Mate Matic As

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PROGRAMA N 1

REGLA DEL TRAPECIO

Definicin:

La Regla del Trapecio es utilizada para hallar las integrales de funciones polinmicas

de una variable al usar esta regla se encontrara errores de clculo ya que la exactitud de este

depende del nmero de particiones que se le de para el clculo.

Descripcin del Programa

Este trabajo consiste en calcular la integral de una funcin polinmica de grado 5

con dos particiones se calculara adems el error absoluto.

El usuario de este programa tendr que ingresar:

- Las constantes a(n) de la funcin. - El lmite inferior (Ai) de la integral. - El lmite inferior (Bs) de la integral.

Para ingresar las constantes a(n) se deber presionar el bootom .

FORMULARIO:




CODIGO




Public Class Form1

Dim n As Integer

Dim a(5) As Double

Dim Ai, Bs, h, fi, fm, fs, sdp, np As Double

Dim I, Ea As Double

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs)

Handles Button1.Click

Ai = TextBox2.Text

Bs = TextBox3.Text

np = 2




'ingreso de constantes:

For n = 0 To 5

a(n) = InputBox("ingrese numero: a" & Str(n))

Next

'calculo del promedio

h = (Bs - Ai) / np

'hallando los valores de las funciones inferior,superior y promedio:

fi = a(0) + (a(1) * (Ai)) + (a(2) * ((Ai) ^ 2)) + (a(3) * ((Ai) ^ 3)) + (a(4) * ((Ai) ^ 4)) + (a(5) * ((Ai) ^

5))

fm = a(0) + (a(1) * (h)) + (a(2) * ((h) ^ 2)) + (a(3) * ((h) ^ 3)) + (a(4) * ((h) ^ 4)) + (a(5) * ((h) ^

5))

fs = a(0) + (a(1) * (Bs)) + (a(2) * ((Bs) ^ 2)) + (a(3) * (Bs) ^ 3) + (a(4) * ((Bs) ^ 4)) + (a(5) * ((Bs)

^ 5))

'aplicando la formula del trapecio para la integral:

I = (Bs - Ai) * ((fi + (2 * fm) + fs) / (2 * np))

'hallando el valor de la segunda derivada promedio (sdp):

sdp = (((2 * a(2) * Bs) + (3 * a(3) * (Bs) ^ 2) + (4 * a(4) * (Bs) ^ 3) + (5 * a(5) * (Bs) ^ 4)) - ((2 *

a(2) * Ai) + (3 * a(3) * (Ai) ^ 2) + (4 * a(4) * (Ai) ^ 3) + (5 * a(5) * (Ai) ^ 4))) / (Bs - Ai)

'hallando el error:

Ea = -(((Bs - Ai) ^ 3) / (12 * (np ^ 2))) * sdp




'mostrando los resultados.

TextBox5.Text = Math.Round(I, 6)

TextBox6.Text = Math.Round(Ea, 6)

End Sub



Close()

End Sub

End Class

PROGRAMA N 2

MTODO DE LA SECANTE

Este mtodo aparece como complemento al mtodo de newton ya que este presenta

inconvenientes, uno de los inconvenientes del mtodo de Newton es que necesita evaluar la

derivada en cada iteracin. Algunas veces esto es imposible o muy difcil.

El mtodo de la secante consiste en aproximar la derivada () de la ecuacin ;

+1 = ()

(+1)+ () que fue estudiada y demostrada en el mtodo de Newton-Raphson por

el cociente:

() (1)

1

Formando con los resultados de las dos iteraciones anteriores 1 .De esto resulta la frmula:

1 = (1)()

()(1)()




Para la primera aplicacin de la ecuacin (*) e iniciar el proceso iterativo, se requerirn dos valores

iniciales: 0 1 .la siguiente aproximacin esta dada por:

2 = 1 (1 0)(1)

(1) (0)

Y 3 por:

3 = 2 (2 1)(2)

(2) (1)

Y as sucesivamente hasta que () = +1

o una vez que +1 <

Como el mtodo de la secante es semejante al mtodo de Newton, entonces tienen

aproximadamente las mismas ventajas y las mismas desventajas, salvo dos aspectos:

La convergencia del mtodo de la secante, en la mayora de los casos es menos rpida que en el mtodo de Newton.

