞ − ⋅ ∞ +=

⋅ ∞ +⋅ ∞ +

=+ ∞+ ∞

=9 5 2

3 6 59 5 2

3 6 593

3 2

3

3 2

3

3

3L

LIndeterminado

En este caso el infinito del numerador y del denominador son del mismo orden (43), peroel numerador es (aproximadamente) el triple del denominador (cuando x es infinitamente grande),por lo que el cociente es un número infinitamente próximo a 3 (cuanto mayor sea x más seaproxima el cociente a 3).

Por tanto: lim ( ) limx x

x x xx x

f x→ + ∞ → + ∞

− + +− +

= = =9 5 23 6 5

93

3 2

3 3

Si resolvemos la indeterminación dividiendo numeradory denominador por x3, obtenemos el mismo resultado.

La recta de ecuación y = 3 es una asíntota horizontal por la derecha.

p o r s e r n u m e r a d o r ydenominador del mismo grado


Ejemplo 41.-Dada la función , queremos hallar el límite cuando x tiende a +4 y &4f x x

x x( ) = −

+5 64

2

3

Veamos:

lim ( ) limx x

f xxx x→ + ∞ → + ∞

=−+

=⋅ ∞ −⋅ ∞ + ∞

=⋅ ∞ +⋅ ∞ +

=+ ∞+ ∞

=5 64

5 64

54

2

3

2

3

2

3L

LIndeterminado

Aunque el cociente es indeterminado, apreciamos que el infinito del numerador es depotencia 2 y el del denominador de potencia 3, lo que significa que, si x es un númeroinfinitamente grande positivo, el cociente es aproximadamente cero. Como el numerador ydenominador son positivos (para x = +4), el cero es por la derecha (0+).

Por tanto: Deducido “a simple vista”lim ( ) ( )x

f x→ + ∞

+= 0 0

Podemos deducirlo dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x enel denominador ( x3) :


( )

x x x

xx

x xx

x

xx xx

xx

xx

x x

x

f xxx x

A simple vista se aprecia quees

→ + ∞ → + ∞ → + ∞

−

+ → + ∞ → + ∞

∞ ∞

∞

+ +

=−+

= =−

+=

−

+=

=−

+=

−+

= =

5 64 4

4

0 04 0

04

0 0 0

2

3

5 6

4

5 6

4

5 6

1

5 6

1

2

3

3

3

2

3 3

3

3 3

3

2

3

2

Lo anterior nos indica que la recta y = 0 (el eje de abcisas) es una asíntota horizontal porla derecha. La gráfica de la función se acerca a ella por encima.

lim ( ) lim( )( )x x

f xxx x→ − ∞ → − ∞

=−+

=⋅ − ∞ −⋅ − ∞ − ∞

=⋅ ∞ +

− ⋅ ∞ +=

+ ∞− ∞

=5 64

5 64

54

2

3

2

3

2

3L

LIndeterminado

Aunque el cociente es indeterminado, apreciamos que el infinito del numerador es depotencia 2 y el del denominador de potencia 3, lo que significa que, si x es un númeroinfinitamente grande negativo, el cociente es aproximadamente cero. Como el numerador espositivo y el denominador negativo, (para x = &4), el cero es por la izquierda (0&).

Por tanto: Deducido “a simple vista”lim ( ) ( )x

f x→ − ∞

−= 0 0

Podemos deducirlo dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x enel denominador ( x3) :


( )( )

( )

x x x

xx

x xx

x

xx xx

xx

xx

x x

x

f xxx x

A simple vista se aprecia quees

→ − ∞ → − ∞ → − ∞

−

+ → − ∞ → − ∞

− ∞ − ∞

− ∞

− + −− −

=−+

= =−

+=

−

+=

=−

+=

++

= =

5 64 4

4

0 04 0

04

0 0 0

2

3

5 6

4

5 6

4

5 6

1

5 6

1

2

3

3

3

2

3 3

3

3 3

3

2

3

2

Debe apreciarse a simple vista que la expresión del numerador 0&+ 0+ es 0&

Lo anterior nos indica que la recta y = 0 (el eje de abcisas) es una asíntota horizontal porla izquierda. La gráfica de la función se acerca a ella por debajo.Conclusión: . Además, y = 0 asíntota horizontallim ( ) lim ( )

x xf x y f x

→ + ∞+

→ − ∞−= =0 0


Ejemplo 42.-Hallar los límites, en el infinito, de la función .g x x x

x( ) = −+

3 950 2

Veamos:Nos piden que hallemos lim ( ) lim ( )

x xg x y g x

→ + ∞ → − ∞

lim ( ) limx x

x xxg x

→ + ∞ → + ∞−

++ ∞ − ⋅∞

⋅∞ ++ ∞+ ∞= = = =

3 3950 2

950 2 Indeterminado

Aunque es indeterminado, a simple vista se aprecia que el resultado del cociente es + 4.Si lo hacemos dividiendo numerador y denominador por x, tenemos:

lim ( ) lim lim lim limx x

x xx x

x xxxx

x

xx

xx

xx x x x

g xx

→ + ∞ → + ∞−

+ → + ∞

−

+ → + ∞ → + ∞+ ∞

+ ∞+= = =

−

+=

−

+=

+ ∞ −

+= = + ∞

3

3 3

950 2

9

50 2

9

50 2

2

2

2

2 50 09

50

9

50

El límite anterior nos dice que “para valores de x infinitamente grandes positivos, lasimágenes g (x) son infinitamente grandes positivas”.

Como la función g(x) no se aproxima “tanto como podamos imaginar” a una rectahorizontal, por su derecha, deducimos que no tiene asíntota horizontal por la derecha.

lim ( ) limx x

x xxg x

→ − ∞ → − ∞−

+− ∞ + ⋅∞− ⋅∞ +

− ∞− ∞= = = =

3 3950 2

950 2 Indeterminado

Aunque es indeterminado, a simple vista se aprecia que el resultado del cociente es + 4,ya que el numerador y denominador son negativos.

Si lo hacemos dividiendo numerador y denominador por x, tenemos:

lim ( ) lim lim lim lim( )

x xx x

x x

x xxxx

x

xx

xx

xx x x x

g xx

→ − ∞ → − ∞−

+ → − ∞

−

+ → − ∞ → − ∞ − ∞

+ ∞+= = =

−

+=

−

+=

− ∞ −

+= = + ∞

3

3 3

950 2

9

50 2

9

50 2

2

2

2

2 50 09

50

9

50

El límite anterior nos dice que “para valores de x infinitamente grandes negativos, lasimágenes g (x) son infinitamente grandes positivas”.

Como la función g(x) no se aproxima “tanto como podamos imaginar” a una rectahorizontal, por su izquierda, deducimos que no tiene asíntota horizontal por la izquierda.

Demos una idea gráfica del comportamiento de g(x) en el infinito (positivo y negativo).

La figura 39 nos indica que lagráfica de la función g(x) “vapor la derecha y haciaarriba”, hasta “perderse” a+4. Por la izquierda tambiénva “hacia arriba” (hasta +4).

En este caso se dice que lafunción tiene una ramaparabólica por la derechahacia arriba y otra por laizquierda hacia arriba.

En este caso la función g(x)no tiene asíntota horizontal.


26.Límites infinitos en el infinito.- Sea y = f (x) una función real de variable real. Supongamos que ocurre lo siguiente:

“Para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imágenes f (x) son infinitamentegrandes positivas, de tal modo que f (x) puede superar cualquier valor positivo queimaginemos, dándole a x algún valor grande positivo”.

La idea anterior se expresa en términos matemáticos del siguiente modo:“La función f (x) tiende a más infinito cuando x tiende a más infinito”. En lenguaje matemático: f x cuando x( ) → + ∞ → + ∞De un modo informal y utilizando términos borrosos: f (+4) = +4.La forma más correcta de expresarlo es:

Se lee: “El límite de f (x) cuando x tiende a +4 es +4”Significa: “Para valores de x infinitamente grandespositivos, sus imágenes son infinitamente grandes positivas”

La interpretación gráfica es que la línea que representa a la función, “se aleja por laderecha y hacia arriba”

En la figura 40 hemosexpresado de un modográfico la idea de unafunción que verifica losiguiente: lim ( )

xf x

→ + ∞= + ∞

Aunque la curva la hemosdibujado cóncava haciaarriba, puede ser cóncavahacia abajo o recta.La mayor inclinación de lacurva (su pendiente) nosindica “la fuerza” con la quela función tiende a infinito.

