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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CAMPECHE
MATEMÁTICAS DISCRETAS
INVESTIGACIÓN UNIDAD 1 Y 2
PROF. HERNÁNDEZ MEZA MANUEL ENRIQUE
BR. SEGUNDO VALDEZ MARIO ALBERTO
MATRICULA: 12470269
MF1
17 SEPTIEMBRE 2015
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2
ContenidoIntroducción.......................................................................................................................................3
Antecedentes.....................................................................................................................................4
Objetivo..............................................................................................................................................6
1 Sistemas Numéricos........................................................................................................................7
1.1Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal).........................................................7
1.2 Conversiones entre sistemas numéricos....................................................................................11
1.3 Operaciones Básicas (Suma, Resta, Multiplicación, División)....................................................16
1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicación y división en binario...............................................22
1.5 Aplicación de los sistemas numéricos en la computación..........................................................23
2 Conjuntos......................................................................................................................................25
2.1 Características de los conjuntos.................................................................................................25
2.1.1 Conjunto universo, vacío.....................................................................................................27
2.1.2 Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios............................................29
2.1.3 Subconjuntos.......................................................................................................................31
2.1.4 Conjunto potencia...............................................................................................................32
2.2 Operaciones con conjuntos (Unión, Intersección, Complemento, Diferencia y diferencia simétrica).........................................................................................................................................32
2.3 Propiedades de los conjuntos....................................................................................................34
2.4 Aplicaciones de conjuntos..........................................................................................................35
Conclusión........................................................................................................................................36
Bibliografía.......................................................................................................................................37
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3
Introducción El sistema numérico que poseemos no es simple y no nació de improviso, por lo
contrario, es el resultado de profundas reflexiones en el tiempo por parte del
hombre. En un primer momento se necesitaron números para poder contar y tener
claras las cantidades en el comercio y el almacenaje. Así nacen los números
naturales o enteros positivos.
Los antiguos desarrollaron una serie de operaciones comerciales que dieron inicio
a las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, teniéndose así una
aritmética basada en el empleo de números naturales. Así, como resultado de la
diferencia, se encontró un nuevo tipo de números: los números negativos. Estos
llevaron a la conformación de los números enteros.
Si bien en el periodo antiguo no se desarrolló totalmente la división, sí se advirtió,
como resultado de operar los enteros, el uso de algunas fracciones elementales.
Es así que surge el cociente entre dos números enteros, conociéndose a este
conjunto como números racionales.
La aritmética y el álgebra crecieron como herramientas prácticas de cómo operar y
cómo dar respuestas a problemas diarios. En contrapartida la geometría fue
empleada como un instrumento de desarrollo intelectual y es por tanto un modelo
de sistema lógico.
Es a partir de la geometría que surgen números que tuvieron aceptación mucho
tiempo después y luego de un firme fundamento lógico, estos son los números
irracionales.
La agrupación de todos estos números se conoce como conjunto de números
reales y es sobre ellos que basaremos nuestro estudio.
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4
Antecedentes
A lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes
maneras de representar cantidades. Si nos remontamos hacia más de dos mil
años, los pueblos de aquella época no utilizaban números para contar objetos,
sino que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para contar, ya
sea utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos, marcando bastones (ramas)
o haciendo nudos en una cuerda, entre otros.
Ahora bien, el primer uso que se le dio a los números, se relaciona con la
necesidad de ordenar elementos, no con la de contar o medir objetos.
A continuación veremos los 5 sistemas de numeración más característicos de la
historia, reconociendo sus elementos principales y los símbolos que ellos utilizaron
para representar las cantidades indicadas.
La teoría de conjuntos y sus fundamentos básicos fueron desarrollados por
George Cantor, un matemático alemán, hacia finales del siglo XIX. La teoría de
conjuntos trata de entender las propiedades de conjuntos que no están
relacionados a los elementos específicos de los cuales están compuestos. Por
ende, tanto los teoremas como los axiomas de la teoría de conjuntos involucran a
conjuntos generales, sin importar que contengan objetos físicos o números.
