MATEMATICA DISCRETA USMP

FIA 2010 -I USMP

MATERIAL DE ESTUDIO

ASIGNATURA

SEMESTRE : 2010 -I

CICLO : PRIMERO

ESCUELA : Ingeniería CivilIngeniería ElectrónicaIngeniería IndustrialIngeniería de SistemasIngeniería en Industrias Alimentaria

ÁREA : Matemática

DOCENTES : Falcón Soto , ArnaldoNazario Bao , OfeliaUribe Pomadaza , Edwin

Falcón/Nazario/Uribe- 1 -

MATEMÁTICA DISCRETA

FIA 2010 -I USMP

ASIGNATURA

SISTEMA NUMÉRICO BINARIO

Semanas : 1a y 2a



FIA 2010 -I USMP

Fuente: Capitulo 4. SISTEMAS DE NUMERACION Y CODIGOS BINARIOSElectrónica Digital. Colección Shaum’s Mc-Graw Hill.


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EJERCICIOS SISTEMA DE NUMERACIÓNEjercicios resueltos:

1.-

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Ejercicios Propuestos

1.- Realizar las siguientes conversiones:

a) 1327 10 a binario k) 1289 10 a octalb) 128 10 a binario m) 37 8 a decimalc) 1023 10 a binario n) 567 8 a hexald) 32 10 a binario ñ) 1314 8 a hexale) 542 10 a binario o) FBB 16 a octalf) 16 10 a binario p) C1B2 16 a octalg) 101001 2 a decimal q) FF 16 a octalh) 1111001 2 a decimal r) 111001100 2 a BCDi) 1010101 2 a decimal s) 13.87 10 a hexalj) 100100100 2 a decimal t) 1000110 BCD a binario

2.- Representar el número decimal 54 en cada una de las siguientes formas:

a) A Binario b) BCDc) ASCIId) Octale) Hexadecimal

3.- Convertir los siguientes números binarios a sus valores decimales:

a) 10110 2

b) 1101.1011 2

c) 11010011.1110 2

4.- ¿Máximo hasta qué número decimal se puede contar con 12 bits?

5.- ¿Cuántos bits se necesitan para contar hasta 1023?

6.-¿ Convertir los siguientes decimales a binarios?

a) 39 d) 18 b) 169 e) 213 c) 1312 f) 255

7.- Cual es el mayor valor que se puede representar con un número binario de:

a) 8 bit b) 16 bit

8.- Convertir cada número octal a su valor equivalente decimal:

a) 657 8 d) 65 8

b) 1777 8 e) 57 8

c) 2207 8 f) 127 8


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9.-Convertir los siguientes números decimales a octales

a) 49 10 d) 41610

b) 929 10 e) 65535 10

c) 511 10 f) 44 10

10.- Convertir los valores octales a binarios.

a) 657 8 d) 65 8

b) 1777 8 e) 57 8

c) 2207 8 f) 172 8

11.- Convertir a octales los siguientes números binarios

a) 11001 d) 110110001b) 110110001101 e) 10101010 c) 11011111 f) 11100110

12.- Escribir los números octales en secuencia desde el 766 8 hasta el 1001 8

13.- Convertir los siguientes números hexadecimales a decimales:

a) 96 16 d) 26B 16

b) 73DC 16 e) 3B0 16

c) AFF 16 f) FA 16

14.- Convertir los siguientes números decimales a hexadecimales:

a) 74 10 d) 413 10

b) 2048 10 e) 26419 10

c) 4095 10 f) 44 10

15.- Convertir los siguientes números decimales a Octales:a. 7410

b. 41310

c. 204810

d. 2641910

e. 409510

16.- Convertir los siguientes números binarios a hexadecimales:a. 110012

b. 110110012

c. 1101100011012

d. 11001100112

e. 110111112


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17.- Convertir los siguientes números hexadecimales a binarios:a. 9616

b. 26B16

c. 73DC16

d. 3BO16

e. AFF16

18.- Las direcciones de las localidades de la memoria en una microcomputadora se especifican en hexadecimal. Estas direcciones son números secuenciales que identifican cada circuito de la memoria.a) Una microcomputadora en particular puede almacenar un número de 8 bits en cada localidad de la memoria. Si las direcciones de la memoria van de 000016 a FFFF16, ¿Cuántas localidades de memoria hay?b) Se especifica que otra microcomputadora tiene 4096 localidades de memoria, ¿qué intervalo de direcciones hexadecimales utiliza esta computadora?

19.- Escribir los números hexadecimales en secuencia de 68016 a 6A016

20.- Codificar los siguientes números decimales en BCD:a. 74b. 462c. 4589635d. 1402

21.- ¿Cuántos bits se necesitan para representar los números decimales en el intervalo de 0 a 999 utilizando el código binario? ¿Y utilizando el código BCD?

22.- Los siguientes números están en BCD. Convertirlos a decimal:a. 10010100101010010b. 000110000100c. 0111011101110101d. 010010010010

23.- Hallar el complemento a 2 de los siguientes números, luego expresarlos en el sistema decimal.

a. 100101b. 1000000c. 0111111

24.- ¿Cuál es el intervalo de decimales que se puede representar con 10 bits?

25.- ¿Cuántos bits se necesitan para representar los números enteros decimales que se encuentran entre 20 y 100?

26.- ¿Cuál es el mayor número que se puede representar con 16 bits?


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27.- Encontrar el complemento a 2 de:a. 10101100b. 10001c. 0010101

28.- Sumar los siguientes números. Expresar la suma como un número binario y como un número decimal:

a. 101011 + 110101b. 100101 + 001011

29.- Realizar la sustracción de los siguientes números utilizando el complemento a 2. Dar los resultados como números binarios y como decimales.

a. 001010 – 000101b. 001010 – 111011c. 110110 – 000101d. 110110 – 111011

30.- Multiplicar los números binarios: 0110 y 1011.