Suponiendo que se ha comprendido intuitivamente el concepto y la interpretación gráficade , vamos a buscar la definición formal y matemática.lim ( )

xf x

→ + ∞= + ∞

.Î.- Imaginemos un número positivo M (M>0) y tan grande como queramos. Imaginadicho número situado en el eje de ordenadas (estará muy alto).

.Ï.- Supongamos que existe un número x (situado en el semieje de abcisas positivo)cuya imagen es mayor que M, es decir, f (x)>M.

.Ð.- De los dos puntos anteriores deducimos que “la parte derecha” de la gráfica dela función f (x) es capaz de superar cualquier valor M situado en el eje deordenadas.

Sobre esta idea construimos la definición formal del concepto:

Vamos a desarrollar esta definición de un modo gráfico:

lim ( )x

f x→ + ∞

= + ∞

“Se dice que el límite de la función f (x) es +4 cuando x tiende a +4, si para cualquiernúmero M>0, existe un número k>0 tal que, si x es mayor que k, entonces su imagenf (x) es mayor que M”.


figura 41.aEn la figura 41.a tenemos lafunción f (x) que tiende a +4cuando x tiende a +4.Hemos tomado un númerocualquiera M>0 y situado enel eje de ordenadas.

figura 41.bEn la figura 41.b obtenemosel valor k (en el eje deabcisas) a partir del M quehabíamos elegido. Observaque para cada valor Mobtendremos un k.

figura 41.cEn la figura 41.c se apreciaque si tomamos un número t(eje de abcisas) tal que t > k,entonces su imagen es mayorque M, es decir, f (t)> M.

Por fin, damos la definición matemática:

Ejemplo 43.-Consideremos las tres funciones siguientes :

f x g x x I x x y t x L xx( ) ; ( ) ; ( ) ( )= = − = =2 22

Queremos hallar sus límites cuando x tiende a +4.Veamos:

lim ( ) lim

lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim

lim ( ) lim ( )

x xx

x x

x x

x x

f x

g x x

I x x

t x L x L

→ + ∞ → + ∞+ ∞

→ + ∞ → + ∞

→ + ∞ → + ∞

→ + ∞ → + ∞

= = = + ∞

= − = + ∞ − = + ∞

= = + ∞

= = + ∞ = + ∞

2 2

2 22 2

En la figura 42 se tienen las gráficas de la cuatrofunciones, obtenidas con un programa informático.Podemos apreciar que no todas tienden a +4 con la“misma fuerza” (con la misma rapidez). La “másrápida” es f (x) y la “más lenta”, la que “sube máslentamente” es t (x).

lim ( ) , , ( )x

f x M k si x k entonces f x M→ + ∞

= + ∞ ⇔ ∀ > ∃ > > >0 0


Veamos ahora otro caso:3 Sea y = f (x) una función real de variable real.3 Supongamos que ocurre lo siguiente:

“Para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imágenes f (x) son infinitamentegrandes negativas, de tal modo que f (x) puede superar cualquier valor negativo queimaginemos, dándole a x algún valor grande positivo”.

3 La idea anterior se expresa en términos matemáticos del siguiente modo:“La función f (x) tiende a menos infinito cuando x tiende a más infinito”. En lenguaje matemático: f x cuando x( ) → − ∞ → + ∞De un modo informal y utilizando términos borrosos: f (+4) = &4.La forma más correcta de expresarlo es:

Se lee: “El límite de f (x) cuando x tiende a +4 es &4”Significa: “Para valores de x infinitamente grandespositivos, sus imágenes son infinitamente grandesnegativas”

3 La interpretación gráfica es que la línea que representa a la función, “se aleja por laderecha y hacia abajo”En la figura 43 hemosexpresado de un modo gráficola idea de una función queverifica lo siguiente: lim ( )

xf x

→ + ∞= − ∞

Aunque la curva la hemosdibujado cóncava hacia arriba,puede ser cóncava hacia abajoo recta.La mayor inclinación de lacurva (su pendiente) nosindica “la fuerza” con la que la función tiende a menos infinito.

3 Suponiendo que se ha comprendido intuitivamente el concepto y la interpretación gráficade , vamos a buscar la definición formal y matemática.lim ( )

xf x

→ + ∞= − ∞

3.Î.- Imaginemos un número negativo M (M<0) y tan grande negativo como queramos.Imagina dicho número situado en el eje de ordenadas (estará muy bajo).

3.Ï.- Supongamos que existe un número x (situado en el semieje de abcisas positivo)cuya imagen es menor que M, es decir, f (x)<M.

3.Ð.- De los dos puntos anteriores deducimos que “la parte derecha” de la gráfica dela función f (x) es capaz de superar inferiormente cualquier valor negativo Msituado en el eje de ordenadas.



lim ( )x

f x→ + ∞

= − ∞

“Se dice que el límite de la función f (x) es &4 cuando x tiende a +4, si para cualquiernúmero M<0, existe un número k>0 tal que, si x es mayor que k, entonces su imagenf (x) es menor que M”.


figura 44.aEn la figura 44.a tenemos lafunción f (x) que tiende a &4cuando x tiende a +4.Hemos tomado un númerocualquiera M<0 y situado enel eje de ordenadas.


figura 44.cEn la figura 44.c se apreciaque si tomamos un número t(eje de abcisas) tal que t > k,entonces su imagen es menorque M, es decir, f (t)< M.


Ejemplo 44.-Sea la función . Pedimos lo siguiente:f x x( ) = − −5 4

2a) Demuestra que su límite cuando x 6 +4 es & 4.b) Si consideramos el valor M = &10000, halla el máximo valor k que hace que si

x > k, entonces f (x)>M.Veamos:

a) lim ( ) limx x

xf x→ + ∞ → + ∞

− − − ⋅∞ − − ∞= = = = − ∞5 42

5 42 2

b) Si fijamos un número grande negativo (en estecaso fijamos M=&10000), existe un número k talque a partir de él, las imágenes de f superaninferiormente a M. Buscamos el valor de k.En el cuadro de la derecha hemos deducido que six > 3999´2 entonces su imagen es f (x)>&10000Por tanto:

lim ( ) , , ( )x

f x M k si x k entonces f x M→ + ∞

= − ∞ ⇔ ∀ < ∃ > > <0 0

Para valores de x infinitamentegrandes posit ivos, lasimágenes son infinitamentegrandes negativas.

f x M

xx x

x

x( )

;

< ⇔ < −

− − < −− < − >

> = ′

− −5 42

199965

10000

5 4 200005 19996 5 19996

3999 2k = 3999´2


Ejemplo 45.-Consideremos la función f x x x x( ) = − ′ + + +0 001 1000 1000 10003 2

Queremos determinar su límite cuando x tiende &4.Veamos:

lim ( ) lim ( )x x

f x x x x→ + ∞ → + ∞

= − ′ + + + =

= − ′ ⋅ ∞ + ⋅ ∞ + ⋅ ∞ + = − ∞ + ∞ + ∞ + = − ∞

0 001 1000 1000 1000

0 001 1000 1000 1000 1000

3 2

3 2 3 2

Significa que “para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenes son infinitamentegrandes negativas”Nótese que el infinito de mayor potencia con su signo determina que el límite sea +4 o &4 .Hagamos alguna comprobación:

( )x f= ⇒ = − + ⋅ + ⋅ + = − + + + =

=

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1020 20 1010

3 40 3 20 3 57 43 23 360

3

numero "infinitamente" grande negativo& .

Veamos ahora otro caso:‘ Sea y = f (x) una función real de variable real.‘ Supongamos que ocurre lo siguiente:

“Para valores de x infinitamente grandes negativos, sus imágenes f (x) son infinitamentegrandes positivas, de tal modo que f (x) puede superar cualquier valor positivo queimaginemos, dándole a x algún valor grande negativo”.

‘ La idea anterior se expresa en términos matemáticos del siguiente modo:“La función f (x) tiende a más infinito cuando x tiende a menos infinito”. En lenguaje matemático: f x cuando x( ) → + ∞ → − ∞De un modo informal y utilizando términos borrosos: f (&4) = +4.La forma más correcta de expresarlo es:

Se lee: “El límite de f (x) cuando x tiende a &4 es + 4”Significa: “Para valores de x infinitamente grandes negativos,sus imágenes son infinitamente grandes positivas”

‘ La interpretación gráfica es que la línea que representa a la función, “se aleja por laizquierda y hacia arriba”.