Existen muchas aplicaciones prácticas de la teoría de conjuntos.
Función
Desde formular las bases lógicas para la geometría, el cálculo y la topología, hasta
crear álgebra en torno a campos, anillos y grupos, las aplicaciones de la teoría de
conjuntos son comúnmente utilizadas en campos de las ciencias y las
matemáticas como biología, química y física, como así también en ingeniería
eléctrica y computación.
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5
Matemáticas
Como la teoría es de naturaleza abstracta, tiene funciones y aplicaciones vitales
en el campo de las matemáticas. Una rama de la teoría de conjuntos es llamada
"análisis". El cálculo integral y diferencial son componentes principales del análisis.
La continuidad de una función y los límites de la misma derivan de la teoría de
conjuntos. Estas operaciones conducen al álgebra de Boole, que es útil para la
producción de computadoras y calculadoras.
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Objetivo
Construir un procedimiento general para convertir un número en cualquier
sistema numérico posicional al sistema decimal.
Representar y convertir cantidades en los sistemas numéricos: decimal,
binario, octal y hexadecimal.
Realizar operaciones básicas de: suma, resta, multiplicación y división en
los sistemas: decimal, binario, octal y decimal.
Generalizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre
los sistemas numéricos posiciónales.
Investigar utilizando diversos medios, información relacionada con la teoría
de conjuntos: definición, desarrollo, características y propiedades de los
conjuntos importantes operaciones entre conjuntos.
Investigar y resolver problemas en donde se utilicen las operaciones entre
conjuntos, en equipos de trabajo, integrar un conjunto de problemas
resueltos analizarlos.
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1 Sistemas Numéricos
1.1Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal)
[Reyes, S. B. (10 de octubre de 2012)]
En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para
representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico
está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número
de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número
cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. A lo largo de la historia se han
utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.
Los computadores manipulan y almacenan los datos usando interruptores
electrónicos que están ENCENDIDOS o APAGADOS. Las computadoras sólo
pueden entender y usar datos que están en este formato binario, o sea, de dos
estados. Los unos y los ceros se usan para representar los dos estados posibles
de un componente electrónico de una computadora. Se denominan dígitos
binarios o bits. Los 1 representan el estado ENCENDIDO, y los 0 representan el
estado APAGADO.
El Código americano normalizado para el intercambio de información (ASCII) es el
código que se usa más a menudo para representar los datos alfanuméricos de una
computadora. ASCII usa dígitos binarios para representar los símbolos que se
escriben con el teclado. Cuando las computadoras envían estados de
ENCENDIDO/APAGADO a través de una red, se usan ondas eléctricas, de luz o
de radio para representar los unos y los ceros.
Debido a que las computadoras están diseñados para funcionar con los
interruptores ENCENDIDO/APAGADO, los dígitos y los números binarios les
resultan naturales. Los seres humanos usan el sistema numérico decimal, que es
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8
relativamente simple en comparación con las largas series de unos y ceros que
usan los computadores. De modo que los números binarios del computador se
deben convertir en números decimales.
A veces, los números binarios se deben convertir en números Hexadecimales
(hex), lo que reduce una larga cadena de dígitos binarios a unos pocos caracteres
hexadecimales. Esto hace que sea más fácil recordar y trabajar con los números.
Bits y Bytes
Un número binario 0 puede estar representado por 0 voltios de electricidad (0 = 0
voltios).
Un número binario 1 puede estar representado por +5 voltios de electricidad (1 =
+5 voltios).
