Matematica 4to basico

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

Maritza Moroni GálvezJacqueline Rubilar Mora

Texto para el Estudiante

Matemática

4oBásico

Autoras

Maritza Moroni GálvezProfesora de Educación General Básica, Universidad de Playa Ancha

Psicopedagoga, Universidad Mayor

Jacqueline Rubilar MoraProfesora de Educación General Básica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Mención en Educación Matemática, Universidad Mayor

Matemática 4° BásicoTexto para el Estudiante

AutorasMaritza Moroni GálvezJacqueline Rubilar Mora

EdiciónDaniel Catalán Navarrete

Asistencia editorialDeysma Coll Herrera

Coordinación de producciónCynthia Díaz Godoy

DiseñoEquipo editorial

DiagramaciónFrancisca Urzúa Provoste

IlustracionesFernando Urcullo Muñoz

Corrección de estiloÁlex Ortega Toledo

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otro método sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

© McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE CHILE LTDA. para esta edición.Evaristo Lillo 112, piso 7°, Las Condes.Santiago de Chile Teléfono 56-2-6613000ISBN: 978-956-278-226-5N° de inscripción: 186.524Impreso en Chile por: WorldColor ChileSe terminó de imprimir esta 1ª Edición de la 1ª Reimpresión de 114.214 ejemplares, en el mes de noviembre de 2010.

3Bienvenida

Bienvenida

Para iniciar el recorrido que te propone este texto te invitamos a completar el siguiente cuadrado mágico. Debes incorporar números de manera que las filas, las columnas y las diagonales sumen 34:

A continuación, completa con tus datos personales:

16 35 11 89 6 12

15 1

Mi nombre es

Mi curso es el 4o

Estudio en de la comuna

de de la ciudad de

Nací el de del año

Tengo años y meses

Vivo en

4 Conociendo mi libro

Desarrollo mis aprendizajesPáginas de contenido que te irán aportando nuevos conocimientos y habilidades para desarrollar tu espíritu matemático.

Rescato mis conocimientosDos páginas que te plantean

actividades matemáticas para medir qué tanto recuerdas de lo que

aprendiste el año pasado.

Entrada a la unidadDos páginas donde encontrarás una situación inicial que motivará tu trabajo y que te permitirá acercar las matemáticas a tu experiencia cotidiana.

Conociendo mi libroEn este libro hallarás:

Profundizando…Dos páginas en las que podrás

encontrar algunos de los temas más complicados vistos en la unidad

y también ejercicios para que practiques las estrategias propuestas

en ellas.

5Conociendo mi libro

Junto a los contenidos hallarás:

Resuelvo problemasUna de las páginas te ofrece un método sencillo para resolver problemas y la otra te propone un problema para que apliques el método.

Evalúo qué aprendíUna de las páginas contiene una

actividad que te permitirá resumir los temas vistos en la unidad y la otra

te da la oportunidad de demostrar que has comprendido las lecciones

planteándote ejercicios de aplicación.

Mide cuánto vas aprendiendo.

Te propone divertidos ejercicios.

Desafío al ingenio

Te entrega información

complementaria.

¿Sabías que...?

Refresca tu memoria.

Recuerda

Te indica cómo resolver operaciones

con calculadora.

6 Índice

Operaciones con números hasta 1 000 000

Entrada a la unidad .................... 8 y 9Rescato mis conocimientos .....10 y 11Desarrollo mis aprendizajes

Escritura de números y secuencias ............................12 y 13

Números en la recta numérica ..............................14 y 15

Valor posicional y redondeo ....16 y 17Estrategias de adición .............18 y 19Estrategias de sustracción ...... 20 y 21La multiplicación y sus

propiedades ........................ 22 y 23Estrategias de multiplicación .. 24 y 25La división ............................. 26 y 27

Profundizando… .................... 28 y 29Resuelvo problemas ............... 30 y 31Evalúo qué aprendí

Síntesis de la unidad ......................32Evaluación ..................................... 33

Utilización de números hasta 1 000 000

Entrada a la unidad ................ 34 y 35Rescato mis conocimientos .... 36 y 37Desarrollo mis aprendizajes

Información numérica y secuencias ........................... 38 y 39

Números y recta numérica ..... 40 y 41Equivalencias monetarias y

redondeo ............................ 42 y 43Otras estrategias de adición ... 44 y 45

Otras estrategias de sustracción .......................... 46 y 47

Más propiedades de la multiplicación ...................... 48 y 49

Relación entre la multiplicación y la división ......................... 50 y 51

Operaciones combinadas ....... 52 y 53Profundizando… .................... 54 y 55Resuelvo problemas ............... 56 y 57Evalúo qué aprendí


Geometría


Medición de ángulos ............. 64 y 65Cuerpos geométricos

y redes ................................ 66 y 67Representación de cuerpos

geométricos ........................ 68 y 69Vistas y redes de cuerpos ....... 70 y 71Superficie de figuras

geométricas ........................ 72 y 73Área de cuadrados y

rectángulos ..........................74 y 75Area de cuerpos geométricos . 76 y 77

Profundizando… .................... 78 y 79Resuelvo problemas ............... 80 y 81Evalúo qué aprendí


Índice

1Unidad

2Unidad

3Unidad

7Índice

Las fracciones


Partes de un todo .................. 88 y 89Significado, lectura y escritura

de 12 y 13 .............................. 90 y 91

Significado, lectura y escritura

de 14 y 18 .............................. 92 y 93


de 34 y 23 .............................. 94 y 95


de 110 y 1

100 ...................... 96 y 97

Más fracciones ....................... 98 y 99Recta numérica y orden ......100 y 101Uso de fracciones ................102 y 103

Profundizando… .................104 y 105Resuelvo problemas ............106 y 107Evalúo qué aprendí

Síntesis de la unidad .................... 108Evaluación ................................... 109

Los números decimales

Entrada a la unidad ..............110 y 111Rescato mis conocimientos ..112 y 113Desarrollo mis aprendizajes

Decimales y su significado .. 114 y 115

Decimales y fracciones decimales ..........................116 y 117

Igualdades y expresión decimal de una fracción ... 118 y 119

Números decimales en la recta numérica .................120 y 121

Comparación de números decimales .........................122 y 123

Uso de los números decimales .........................124 y 125



Organizando información

Entrada a la unidad ............. 132 y 133Rescato mis conocimientos . 134 y 135Desarrollo mis aprendizajes

Datos ordenados ................. 136 y 137Ordenando información ..... 138 y 139Lectura de gráficos

de barras ..........................140 y 141Representación gráfica de

información ...................... 142 y 143Uso de tablas y gráficos ......144 y 145



Recortables ................................... 152

4Unidad

5Unidad

6Unidad

Operaciones con números

hasta 1 000 0001

En esta unidad aprenderás a:Leer y escribir números hasta 1 000 000 y establecer relaciones de orden. £

Reconocer el valor posicional de un dígito en un número. £

Operar números aplicando estrategias de cálculo mental y escrito. £

Identificar y aplicar las propiedades de las operaciones aritméticas. £

Estimar el resultado de operaciones a partir del redondeo de números. £

8

9

Observa y responde:

¿Crees que los animales están recibiendo una adecuada atención?

Ordena los números que aparecen en la ilustración de menor a mayor.

Si al perrito le van a atender una herida menor y al gatito lo van a despa-rasitar, ¿cuánto tendrán que pagar los niños?

¿Tienes mascotas? ¿Cuál es tu favorita?

10 Unidad 1

Números mágicosMientras el veterinario examinaba las mascotas, los niños encontraron en el

mesón un libro que les llamó la atención. Al hojearlo, descubrieron una entrete-nida actividad, que no pudieron realizar. Veamos si tú eres capaz...

Instrucciones:Recorta las tarjetas numeradas de la página 153. ,

Sobre tu escritorio, combínalas en filas de tres formando un cuadrado, de ma- ,

nera que al sumarlas en forma vertical, horizontal y diagonal sumen siempre 150 000.Como ya lo lograste, ahora ubícalas y pégalas a continuación en los casilleros ,

correspondientes:

Rescato mis conocimientos

10

11Operaciones con números hasta 1 000 000

1

11

1Desarrolla las siguientes actividades a partir del juego Números mágicos:

Escribe con palabras los números de la primera columna:

Ordena de mayor a menor los números de las tarjetas:

Escribe los números del juego en la siguiente tabla. Completa con el antece-sor y el sucesor según corresponda:

Antecesor Número Sucesor

¿Cuál es la diferencia entre la suma de las tres columnas menos la suma de la primera fila? Escríbela como número y con palabras.

Número:

Con palabras:

¿A cuántas centenas equivale el número central de tu juego?

Equivale a centenas.

¿A cuántas decenas equivale el número del extremo superior derecho de tu juego?

Equivale a decenas.

12 Unidad 1

Animal Precio escrito con palabras

Desarrollo mis aprendizajes

Escritura de números y secuenciasEn la clínica veterinaria cuentan con un catálogo de

animales exóticos que se encuentran a la venta:

1

Responde: 1.

¿Cuál es el animal más caro? ¿Y el más barato? a) y

¿Cuál es la diferencia de precio entre el animal más b) caro y el más barato?

Si quisieras comprar un tucán y un perro, ¿cuánto c) dinero necesitarías?

Escribe con palabras los precios de los siguientes ani-2. males del catálogo:

$ 383 000 $ 135 500 $ 750 000 $ 550 500

Un veterinario debió

atender tucanes y perros.

Si entre ambas especies

sumaban 12 patas y 10

ojos, ¿cuántos tucanes y

cuántos perros eran?

Desafío al ingenio

El ábaco es un instru-mento que consiste en cierto número de cuentas colocadas en varillas. Se utiliza para calcular y es considerada la más an-tigua de las herramientas de cálculo.

¿Sabías que...?


1Completa las siguientes secuencias numéricas de 3. acuerdo a la clave dada:

La clave es sumar 100 000.a)

250 000 450 000 750 000

La clave es sumar 10 000.b)

680 000690 000

La clave es sumar 1 000.c)

978 000 979 000

La clave es sumar 100.d)

174 300 174 600

La clave es sumar 10.e)

865 350 865 390

Indica la clave ocupada en las siguientes secuencias:4.

a)

Clave: .

b)

Clave: .

c)

Clave: .

108 367 118 367 128 367 138 367 148 367

996 578 996 698 996 818 996 938 997 058

204 820 204 920 205 020 205 120 205 220

En una secuencia numérica aditiva la clave o patrón indica la cantidad que se debe agregar a un término para obtener el siguiente.

¿Qué número va a la de-recha en la siguiente se-cuencia?

A. 12 046B. 12 044C. 12 045

12 029 12 037 ?

Para generar una secuen-cia aditiva con la calcu-ladora, anotas el primer término de la secuencia y vas sumando la clave o patrón numérico. Por ejemplo:15 10 = 2525 10 = 3535 10 = 4545 10 = 5555 10 = 65Etcétera.

14 Unidad 1

30 000 70 000


Números en la recta numéricaLa clínica veterinaria está habilitada para realizar algu-

nos tipos de cirugías:

2

Listado de cirugías

Parto cesárea: $ 80 000Cataratas: $ 20 000Heridas menores: $ 10 000

Corte de cola: $ 40 000Corte de orejas: $ 60 000Esterilización: $ 50 000

Escribe con palabras los precios de:1.

Esterilización: a)

Parto cesárea: b)

Heridas menores: c)

Corte de cola: d)

Cataratas: e)

Corte de orejas: f)

Ubica en la recta numérica los precios de las cirugías 2. de menor a mayor. Luego responde:

¿Cuál es la cirugía de mayor precio?a)

¿Para qué cirugía necesitas menos dinero?b)

¿Qué cirugías tienen menor precio que un corte de c) cola?

¿Qué cirugías tienen mayor precio que un corte de d) orejas?

Vicente utilizó en una

operación matemática

6 veces el número 1 y

tres veces el signo +,

obteniendo como resul-

tado el número 24. ¿Qué

combinación de números

y signos + utilizó para

obtener este resultado?

Trabaja con tu calcula-

dora y anota en tu cua-

derno el procedimiento

llevado a cabo.

Desafío al ingenio


1

El patrón numérico o clave en este caso es sumar 200.

a)

El patrón numérico o clave es:

b)

El patrón numérico o clave es:

Escribe en la tabla, el antecesor y el sucesor según 3. corresponda:

Cirugías Antecesor Precio [$] SucesorHeridas menores 10 000Corte de orejas 60 000Parto cesárea 80 000

Cataratas 20 000Corte de cola 40 000

El antecesor de un número natural es aquel que se obtiene al restar 1 unidad al número.El sucesor de un número natural es aquel que se ob-tiene al sumar 1 unidad al número.

Completa las rectas numéricas, donde el patrón sea 4. igual en todos los intervalos. Fíjate en el ejemplo:

El periodo de gestación de algunos animales es:

Ballena: 11 - 12 meses. �Caballo: 340 - 345 días. �Cerdo: 115 días. �Gallina: 21 días. �Oveja: 5 meses. �Gato: 63 días. �Elefante: 22 meses. �Pato: 4 semanas. �Foca: 11 meses. �Perro: 9 semanas. �Águila: 7 semanas. �Cisne: 5 semanas. �Chimpancé: 8,5 meses. �

¿Sabías que...?

5 500 7 500 8 500

200 1 100 2 000

200 400 600 800

Intervalo

400 – 200 = 200

16 Unidad 1


Valor posicional y redondeo3

Observa la siguiente tabla de la producción ganadera de la X Región:

ProvinciaLlanquihue Chiloé Osorno Palena

GanadoBovino 355 043 105 433 507 515 28 346Ovino 80 374 111 498 62 584 26 487

Porcino 29 598 37 072 27 305 3 090Equino 8 6 1 1 5 4 3 1 10 0 1 9 2 004Caprino 4 692 1 404 8 1 7 6 854

*FUENTE: Atlas Geográfico para la Educación - Edit. IGM 2007

Responde:1.

¿En qué provincia se produce la mayor cantidad de a) ganado ovino?

¿Qué tipo de ganado es el de menor producción en b) la X Región?

Escribe el antecesor de la cantidad de ganado por-c) cino, producido en la provincia de Palena.El antecesor de es .

El ganado es el conjunto

de animales criados por

el hombre para la pro-

ducción de carne, leche

y sus derivados.

Entre los tipos de ganado

encontramos:

Bovino: vacas y toros.

Ovino: ovejas.

Porcino: cerdos.

Equino: caballos.

Caprino: cabras.

Recuerda


1La producción de bovinos en Llanquihue fue de

355 043 ejemplares. Este número lo podemos descom-poner de dos formas:

Descomposición según valor posicional: ,

Número CM DM UM C D U355 043 3 5 5 0 4 3

Descomposición equivalente a unidades: ,

Número U U U U U U355 043 300 000 50 000 5 000 0 40 3

Escribe la descomposición equivalente a unidades del 2. siguiente número y luego redondéalo a la UM:

Número U U U U U U507 515

Número redondeado:

507 515 corresponde a la producción de

de la provincia de .

Forma los números que corresponden a las descom-3. posiciones y redondéalos a la C:

0C + 2U + 7D + 3DM + 7UM = a)

Número redondeado:

4D + 0DM + 8C + 5UM + 9U + 6CM = b)

Número redondeado:

La descomposición aditiva de un número se puede realizar según:

Valor posicional: ,

346 823 = 3CM + 4DM + 6UM + 8C + 2D + 3UEquivalencia a unidades: ,

346 823 = 300 000 + 40 000 + 6 000 + 800 + 20 + 3

Redondear es aproximar una cantidad al valor po-sicional más cercano, de acuerdo a lo solicitado. Por ejemplo:el número 4 218, redon-deado a la decena es 4 220, ya que el dígito siguiente a la decena -el 8- es mayor que 5, por lo que el 1 aumenta a 2.El número 8 563 redon-deado a la decena, es 8 560; ya que el dígito siguiente a la decena -el 3- es menor que 5, por lo que el 6 mantiene su valor.

Recuerda

La descomposición según el valor posicional del nú-mero 114 005 es:A. 10CM + 10DM + 4C +

5UB. 1CM + 1DM + 4UM +

5UC. 11UM + 40D + 5U

18 Unidad 1

Estrategias de adiciónUn grupo de amigas compró un software educativo

relacionado con el reino animal. Cada una de las niñas eligió un grupo de animales y fue respondiendo las pre-guntas que el programa les planteaba acerca de él. Por cada respuesta correcta las jugadoras iban ganando un puntaje determinado. Amanda eligió las aves, Marcela eligió los mamíferos y Consuelo eligió los reptiles. Tras jugar media hora, los puntajes obtenidos por cada niña son los siguientes:

4


¿Cuál de las niñas obtuvo el mayor puntaje?1.

¿Cuánto suman los puntajes de Amanda y Consuelo?2.

A continuación, vamos a sumar los puntajes obtenidos por Amanda y Consuelo, es decir, 248 154 + 592 678. Lo haremos de dos formas diferentes:

Por descomposición de los sumandos: ,

Los términos de una adi-ción son:

sumando

sumando

suma

Recuerda

18+ 321

Para comprobar adiciones de números grandes es útil que ocupes una calcu-ladora. Por ejemplo, para sumar en ella 248 154 y 592 678; debes digitar 248 154, presionar la tecla y luego digitar 592 678. El resultado lo obtendrás tras presionar la tecla : 840 832.