En la figura 45 hemos expresado de unmodo gráfico la idea de una funciónque verifica lo siguiente:

lim ( )x

f x→ − ∞

= + ∞

Aunque la curva la hemos dibujadocóncava hacia arriba, puede sercóncava hacia abajo o una recta.La mayor inclinación de la curva (supendiente) nos indica “la fuerza” conla que la función tiende a más infinito.Se dice que la función presenta unarama parabólica por la izquierda yhacia arriba.

lim ( )x

f x→ − ∞

= + ∞


‘ Suponiendo que se ha comprendido intuitivamente el concepto y la interpretación gráficade , vamos a buscar la definición formal y matemática.lim ( )

xf x

→ − ∞= + ∞

‘.Î.- Imaginemos un número positivo M (M>0) y tan grande como queramos. Imaginadicho número situado en el eje de ordenadas (estará muy alto).

‘.Ï.- Supongamos que existe un número x (situado en el semieje de abcisas negativo)cuya imagen es mayor que M, es decir, f (x)>M.

‘.Ð.- De los dos puntos anteriores deducimos que “la parte izquierda” de la gráfica dela función f (x) es capaz de superar cualquier valor positivo M situado en el ejede ordenadas.



figura 46.aEn la figura 46.a tenemos lafunción f (x) que tiende a +4cuando x tiende a &4.Hemos tomado un númerocualquiera M>0 y situado enel eje de ordenadas.


figura 46.cEn la figura 46.c se apreciaque si tomamos un número t(eje de abcisas) tal que t < k,entonces su imagen es mayorque M, es decir, f (t)>M.


Ejemplo 46.-Dadas las funciones , queremos hallar sus límitesf x x x y g x x( ) ( )= − + = ′4 22 5 0 5

lim ( ) , , ( )x

f x M k si x k entonces f x M→ − ∞

= + ∞ ⇔ ∀ > ∃ < < <0 0

“Se dice que el límite de la función f (x) es +4 cuando x tiende a &4, si para cualquiernúmero M>0, existe un número k<0 tal que, si x es menor que k, entonces su imagenf (x) es mayor que M”.


cuando x tiende a &4. También queremos expresar de un modo gráfico aproximado los resultadosobtenidos anteriormente.

Veamos:

lim ( ) lim ( ) ( ) ( )x x

f x x x→ − ∞ → − ∞

= − + = − ∞ − − ∞ + = + ∞ − ∞ + = + ∞4 2 4 2 4 22 5 2 5 5

Ya sabemos que la gráfica de la función f tiene una rama parabólica por la izquierda yhacia arriba.

( ) ( ) ( )lim ( ) limx x

xg x

→ − ∞ → − ∞

− ∞= = = = = = + ∞+∞ +∞

+∞ +∞

12

12

1 1 112

12

1

También la gráfica de la función g tiene rama parabólica por laizquierda y hacia arriba.

Aunque tenemos una idea aproximada de como son las gráficasde esas funciones por la parte izquierda, para hacer una representaciónvamos a construir una tabla de valores que nos ayude a determinar cual de las dos se aleja haciael infinito con más rapidez.x → − ∞ f (x) g (x)

&10 9805 1024

&20 159205 1048576

&30 808205 1073741824

& 4 + 4 + 4

En la figura 47 puedeapreciarse que hemos representado esquemáticamente las tendencias de las gráficas cuando lavariable x tiende a &4. Nótese que la gráfica de g se dirige a +4 con más rapidez que la gráficade f.

Veamos el último caso:• Sea y = f (x) una función real de variable real.• Supongamos que ocurre lo siguiente:

“Para valores de x infinitamente grandes negativos, sus imágenes f (x) son infinitamentegrandes negativas, de tal modo que f (x) puede superar cualquier valor negativo queimaginemos, dándole a x algún valor grande negativo”.

• La idea anterior se expresa en términos matemáticos del siguiente modo:“La función f (x) tiende a menos infinito cuando x tiende a menos infinito”. En lenguaje matemático: f x cuando x( ) → − ∞ → − ∞De un modo informal y utilizando términos borrosos: f (&4) = &4.La forma más correcta de expresarlo es:

Se lee: “El límite de f (x) cuando x tiende a &4 es & 4”Significa: “Para valores de x infinitamente grandesnegativos, sus imágenes son infinitamente grandesnegativas”

• La interpretación gráfica es que la línea que representa a la función, “se aleja por laizquierda y hacia abajo”.

lim ( )x

f x→ − ∞

= − ∞

Las últimas igualdadesno son igualdadesn u m é r i c a s , s i n oexpresiones que nosayudan a encontrar ellímite.


En la figura 48 hemosexpresado de un modo gráficola idea de una función queverifica lo siguiente: lim ( )

xf x

→ − ∞= − ∞

Aunque la curva la hemosdibujado cóncava hacia arriba,puede ser cóncava hacia abajoo una recta.La mayor inclinación de lacurva (su pendiente) nos indica“la fuerza” con la que lafunción tiende a menosinfinito. Se dice que la funciónpresenta una rama parabólica por la izquierda y hacia abajo.

• Suponiendo que se ha comprendido intuitivamente el concepto y la interpretación gráficade , vamos a buscar la definición formal y matemática.lim ( )

xf x

→ − ∞= − ∞

•.Î.- Imaginemos un número positivo M (M<0) y tan grande negativo como queramos.Imagina dicho número situado en el eje de ordenadas (estará muy bajo).

•.Ï.- Supongamos que existe un número x (situado en el semieje de abcisas negativo)cuya imagen es menor que M, es decir, f (x)<M.

•.Ð.- De los dos puntos anteriores deducimos que “la parte izquierda” de la gráfica dela función f (x) es capaz de superar inferiormente cualquier valor negativo Msituado en el eje de ordenadas.



“Se dice que el límite de la función f (x) es &4 cuando x tiende a &4, si para cualquiernúmero M<0, existe un número k<0 tal que, si x es menor que k, entonces su imagenf (x) es menor que M”.


figura 49.aEn la figura 49.a tenemos lafunción f (x) que tiende a &4cuando x tiende a &4.Hemos tomado un númerocualquiera M<0 y situado enel eje de ordenadas.


figura 49.cEn la figura 49.c se apreciaque si tomamos un número t(eje de abcisas) tal que t < k,entonces su imagen es menorque M, es decir, f (t)<M.


Ejemplo 47.-Sea la función f (x) = x3. Hallemos su límite cuando x tiende a &4:

lim ( ) lim ( )x x

f x x→ − ∞ → − ∞

= = − ∞ = − ∞3 3

Es evidente que esta función verifica la definición del último recuadro, es decir:

lim , ,x

x M k si x k entonces x M→ − ∞

= − ∞ ⇔ ∀ < ∃ < < <3 30 0

Fijemos un valor para M, por ejemplo M = &1000¿Cuál será el valor de k correspondiente a ese valor M?

Veamos:

x es una inecuacion

x x

3

33 3

1000

1000 10

< −

< − < −

& ..

;

Resolvemos:

Comprobemos:

x &10 &100 &1000 &10000 &4

f (x) = x3 &1000 &1000000 &109 &1012 &4

27.La indeterminación 4&4.-

En ocasiones, al buscar el límite de una función nos encontramos con la expresión 4&4,la cual nos indica “restas entre números infinitamente grandes”. Estas diferencias pueden darlugar a cualquier resultado: “más infinito”, “menos infinito” o “un número finito”, lo que haceque denominemos a la expresión 4&4 “indeterminada”, o dicho de otro modo, “el límite estáindeterminado”. Para determinar el límite es necesario, en ocasiones, utilizar algunosmecanismos algebraicos que nos permiten encontrarlo, aunque es posible que se determine asimple vista. Veamos algunos ejemplos:

lim ( ) , , ( )x

f x M k si x k entonces f x M→ − ∞

= − ∞ ⇔ ∀ < ∃ < < <0 0

Es decir, si x es menor que &10,entonces su imagen es menor que&1000. Por tanto, k = &10.


Ejemplo 48.-Hallar el límite de la función cuando x tiende a + 4.f x x x( ) = −3 21000

Veamos:

( )lim ( ) limx x

f x x x→ + ∞ → + ∞

= − = ∞ − ⋅ ∞ = ∞ − ∞ = + ∞3 2 3 21000 100

En este caso nos hemos encontrado con la expresión 43&1000 · 42 = 4&4 = indeterminado.Apreciamos que el infinito minuendo (43) es infinitamente mayor que el infinito sustraendo (1000· 42), lo que hace que la diferencia sea + 4.Realicemos algunas comprobaciones:

x f

x f

x f

= → = − =

= → = − = ⋅ − = ⋅

= → = − = ⋅ − = ⋅

1000 1000 1000 000 000 1000 000 000 0

10000 10000 10 10 10 10 1 9 10

10 10 10 10 10 10 1 999 10

12 11 11 11

6 6 18 15 15 3 15

( ) . . . . . .

