MatemaFinanciera-4

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI

Pg. EDUCA INTERACTIVA

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DESCUENTO

OBJETIVO: El presente captulo es ensear los conceptos bsicos en las operaciones bancarias

y comerciales como intereses, descuentos y comisiones. Al terminar el capitulo se podr reconocer en un problema el tipo de descuento y

aplicar los mtodos matemticos para calcular. Introduccin. A menudo en las actividades financieras o comerciales, los importes de las operaciones no son cancelables inmediatamente, sino el deudor se obliga a realizarlo en una fecha posterior determinada, firmando a cambio sendos documentos de crdito o efectos comerciales: letras, pagares, etc., que garantizan la cancelacin de los mismos en la fecha fijada. El documento de crdito, que es posible de ser negociado a terceros por el creedor antes de la fecha de vencimiento a fin de tener liquidez inmediata; presenta dos valores: Valor nominal ( S ) y valor actual, efectivo o real ( P ). El primero, escrito en el mismo efecto, es exigible slo en la fecha de vencimiento; el segundo, es el valor del documento en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, en la que se realiza la operacin de descuento. Entonces, una operacin de descuento es la compra o venta de un documento de crdito antes de la fecha de vencimiento. En ella intervienen dos partes: de una parte el comprador y de otra el vendedor. Para el primero constituye una inversin porque representa una operacin de prstamo de capital que le produce beneficios (inters), y, para el segundo constituye un anticipo de su capital potencial que le reporta una disminucin de su capital porque el comprador solo entrega el valor actual por realizar el descuento. Descuento, es la cantidad deducida sobre el capital efectivizada antes de su

vencimiento; o, tambin se define como el inters anticipado que obtiene el comprador del efecto comercial.

El descuento constituye la diferencia entre el valor nominal o monto de una deuda a

su vencimiento y su respectivo importe recibido en el presente: Descuento = S P Una operacin de descuento es una de las formas de crditos que consiste en obtener el pago anticipado de ttulos-valores -letra de cambio, pagar. u otros documentos- mediante la cesin del mencionado ttulo a otra persona, generalmente una institucin de crdito, la cual adelanta el importe del valor nominal del ttulo deduciendo los intereses anticipadamente, por el tiempo que falta para el vencimiento de la obligacin.

LECCIN N 07 y 08

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Es necesario distinguir los diferentes conceptos del trmino descuento aplicado en el sistema financiero y en las actividades comerciales y mercantiles.

Simbologa D = Descuento P = Valor presente del ttulo-valor en el descuento racional, y valor lquido en el

descuento bancario. S = Valor nominal del ttulo-valor, valor futuro. n = Perodos de tiempo que faltan para el vencimiento del ttulo-valor. i = Tasa de inters por perodo de tiempo aplicable sobre P d = Tasa de descuento por perodo de tiempo aplicable sobre S. Para el siguiente anlisis solamente se enunciara el concepto de: 1. Descuento racional, matemtico o verdadero. El descuento racional aplicado a un ttulo de crdito que vence en el futuro es el inters deducido anticipadamente calculado con la tasa i sobre el importe que verdaderamente recibe el descontante; este importe es el respectivo valor presente del valor nominal del ttulo. De este modo, el inters y el descuento racional calculados para el mismo plazo y aplicando la misma tasa producen iguales resultados. 2. Descuento Bancario. El descuento bancario constituye el inters calculado sobre el valor nominal o valor futuro (S) de un titulo valor, importe a deducir del monto del documento para encontrar su valor liquido, el cual va a representar el verdadero importe financiado. La tasa de inters aplicada es conocida como tasa adelantada o tasa de descuento d, la cual se diferencia de la tasa vencida i en que sta se aplica sobre P, y aqulla sobre S, lo que origina un importe lquido menor al valor presente del documento. 2.1 Descuento bancario simple El descuento bancario simple es el producto del valor nominal del documento, la tasa de descuento y el nmero de perodos que faltan para el vencimiento de la operacin.

Por definicin:

De la formula anterior obtenemos,, los siguientes despejes.

Racional Bancario ComercialSimple Simple Unitario

Compuesto Compuesto Sucesivo

Clases de Descuento

D S

P d n

D = S x d x n

DS x n

S =D

d x nS = D

S x dn =



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Ejemplo 1.- Calcule el descuento bancario simple al 3 de marzo, sobre un documento con valor nominal de S/. 5000 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento mensual es del 5%.