Los computadores están diseñados para usar agrupaciones de ocho bits. Esta
agrupación de ocho bits se denomina byte. En un computador, un byte representa
una sola ubicación de almacenamiento direccionable. Estas ubicaciones de
almacenamiento representan un valor o un solo carácter de datos como, por
ejemplo, un código ASCII. La cantidad total de combinaciones de los ocho
interruptores que se encienden y se apagan es de 256. El intervalo de valores de
un byte es de 0 a 255. De modo que un byte es un concepto importante que se
debe entender si uno trabaja con computadores y redes.
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Sistemas Numéricos
Sistema Numérico de Base 10
Los sistemas numéricos están compuestos por símbolos y por las normas
utilizadas para interpretar estos símbolos. El sistema numérico que se usa más a
menudo es el sistema numérico decimal, o de Base 10. El sistema numérico de
Base 10 usa diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos símbolos se pueden
combinar para representar todos los valores numéricos posibles.
Ejemplo:
2134 = 2134
Hay un 4 en la posición correspondiente a las unidades, un 3 en la posición de las
decenas, un 1 en la posición de las centenas y un 2 en la posición de los miles.
Este ejemplo parece obvio cuando se usa el sistema numérico decimal. Es
importante saber exactamente cómo funciona el sistema decimal, ya que este
conocimiento permite entender los otros dos sistemas numéricos, el sistema
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10
numérico de Base 2 y el sistema numérico hexadecimal de Base 16. Estos
sistemas usan los mismos métodos que el sistema decimal.
Sistema Numérico de Base 2
Los computadores reconocen y procesan datos utilizando el sistema numérico
binario, o de Base 2. El sistema numérico binario usa sólo dos símbolos, 0 y 1
(ENCENDIDO/APAGADO ), en lugar de los diez símbolos que se utilizan en el
sistema numérico decimal.
Ejemplo:
101102 = 22
Sistema Numérico de Base 8
El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos
números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de
numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema
hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a
octal o a hexadecimal.
En el sistema octal, usa ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Ejemplo:
El número octal 2738 = 149610
Sistema Numérico de Base 16 (Hexadecimal)
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El sistema hexadecimal usa dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,
D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades
decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores
que 9 en el sistema decimal.
Ejemplo:
El número hexadecimal 1A3F16 = 671910
1.2 Conversiones entre sistemas numéricos. [Sorino, T. Z. (15
de Agosto de 2011)]
Conversión de Decimal a Binario
Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos.
Método 1 por divisiones sucesivas, el cual consiste en:
Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener
un cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo (MSB) y el
primero es el bit menos significativo (LSB).
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario.
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Ejemplo de conversión de decimal a binario
El resultado en binario de 15310 es 10011001
Método 2:
Otra forma de obtener el numero decimal a binario es realizar lo siguiente:
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar
divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden
inverso al que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número decimal 77 haremos una
serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 / 2 = 38 Resto: 1
38 / 2 = 19 Resto: 0
19 / 2 = 9 Resto: 1
9 / 2 = 4 Resto: 1
4 / 2 = 2 Resto: 0
2 / 2 = 1 Resto: 0
1 / 2 = 0 Resto: 1
y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
Decimal 77 = Binario 1001101
Conversión de un número decimal a octal
La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya
hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y
colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en
octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:
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13
122 / 8 = 15 Resto: 2
15 / 8 = 1 Resto: 7
1 / 8 = 0 Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
Decimal 122 = Octal 172
Conversión de un número decimal a hexadecimal
Utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número
decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número
decimal 1735 será necesario hacer las siguientes divisiones:
1735 / 16 = 108 Resto: 7
108 / 16 = 6 Resto: C es decir, 12 en decimal
6 / 16 = 0 Resto: 6
De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en
hexadecimal:
decimal 1735 = hexadecimal 6C7
Conversión de Binario a Octal
Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los
sistemas decimal, binario y octal:
Decimal Binario Octal
0 000 0
1 001 1
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14
2 010 2
3 011 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema
binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de
numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en
"contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.
Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011 a octal tomaremos
grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
101 = 5 octal
001 = 1 octal
011 = 3 octal
y, de ese modo el número binario 101001011 = octal 513
La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método,
reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para
convertir el número octal 750 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada
uno de sus dígitos:
7 octal = 111
5 octal = 101
0 octal = 000
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15
y, por tanto el número octal 750 = 111101000 binario
Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa
Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y
binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito
hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:
Decima
l
Binari
o
Hexadecimal
0 0000 0
1 0001 0
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
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16
La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o
"contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para
expresar en hexadecimal el número binario 101001110011 bastará con tomar
grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su
equivalente hexadecimal:
1010 = A
0111 = 7
0011 = 3
y, por tanto el número binario 101001110011 = al hexadecimal A73
En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos,
se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
101110 = 00101110 = 2E en hexadecimal
La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo,
reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla.
Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F6 hallaremos en la
tabla las siguientes equivalencias:
1 = 0001
F = 1111
6 = 0110
y, por lo tanto el número hexadecimal 1F6 = al binario 000111110110.
1.3 Operaciones Básicas (Suma, Resta, Multiplicación, División)
[Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de 2015)]
Suma de números binarios
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17
La tabla de sumar para números binarios es la siguiente:
+ 0 1
0 0 1
1 1 10
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la
izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que
da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente
posición.
Ejemplo
Acarreo 1
1 0 0 1 1 0 0 0
+ 0 0 0 1 0 1 0 1
Resultado 1 0 1 0 1 1 0 1
Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la
decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos
como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro
ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1
(este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la
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18
siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas
(exactamente como en decimal).
Resta de números binarios
El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal.
Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la
operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se
llaman minuendo, sustraendo y diferencia.
Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad
prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en
el sistema decimal, 2 - 1 = 1.
En decimal, por ejemplo tienes 100-19, obviamente a 0 no le puedes quitar 9, así
que debemos tomar prestado 1 para volverlo un 10 (en decimal la base es 10), y
así si 10-9=1.
En binarios pasa lo mismo, no le puedes quitar 1 a 0, debes de tomar 1 prestado
al de un lado, pero cuidado aquí viene lo complicado tu número no se va a volver
10, recuerda que en binario la base es 2 y por lo tanto se volverá 2 en binario, y
ahora sí a 2 le quitas 1, 2-1=1, y continuas restando pero recuerda que llevas 1,
porque pediste prestado.
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19
Ejemplo para que le entiendas mejor, vamos a restar 201 - 67, ya sabemos que es
134, vamos a hacerlo en binario:
1 1 0 0 1 0 0 1.......................201
- 0 1 0 0 0 0 1 1.......................67
Tomamos los dos últimos números, 1-1 es igual a 0, y no llevamos nada (no
pedimos prestado)
1 1 0 0 1 0 0 1
- 0 1 0 0 0 0 1 1
------------------------
0
Ahora la siguiente columna 0-1, ya dijimos que no se puede, así que va a tomar 1
prestado al de la columna del lado izquierdo, se que vas a decir "es un cero, no
nos puede prestar 1", lo que pasa es que ese cero le pide a su vez al de lado, y
así hasta que encuentres un 1, pero no te fijes en eso, vamos a seguir restando y
no nos vamos a preocupar por eso ahora, entonces ahora nos prestaron 1 (no
importa quién) y tenemos un 1 0 (este numero es 2 en binario no 10 en decimal,
no te vayas a confundir), entonces en binario tienes 10-1, que en decimal es 2-
1=1, y llevamos 1 (porque pedimos 1 prestado)
1 1 0 0 1 0 0 1 arriba
- 0 1 0 0 0 0 1 1 abajo
------------------------
1 0
Para la siguiente columna tenemos 0 - 0, pero recuerda que tomamos 1 prestado
así que en realidad tenemos 0 - 1 (le sumamos el 1 al de abajo), de nuevo
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20
tenemos que pedir prestado y entonces tenemos en binaria 1 0 -1 que en decimal
es 2-1=1, y de nuevo llevamos 1
1 1 0 0 1 0 0 1
- 0 1 0 0 0 0 1 1
------------------------
1 1 0
Continuamos con 1 - 0 , pero como llevamos 1 tenemos ahora 1 - 1, esto si lo
podemos resolver 1 - 1 = 1 (en binario y decimal).