El mtodo de la secante obvia la necesidad de evaluar las derivadas.

DESCRIPCIN DE LA APLICACIN:

Primeramente mencionaremos que este programa tiene algunas restricciones por la diversidad de

polinomios que existen, por lo que se construiran diferentes programas para cada polinomio ya que

el visual studio es especfico y limitado.

Por lo cual en este trabajo presento dos programas :

1) mtodo de la secante (1)

Las entradas de este programa son: los coeficientes de un polinomio

() = 3 + 2 + 1 + ,

Los valores iniciales 0 1 y un error (E)




La salida es una raz aproximada

Su codificacin:

APLICACIN:

Usando el mtodo

de la secante para

encontrar una raz

real de la ecuacin polinomial, con 0 = 0 1 = 1 y un E = 0.001

() = 3 + 22 + 101 20 = 0

Entonces aplicando nuestro programa seria:

Ingresando las entradas:




Obteniendo el resultado:

1) Mtodo de la secante (2)

Las entradas de este programa son: Los coeficientes de un polinomio

() = 3 + 2 + 1 + ,

Los valores iniciales 0 1 y el N de iteraciones.

Las salidas son: las iteraciones y los errores respectivos




Su codificacin:

APLICACIN:

Usando el mtodo de la secante para encontrar una raz real de la ecuacin polinomial, con 0 =

0 1 = 1 y un N = 3

() = 3 + 22 + 101 20 = 0




Entonces aplicando nuestro programa seria:

Ingresando las entradas:

Obteniendo el

resultado:




PROGRAMA N 3

METODO DE LA SECANTE

Una funcin lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades.

Aditividad: f (x + y) = f (x) + f ( y)

Homogeneidad: f ( x) = f (x)

Conocido tambin como principio de superposicin.

Una funcin no lineal, es aquella que no cumple dicho principio.

Ejemplos de algunas funciones no lineales:

() = 2 + 1 Parbola

1

= 2log (

/

3.7+

2.51

), donde () = () Funcin de Colebrook-

White

Las races de muchas de estas funciones no pueden calcularse analticamente. Pero si se podr resolver,

usando mtodos iterativos con ciertos criterios de parada.

SOLUCION DE ECUACION NO LINEAL

Figura Solucin de una funcin no lineal

Los diversos mtodos las podemos clasificar en 2 tipos:




Mtodos Cerrados: Se caracterizan porque se necesita de 2 valores iniciales para la raz, adems se

aprovecha de que en estos dos extremos la funcin cambia de signo. Dentro de ellas tenemos:

Mtodo grfico

Mtodo de biseccin

Mtodo de la falsa posicin

Mtodo de bsqueda por incrementos

Mtodos Abiertos: Se caracterizan porque se necesita normalmente un valor de partida para la raz,

normalmente los mtodos anteriores tienen la ventaja de encontrar por lo menos una solucin y siempre

converge, en cambio en estos mtodos se presentaran casos en que no converge a la solucin, pero cuando

converge normalmente son ms rpidos que los mtodos cerrados. Dentro de ellas tenemos:

Mtodo de Punto fijo

Mtodo de Newton-Raphson

Mtodo de la secante

Nota: Cabe destacar que algunos autores designan a algunos de estos mtodos con otros nombres.

Criterios de parada para los algoritmos

Considerando que se desea hallar la solucin de la funcin f (x) , entonces se tiene los siguientes criterios de

paro para estimar el error en cada iteracin.

Error absoluto: = | |

Error relativo: = |

|

Error como la funcin: = |()|

Mximo nmero de iteraciones: Usado ms en los mtodos donde puede suceder la

divergencia.

MARCO TERICO




Un problema potencial en la implementacin del mtodo de Newton-Raphson es la evaluacin de la

derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios ni para muchas otras funciones, existen

algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difciles de calcular. En dichos casos, la derivada

se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrs, como en la figura.