( ) ( )

( ) ( )Observa que los dos últimos números obtenidos son “infinitamente grandes positivos”

Ejemplo 49.-Hallar el límite de la función cuando x tiende a & 4.g x x x( ) = +3 21000

Veamos: ( )lim ( ) lim ( ) ( )

x xg x x x

→ − ∞ → − ∞= + = − ∞ + ⋅ − ∞ = − ∞ + ⋅ ∞ = − ∞ + ∞ = − ∞3 2 3 2 3 21000 100 1000

En este caso se aprecia que el infinito minuendo (+1000 · 42 ) es infinitamente menor que elinfinito sustraendo (43), lo que hace que el límite sea &4.Comprobemos:

( ) ( )

( )x g

n grande negativo

= − → − = − + ⋅ − = − + =

= ⋅ − = − ⋅ =

10 10 10 10 10 10 10

10 1 10 99999 10

8 8 8 3 3 8 2 24 19

19 5 19

( )

º

Ejemplo 50.-Queremos hallar el siguiente límite: ( )lim ( ) lim

x xf x x x

→ + ∞ → + ∞= + − −3 2 5

Veamos: ( )lim

xx x

→ + ∞+ − − = ⋅ ∞ + − ∞ − = ∞ − ∞ = ∞ − ∞ =3 2 5 3 2 5 Indeterminado

En este caso consideramos indeterminado el límite porque no apreciamos a simple vista su valor.Para salvar la indeterminación, multiplicamos y dividimos por la conjugada de la expresión , es decir, :3 2 5x x+ − − 3 2 5x x+ + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim lim lim

lim limx x

x x x x

x x x

x x

x x

xx xx x x

xx x

x x→ + ∞ → + ∞

+ − − ⋅ + + −

+ + − → + ∞

+ − −

+ + −

→ + ∞+ − ++ + − → + ∞

++ + −

⋅∞ +⋅∞ + + ∞ −

+ ∞∞ + ∞

+ ∞+ ∞

+ − − = = =

= = = = = = ∗

3 2 53 2 5 3 2 5

3 2 5

3 2 5

3 2 53 2 53 2 5

2 73 2 5

2 73 2 5

2 2

Indeterminado ( )

Observa que hemos pasado de una indeterminación 4&4 a otra 4/4. Aunque a esta última


expresión la hemos considerado indeterminada, es posible que se aprecie a simple vista que elinfinito del numerador es de mayor potencia que el del denominador, ya que aquel es 4 y estees , lo que hará que el cociente sea +4.∞En cualquier caso, actuaremos como si no apreciamos este detalle a simple vista.Para salvar la última indeterminación, dividimos numerador y de nominador por x:

( )lim lim lim lim lim

lim lim

x xx

x x x

xx

x xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx x

xx x

xx

x x x x

x x→ + ∞ → + ∞

++ + − → + ∞

+

+ + − → + ∞ + − → + ∞ + −

→ + ∞ → + ∞∞

∞ ∞ ∞

+ − − = = =+

+=

+

+=

=+

+ + −=

+

+ + −=

+

+ + −

3 2 52 2

2 2 2

2 73 2 5

2 7

3 2 5

7

3 2 5

7

3 2 5

7

3 2 5

7

3 2 1 5

7

3 2 1 5

2 2

2 2 2 2 2 2 2 ∞

+

+=+

+ + −= = + ∞

+2

2 00 0 0 0

20

0radicando123

Por tanto: “Para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenes f (x) soninfinitamente grandes positivas”.Comprobemos:

x f

x ff

= → = − = ′

= → = − = ′+ ∞ = + ∞

1000 000 1000 000 3000 002 999 995 732 05388

10 000 000 10 000 000 30 000 002 9 999 995 2314 9488

. . ( . . ) . . .

. . ( . . ) . . . .: ( )

K

K

De manera informalLa gráfica de la función f presenta una rama parabólica por la derecha y hacia arriba.

Ejemplo 51.-Hallar el límite de la función cuando f x x x x x( ) = + − − + +4 9 5 4 4 12 2 x → + ∞

Veamos:

lim ( ) lim

x xf x x x x x

→ + ∞ → + ∞= + − − + −

= ⋅ ∞ + ⋅ ∞ − − ⋅ ∞ + ⋅ ∞ + =

= ∞ − ∞ = ∞ − ∞ =

4 9 5 4 4 1 4 9 5 4 4 12 2 2 2

Indeterminado

Salvamos la indeterminación multiplicando y dividiendo por 4 9 5 4 4 12 2x x x x+ − + + +

lim lim

lim lim

x x

x x

x x x xx x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

→ + ∞ → + ∞

→ + ∞

+ − − + +

=

+ − − + +

⋅ + − + + +

+ − + + +=

=+ −

− + +

+ − + + +=

4 9 5 4 4 14 9 5 4 4 1 4 9 5 4 4 1

4 9 5 4 4 1

4 9 5 4 4 1

4 9 5 4 4 1

2 22 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 → + ∞

→ + ∞

+ − − − −

+ − + + +=

=−

+ − + + +=

⋅ ∞ −

⋅ ∞ + ⋅ ∞ − + ⋅ ∞ + ⋅ ∞ +=

+ ∞+ ∞ + + ∞

=+ ∞+ ∞

=

4 9 5 4 4 1

4 9 5 4 4 15 6

4 9 5 4 4 1

5 6

4 9 5 4 4 1

2 2

2 2

2 2 2 2

x x x x

x x x xx

x x x xxlim Indeterminado

Hemos pasado de una indeterminación 4&4 a otra 4 / 4. Resolvemos esta últimadividiendo numerador y denominador entre x :

lim ( ) lim lim lim

lim lim

x x x

xx

x x x xx

x

xx x

x xx

x xx

xx

x xx

x xx

xx

xx

xx x

xx

xx

f xx

x x x x→ + ∞ → + ∞ → + ∞

−

− + − → + ∞ − −

→ + ∞ + − + + → + ∞

=−

− + −= =

−

+=

=−

+=

−

+ − + + +

5 6

4 9 5 4 9 5

5 5

2 2

5 6

4 9 5 4 9 5

5 6

4 9 5 4 9 5

6

4 9 5 4 4 1

6

4 9 5 4 4

2 2 2 2

2

2

2

2

2

2 2 2

2

2 21

6

9 5 4 4 12 2

2

2 2

5

4x

xx

x xx

x x x

=−

+ − + + +=

→ + ∞lim


=−

+ − + + +=

−+ − + + +

=+

=+

= = ′+ ∞

+ ∞ + ∞ + ∞ + ∞

+5

4 4

5 04 0 0 4 0 0

54 4

52 2

54

1 256

9 5 4 12 2

Por tanto:Significa que “para valores de xinfinitamente grandes positivos, lasimágenes f (x) están infinitamente próximasa 1´25".

También deducimos que la recta de ecuación y = 1´25 es una asíntota horizontal por laderecha. Para ver la posición de la gráfica con respecto a la asíntota, podemos dar un valor grandepositivo a x y hallar su imagen f (x) :

x f= → = − = ′ ≈ ′ −1000 1000 4008995 4004001 1 24748 1 25( ) K

En la figura 50 damos una idea gráfica (noes la representación gráfica) de como secomporta la función cuando la variable xtiende a + 4. Nótese que la gráfica seaproxima, por debajo, a la recta de ecuacióny = 1´25, tanto como podamos imaginar, sinllegar a tocarla.

