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Ignacio F. Garcés | 2017

Agradecimientos: profesor Osvaldo Doña

MATEMÁTICA – CUARTO AÑO MEDIO

Lugares geométricos:

Secciones cónicas

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Índice

Introducción pág. 2

Cónicas o secciones cónicas pág. 3

↳ La circunferencia pág. 4

↳ La elipse pág. 5

↳ La hipérbola pág. 8

↳ La parábola pág. 10

Cuadro comparativo de cónicas pág. 12

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Introducción

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o

propiedades geométricas[1]. Es decir, son lugares (en el espacio o en el plano) de los que se pueden

aplicar propiedades o generar fórmulas con respecto a otros puntos, longitudes, etc.

Un ejemplo de lugar geométrico es el punto medio entre dos puntos, la bisectriz de un triángulo,

etc. En cónicas (también llamadas secciones cónicas), son lugares geométricos la hipérbola, la parábola,

la elipse y la circunferencia.

Nota: en este documento no se verá tan a profundidad las cónicas. Si quieres ver, por ejemplo, cónicas

inclinadas en el plano y más operaciones muy avanzadas de este tema, ve a: https://goo.gl/h60Ha9

[1] Fuente: Wikipedia.

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Cónicas o secciones cónicas

Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un plano con un cono, de la

forma que se muestra en la imagen, obteniéndose:

Imagen: http://descargas.pntic.mec.es

A continuación veremos cada una de estas cosas:

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Circunferencia

Ecuación principal o canónica

Forma: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

Donde r = radio ; centro de la circunferencia = (ℎ, 𝑘)

Cabe destacar el que el radio no puede ser negativo. Si 𝑟2 es menor que cero, entonces no sería una

fórmula de circunferencia.

Ecuación general

Forma: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Donde: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (𝑎, 𝑏) ; 𝐴 = −2𝑎 ; 𝐵 = −2𝑏 ; 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2

De esta ecuación deriva: 𝑟2 = (𝐴

2)2+ (

𝐵

2)2− 𝐶 → 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2

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Elipse

Elementos de la elipse horizontal

Es fundamental saber bien todos los elementos de la elipse:

Sea P(x,y) un punto cualquiera perteneciente a la elipse, se cumple siempre que la suma de las

distancias de P a los focos, da 2a.

Por lo anterior, por definición: 𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐

= 𝟐𝒂

Centro: es el medio de la elipse, donde el eje mayor y el eje menor se cruzan. Puede ser cualquier

punto del plano, incluyendo el origen (0,0).

a: es la distancia del centro a una intersección de la elipse con el eje mayor, o también la distancia de

un foco a B o B’. a siempre será mayor que b y c.

b: es la distancia del centro a una intersección de la elipse con eje menor.

c: es la distancia del centro a un foco.

a, b y c siempre estarán en una misma proporción, la cual es la siguiente: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

Vértices: en las imágenes, son A, A’, B y B’ (también llamados A1, A2, B1 y B2).

Eje menor: tiene una longitud de 2b.

Eje mayor: tiene una longitud de 2a, y en él se encuentran los focos.

Eje focal: se encuentra en el eje mayor y mide 2c, longitud que también es llamada distancia focal.

El semieje mayor, el semieje menor y el semieje focal son la mitad de los ejes.

Focos: son dos puntos F1 y F2, o también representados como F y F’. Las coordenadas de los focos y de

los vértices se obtienen como se muestra en la imagen superior derecha. (Si el centro es (0,0))

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Radio vector: es la distancia de un punto cualquiera de la elipse

a un foco.

Lado recto (LR): es una prolongación perpendicular al eje mayor

y que pasa un foco, hasta tocar la elipse, como se muestra en

la imagen de la derecha.

Su lungitud de calcula como: 𝐿𝑅 = 2 •𝑏2

𝑎

El segmento recto es la mitad del lado recto.

Excentricidad (e): es un número entre el 1 y el 0 que representa cuán estirada o contrída es la elipse. Se

calcula de la siguiente manera: 𝑒 = 𝑐𝑎⁄ , o también 𝑒 = √1 − (𝑏 𝑎⁄ )2

Cabe destacar que, si a es igual a b, entonces la ecuación describiría en realidad a una

circunferencia. Lo mismo sucede si la excentricidad (e) es igual a cero.

Por supuesto, a, b y c no son negativos, porque representan distancias.

En todas las imágenes anteriores, se han visto elipses con centro en el origen, pero, los vértices

de una elipse con centro en (𝒉, 𝒌), por ejemplo, se deben trasladar las coordenadas según el

vector �� (𝒉, 𝒌); por ejemplo, quedando los focos en (h+c, k) y en (h-c, k), y así con todos los

vértices.

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La elipse vertical

La elipse, al ser vertical, cambia de la siguiente forma:

Los elementos de la elipse se calculan de manera similar.

Ecuación principal o canónica de la elipse

Las fórmulas para una elipse horizontal y vertical, con centro en (𝒉, 𝒌), son las siguientes:

Forma horizontal: (𝑥−ℎ)2

𝑎2 +(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1

Forma vertical: (𝑦−𝑘)2

𝑎2 +(𝑥−ℎ)2

𝑏2 = 1 (lo de arriba cambia de lugar)

a, b y c se calculan normalmente, y luego, si el centro no es el origen, los vértices y los focos se

trasladan según el vector 𝑣 (ℎ, 𝑘) para poder calcular sus coordenadas respectivas en el plano

cartesiano.

