Matematica Basica Elect. Ind.

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1. LAS OPERACIONES MATEMATICAS

SUMA RESTA MULTIPLICACION DIVISION POTENCIACION RADICACION LOGARITMACION

2. POTENCIAS DE BASE 10

Se trata de números compuestos por la unidad seguida de ceros.

Cuando no aparece ningún exponente, en realidad, lleva un 1.

101  es lo mismo que 10

Cuando la base 10 lleva un exponente cualquiera, escribes el 1 y por

detrás tantos ceros como te indica el exponente:

Ejemplo:

103 = 1000

104 = 10000

3. NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla aquellas cantidades numéricas que son demasiado grandes o por el contrario, demasiado pequeñas.

Se conoce también como Notación Exponencial y puede definirse como el Producto de un número que se encuentra en el intervalo comprendido del 1 al 10, multiplicándose por la potencia de 10.

Por ejemplo, tenemos la siguiente cantidad:

139000000000 cm.

Ahora lo llevamos a la mínima expresión y tenemos como respuesta:

1.39 x 1011 cm

Veamos otro ejemplo, tenemos 0.000096784 cm.

tenemos como resultado:

9.6784 x 10-5 cm

4. Qué es una ecuación 

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se

cumple solamente para algunos valores de las letras.

Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita . Para esto

debes aplicar algunas de las propiedades de las operaciones que has

aprendido en cursos anteriores.

 

¿Qué elementos tiene una ecuación y cómo se llaman?

 

Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual

( =)

Términos: son los monomios de cada miembro

Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación

Reglas Para despejar::

La variable que desea despejar siempre debe estar positiva.

Los términos que son sumados o restados pasan al otro miembro con el signo contrario.

Los términos que aparecen multiplicando pasan al otro miembro dividiendo.

Los términos que aparecen dividiendo pasan al otro miembro multiplicando.

Si la variable que estamos despejando se encuentra elevada a una potencia, la potencia pasa al otro miembro y se transforma en raíz.

5. REGLA DE TRES

una regla de tres es una operación que se desarrolla para conocer el valor del cuarto término de una proporción a partir de los valores de los otros términos.

 ejemplo.

Un cocinero que, días atrás, preparó tres tortas con un kilogramo de harina, ahora dispone de cinco kilogramos de harina y quiere saber cuántas tortas puede elaborar.

1. Si con 1 kilogramo de harina preparó 3 tortas,con 5 kilogramos de harina preparará X tortas.1 = 35 = X5 x 3 = 1 x X15 = X

De este modo, el cocinero descubre que, con 5 kilogramos de harina, puede preparar 15 tortas.

2. Si 2 litros de gasolina cuestan $18.20, ¿Cuánto litros se pueden

comprar con $50.00?

2 → 18.20X → 50X = (50 x 2) / 18.20 = 5.49 lts

3. Si el 25% de una cantidad es 68, ¿Cuánto es el 43% de esa misma

cantidad?

68 → 25X → 43X = (68 x 43) / 25 = 116.96

4 . En una escuela hay 467 alumnos y el día de hoy faltaron 63. ¿Qué

porcentaje de alumnos estuvo ausente?

467 → 10063 → XX = (63 x 100)/467 = 13.49%

6. EL SISTEMA METRICO DECIMAL

Es el conjunto de medidas que se derivan del metro. Es un sistema, porque es un conjunto de medidas; métrico, porque su unidad fundamental es el metro; decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen como las potencias de 10. Hay cinco clases de medidas: de longitud, de superficie, de volumen, de capacidad y de masa (peso).

1. Unidades de Longitud.

La unidad de las medidas de longitud es el metro, que se representa por m. Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras griegas Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil respectivamente, y los submúltipos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci, centi y mili, que significan décima, centésima y milésima parte respectivamente.

Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos del metro son:

Kilómetro Km. 1.000 m.Hectómetro Hm. 100 m.Decámetro Dm. 10 m.metro m. 1 m.decímetro dm. 0,1 m.centímetro cm. 0,01 m.milímetro mm. 0,001 m

2. Unidades de Superficie.

La unidad de las medidas de superficie es el metro cuadrado, que corresponde a un cuadrado que tiene de lado un metro lineal y se representa por m2. Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien. Los múltiplos y submúltiplos del m2 son:

Kilómetro cuadrado Km2 1.000.000 m2

Hectómetro cuadrado Hm2 10.000 m2

Decámetro cuadrado Dm2 100 m2

metro cuadrado m2 1 m2

decímetro cuadrado dm2 0,01 m2

centímetro cuadrado cm2 0,0001 m2

milímetro cuadrado mm2 0,000001 m2

3. Unidades de Volumen.

La unidad de estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene de arista un metro lineal y se representa por m3. Estas medidas aumentan y disminuyen de mil en mil. Los múltiplos y submúltiplos del m3 son:

Kilómetro cúbico Km3 1.000.000.000 m3

Hectómetro cúbico Hm3 1.000.000 m3

Decámetro cúbico Dm3 1.000 m3

metro cúbico m3 1 m3

decímetro cúbico dm3 0,001 m3

centímetro cúbico cm3 0,000001 m3

milímetro cúbico mm3 0,00000000 m3

4. Unidades de Capacidad.

La unidad de estas medidas es el litro. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos del litro son:

Kilólitro Kl. 1.000 l.Hectólitro Hl. 100 l.Decálitro Dl. 10 l.litro l. 1 l.decílitro dl. 0,1 l.centílitro cl. 0,01 l.milílitro ml. 0,001 l.

5. Unidades de Peso.

La unidad de estas medidas es el gramo. Las medidas de peso aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos del gramo son:

Kilógramo Kg. 1.000 g.Hectógramo Hg. 100 g.Decágramo Dg. 10 g.gramo g. 1 g.decígramo dg. 0,1 g.centígramo cg. 0,01 g.milígramo mg. 0,001 g.

 

EL SISTEMA INGLES DE MEDIDAS

Al sistema de medición inglés de unidades se lo conoce también con el nombre de sistema imperial. Se trata de la unión de todas las unidades no métricas que en la actualidad son empleadas en Estados Unidos y otros países que tienen como idioma principal el inglés, como el caso, por supuesto, de Inglaterra.

Sin embargo, entre ambos países existe una serie de diferencias en las unidades, así como también existen numerosas discrepancias entre los sistemas que se emplean en la actualidad con los que se utilizaban en otras épocas

Conversión de unidades métricas a inglesas: 

1 metro  =

39,37 3,28083 1,09361 1000100100,001 

pulgadas piesyardasmilímetroscentímetrosdecímetroskilómetro

inftydmmcmdmkm

(inch)(feet)(yard)----

1 centímetro  =

0,3937 0,0328083 10 0,01 

pulgadapiemilímetrosmetro

inftmmm

(inch)(feet)--

 

1 milímetro  =0,039370,001  

pulgadametro

inm

(inch)-

 

1 kilómetro  =

3 280,83 1 093,61 0,62137 1 000

piesyardamillametros

ftydmim

(feet)(yard)(mile)-

Conversión de unidades inglesas a métricas:

 

1 pulgada  =

0,833 0,022777 2,5425,4 

pieyardacentímetrosmilímetros

ftydcmmm

(feet)(yard)--

1 pie  =

120,33333 0,304830,48

pulgadasyardametrocentímetros

inydmcm

(inch)(yard)--

 

1 yarda  =36 3 0,9144

pulgadaspiesmetro

inftm

(inch)(feet)-

 

1 milla  =

5 280 1 760 320 8 1 609,35 1,60935 

piesyardasrodsfurlongsmetroskilómetros

ftyd--mkm

(feet)(yard)(1 rod = 5,03 m)(1 furlong = 200m)--

medidas de peso

 

1 gramo  =0,035270,001

onzakilogramo

ozkg

(ounce)-

 

1 kilogramo  =1 000 2,20462 

gramoslibras

glb

-(pound)

 

1 tonelada      métrica  =

2 204,621 000

libraskilogramos

lbkg

(pound)-

 

1 onza  =0,062528,35 

libragramos

lbg

(pound)-

 

1 libra  =16453,592 0,453592 

onzasgramoskilogramo

ozgkg

(ounces)--

NOTA.- Las fracciones decimales están representadas por una coma y las unidades de millar por un<espacio

7. PERIMETRO , AREAS Y VOLUMENES DE FIGURAS GEOMETRICAS

A) perímetro

El perímetro  de una figura geométrica plana  es igual a la suma  de las  longitudes  de sus  lados.