248 154 200 000 + 40 000 + 8 000 + 100 + 50 + 4+ 592 678 500 000 + 90 000 + 2 000 + 600 + 70 + 8

(700 000 + 130 000) + 10 000 + (700 + 120) + 12

(830 000 + 10 000) + (820 +12)

840 000 + 832

840 832


1Por descomposición de uno de los sumandos y cálculo ,

mental:Descomponemos el segundo sumando y sumamos

los dígitos del mismo color de ambos términos, man-teniendo los ceros:

248 154 + 500 000 + 90 000 + 2 000 + 600 + 70 + 8

(700 000 + 130 000) + 10 000 + 700 + 120 + 12

830 000 + 10 000 + (700 + 120) + 12

840 000 + (820 + 12)

840 000 + 832

840 832

3. Resuelve en tu cuaderno las siguientes adiciones, apli-cando en cada una, las dos estrategias aprendidas:

378 162a) + 425 793

621 530b) + 13 1 769

148 403c) + 592 609

2 + 8 = 10a)

20 + = 100

200 + 800 =

+ =

+ 80 000 =

6 + 8 = b)

+ 80 =

+ =

6 000 + =

+ =

Las estrategias de adición se basan en la descompo-sición de los dos sumandos y en la descomposición de uno de los sumandos.

Los antiguos chinos re-presentaban los números con varillas de bambú y la operación que estudiaron con mayor profundidad fue la adición.

¿Sabías que...?

El resultado de la adición 34 723 + 152 007 es:A. 186 731B. 186 730C. 186 830

4. Completa:

20 Unidad 1

Estrategias de sustracciónAl terminar la visita al zoológico, las niñas pasaron

por las oficinas de recaudación, donde el encargado les mostró una pizarra con los ingresos semanales. En ella falta el total. Calcúlalo y escríbelo en la siguiente tabla:

Concepto Ingresos martes a domingoEntradas $ 951 500Souvenir $ 425 382Comida $ 268 483Total $

Responde:1.

¿Qué significa la palabra ingresos? ¿Cuál es su an-a) tónimo?

¿Cuál fue el total de ingresos de la semana? Escríbe-b) lo con números y luego con letras.Con números: Con palabras:

¿Sabes por qué el día lunes no se consideró dentro c) de la semana? Menciona la razón.

Ahora observa y comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes estrategias para restar 668 483 – 425 382:

Descomposición aditiva del minuendo y del sustraendo: ,

5


668 483 b 600 000 + 60 000 + 8 000 + 400 + 80 + 3– 425 382 b – 400 000 + 20 000 + 5 000 + 300 + 80 + 2

200 000 + 40 000 + 3 000 + 100 + 0 + 1

243 101

Los términos de una sus-tracción son: minuendo sustraendo resta o diferencia

Recuerda

Los incas unían trozos de

cuerdas de vivos colores

por medio de nudos. Cada

uno de estos nudos era

un número y al conjunto

lo llamaban quipo.

¿Sabías que...?

27– 13

14


1Descomposición aditiva del sustraendo: ,

668 483 – 425 382 =(668 483 – 400 000) – 20 000 – 5 000 – 300 – 80 – 2 =(268 483 – 20 000) – 5 000 – 300 – 80 – 2 =(248 483 – 5 000) – 300 – 80 – 2 =(243 483 – 300) – 80 – 2 =(243 183 – 80) – 2 =243 103 – 2 =243 101

Responde con tus propias palabras:2.

¿En qué consiste la primera descomposición? a)

¿En qué consiste la segunda descomposición? b)

¿Qué estrategia te parece más sencilla?c)

Completa aplicando la estrategia de descomposición 3. de minuendo y sustraendo:

539 425 b 500 000 + + + + +

– 127 210 b – 100 000 + + + + +

+ + + + +

Las estrategias de sustracción se basan en la des-composición aditiva del minuendo y el sustraendo y en la descomposición aditiva del sustraendo.

¿Cuál es el resultado de 986 441 – 136 431?A. 850 001B. 850 100C. 850 010

22 Unidad 1

La multiplicación y sus propiedadesEn la siguiente tabla se observa el registro de naci-

miento de crías de algunos ejemplares representativos de una granja de la ciudad de Osorno:

6


Años

2005 16 8 5 82006 13 10 12 72007 14 12 15 92008 10 13 10 3

Cantidad de crías

por animal

2 terneros cada una

3 corderos cada una

6 cerditos cada una

10 conejos cada una

Analiza la tabla anterior y responde de acuerdo a 1. ella:

¿Cuántos corderos nacieron en el 2007?a) Nacieron corderos.

¿Cuántos cerditos nacieron en los cuatro años?b) Nacieron cerditos.

Compara la cantidad de corderos nacidos en el c) 2006 y la de conejos nacidos en el 2008.

Realiza las siguientes multiplicaciones y analiza los re-2. sultados obtenidos:

10 · 3 = a) y 3 · 10 =

17 · 4 = b) y 4 · 17 =

Esta propiedad se llama conmutativa y expresa que el orden de los factores no altera el producto.

A las crías de las ove-jas se les llama corde-ro hasta el primer año de vida.

¿Sabías que...?

Los términos de una multiplicación son:

Factor Producto

2 · 4 = 8 Factor

Recuerda


1

Resuelve cada multiplicación y escribe el nombre de 4. la propiedad aplicada en cada caso:

125 · a) = 5 · 125 Propiedad:

=

(80 · 3) · 6b) = · (3 · 6) Propiedad:

· 6 = ·

=

Inventa, escribe y resuelve junto a un compañero o 5. compañera, dos ejercicios donde se apliquen las pro-piedades estudiadas:

Completa resolviendo las multiplicaciones y luego 3. analiza los resultados:

(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)

· 5 = 2 ·

=

Esta propiedad se llama asociativa y expresa que, al agrupar con paréntesis los factores ya sea por la de-recha o por la izquierda, manteniendo su orden, el producto es el mismo.

Propiedad conmutativaa) Propiedad asociativab)

El primer instrumento de cálculo del ser humano fue su mano. Fíjate que muchas personas aún re-curren a ella para sumas y restas sencillas.

¿Sabías que...?

¿Qué propiedad muestra el siguiente ejercicio?(12 · 4) · 2 = (4 · 12) · 2

A. AsociativaB. Elemento neutroC. Conmutativa

24 Unidad 1

Estrategias de multiplicaciónDon Carlitos tiene una distribuidora de diarios, revis-

tas y álbumes. En la bodega hay 3 cajas de álbumes em-balados, donde cada una tiene 2 312 álbumes; y 2 cajas con 5 421 sobres de láminas cada una.

¿Cuántos álbumes hay en total para repartir?1.

La respuesta a esta pregunta se puede obtener de dos formas distintas. Observa y luego comenta:

Por descomposición aditiva de un factor: ,

2 312 · 3 b (2 000 + 300 + 10 + 2) · 3

b (2 000 · 3) + (300 · 3) + (10 · 3) + (2 · 3)

b 6 000 + 900 + 30 + 6

b 6 936

Por el método reducido: ,

2 3 1 2 · 3 6 9 3 6

Hay álbumes.

Responde:2.

¿Qué diferencia existe entre las dos formas de resol-a) ver el ejercicio?

¿Qué forma de resolución te gustó más? ¿Por qué?b)

Resuelve las siguientes multiplicaciones ocupando el 3. método que prefieras:

7


Descubre el número:Es un número impar. �No tiene el dígito 3. �El dígito de la C es 9. �Todos sus dígitos son �diferentes.La suma de todos sus �dígitos es 24. Es mayor que 51 000 �y menor que 52 000.

El número es:

Desafío al ingenio

4 326a) · 2 1 232b) · 4 245 632c) · 5


1¿Cuántos sobres hay en total para repartir en la distri-4. buidora de don Carlitos?

Por descomposición aditiva de un factor:a)

Por método reducido:b)

Hay sobres.

¿Qué sucedería en caso de ser 30 cajas de álbumes y 5. 20 cajas de sobres con láminas del álbum?

Habrían álbumes.

Habrían sobres.

Escribe junto a un compañero o compañera cuatro 6. números de 5 cifras. Luego, multiplica cada uno de ellos consecutivamente por 2, 3, 4 y 5.

Trabaja en tu cuaderno usando el método que pre-fieras.

Al colegio llegaron 5 pa-quetes de hojas con 5 835 hojas cada uno. En total llegaron:A. 29 175 hojasB. 39 175 hojasC. 19 175 hojas

26 Unidad 1

La división Mónica necesita leer las 84 páginas de un libro en

una semana. Si desea leer la misma cantidad cada día, ¿cuántas páginas debe leer diariamente para completar la lectura?

8


Los términos de una di-

visión son: Dividendo Cociente

12 : 3 = 4

Divisor

Recuerda

La situación consiste en un problema de reparto equi-tativo. Como una semana consta de 7 días, debemos distribuir las 84 páginas en 7 grupos de la misma canti-dad de páginas.

Observa la siguiente estrategia:

84 – 7 = 7777 – 7 = 7070 – 7 = 6363 – 7 = 56

56 – 7 = 4949 – 7 = 4242 – 7 = 3535 – 7 = 28

28 – 7 = 2121 – 7 = 1414 – 7 = 77 – 7 = 0

Si contamos las veces que fue necesario restar 7 con-cluiremos que Mónica debe leer 12 páginas por día.

La estrategia seguida nos permitió resolver la división:

84 : 7 = 12

Si dispusiera de dos semanas en lugar de una para 1. leer el libro, ¿cuántas páginas necesitaría leer diaria-mente?

Si el libro de Mónica tuviera 126 páginas, ¿cuántas 2. debería leer por día para acabar en una semana?

Cuando necesites realizar muchos cálculos puedes auxiliarte de una calcula-dora. Por ejemplo:84 7 = 7777 7 = 7070 7 = 6363 7 = 56Etcétera.


1En un zoológico hay 40 aves exóticas, las cuales deben 3. ser repartidas en jaulas de 5 aves cada una. ¿Cuántas jaulas se necesitan?

Para resolver este problema tenemos dos alternativas:

Buscar el factor desconocido en la multiplicación: ,

5 · = 40

¿Qué número multiplicado por 5 da 40?

El factor desconocido es .

Por lo tanto, se necesitan jaulas.

Buscar el cociente de esta división: ,

40 : 5 =

El cociente es .

Por lo tanto, se necesitan jaulas.

La enfermera de una clínica veterinaria tiene 2 cajas 4. con jeringas. En una caja hay 42 jeringas y en la otra 57 y necesita repartirlas en 9 dispensadores de forma equitativa. ¿Cuántas jeringas debe colocar en cada dispensador? Comprueba tu respuesta.

Dos niños fueron al zoo-lógico y decidieron contar las patas de algunos ani-males. El niño contó 300 patas de animales negros y la niña 204 patas de ani-males blancos.Si cada animal tenía 4 pa-tas, entre el niño y la niña contaron:A. 24 animalesB. 150 animalesC. 126 animales

Cuando un número se di-vide por 1, el resultado es el mismo número:8 : 1 = 821 : 1 = 21

¿Sabías que...?

28 Unidad 1

Profundizando…

SecuenciasAnaliza la siguiente secuencia y descubre su patrón numérico:

50 754 60 754 70 754 80 754 90 754

En la secuencia la clave es 10 000 y la operación aplicada es la adición.Sin embargo, no solo se forman secuencias a partir de la adición, tam-

bién se pueden construir a partir de la sustracción, la multiplicación y la división e incluso usando combinaciones de ellas.

Observa la siguiente secuencia:

40 81 163 327 655

En ella el patrón consiste en “multiplicar por 2 y luego sumar 1”.

PracticaEncuentra la clave y la operación de cada secuencia y complétalas:1.

a)

Clave: Operación:

b)

Clave: Operación:

Crea una sucesión a partir del número que se indica. Utiliza como clave 2. “sumar 8 y multiplicar el resultado por 3”:

1 240

Algunas secuencias pueden tener más de un patrón numérico:3.

2 3 5 9 17

Como ves, la diferencia entre el segundo y el primer término es 1; entre el tercero y el segundo es 2 (el doble de 1); entre el cuarto y el tercero es 4 (el doble de 2); y así sucesivamente.

Encuentra otro patrón numérico para esta secuencia y complétala con el término que falta.

50 754 50 654 50 554

20 000 40 000 80 000


1Equivalencias

Observa la siguiente tabla y responde:

Número CM DM UM C D U200 000 2 20 200 2 000 20 000 200 000900 000 9 90 900 9 000 90 000 900 000

¿Será lo mismo decir 2CM que 20 000D?

Frente a la pregunta planteada, la respuesta es “sí”, porque:

1CM = 100 000U 2CM = 200 000U1D = 10U 20 000D = 200 000U

Entonces 2CM = 20 000D

PracticaCompleta las equivalencias según corresponda:1.

Número D CM U DM300 000

70 000800 000

20 000400 000

50 000

2. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa:

a) 50 000 unidades es igual a 25DM por 2.

b) 90 000 dividido por 3 equivale a 30C.

c) 2CM más 60DM corresponden a 800 000.

d) El doble de 20 000 es igual a 40DM.

e) 700 000 equivale a 9CM menos 2D.

30 Unidad 1

Multiplicar el número de kilogramos de carne comprados por su precio.Multiplicar el número de cajones de verdura comprados por su precio.Sumar los resultados anteriores.

40 . 1 853 = 74 120 8 . 4 654 = 37 232 74 120 + 37 232 = 1 1 1 352

Por la compra de la carne y las verduras gastaron en total $ 1 1 1 352.

1 1 1 352 – 37 232 = 74 120 ó 1 1 1 352 – 74 120 = 37 232

Resuelvo problemas

Problema modeloLos dueños de una granja educativa de-

ben abastecerse de alimento para sus ani-males. Para esto compraron 40 kg de carne (cada kilogramo cuesta $ 1 853) y 8 cajo-nes de verduras (cada cajón cuesta $ 4 654). ¿Cuánto dinero gastaron por la compra?

Comprende: Debes leer el problema, reconocer la información que te en-trega y la que se desea conocer. ¿Qué datos aparecen en el problema?

Planifica: Una vez extraídos los datos debes idear una estrategia para resolver el problema. Para ello puedes plantear las operaciones, trazar esquemas, etc.

Resuelve: Debes llevar a cabo la estrategia trazada y realizar los cálculos necesarios para obtener el resultado.

Responde: Debes escribir tu respuesta en forma clara.

Comprueba: Lee nuevamente la pregunta y verifica el resultado que obtuviste. Puedes confirmar la adición restando del resultado uno de los sumandos.

Carne 40 kg $ 1 853 el kilogramoCajón de verduras 8 cajones $ 4 654 cada cajón


1Problema para ti

Don Luis fue contratado para realizar arreglos en al-gunas casas. Para adquirir los materiales necesarios fue a una tienda y compró 3 puertas para exteriores (cada una por $ 109 220), 6 puertas para interiores (cada una por $ 85 135), 2 preservantes para maderas (cada uno por $ 45 998) y otros accesorios en los que gastó $ 36 000. ¿Cuánto gastó don Luis en la compra?

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:

32 Unidad 1

Evalúo qué aprendí

Síntesis de la unidad

Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las pistas que están en la parte inferior de cada recuadro:

Recta numérica ,

Diferentes estrategias y cálculo ,

mentalAntecesor y sucesor ,

Multiplicaciones y divisiones ,

Secuencias de números ,

Regularidades numéricas ,

Adiciones y sustracciones ,

Comprender y resolver problemas cotidianos

a través de

determinédescubrí

me permitieron

resolví

operaciones basadas en definición de

Números hasta 1 000 000

70 000 · 5 = 350 000600 000 : 100 = 6 000

48 000 + 12 000 = 60 00074 000 – 24 000 = 50 000 40 812 < 40 813 < 40 814

60 : 3 = 20600 : 30 = 20

6000 : 300 = 20

105 205 305 405 0 1 2 3 4

580 000 – 540 000 = 40 000

0 1 000 2 000

Operaciones con números hasta 1 000 000 33

1Evaluación

Ordena en forma vertical las siguientes operaciones y luego resuélvelas:

365 659 + 29 876 = a) c) 593 146 – 362 584 =

53 748 a) · 6 = 39 640b) · 5 = 45 821c) · 9 =

b) 453 006 + 314 894 = d) 783 494 – 153 686 =

Resuelve en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones:

Completa con los números que corresponden y anota la propiedad que se aplica:

523 647 + a) = 3 520 + = 527 167

Propiedad

36 · b) = 9 · = 324

Propiedad

(120 · 4) · c) = 120 · ( · 7) = 3 360

Propiedad

Utilización de números hasta

1 000 0002

En esta unidad aprenderás a:Utilizar números hasta 1 000 000. £

Completar y escribir secuencias numéricas. £

Establecer relaciones de orden y valor posicional. £

Aplicar estrategias de adición y sustracción. £

Utilizar propiedades de la multiplicación. £

Reconocer la división como operación inversa de la multiplicación. £

Resolver operaciones combinadas. £

34

35

Observa y responde:

¿Qué países reconoces por sus banderas? Nómbralos.

¿Cuántas personas asistieron al Estadio Olímpico si se encuentra completo a su máxima capacidad? Escribe esta cantidad con palabras.

¿Qué disciplinas deportivas olímpicas conoces? Nombra seis.

36 Unidad 2

Carrera con obstáculosA continuación te proponemos participar en una carrera con vallas. ¡Cuidado

con caerte!

Instrucciones:Trabaja con un compañero o compañera. ,

Elige uno de los 2 deportistas de la lámina. ,

Partiendo con el número de la tarjeta de tu competidor ve realizando las ope- ,

raciones y saltando los obstáculos.Será el ganador el que resuelva las operaciones matemáticas correctamente ,

en el menor tiempo y llegue primero a la meta.