() =(1) ()

1

Esta aproximacin se sustituye en la frmula de Newton-Raphson:

()

()

(1)

1




+1 = ()

()

Y se obtiene la siguiente ecuacin iterativa:

+1 = ()(1 )

(1) ()

Esta ecuacin es la frmula para el mtodo de la secante. Observe que el mtodo requiere de dos valores

iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se necesita que () cambie de signo entre los valores dados,

este mtodo no se clasifica como un mtodo cerrado.

Ejemplo:

Planteamiento del Problema. Con el mtodo de la secante calcule la raz de () = . Comience con

los valores iniciales 1 = 0 y 0 = 1.0

Solucin: Recuerde que la raz real es 0.56714329

Primera iteracin:

1 = 0 (1) = 1.00000

0 = 1 (0) = 0.63212

1 = 1 0.63212(0 1)

1 (0.63212)= 0.61270 = 8.0%

Segunda iteracin:

0 = 1 (0) = 0.63212

1 = 0.61270 (1) = 0.07081

(Note que ambas aproximaciones se encuentran del mismo lado de la raz)

2 = 0.61270 0.07081(1 0.61270)

0.63212 (0.07081)= 0.56384 = 0.58%

Segunda iteracin:

1 = 0.61270 (0) = 0.07081

2 = 0.56384 (1) = 0.00518




3 = 0.56384 0.00518(0.61270 0.56384)

0.07081 (0.0.00518)= 0.56717 = 0.0048%

DESCRIPCIN DE LA APLICACIN

El programa tiene el siguiente aspecto:

Para utilizar correctamente el programa que resuelve ecuaciones no lineales por el mtodo de la secante se

debe seguir los siguientes pasos:

1. Ingresar el nmero de iteraciones que se requiere en la caja de texto que est a la derecha de la

palabra iteraciones.

2. Ingresar el polinomio que se desea resolver de la siguiente manera:

a. Ingresar los coeficientes en las cajas de texto que estn a la izquierda de la letra x. Si el

coeficiente del trmino es 1 es necesario ingresar el nmero 1. Si el coeficiente es negativo

se debe ingresar con el signo -.

b. Ingresar los exponentes en las cajas que estn arriba de la letra x. Si el exponente es 1 es

necesario ingresar el numero 1 como exponente

c. Ingresar el coeficiente de x en el exponente de la letra e (nmero neperiano). Si el

coeficiente es 1 es necesario ingresar el nmero 1. Si el coeficiente es negativo se debe

ingresar con el signo -.

d. Para ingresar una constante se debe escribir 0 en el exponente y escribir la constante en la

caja de texto de coeficiente.

3. Ingresar los valores iniciales en las cajas de texto que estn a la derecha de 1 y 0.

4. Hacer clic en el botn HALLAR y la respuesta aparecer en la herramienta Label que se encuentra a

la derecha de la palabra RAZ y encerrada en un rectngulo.

Nota 1: El orden de los exponentes no importa. Por ejemplo para resolver la ecuaci () = 3 + 22 +

10 20n no es necesario ingresar la expresin en el mismo orden basta con que todos los trminos estn

ingresados en el programa.

Nota2: No es necesario escribir 0 en las cajas de texto que no se necesitan.




EJEMPLOS DE APLICACIN

1) Usar el programa para encontrar una raz real de la ecuacin polinomial:

() = 3 + 22 + 10 20

SOLUCIN:

A. Ingresar el nmero de iteraciones.

B. Ingresar el polinomio.

C. Ingresar los valores iniciales (para nuestro ejemplo los valores iniciales sern 0 y 1).

D. Por ultimo hacer clic en el botn HALLAR.

1 iteracin:

2 iteraciones:




3 iteraciones:

2) Usar el programa para encontrar una raz real de la ecuacin polinomial:

() =

Nota: la raz real es 0.56714329

SOLUCIN:

A. Ingresar el nmero de iteraciones.

B. Ingresar el polinomio.

C. Ingresar los valores iniciales (para nuestro ejemplo los valores iniciales sern 0 y 1).

D. Por ultimo hacer clic en el botn HALLAR.

1 iteracin:

2 iteraciones




3 iteraciones

4 iteraciones

PROGRAMA N 5




MTODO DE SIMPSON.