1 1 0 0 1 0 0 1
- 0 1 0 0 0 0 1 1
------------------------
0 1 1 0
Lo demás es muy fácil:
0 - 0=0
0 - 0=0
1 - 1=0
1 - 0=1
1 1 0 0 1 0 0 1
- 0 1 0 0 0 0 1 1
------------------------
1 0 0 0 0 1 1 0 que en decimal es 134.
Es lo mismo que la resta en decimal, pides prestado y llevas, nada más debes de
ser cuidadoso y recordar que tu base es 2.
Productos Binarios
La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente:
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21
· 0 1
0 0 0
1 0 1
El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque
se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número
da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.
Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:
10110 X 1001
10110
00000
00000
10110
11000110
División de números binarios
La división en binario es similar al decimal; la única diferencia es que a la hora de
hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.
Ejemplo
Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):
100010010 |1101
-0000 010101
10001
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-1101
01000
- 0000
10000
- 1101
00011
- 0000
01110
- 1101
00001
1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicación y
división en binario. [Sorino, T. Z. (15 de Agosto de 2011)]
El algoritmo de Booth es un método rápido y sencillo para obtener el producto de
dos números binarios con signo en notación complemento a dos.
Complemento a1
Para obtener el complemento a uno del numero en binario solo consta en cambiar
sus ceros por unos, y sus unos por ceros (complementar): (010010 -> ca1:101101)
Complemento a2
El complemento a dos de un número binario es el resultado de sumar 1 al
complemento a uno de dicho número binario (NOTA: En el Ca1 sólo se
complementa si el número es negativo): mi numero en decimal es 86
Realizar una multiplicación con el algoritmo de Booth, resulta mucho más sencillo
de implementar. Partimos del ejemplo de la multiplicación 6·2=12:
1º Obtengo mis números (multiplicando y multiplicador) en binario con longitud de
8 bits
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23
2º asigno A= multiplicando, S= Complemento a2 de A, P= 8 bits en 0. Agrego 7
bits extras a la derecha de A y S, en P agrego el valor de multiplicador con
longitud de 8 bits y un bit extra con valor 0. Como se indica a continuación:
Como se puede ver en la imagen superior, partiendo de los números binarios de la
multiplicación 6·2 (multiplicando y multiplicador) creamos tres nuevos números
binarios del doble de tamaño (16 en el ejemplo): A, S y P.
3o Partiendo del número P (producto) comenzamos a comparar los últimos 2 bits
de la derecha, siguiendo los casos base del recuadro:
0 0 No hacer nada
0 1 P = P + A
1 0 P = P + S
1 1 No hacer nada
Se realizará esta comparación 8 veces en este ejemplo (número de bits de los
operandos) y al final de cada comparación, realizamos un desplazamiento de un
bit hacia la derecha, manteniendo el último bit de la izquierda, y descartando el
último bit del lado contrario. Si hacemos una traza paso a paso nos quedarían los
siguientes resultados:
Finalmente obtenemos el número en binario resultante (12 en este ejemplo),
descartando el bit extra que hemos añadido al principio del procedimiento y que se
encuentra en el extremo a la derecha.
1.5 Aplicación de los sistemas numéricos en la computación.
[Cardona, A. d. (6 de Diciembre de 2014).]
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24
Existe una cantidad infinita de sistemas numéricos, sin embargo, para una
computadora, únicamente existen 4, que son el Binario (con base 2), el octal (con
base 8), el decimal (base 10) y hexadecimal (base 16).