37Utilización de números hasta 1 000 000

2Desarrolla las siguientes actividades a partir del juego Carrera con obstáculos:

Escribe con números y luego con palabras el resultado de las operaciones ma-temáticas que resolvió el deportista que elegiste en el juego:

a) =

b) =

c) =

d) =

Representa aproximadamente en la recta numérica los resultados de las ope-raciones que resolvió el deportista que elegiste en el juego:

Ordena los resultados de la actividad 1 de mayor a menor:

Completa la tabla con la descomposición aditiva que se te pide:

Resultados del deportista elegido DM UM C D U

Escribe la equivalencia según corresponda:

520D = a) U

25C = b) D

5 300D = c) C = U

743 000U = d) C = D

950 300U = e) C = D

> > >

4 000 7 000 10 000 13 000 16 000 19 000 22 000 25 000

38 Unidad 2

En los Juegos Olímpicos

de 1908 celebrados en

Londres el Barón Pierre

de Coubertín, fundador

de los Juegos Olímpi-

cos modernos, expresó:

"Lo importante no es ga-

nar sino competir", frase

que quedó grabada en la

historia del deporte.

¿Sabías que...?


Información numérica y secuenciasLos Juegos Olímpicos modernos fueron restablecidos

en 1896 y hasta hoy continúan realizándose periódica-mente. La cantidad de países, atletas participantes y dis-ciplinas deportivas han sido factores variables en cada uno de ellos. En la siguiente tabla aparecen algunos da-tos de las últimas ocho olimpiadas celebradas:

Ciudad sede País Año Atletas participantes

Moscú URSS 1980 5 217Los Ángeles EUA 1984 6 797

Seúl Corea del Sur 1988 8 465Barcelona España 1992 9 364Atlanta EUA 1996 10 310Sydney Australia 2000 10 651Atenas Grecia 2004 10 625Beijing China 2008 10 500

Total 71 929

Considera la tabla anterior y responde:1.

a) ¿En cuál de las últimas ocho olimpiadas hubo ma-yor cantidad de atletas? Escribe el número con pa-labras:

b) Escribe con palabras el número total de atletas par-ticipantes en las últimas ocho olimpiadas:

c) Ordena de menor a mayor el número de atletas de las últimas cuatro olimpiadas:

1

< < <d) Señala el patrón numérico que relaciona los años

de realización de las últimas ocho olimpiadas:

El patrón es .


2Resuelve la operación, escribe el resultado con núme-2. ros y luego con palabras:

127 + 1 000 = a)

Con palabras b

1 270 + 10 000 = b)

Con palabras b

12 700 + 100 000 = c)

Con palabras b

En unas olimpiadas Chile envió deportistas para com-3. petir en diversas disciplinas. Completa la siguiente se-cuencia. La última casilla te indicará la cantidad de atletas enviados por nuestro país:

13 23 43

¿Cuál es el patrón de la secuencia?a)

¿Cuántos deportistas chilenos participaron en las b) olimpiadas?

Completa las secuencias numéricas según la clave:4.

La clave es sumar 1 000.a)

213 1 213 3 213

La clave es sumar 10 000.b)

461 10 461 50 461

La clave es sumar 100 000.c)

487 253 887 253

Inventa tu propia secuencia, indicando la clave:5.

La clave o patrón numérico de una secuencia es el número y la operación que relaciona sus términos.

En los Juegos Olímpicos de Beijing 2008, la antor-cha olímpica fue encen-dida oficialmente en la ciudad de Olimpia (Gre-cia) en marzo del 2008. La antorcha recorrió 22 ciudades en los 5 conti-nentes antes de visitar durante 97 días más de 100 ciudades de China. Este ha sido el recorrido más largo realizado por la antorcha olímpica en la historia y el que más ciudades ha visitado.

¿Sabías que...?

El número ciento cuarenta mil veintisiete corresponde a:A. 104 270B. 140 027C. 142 700

40 Unidad 2


Números y recta numérica En una villa olímpica las delegaciones de deportistas

se alojan y se alimentan. En unas olimpiadas los produc-tos consumidos por algunas delegaciones fueron:

2

DelegaciónConsumo [unidades]

Jugo Pan Fruta

México 27 326 1 000 124 632

Italia 45 418 2 000 245 700

China 52 343 5 000 463 851

Suecia 32 895 1 500 101 429

Australia 45 700 3 000 210 005

=

=

=

=

=

Escribe con palabras el consumo de frutas:1.

Representa en la recta el consumo de pan de cada 2. una de las delegaciones:

0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

En los Juegos Olímpicos

de Beijing 2008 el meda-

llero lo encabezó China

con 51 medallas de oro,

seguido por Estados Uni-

dos con 36 y por Rusia

con 23.

¿Sabías que...?


2Observa la tabla y responde:3.

¿Cuál de los productos presentados fue el más con-a) sumido por los atletas? ¿Por qué crees tú?

¿Cuál fue el producto de menor consumo?b)

Completa las rectas numéricas, de manera que el pa-4. trón sea igual en todos los intervalos:

Consumo de jugos: a)

27 326 27 327 27 330

2 343 12 343 52 343

EL patrón numérico o clave es:

Consumo de jugos: b)

EL patrón numérico o clave es:

Coloca el signo >, < o = según corresponda:5.

45C 500U 60D 6C57 000U 80C 97C 970D

3UM 300U 300D 30C8UM 80D 6 UM 60 000U

Al ubicar un número en la recta numérica, los núme-ros que están a su derecha son mayores que él y los que están a su izquierda son menores.

En la recta anterior los términos van de 200 en 200.

Recuerda

200 400

Intervalo

Patrón numérico o clave: sumar 200.

¿Cuál de los siguientes números se ubica a la izquierda de 234 006 en la recta numérica?A. 243 002B. 301 000C. 228 700

42 Unidad 2


Equivalencias monetarias y redondeo

En el tiempo que duran las olimpiadas, muchas per-sonas se trasladan de sus países a la ciudad sede para apoyar a sus representantes. Cada país tiene su moneda, con un nombre y un valor diferente al nuestro.

La equivalencia entre monedas de diferentes países varía día a día. La siguiente tabla muestra la conversión de algunas monedas extranjeras a pesos chilenos un determinado día del año 2008:

3

PaísCambio de dinero

Moneda Equivalencia en pesos chilenos

Estados Unidos 1 dólar $ 552España 1 euro $ 720Suiza 1 franco suizo $ 491

Inglaterra 1 libra esterlina $ 980

Responde: 1.

¿Cuál es la moneda de mayor valor en pesos chile-a) nos?

Ordena de menor a mayor el valor de las monedas b) de los países dados:

< < <Calcula a cuántos pesos chilenos equivalen las siguien-2. tes cantidades:

3 dólares = a) pesos.

4 euros = b) pesos.

5 libras esterlinas = c) pesos.

2 francos suizos = d) pesos.

Un hombre compró 3

dólares a $ 552. Una

semana después deci-

dió venderlos. Si en el

transcurso de esa sema-

na el dólar subió a $ 680,

¿cuánto dinero ganó tras

vender sus 3 dólares?

Desafío al ingenio


2Observa los comestibles que consumieron los depor-3. tistas con sus respectivos precios en pesos chileno:

Producto Valor en pesos chilenosJugo $ 850 la unidadPan $ 145 la unidad

Plátano $ 236 la unidad

Usando las monedas de la página 153 representa el a) precio de:

Calcula y redondea a la centena el número total b) de comestibles consumidos por las delegaciones de Chile y Argentina:

= 270 210 290

Total: Redondeo a la centena más próxima:

= 320 290 260

Total: Redondeo a la centena más próxima:

El número 208 911 redondeado a la DM corresponde a:A. 209 000B. 210 000C. 208 000

44 Unidad 2

La palabra olimpiada se

puede escribir con o sin

tilde en la segunda i. El

origen de los juegos se

remonta al año 776 a. de

C. en Grecia y actualmen-

te se desarrollan cada

4 años.

¿Sabías que...?

Otras estrategias de adiciónLos jueces de las diferentes competencias olímpicas

son muy exigentes. Ellos evalúan a cada competidor y luego entregan un puntaje.

A continuación te presentamos los puntajes obtenidos 1. por algunos equipos de gimnasia artística. Calcula el puntaje de cada país y responde las preguntas:

País Juez 1 Juez 2 Juez 3 Total

15 394 15 583 15 001

15 283 15 305 14 975

14 987 14 994 14 990

¿Qué país ganó la competencia?a)

¿Cuál fue el juez que colocó los mayores puntajes?b)

Completa la tabla. Fíjate en el ejemplo:2.

4


Puntaje Calcula su doble Doble + 1 Doble + 100 Doble + 10 000

Puntaje total:44 971

44 971+ 44 971

89 942

89 942+ 189 943

89 942+ 10090 042

89 942+ 10 000

99 942

Puntaje total:

Puntaje total:


21 346 + 2 278

Observa las siguientes estrategias de adición:

Adición por aproximación de un sumando

Aproximamos el primer sumando a la decena:

1 346 1 350+ 2 278 + 2 278

3 628

Restamos lo aproximado al resulta-do, es decir, 4:

3 628– 4

3 624

Adición por descomposición de los sumandos

Descomponemos aditivamente los nú-meros:

1 346 b 1 000 + 300 + 40 + 6 + 2 278 b + 2 000 + 200 + 70 + 8

3 000 + 500 + 110 + 14

3 000 + 610 + 14 3 000 + 624 3 624

Resuelve en tu cuaderno las siguientes adiciones apli-3. cando las dos estrategias aprendidas:

a) 49 215 + 23 146

d) 163 893 + 275 634

g) 7 463 + 2 321

b) 48 562 + 22 637

e) 164 763 + 239 854

h) 53 625 + 142 835

c) 123 716 + 82 165

f) 926 124 + 1 786

i) 723 001 + 82 918

Calcula mentalmente el resultado de la suma 123 405 + 245 494

A. 368 898B. 369 999C. 368 899

46 Unidad 2

Otras estrategias de sustracciónA los dos partidos de semifinales de un Mundial Juve-

nil de fútbol asistieron 102 367 espectadores y al de la gran final asistieron 112 477.

5


¿En cuántos espectadores aumentó la asistencia a la 1. final respecto a las semifinales?

Si la capacidad del estadio es de 125 543 personas, 2. ¿cuántas butacas estuvieron vacías en la final?

Cuando alguna cifra del minuendo es menor que su correspondiente cifra en el sustraendo la sustrac-ción se complica. Aplicaremos dos estrategias diferen-tes para resolver este tipo de sustracciones:

Por compensación: ,

Para restar usando esta estrategia debes ir extra-yendo números desde posiciones superiores a la que estás trabajando y compensando esta extracción. La idea es descomponer los términos de la sustracción de manera que el minuendo sea siempre mayor que el sustraendo. Apliquemos la estrategia a la sustrac-ción 783 732 – 451 195:

783 720 + 12 b 783 600 + 120 + 12 – 451 190 + 5 b – 451 100 + 90 + 5 332 500 + 30 + 7 = 332 537

En una sustracción se cumple la siguien-te relación entre sus términos:

Sustraendo+ Diferencia

Minuendo

Recuerda


2Por canje: ,

En este caso no se descomponen los números sino que se va trabajando con sus valores posicionales:

783 732 b 783 7 (2) (12) b 783 (6) (12) (12) – 451 195 b – 451 1 9 5 b – 451 1 9 5 332 7 332 5 3 7

Resuelve las sustracciones aplicando alguno de los 3. métodos vistos:

652 534a) – 540 228

723 451b) – 210 191

864 772c) – 412 860

986 546d) – 725 927

375 496e) – 146 783

La edad de mi abuelo es un número de dos dígitos tal que si le res-to 36 años, obtengo un número que corresponde a la edad de mi abuelo con los dígitos inver-tidos. ¿Qué edad tiene mi abuelo, si se sabe que tiene más de 80 años y menos de 90?

Desafío al ingenio

Para comprobar sus-tracciones de números grandes es útil que ocu-pes una calculadora. Por ejemplo, para restar en ella 451 195 de 783 732; debes digitar el minuen-do 783 732, presionar la tecla y luego digitar el sustraendo 451 195. El resultado o diferencia lo obtendrás tras presionar la tecla : 332 537.

48 Unidad 2

Más propiedades de la multiplicación

En una villa olímpica existen tiendas con productos deportivos a la venta. Si la delegación de Alemania com-pró 30 pares de zapatillas blancas y 20 pares de zapa-tillas azules para competir durante un día, ¿cuántos pa-res de zapatillas debe com-prar para competir durante 4 días?

Para dar solución a esta pregunta, aplicaremos la pro-piedad distributiva:

6


4 · (30 + 20) = (4 · 30) + (4 · 20)4 · 50 = 120 + 80

200 = 200

Esta propiedad se llama distributiva, ya que el fac-tor de multiplicación se distribuye con respecto a dos o más sumandos, obteniendo en ambos lados de la igualdad el mismo resultado.

Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando la propie-1. dad distributiva de la multiplicación

b) (7 · 5 000) + (7 · 80 000) = · ( + )

+ = ·

=

8 ·a) (600 + 30 000) = ( · ) + ( · )

· = +

=

La actual Alemania es-

tuvo dividida entre los

años 1949 y 1990 en dos

países independientes: la

República Democrática

Alemana (RDA) y la Re-

pública Federal Alemana

(RFA).

¿Sabías que...?


2Resuelve las siguientes multiplicaciones:2.

85 · 1 = a)

10 231 · 1 = b)

1 583 · 1 = c)

91 791 · 1 = d)

429 210 · 1 = a)

5 · (90 + 34) = b)

60 117 · 0 = c)

51 005 · 8 = d)

9 · 1 = a)

3 · 10 = b)

7 · 100 = c)

9 · 1 000 = d)

5 · 10 000 = e)

2 · 100 000 = f)

15 · 0 = a)

105 · 0 = b)

65 321 · 0 = c)

¿Qué regularidad observas?

¿Qué puedes deducir de las multiplicaciones ante-riores? Fundamenta tu respuesta.

Resuelve:4.

El elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya que cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número.

Completa y luego responde:3.

Esta propiedad se llama propiedad absorbente del cero, e indica que cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0.

Resuelve las siguientes multiplicaciones:5.

Calcula:6 123 · 9 · 0 · 8 =

A. 0B. 440 856C. 55 107

Número que tras mul-tiplicarse por sí mismo no cambia su valor.¿Qué números cumplen esta propiedad?

Desafío al ingenio

50 Unidad 2

Relación entre la multiplicación y la división

Los auspiciadores de unos jue-gos olímpicos tienen un fondo de $ 426 000 para repartir equitativa-mente entre las 3 primeras perso-nas que llamen adivinando correc-tamente qué país ganará.

¿Cuánto dinero recibirá cada persona ganadora?1.

Para resolver situaciones como estas, debemos bus-car el factor desconocido en 3 · = 426 000 y para ello debemos calcular el cociente 426 000 : 3.

4'2'6' 0 0 0 : 3 = 1 4 2 0 0 0– 3

1 2– 1 2

0 6– 6

0∕∕

Por lo tanto 3 · 142 000 = 426 000.

Cada ganador recibirá $ 142 000.

Si el dinero total a repartir hubiera sido superior en 2. 3UM, ¿podrías aplicar la misma estrategia?

426 000 + 3UM = 426 000 + 3 000 = 429 000

4'2'9' 0 0 0 : 3 = 1 4 3 0 0 0– 3

1 2– 1 2

0 9– 9

0∕∕

Por lo tanto 3 · 143 000 = 429 000.Cada ganador habría recibido $ 143 000.

7


Cuando buscamos un factor desconocido en una multiplicación como por ejemplo:

5 · = 45

Nos debemos preguntar:¿Qué número multiplica-do por 5 da como resul-tado 45?

Recuerda


2Se deben repartir equitativamente 12 000 camisetas 3. oficiales con el logo de las olimpiadas entre las 30 de-legaciones participantes. ¿Cuántas camisetas recibirá cada delegación?

Cada delegación recibirá camisetas.

Calcula el factor desconocido y completa las divisio-4. nes exactas:

4 · a) = 24 24 : = 4

24 : 4 =

5 · b) = 450 450 : = 5

450 : 5 =

7 · c) = 4 200 4 200 : = 7

4 200 : 7 =

9 · d) = 63 000 63 000 : 9 =

63 000 : = 9

6 · e) = 300 000 300 000 : = 6

300 000 : 6 =

3 · f) = 824 121 824 121 : = 3

824 121 : 3 =

La división y la multiplicación son operaciones in-versas.

Considera:12 456 : 3 = 4 152

¿Cuál de las siguientes operaciones no se dedu-ce de ella y es falsa?A. 4 152 · 3 = 12 456B. 4 152 : 3 = 12 456C. 12 456 : 4 152 = 3

52 Unidad 2

Operaciones combinadasA la ceremonia final de unos Juegos Olímpicos asistie-

ron muchas personas. Considera las siguientes promocio-nes hechas a los precios de las entradas al espectáculo:

Precio 1 entradaPromociones Adultos Niños

1 a 3 $ 25 000 $ 15 0004 a 6 $ 22 500 $ 13 5007 a 9 $ 20 000 $ 12 000

10 o más $ 18 000 $ 10 000

Si al estadio ingresó un grupo compuesto por 5 adul-1. tos y 3 niños, ¿cuánto dinero pagaron por concepto de entradas?

8


Entrada adultos$ 22 500 ,

5 adultos ,

Operación:22 500 · 5 =

Entrada niños$ 15 000 ,

3 niños ,

Operación:15 000 · 3 =

Total

Operación: Adultos + niños = Total

+ =

La delegación chilena entró en 5 grupos de 7 adultos 2. en diferentes momentos de la ceremonia. ¿Cuánto di-nero debieron pagar por las entradas?

