Matemática básicaMiguel A. Cruz Cóndor

miguelcrux@gmail.com

UNIDAD I

La lógica en la vida cotidianaSi a cualquiera de nosotros nos preguntan cuando y cómo empleamos la lógica, tal vez no sabríamos que contestar a pesar de que empleamos continuamente frases como “y, lógicamente tenía que ocurrir”, “con lo que se sabia, tenia que suceder tal cosa”, “se esperaba que ocurriera” u cosas similares.Nuestra cultura condiciona todas nuestras formas de expresión y mucho de los que escribimos o hablamos son cadenas de argumentos con los que esperamos convencer a los demás de que hagan algo o que simplemente reconozcan que tenemos razón. Argumentamos sobre cualquier situación a partir de ciertas hipótesis no siempre explicitas, que damos como ciertas, validas, verdaderas, legales, etc. Estas argumentaciones lo hacemos de modo natural, con la seguridad que todos compartimos la misma forma de pensar.Aunque en la vida diaria la lógica nos sirve para referirnos a situaciones que ocurren a nuestro alrededor tal como desentrañar el mismo de un asesinato o determinar la paternidad de un niño; sin embargo, la lógica se utiliza en el quehacer cotidiano, es que en mas de una oportunidad hemos sido testigos de su uso en las actividades que desarrolla los detectives, abogados, hombres de ciencias, etc. que reflejan un permanente ejercicio en el uso de la argumentación lógicaQueda pues claro que la vida diaria del hombre común así como en campo de la ciencia, la lógica nos da las herramientas necesarias para argumentar bien.

Nociones de lógicaComo una aproximación, se dice que las proposiciones son oraciones declarativas (y no interrogativas, ni exclamativas) que afirman niegan algo, y que por l tanto tienen un valor veritativo, es decir, que son verdaderas (V) o falsas (F), pero no ambas a la vez. Simbolizaremos a las proposiciones con las letras minúsculas, tales como:

p, q, r, s...Estas letras también se llaman variables proposicionales.Ejemplos:

p: La suma de dos números impares es un número impar. q: la temperatura en primavera es menor que en verano. r: Luís es más alto que Pedro.

A partir de proposiciones simples y haciendo uso de conectivos es posible realizar operaciones y construir otras proposiciones llamadas compuestas.El siguiente cuadro muestra los conectivos lógicos, su significado y la operación asociada a cada uno de ellos.

Conectivo

Operación Asociada Significado

∼ Negación No es cierto que ...

⋀ Conjunción o producto lógico

... y ...

⋁ Disyunción o suma lógica ... o...

→ Condicional o implicación Si..., entonces ...

↔ Bicondicional ... si y solo si ...

Conectivo

Operación Asociada Significado

∇ Disyunción exclusiva O ... o ...

Tablas de verdadTabla de verdad es un cuadro de doble entrada que en una de sus columnas permite encontrar los valores de verdad de las proposiciones compuestas o esquemas lógicos. Para ello se colocan en las primeras columnas (de la primera fila) de la izquierda las letras que representan a las proposiciones simples y debajo de ellas todas las combinaciones posibles de sus valores de verdad (V o F); a la derecha de las letras se coloca la proposición compuesta esquema lógico y luego se procede a aplicar la regla para uno de los operadores o conectivos, empezando por de menos jerarquía (si fuera el caso), hasta llenar el cuadro con valores de verdad, según corresponda. La columna de valores de verdad del conectivo principal o de mayor jerarquía es la que corresponde a la proposición compuesta.

Operaciones con proposiciones

NegaciónLa negación de la proposición p es la proposición ∼p (no p), cuya tabla de valores de verdad (Tabla de verdad) es:

p ∼p

V F

F V

Es decir, si la proposición p es verdadera, su negación ∼p es falsa y si p es falsa, su negación ∼p es verdadera.

Conjunciónla conjunción de las proposiciones p y q es la proposición p ∧ q (p y q), cuya tabla de verdad es:

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Lo que significa que la conjunción p ∧ q solo es verdadera si lo son las proposiciones p y q. En cualquier otro caso es falsa.

DisyunciónLa disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p ∨ q (p o q) cuya tabla de verdad es:

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

p q p ∨ q

F F F

Lo que significa que la disyunción p ∨ q es verdadera si al menos una de las proposiciones simples es verdadera y solo es falsa si las dos proposiciones p y q son falsas a la vez.

CondicionalLa condicional de las proposiciones p y q es la proposición p → q (si p, entonces q), cuya tabla de verdad es:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Lo que significa que la condicional p → q solo es falsa cuando el antecedente p es verdadera y el consecuente q es falsa. En cualquier otro caso es verdadera.