Clculo de reas:1

Uno de los problemas matemticos ms frecuentes es el clculo del rea que se forma al graficar una funcin. Por ejemplo, se necesita calcular el rea A que aparece en la siguiente figura:

en donde la funcin f(x) y los valores a y b son conocidos.

En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:

Soluciones algebraicas: se obtiene una frmula precisa y exacta para el rea solicitada.

Soluciones numricas: se calcula numricamente una estimacin del rea.

Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difcil) obtener la solucin algebraica, por lo que una solucin numrica permite ahorrar tiempo.

El mtodo de Simpson.

En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre xi y xi+2, y se sustituye la funcin f(x) por la parbola que pasa por tres puntos (xi, yi), (xi+1, yi+1), y (xi+2, yi+2). El valor del rea aproximada, sombreada en la figura, se calcula con un poco ms de trabajo y el resultado es

La simple inspeccin visual de esta figura y la que describe el procedimiento de los trapecios nos confirma que el mtodo de Simpson deber ser mucho ms exacto que el procedimiento del trapecio. El rea aproximada en el intervalo [a, b] es




bien, agrupando trminos

El primer parntesis, contiene la suma de los extremos, el segundo, la suma de los trminos de ndice impar, y el tercero la suma de los trminos de ndice par. En el mtodo de Simpson, el nmero de divisiones n debe de ser par. En el caso de que el usuario introduzca un nmero impar el programa lo convierte en el nmero par siguiente.

Ejemplo: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es correcto al nmero de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que

Obtuvimos los siguientes resultados

Diseo del programa:




CODIGOS

Public Class Form1






tipos_de_ecuaciones.Show()

End Sub

End Class

Public Class tipos_de_ecuaciones



e_x.Show()

End Sub



senodx.Show()

End Sub



unoentrexalcuadrado.Show()

End Sub



UNOENTREX.Show()

End Sub

End Class




Public Class e_x



Dim a, b, c, d, y, z, x As Double

Dim n, variacdex, xi, i As Double

Dim k As Integer

n = TextBox2.Text

a = TextBox3.Text

b = TextBox4.Text

variacdex = (b - a) / n

For xi = a To b Step variacdex

ListBox1.Items.Add(xi)

Next

For i = 0 To n

ListBox5.Items.Add(i)

Next

For k = 0 To n

ListBox2.Items.Add(k)

Next


y = Math.E ^ (xi)

ListBox3.Items.Add(y)




c = y * k

ListBox4.Items.Add(c)

Next

z = c

TextBox5.Text = z

End Sub

End Class

Public Class senodx

Private Sub Button1_Click_1(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs)


Dim a, b, c, d, y, z As Double


Dim k As Integer

n = TextBox2.Text

a = TextBox3.Text

b = TextBox4.Text




Next

For i = 0 To n





Next

For k = 0 To n


Next


y = (Math.Sin(xi)) / (xi)


c = y * k


Next

z = c

TextBox5.Text = z

End Sub

End Class

Public Class unoentrexalcuadrado








Dim k As Integer

n = TextBox2.Text

a = TextBox3.Text

b = TextBox4.Text




Next

For i = 0 To n


Next

For k = 0 To n


Next


y = 1 / (Math.Sqrt(1 + (xi ^ 2)))


c = y * k





Next

z = c

TextBox5.Text = z

End Sub

End Class

Public Class UNOENTREX





Dim k As Integer

n = TextBox2.Text

a = TextBox3.Text

b = TextBox4.Text




Next

For i = 0 To n


Next

For k = 0 To n





Next


y = 1 / (Math.Sqrt(1 + (xi ^ 3)))


c = y * k


Next

z = c

TextBox5.Text = z

End Sub

End Class

PROGRAMA N 6

DESCRIPCION DE USO




El programa diferencias divididas pide ingresar elnumero de puntos del polinomio.