Ejemplo 52.-Hallemos el límite de la función cuando h x x x x( ) = + −3 23 x → + ∞

Veamos:

lim ( ) limx x

h x x x x→ + ∞ → + ∞

= + −

= ∞ + ∞ − ∞ = + ∞ − ∞ = ∞ − ∞ =3 23 3 23 3 Indeterminado

En este caso “no funciona” el método de multiplicar y dividir por la conjugada. Empleamos otro método:

Llamamos a x xb x

y pora x x

b x= +=

= +

=

3 23 3 3 2

3 3tanto

El límite será: ( )lim ( ) limx x

h x a b→ + ∞ → + ∞

= −

es el límite buscadoLa división .es exacta( ):( )a b a b3 3− −En el recuadro de la derecha tenemos efectuada ladivisión de los dos polinomios. Observa que esexacta y que:

a b a b a ba b3 3 2 2− = − ⋅ + +( ) ( )

limx

x x x x→ + ∞

+ − − + +

= = ′4 9 5 4 4 1 1 252 2 5

4

a a a b a b

a ba a ba b

ba a

ba b a

b a b

b a b

3 2 3

3 2 2 2

2

2 2

2 3

2 3

0

0 0

0

+ + − −

− + + +

+

− +

−

− +1 24 34


Por tanto:

( )lim ( ) lim ( ) lim lim

lim .

x x x x

x

h x a ba b

a ba bx x x

x x x x x x

x

x x x x x x

→ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞

→ + ∞

= − =−

+ +=

+ −

+ + ⋅ + +=

=+ + + + +

=∞

∞ + ⋅ ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ∞=

+ ∞+ ∞

=

3 3

2 2

3 2 3

3 2 23 3 23 2

2

6 5 43 6 53 2

2

6 5 43 6 53 22 2Indet

Igual que en casos anteriores, hemos pasado de una indeterminación 4&4 a otra 4/4.Salvamos la indeterminación dividiendo numerador y denominador entre x2 :

lim ( ) lim lim

lim lim

lim

x x x

xx

x x x x x xx

x x x xx

x xx

xx

x x x xx

x xx

x xx

xx

xx

h xx

x x x x x x→ + ∞ → + ∞ → + ∞ + + + + +

→ + ∞ + + + → + ∞ + + +

→ + ∞

=+ + + + +

= =

=+ +

=+ +

=

=+ + +

2

6 5 43 6 53 2 2

2 2 33

23

2

1 1

1

1

2

2

6 5 43 6 53 2

2

6 5 43

2

6 53

2

2

2

6 5 4

6

6 5

6

6

6

5

6

4

6xx

xx

xx x x

6

6

5

6 2

2

3 2 13 13

2 13 13 3 3 3 3

1

1

1 1 1

1

1 1 1

11 0 0 1 0 1

11 1 1

11 1 1

13

0 3

+ +=

+ + + + +=

=+ + + + +

=+ + + + +

=+ +

=+ +

= = ′

→ + ∞

+ ∞ + ∞ + ∞

lim

)

Por tanto:w “Para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenes h(x) están infinitamente

próximas a 0´333ÿÿ”w La recta de ecuación y = 0´333ÿÿ es una asíntota horizontal por la derecha.w Para ver la posición de la gráfica de h respecto de la asíntota, damos a x un valor grande

positivo (quede claro que esto no sirve como demostración, pero si nos ayuda a tener unaidea de la posición referida).

x h= → = + − = ′ ′ −1000 1000 10 10 1000 0 3332222 0 39 63( ) ( )K

Es decir, la gráfica se aproxima a la recta horizontal y = 0´333ÿÿ por debajo.

Ejemplo 53.-Hallar el límite de cuando f x x x x x( ) = − − −8 3 83 23 3 23 x → + ∞

Veamos:

lim ( ) limx x

f x x x x x→ + ∞ → + ∞

= − − −

= ⋅ ∞ − ⋅ ∞ − ⋅ ∞ − ∞ = + ∞ − + ∞ = ∞ − ∞ =8 3 8 8 3 83 23 3 23 3 23 3 23 3 3 Indet

Utilizamos el mismo “truco” que en el ejemplo anterior:

Llamamosa x x

b x xPor

a x x

b x x

= −

= −

= −

= −

8 3

8

8 3

8

3 23

3 23

3 3 2

3 3 2tanto

Entonces: lim ( ) lim ( )x x

f x a b→ + ∞ → + ∞

= − = limite buscado

Sabemos que la división (a3 &b3) : (a&b) es exacta. Efectuamos esa división (ver ejemplo 52)


Tenemos que y, por tanto, a b a b a ba b3 3 2 2− = − ⋅ + +( ) ( ) a b a ba ba b

− = −+ +

3 3

2 2

Volvemos al límite:

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim lim

lim

x x x x

x

f x a ba b

a ba bx x x x

x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

→ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞

→ + ∞

= − =−

+ +=

− − +

− + − ⋅ − + −=

=−

− + + − + + − +=

− ∞+ ∞ + + ∞ + + ∞

=− ∞+ ∞

=

3 3

2 2

3 2 3 2

3 2 23 3 2 3 23 3 2 23

2

6 5 43 6 5 43 6 5 43 3 3 3

8 3 8

8 3 8 8 3 8

2

64 48 9 64 32 3 64 16Indeterminado

La indeterminación 4&4 se ha transformado en una 4/4. Resolvemos esta dividiendo numeradory denominador por x2. En cualquier caso, sabemos que el límite será negativo.

lim ( ) lim

lim

lim

x x

x

xx

x x x x x x x x xx

x x x xx

x x xx

x x

f xx

x x x x x x x x x→ + ∞ → + ∞

→ + ∞

−

− + + − + + − +

→ + ∞ − + − + − +

=−

− + + − + + − +=

= =

=−

+ +

2

64 48 9 64 32 3 64 16

2

2

6 5 43 6 5 43 6 5 43

2

64 48 9 64 32 3 64 16

64 48 9 64 32 3 64 16

2

2

6 5 43 6 5 43 6 5 43

2

6 5 43

2

6 5 43

2

6 5 xx

x xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx x x x x x

43

2

6

6

5

6

4

6

6

6

5

6

4

6

6

6

5

6

4

6

2 2 2

2 2 2

2

2

64 64 64

2

64 64 64

264 0 0 64

64 48 93 64 32 33 64 163

48 93 32 33 16 13

48 93 32 33 16 13

3

=

=−

− + + − + + − +=

=−

− + + − + + − +=

=−

− + + − + + − +=

=−

− + + −

→ + ∞

→ + ∞

+ ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ∞

lim

lim

0 0 64 0 02

3 642

1216

0 163 3 3+ + − +=

−⋅

=−

= − = − ′)

Por tanto:U “Para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imágenes f (x) están infinitamente

próximas a &0´16666ÿÿ”U La recta de ecuación y = &0´16666ÿÿ es una asíntota horizontal por la derecha.U Para ver la posición de la gráfica y asíntota, damos un valor grande positivo a x:

x f= → = − ′ − ′ −1000 1000 0 1666944 0 16( ) ( )K)

Según el resultado obtenido, parece que la gráfica de la función se aproxima a su asíntotahorizontal por debajo de ella.

28.La indeterminación 14.-

P Sea la función constante c(x) =1, es decir, aquella que transforma todo número en 1.P Consideremos la función identidad, es decir, I (x) = x.


P Consideremos ahora la función “c elevada a I ”, es decir: f x c x I x x( ) ( ) ( )= = 1P Supongamos que queremos hallar el “limite de f cuando x tiende a +4”. Veamos:

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim( )lim ( ) lim

x xI x

x

I x

x

xf x c x c x

x x

→ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞+ ∞= =

=

= =

→+∞ →+∞1 1 1

Es evidente que ya que c (x) = 1 œx0ú.limx→ + ∞

=1 1

También es evidente que . En efecto:1 1+ ∞ =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

10

100

100100

1000

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

L124 34

L124 34

LLLLLLLLL

veces

veces

P Supongamos ahora la siguiente situación:g (x) es una función tal que (este 1 puede ser 1+ o 1&)lim ( )

xg x

→ + ∞= 1

h (x) es otra función tal que lim ( )x

h x→ + ∞

= + ∞

f es la función “g elevado a h”: f x g x h x( ) ( ) ( )=Queremos hallar el límite de f cuando x tiende a +4 :

lim ( ) lim ( ) lim ( )( )lim ( )

x xh x

x

h xf x g x g x

x

→ + ∞ → + ∞ → + ∞+ ∞= =

= =

→+∞1 Indeterminado

¿Por qué antes el límite era 1 y ahora decimos que es indeterminado?Contestemos a la pregunta:Antes, la base de 1+4 era exactamente 1, pero en el último caso las bases están formadaspor números infinitamente próximos a 1 (1+ o 1&), lo cual hace que 1+4 puede darcualquier resultado.Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 54.-Sea la función o, expresada de otro modo, g x x

x( ) = + 1 g x x( ) = +1 1

Sea la función identidad, es decir, I (x) = x

Consideremos la función f ,“g elevado a I ”, es decir, ( )f x g x I xx

x( ) ( ) ( )= = +1 1

Queremos hallar el límite de f (x) cuando x tiende a +4 :

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) limx x x

xf x

→ + ∞ → + ∞ + ∞+ ∞ + + ∞ + + ∞

= + = + = + = =1 1 1 0 11 1 Indeterminado

Es posible que pienses que ese límite debe valer 1, porque “1 elevado a infinito es 1", peroobserva que la base nunca es 1 exactamente, sino que son números infinitamente próximos a 1por su derecha.