El Binario, por ser el sistema base de la computación y el único entendido de
manera nativa por una computadora, es el sistema en el que está escrita toda
instrucción, dato, etc. Está compuesto por dos únicos dígitos que 1 y 0 o como en
realidad trabaja la computadora, “apagado” y “encendido” y se es como representa
todos los datos con los que trabaja la computadora, desde sumas bajo nivel: el
hardware. Estos dígitos son llamados bits.
Para trabajar la computadora agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales
denomina byte y es esta la razón por la que es tan importante el sistema octal, sin
embargo una computadora no puede trabajar con el sistema octal como tal, sino
que utiliza su conversión en sistema binario, usando tres bits para cada digito
octal.
El sistema hexadecimal es empleado al indexar la memoria o al representar un
byte debido a que al contener más dígitos es posible usar menos números para
representar números más grandes, haciendo posible que un byte, conformado
por8 bits o términos binarios, se represente con solo dos términos hexadecimales,
lo que es un ahorro de información. Sin embargo, la computadora tampoco
reconoce el sistema hexadecimal como tal y, al igual que el sistema octal, lo
representa con términos binarios, empleando conjuntos de cuatro bits, para cada
término hexadecimal.
Sin embargo al presentar información al usuario es más factible presentar A9 que
10101001.Por último el sistema decimal únicamente se utiliza al interactuar con el
usuario, debido a que un usuario común no está acostumbrado a tratar con
diferentes sistemas numéricos.
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25
2 Conjuntos
2.1 Características de los conjuntos. [Zenteno, E. V. (10 de
Septiembre de 2015)]
Conjunto:
Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la
intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.
Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una
propiedad en común, este fue inventado por
Georg Cantor hace 100 años. Sus conceptos han penetrado y transformado todas
las teorías formales y todas las ramas de la matemática y de la lógica.
Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede
dar una idea intuitiva de él.
A pesar de su sencillez este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya
que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además
para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan
ordenadamente todos los conocimientos matemáticos.
Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año,
etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año,
respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos.
Elemento
Elemento es cada uno de los objetos por los cuales está conformado un conjunto.
Por ejemplo, para los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto.
Luis, Antonio, Paula, son los elementos del primer conjunto, porque ellos son
alumnos de colegio. 1,3,5 son elementos del segundo conjunto porque son
números impares.
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Este ejemplo gráfico nos muestra la agrupación llamado Alumnos de Colegio con
sus elementos que serían: Luis, Antonio, Paula y Pánfilo
Formas de determinar un conjunto
Un conjunto puede determinarse de dos formas:
Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos
del conjunto.
Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica
de los elementos del conjunto y solamente de ellos.
Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:
Por extensión: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre,
octubre, noviembre, diciembre}
Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del
año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año.
Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombra
Por extensión: {Pulgar, Indice, Mayor, Anular, meñique}
Por comprensión: {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: {x/x es dedo de
la mano}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano
Relación de pertenencia
Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento
pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.
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Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano}
B= índice, entonces
Cuando un elemento no esta en el conjunto dicho elemento no pertenece al
conjunto, y se representa de la siguiente manera
Ejemplo, A = {x/x es mes del año}
B= índice, entonces
2.1.1 Conjunto universo, vacío. [Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de 2015)]
Conjunto Universo
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los
conjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto
universal. Lo notaremos por U.
Ejemplo : Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y
un predicado apropiados para definirlo.
(a) El conjunto de los enteros entre 0 y 100.
(b) El conjunto de los enteros positivos impares.
(c) El conjunto de los múltiplos de 10.
Solución
(a) A = {x : x 2 Z ^ x > 0 ^ x < 100} ´o A = {x 2 Z : 0 < x < 100}
(b) B = {x : 9y 2 Z+, x = 2y − 1} ´o B = {x : x = 2y − 1, y 2 Z+}
(c) C = {x : 9y 2 Z, x = 10y} ´o C = {x : x = 10y, y 2 Z}
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Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos
del tema de referencia
Ejemplo: U={x/x es un animal}
A={x/x es un mamífero}
B={x/x es un reptil}
Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A
pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la
siguiente forma: {*}
Ejemplos: Conjunto de los meses del año que terminan en a.