Perímetro de un triangulo

Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno

Perímetro de un cuadrado

Perímetro de un rectángulo

Longitud de una circunferencia

2. área de las figuras planas

El área  es la medida  de la región o superficie  encerrada por de una figura geométrica .

Área de un triángulo

Área de un cuadrado

Área de un rectángulo

Área de un polígono regular

Área de un círculo

3. volumen El volumen  es el espacio  que ocupa un cuerpo

Volumen del cilindro

Volumen de la prisma

El volumen de la prisma equivale a la multiplicación del área de la base en la altura.

Formula volumen de prisma

V = Ab h

Volumen del cubo

El volumen del cubo equivale a la longitud de su cara a tercera potencia.

Formula volumen de cubo

V = a3

8. TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la mística escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación [cita requerida]. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes   y  , y la medida de la hipotenusa es  , se establece que :

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica

Los lados Adyacentes en un Triángulo Rectángulo se denominan Catetos, y el Lado Opuesto al Ángulo recto se llama Hipotenusa

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

52 + 122 = c2

25 + 144 = 169c2 = 169c = √169c = 13

a2 + b2 = c2

92 + b2 = 152

81 + b2 = 225Resta 81 a ambos ladosb2 = 144b = √144b = 12

Actividad

1) Un albañil necesita saber cuántos metros debe medir el tirante de un techo. Calcúlenlo sabiendo que la línea por medir es la que está indicada en color rojo.

9. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Empezaremos a ver cada una de las Funciones:

 

1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación

existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la

siguiente:

2. Función Coseno ( Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

3. Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:

 

4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la relación entre Lado

Adyacente con Lado Opuesto:

5. Función Secante ( Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:

6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:

Ejercicios FuncionesTrigonométricas

Ejemplo:

Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un angulo de 60o con respecto al piso.

Procedimiento:

a) Trazar el triangulo rectangulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular

b) Seleccionar una razon trigonometrica que relacione al angulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.

c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.

d) Sustituir las literales por sus valores numericos de acuerdo con los datos.

e) Obtener el valor natural del angulo por medio de las tablas trigonometricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.

c = 5 m

f) Dar solucion al problema.

c = longitud de la escalera

Por lo tanto, la escalera mide 5 m.

2. Obtencion del valor de un angulo agudo, conocidos dos lados del triangulo

Obtener el angulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m

Ahora se tienen unicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del angulo.

Procedimiento:

a)Trazar un triangulo rectangulo anotando los datos.

b) Seleccionar la funcion trigonometrica que relacione a los lados conocidos con el angulo.

c) Sustituir las literales por sus valores numericos.

d) Efectuar la division indicada.

cos = 0.5454

e) Obtener, en las tablas de funciones trigonometricas o con la calculadora, el valor del angulo.

f) Dar respuesta al problema.

El angulo formado por el poste y el cable tirante es de 56o 57'

Unidades Eléctricas Corriente eléctrica, es el movimiento o paso de electricidad a lo largo del circuito eléctrico desde el generador de electricidad hasta el aparato donde se va a utilizar, que llamaremos receptor, a través de los conductores.

Para que se origine la corriente eléctrica es necesario que en el generador se produzca una fuerza electromotriz que cree una diferencia de potencial entre los terminales o polos del generador.

A esta diferencia de potencial se le llama tensión o voltaje y se mide en VOLTIOS (V).

La cantidad de electricidad que pasa por un conductor en un segundo se llama intensidad de la corriente y se mide en AMPERIOS (A).