Luego de ingresar el nmero de puntos hacemos clic en el botn DE LA DERECHA

Seguidamente se proceder a poner cada componente de cada uno de los puntos y saldrn los puntos y la

tabla de diferencias divididas

Luego tambin se puede introducir un valor para hallar un valor aproximado de la funcin,este valor se

coloca en la casilla al costado de la palabra PUNTO y se hace un clic en el boton que dice APROXIMAR

Y VEMOS COMO NOS SALE EL VALOR APROXIMADO DE LA FUNCION




Si se necesitan ms de 10 puntos solo se necesita cambiar en el cdigo las dimensiones de la matriz B, y

agrandar lo que se ver en el listbox 2

Dim T(10, 10), B(10, 2) As Double

Dim x, y, m, n, I, J, k, p, fx As Integer

ListBox2.Items.Add(T(x, 1) & " " & T(x, 2) & " " & T(x, 3) & " " & T(x, 4)& " "

& T(x, 5)& " " & T(x, 6)& " " & T(x, 7)& " " & T(x, 8)& " " & T(x, 9)& " " & T(x, 10))

CODIGO

Dim T(10, 10), B(10, 2) As Double

Dim x, y, m, n, I, J, k, p, fx As Integer

n = TextBox1.Text




'INGRESO DE DATOS

For x = 1 To n

For y = 1 To 2

B(x, y) = InputBox("INGRESE LA COORDENADA" & Str(y ) & " DEL PUNTO " & Str(x

))

Next

Next

'mostrar la matriz

ListBox1.Items.Clear()

For x = 1 To n

ListBox1.Items.Add(B(x, 1) & " " & B(x, 2))

Next

For m = 1 To n - 1

T(m, 1) = (B(m + 1, 2) - B(m, 2)) / (B(m + 1, 1) - B(m, 1))

Next

'para las demas columnas de T

For J = 2 To n

For I = J To n

T(I, J) = (T(I, J - 1) - T(I - 1, J - 1)) / (B(I + 1, 1) - B(I - J + 1, 1))

Next

Next




'mostrar el resultado de la tabla de diferencias divididas


For x = 1 To n - 1

ListBox2.Items.Add(T(x, 1) & " " & T(x, 2) & " " & T(x, 3) & " " & T(x, 4)& " "

& T(x, 5)& " " & T(x, 6)& " " & T(x, 7)& " " & T(x, 8)& " " & T(x, 9)& " " & T(x, 10))

Next

'para hallar el valor aprox

fx = B(1, 2)

x = TextBox2.Text

For d = 1 To n - 1

p = 1

k = 1

While k




Next

TextBox3.Text = fx

PROGRAMA N 7

MTODO DE JACOBI

1. Fundamentacin del mtodo y representacin escalar.

Supongamos un sistema de ecuaciones como el que se propone a continuacin:

Este es

Este es un

sistema de

n

ecuaciones y n incgnitas, donde las variables aij son los coeficientes del sistema y las variables xi son las

incgnitas. Supongamos adems que aii0, i = 1 : = 1:

Supongamos que tenemos una solucin inicial (0), la cual no necesariamente debe ser la solucin del

sistema. La idea del mtodo del Jacobi, es encontrar una nueva solucin a partir de la solucin inicial que se

tena. Para ello, lo que se hace es despejar cada incgnita del sistema, a partir de la ecuacin correspondiente

(para la i-esima incgnita corresponde la i-esima ecuacin). De esta manera se obtiene una nueva solucin

(1), de la forma:




Una vez que se obtiene la nueva solucin (1), se repite el paso anterior y se obtiene una nueva solucin

(2). Este proceso se repite hasta que la solucin actual converja a la solucin del sistema, el criterio de

convergencia se ver ms adelante. En resumen, teniendo una solucin (), se obtendra la solucin

(+1)mediante la siguiente frmula:

2. Representacin Matricial.

Existe una representacin matricial para este mismo algoritmo (1), la cual se detalla a continuacin.