Conjunto de números impares múltiplos de 2.
Conjunto unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de reinta días,
solamente febrero pertenece a dicho conjunto.
Conjuntos disjuntos. Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún
elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.
Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:
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29
{x/x es un número natural}
{x/x es un día de la semana}
son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.
Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos
los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los
elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).
Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}
Formemos todos sus subconjuntos: , M={a}, N={b}, P={c}, Q={d}, R={a,c}, T={a,d},
U={b,c}, V={b,d}, X={c,d}, Y={a,b,c}, Z={a,b,d}, L={b,c,d}. El conjunto de las partes
de A, es decir (A), será:
p(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}
¿Cuándo dos conjuntos son iguales?
Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son
iguales a los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del
primero.
Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un número natural} {x/x es un
número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un
número natural.
2.1.2 Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios [Sorino, T. Z. (15 de Agosto de 2011)]
Los números más conocidos son los números naturales, que se usan para contar.
Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los
enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si se incluyen
todos los números que pueden expresarse con decimales pero no con fracciones
de enteros (irracionales), se habla entonces de los números reales; si a éstos se
les añade los números complejos, se obtendrán todos los números necesarios
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30
para resolver cualquier ecuación algebraica. Pueden añadirse también los infinitos,
los hiperreales y los transfinitos. Entre los reales, existen números que no son
soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de
transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número π (Pi) y el
número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están
relacionados entre sí por la identidad de Euler. Existe toda una teoría de los
números, que clasifica a los números en: Números Complejos Reales Racionales
Enteros Naturales Uno Primos Compuestos Cero Negativos Fraccionarios
Fracción propia Fracción impropia Irracionales Algebraicos irracionales
Trascendentes Imaginarios
-Naturales (N). Es cualquiera de los números que se usan para contar los
elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que
utilizo el ser humano para la enumeración.
-Enteros (Z). Son un conjunto de números que incluyen a los números naturales
distintos de cero (1, 2, 3....), los negativos de los números naturales (…, -3, -2, -1)
y al cero. Los enteros negativos como -1 ó -3 son números que todos los enteros
positivos (1, 2, …) y que el cero.
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-Racionales (Q). Se les llama racionales a todo número que se puede
representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un
entero y un natural positivo) es decir, una fracción común a/b como numerador a y
denominador b distintos de 0.
-Reales (R). Incluyen a los números racionales (positivos, negativos y 0) como los
irracionales (trascendentes y algebraicos) que no se pueden expresar de manera
fraccionaria y tienen infinitos cifras decimales o periódicas.
-Imaginarios. Es un número complejo cuya parte real es igual a cero.
2.1.3 Subconjuntos [ XMV. (7 de Marzzo de 2010)]
Un subconjunto es un conjunto que forma parte de otro conjunto dado. Un
conjunto A es un subconjunto de un conjunto de un conjunto B si A esta contenido
dentro de B.
Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A, cuando A
es un subconjunto de B. Ejemplo:
Sean los conjuntos A {0,1, 2, 3, 5, 8¬} y B {1, 2, 5} en este caso decimos que B
está contenido en A o que B es un subconjunto de A. PROPIEDADES DE LOS
SUBCONJUNTOS:
Los subconjuntos tienen las siguientes propiedades:
REFLEXIVA.- Todo conjunto es subconjunto de si mismo. A A
ANTI SIMÉTRICA.- Si dados dos conjuntos A y B se verifica A B, entonces se
deduce que B A.