Solucin D = ? S = 5 000 Reemplazando valores: d = 0.05 n = 43/30 D = 358.33 Ejemplo 2.- Determine el valor nominal de un pagar cuyo importe del descuento bancario ha sido S/. 500. La operacin se ha efectuado con una tasa mensual de descuento simple del 5% en un perodo de 45 das. Solucin.

S = ? D = 500 Reemplazando valores d = 0.05 n = 45/30 S = 6666.66 Ejemplo 3. A cuantos das se ha efectuado el descuento bancario de un pagare con valor nominal de S/. 4000, utilizando una tasa de descuento simple mensual del 4%, si se recibi un importe liquido de S/. 3500?. Solucin.

n = ? das S = 4000 Reemplazando valores d = 0.04/30 D = 500 n = 94 das aproximadamente. 2.1.1 Calculo del valor lquido.

P = S D Como D = S x d x n

P = S S x d x n El valor lquido de un titulo valor descontado bancariamente es el importe que recibe el descontante por el documento. En una operacin de descuento bancario, el valor lquido es menor a su respectivo valor presente, porque ha sido obtenido aplicando una tasa

D = S x d x n

DS x n

S =

DS x d

n =

P = S ( 1 d x n )



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anticipada sobre el monto o valor nominal de documento, el cual necesariamente es mayor al importe realmente recibido por el descontante. Ejemplo 4.- Cul ser el valor lquido a obtener por el descuento bancario de una letra con valor nominal de S/. 2000? La letra se descont 38 das antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple mensual del 5%. Solucin P = ? S = 2000 Reemplazando datos. d = 0,05 n = 38/30 P = 1873.33 2.1.2 Clculo del valor nominal Despejando S de Obtenemos la siguiente ecuacin.

Ejemplo 5.- Por qu monto deber girarse una letra originada por una venta de un artculo al crdito cuyo precio de contado es S/. 1500? La financiacin es a 60 das y sin cuota inicial. La letra se someter al descuento bancario simple a una tasa de descuento mensual del 4%. Solucin

S = ? P = 1500 Reemplazando valores. n = 2 d = 0, 04 S = 1630.43 2.2 Descuento bancario compuesto El descuento bancario compuesto consiste en una serie de clculos de descuentos simples donde, en primer trmino, se aplica el descuento por un perodo sobre el valor nominal de la deuda a su vencimiento, encontrando su valor lquido al final del primer perodo (evaluando de derecha a izquierda), o al comienzo del segundo perodo. A este valor obtenido se aplica el descuento por segunda vez encontrando su valor lquido pagadero dentro de dos perodos y as sucesivamente para todos los perodos del horizonte temporal, comprendido entre la fecha que se hace efectivo el abono del importe lquido del documento y la fecha del vencimiento de la deuda.

P = S ( 1 d x n )

P = S ( 1 d x n )

11 - d x n

PS =

11 - d x n

PS =



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2.2.1 Clculo del valor lquido

P 1 = S S x d = S ( 1 d ) P 2 = P1 - P1 d = P 1 ( 1 d ) = S ( 1 d ) ( 1 d ) = S ( 1 d )2 P 3 = P2 P2 d = P2 ( 1 d ) = S ( 1 d ) 2 ( 1 d ) = S ( 1 d )3 P n = P n-1 - P n-1 d = P n-1 ( 1 d ) = S ( 1 d ) n-1 ( 1 d ) = S ( 1 d ) n Ejemplo 6.- El 7 de marzo la empresa Entursa, correntista del Banco Americano, acept un pagar de S/. 9000 con vencimiento a 90 das. Cul fue el valor lquido que Entursa recibi en esa fecha si la tasa nominal anual de descuento fue 48%, con perodo de descuento bancario cada 30 das? Solucin P = ? S = 9000 Reemplazando datos. n = 3 d = 0.48/12 P = 7962.62 Ejemplo 7.- En el ejemplo anterior, considere que la compaa Entursa est preparando un informe mensual de las cargas financieras originadas en sus diversos prstamos vigentes, por lo que requiere conocer el importe de los descuentos mensuales generados en torno a su pagar descontado el 7 de marzo. Calcule dichos importes. Solucin