La dificultad que ofrece el conductor al paso de una corriente eléctrica se llama resistencia eléctrica y se mide en OHMIOS ( ).

Así pues, tras definir estas magnitudes podemos relacionarlas por medio de la llamada LEY DE OHM, que nos dice que la intensidad es directamente proporcional a la tensión o voltaje e inversamente proporcional a la resistencia. Es decir que la intensidad crece cuando aumenta la tensión y disminuye cuando crece la resistencia.

Sus unidades serán:

1 Amperio = 1 Voltio / 1 Ohmio

1 Voltio = 1 Amperio * 1 Ohmio

1 Ohmio = 1 Voltio / 1 Amperio

La unidad de intensidad es el Amperio (A), nombre dado en honor del físico francés Ampere, como en electrónica esta es una unidad muy grande para las corrientes que normalmente se controlan, definiremos sus submúltiplos mas empleados:

1 MILIAMPERIO = 10-3 Amperios

1 MICROAMPERIO = 10-6 Amperios

1 A = 1.000 mA = 1.000.000 uA

La unidad que nos mide la diferencia de potencial o tensión es el VOLTIO (V) llamado así en honor al físico italiano Volta, que descubrió la pila eléctrica. Para grandes potenciales se emplea el KILOVOLTIO y en los pequeños el MILIVOLTIO.

1 KILOVOLTIO = 103 Voltios

1 MILIVOLTIO = 10-3 Voltios

1 V = 0.001 KV = 1.000 mV

La unidad de medida de la resistencia eléctrica es el OHMIO ( ), nombre dado en honor del físico alemán Ohm. Al ser una pequeña cantidad se emplean sus múltiplos:

1 KILOOHMIO = 103 Ohmios

1 MEGAOHMIO = 106 Ohmios

1 OHMIO = 0.001 K = 0.000001 M

Unidades Eléctricas de Potencia

La electricidad puede producir energía de diferentes tipos, siendo la cantidad que produce por unidad de tiempo, que suele ser el segundo, lo que se llama potencia.

La unidad fundamental que mide la potencia desarrollada por un elemento es el VATIO (W).

El vatio (W) es la potencia que consume un elemento al que se le ha aplicado una tensión de un voltio y circula por el una intensidad de un amperio.

W = A * V y W = E * I

A = AmperiosV = Voltios

Como múltiplo mas usual se emplea el:

1 KILOVATIO = 103 VATIOS

Como submúltiplo se utiliza el:

1 MILIVATIO = 10-3 VATIOS

Por lo tanto:

1 W = 1.000 mW = 0.001 Kw

Unidades Eléctricas de Capacidad e Inducción

Unidades de capacidad

Un condensador es el conjunto formado por dos placas metálicas paralelas (armaduras) separadas entre si por una sustancia aislante (dieléctrico).

Aplicando una tensión a las placas del condensador, esta hará pasar los electrones de una armadura a otra, cargando el condensador.

La relación entre la carga eléctrica que adquieren las armaduras del condensador y el voltaje aplicado se denomina capacidad.

CAPACIDAD = CARGA / VOLTAJE

Siendo sus unidades:

Q = Culombios (1 Culombio = 1 Amperio / 1 Segundo)V = VoltiosC = Faradios (F), siendo esta la unidad fundamental de capacidad.

Por ser muy grande esta unidad para las capacidades normales empleadas se utilizan sus submúltiplos:

1 MICROFARADIO = 10-6 FARADIOS

1 NANOFARADIO = 10-9 FARADIOS

1 PICOFARADIO = 10-12 FARADIOS

 

Unidades de inducción

Además de las resistencias, los componentes reactivos, o sea, las bobinas y los condensadores, también se oponen a las corrientes en los circuitos de corriente alterna.

La INDUCTANCIA (L) es la característica o propiedad que tiene una bobina de oponerse a los cambios de la corriente.

La cantidad de oposición que presenta una inductancia se llama reactancia inductiva y se mide en ohmios.