Operación: Respuesta:

Los trigésimos Juegos Olímpicos se desarrolla-rán en Londres (Inglate-rra) entre el 27 de julio y el 12 de agosto del año 2012.

¿Sabías que...?


2Resuelve los siguientes ejercicios combinados den-3. tro de los recuadros, respetando el procedimiento. Resuelve siempre primero las operaciones que están dentro de los paréntesis:

Ejemplo:(145 342 + 183 294) · 2 = 657 272

328 636 · 2

657 272

(86 420 · 5) + 346 510 = a)

120 346 – (25 306 · 3) = b)

(48 972 : 3) + (749 368 – 561 745) = c)

Con ayuda de una calculadora, inventa y resuelve en 4. tu cuaderno un ejercicio combinado que contenga las cuatro operaciones aritméticas. Preséntalo a tu curso.

Los paréntesis indican prioridad en las operaciones, es decir, en los ejercicios combinados primero se re-suelven las operaciones que están entre paréntesis y luego el resto.

Indica el resultado de las siguientes operaciones:(12 + 6) · 3 y 12 + 6 · 3A. 54 y 30B. 51 y 75C. 30 y 30

+

+

–

Cuando resuelves opera-ciones combinadas con calculadora debes ser muy cuidado con el uso de los paréntesis, procurando siempre resolver las ope-raciones que están dentro de ellos en primer lugar, anotando el resultado y luego resolviendo el resto de las operaciones.

54 Unidad 2

Profundizando…

Más operaciones combinadasLa familia de Fernando decidió aprovechar el verano para hacer algunos

arreglos y hermosear su casa. Para lograrlo compraron una serie de artícu-los. Observa el detalle en la siguiente tabla:

Artículo Cantidad Gasto total [$]Silla 6 180 456

Puerta 2 245 866Espejo 4 455 124

¿Cuál es el costo de comprar solo un artículo de cada tipo?

Lee con atención y comenta con tus compañeros y compañeras la estra-tegia utilizada para responder:

(180 456 : 6) + (245 866 : 2) + (455 124 : 4)

30 076 + 122 933 + 113 781

266 790

El costo de comprar un artículo de cada tipo es de $ 266 790.

Practica¿Cuánto dinero gastó la familia de Fernando en hermosear su casa?1.

Tomando los datos del ejemplo anterior calcula el costo de comprar 3 2. sillas, 1 puerta y 2 espejos.

Calcula el costo de comprar 4 sillas, 3 puertas y 3 espejos.3.

Calcula el costo de comprar 7 sillas, 2 puertas y 1 espejo.4.

Se deben repartir equitativamente $ 997 488 entre las tres áreas de acti-5. vidades complementarias del colegio. Estas areas son: la rama Deportes (Tenis, Fútbol, Básquetbol y Voleibol), la rama Arte (Música, Pintura y Poesía) y los Talleres (Computación y Astronomía). A su vez, el dinero correspondiente a un área debe asignarse equitativamente a cada una de sus secciones. ¿Cuánto dinero corresponde a cada área y a cada una de sus secciones?


2Divisiones inexactas

Observa la siguiente división: 11' : 2 = 5 – 10 1∕∕

Esta es una división inexacta, ya que el resto es diferente de 0.Los términos de esta división inexacta se pueden relacionar a través de

la siguiente equivalencia:

Resultado Resto

Divisor 2 · 5 + 1 = 11 Dividendo

Hagamos el mismo desarrollo para un número más grande:

2 4'4'4'6'3' : 5 = 4 8 8 9 24 4

4 44 6

1 33

∕∕

Y la relación entre los términos de esta división es:

5 · 48 892 + 3 = 244 463

PracticaUn padre debe repartir entre sus tres hijos $ 25 654. ¿Cuánto recibirá 1. cada uno y cuánto sobra?

Resuelve las siguientes divisiones inexactas y relaciona sus término me-2. diante la equivalencia estudiada:

476 457 : 2a)

241 753 : 3b)

866 541 : 7c)

180 450 : 4d)

124 355 : 4e)

998 473 : 6f)

56 Unidad 2

Resuelvo problemas

Problema modeloAlonso es un deportista destacado. El detalle de

su entrenamiento semanal por día es el siguiente:Lunes y miércoles: 2 350 metros de natación.Martes y viernes: 160 000 metros de ciclismo.Jueves y sábado: 13 650 metros de trote.Domingo: descanso.

¿Cuántos metros practica en una semana?

Multiplicar los tres datos de distancia recorrida por 2.Sumar los tres resultados para obtener el total de metros recorridos en la semana .

2 350 . 2 = 4 700160 000 . 2 = 320 000 4 700 + 320 000 + 27 300 = 352 00013 650 . 2 = 27 300

El entrenamiento semanal de Alonso consiste en 352 000 metros de práctica de tres disciplinas deportivas diferentes.

Podemos sumar los tres recorridos y luego multiplicar el resultado por 2:2 350 + 160 000 + 13 650 = 176 000

176 000 . 2 = 352 000

Días Deporte Metros recorridos cada díaLunes y miércoles Natación 2 350Martes y viernes Ciclismo 1 60 000Jueves y sábado Trote 1 3 650

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:


2Problema para ti

En el colegio de Martín organizaron una cicletada de beneficencia. Cada estu-diante invitó a 5 familiares. Si el total de invitados fue de 7 255 personas, ¿cuántos estudiantes participaron de la cicletada? Si cada invitado debió cancelar $ 120, ¿cuán-to dinero recaudaron en la cicletada?

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:

58 Unidad 2




Adiciones y sustracciones ,

Las cuatro operaciones básicas ,

Estrategias gráficas y numéricas ,

Operaciones combinadas ,

Relación inversa: multiplicación- ,

divisiónDivisiones exactas e inexactas ,

Factores y cocientes ,

Comprender y resolver problemas cotidianos

Números hasta 1 000 000

a través de

determinéresolví

me permitieron

resolví

análisis de análisis de

60 : 3 = 20600 : 30 = 20

6000 : 300 = 20

+, –, · , :

400 : 8 = 50401 : 8 = 50

1// 205 + 6 · 3 – 108 : 3

405 · 2 = 810, entonces810 : 2 = 405

10 000 + 60 000 = 70 00085 000 – 5 000 = 80 000

F F

120 · 4 = 480200 : 5 = 40 C

45 000 – 3 000 = 42 00042 000 45 000


2Evaluación

Une con líneas de colores el numeral con su escritura en palabras:

3DM + 6U + 9D + 5CM

200U + 2D + 3CM + 5UM

5CM + 20D + 8U + 1DM + 7UM

600U + 9D + 10U + 7CM + 5DM

Setecientos cincuenta mil setecientos

Trescientos cinco mil doscientos veinte

Quinientos treinta mil noventa y seis

Quinientos diecisiete mil doscientos ocho

Pinta el valor del número destacado en cada caso:

10a) 3 457 b 30 000 ó 3 000 ó 300

5b) 68 942 b 500 000 ó 50 000 ó 5 000

7c) 96 839 b 900000 ó 90 000 ó 9 000

687 d) 576 b 50 000 ó 5 000 ó 500

Resuelve los siguientes ejercicios combinados:

(723 486 + 94 632) – 5 845 =a) c) 864 326 + (5 749 · 5) – 645 215 =

b) (36 410 · 3) + (74 963 : 7) = d) (589 310 : 5) + (49 876 · 6) =

Geometría3

En esta unidad aprenderás a:Identificar los ángulos rectos, agudos, obtusos y extendidos. £

Medir ángulos. £

Identificar y representar cuerpos geométricos. £

Construir cuerpos a partir de redes. £

Calcular el perímetro de figuras geométricas. £

Calcular el área de cuadrados y rectángulos. £

60

61

Observa y responde:

¿Qué figuras geométricas planas reconoces en la lámina?

¿Qué juguetes reconoces en la lámina? Nombra tres.

¿Qué cuerpos geométricos ves en la lámina? Escribe el nombre de tres.

¿Cuál es el juguete más importante para ti? Explica por qué es el más im-portante.

62 Unidad 3

MemoriceMientras Lucía recorría la juguetería, encontró unas tarjetas para jugar al me-

morice. Ayudémosla a reconocerlas, para esto, dibuja lo que se indica en los recuadros en blanco:

Tras hacer los dibujos, fotocopia esta página y recorta las tarjetas para que juegues aprendiendo geometría. Debes voltearlas y juntar pares semejantes ocupando solo tu memoria. ¡A usar la mente!


Triángulo

Cubo

Cuadrado

Cilindro

Pirámide base cuadrada

63Geometría

3 En estas figuras, remarca con verde los lados y con amarillo los vértices:

Completa las siguientes frases:

Un cuadrado tiene a) lados iguales.

Un b) tiene 3 lados.

Un cubo tiene c) caras cuadradas.

Una pirámide de base cuadrada tiene d) cara cuadrada y caras triangulares.

Calcula el perímetro de las siguientes figuras recordando que el perímetro es la suma sus lados:

a) b) 3 cm

3 cm

2 cm 2 cm 3 cm

4 cm4 cm

4 cm

6 cm

Perímetro: Perímetro:

a) c)

b) d)

64 Unidad 3

Cuándo el minutero de

un reloj recorre una hora

completa ha recorrido

360°.

¿Sabías que...?


Medición de ángulosLuis invita a sus amigos y amigas a casa para celebrar

su cumpleaños. Para indicarles cómo llegar desde el co-legio les entrega el siguiente plano:

1

En el recorrido para llegar a la casa de Luis hay tres ángulos. ¿Se pueden medir esos ángulos?

Te enseñaremos a medir el ángulo 2 de la ilustración:

Paso 1 Paso 2 Paso 3Colocamos el centro del transportador sobre el vértice del ángulo.

Hacemos coincidir la línea que marca 0° con uno de los lados del ángulo.

Observamos el número que indica en el trans-portador el otro lado del ángulo. En este caso 120°.

Utilizando un transportador mide el ángulo 1 y el án-1. gulo 3 de la ilustración:

El ángulo 1 mide a) grados.

El ángulo 3 mide b) grados.

Colegio

Casa de Luis

65Geometría

3

Mide los siguientes ángulos y clasifícalo según el valor 2. que obtengas:

Une cada ángulo con su medida:3.

Las rectas paralelas nunca se cortan o se topan.Las rectas perpendicula-res se cortan o se topan en un punto, formando cuatro ángulos rectos.Las rectas secantes se cortan y pueden formar ángulos rectos, agudos y obtusos.

¿Sabías que...?

Para medir ángulos se utiliza el transportador y la unidad utilizada es el grado sexagesimal.Un ángulo se clasifica de acuerdo a su medida en:Agudo: mide menos de 90°.Recto: mide exactamente 90°.Obtuso: mide más de 90° y menos de 180°.Extendido: mide exactamente 180°.Completo: mide exactamente 360°. Equivale a una vuelta completa.

Exactamente 90°

Menos de 90º

Exactamente 180º

Más de 90º y menos de 180º

Los ángulos se forman al intersecar dos o más rectas y se designan con letras mayúsculas.El vértice de los ángulos es la intersección de las rectas.

Recuerda

Un ángulo de 100° es:A. AgudoB. RectoC. Obtuso

66 Unidad 3


Cuerpos geométricos y redesAna y Marcos juegan a armar objetos:

2

Une, con líneas de colores, el objeto con el cuerpo 1. geométrico al que se asemeja:

Pirámide

Prisma de base rectangular

Cono

Cilindro

Esfera

Si observas una ciudad, podrás ver una gran variedad de cuerpos geométricos.A lo largo de la histo-ria las ciudades se han edificado ocupando di-ferentes estilos, todos basados en modelos geométricos.

¿Sabías que...?

67Geometría

3Identifica qué cuerpos se pueden armar a partir de las 2. siguientes redes. Dibújalo junto a cada una de ellas:

a)

Utilizando las redes de las páginas 155, 157 y 159 3. construye los cuerpos, arrójalos sobre una superficie e indica cuáles de ellos ruedan y cuáles no.

b)

c)

d)

La cara basal de un cuer-po es su base y con ella se puede apoyar sobre una superficie. Algunos cuerpos como el cono poseen una cara basal, y otros como el cilindro poseen dos.

Recuerda

¿Cuál de los siguientes cuerpos geométricos puede rodar si lo arrojamos sobre una superficie?A. CuboB. CilindroC. Pirámide

68 Unidad 3


3 Representación de cuerpos geométricos

Lucía y su hermano juegan un día sábado. Obsérvalos:

Desde qué posición está representada la escena en la 1. ilustración 2.

Desde .

En la ilustración 2 pinta las vistas de los cuerpos del 2. color que tienen en la ilustración 1.

Observa los siguientes cuerpos geométricos y dibúja-3. los como si los vieras de frente y desde abajo:

Cuerpo De frente Desde abajo

Los cuerpos redon-

dos son aquellos que

ruedan.Los cuerpos no redon-

dos son aquellos que no

ruedan y se denominan

cuerpos poliedros.

¿Sabías que...?

Ilustración 1 Ilustración 2

69Geometría

3Lee cada una de las siguientes adivinanzas y escribe el 4. nombre de uno de los cuerpos del costado:

Si me miras desde arriba ves un círculo y si lo haces a) de frente ves un triángulo.

Soy un .

Si me miras desde arriba ves un triángulo, si lo ha-b) ces de frente ves un rectángulo.

Soy un .

Si me miras de arriba ves un círculo, si me ves de c) abajo también.

Puedo ser un o una .

Dibuja los siguientes cuerpos vistos desde arriba y 5. desde abajo:

Cuerpo geométrico Visto de arriba Visto de abajo En general, los cuerpos geométricos se ven di-ferentes si los miramos desde arr iba, desde abajo, de frente o de costado.

Recuerda

¿Cuál de los siguientes cuerpos no puede ser vis-to como un círculo desde algún sitio?A. EsferaB. ConoC. Prisma

70 Unidad 3

A un conjunto de figuras geométricas correcta-mente ensambladas se llama teselado. Un ejem-plo simple de teselado es el panal de abejas, estructura formada por hexágonos de cera.

¿Sabías que...?

Vistas y redes de cuerposLucía y Juan están dibujando cuerpos geométricos en

hojas cuadriculadas:

4


Ayúdalos a dibujar las redes y adivina el cuerpo geomé-1. trico que se puede formar con cada una de ellas:

Su red está formada por seis cuadrados iguales.a)

Su red está formada por cuatro triángulos iguales.b)

71Geometría

3Observa un cono, un cilindro y un cubo. Luego dibú-2. jalos de acuerdo a su vista:

Vista Cilindro Cono Cubo

Superior

Frontal

Inferior

Escribe el nombre del cuerpo geométrico que corres-3. ponde a las vistas indicadas:

Cuerpo Superior Inferior Frontal

La axonometría es la rama del dibujo técnico que trata de la perspec-tiva tridimensional de los cuerpos, tomando como base las vistas o proyecciones.

¿Sabías que...?

72 Unidad 3

Superficie de figuras geométricasLuis realiza el siguiente dibujo en un papel cuadricu-

lado:

¿Cuántos cuadrados conforman cada uno de los ele-1. mentos del dibujo?

Elementos del dibujo Cantidad de cuadradosÁrbolCasaSol

Pasto

5


La unidad de medida que hemos utilizado para indi-car el tamaño de las superficies del dibujo es el cua-drado .

Cuenta los cuadrados que ocupan las siguientes figuras:2.

a) b)

Hay cuadrados. Hay cuadrados.

Muchas veces se usan

los términos superficie

y área como sinónimos.

Estrictamente hablando

la superficie es la exten-

sión en dos dimensiones

de un cuerpo, mientras

que el área es una me-

dida numérica de esta

extensión. Así podemos

decir “la superficie de

la cocina es lisa” y “el

área de la superficie de

la cocina mide 20 metros

cuadrados”.

¿Sabías que...?

73Geometría

3a) c)

b) d)

¿Qué superficie ocupan las siguientes figuras?3.

Determina la superficie que ocupan las siguientes fi-4. guras:

Mide con una regla los cuadrados de las cuadrículas 5. anteriores.

Los cuadrados miden a) .

¿Qué puedes concluir?b)

El rectángulo ocupa cuadrados.

El triángulo ocupa cuadrados.

cuadrados

cuadrados

cuadrados

cuadrados

Un método para deter-minar la medida de la superficie de una figura consiste en dividirla en pequeños cuadrados del mismo tamaño.

Recuerda

Una unidad de medida del tamaño de una su-perficie debe:A. Tener siempre el

mismo tamaño.B. Cubrir toda la super-

ficie.C. Ambas alternativas

anteriores.

74 Unidad 3

Área de cuadrados y rectángulos Alonso en su clase de artes visuales realizó una obra

utilizando 50 cuadrados de papel de 1 centímetro de lado similar al que se muestra a continuación:

¿Qué área ocupa la obra de Alonso?1.

Si contamos, tenemos que el mosaico de Alonso está compuesto por 50 cuadrados de 1 centímetro de lado, por lo tanto, podemos decir que ocupa un área de 50 centímetros cuadrados.

¿Cómo calculamos el área del mar sin contar los a) cuadrados?Basta multiplicar el ancho por el largo:

10 centímetros de largo

·2 centímetros

de ancho=

20 centímetros cuadrados

¿Cuál es el área del sol del mosaico?b)

Área = centímetros cuadrados.

6


El área es la medida de la superficie que ocupa una figura.El área de un rectángulo se obtiene multiplicando su ancho por su largo.El área de un cuadrado se obtiene multiplicando su lado por sí mismo.