Fecha Das Valor LiquidoDescuentomensual

Descuento Acumulado

05 0606 0506 04

0

30 60

9000.008640.008294.40

360.00 345.60

0.00

360.00 705.60

S

Pn d P2 d P1 d

P1 = S ( 1 - d )P2 = S ( 1 - d ) ^2

P n = S ( 1 - d ) ^n

P = S ( 1 d ) n

P = S ( 1 d ) n

D = 331.78 D = 345.60 D = 36090 dias 60 30 0

7/3 6/4 6/5 5/67962.62 8294.40 8640 9000



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07 03

90 7962.62

331.78 1037.38

Ejemplo 8. Un pagar con valor nominal de S/. 5000 se descuenta bancariamente 6 meses antes de su vencimiento aplicando una tasa adelantada del 18% anual con capitalizacin mensual. Qu importe debe pagarse para cancelario 2 meses antes de su vencimiento? Solucin

P = ? S = 5000 Reemplazando datos. n = 2 d = 0.18/12 P = 4851.13 2.2.2 Calculo del valor nominal. Despejando S de la siguiente ecuacin: Obtenemos la formula siguiente: Ejemplo 9. La empresa Master.com requiere disponer de un valor liquido de S/. 5000. Para tal efecto utiliza su lnea de descuentos de pagares. Cul debe ser el valor nominal del documento con vencimiento a 60 das y a una tasa de descuento anual del 48% con periodo de descuento bancario mensual? Solucin. S = ? P = 5000 Reemplazando valores: n = 2 D = 0.48/12 S = 5425.35 2.2.3 Calculo del descuento bancario compuesto.

D = S P Como P = S ( 1 d ) n

D = S S ( 1 d ) n

5000

6 5 4 3 2 1 0

P = S ( 1 d ) n

P = S ( 1 d ) n

S = P ( 1 d ) - n

S = P ( 1 d ) - n



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Ejemplo 10. Halle el descuento bancario compuesto de una letra cuyo valor nominal es S/. 7000 y vence dentro de 45 das. La tasa nominal anual es 36% con periodo de descuento mensual. Solucin. D = ? S = 7000 reemplazando valores. n = 1.5 D = 0.36/12 D = 312.63

D = S 1 - ( 1 - d ) n

D = S 1 - ( 1 - d ) n



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3. Practica Nro. 03

Nota: Los siguientes problemas deben ser resueltos por los estudiantes, cualquier consulta lo realizaran por correo del Docente:

Descuento Bancario Simple. 1. Una letra con valor nominal de S/. 5000 se descuenta aplicando una tasa de

descuento del 12% anual faltando 38 das para su vencimiento. Halle el descuento bancario simple.

Respuesta: D = S/. 63,33. 2. El descuento bancario simple de un ttulo-valor, faltando 43 das para su vencimiento

ha sido de S/. 425 a una tasa de descuento anual del 15%, cul fue su valor nominal?

Respuesta: S = S/. 23720,93. 3. El descuento bancario simple de una letra que vence dentro de 72 das es de S/. 230

aplicando una tasa de descuento del 1 % mensual. Halle el valor nominal, de la letra. Respuesta: S = 9583,33.

4. A una letra cuyo valor nominal es de S/. 5000 y que vence dentro de 52 das se le ha efectuado un descuento bancario simple de S/. 260. Calcule la tasa mensual de descuento aplicada.

Respuesta: d = 3%. 5. Una letra presentada al descuento sufri una disminucin de su valor nominal del

3,5% faltando 60 das para su vencimiento. Cul fue la tasa anual de descuento bancario simple aplicada?

Respuesta: d = 21 %. 6. Cuntos meses falta para el vencimiento de una letra de S/. 4000 si se recibi S/.

3910, despus de haberla descontado a una tasa anual de descuento simple del 18%?

Respuesta: n = 1,5 meses. Valor liquido del descuento bancario simple. 7. Calcule el valor lquido de un pagar de S/. 9000 sometido a descuento bancario

simple faltando 65 das para su vencimiento y aplicando una tasa de descuento anual del 12%.