Se puede identificar si una elipse es vertical u horizontal buscando a. Como a es mayor, a2 será

mayor, y si se encuentra debajo de (𝑥 − ℎ)2, significa que es horizontal.

Ecuación general de la elipse

Forma: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Donde A y B deben tener el mismo signo. Esta ecuación se obtiene a partir del desarrollo de la

principal.

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Hipérbola

Elementos de la hipérbola

La hipérbola tiene varias similitudes con la elipse.

Cualquier punto de la hipérbola cumple que, al medirse su distancia hacia ambos focos, y luego restarse,

se obtiene 2a.

Por lo anterior, por definición: |𝑷𝑭𝟏 − 𝑷𝑭𝟐

| = 𝟐𝒂

a, b y c representan lo mismo que en la elipse, pero su relación difiere: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, por lo que c

siempre será mayor que b y a

Eje principal o real: en él se encuantran los focos y A junto con A’. (es como el eje mayor en la elipse)

Eje focal: mide 2c. En él está el eje real.

Eje secundario o imaginario: en él se posicionan B y B’.

Centro: lugar donde el eje real y el imaginario se cortan.

Focos: al igual que en la elipse, se encuentran a una distancia c del centro.

Asíntotas: son rectas que se acercan pero que nunca tocan a la hipérbola. Sus ecuaciones son ls

siguientes dos: 𝑦 =𝑏

𝑎𝑥 , 𝑦 = −

𝑏

𝑎𝑥

Excentricidad (𝒆): es un número entre el 0 y el 1 que representa cuán estiradas o contraídas están las

ramas de la hipérbola. Se calcula igual que en la elipse: 𝑒 = 𝑐𝑎⁄

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Ecuación principal o canónica de la hipérbola

Se asemeja mucho a la de la elipse, solo que ésta tiene resta en lugar de suma. Estas fórmulas aplcican

a una hipérbola con centro en (ℎ, 𝑘):

Forma horizontal: (𝑥−ℎ)2

𝑎2 −(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1

Forma vertical: (𝑦−𝑘)2

𝑎2 −(𝑥−ℎ)2

𝑏2 = 1 (cambia de lugar lo de arriba)

Ecuación general de la hipérbola

Es idéntica a la ecuación general de la elipse, con la diferencia de que A y B deben tener signos

opuestos.

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

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Parábola

Elementos de la parábola

Es un lugar geométrico en el que todos los puntos están a la misma distancia de una recta llamada

directriz y un punto llamado foco.

Por lo tanto, por definición: 𝑷𝑭 = 𝑷𝒅 donde 𝑃: punto cualquiera

Cuando se habla de la distancia de un punto a la recta directriz, se refiere a la menor distancia posible,

es decir, la medida de un segmento perpendicular a la directriz, como se muestra en las imágenes.

Directriz (d): es una recta perpendicular al eje focal. Su ecuación es 𝒙 = −𝒑

𝟐

Parámetro (p): (No confundir con P de punto cualquiera) Es la distancia entre el foco y la directriz. Es

decir, es la semidistancia entre el foco y el vértice o la directriz y el vértice (mirar imagen superior

izquierda)[2].

Eje focal o de simetría: es una recta perpendicular a la directriz. El foco está en este eje.

Vértice: es el punto en donde la parábola corta al eje focal, y donde está más cerca del foco y de la

directriz.

Foco: en la parábola hay un único foco, que se encuentra a una distancia 𝑝

2 del vértice, por lo que, si el

vértice está en (ℎ, 𝑘); las coordenadas del foco serán: (𝒉 +𝒑

𝟐, 𝒌)

[2] En este caso tomaremos la distancia entre el foco y la directriz como p, pero hay libros que muestran esta distancia como 2p. E no interesa, ya que en realidad no habrá diferencia en cuanto a los valores. de la ecuación, aunque la ecuación principal sea distinta.

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Radio vector: es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Cuerda focal: es u segmento que pasa al foco y toca en dos puntos a la elipse.

Lado recto (LR): es una cuerda focal que es perpendicular al eje focal. El lado recto mide 𝟒𝒑.

Ecuación principal o canónica de la parábola

Sea el vértice de la parábola en (ℎ, 𝑘):

Forma hotrizontal: (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑝(𝑥 − ℎ)

Forma vertical: (𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘)

Ecuación general de la parábola

Siempre será: 𝑦2 − 𝐴𝑥 − 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Para obtener esta expresión, se desarrolla la ecuación principal y se iguala a 0, tal como en las otras

cónicas.

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Cuadro comparativo de cónicas

Ecuación principal

Ecuación general

Circunferencia

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Elipse

(x−h)2

a2+

(y−k)2

b2= 1 horizontal

(y−k)2

a2+

(x−h)2

b2= 1 vertical

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Hipérbola

(x−h)2

a2−

(y−k)2

b2= 1 horizontal

(y−k)2

a2−

(x−h)2

b2= 1 vertical

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Parábola

(y − k)2 = 2p(x − h) horiz.

(x − h)2 = 2p(y − k) vertical

y2 − Ax − By + C = 0