Supongamos el mismo sistema planteado anteriormente, pero ahora representado de manera matricial

como = con:

Entonces definiremos dos nuevas matrices, D y J, las cuales tienen la siguiente forma:




Entonces, la ecuacin (1) puede escribirse matricialmente como:

Definiendo ,la ecuacin nos queda:

Siendo esta la iteracin a realizar, ya que los valores de D, J y no varan a travs de las iteraciones.

APLICACIN

1) INICIO:

Public Class Form1



DOS.Show()

End Sub



TRES.Show()

End Sub



CUATRO.Show()

End Sub



CINCO.Show()

End Sub






SEIS.Show()

End Sub



SIETE.Show()

End Sub

End Class

2) PARA N=2: donde N se a la matriz cuadrada de N filas y N columnas

Public Class DOS

Dim a(2, 2), B(2), C(2) As Double




For x = 1 To 2

For y = 1 To 2

a(x, y) = InputBox("ingrese numero en la posicion" & Str(x) & "," & Str(y))




Next

Next

For x = 1 To 2

ListBox1.Items.Add(Str(a(x, 1)) & " " & Str(a(x, 2)))

Next

End Sub



For x = 1 To 2

B(x) = InputBox("Ingrese numero en la posicin" & Str(x))

Next


For x = 1 To 2

If B(x) 0 Then

ListBox3.Items.Add(B(x))

End If

Next

End Sub



Dim C(2) As Long

For x = 1 To 2

C(x) = InputBox("ingrese el numero en la posicion" & Str(x))

Next


For x = 1 To 2

ListBox6.Items.Add(C(x))

Next

End Sub






Dim i, j As Double

'Itera la ecuacin

While i < 0.1

i = (B(1) - (a(1, 2) * C(2))) / a(1, 1)

j = (B(2) - (a(2, 1) * C(1))) / a(2, 2)

C(1) = i

C(2) = j

End While

TextBox2.Text = i

TextBox3.Text = j

a(1, 1) = i

a(1, 2) = j

'Nos da el valor de las raices

ListBox2.Items.Add(Str(a(1, 1)) & " " & Str(a(1, 2)))

End Sub

End Class




3) PARA N=3:

Public Class TRES

Dim x, y, d1, d2, d3 As Double

Dim a(3, 3), B(3), C(3) As Double




For x = 1 To 3

For y = 1 To 3

a(x, y) = InputBox("ingrese numero en la posicion" & Str(x) & "," & Str(y))

Next

Next

For x = 1 To 3

ListBox1.Items.Add(Str(a(x, 1)) & " " & Str(a(x, 2)) & " " & Str(a(x, 3)))

Next

End Sub



For x = 1 To 3




B(x) = InputBox("Ingrese numero en la posicin" & Str(x))

Next


For x = 1 To 3

If B(x) 0 Then

ListBox3.Items.Add(B(x))

End If

Next

End Sub



Dim C(10) As Long

For x = 1 To 3

C(x) = InputBox("ingrese el numero en la posicion" & Str(x))

Next


For x = 1 To 3

ListBox6.Items.Add(C(x))

Next

End Sub



Dim i, j, z As Double

While i < 0.1

i = (B(1) - (a(1, 2) * C(2) + a(1, 3) * C(3))) / a(1, 1)

j = (B(2) - (a(2, 1) * C(1) + a(2, 3) * C(3))) / a(2, 2)

z = (B(3) - (a(3, 1) * C(1) + a(3, 2) * C(2))) / a(3, 3)

C(1) = i

C(2) = j




C(3) = z

End While

TextBox2.Text = i

TextBox3.Text = j

TextBox4.Text = z

a(1, 1) = i

a(1, 2) = j

a(1, 3) = z

'Nos da el valor de las raices

ListBox2.Items.Add(Str(a(1, 1)) & " " & Str(a(1, 2)) & " " & Str(a(1, 3)))

End Sub

End Class

PARA N=6:




PARA N=7:

NOTA: Para obtener ms iteraciones se hace

click en el botn ITERAR hasta alcanzar la

precisin deseada.




EJEMPLO CON N=3:

EJEMPLO CON N=4:

Mate Matic As

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