Respuesta: P = S/. 8805. 8. Un banco carga una tasa de descuento bancario simple del 12% anual en sus

operaciones. Si la empresa Horizonte- S.A. acepta un pagar de S/. 6000 con vencimiento a 70 das. qu importe lquido recibir del banco al descontarlo?

Respuesta: P = S/. 5860. 9. Qu importe lquido tendr un pagar con valor nominal de S/. 5000 sometido a

descuento bancario simple aplicando una tasa de descuento del 2% mensual, 3 meses antes de su vencimiento?

Respuesta: P = S/. 4700. Valor nominal de un ttulo valor en el descuento bancario simple 10. Por qu monto deber girarse una letra que vencer el 27 de febrero, para obtener

un monto lquido de S/. 5000 el 19 de enero, descontndola bancariamente a una tasa de descuento simple anual del 18%?

Respuesta: S = S/. 5099,44. 11. Cul ha sido el valor nominal de una letra, la cual descontada 37 das antes de su

vencimiento a una tasa de descuento bancario simple mensual del 2% ha permitido obtener un valor lquido de S/. 6700.

Respuesta: S = S/. 6869,45



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Valor lquido del descuento bancario compuesto 12. Calcule el valor lquido que obtendr una letra de S/. 5000, descontada

mensualmente aplicando una tasa de descuento bancario compuesto del 1,5% mensual faltando 52 das para su vencimiento.

Respuesta: P = S/. 4870,72. 13. Calcule el importe lquido a disponer hoy (19 de enero), por 2 letras de S/. 4500 Y S/.

7800 con vencimientos el 20 y 26 de febrero respectivamente. El banco las ha descontado a una tasa de descuento bancario compuesto del 2% mensual.

Respuesta: P = S/. 12006,99. 14. Un pagar con valor nominal de S/. 5000, y que vence dentro de 4 meses, ha sido

descontado bancariamente aplicando una tasa de descuento anual con perodo de descuento mensual del 36% para el primer mes y del 48% para los ltimos 3 meses. Cul ser su valor lquido?

Respuesta: P = S/. 4290,97. Valor nominal de un ttulo valor en el descuento bancario compuesto. 15. Cual ser el valor nominal de un pagar con vencimiento a 60 das a descontarse

hoy, si se quiere obtener un importe lquido de S/. 20000? La tasa de descuento bancario compuesto es del 9% anual con perodo de descuento mensual?

Respuesta: S = S/. 20303,41. 16. En el financiamiento de un auto cuyo precio de contado es de $ 10000, la institucin

financiera exige al cliente una cuota inicial de $ 4000, un pago adelantado de $ 1000 y una letra a 90 das por $ 5312,41, en la cual le han cargado una tasa de descuento bancario compuesto mensual del 2%. Si el cliente solicita que el importe de los $ 1000 se incluya en la letra a 90 das, cul ser el nuevo valor nominal de la letra?

Respuesta: S = $ 6374,89. 17. El precio de venta de un artculo es de S/. 1750. Por cunto tendramos que ofertarlo

para promocionar un descuento del 10% sobre dicho precio. Respuesta: S = S/. l 944,44.

18. El descuento bancario compuesto de un pagar de S/. 20000 con vencimiento a 90 das ha producido un valor lquido de S/. 18823,84 liquidando el descuento mensualmente. Determine la tasa nominal anual de descuento aplicada.

Respuesta: d = 24% anual. 19. Determine el tiempo que falta para el vencimiento de una letra de S/. 5000, la que

descontada bancariamente a una tasa de descuento del 12% anual liquidando los descuentos mensualmente, ha producido un valor lquido de S/. 4938,40.

Respuesta: n = 1,233443391 meses, 37 das. Descuento bancario compuesto 20. Un pagar con valor nominal de S/. 5000 se somete a descuento bancario compuesto

aplicando una tasa del 24% anual con perodo de descuento mensual, 3 meses antes de su vencimiento. Calcule los descuentos de cada mes. Prepare el cuadro de los descuentos peridicos.

Respuesta: S/. 100; S/. 98; S/. 96, 04. 21. Calcule el descuento bancario compuesto efectuado en una letra con valor nominal de

S/. 2500 faltando 37 das para su vencimiento, si a este ttulo-valor se le aplic una tasa anual del 18% con perodo de descuento mensual.

Respuesta: D = S/. 46,17.

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