Tres de las unidades de longitud más ocupadas son el centímetro (cm), el metro (m) y el kilómetro (km). Sus equivalencias son:1 m = 100 cm1 km = 100 000 cm

1 km = 1 000 m

Recuerda

U n c u a d r a d o d e 1 centímetro de lado ocupa un área de 1 centímetro cuadrado, al igual que el metro cua-drado que corresponde a un cuadrado de 1 me-tro de lado. Estas son unidades de medida de área.

¿Sabías que...?

75Geometría

3Mide los lados de las siguientes figuras:2.

Calcula el área aplicando las fórmulas que apren-a) diste:

Área del rectángulo = centímetros cuadrados.

Área del cuadrado = centímetros cuadrados.

Comprueba tu respuesta contando los cuadraditos b) que los componen.

Si el lado de cada cuadradito midiera 1 metro, cuál c) sería el área de cada una de las figuras.

Área del rectángulo = metros cuadrados.

Área del cuadrado = metros cuadrados.

Calcula el área de las siguiente figuras. Las medidas 3. están dadas en centímetros:

Área = centímetros cuadrados. Área = centímetros cuadrados.

¿Cuál de las siguientes es una unidad de medida de área?A. Metro cúbicoB. LitroC. Metro cuadrado

El área de un rectángulo se calcula como:A = a · b,donde A es el área, a es el ancho y b el largo.El área de un cuadrado se calcula como:A = a · a,donde a es el lado del cuadrado.

Recuerda

76 Unidad 3

Área de cuerpos geométricos Alicia quiere construir una caja de cartón para guar-

dar un regalo que le dará a su hermana.

7


¿Qué cantidad de cartón necesitará Alicia para su 1. caja?

Para responder a esta pregunta necesitamos calcu-lar el área de los cuadrados que, dibujados sobre el cartón, nos permitirán armar la caja.

Como puedes ver, la red del cubo está compuesta por 6 cuadrados de 9 centímetros de lado, entonces:Área un cuadrado = 9 centímetros · 9 centímetrosÁrea un cuadrado = 81 centímetros cuadradosComo son 6 cuadrados, entonces:Área total = 81 centímetros · 6 = 486 centímetros cua-drados.

9 cm

9 cm

9 cm

9 cm

9 cm9 cm9 cm

9 cm

9 cm

9 cm

9 cm

9 cm

9 cm

9 cm

Cuando se habla del área

de un cuerpo geométrico

se hace referencia a la

medida del tamaño de

su superficie externa, es

decir, a la superficie que

recubre el cuerpo.

¿Sabías que...?

77Geometría

3Una longitud indica el tamaño de los objetos considerando 1 dimen-sión, y un área el tamaño en 2 dimensiones. Para indicar el tamaño de un objeto en las 3 dimensio-nes espaciales se habla de volumen.

¿Sabías que...?

Calcula el área total del prisma:2.

Observa el siguiente prisma y los sucesivos cortes que 3. sufre:

Calcula el área total del prisma A y suma la de los pris-a) mas que se van formando al irlo dividiendo (B y C):

Área A = metros cuadrados.

Área B = metros cuadrados.

Área C = metros cuadrados.

El área total , ¿aumenta o disminuye al ir dividiendo b) el cuerpo original? ¿Qué ocurrirá si seguimos divi-diendo?El área total va al ir dividiendo el cuerpo.

Si seguimos dividiendo, el área seguirá .

¿Por qué razón el área cambia al ir dividiendo el c) cuerpo? Explica.

El área total es de metros cuadrados.

El área de un cubo de 5 cm de arista es:A. 125 centímetros cua-

drados.B. 150 metros cuadrados.C. 150 centímetros cua-

drados.

A B C

78 Unidad 3

Profundizando…

Perímetro y áreaEl Ministerio de Obras Públicas ha planificado la construcción de una

carretera que rodee por completo una ciudad del norte del país. Observa una vista aérea de la ciudad:

¿Cuántos kilómetros de carretera deberá construir el ministerio?A. Para responder esta pregunta debemos calcular el perímetro del con-

torno de la ciudad. Sumemos entonces los siete lados rectos que limitan la ciudad:

Perímetro = 5 + 7 + 20 + 10 + 12 + 15 + 7 = 76 kilómetrosLa carretera medirá 76 kilómetros.

¿Cuál es el área que ocupará la carretera si mide 10 m de ancho?B. Podemos considerar que la carretera es un rectángulo de 76 kilóme-

tros de largo y 10 metros de ancho. Para calcular el área que ocupará multiplicamos su largo por su ancho. Previamente expresaremos su lar-go en metros:

76 kilómetros = 76 000 metrosÁrea que ocupará la carretera = 76 000 · 10 = 760 000 metros cuadrados.

PracticaCalcula el largo de una muralla que se va a construir alrededor de un 1. terreno poligonal de 5 lados, cuyas medidas son: 12 metros, 14 metros, 17 metros, 18 metros y 20 metros.

¿Cuál es el área de la muralla si medirá 2 metros de alto y 1 metro de 2. grosor? Considera la muralla como un gran prisma.

79Geometría

3Teselaciones

Una teselación consiste en un conjunto de figuras geométricas que cu-bren una superficie completamente siguiendo un patrón o una regulari-dad característica. Observa la siguiente teselación natural:

¿Qué figura geométrica constituye el teselado del panal de abejas?Podemos observar que la figura geométrica es semejante a:

Contando los lados comprobamos que son 6 y que su longitud es la misma, por lo tanto estamos frente a un hexágono regular.

PracticaObserva las siguientes teselaciones y dibuja aproximadamente la figura 1. geométrica que las constituye:

80 Unidad 3

Resuelvo problemas

Problema modeloAlejandra necesita asfaltar una parte del pa-

tio de su casa para poder estacionar su auto. Si el auto mide 150 centímetros de ancho y 300 centímetros de largo, ¿cuál es el tamaño mínimo que debe tener el terreno a asfaltar? ¿Cuánto terreno libre quedará en el patio si este mide 126 000 centímetros cuadrados?

Área del terreno = 150 . 300 = 45 000 centímetros cuadrados.Área libre del patio = 126 000 – 45 000 = 81 000 centímetros cuadrados.

El área de la superficie a asfaltar es de 45 000 centímetros cuadrados.El área del terreno libre será de 81 000 centímetros cuadrados.

Para comprobar el resultado de las operaciones puedes utilizar una calculadora:Digita 150, pulsa , digita 300 y pulsa . El resultado es 45 000.Digita 126 000, pulsa , digita 45 000 y pulsa . El resultado es 81 000.

El terreno a asfaltar podemos considerarlo como un rectángulo de 150 cm de ancho y 300 cm de largo, como mínimo.El área de un rectángulo se calcula multiplicando el ancho por el largo.La diferencia entre el área del patio y el área del terreno para el estacionamiento corresponde al área que quedará libre del patio.

Multiplicar el ancho del rectángulo por el largo del rectángulo.Restar al área del patio el área del terreno para el estacionamiento.

ab

Área = a . b

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:

81Geometría

3Problema para ti

Emilio quiere cubrir su refrigerador con papel de aluminio. La altura del electrodoméstico es de 170 cm, mientras que la base es un cuadrado de 80 cm de lado. Si compró 60 000 centímetros cuadrados de papel, ¿serán suficientes para cu-brir el refrigerador? ¿Cuánto papel le sobra o le falta? (No consideres la base del refrigerador).

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:

82 Unidad 3




Ángulos ,

Redes ,

Área de figuras geométricas ,

Cuadrículas ,

Vistas ,

Transportador ,

Cuerpos geométricos ,

Describir y comprender el entorno físico

Geometría

a través de

medí y clasifiquécalculéidentifiqué

me permitieron

análisis deuso de uso de

AX= 18 cm cuadradosAX= 4 cm cuadrados

83Geometría

3Evaluación

Utilizando un transportador, mide la amplitud de los siguientes ángulos. Luego, clasifica cada uno de ellos:

Completa el siguiente cuadro dibujando las vistas que se solicitan de cada cuerpo geométrico:

Calcula el área de las siguientes figuras si el lado de cada cuadrado mide 1 metro:

a) b) c)

a) b) c)

Cuerpo Superior Frente Inferior

Pirámide de base pentagonal

Prisma de base triangular

Las fracciones4

En esta unidad aprenderás a:Definir el concepto de fracción. £

Leer y escribir fracciones. £

Representar fracciones gráficamente. £

Representar fracciones en la recta numérica y compararlas. £

Utilizar fracciones en diferentes ámbitos. £

84

85

Observa y responde:

¿Has comido macedonia?

¿Sabes por qué a una ensalada de frutas se le llama macedonia?

¿Qué hicieron los niños con las frutas enteras?

¿Cuántos trozos de una de las manzanas están malos?

¿Cuántos trozos de la pera están malos?

86 Unidad 4

Repartiendo en la fiesta de Marta Los padres de Marta le organizaron una fiesta sorpresa el día de su cumplea-

ños. A ella invitaron a familiares, amigas y amigos. Observa detenidamente la celebración:


87Las fracciones

4Desarrolla las siguientes actividades a partir de la escena del cumpleaños de

Marta:

Reparte algunas de las cosas para comer que hay en la fiesta entre la canti-dad de personas que se indica en cada caso:

La torta azul se repartirá en par-a) tes iguales entre 8 de los niños y niñas.

El brazo de reina se repartirá en b) partes iguales entre los 6 adultos que están en la fiesta.

Pinta de verde las cosas que se repartirán a los niños y de rojo las cosas que se repartirán a las niñas. Luego completa las frases que están más abajo:

Hay alfajores verdes de

un total de .

Hay alfajores rojos de

un total de .

Hay alfajores sin pintar

de un total de .

Hay globos verdes de

un total de .

Hay globos rojos de un

total de .

Hay globos sin pintar

de un total de .

6 alfajores serán para los niños y 7 a) para las niñas.

5 globos serán para los niños y 4 b) para las niñas.

88 Unidad 4


Partes de un todoMarcela lleva para su colación una naranja y la quiere

compartir con una amiga en partes iguales.

1

¿Qué parte de la naranja le tocará a cada niña?

A cada niña le corresponde la mitad de la naranja.

Esto equivale a decir que a cada niña le tocará 12 de la

naranja, es decir, 1 parte de las 2 partes en que fue di-vidida la naranja.

Las fracciones son números que permiten represen-tar las partes en que se divide un entero.Las fracciones están compuestas por:

Numerador (cantidad de partes que nos interesan)

Denominador (cantidad de partes iguales en que fue dividido el entero)

12

Se cree que fueron los

egipcios los primeros en

ocupar fracciones. Algu-

nos papiros indican que

trabajaron las fracciones

con numerador 1 (12

, 13

,

14

, etc.), además de 23

y

34

. Claro que ellos ocu-

paron otros signos para

representarlas.

¿Sabías que...?

89Las fracciones

4Supón que debes repartir en partes iguales los siguien-1. tes alimentos con tres compañeros y compañeras. Marca y pinta la cantidad de trozos que te tocará a ti. Expresa luego esta cantidad mediante una fracción:

Dibuja una representación gráfica de las situaciones que 2. se describen y colorea las partes que nos interesan:

Indica las partes de un todo que han sido coloreadas:3.

Pinté partes de las 8 que hay.

partes

de partes

partes

de partes

partes

de partes

Pinté partes de las 24 que hay.

a) b)

1 de 6 partes 2 de 4 partes 5 de 8 partes

Adivina la fracción:Si restamos al deno-minador el numerador, obtenemos 1. Si mul-tiplicamos por 2 el nu-merador, obtenemos el denominador.

Desafío al ingenio

Si en una bandeja con una docena de huevos, hay tres de color, ¿qué fracción re-presentan los huevos blan-cos del total de huevos en la bandeja?

A. 312

B. 912

C. 1012

90 Unidad 4


Significado, lectura y escritura de 1 2 y

1 3

En el negocio de don Pepe hay ofertas especiales:

2

12 kilogramo

$ 342

12 litro

$ 128

12 sandía

$ 455

¿Cómo podemos interpretar la información de los carteles de los productos en oferta?

Los carteles contienen fracciones que representan la cantidad de producto y el precio correspondiente. En

este caso 12 indica la mitad de un kilogramo, la mitad de

un litro y la mitad de una sandía, respectivamente.

12 se lee un medio y representa 1 de las 2 partes

iguales en que dividimos un entero, es decir, 12 repre-

senta la mitad de un total.

Colorea 1. 12 de las siguientes figuras:

Las siguientes fraccio-nes representan la mis-ma cantidad de partes de un total:

12 ,

24 y 36

Obsérvalas y halla la regularidad que las re-laciona. Tras esto, es-cribe otra fracción que represente la misma cantidad.

Desafío al ingenio

a) b) c)

91Las fracciones

4Camila, Felipe y Martín van a comprar al kiosco:

Responde:2.

Si Camila, Felipe y Martín se dividen la barra de a) chocolate equitativamente, ¿qué cantidad del total corresponde a cada uno? ¿A cuántos trozos equiva-le esta cantidad?

Si Martín se come una barra de la bolsa de cereal, b) ¿qué cantidad del total de cereal se ha comido?

En ambos casos, tanto la cantidad de chocolate para cada niño y niña como la cantidad de cereal que se come Martín pueden representarse respecto al total por

la fracción 13.

13 se lee un tercio y representa 1 de las 3 partes igua-

les en que dividimos un entero, es decir, 13 representa

la tercera parte de un total.

Pinta 3. 13 de los siguientes objetos:

Si tienes 30 libros, ¿qué cantidad representan

respectivamente 12 y 13 de ellos?

A. 12 y 8B. 20 y 15C. 15 y 10

a) b) c)

92 Unidad 4


3 Significado, lectura y escritura de 1 4 y

1 8

Paula y Felipe compraron dos pizzas del mismo tama-ño para repartirla con sus familiares. Felipe compró una española dividida en cuatro trozos iguales y Paula una napolitana dividida en ocho trozos iguales:

Antes de compartirla, ambos decidieron comer un trozo de su propia pizza para probarla. ¿Cuánto comió cada uno? ¿Quién comió más, Paula o Felipe?

Felipe comió un trozo de los cuatro en que está divi-

dida su pizza. Es decir, 14 del total.

14 se lee un cuarto y representa 1 de las 4 partes

en que dividimos un entero, es decir, 14 representa la

cuarta parte de un total.

Paula comió un trozo de los ocho en que está dividida

su pizza. Es decir, 18 del total.

18 se lee un octavo y representa 1 de las 8 partes en

que dividimos un entero, es decir, 18 representa la oc-

tava parte de un total.

Los ingredientes básicos

de las pizzas española y

napolitana son:

Española: tomate, que-

so, choricillo, pimentón,

orégano y jamón.

Napolitana: tomate, que-

so, anchoas, pimentón,

orégano y aceitunas.

¿Sabías que...?

93Las fracciones

4Veamos cuál de los dos comió más pizza. Lo que está

en verde representa lo que comió de su pizza cada uno:

Felipe 14

14

14

14

Paula 18

18

18

18

18

18

18

18

Felipe comió más pizza que Paula.

Escribe bajo cada figura la fracción que la representa:1.

Pinta lo necesario para representar 2. 14 y

18 del total:

a) d)

a) c)

b) e)

b) d)

c) f)

18 de 32 es:

A. 3B. 4C. 5

94 Unidad 4


2 3

Francisca invitó a dos de sus amigas a la casa y les ofreció uno de los cuatro trozos iguales en que dividió un queque:

4


¿Qué fracción del queque comerán entre las tres?

El queque se dividió en 4 partes, cada una de las cua-

les representa 14 del total. Como son 3 los trozos que

repartirá Francisca entonces 34 es la fracción que repre-

senta lo que comerán.

34 se lee tres cuartos y representa 3 de las 4 partes

en que dividimos un entero, es decir, 34 representa las

tres cuartas partes de un total.

Representa 1. 34 en los siguientes grupos de objetos pin-

tando los que corresponda:a) b)

Observa cómo hemos dividido 1:

�

Entonces:12 + 12 = 1

�

Entonces:13 + 13 + 13 = 1

�

Entonces:14 + 14 + 14 + 14 =

Desafío al ingenio

12

12

13

13

13

14

14

14

14

1

95Las fracciones

4

a) b) c)

Observa la barra de chocolate:

23 se lee dos tercios y representa 2 de las 3 partes en

que dividimos un entero, es decir, 23 representa las

dos terceras partes de un total.

Indica la fracción que representa cada cuadrícula:3.

13

13

23

13

13

Responde:2.

¿En cuántos trozos está dividida la barra?a)

En trozos.

¿Cuántos pedazos se separaron de la barra?b)

Se separaron trozos.

¿Qué fracción representa a la parte de la barra que c)

está fuera del envoltorio?

23 de es 16. ¿Cuál

de los siguientes números completa correctamente la frase anterior?A. 20B. 24C. 28

96 Unidad 4


1 100

La señora María vende frutillas en la feria:

5


Si un hombre prueba una frutilla de una bandeja y una de un cajón, ¿qué fracción representan las frutillas degustadas del contenido total?

110 se lee un décimo y representa 1 de las 10 partes

en que dividimos un entero, es decir, 110 representa

la décima parte de un total.1

100 se lee un centésimo y representa 1 de las 100

partes en que dividimos un entero, es decir, repre-senta la centésima parte de un total.

1 de 10 v 110

1 de 100 v 1

100

En la antigua Roma, cuando una Legión (uni-dad básica del ejército romano, compuesta por entre 5 000 y 10 000 sol-dados de infantería) se amotinaba, el legatus –o comandante– enviaba a ejecutar a 1 de cada 10 legionarios. A esta prác-tica se le llamó diezmar un ejército.

¿Sabías que...?