BicondicionalLa bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición p ↔ q (p si y solo si q), que como su nombre lo indica se obtiene de dos condicionales, en este caso se define como la conjunción indicada, hallaras la tabla de la bicondicional.

p q p ↔ q

V V V

V F F

F F F

F V V

Disyunción excluyenteDadas las proposiciones moleculares p y q, la proposición compuesta p ∇ q es verdadera solamente cuando sus dos componentes son falsas. Por lo tanto:

p q p ∇ q

V V F

V F F

F V F

F F V

Tautológica, contradicción y contingenciaSi los valores de verdad de una formula son todas verdaderas (V), la formula se llama tautología.Si la formula no es ni tautología, ni contracción entonces se llama contingencia.Si la formula no es, ni tautología, ni contradicción, entonces se llama contingente.Ejemplos:

La fórmula p → (q → p)

Es una tautología, como veremos en la tabla de verdad siguiente:p q p → ( q → p )

V V V V V

V F V V V

F V F V F

F F F V V

Proposiciones con cuantificadoresDada la expresión x + 3 = 7, no se puede afirmar su veracidad, por cuanto se desconoce el valor de x.Si a x se asigna un valor numérico, la respuesta se convierte en una proposición. Esto indica que x + 3 = 7 llamado enunciado abierto o función proposiciónal no es una proposición, pero es posible convertirlo a proposición asignandole un valor a su varible x, tomando un cnjunto llamado dominio D del enunciado abierto o función proposiciónal.La función proposiciónal suele representarse por p(x), convirtiendose en proposición p(a), si x=a

Cuantificador existencialDada el enunciado abierto:

p(x) : x + 3 = 7para el cual existe un número llamado 4 que convierte al enunciado en proposición verdadera. A la expresión existe un se le conoce como cuantificador existencial, cuya simbolización es ∃Una proposición con cuantificador existencial será verdadera si lo es para al menos un elemento del dominio D.El enunciado abierto p(x) : x – 4 = 9, se convierte en proposición verdadera si decimos, existe un numero natural con el cual x - 4 = 9

∃ x ∊ N / x – 4 = 9Se lee: existe un número natural tal que x – 4 = 9. Tal número es el 13En general, una proposición con cuantificador tiene la siguiente forma:

∃ x ∊ D / p(x) ó ∃ x ∊ D , p( x )Se lee: Existe un x en el dominio D tal que el enunciado p(x) se cumple.La proposición es verdadera si existe al menos un objeto que satisfaga el enunciado abierto.

Cuantificador UniversalDado el enunciado

p(x): x + 1 > 0un numero natural convierte al enunciado en una proposición verdadera. Con todo numero natural el enunciado se hace proposición verdadera. A la expresión todo o para todo se le conoce como cuantificador universal cuya escritura simbólica es ∀La proposición con cuantificador universal será verdadera si lo es para todos y cada uno de los elementos del dominio S.El enunciado abierto p(x) : x = x se convierte en proposición si para td numero natural se cumple que x = x, que es verdadera

∀ x ∈ N / x = xSe lee: para cualquier x Natural, x = xUna proposición con cuantificador universal tiene la siguiente forma:

∀ x ∈ D , p(x)

Negación de proposiciones con cuantificadoresConsiderando:

∃ x ∈ N / x – 4 = 9 como verdadera, la negación es ∼[∃ x ∈ N / x – 4 = 9]Se lee: no existe un numero natural x tal que x – 4 = 9, que equivale a decir, todo numero natural x es tal que no se cumple x – 4 = 9

En símbolos:∀ x ∈ N, no se cumple x – 4 = 9, o también ∀ x ∈ N, x – 4 ≠ 9

UNIDAD II

Nociones de conjuntos

Elemento y conjuntoConjunto es toda colección perfectamente definida de objetos. Cada uno de los objetos de esta colección perfectamente definida recibe el nombre de elemento del conjuntoQue una colección este perfectamente definida quiere decir que se puede discernir sin ningún género de duda si un objeto determinado pertenece o no a la colección.