La unidad de inductancia es el Henrio (H). Por ser una unidad muy grande, para las medidas usuales se emplean sus submúltiplos:

1 MILIHENRIO = 1 mH = 10-3 H

1 MICROHENRIO = 1 uH = 10-6 H

PREFIJOS

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE LA POTENCIA EN WATT

Múltiplos

kilowatt (kW) = 103 watt = 1 000 wattkilowatt-hora (kW-h) – Trabajo realizado por mil watt de potencia en una hora. Un kW-h es igual a 1 000 watt x 3 600 segundos, o sea, 3 600 000 joule (J).

Submúltiplos

miliwatt (mW) = 10-3 watt = 0,001 wattmicrowatt ( W) = 10-6 watt = 0,000 001 watt

Caballo de fuerza (HP) o caballo de Vapor (C.V.)

Los países anglosajones utilizan como unidad de medida de la potencia el caballo de vapor (C.V.) o Horse Power (H.P.) (caballo de fuerza).

1 H.P. (o C.V.) = 736 watt = 0,736 kW1 kW = 1 / 0,736 H.P. = 1,36 H.P

CODIGO DE COLORES PARA RESISTENCIAS

 Las resistencias llevan grabadas sobre su cuerpo unas bandas de color que nos permiten identificar el valor óhmico que éstas poseen. Esto es cierto para resistencias de potencia pequeña (menor de 2 W.), ya que las de potencia mayor generalmente llevan su valor impreso con números sobre su cuerpo, tal como hemos visto antes

En la resistencia de la izquierda vemos el método de codificación más difundido. En el cuerpo de la resistencia hay 4 anillos de color que, considerándolos a partir de un extremo y en dirección al centro, indican el valor óhmico de este componente

El número que corresponde al primer color indica la primera cifra, el segundo color la seguna cifra y el tercer color indica el número de ceros que siguen a la cifra obtenida, con lo que se tiene el valor efectivo de la resistencia. El cuarto anillo, o su ausencia, indica la tolerancia.

Podemos ver que la resistencia de la izquierda tiene los colores amarillo-violeta-naranja-oro (hemos intentado que los colores queden representados lo mejor posible en el dibujo), de forma que según la tabla de abajo podríamos decir que tiene un valor de: 4-7-3ceros, con una tolerancia del 5%, o sea, 47000 Ω ó 47 KΩ. La tolerancia indica que el valor real estaráentre 44650 Ω y 49350 Ω (47 KΩ±5%).

La resistencia de la derecha, por su parte, tiene una banda más de color y es que se trata de una resistencia de precisión. Esto además es corroborado por el color de la banda de tolerancia, que al ser de color rojo indica que es una resistencia del 2%. Éstas tienen tres cifras significativas (al contrario que las anteriores, que tenían 2) y los colores son marrón-verde-amarillo-naranja, de forma que según la tabla de abajo podríamos decir que tiene un valor de: 1-5-4-4ceros, con una tolerancia del 2%, o sea, 1540000 Ω ó 1540 KΩ ó 1.54 MΩ. La tolerancia indica que el valor real estará entre 1509.2 KΩ y 1570.8 KΩ (1.54 MΩ±2%).

Por último, comentar que una precisión del 2% se considera como muy buena, aunque en la mayoría de los circuitos usaremos resistencias del 5%, que son las más corrientes.

Los resistores son fabricados en una gran variedad de formas y tamaños.

En las más grandes, el valor del resistor se imprime directamente en el cuerpo del mismo, pero en los más pequeños no es posible. Para poder obtener con facilidad el valor de la resistencia / resistor se utiliza el código de colores

Sobre estos resistores se pintan unas bandas de colores. Cada color representa un número que se utiliza para obtener el valor final del resistor.

Significado de las bandas de colores de una resistencia / resistor

- Las dos primeras bandas indican las dos primeras cifras del valor del resistor.- La tercera banda indica cuantos ceros hay que aumentarle al valor anterior para obtener el valor final de la resistor.- La cuarta banda nos indica la tolerancia y si hay quinta banda, ésta nos indica su confiabilidad