No vamos a hallar el límite exactamente, pero si vamos a calcularlo de un modo


aproximado dándole valores infinitamente grandes positivos a x. Utilizamos una calculadora yposteriormente dibujaremos su gráfica con la ayuda de un programa informático.Veamos:

x ( )f x xx

( ) = +1 1

1 2

10 2´5937424ÿ

100 2´70481382ÿ

1000 2´71692393ÿ

10000 2´71814592ÿ

100000 2´71826823ÿ

1000000 2´71828046ÿ

+4 ¿Cuál es el límite?

En la figura 51 tenemos dibujada la gráfica de la función f (x), observa que, aparentemente, lagráfica se aproxima tanto por la izquierda como por la derecha a una recta horizontal de ecuacióny = 2´ 718281ÿ. Observa que por la derecha se acerca “por abajo” y por la izquierda se acerca“por arriba”.

Parece evidente que , es decir, el límite no es 1. ( )lim ( ) limx x x

xf x

→ + ∞ → + ∞= + ≠1 11

Parece evidente que , es decir, en este caso la( )lim ( ) limx x x

xf x

→ + ∞ → + ∞= + = ′1 2 718281 KK

indeterminación se ha convertido en 2´ 71828ÿÿ1+ ∞

Por la gráfica de la función, también parece que ( )lim ( ) limx x x

xf x

→ − ∞ → − ∞= + = ′1 2 718281 K


x f= − → − = ′ = ′−1000000 10 0 999999 2 718283186 1000000( ) K

En definitiva:“El límite, cuando x tiende ± 4, de una función que tiende a 1, elevada a otra que tiende

a ± 4, no tiene que ser igual a 1"

Ejemplo 55.-

Consideremos ahora la función , o si lo prefieres, .( )f x xx

x( ) = + 2 ( )f x x

x( ) = +1 2

Queremos hallar su límite cuando x tiende a +4.Veamos:

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) limx x x

xf x

→ + ∞ → + ∞ + ∞+ ∞ + + ∞ + + ∞

= + = + = + = =1 1 1 0 12 2 Indeterminado


Observa que en este caso, también las bases la forman números infinitamente próximosa 1 y los exponentes son números infinitamente grandes positivos.

Tampoco ahora vamos a calcular el límite exactamente, pero sí vamos a hallaraproximaciones de este. Para ello, daremos a x valores infinitamente grandes positivos:

x 1 10 100 1000 10000 100000

( )f x xx

( ) = +1 2 3 6´19173642ÿ 7´24464611ÿ 7´3743123ÿ 7´38757863ÿ 7´38904132ÿ

Es evidente que en este caso también ocurre que ( )lim ( ) limx x x

xf x

→ + ∞ → + ∞= + ≠1 12

Parece evidente que ( )lim ( ) limx x x

xf x

→ + ∞ → + ∞= + = ′1 7 3892 KK

Suponemos comprendido el que ( )" "algo que tiende a 1 Indeterminadoalgo que tiende a infinito" =

29.El número e.-” Consideremos la función vista en el ejemplo 54, es decir:

( )f

x f x xx

:

( )

R R→

→ = +

1 1

” Vimos en ese ejemplo que el límite de esta función, cuando x tiende a +4 es un númerodel que habíamos obtenido las primeras cifras decimales, es decir:

( )lim ( ) limx x x

xf x

→ + ∞ → + ∞= + = ′1 2 718281 KK

” Pues bien, se puede demostrar (nosotros no lo haremos) lo siguiente:

”Î.- existe y es un número finito comprendido entre 2 y 3.( )limx x

x

→ + ∞+1 1

”Ï.- Dicho límite es un número irracional, es decir, tiene infinitas cifras decimales noperiódicas.

”Ð.- Las primeras cifras de ese número son: 2´71828182ÿÿ” El número anterior es de suma importancia en matemáticas y en el mundo de la ciencia

y, para abreviar, se le denomina número e (en honor de Leonhard Euler, matemáticosuizo del siglo XVIII). Por tanto:

Quede claro que e es una formaabreviada de llamar a ese númeroirracional, que resulta ser el límite dela función f (x) cuando x tiende a +4

( )limx x

xe

→ + ∞+ = ′ =1 2 718281821 KK


También se verifica que :

En la figura 51 (página 82)tenemos representada lagráfica de la función

. Observa que f (0) no existe y que ( )f x xx

( ) = +1 1 ( )lim ( ) limx x x

xf x

→ →+

+ += + =

0 0

11 1

Observa también que dicha función no existe en el intervalo [&1,0]. Comprobemos esto:

( )( ) ( ) ( )

( )

x f

x f

= − → − = + = = ∉

= − → − = − = − = =−

∉

−− −

−

− −

1 1 1 0

1 2 11

1

11

1 1 10

12

12

1

1

12

12

12

( ) R

R

etc.

30.Otras funciones cuyo límite es el número e.-En el apartado anterior hemos visto que el límite de la función cuando( )f x x

x( ) = +1 1

x tiende a %4 y a &4 es el número e = 2 ´71828182ÿÿExisten otras funciones que también tienden al número e cuando la variable x tiende a

infinito positivo o negativo. Veamos:

a) Sea la función siendo k un número real fijo, es decir, k 0ú.( )f x xx k

( ) = ++

1 1

Pues bien, se verifica que

En efecto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )


( ) &

x x xx k

x xx

xk

x xx

x xk

k k k

f x

e e e e e como queriamos demostrar

→ + ∞ → + ∞

+

→ + ∞ → + ∞ → + ∞

+ ∞

= + = + ⋅ +

= + ⋅ + =

= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ = ⋅ =

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

1

el limite de un producto esigual al producto de los limites

1 24444 34444

También se verifica que

La demostración es similar a la anterior.

( )limx x

xe

→ − ∞+ = ′ =1 2 718281821 KK

Las igualdadesanteriores noson igualdadesnuméricas, yaq u e l o selementos quese igualan noson números.

( )lim ( ) limx x x

x kf x e

→ + ∞ → + ∞

+= + =1 1

( )lim ( ) limx x x

x kf x e

→ − ∞ → − ∞

+= + =1 1


Ejemplo 56.-Queremos hallar . ( )lim

x xx

→ + ∞

++1 1 5

Veamos:

( ) ( )lim ( ) ( )x x

x

→ + ∞

++ ∞

+ ∞ + + + ∞ + + ∞ + ∞+ = + = + = =1 1 1 0 1 11 5 1 5= Indeterminado


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )lim lim lim lim

x xx

x xx

x x xx

x x

e e e e e

→ + ∞

+

→ + ∞ → + ∞ → + ∞

+ ∞+ +

+ = + ⋅ +

= + ⋅ + =

= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ = ⋅ =

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1

1 5 1 1 5 1 1 5

1 5 5 5 5

Ejemplo 57.-Queremos hallar . ( )lim

x xx

→ + ∞

−+1 1 4

Veamos:

( ) ( )lim ( ) ( )x x

x

→ − ∞

−+ ∞

+ ∞ − + + ∞ + + ∞ + ∞+ = + = + = =1 1 1 0 1 11 4 1 4= Indeterminado


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )lim lim lim lim

x xx

x xx

x x xx

x x

e e e e e e e

→ − ∞

−

→ − ∞

−

→ + ∞ → + ∞

−

+ ∞− + − + − −

+ = + ⋅ +

= + ⋅ + =

= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 4 1 1 4 1 1 4

1 4 4 4 4 114

Ejemplo 58.-

Queremos saber si la función tiene alguna asíntota horizontal por la( )f x xx

( ) = ++

1 152

izquierda.Veamos:Para averiguarlo debemos hallar el límite de f (x) cuando x tiende a &4.

( ) ( )lim ( ) lim ( ) ( )x x x

xf x

→ − ∞ → − ∞

+− ∞

− ∞ + − − ∞ − − ∞= + = + = + = = +∞1 1 1 0 11 1 11

52

52 = Indeterminado


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

lim lim lim limx x

x

x xx

x x xx

x x

e e e e e e e

→ − ∞

+

→ − ∞ → − ∞ → − ∞

− ∞− −

+ = + ⋅ +

= + ⋅ + =

= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 5

52

52

52

52

52

52 5

2

Significa que “para valores de x infinitamente grandes negativos, las imágenes f (x) seaproximan infinitamente a e = 2´71828182ÿÿ”

La recta de ecuación y = e es una asíntota horizontal de f (x) por su izquierda.


