Matem áticas Discretas SUCESIONES Y SUMATORIAS · Sucesiones Estructura discreta usada para...
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SucesionesSucesiones
� Estructura discreta usada para representar una lista ordenada de elementos
� Si elementos de sucesión infinita se pueden enumerar: conjunto contable o numerable
SucesionesSucesiones: : definicidefinicióónn
Función de un subconjunto del conjunto de enteros ( {0,1,2,..} o {1,2,3,...}) en un conjunto S
f(n) = an, an es un término de la sucesión
{an} describe la sucesión
SucesionesSucesiones
Considere la siguiente lista de términos
2, 4, 8, 16, 32, ...,
Lista se obtiene a partir de la secuencia {an} donde an=2n
La lista de términos de esta secuencia es:
a1, a2, a3, ...,
donde a1=2, a2=4, a3=8 y an=2n
SucesionesSucesiones
Considere la secuencia {bn}, donde
bn=(-1)n
Cuál es la lista de términos de la secuencia, comenzando desde b0 ?
SucesiSucesióónn
La lista de términos de la secuencia {bn}, donde bn=(-1)n desde b0
1,-1,1,-1,1,...
b0, b1, b2, b3, ...,
donde b0=1, b1=-1, b2=1 b3=-1, ..., bn=(-1)n
SucesionesSucesiones
Qué “regla” permite producir la siguiente
lista de términos de la secuencia?
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59,...
SucesionesSucesiones
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59,...
La lista se puede expresar como
5, 5+6(1), 5+6(2), 5+6(3), ..., 5+6(n)
SucesionesSucesiones
La lista de términos
5, 5+(1)6, 5+(2)6, 5+ (3)6, ..., 5+ (n)6
es una progresión aritmética donde
a=5 y d=6
ProgresiProgresióónn GeomGeoméétricatrica
Considere la siguiente lista de términos
4, 8, 16, 32, …
Se puede expresar como
4, 4*21, 4*22, 4*23, …
ProgresiProgresióónn GeomGeoméétricatrica
Sucesión de la forma
a, ar, ar2,...,arn
donde, el término inicial a y la razón r
son números reales
ProgresiProgresióónn AritmAritmééticatica
Sucesión de la forma
a, a+d, a+2d,a+3d,...,a+nd
donde, el término inicial a y la diferencia
d son números reales
ProgresionesProgresionesDadas las siguientes listas de términos,
indique cuáles corresponden a progresiones aritméticas o geométricas y en tal caso
determine a, d o r
2, 4, 6, 8, 10, 12, …
2, 4, 8, 16, 32, 64, …
3, 1, -1, -3, -5, -7, …
1/2, 3/2, 5/2, 5, 9/2, 11/2, …
ProgresiProgresióónn GeomGeoméétricatrica
Indique el término inicial y la proporción de la siguiente progresión geométrica
2, 6, 18, 53, …
ProgresionesProgresiones
Indique cuáles de las siguientes listas de términos corresponden a progresiones
geométricas
5, 10, 20, 40, …
3, -3, 3, -3, …
1/2, 1/6, 1/12, 1/18, …
SucesionesSucesiones úútilestiles
1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,...n!
3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,...3n
2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...2n
1,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561, 10000,...n4
1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...n3
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...n2
Primeros términosTérminon-ésimo
SumatoriaSumatoria: : definicidefinicióónn
Sumatoria desde j=m hasta n de aj,
La variable j es el índice de la sumatoria y
toma todos los valores enteros entre el limite
inferior y el limite superior de la suma
∑=
n
mjja
SumatoriasSumatorias
Expresar la suma de los primeros 100
términos de la secuencia {an} donde
an=1/n para n=1,2,3,…
SumatoriasSumatorias
=(-1)4 + (-1)5 + (-1)6 + (-1)7 + (-1)8
= 1 + (-1) + 1 + -1 + 1
= 1
∑=
−8
4
)1(k
k
SumatoriasSumatorias
Indicar el valor de las siguientes sumatorias
∑=
4
1
1k
∑=
3
0
2k
k
∑=
+9
5
)2(j
jj
SumatoriasSumatorias
SUMAS DOBLES
Para resolver una suma doble se debe resolver primero la suma más interna y luego la suma externa
∑ ∑= =
4
1
3
1
*i j
ji
Sumas Sumas DoblesDobles
∑=
++4
1
)3*2*1*(i
iii
∑=
=4
1
)6*(i
i
= 1*6 + 2*6 + 3*6+ 4*6
= 6 + 12 + 18 + 24
= 60
Sumas Sumas sobresobre conjuntosconjuntos
Representa la suma de los valores de s para
todos los miembros del conjunto {0,2,4}
∑ ∈ }4,2,0{Ss
6420}4,2,0{
=++=∑ ∈Ss
EjerciciosEjercicios
Dado S={1,3,5,7}, indique cuáles son los valores de las siguiente sumas:
∑ ∈ Sjj
2
∑ ∈ Sjj
∑ ∈ Sj1
SumatoriaSumatoria progresiprogresióónn geomgeoméétricatrica
A y r son números reales, r ≠0
Si r ≠1
Si r =1
1
1
0 −−=
+
=∑ r
aarar
nn
k
k
anarn
k
k )1(0
+=∑=
1
1
0 −−=
+
=∑
r
aarar
nn
k
k
2
)1(
1
+=∑=
nnk
n
k
6
)12)(1(
1
2 ++=∑=
nnnk
n
k
4
)1( 22
1
3 +=∑=
nnk
n
k
ConjuntosConjuntos EnumerablesEnumerables
Los conjuntos A y B tien en el mismocardinal si y solo si existe una biyecciónentre A y B
Un conjunto es enumerable o contable sies finito o si tiene el mismo cardinal que el conjunto de los enteros positivos
ConjuntosConjuntos EnumerablesEnumerables
Conjunto de impares positivos es contable
f(n)=2n-1, f : Z+ → Z+ impares
f es biyectiva