A B A B
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TRANSITIVA.- Dados tres conjuntos A, B y C, si se verifica A B y B C entonces A
C A = {x I x es par} B = {2, 4, 6, 8} C = {vocales} D = {abecedario}
Los subconjuntos se expresan de la siguiente manera: AB (A es subconjunto de B)
CD (C es subconjunto de D)
Los elementos del conjunto A esta contenido en B pero al revés no es cierto, es
decir B no es subconjunto de A
2.1.4 Conjunto potencia. [Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de 2015)]
Dado un conjuntos, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se
denota por P(S) o 2 S) al conjunto de todos los subconjuntos de S. En la teoría de
conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto
potencia se establece por el axioma del conjunto potencia. Por ejemplo, si S= {a,
b, c} entonces el conjunto potencia de S es P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,
c}, {a, b, c}}.
2.2 Operaciones con conjuntos (Unión, Intersección,
Complemento, Diferencia y diferencia simétrica) [Zenteno,
E. V. (10 de Septiembre de 2015)]
UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A B y es el
conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a
los dos. Lo que se denota por: A B = { x/x A ó x B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 } A B ={ 1, 3, 5,
7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCIÓN
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 } Los elementos comunes a los dos
conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se
denota por A B, algebraicamente se escribe así:
A B = { x/x A y x B }
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33
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z } Q P={ a, b, o,
r, s, y }
CONJUNTO VACÍO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo
que denotamos por el símbolo .
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A B. A B= { }=
El resultado de A B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este
es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como: A
B=
CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos
conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A B = entonces A y B son ajenos.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de
elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa
por comprensión como:
A'={ x U/x y x A }
Ejemplo: Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
![Page 34: mateDiscretaUni1&2](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022032515/563db8e8550346aa9a981dd0/html5/thumbnails/34.jpg)
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DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el
conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por
comprensión como:
A - B={ x/x A ; X B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A
que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
2.3 Propiedades de los conjuntos [Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de
2015)]
Propiedades de la inclusión
i) A A
ii) A
iii) ; sólo si A = B
iv) y
Propiedades de la unión e intersección
i) Identidad
ii) Idempotencia
iii) Conmutatividad
iv) Asociatividad
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35
v) Distributividad
vi) Absorción
vii) Complementaridad
2.4 Aplicaciones de conjuntos [Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de 2015)]
La teoría de conjuntos y sus fundamentos básicos fueron desarrolladospor George
Cantor, un matemático alemán, hacia finales del siglo XIX. La teoría de conjuntos
trata de entender las propiedades de conjuntos que no están relacionados a los
elementos específicos de los cuales están compuestos. Por ende, tanto los
teoremas como los axiomas de la teoría de conjuntos involucran a conjuntos
generales, sin importar que contengan objetos físicos o números. Existen muchas
aplicaciones prácticas de la teoría de conjuntos.
Función
Desde formular las bases lógicas para la geometría, el cálculo y la topología, hasta
crear álgebra en torno a campos, anillos y grupos, las aplicaciones de la teoría de
conjuntos son comúnmente utilizadas en campos de las ciencias y las
matemáticas como biología, química y física, como así también en ingeniería
eléctrica y computación.
Matemáticas
Como la teoría es de naturaleza abstracta, tiene funciones y aplicaciones vitales
en el campo de las matemáticas. Una rama de la teoría de conjuntos es llamada
"análisis". El cálculo integral y diferencial son componentes principales del análisis.
La continuidad de una función y los límites de la misma derivan de la teoría de
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36
conjuntos. Estas operaciones conducen al álgebra de Boole, que es útil para la
producción de computadoras y calculadoras.
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Conclusión Un sistema numérico nos permite representar cantidades tan grandes, tan
pequeñas y tan precisas como lo necesite un número finito de símbolos llamados
dígitos del sistema.
En estas unidades podemos ver todo lo que está relacionado con sistemas
numéricos, sus definiciones, los conceptos relacionados y las teorías principales y
sus aplicaciones, de igual manera un poco de historia de las mismas.
De igual forma con la teoría de conjuntos así como las múltiples aplicaciones y
operaciones que se realizan con ellos.
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38
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