97Las fracciones

4

110 de 500 equivale a:

A. 500 : 10B. 500 · 10C. 10 : 500

A un colegio llegó un cargamento de 1 000 lápices:1.

Si al cuarto básico le corresponde la décima parte a) del cargamento, ¿a cuántas cajas equivale esta can-tidad? ¿A cuántos lápices?

Equivale a cajas.

Equivale a lápices.

Si al quinto básico le corresponde la centésima par-b) te del cargamento, ¿a cuántos lápices equivale esta cantidad?

Equivale a lápices.

Marcos vive en un edificio de 100 pisos:2.

Si Marcos subió por las escaleras hasta a) 110 de la al-

tura del edificio, ¿a qué piso llegó?

Llegó al piso .

Si Marcos sube en ascensor y le queda b) 1

100 de la al-

tura total del edificio para llegar a la altura máxima, ¿en qué piso se encuentra?

Se encuentra en el piso .

¿En qué piso se encuentra si ha subido hasta c) 12 de la

altura del edificio?

Está en el piso .

A las fracciones cuyo de-nominador corresponde a un 1 seguido de uno o más ceros se les llama fracciones decimales. Por ejemplo:

4103

100741

1 000

¿Sabías que...?

98 Unidad 4

Más fracciones

Don Fernando tiene un almacén que distribuye dife-1. rentes productos a algunos negocios de la comuna. 14 de sus ventas son bebidas. Esto lo podemos repre-

sentar como:

Pinta las casillas necesarias para representar la fracción de las ventas que corresponde a cada uno de los si-guientes productos:

6


Marcela usa su regla para medir longitudes. Determi-2. na la medida de algunos objetos a partir de la fracción que representan del largo total de la regla:

Pan: a) 3

100

Harina: b) 8

100

Azúcar: c) 15

Otros: d) 7

100

Objeto 1.a)

26 del total = cm

Objeto 2.b)

512 del total = cm

Objeto 3.c)

34 del total = cm

Objeto 4.d)

56 del total = cm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

¿Cuánto es 14

de 14

de 16?Desafío al ingenio

El centímetro es una uni-dad de longitud. Se abre-via como cm y equivale

a 1100 de 1 metro.

Recuerda

99Las fracciones

4Completa la siguiente tabla:3.

Se escribe Se lee Se representa15 Un quinto

Dos sextos

58

Las fracciones se escriben y leen nombrando el numerador seguido del de-nominador. Cuando este último es 2 se dice “medios”, cuando es 3 “tercios” y desde el 4 hasta el 10 se utiliza el número ordinal correspondiente. Observa cómo se escriben algunas fracciones:

12

23

14

25

16

57

18

39

110

Un medio

Dos tercios

Un cuarto

Dos quintos

Un sexto

Cinco séptimos

Un octavo

Tres novenos

Un décimo

Para las fracciones con denominador mayor que 10 se ocupa la terminación

“avo”. Por ejemplo: 413 se escribe “cuatro treceavos”.

Escribe cómo se leen las siguientes fracciones:4.

79a) :

623b) :

1740c) :

3276d) :

3481e) :

Los números ordinales destacan la posición de un elemento:1º: primero2º: segundo3º: tercero4º: cuarto5º: quintoEtc…

Recuerda

100 Unidad 4

Recta numérica y ordenFrancisco y Eugenio compiten para ver quién llega pri-

mero a la meta. Francisco ha recorrido 12 de la distancia

y Eugenio 23. Observa la siguiente representación:

7


¿Quién va ganando?Observando el esquema anterior concluimos que Eu-

genio va ganando porque ha recorrido mayor distancia. En otras palabras podemos afirmar que:

23 >

12

Esta relación la visualizaremos en una recta numérica.

Para representar en una recta numérica una frac-ción propia debemos dividir el intervalo de 0 a 1 en tantas partes como indique el denominador y de ellas considerar tantas partes como indique el numerador.

Representemos primero 34 en la recta numérica. Para

ello dividimos el intervalo de 0 a 1 en cuatro partes igua-les y consideramos tres de ellas:

ME

TA

12

12

13

23

13

0 1

34

Una fracción puede ser:

- Propia: el numerador

es menor que el deno-

minador y por lo tanto

la fracción es menor

que 1.- Igual a 1: el numerador

es igual al denominador

y por lo tanto la fracción

es igual a 1.

- Impropia: el numerador

es mayor que el deno-

minador y por lo tanto

la fracción es mayor

que 1.

¿Sabías que...?

101Las fracciones

4

Como 23 está a la derecha de

12 comprobamos que:

23 >

12

Representa 1. 13 y

25 en la recta numérica e indica cuál de

ellas es mayor:

La mayor es .

0 1

0 1

0 1

12

23

Recuerda que en la recta numérica el mayor de dos números es el que está más a la derecha.

A continuación representaremos 12 y

23.

Dividimos el intervalo de 0 a 1 en tantos intervalos ,

como nos indique el producto de los denominadores de las fracciones. En este caso serán 6 intervalos, ya que 2 · 3 = 6.

Ubicamos ambas fracciones en la recta: ,

• Para ubicar 12 multiplicamos su numerador por el de-

nominador de la otra fracción: 1 · 3 = 3. Entonces consideramos 3 de los intervalos de la recta.

• Para ubicar 23 multiplicamos su numerador por el de-

nominador de la otra fracción: 2 · 2 = 4. Entonces consideramos 4 de los intervalos de la recta.

Aplicando los pasos anteriores tenemos:

Cuando dos fracciones tienen el mismo deno-minador, es mayor la que tiene mayor numerador. Por ejemplo:25 < 4

5ya que

2 < 4

¿Sabías que...?

¿Cuál de las siguientes frac-ciones es mayor que 56?

A. 46

B. 56

C. 66

102 Unidad 4

Uso de fraccionesPara llegar al colegio desde su casa, Alejandra recorre

una distancia de 1 kilómetro. Cuando había recorrido 14

del camino encontró a su hermano. ¿A cuántos metros de su casa ocurrió el encuentro?

Alejandra se encuentra con su hermano cuando ha

recorrido 14 del kilómetro que separa su casa del colegio.

Por lo tanto, podemos dividir 1 kilómetro en cuatro tra-mos, correspondiendo cada uno a un cuarto del total. La longitud de uno de estos tramos nos indicará el lugar del encuentro.

Como ya sabemos 1 km = 1 000 m.Entonces:

1 000 m : 4 = 250 m

14

24

34

44

Casa14

14

14

14 Colegio

0 250 m 500 m 750 m 1 000 m

Como ves, el encuentro ocurrió a 250 m de la casa.

La mamá de Claudia compró 5 metros de tela y con 1. 15

de ella le hizo una falda.

8


Algunas unidades de

longitud:

km = kilómetro

m = metro

cm = centímetro

mm = milímetro

Equivalencias entre

ellas:1 km = 1 000 m

1 m = 100 cm

1 cm = 10 mm

Recuerda

Las fracciones impropias –mayores que 1– tam-bién se pueden repre-sentar gráficamente:

32

53

¿Cuál es la regla?

¿Sabías que...?

103Las fracciones

4¿Qué cantidad de tela utilizó la mamá en confeccio-a) nar la falda?

0 5 mOcupó m.

Si con b) 34 de lo que quedó de tela tras confeccionar

la falda, la mamá se confeccionó un vestido de no-che, ¿cuánta tela ocupó en él?

0 mOcupó m.

Felipe compró en el mercado 2. 14 de kg de jamón y

110

de kg de queso.

¿Cuántos gramos compró de jamón?a)

¿Cuántos gramos compró de queso?b)

En una zona protegida se estima que existen 800 3. plantas. Completa el siguiente cuadro calculando la fracción del total que representa cada especie:

Especie Cantidad Fracción

180

250

100

Quil-quil

Litre

Michay

Algunas unidades de masa:kg: kilogramog: gramoEquivalencia entre ellas:1 kg = 1 000 g

Recuerda

Juan ganó 13 de $ 9 000 y

José 25 de $ 7 500. ¿Quién

ganó más?A. JuanB. JoséC. Ganaron lo mismo

Para calcular 14 de 1 000

con la calculadora, debes digitar el numerador de la fracción 1, presionar , digitar 1 000, presionar

y digitar el denomina-dor 4. Obtendrás 250.

104 Unidad 4

Profundizando…

Fracción de un número Una empresa constructora está levantando un edificio de 48 metros de

altura. Si actualmente el edificio está construido hasta las 34 parte de la

altura que tendrá finalmente, ¿cuántos metros ya hay construidos?Hasta este momento hemos calculado la fracción de un número utili-

zando métodos gráficos. Observa:

14

24

34

44

14

14

14

14

0 12 m 24 m 36 m 48 m

Como puedes ver, hay 36 m del edificio construidos hasta el momento.También podemos usar un método numérico para calcular la fracción

de un número. Este consiste en multiplicar el número por el numerador de la fracción y luego dividir el resultado por el denominador de la frac-ción. Apliquémoslo para el ejemplo anterior:

Número: 48 Fracción: 34

3 · 48 = 144 144 : 4 = 36También puedes invertir el orden de las operaciones, es decir, dividir el nú-

mero por el denominador y luego multiplicar el resultado por el numerador.

48 : 4 = 12 12 · 3 = 36

PracticaCalcula las fracciones de los siguientes números y completa las frases:1.

Paz dio 2. 16 de sus tarjetas a Lorena,

412 a Laura y

612 a Liliana. Si tenía 36

tarjetas para repartir, ¿cuántas corresponden a cada una de sus amigas?

14a) de 60 es

510b) de 100 es

23c) de 300 es

d) 1

100 de 100 000 es

105Las fracciones

4Comparando fracciones

Sobre una mesa hay dos vasos idénticos con leche, al vaso A le queda 34 de su capacidad máxima, y al B le queda

56 de su capacidad máxima.

¿Cuál de los dos tiene más leche?

Método gráfico , : consiste en representar ambas fracciones en la recta numérica. La que esté más a la derecha será la mayor:

Como 56 está a la derecha de

34, entonces

34 <

56 y, por lo tanto, el vaso

B tiene más leche.

Método numérico , : consiste en ubicar las fracciones una al lado de la otra y “multiplicar cruzado”, es decir, el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda y el denominador de la primera con el numerador de la segunda. Comparando estos productos podremos determinar cuál de las fracciones es mayor y cuál es menor:

34

56

3 · 6 4 · 5 18 20

Como 18 < 20, entonces 34 <

56.

PracticaCompara las siguientes fracciones utilizando el método numérico:1.

34a)

79

46b)

510

89c)

23

65d)

93

68e)

77

910f)

9100

Don Fernando desea repartir una cierta cantidad de dinero entre sus 2.

tres hijos. A Sebastián dará 26 del total, a Daniel

14 y a Gustavo

512. ¿Cuál

de los tres hijos recibirá más dinero? ¿Cuál menos?

0 1

34

56

106 Unidad 4

Resuelvo problemas

Problema modeloEn la verdulería El Túnel se vendieron

150 kg de frutas; de los cuales 25 fueron

de duraznos, 13 de damascos y

415 de uvas.

¿Cuántos kilogramos de duraznos, damas-cos y uvas se vendieron?

La verdulería vendió 60 kg de duraznos, 50 kg de damascos y 40 kg de uvas.

El total de frutas vendidas fue de 150 kilogramos.De ellos las partes fueron kilogramos de duraznos, la parte de damascos y las partes de uvas.

254

15

Comprobamos multiplicando por el numerador y dividiendo por el denominador:Duraznos: 150 . 2 = 300

300 : 5 = 60Damascos: 150 . 1 = 150

150 : 3 = 50Uvas: 150 . 4 = 600

600 : 15 = 40

Duraznos: Número: 150 Numerador: 2 Denominador: 5 150 : 5 = 30 30 . 2 = 60Damascos: Número: 150 Numerador: 1 Denominador: 3 150 : 3 = 50 50 . 1 = 50Uvas: Número: 150 Numerador: 4 Denominador: 15 150 : 15 = 10 10 . 4 = 40

Kilogramos de duraznos: Kilogramos de damascos: Kilogramos de uvas:Calcular de 150 Calcular de 150 Calcular de 150

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:

25

13

13

415

107Las fracciones

4Problema para ti

Raúl compró una bolsa con 240 caramelos de

varios sabores. 510 del total son caramelos ro-

jos. De estos, 24 son de frutilla y

26 de guinda.

Si los caramelos rojos pueden ser solo de fruti-lla, frambuesa o guinda, ¿cuántos caramelos de frambuesa vienen en la bolsa?

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:

108 Unidad 4




Comparar fracciones ,

Recta numérica ,

Medición de longitudes y masas ,

Partes de un todo ,

Operar fracciones ,

Numerador y denominador ,

Métodos gráficos ,

Usar fracciones para representar situaciones cotidianas

Fracciones

a través de

en las que debípude definirlas como

me permitieron

identificación de aplicaciones enuso de

pude

3 4 0 1

24

24

> 13

y 38

< 78

34

de 8 es 6

23

+ 13

= 1

3 cm y 8 kg

109Las fracciones

4Evaluación

Identifica el numerador y el denominador de las siguientes fracciones. Seña-la además cómo se lee cada una de ellas:

Fracción Numerador Denominador Se lee…137121167

Ubica en la recta numérica las fracciones 36 y

34. Indica luego cuál es mayor:

0 1

Representa en las cuadrículas las siguientes fracciones:

a) 718 b)

1212 c)

14

a) b) c)

Indica una fracción que represente las unidades coloreadas en cada grupo:

Los números decimales5

En esta unidad aprenderás a:Comprender lo que representa un número decimal. £

Leer y escribir números decimales hasta el centésimo. £

Relacionar los números decimales con las fracciones decimales. £

Representar números decimales en la recta numérica. £

Comparar números decimales. £

Emplear números decimales para expresar cantidades y resolver £

problemas.

110

111

Observa y responde:

¿Sabes lo que es una sigla? ¿Sabes qué significa IPC?

¿Qué productos han aumentado su precio en los últimos meses? Menciona dos.

¿Cómo lees los números que aparecen en la tabla?

¿Qué representa la coma que aparece entre los números de la tabla?

¿En qué otra parte has visto esta clase de números, llamados decimales?

112 Unidad 5

Comprando en la baratellaBárbara se encuentra en el almacén La baratella donde debe comprar varias

cosas:


113Los números decimales

5La mamá de Bárbara le dio la siguiente lista de compras:

Completa los siguientes esquemas relacionando los números decimales con las fracciones decimales que le corresponden. Básate en el ejemplo:

1,5 0,5 2,5 1,0Una y media unidad Media unidad

1510

A partir del esquema completa con las fracciones que correspondan:

1,5 = a) 0,5 = b) 2,5 = c) 1,0 = d)

Harina: $ a)

Aceite: $ b)

Parafina: $ c)

Alimento de perro: $ d)

¿Cuánto dinero gastó Bárbara en las compras? Ocupa los valores fracciona-rios para calcularlo.

114 Unidad 5


Decimales y su significadoBuscando en Internet, Javier encontró un bonito mo-

nedero para su hermana pequeña. Al buscar el precio se encontró con lo siguiente:

1

Encontró que poseía tres partes:A.

Parte entera Parte decimal

0,5Coma decimal

Los números decimales están formados por una par-te entera en el lado izquierdo y por una parte decimal en el lado derecho. Una parte está separada de la otra por la coma decimal.

Pinta azul la parte decimal y verde la parte entera de 1. los siguientes números:

a)

b)

c)

d)

Existen muchas venta-

jas de usar la Web como

medio de compra o pago.

Por un lado se reducen

los tiempos en los trámi-

tes y se evitan las colas

a la hora de comprar o

pagar y, por otro, se aho-

rran los comprobantes

en papel. La tarea es dar

acceso a Internet a toda

la población del país

para así masificar esta

actividad.

¿Sabías que...?

El Euro (€) es la moneda oficial de la Unión Euro-pea (UE) desde el 1 de enero de 1999. Al 2009 circula libremente en 22 países europeos.

¿Sabías que...?

Como el número le era desconocido, decidió investi-garlo.


5B. Javier encontró que se podía leer y escribir como:

“Cinco décimas”

Para nombrar un número decimal debes:Nombrar la parte entera seguida de la palabra EN- ,

TEROS o UNIDADES. Si esta parte es cero, no se nombra.A continuación intercalar la letra Y. ,

Nombrar la parte decimal. Si posee solo un dígito ,

agregar la palabra DÉCIMAS. Si posee dos dígitos agregar la palabra CENTÉSIMAS.

2. Escribe con palabras los siguientes números decimales:

0,2: a)

0,94: b)

1,3: c)

3. Escribe el número decimal que corresponde:

Cuatro centésimas: a)

Dos unidades y 8 décimas: b)

Treinta y cuatro unidades y dos décimas: c)

La parte entera de un número decimal se des-compone posicionalmen-te igual que los números naturales. Es decir, de derecha a izquierda, en unidades (U), decenas (D), centenas (C), uni-dades de mil (UM), etc.

3 651,03

Recuerda

El número “una unidad y cuatro centésimas” co-rresponde a:A. 1,4B. 1,04C. 1,004

C. Finalmente encontró que el precio en pesos chile-nos era de $ 400 y dedujo lo siguiente:

“Como $ 800 equivalen a 1 €, y 400 es la mitad de 800, en-tonces 0,5 € equivalen a la mitad de 1 €… y por lo tanto:

0,5 es la mitad de 1”4. Responde:

¿Cuánto cuestan 0,5 kg de carne a) si 1 kg vale $ 1 200? $

¿Cuánto cuesta 1 L de gasolina b) si 0,5 L valen $ 240? $

116 Unidad 5


Decimales y fracciones decimalesEL profesor de Matemática está dictando una serie

de números para que los estudiantes los escriban en sus cuadernos:

2

Lorena escribió lo que está a la izquierda y Carlos lo que está a la derecha:

A.