Notación de conjuntosLos elementos de un conjunto pueden representarse escribiendo sus elementos entre llaves o bien mediante diagramas de Venn, y al conjunto se le puede suele indicar con una letra mayúscula.A = {los meses de año}B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}C = {6}D = {x/x es un habitante de lima}E = {p, a, n}F = {x/x es un numero real, 1 < x < 2}Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice que pertenece al conjunto usando el símbolo “∈”. Si un elemento no pertenece al conjunto se utiliza el símbolo “∉”. Por ejemplo: Indicar que el elemento 2 pertenece al conjunto P de los números pares:

2 ∈ PIndicar que 3 no pertenece al conjunto P de los números pares

3 ∉ P

Determinación de un conjuntoUn conjunto puede definirse por extensión, o sea cuando enumerando todos sus elementos , o bien por comprensión, mediante una propiedad característica del mismo, por ejemplo: Definir por extensión el conjunto de los días de la semana:

B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}Definir mediante una propiedad característica el siguiente conjunto:

E = {primavera, verano, otoño, invierno } Solución: E = {Estaciones del año}

Conjunto vacío y conjunto universalCuando un conjunto expresado por una propiedad característica no tiene objetos que la cumpla se llama conjunto vacío y se representa del siguiente modo:

C = ∅ o bien C = { }Llamamos universal, escrito U, al conjunto que contiene como subconjuntos a todos los conjuntos posibles de un mismo tipo. Ejemplo:

Sea A un conjunto cualquiera. Al conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto de partes de A. y se escribe P(A)

U

A

Si A = {a, b, c}, entonces P(A) = {∅.{a}.{b}.{c}.{a.b}.{a.c}.{b.c}.{a.b.c}}Observe que se incluyen como subconjuntos tanto los llamados impropios (∅ y A) como los propios (los conjunto propiamente dichos)

Inclusión e igualdad de conjuntos

Inclusión de conjuntos

En una familia de 6 miembros, Juan y Elena son los padres; Maria, Dalia, Néstor y Manuel los hijos. Con estas personas podemos formar los conjuntos H y P referidos a la familia.F = { x/x es miembro de la familiaH = { x/x es hijo}P = { x/x es padre}En sentido común y lo que vemos en siguiente grafico, nos lleva a aceptar el conjunto P de los padres, es una parte del conjunto F de los miembros de la familia. También el conjunto H de los hijos es una parte del conjunto FEn el grafico se muestra al conjunto F como la totalidad y a los conjuntos P y H como las partes de FPara indicar que un conjunto es una parte de otro se usa el símbolo “⊂”. Así, para indicar que H es una parte de F, se escribe H ⊂ FLos siguientes gráficos muestran que un conjunto es una parte de otro:

En uno de los gráficos se observa que H ⊂ F y en el otro P ⊂ FSi centramos nuestra atención en el conjunto P de los padres y en el conjunto H de los hijos ¿se puede decir que P ⊂ H? o que ¿H ⊂ P?. En ambos casos la respuesta es No, pues ni los hijos tienen la propiedad de ser padres ni los padres el ser hijos en el conjunto referencial F.Cuando un conjunto n es parte de otro se usa el símbolo “⊄”. Así como H no es una parte de P, se escribe H ⊄ P. También se cumple que P ⊄ HEn matemática se usa con frecuencia los términos incluido, contenido o subconjunto de B, o también, A es una parte de B.El conjunto A esta incluido en B se cada elemento de A es también elemento de B

A ⊄ B ↔ (∀ x : x ∈ A → x ∈ B)En virtud de la definición anterior, diremos que A no esta incluido en B sino todos los elementos de A sn elementos de B, de la misma forma, si al menos un elemento de A no es elemento de B.

A ⊄ B ↔ (∃ x : x ∈ A → x ∉ B)Si el conjunto de letras de nuestro alfabeto se representa por A, es decir:

A={ x/x es letra de nuestro alfabeto}¿Cual es el valor de verdad de la afirmación A ⊂ APara que A ⊂ A sea verdadera, todos los elementos del primer conjunto A deben ser elemento del segundo conjunto A. Lo que evidentemente se cumple, por lo que la proposición es verdadera.La proposición anterior es una ley matemática o propiedad que se cumple cualesquiera que sea el conjunto A.PropiedadTodo conjunto esta incluido en si mismo. En símbolos

∀ A, A ⊂ A : llamada propiedad reflexivaPues se cumple que x ∈ A → x ∈ A, que se justifica con la ley lógica p → pPropiedadEl conjunto vació esta incluido en cualquier conjunto, en símbolos

F

P H

∅ ⊂ A, ∀ APropiedadSi un conjunto A esta contenido en otro conjunto B y este está contenido en un tercer conjunto C, entonces, el primer conjunto A esta contenido en el tercero C. En símbolos:

(A ⊂ B ∧ B ⊂ C) → A ⊂ C

Igualdad de conjuntosDos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. En símbolos:

A = B ↔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ C )Esta definición nos dice que si se sabe que A = B entonces A ⊂ B y B ⊂ A. Asimismo si se sabe que A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B. Para probar la igualdad de dos conjuntos se debe probar la mutua inclusión de ellos.