Hagamos alguna comprobación ayudado de una calculadora:

( ) ( )x f e= − → − = + = ′ ≈−

− ′10 10 1 2 718276396 6 1

10

999997 56 K

Observa que el resultado obtenido es

, ( )f e− = ′ <10 2 718276396 K

lo que nos hace pensar (no lo podemosasegurar como una demostración) que la gráfica se aproxima a la asíntota por debajo.

En la figura 52 damos una idea sobre elcomportamiento de la gráfica de f conrespecto a la asíntota horizontal, por suizquierda.

b) Sea una función de la forma , siendo k una constante (k 0ú).( )f x x kx

( ) = + +1 1

Se verifica que

En efecto:

Tomando límites en ambos miembros:( ) ( ) ( )1 1 11 1 1+ = + ⋅ +++

+ +x kx k

x kx

x kk

Buscamos el limite de esta.

1 24 34

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ex x k

x k

x x kx

x x kk

x x kx

kk

x x kx k

x x kx k

x x kx

x x kx

= + = + ⋅ + = + ⋅ + =

= + ⋅ + = + ⋅ = + ⋅ = +

→ + ∞ ++

→ + ∞ + → + ∞ + → + ∞ + + ∞ +

→ + ∞ ++

→ + ∞ ++

→ + ∞ + → + ∞ +

lim lim lim lim

lim lim lim lim

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

Buscamoseste limite.1 244 344

Es decir: como queríamos demostrar (c.q.d)( )lim ( ) limx x x k

xf x e

→ + ∞ → + ∞ += + =1 1

Ejemplo 59.-

Sea la función Por lo visto en el apartado anterior, tenemos:( )f x xx

( ) .= + +1 16

( )lim ( ) limx x x

xf x e

→ + ∞ → + ∞ += + = = ′1 2 7182818216 KK

Comprobemos:

( )x f e= → = + = ′ ≈10 000 000 10 000 000 1 2 71828169110 000 006

10 000 000. . ( . . ) . .

. .K

( )lim ( ) limx x x k

xf x e

→ + ∞ → + ∞ += + =1 1


Ejemplo 60.-

Sea la función Por lo visto en el apartado anterior, tenemos:( )g x xx

( ) .= + −1 16

( )lim ( ) limx x x

xg x e

→ + ∞ → + ∞ −= + = = ′1 2 7182818216 KK

Comprobemos:

( )x g e= → = + = ′ ≈10 000 000 10 000 000 1 2 7182816919.999.994

10 000 000. . ( . . )

. .K

También se verifica que

Ejemplo 61.-

Sea la función ( )f x xx

( ) .= + +1 16

( )lim ( ) limx x x

xf x e

→ − ∞ → − ∞ += + = = ′1 2 7182818216 KK

Comprobemos:

( )x f e= − → − = + = ′ ≈−−

1000 000 1000 000 1 2 7182831819.999.994

1000 000. . ( . . )

. .K

c) Supongamos una función s(x) tal que lim ( )x

s x→ + ∞

= + ∞

Consideremos la función . f x s x

s x( ) ( )

( )= +

1 1

Queremos hallar su límite cuando x → + ∞Veamos :

( ) ( )lim ( ) lim ( )

( )

lim ( )

lim ( )

x x s x

s x

s x

s xf x

x

x

→ + ∞ → + ∞ + ∞+ ∞ + + ∞ + ∞= +

= +

= + = + = =

→+∞

→+∞

1 1 1 1 0 11 1 1 Indeterminado

Se demuestra que:

Ejemplo 62.-Sea la función s(x) = 4x & 9. Observa que lim ( ) lim ( )

x xs x x

→ + ∞ → + ∞= − = ⋅ ∞ − = + ∞4 9 4 9

( )lim ( ) limx x x k

xf x e

→ − ∞ → − ∞ += + =1 1

lim ( ) lim lim ( )( )

( )

x x s x

s x

xf x e siendo s x

→ + ∞ → + ∞ → + ∞= +

= = + ∞1 1


Consideremos la función ( )f x s x

s x

xx

( ) ( )

( )= +

= + −

−1 11 1

4 94 9

Por el apartado anterior, se verifica que :

( )lim ( ) limx x x

xf x e

→ + ∞ → + ∞ −−

= + = = ′1 2 7182818214 9

4 9K

Comprobemos (utilizaremos una calculadora más potente):

( )x f= → = + = ′10 000 000 10 000 000 1 2 7181827944805155131139.999.991

39.999.991. . ( . . ) K

También se verificalo siguiente:

Ejemplo 63.-Sea la función s(x) = &4x & 9. Observa que lim ( ) lim ( )

x xs x x

→ + ∞ → + ∞= − − = − ⋅ ∞ − = − ∞4 9 4 9


s x

xx

( ) ( )

( )= +

= + − −

− −1 11 1

4 94 9


( )lim ( ) limx x x

xf x e

→ + ∞ → + ∞ − −− −

= + = = ′1 2 7182818214 9

4 9K

Comprobemos (utilizaremos una calculadora potente):

( )x f= → = + = ′−−

10 000 000 10 000 000 1 2 71828186243756122460658140 000 009

40 000 009. . ( . . ) . .

. .K


Ejemplo 64.-Sea la función s(x) = &4x & 9. Observa que lim ( ) lim ( )

x xs x x

→ − ∞ → − ∞= − − = + ⋅ ∞ − = + ∞4 9 4 9


s x

xx

( ) ( )

( )= +

= + − −

− −1 11 1

4 94 9


( )lim ( ) limx x x

xf x e

→ − ∞ → − ∞ − −− −

= + = = ′1 2 7182818214 9

4 9K


( )

x x s x

s x

xf x e siendo s x

→ + ∞ → + ∞ → + ∞= +

= = − ∞1 1


( )

x x s x

s x

xf x e siendo s x

→ − ∞ → − ∞ → − ∞= +

= = + ∞1 1


Comprobemos (utilizaremos una calculadora potente):

( )x f= − → − = + = ′10 000 000 10 000 000 1 2 7181827944805155131139.999.991

39.999.991. . ( . . ) K


d) Supongamos una función s(x) tal que lim ( )x

s x→ + ∞

= + ∞

Consideremos la función . t x s x( ) ( )= 1

Es evidente que lim ( ) limlim ( )( )x x s x

x

t xs x→ + ∞ → + ∞

→ + ∞

= = =+ ∞

=1 1 10

Consideremos ahora la función ( )f x t x s x( ) ( ) ( )= +1Hallemos el límite de f (x) cuando :x → + ∞

( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim ( )( )lim ( )

x x

s x

x

s xf x t x t x

x

→ + ∞ → + ∞ → + ∞+ ∞ + ∞= + = +

= + = =→+∞

1 1 1 0 1 Indeterminado

Se demuestra que dicha indeterminación se convierte en el número e, es decir:

Observa que este caso coincide con el visto en el apartado c), es decir:

( )lim ( ) lim ( ) lim( )( )

( )

x x

s x

x s x

s xf x t x e

→ + ∞ → + ∞ → + ∞= + = +

=1 1 1

Ejemplo 65.- Sea la función . Observa que s x x

x( ) = +−

3 52 1

2

lim ( ) limx x

xxs x

→ + ∞ → + ∞+

−⋅∞ +⋅∞ −= = = + ∞3 5

2 13 52 1

2 2

Sea la función inversa de s, es decir: t x s xx

x( ) ( )= = −

+1 2 1

3 52

Observa que lim ( ) limx x

xx

t x→ + ∞ → + ∞

−+

⋅∞ −⋅∞ +

= = =2 13 5

2 13 52 2 0

Consideremos la función ( )f x t xx

xs x

xx

( ) ( ) ( )= + = +−+

+−

1 12 1

3 52

3 2 52 1

( )lim ( ) lim ( )lim ( )

( )( )

( )x x

s x x

s x

f x t x e siendos x

t x→ + ∞ → + ∞

→ + ∞= + =

= + ∞

=

1 1


( )

x x s x

s x

xf x e siendo s x

→ − ∞ → − ∞ → − ∞= +

= = − ∞1 1


Hallemos el límite de f cuando :x → + ∞

( )lim ( ) limx x

f xx

x

xx

→ + ∞ → + ∞+ + ∞ + ∞= +

−+

= +

⋅ ∞ −⋅ ∞ +

= + = =

+−

⋅∞ +⋅∞−

12 1

3 51

2 13 5

1 0 12 2

3 2 52 1

3 2 52 1

Indeterminado

Por el apartado anterior, se verifica que : lim ( ) limx x

f xx

xe

xx

→ + ∞ → + ∞= +

−+

=

+−

12 1

3 52

3 2 52 1

Hagamos una comprobación:

