Unidad

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE CALKIN EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERIA INDUSTRIAL

TERCER SEMESTRE

MATEMTICAS III

ING. JULIO CSAR PECH SALAZAR

Subtema 3.2Lmites y continuidadMaterial de apoyo

Clave de la asignatura: ACM-0405UNIDADNOMBRETEMAS

3Funciones vectorial de una variable real3.2 Lmites y continuidad.

Lmites.Definimos

lid A( t ) = tal que = xi + yj + zk x = lim Ax( t ); y = lim Ay( t ); z = lim Ax( t ) (4.45)

Continuidad.A( t ) es continua en t0 cuando son continuas las funciones escalares:

Ax( t ), Ay( t ), y Az( t ) en t0.

LMITES Y CONTINUIDAD

CONCEPTOS BSICOS

La definicin de lmite para funciones de varias variables es similar a aqulla para funciones de una variable, pero con la salvedad de que los entornos tomados alrededor del punto donde queremos encontrar el lmite sern ahora discos o bolas, de acuerdo a la dimensin del espacio de las variables.

Mientras que en funciones de una variable hay slo dos maneras de acercarnos a un punto del dominio por derecha y por izquierda, en funciones de varias variables hay infinitos caminos para acercarse a un punto del plano de las variables. Para que exista un lmite, el mismo debe ser igual para todos los posibles acercamientos.

Igual que en funciones de una variable, para que una funcin de varias variables sea continua en un punto debe estar definida en el mismo, debe tener lmite en l y el valor de la funcin debe ser igual al del lmite. Si una funcin es combinacin de otras continuas, ser tambin continua excepto en aquellos puntos donde no est definida.

PROBLEMAS

AUTONUM Conjuntos abiertos. Mostrar que el siguiente conjunto del plano es abierto:

Solucin

En el plano, un conjunto es abierto cuando dado un elemento (x;y) perteneciente al conjunto es posible trazar un disco alrededor de dicho punto tal que todos los elementos del disco pertenecen al conjunto.

En el caso de nuestro problema, tenemos que cualquier punto (x0;y0) perteneciente al conjunto estar a una cierta distancia de cada uno de los cuatro bordes, no pudiendo estar exactamente sobre los mismos dado que las desigualdades son estrictas.

En esas condiciones, para seleccionar un ( tal que todos los puntos en un disco de radio ( pertenezcan al conjunto, basta tomar:

( < mn{( x0 + 1), (1 - x0), (y0 + 1), (1 - y0)}

Esto es, ( debe ser menor que la menor distancia del punto a los bordes. De esa manera, tendremos que para cualquier punto (x;y) del disco se verificar:

Esto es, cualquier punto dentro del disco cumplirn las cuatro condiciones requeridas para que pertenezca al conjunto A. Por ende, el conjunto es abierto.( AUTONUM Clculo de lmites. Calcular los lmites siguientes:

a)

b)

Solucin

a) . Se trata en este caso de funciones continuas ambas, y su producto est definido en el punto indicado, por lo tanto el producto es continuo all. Entonces el lmite de la funcin es igual al valor de la funcin, o sea 1.

b) . Usamos la propiedad de que el lmite de un producto es igual al producto de los lmites.( AUTONUM Existencia e inexistencia de lmites.

a) Usar la regla de lHpital para calcular .

b) Existe ?

Solucin

a)

Usamos la regla de lHpital tres veces sucesivas, dado que se trataba de casos de cero sobre cero. La cuarta vez ya era un lmite que se poda calcular, y as lo hicimos.

b) Examinaremos este lmite doble acercndonos al origen a travs de dos caminos: por el eje x y por el eje y.

Por el eje x:

(Aprovechamos el resultado anterior).

Por el eje y:

Los lmites a travs de acercamientos diferentes son distintos, y por ende no existe el lmite, de la misma manera que no exista en clculo de funciones de una variable cuando el lmite por izquierda daba distinto del lmite por derecha.( AUTONUM Ms clculos de lmites. Resolver los siguientes lmites:

a)

b)

Solucin

a) ste es un cociente de funciones continuas y adems definido en el origen, por lo cual la funcin es continua y su lmite es el valor de la funcin en el origen, vale decir 0.

b) En este caso, si bien las funciones del numerador y el denominador son ambas continuas, el cociente entre ambas no est definido en el origen. Para tratar de ver si existe un lmite, analizaremos primero los acercamientos por los ejes.

Por el eje x:

Por el eje y:

Esto es alentador y parecera que deberamos probar ahora que el lmite es 1. Sin embargo, conviene analizar otros acercamientos al origen. Debemos recordar que una sola coincidencia entre lmites por distintos acercamientos no garantiza nada; por el contrario, un solo caso de lmite distinto prueba que no existe el lmite.

Normalmente, se suelen calcular a ese efecto los lmites radiales, en los cuales se determina el lmite por lneas rectas oblicuas que convergen al punto en anlisis.

En nuestro caso, las lneas rectas que convergen al origen son de la forma:

y = mxDeterminemos, pues, los lmites acercndonos por estos caminos:

Este ltimo valor depende de m; por lo tanto variar de acuerdo al camino de acercamiento al origen. Como los lmites no son todos iguales para todos los acercamientos, se concluye que no existe el lmite.( AUTONUM Clculo de un lmite por ( - (. Calcular:

SolucinPrimero calculemos los lmites radiales.

Dan todos lo mismo. Se sugiere al lector calcular otros lmites por otros caminos y comprobar que tambin dan 0.

De esa manera, se puede conjeturar que el lmite es 0. Para comprobarlo, debemos ver que el valor 0 satisface alguna de las definiciones de lmite aplicada a este caso particular. Lo intentaremos con la definicin segn ( - (, que establece:

En trminos intuitivos, esto quiere decir que siempre habr un disco alrededor de (x0;y0) para el cual los valores de la funcin estarn tan cerca del lmite como queramos. El radio del disco (() ser funcin de la cercana al lmite ((() que impongamos.

En nuestro caso, postulamos L = 0. Por ende:

Por otro lado, (x0;y0) = (0; 0), con lo cual el disco que buscamos satisfar:

Reemplazando esto arriba ser:

Por lo tanto, para que (f(x; y) - L(sea menor que (, basta con que ( ( (. Por ende, dado ( > 0, existe ( = (/2 que satisface la condicin de lmite. Por lo cual el valor de L postulado, que es 0, es realmente el lmite de la funcin en el origen.(Resolver los siguientes reactivos1) Calcular el lmite de Lm (x+3y2).

(x,y)(2,1)

a) 5 b) 7

c) 9

d) 11e) 132) Calcular el lmite de Lm

(x,y)(2,4)a) -3

b) 0

c) 3

d) 5

e) 73) Calcular el lmite de Lm

(x,y)(0,0)

A) No existe

B) 0

C) -2

D) 4

E) 5

4) Calcular el

a) 2

b) 5

c) 7

d) 9

e) 12

5) Calcular el Lmite |

a) 5

b) 7

c) 9

d) 12

e) 15

Bibliografa propuesta

Libro: Clculo Tomo II

Autor: Roland E. Hostetler Robert P.

Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano

Libro: Clculo con Geometra Analtica

Autor: Swokowski Earl W.

Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano

-1

-1

1

x

y

1

(

(x0;y0)

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