UNIVERSIDAD DEL PACÍFICODEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA30651 MATEMÁTICAS IIIPRIMER SEMESTRE 2011Profesores: Antonio Ortiz (A)

Raquel Araujo (B)Eduardo Mantilla (C) y (D)

Jefes de Práctica: Colocar nombre (A) Colocar nombre (B) Colocar nombre (C) Colocar nombre (D)

PRACTICA DIRIGIDA No. 1Números Complejos, Rn como Espacio Vectorial y Álgebra Lineal

Números Complejos

1. Halle el inverso multiplicativo para cada uno de los siguiente números complejos:

−1−i 3−2i i

2√3−2 i

−√22

+ √22i

2. Escriba cada uno de los siguientes números complejos en la forma a + bi:

e−2 π3i

12 eπ6i

e2 π3i+e

4 π3i+e

6 π3i

3. Sea v=√5−√5 i y sea u=1−i . Encuentre u / v en su forma exponencial

4. Si z1=4−2 i y z2=3+5 i . Hallar z1/ z2 .

5. Si

1+cosθ+isen θ1+cosθ−isen θ

=eβi. Halle β

6. a.- Demuestre que |z⋅w|=|z|⋅|w| se cumple para cualquier número complejo z y w.

b.- Demuestre que ´Z1+Z2 = Z1+ Z2

c.- Demuestre que ´Z1 . Z2 = Z1 . Z2

7. Encuentre el valor de a∈ℜ , tal que z=−i es una raíz del polinomio P( z )= z3−z2+z+1+a . Una vez

determinado el valor de a , encuentre además los factores de P(z) en ℜ y C .

1

8. Encuentre las raíces complejas de z4+16=0 . Luego, utilice sus resultados para poder factorizar z

4+16 en dos factores con coeficientes reales.

Vectores: Comente

9. Con los vectores y se plantea la siguiente relación: a=k b , donde es un escalar de valor desconocido. Comente las siguientes afirmaciones:

a. El valor de se puede calcular como sigue: k=a

b .

b. Podemos despejar de la siguiente igualdad: . Entonces .

c. Podemos despejar de la siguiente igualdad: . Entonces .

Vectores: Demostraciones

10. Demostraciones:

a. Dados dos vectores u y v. Se sabe que el módulo de la suma de ambos es igual al módulo de u-v. Demostrar que u y v son perpendiculares.

b. Pruebe que:

|u+v|2+|u−v|2=2|u|2+2|v|2

c. Sean dos vectores unitarios, demuestre que el valor absoluto de su producto interno es menor o igual a uno.

d. Pruebe que si , el coseno del ángulo entre y es igual al coseno del ángulo entre y . Pero si

, el coseno del ángulo entre y es igual al negativo del coseno entre y .

11. Desigualdad triangular y sus casos

a. Sean y dos vectores, demostrar la desigualdad triangular:

.

b. Si los vectores son ortogonales, entonces se cumple que:

Vectores: Ejercicios varios

12. Hallar el valor que tomará G=θ a.b+e .e , si se tiene los siguientes datos ‖a+b+c+d‖=0 ;

a+b+2e=0 ; ‖c+d‖=5 ; ‖a‖=2 ; ‖b‖=3 y “θ” es el cociente de los coeficientes de la combinación lineal de los vectores e y c para formar el vector d.

2

13. [2010-II PC 1] Sean a ,b , c vectores en R3

que forman el triángulo:

Se sabe que ‖a‖=2 , b es un vector suma (todos sus elementos son iguales a 1), el vector a es

ortogonal con b−c y que el coseno del ángulo formado por a y b es igual a − 1

√3 . Encuentre el

coseno del ángulo formado por los vectores a y c .

3

c

ba