Conjunto potencia o conjunto de partesEn un conjunto A finito es posible obtener un nuevo conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Tal conjunto que se escribe P(A) se llama conjunto potencia o conjunto de partes del conjunto A.El conjunto potencia del conjunto A es el conjunto de todos los subconjuntos o partes de A. De allí el nombre de conjunto de partes

P(A) = {B / B ⊂ A}Esto es:

B ∈ P(A) ↔ B ⊂ ASe lee: el conjunto B es elemento del conjunto de partes P(A) si y solo si B es subconjunto de A.Ejemplo

Sea A = {1, 4 }Los subconjuntos de A son: {1}, {4}, {1,4}, {∅}Luego, el conjunto potencia es P(A) = {∅, {1},{4},{1,4}}Observe que P(A) esta formado por 4 elementos, que a su vez sn conjuntos.Importante:Si el numero de elementos del conjunto A es 2, n(A) = 2, entonces el número de elementos del conjunto potencia es 2=4, n(P(A))=4

Operaciones entre conjuntosSean A y B dos conjuntos cualesquiera.

Intersección

Se llama intersección de A y B, y se escribe A ⋂ B, al conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.

x ∈ A ⋂ B ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)Ejemplo:Para los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {4, 6, 8, 10} se tiene que A ⋂ B = {4,6}Las propiedades análogas de la intersección son las siguientes:A ⋂ B = B ⋂ A ConmutativaA ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C AsociativaA ⋂ ∅ = ∅ AbsorciónA ⋂ U = A ModulativaA ⋂ A = A Idempotencia

Unión

Llamamos unión de A y B escrito A ⋃ B, al conjunto formado pro los elementos que pertenecen a alguno de los dos conjuntos (Sin repetir ninguno)

x ∈ A ⋃ B ↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)Ejemplo:

A = {a, b, c, d } y B = { c, d, e, f }, entonces A ⋃ B = { a, b, c, d, e, f}La unión de conjuntos tiene las siguientes propiedades:A ⋃ B = B ⋃ A ConmutativaA ⋃ (B ⋃ C) = (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ B ⋃ C AsociativaA ⋃ ∅ = A Modulativa

A ⋃ U = A AbsorciónA ⋃ A = A IdempotenciaLa unión e intersección de conjuntos presentan las siguientes propiedades conjuntas:A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C) Distributiva de la intersección respecto a la unión.A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C) Distributiva de la unión respecto a la intersección.Dos conjuntos A y B se dice que son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío, Es decir, si A ⋂ B = ∅

Diferencia de conjuntos

Se llama diferencia entre dos conjuntos A y B, escrita A – B, Al conjunto de todos los elementos de A que no están en B

A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}Ejemplo:

Si A={a, b, c, d, e} y B = {c, e, f, g}, entonces A - B = {a, b, d}

Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto A, escrito A', es la diferencia entre el universal y el conjunto A.Es decir, los elementos de A' son todos aquellos que no pertenecen a A.Ejemplo:

En el universo de los cinco continentes, si es A = {América, Oceanía}, entonces el complemento de A es A' = {Europa, Asia, África}

El complemento tiene las siguientes propiedades:(A')' = A Involutiva(A ⋃ B)' = A' ⋂ B' y (A ⋂ B)' = A' ⋃ B' Leyes de Morgan

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica entre A y B, escrita A Δ B, esta formada por todos los elementos de A que no son de B, junto con los elementos de B que no son de A.Es decir: A Δ B = (A – B) ⋃ (B – A)En concreto: A Δ B = (A ⋃ B) - (B ⋂ A)En símbolos:A Δ B = {x/x ∈ (A ⋃ B), x ∉ (A ⋂ B) – (A ⋂ B)}Ejemplo:Calcular la diferencia simétrica entre los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {5, 6, 7, 8}Solución: A-B = {1, 2, 3, 4} y B – A = {7,8}. Uniendo ambos conjuntos tenemos que A Δ B = {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Cardinal o numero de elementos de un conjunto

La cardina de un conjunto A, que se escribe n (A), es el número de elementos diferentes que poseen dicho conjunto.Ejemplo:Si A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6} entonces n(A) = 5, n(B) = 3 y n( A ⋃ B )=6Propiedadn( A ⋃ B )= n ( A ) + n ( B ) - n ( A ⋂ B )