B.

C.

A. 0,04

B. 0,9

C. 0,14

4100

14100

910

¿Cuál de los dos escribió correctamente los números?Ambos escribieron correctamente: Lorena expresó los

números usando fracciones y Carlos usando números decimales. He aquí la equivalencia:

0,04 = 4

100 0,9 = 910 0,14 =

14100

Los números decimales se pueden expresar como fracciones decimales y viceversa:Si el número decimal tiene 1 dígito en la parte deci-mal, se escribe el número sin la coma como numera-dor y un 10 como denominador.Si el número decimal tiene 2 dígitos en la parte deci-mal, se escribe el número sin la coma como numera-dor y un 100 como denominador.

Las fracciones decimales

son aquellas cuyo deno-

minador está constituido

por un 1 seguido de uno

o más ceros:31052100

71 000

1210 000

Etcétera.

Recuerda

Para comprobar la equi-valencia fracción-decimal debes dividir el numera-dor y el denominador de la fracción. El cociente debe coincidir con la expresión decimal. Por ejemplo:

310 = 0,3

Digita el numerador 3, presiona , digita el de-nominador 10 y presiona

. Obtendrás 0,3.


5Expresa los siguientes números decimales mediante 1. una fracción decimal:

0,2 = a)

0,77 = b)

1,58 = c)

18,6 = d)

0,3 = e)

9,21 = f)

Pinta los recuadros necesarios para representar los nú-2. meros decimales:a) 0,3

b) 0,15

c) 0,7

Cuando la parte entera de un número decimal es 0, 3. el valor del número decimal es menor que 1. A conti-nuación, pinta los números que son menores que 1:

0,35 1,06 0,9

1,5 0,01 3,24

Resuelve gráficamente la adición:0,3 + 0,5 + 0,2 = ?

Ocupa l a s igu ien te cuadrícula:

Desafío al ingenio

Una expresión fraccionaria de 1,43 es:

A. 143 10

B. 143100

C. 1431 000

118 Unidad 5


3 Igualdades y expresión decimal de una fracción

Don Joaquín compró una puerta. En las especificacio-nes leyó que su altura era de 2,20 metros:

Al medir con su huincha anotó:

Responde:1.

¿Cometió un error don Joaquín al medir la altura de a) la puerta?

¿Cómo se escribe con palabras la altura según las b) especificaciones de la puerta y según el valor que obtuvo don Joaquín?

2,20:

2,2:

¿Hay alguna diferencia entre ambos números?

Cuando agregamos ceros a la derecha de la parte de-cimal de un número no se altera su valor.Por ejemplo, tienen el mismo valor:

9,8 = 9,80 = 9,8003,14 = 3,140 = 3,1400

Las especificaciones de

un producto describen

el uso al que se destina

y las indicaciones sobre

sus características esen-

ciales. En el caso de una

puerta las indicaciones

fundamentales podrían

ser los materiales de

que está hecha y sus

dimensiones: alto, largo

y ancho.

¿Sabías que...?

Así como el agregar ceros a la izquierda de un nú-mero natural no altera su valor (43 = 043 = 0043), el agregar ceros a la derecha de la par te decimal de un núme-ro tampoco lo hace (2,1 = 2,10 = 2,100).

Recuerda


5Une mediante una línea los términos que están a la 2. derecha con sus equivalente a la izquierda:

Una décima 0,120

1,40 Una unidad y cuarenta centésimas

Siete décimas Diez centésimas

0,12 0,70

Observa las siguientes fracciones:

30100

6100

8100

124 10

¿Cuál es la expresión decimal de cada una de ellas?Como ya vimos, el número de ceros del denominador

indica la cantidad de dígitos decimales que debemos marcar en el numerador (se indican en azul). Entonces:

30100 = 0,30 = 0,3

6100 = 0,06

810 = 0,8

124100 = 1,24

Expresa las fracciones decimales como números deci-3. males. Indica en cada caso la cantidad de ceros que posee el denominador y las cifras decimales del nú-mero decimal:

1810a) =

65410b) =

3100c) =

910d) =

Una fracción con el mismo

valor que 710 es:

A. 7100

B. 7010

C. 70100

Un número natural se puede expresar como un número decimal cuya par te decimal es cero:13 = 13,00000…

¿Sabías que...?

120 Unidad 5

Números decimales en la recta numérica

Mirando el periódico Matías encontró que el valor del IPC de abril del 2007 fue de 0,6 y quiso representar este número en la recta numérica.

Ayudémoslo…Dibuja la recta numérica. Como 0,6 es menor que 1 1º basta que dibujes el intervalo del 0 al 1:

Como el número 0,6 equivale a 2º 610 (“seis décimos”),

dividimos el intervalo en 10 partes iguales:

Finalmente contamos 6 espacios de izquierda a dere-3º cha y ubicamos el número en esta posición:

Hemos representado 0,6 en la recta numérica.

En julio del mismo año el valor del IPC fue de 1,1. Para ubicarlo en la recta debemos fijarnos que este número está entre 1 y 2, por lo tanto, ahora dividimos este inter-valo en 10 partes y consideramos uno de ellos:

4


0 1

0 1

0 1

0,6

0 21

1,1

El IPC (Índice de Precios

al Consumidor) indica la

variación mensual de los

precios de una canasta

de productos de con-

sumo básico. A mayor

IPC, los precios de los

artículos que compras

son mayores y todo se

hace más caro.

¿Sabías que...?

Hemos representado 1,1 en la recta numérica.


5Representa los siguientes números decimales en las 1. rectas numéricas:

0,3: a)

1,7: b)

0,9: c)

Observa los valores del IPC el primer semestre del año 2. 2008:

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio0,0 0,4 0,8 0,4 1,2 1,5

Representa cada valor en la recta numérica:a)

¿Qué meses se registró el mismo valor de IPC?b)

Identifica los números decimales que están en la recta 3. numérica y escríbelos con palabras:

Los números que aparecen en la recta numérica son: : :

0 1

0 1

0 21

0 21

Para representar en la recta numérica números decimales mayores que 1 debes trabajar sobre el intervalo definido por la parte entera del nú-mero y su sucesor. Por ejemplo:- El 3,7 se ubica entre el 3 y el 4.- El 12,24 se ubica entre el 12 y el 13.

Recuerda

Considera el número deci-mal 0,7. En la recta numéri-ca el número 0,70 está:A. En su misma posición.B. A su derecha.C. A su izquierda.

0 21

122 Unidad 5

Comparación de números decimales

El valor del dólar en pesos chilenos es un factor muy importante para el desarrollo del comercio tanto dentro del país como fuera de él. A continuación se muestra el valor en pesos de la moneda estadounidense para algu-nos días de enero del 2009:

5


5 6 7 8 9640,91 643,87 633,23 630,19 629,50

Responde:1.

¿Qué día el valor del dólar fue mayor?a)

El de enero.

¿Qué día el valor del dólar fue menor?b)

El de enero.

Realiza las siguientes actividades:2.

Ordena los valores de la tabla de mayor a menor:a)

Escribe con palabras los números decimales de la b) tabla:5 de enero:

6 de enero:

7 de enero:

8 de enero:

9 de enero:

> >> >

Para comparar el valor de dos números decimales debes partir por la parte entera. Si esta es igual, de-bes ir comparando los dígitos decimales uno a uno de izquierda a derecha. Por ejemplo:3,5 es mayor que 3,46 ya que el primer dígito deci-mal (décima) así lo indica (5 > 4).

Una casa de cambio

es un centro que permi-

te cambiar monedas de

un país por monedas de

otro.Cualquiera de nosotros

puede comprar dólares

en las casas de cambio,

o cualquier otra moneda

extranjera.

¿Sabías que...?


5

< < <

¿Cuál de las tres botellas contiene más bebida?a)

La de litros.

¿Cuál de las tres contiene menos bebida?b)

La de litros.

En una ciudad del norte de Chile se registraron los 4. siguientes valores en milímetros para las precipitacio-nes mensuales del año 2005:

Mayo Junio Julio AgostoLluvia 8,7 10,34 8,58 9,6

¿Cuál fue el mes más lluvioso de los señalados?a)

El mes de .

¿Cuál fue el mes menos lluvioso de los señalados?b)

El mes de .

La lluvia mensual normal medida en milímetros en la 5. misma ciudad es la siguiente:

Mayo Junio Julio AgostoLluvia normal 12,06 17,2 14,91 12,44

¿El intervalo mayo-junio-julio-agosto del 2005 en a) la ciudad fue seco o lluvioso? Compara los valores del 2005 con los valores normales de la segunda tabla.

Ordena los datos de lluvia en un año normal de b) menor a mayor:

Agregando un símbolo transforma el número 78 en otro que se ubi-que entre el 7 y el 8 en la recta numérica.

Desafío al ingenio

¿Cuál de los siguientes nú-meros es mayor que 30,65 y menor que 30,72?A. 29,70B. 30,58C. 30,66

Mauricio compró tres bebidas:3.

124 Unidad 5

Uso de los números decimalesComo ya sabes la unidad de longitud es el metro, que

a su vez podemos subdividir en 10 y 100 partes iguales:Si subdividimos 1 metro en diez partes iguales a cada

una de ellas llamamos 1 decímetro, es decir, una décima de metro es 1 decímetro:

6


110 m = 0,1 m = 1 dm

Si ahora lo subdividimos en 100 partes cada una de ellas equivale a 1 centímetro, o sea que una centésima de metro es 1 centímetro:

1100 m = 0,01 m = 1 cm

Es usual utilizar números decimales para expresar longitudes. Algunas equivalencias entre unidades de medida de longitud son:1 m = 10 dm o 0,1 m = 1 dm1 m = 100 cm o 0,01 m = 1 cm1 dm = 10 cm o 0,1 dm = 1 cm

Las unidades de longitud se pueden abreviar:Metro: mDecímetro: dmCentímetro: cmOtras unidades de longi-tud de uso común son:Kilómetro: kmMilímetro: mm

Recuerda

Se cuenta que la unidad

de longitud inglesa yarda

(equivalente a 91,44 cm)

la estableció el rey inglés

Enrique I (que gobernó

hacia el 1100 d. de C.)

como la distancia entre

su nariz y el dedo pul-

gar de su mano derecha

(manteniendo el brazo

extendido).

¿Sabías que...?

Algunas reglas importantes:Coma a la derecha

Coma a la izquierda

Metro Decímetro Centímetro

Mover dos posiciones

Mover dos posiciones

Mover una posición

Mover una posición Mover una posición

Mover una posición


5

Ordena los nombres de los niños desde el más alto a) al más bajo.

Expresa las alturas anteriores en decímetros:b)

Renato mide dm de altura.

Roberto mide dm de altura.

Braulio mide dm de altura.

Expresa las alturas en centímetros.c)

Renato mide cm de altura.

Roberto mide cm de altura.

Braulio mide cm de altura.

1,9 metros equivalen a:A. 19 cmB. 190 cmC. 1 900 cm

> >

Completa la siguiente tabla con las equivalencias en-1. tre unidades de longitud.

Metro Decímetro Centímetro1 10 100

507

0,3

2.

Renato Roberto Braulio

126 Unidad 5

Profundizando…

La milésima y otros valores posicionales decimalesHasta ahora hemos visto los valores decimales hasta la décima y la cen-

tésima. Otros valores decimales son:

Unidad Coma Décima Centésima Milésima Diezmilésima2 , 3 2 7 6

Este número 2,3276 se lee “dos unidades y tres mil doscientas setenta y seis diezmilésimas”.

Por ejemplo:

0,006 = 6

1 000 Se escribe: seis milésimas.

0,014 = 14

1 000 Se escribe: catorce milésimas.

0,7331 = 7 331

10 000 Se escribe: siete mil trescientos treinta y un diezmilésimas.

Practica

Escribe con palabras los siguientes números decimales:1.

13,004: a)

0,0101: b)

1,540: c)

0,032: d)

2,3407: e)

0,0051: f)

Expresa como número decimal las siguientes fracciones:2. 23

1 000a) =

11 000b) =

8841 000c) =

1 0541 000d) =


5Más unidades de longitud

Ya vimos que si dividimos 1 metro en 10 partes iguales obtenemos 10 A. decímetros y que si lo dividimos en 100 partes, entonces obtenemos 100 centímetros. ¿Qué ocurre si dividimos 1 metro en 1 000 partes iguales?Cada una de las 1 000 partes en que se divide el metro corresponde a 1 milímetro, es decir, una milésima de metro es 1 milímetro:

11 000 m = 0,001 m = 1 mm

Una maratón es la prueba olímpica más larga de las corridas a pie. Con-B. siste en recorrer un trayecto de 42,195 kilómetros. ¿Cómo podemos expresar esta distancia en metros? Observa:

Si dividimos 1 kilómetro en 1 000 partes iguales obtendremos 1 metro. Otra forma de señalar esta relación es indicar que la milésima parte de un kilómetro es un metro:

1 m = 1

1 000 km = 0,001 km

Practica

Completa la siguiente tabla con los números que corespondan:1.

Milímetro Centímetro Decímetro Metro Kilómetro1

50030

1006 000

400

128 Unidad 5

Resuelvo problemas

Problema modeloAlonso y Tomás desarrollaron una prueba.

Alonso demoró 35,16 minutos en responder

su prueba. Por su parte, Tomás demoró 3 515100

minutos en desarrollar la suya. ¿Quién demo-

ró menos tiempo en responder la prueba?

Debemos expresar el tiempo que demoró Tomás mediante un número decimal.Luego, comparamos los dos números decimales que representan los tiempos que tardaron los niños. El número menor corresponde al niño que demoró menos.

Planifica:

Resuelve:

Tomás demoró menos tiempo.

Responde:

El tiempo de Alonso se lee “treinta y cinco unidades y diez y seis centésimas” y el de Tomás “treinta y cinco unidades y quince centésimas”. Las unidades coinciden pero Alonso demoró “una centésima más”.

Comprueba:

En el tiempo de Tomás , separamos el numerador y ubicamos la coma de manera que determine dos dígitos decimales:

= 35,15Para comparar los números primero notamos que la parte entera es idéntica y que el dígito de las décimas es 1 para ambos. Finalmente, constatamos que el dígito de las centésimas para el tiempo de Alonso es 6 y para Tomás es 5. Por lo tanto: Tpo. de Tomás < Tpo. de Alonso; ya que 35,15 < 35,16.

3515100

3515100

Dos estudiantes han resuelto una misma prueba.Alonso lo hizo en 35,16 minutos. Tomás lo hizo en minutos.3515

100

Comprende:


5Problema para ti

Las familias de María, Mónica y Marcela par-tieron de vacaciones a diferentes lugares. La de María fue a un balneario ubicado a 124,364 km, la de Mónica a una playa ubicada a 124,436 km y la de Marcela a un lago distante 124,643 km. ¿Cuál de las tres familias debió viajar más kiló-metros?

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:

130 Unidad 5




Expresar fracciones como números ,

decimalesParte entera, coma y parte decimal ,

Mediciones de longitud ,

Establecer relaciones de orden ,

Convertir unidades de medida ,

Leer y escribir números decimales ,

Recta numérica ,

Comprender información expresada mediante números decimales

Números decimales

a través de

hicieron posible

me permitieron

identificación de aplicaciones enuso de

1BBB2BBB3

3 cm

fui capaz depude

3,2

0,5: cinco décimas 0,7 < 0,9 y 2,4 > 1,4310

= 0,3 1,5 m = 150 cm = 1 500 mm

0 1 2 3


5Evaluación

Observa los siguientes sacos de harina:

Ordena de menor a mayor los números decimales anteriores:b)

0 1

Ubica las fracciones en la siguiente recta numérica:a)

Escribe con palabras los números decimales que indican el contenido de c) harina de cada saco:

0,25:

0,35:

0,2:

0,3:

Expresa las siguientes cantidades en la unidad que se indica:

Expresa cada número decimal en forma fraccionaria:

300 cm = a) m

5 mm = b) cm

350 m = c) km

700 cm = d) dm

0,47 = a)

1,03 = b)

0,72 = c)

304,1 = d)

>>>

Organizando información6

En esta unidad aprenderás a:Recolectar y organizar datos del entorno. £

Extraer información a partir de tablas de datos. £

Leer y extraer información desde gráficos de barras verticales y £

horizontales.Representar información en gráficos de barras. £

Interpretar información. £

132

133

Observa y responde:

¿Qué están haciendo los niños y niñas?

¿Cuántos niños y niñas hay?

¿Cuántos juguetes hay de cada tipo?

¿Has realizado obras de caridad con tu curso?

134 Unidad 6

Las flores de doña MargaritaUn grupo de niños y niñas ayudó a la señora Margarita a plantar flores en su

patio. Dos meses más tarde la visitaron para ver el resultado y se encontraron con el siguiente espectáculo de colores:


135Organizando información

6Observando el patio de doña Margarita, realiza las siguientes actividades:

Pinta las casillas del color que se indica. Una casilla por cada flor del color respectivo. Parte desde abajo:

121110987654321

Azul Rosado Rojo Violeta Amarillo

Responde:

¿Cuántas flores hay en total? Hay a) flores.

¿De qué color hay más flores? De color b) .

¿De qué color hay menos flores? De color c) .

¿Cuál es la diferencia entre flores azules y amarillas? d) .

El único ingreso de la señora Margarita lo obtiene por la venta de sus flores. Las rojas las vende a $ 300, las azules a $ 200, las rosadas a $ 400, las ama-rillas a $ 150 y las violetas a $ 100. Calcula sus ingresos si:

Vende 3 flores de cada color. Obtendrá $ a) .