( )x f e= → = + = ′ ≈100000 100000 1 2 718191224646965941919999930000000005

30000000005199999( ) K

En general:

Ejemplo 66.-

Sea la función . Hallemos su límite cuando x tiende a ± 4.f xx

x

xx

( ) = ++

+

15 2

2

3

5 3 22

Veamos:

( ) ( ) ( )lim ( ) limx x

xx

f xxx

→ + ∞ → + ∞ +∞

⋅∞ ++ ∞ + ∞= + = + = + = =

+ ⋅∞ +∞1 1 1 0 1

2

3

5 3 22 2

3

5 3 22

5 2 5 2Indeterminado

Por lo visto en el apartado anterior:

( )lim ( ) limlim ( )

( ) lim ( )( )x x

xx

xx xx

x s x x

f x e s(x) con s x

t x = con t x

xx

→ + ∞ → + ∞ +

+→ + ∞

+ → + ∞

= + == = + ∞

= =

+

10

2

3

5 3 22

3

2

2

35 2

5 2

5 21

ya que

Del mismo modo:

( ) ( )lim ( ) lim ( )( )

( )

( )

x xx

xf x

xx

→ − ∞ → − ∞ +− ∞

⋅ − ∞ +− ∞ − ∞= + = +

= + = =

+ ⋅ −∞ +

−∞1 1 1 0 1

2

3

5 3 22 2

3

5 3 22

5 2 5 2Indeterminado

Por lo visto en el apartado anterior:

( )lim ( ) limlim ( )

( ) lim ( )( )x x

xx

xx xx

x s x x

f x e s(x) con s x

t x = con t x

xx

→ − ∞ → − ∞ +

+→ − ∞

+ → − ∞

= + == = − ∞

= =

+

10

2

3

5 3 22

3

2

2

35 2

5 2

5 21

ya que

De lo anterior deducimos que la recta de ecuación y = e es una asíntota horizontal de lafunción f (x), por ambos lados, es decir, la gráfica de la función se aproxima a dicha recta por laizquierda y por la derecha, tanto como podamos imaginar.

( )lim ( ) lim ( )lim ( )

( )( )

( )x x

s x x

s x

f x t x e siendos x

t x→ ± ∞ → ± ∞

→ ± ∞= + =

= ± ∞

=

1 1


Los apartados a), b), c) y d) del punto anterior, nos permiten calcular ciertos límites quese inician con la indeterminación 14.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 67.-

Queremos hallar el límite de la función cuando ( )f x xx

x( ) = +

++3 5

3 45 7

x → + ∞Veamos:

( ) ( )lim ( ) lim limlim ( )

x xxx

x

xxx

xf x

x

→ + ∞ → + ∞++

+

→ + ∞++

+⋅∞ +⋅∞ +

⋅∞ + + ∞= =

= = =

→+∞3 53 4

5 7 3 53 4

5 73 53 4

5 71 Indeterminado

Para salvar la indeterminación, “sumamos y restamos 1 en la base y operamos”:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

lim ( ) lim lim lim

lim

lim lim( ) ( )

x xxx

x

xxx

x

xx x

xx

x xx x

x

x xx

x xx

f x

xx

→ + ∞ → + ∞++

+

→ + ∞++

+

→ + ∞+ − −

++

→ + ∞ ++ +

+

→ + ∞ ++ ⋅

→ + ∞ ++ ⋅

= = + − = + =

= + = = =

= + = +++

3 53 4

5 7 3 53 4

5 7 3 5 3 43 4

5 7

13 4

5 7 3 43 4

13 4

5 7 13 4

3 4

1 1 1

1 1

1 13 43 4

multiplicamos el exponente por

( )

( )

5 73 4

5 73 4

5 73 4 5

3

1

1 3 4 5 2944900

13 4

3 4

13 4

3 4 53

xx

xx

x

xx

x xx

x xx

xpor ser x e e

++

++

→+∞

++

= +

=

=

+

= + = + ∞

= = = ′

→ + ∞ ++

→ + ∞ ++

→ + ∞

lim

(

lim lim ( )lim

limite de una potencia = limite base elevado al limite del exponente) =

= KK

Hagamos una comprobación:

( )x f e= → = = ′ <10 000 000 10 000 000 5 2936087830 000 00530 000 004

50 000 007 53. . ( . . ) . .. .

. .K

Por tanto:Î Para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenes f (x) se aproximan

infinitamente a .e53

Ï La recta de ecuación es una asíntota horizontal de f (x), por la derecha.y e= 53

Ð Parece que la gráfica de f (x) se acerca a la asíntota por debajo.

Ejemplo 68.-

Hallar el límite de la función cuando ( )g x xx

x( ) = +

+−5 7

5 22 52

x → ± ∞Veamos:

Debemos hallar los límites cuando x tiende a +4 y a &4

( )( )

lim ( ) lim limlim

x xxx

x

xxx

xg x

x

→ + ∞ → + ∞++

−

→ + ∞++

−+ ∞= =

= =→+∞5 7

5 22 5 5 7

5 2

2 522

1 Indeterminado

Salvamos la indeterminación “sumando y restando 1 en la base y operando”:

( ) ( ) ( )lim ( ) lim lim limx x

xx

x

xxx

x

xx x

xx

g x→ + ∞ → + ∞

++

−

→ + ∞++

−

→ + ∞+ − −

+−

= = + − = + =5 75 2

2 5 5 75 2

2 5 5 7 5 25 2

2 52 2 2

1 1 1


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

= + = = ⋅ =

= + = + = +

=

= +

→ + ∞ +−

++

→ + ∞ +− ⋅ ⋅

→ + ∞ +⋅

→ + ∞ +

→ + ∞ +

++ + ⋅ −

++

−+

+

lim

lim lim lim

lim

( )

x xx

xx

x xx

x x x x

x x

multiplicamos el por

xx x x

xx

xx

x

1 1

1 1 1

1

55 2

2 5 55 2

5 25

55 2

2 5 55 2

55 2

55 2

2

2 55 2

5 25

5 25

5 2 2 55 2

5 25

10 2 255 2

5 25

exponente

= = = + ∞

=

= = + ∞

→+∞

−+

→ + ∞ + → + ∞+

+ ∞

limlim lim

x

xx

Observa que y

e

x x xx

10 2 255 2

55 2

5 250

Hallemos el límite cuando x tiende a &4:

( )( )

lim ( ) lim limlim

x xxx

x

xxx

xg x

x

→ − ∞ → − ∞++

−

→ − ∞++

−+ ∞= =

= =→−∞5 7

5 22 5 5 7

5 2

2 522

1 Indeterminado

Salvamos la indeterminación “sumando y restando 1 en la base y operando”:

( ) ( ) ( )

( )

lim ( ) lim lim lim

( ) limlim

x xxx

x

xxx

x

x xx

x x e

g x

actuando igual que antes ex

x

xx

→ − ∞ → − ∞++

−

→ − ∞++

−

→ − ∞ +−

→ − ∞ +− ∞

+ ∞

= = + − = + =

= = +

= = = =

+→−∞

−+

+∞

5 75 2

2 5 5 75 2

2 5 55 2

2 5

55 2

1 1

2 2 2

5 25

10 2 255 2

1 1 1

1 0

Demos una interpretación gráfica a los resultados obtenidos:

En la figura 53 tenemos la idea de unafunción g(x) que presenta una ramaparabólica por la derecha y hacia arriba yuna asíntota horizontal por la izquierda (laasíntota es el eje de abcisas). lim ( ) lim ( )

x xg x y g x

→ + ∞ → − ∞= + ∞ = 0

Comprobemos, utilizando una potentecalculadora:

x g= → = ′ =

= ′ •

100 100 1 00996

1 156962914336560429757920 10

19995

86

( ) K

K

número infinitamente grande positivo.

( )x g= − → − = = ′ = ′ • =−−

− +100 100 0 989959 2 362884 10 0493498

19995 19995 88( ) K K

es decir, la imagen de &100 es un número infinitamente próximo a 0, pero positivo.Puede apreciarse que la gráfica se acerca al eje de abcisas por encima de este.

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