Vende 2 rojas, 3 violetas y 5 rosadas. Obtendrá $ b) .

Vende 4 amarillas, 6 azules y 1 violeta. Obtendrá $ c) .

Vende 2 violetas, 2 azules, 3 rojas y 2 amarillas. Obtendrá $ d) .

Vende todas las flores que hay en el patio. Obtendrá $ e) .

136 Unidad 6


Datos ordenadosLa Teletón es una fundación que se encarga del tra-

tamiento y rehabilitación de miles de niños y niñas con algún tipo de discapacidad motriz, contando para ello con 10 centros de rehabilitación a lo largo del país.

Observa la siguiente tabla:

Centro Nº de pacientesArica 500

Iquique 500Antofagasta 1600

Coquimbo 800Valparaíso 3 200Santiago 8 500

Talca 600Concepción 3 340

Temuco 1 620Puerto Montt 2 315

Fuente: Fundación Teletón.

Responde:1.

¿Qué criterio se ocupó para presentar la informa-a) ción?

¿En qué centro se atiende a más niños y niñas?b)

En el centro de .

¿En qué centros se atiende a menos niños y niñas?c)

En los centros de e .

1

Una tabla de datos permite ordenar los datos re-colectados de manera que cualquier persona pueda leerlos y entenderlos. También recibe el nombre de tabla de registros.

La primera Teletón se realizó en 1978 y des-de entonces es la obra más importante que se ha efectuado en favor de los niños y niñas con dis-capacidad; no sólo por trabajar en su rehabili-tación, sino que además por haber producido en el país un cambio cultural a favor de la digni-dad y los derechos de las personas con discapacidad.

¿Sabías que...?


6En una ciudad se registró cuántas empresas hicieron 2. aportes a la Teletón. Los datos por rubro de la empre-sa son:

Rubro Nº de empresas que aportaronAlimenticio 14

Minero 11Pesquero 8Forestal 17

Responde:

¿Cuántas empresas aportaron a la Teletón?a)

empresas.

¿Cuál es el rubro que más se hizo presente en nú-b) mero de empresas?

El rubro .

¿Cuál es el rubro que menos se hizo presente en c) número de empresas?

El rubro .

La meta impuesta a un pequeño poblado para la Te-3. letón es de $ 950 000. Hasta las 23:00 (1 hora antes del cierre) se han recibido $ 730 000. Los últimos 5 aportes de los pobladores fueron los siguientes:

Hora del aporte Aporte23:18 $ 45 00023:20 $ 50 00023:48 $ 18 00023:55 $ 32 00023:59 $ 60 000

Responde:4.

¿Se alcanzó la meta? a)

¿Cuánto dinero faltó o sobró? $ b)

Adivina las edades de las siguientes niñas repre-sentadas en la tabla con las letras a, b, c y d:

Niña EdadPía aPaz bMaría cLaura d

Las pistas son:- b es dos unidades ma-yor que a.

- d es 3 unidades menor que c y 5 unidades ma-yor que a.

- El valor de c es 20.

Desafío al ingenio

138 Unidad 6


Ordenando informaciónEs común que muchos colegios se organicen para re-

unir fondos para la Teletón.

2

Los terceros recaudaron $ 30 000, los sextos $ 25 000, los primeros $ 20 000, los cuartos $ 50 000, los segun-dos $ 15 000 y los quintos $ 10 000.

Ordena en la tabla los datos por nivel (del menor al 1. mayor):

Nivel Monto reunido

Ordena los datos por cantidad reunida (de mayor a 2. menor):

Nivel Monto reunido

El monto reunido en

la Teletón realizada el

año 2008 ascendió a

$ 22 533 294 849. ¿Sa-

bes cómo se escribe con

palabras este número?

Averígualo.

¿Sabías que...?


6Para ordenar la información en una tabla de datos debes establecer algún criterio o relación entre ellos. Por ejemplo, puedes ordenar los datos numéricos en orden creciente o decreciente y los datos no numéri-cos, puedes ordenarlos en orden alfabético.

Responde:3.

Considera las tablas que elaboraste en la página an-a) terior, ¿en cuál de ellas es más cómodo averiguar el nivel que aportó con más dinero?

La tabla .

El nivel que más aportó fue el de los

con $ .

¿En cuál de las tablas es más cómodo consultar para b) calcular la diferencia entre lo que aportaron los pri-meros y los segundos básicos?

La tabla .

La diferencia fue de $ .

Una alumna realizó una encuesta en su cuadra pre-4. guntando: En esta casa, ¿existió algún aporte a la última Teletón?

Los resultados fueron:

Casa 1: Sí Casa 4: No Casa 7: Sí Casa 10: SíCasa 2: Sí Casa 5: No Casa 8: No Casa 11: NoCasa 3: No Casa 6: Sí Casa 9: Sí Casa 12: Sí

Indica con una cruz las respuestas anteriores en la se-gunda columna de la tabla y en la tercera escribe el total de preferencias para cada opción:

Respuesta Marcas TotalSíNo

Los números pares son los que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8.Los números impares son los que terminan en 1, 3, 5, 7 ó 9.

Recuerda

De las siguientes tres for-mas de ordenar las edades de los estudiantes de un curso elije la que te parece menos útil:A. Desde el estudiante

mayor al menor.B. En orden alfabético por

apellido.C. Primero las edades

pares y luego las impares.

140 Unidad 6


3 Lectura de gráficos de barrasLos cursos de un colegio recolectan ropa en buen es-

tado para enviar a diversas fundaciones de ayuda a per-sonas de escasos recursos. El detalle de lo reunido se muestra en el siguiente gráfico:

Traslada la información del gráfico a la siguiente tabla 1. de datos:

Prenda

Nº de unidades

En un gráfico de barras la altura de cada barra indica la cantidad de veces que se repite el dato graficado. Se dice entonces, que cada barra indica la frecuencia del dato.Las barras pueden ser verticales –como en el gráfico anterior– u horizontales.

20

15

10

5

0 PrendasPantalones Poleras Vestidos Zapatillas

En un gráfico de barras,

la barra más alta (de

mayor longitud) indica

el dato más frecuente y

la más baja (de menor

longitud) el datos menos

frecuente.

Recuerda

En Chile muchas institu-ciones reciben ropa usa-da que luego distribuyen a las personas más des-poseídas. Una de ellas es la Cruz Roja.

¿Sabías que...?Unida

des


6Pinta los casilleros que correspondan de acuerdo a la 2. información entregada en el gráfico de la página an-terior:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Pren

das

Unidades

A partir de los gráficos anteriores completa:3.

La frecuencia para el dato a) zapatillas es .

La frecuencia para el dato b) vestidos es .

La diferencia entre la frecuencia del dato c) pantalones y el dato vestidos es .

Las notas del 4º B en una prueba de Matemática se 4. representan en el siguiente gráfico:

¿Cuál fue la nota más frecuente? a)

¿Cuál fue la nota menos frecuente? b)

¿Cuántos estudiantes tiene el 4º B? c)

Zapatillas

Vestidos

Poleras

Pantalones

76543210 Nota

Estu

dian

tes

1 2 3 4 5 6 7

Al dato más frecuen-te de un conjunto de datos se le llama la “moda” del conjunto. Así, por ejemplo, si la edad más frecuente en tu curso es de 9 años, entonces la “moda” es tener 9 años.

¿Sabías que...?

Según el gráfico, el dato más frecuente o moda es:A. AB. BC. C

A B C Dato

Frec

uenc

ia

142 Unidad 6

Representación gráfica de información

Los organizadores de una jornada solidaria para ayu-dar a un hogar de ancianos ofrecen jugos de fruta natu-ral a las personas que asisten a ella:

4


La cantidad vendida de jugos el primer día fue:

Frutilla Naranja Damasco Piña

Jugo

Cantidad 8 11 9 6

Representemos la información en un gráfico de barras:Dibujamos los dos ejes, uno horizontal y otro vertical. 1º A cada uno le damos un nombre. En el eje horizontal anotamos los sabores de jugo y en el vertical la can-tidad de vasos:

La Organización Mundial

de la Salud (OMS) reco-

mienda comer al menos

400 gramos de frutas al

día. Es decir, si comes

esta cantidad de frutas

diariamente te sentirás

sano y fuerte.

¿Sabías que...?

121086420

Sabores

Vaso

s

F N D P


6

Verdura

Unidades 13 7 16 17

Dibujamos las barras de la altura que indique la can-2º tidad consumida de cada sabor:

Dibuja el mismo gráfico anterior pero ahora con las 1. barras dispuestas en forma horizontal.

Construye el gráfico de barras que representa la infor-2. mación de la tabla que indica la cantidad de verduras y hortalizas cosechadas en una huerta:

121086420

Sabores

Vaso

s

F N D P

Los datos que ubicas en los ejes de un gráfico deben estar a la misma distancia uno del otro.Además, los datos nu-méricos deben ubicarse en posiciones que mues-tren la relación entre sus valores. Por ejemplo, en el eje siguiente los valores numéricos NO están correctamente posicionados:

¿Por qué?

Recuerda

20125210

144 Unidad 6

Uso de tablas y gráficosLas encuestas permiten obtener información especí-

fica mediante preguntas al conjunto de personas a las que está dirigida.

¿Sabes cuál es el mes en que nacen más personas en Chile?

Este dato no podrás obtenerlo en forma sencilla. Sin em-bargo, a nivel mucho más local puedes averiguar cuáles son los meses en que nacieron los integrantes de un curso cualquiera de tu colegio y del colegio en su totalidad.

5


Marca el mes en que naciste:

Enero Febrero Marzo AbrilMayo Junio Julio Agosto

Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Realicen la encuesta en cada uno de los cursos del co-2º legio. Para ello formen grupos de visita a cada curso a encuestar.

Una vez finalizada la encuesta viene la organización 3º de la información. Completen la tabla de registro con los datos del curso que les tocó encuestar:

Colegio: Curso: Mes E F M A M J J A S O N DNº

Escriban en tarjetas de cartón lo que se indica más aba-1º jo. Hagan muchas copias para repartir en los cursos:

Al conjunto de perso-nas al que está dirigida una encuesta se le llama población. Como este conjunto suele ser muy grande se selecciona un grupo representati-vo de menos individuos al que se llama mues-tra. Por ejemplo, si se desea saber la opinión de los estudiantes de educación básica del país (población) acerca de un tema dado, lo que puedes hacer es encues-tar a los estudiantes de tu colegio (muestra).

¿Sabías que...?


6Con las frecuencias de los meses construyan un gráfico 4º de barras pintando los casilleros que correspondan:

A partir de los datos recolectados respondan:1.

Del grupo de estudiantes que te tocó encuestar, a) ¿en qué mes ocurrieron más nacimientos?

En el mes de .

Del grupo de estudiantes que te tocó encuestar, b) ¿en qué mes ocurrieron menos nacimientos?

En el mes de .

¿Qué puedes concluir de esta encuesta?c)

Reúnan en una nueva tabla de datos la información 2. obtenida de todos los cursos del colegio y construyan en sus cuadernos un gráfico que represente a todo el alumnado.

¿Difieren sus respuestas de la actividad a) 1. al consi-derar ahora a todo el colegio?

¿Fue el curso que les tocó encuestar b) representativo del universo de estudiantes del colegio?

Estu

dian

tes

Meses

20181614121086420

E F M A M J J A S O N D

Una encuesta permite:A. Elegir las autoridades

del país.B. Averiguar características

o la opinión de un grupo de personas.

C. Distinguir entre una población pequeña y la población nacional.

Colegio: Curso:

146 Unidad 6

Profundizando…

Gráficos de barras doblesUn grupo de estudiantes viajó a un nuevo criadero de conejos en el sur

de Chile. En este criadero existen conejos de tres razas diferentes.

Uno de los encargados del criadero les dio una tabla con la siguiente información:

Además les dio el gráfico de barras que está a continuación:

Como ves existen tres categoría de datos: Raza A, Raza B y Raza C. Cada una de ellas está representada por dos barras, una que indica la cantidad de conejos blancos y otra la cantidad de conejos negros.

Practica

Haz una encuesta en dos cursos de tu colegio para averiguar si en las 1. casas de los estudiantes tienen mascotas o no. Grafica la información a continuación:

Raza A Raza B Raza CBlancos 11 12 8Negros 13 9 12

14121086420

Cone

jos

B N B N B NRaza A Raza B Raza C

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40Estudiantes

Curso 2

Curso 1NoSí

NoSí

0


6Tendencias de los datos

En un gráfico de barras es posible ver la variación en el tiempo de un dato. Por ejemplo, la cantidad de habitantes de una ciudad, la cantidad de árboles en un bosque o el nivel de agua de una piscina que está siendo vaciada.

Observa la altura de una niña a diferentes edades:

Tras una rápida mirada confirmamos algo que ya sabíamos: entre los 2 y los 12 años la niña fue creciendo desde una altura de 87 cm hasta una de 150 cm.

PracticaObserva los siguientes gráficos e indica bajo cada uno de ellos si la va-1. riable considerada ha aumentado o disminuido en el tiempo:

Gráfico con el número de pájaros car-pinteros que habitan en una zona:

El número de pájaros carpinteros ha .

Gráfico con el número de incendios forestales en la misma zona:

El número de incendios forestales ha

.

16014012010080604020

0

ESta

tura

[cm

]

Edad [años]2 4 6 8 10 12

6050403020100

AñosAño1

Año2

Año3

Año4

Año5

300

200

100

0AñosAño

1Año2

Año3

Año4

Año5

148 Unidad 6

Resuelvo problemas

Problema modeloAndrea vende helados de agua a $ 100 cada

uno. El número de helados vendidos durante una semana laboral se muestran en la tabla. Construye el gráfico de barras correspondiente e indica el día de mayores ventas. Además señala si a lo largo de la semana las ventas aumentan o disminuyen.

Día Nº de helados

Lunes 25Martes 25Miércoles 30Jueves 45Viernes 55

El viernes es el día de la semana en que Andrea vende más helados.Las ventas van aumentando en la medida que transcurre la semana.

En la primera columna de la tabla están los días de la semana laboral.En la segunda columna de la tabla está la cantidad de helados vendidos.

Para construir el gráfico de barras ubicamos los días de la semana en el eje horizontal y el número de helados en el eje vertical.La barra más alta indica el día de mayores ventas.Observando si las barras crecen o decrecen de izquierda a derecha averiguaremos si las ventas aumentan o disminuyen durante la semana.

Para comprobar los resultados podemos comparar los números de la tabla:El mayor de ellos es el 55 que corresponde al viernes.Se cumple la relación: 25 = 25 < 30 < 45 < 55.

La barra más alta es la del viernes. Por lo tanto, este es el día de mayores ventas.La altura de las barras aumenta de izquierda a derecha, por lo que las ventas aumentan a lo largo de la semana.

50

40

30

20

10DíaL M M J V

Unidad

es v

endida

s

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:


6Problema para ti

A un encuentro solidario asistieron estudiantes de va-rias ciudades de Chile. Un alumno preguntó a 20 asis-tentes por su ciudad de procedencia y fue registrando está información. Lo que registró está a un costado. Construye en tu cuaderno una tabla con los datos y confecciona el gráfico de barras representativo. A partir de ellos determina la ciudad de procedencia más fre-cuente entre los encuestados y la menos frecuente.

Rancagua-Talca- Santiago-Arica-Osorno-Santiago-Talca-Rancagua-Osorno-Santiago-Talca-Rancagua-Rancagua-Talca-Arica-Talca-Talca-Santiago-Osorno-Rancagua

Planifica:

Resuelve:

Responde:

Comprueba:

Comprende:

150 Unidad 6






Simples ,

Tablas de datos ,

Filas y columnas ,

Gráficos de barras ,

Dobles ,

Utilizar la información para describir y analizar situaciones cotidianas

Información

presentada en

me permitieron

ordenados en que pueden ser

A BS 0 1T 1 1

Datos


6Evaluación

El club deportivo “San Martín” organizó tres partidos a beneficio de uno de sus más antiguos socios que se encuentra muy enfermo. Las entradas a galería costaban $ 1 000 y las a tribuna $ 2 000.

Completa la siguiente tabla con las personas en galería cada jornada:a)

Viernes Sábado DomingoPúblico en galería

Completa la siguiente con las personas en tribuna cada día:b)

Viernes Sábado DomingoPúblico en tribuna

A partir del gráfico y de las tablas anteriores responde:

¿Cuál fue el público total que asistió a galería durante las tres jornadas?a)

espectadores.

¿Cuál fue el público total que asistió a tribuna durante las tres jornadas?b)

espectadores.

¿Cuál fue el público total que asistió a las tres jornadas?c)

espectadores.

¿Qué día asistió más público? ¿Cuántos asistentes registró esa jornada?d)

espectadores.

¿Cuánto dinero se recaudó tras realizarse los tres partidos a beneficio?e)

$

4 000

3 000

2 000

1 000

0

Asist

ente

s

G T G T G TViernes Sábado Domingo

152 Recortables

Recortables

10 000 20 000 30 00040 000 50 00070 000

80 000

90 000

60 000

153Recortables

10 000 20 000 30 000

40 000 50 000 60 000

70 000 80 000 90 000

Página 10 (U1) ,

Página 43 (U2) ,

Recortable 1

155Recortables

Recortable 2

Cilindro. Página 67 (U3) ,

157Recortables

Recortable 3

Pirámide pentagonal. Página 67 (U3) ,

159Recortables

Recortable 4

Cono. Página 67 (U3) ,

ISBN 978-956-278-226-5

9 7 8 9 5 6 2 7 8 2 2 6 5

Matematica 4to basico

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