31.- Representar el número decimal 253 en el código BCD.

32.- Realizar la suma de los siguientes números hexadecimales: 76E y 8C4.

33.- Realizar la resta de los números hexadecimales: 8C4 – 76E.

34.- Realizar las sumas indicadas de números binarios:

a. 1001 + 1101b. 1110 + 0101c. 1100.0111 + 11.01d. 0.1101 + 0.1011e. 10111010 + 11101111

35.- Representar cada uno de los siguientes números decimales en el sistema complemento a 2. Utilizar un total de 8 bits .

a. 32b. 13c. 63d. 103e. 1f. 128g. 108h. 0


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36.- Determinar el decimal correspondiente al binario en el sistema complemento a 2 de:

a. 01001b. 11001c. 01001101d. 10010111e. 01111111f. 100000g. 11111111h. 10000001

37.- ¿Qué intervalo de valores decimales puede representarse con 11 bits?

38.- ¿Cuántos bits se necesitan para representar números decimales desde 384 hasta 423?

39.- Hacer una lista ordenada de todos los números que se puedan representar con 5 bits.

40.- ¿Cuál es el intervalo de valores decimales que puede representarse con 9 bits?

41.- Realizar las siguientes operaciones en el sistema complemento a 2. Utilizar 8 bits .Dar las respuestas en binario y en decimal.

a. Sumar 8 a 7b. Sumar 13 a 8c. Sumar 18 a 25d. Sumar 47 a 9e. Sumar 19 a 19f. Restar 15 de 19g. Restar 22 de 12h. Restar 35 de 14i. Restar 43 de 33j. Restar 21 de 121

42.- Multiplicar los siguientes números binarios:a. 110 x 101b. 1101 x 1101c. 100.101 x 110.001d. 0.1101 x 1.01001

43.- Dividir los siguientes números binarios:a. 1101 100b. 1111111 101c. 10011 100d. 10111.1011 1.1


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ASIGNATURA

Lógica

Semanas : 3a y 4a


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1. Determinar cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:

a. ¡Arriba Perú!b. Prohibido fumarc. Guarde silenciod. Buenas nochese. Ricardo Palma es autor de las “Tradiciones Peruanas”f. Cali es la capital de Colombiag. ¿Quién viene?h. 2(3)+1 > 4i. 210 es un número primo y 9 es múltiplo de 3j. x2 + y2 > 4

2. Dadas las siguientes proposiciones :

p: Omar conversa muchoq: Omar estudia el curso de Matemática Discretar: Omar aprobará el curso de Matemática Discreta

Construir las siguientes proposiciones:a. ( p q ) rb. p ( q r ) c. ( p r ) q d. ( p q ) r

3. Escriba simbólicamente :

a. Juan no aprobó el curso de Matemática Discreta sin embargo sabe dicho curso

b. Diez es un número par, pero no es múltiplo de cuatro.c. O Juan vendrá porque ha recibido la carta o no está interesado

todavía en el asunto.d. Arturo no viajó a Europa porque perdió sus documentos.e. Mario no viajó a Brasil becado porque perdió sus documentos

personales, sin embargo Julio viajó y no tenía beca.f. Juan no es ingeniero, ni arquitecto.

4. Determinar, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarla.

a. ( p q ) r ; r es Vb. ( p q ) ( p q ) ; q es Vc. ( p q ) ( p r ) ; p es V y r es Fd. p ( q r ) ; p r es V


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5. Sean las proposiciones A, B y C verdaderas y X, Y, Z falsas. Hallar el valor de :a. ( C B ) ( A Y )b. ( X Y ) ( Z C )c. ( Z Z ) ( B C )d. ( Z A ) ( X B )e. ( Y C ) ( A X ) C

6. Si se sabe que (p r) (s w) es verdadero y la negación de ( w s ) es verdadero. Hallar el valor de verdad de:

a. ( q p ) ( s w ) ( r s ) b. ( r p ) r ( q p )

7. De la falsedad del esquema: [ (p q) ( q r)]. Hallar el valor de verdad de:a. [ ( q r ) s ] [ ( p q ) ( x s ) b. ( p q ) s ( s w )

8. Sabiendo que ( p q ) ( r p ) r q; es falsa, hallar el valor de verdad de los esquemas siguientes: a. q ( p r ) ( r q )b. ( p q ) p ( r p )

9. Si: p q es falsa y r s es falsa.Hallar el valor de verdad de:a. ( p q) (r s)b. (p q) ( r p)

10.Si la negación del esquema ( r s ) q es verdadero. Hallar el valor de verdad de :a. {( r s ) p { ( r q ) } b. { ( r s ) q x } p

11.Si el valor de verdad de:( p q ) r p ( q r ) es falso.

Hallar el valor de verdad de: (p q ) r p ( q r )

12.Hallar los valores de p y q, si las siguientes proposiciones son verdaderas.( p q ) q ; ( p q ) p q

13.Si ( p q ) ( r s ) es verdadera, teniendo p y q los mismos valores de verdad. Se afirma:

a. t s r u ( p q ) es falsab. ( q t ) r ( p q ) es falsa


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14.Si la proposición (r s) (p q) es falsa.Hallar el valor de cada una de las siguientes proposiciones:a. ( r s ) ( p q ) b. p ( s r ) q ( r s )

15.Obtenga el enunciado equivalente a la negación de la inversa de la contrarecíproca de la proposición:

“Carlos no fue a la fiesta ni al cine, porque estaba enfermo”

16.Hallar el valor de verdad de la contrarecíproca de la inversa de la recíproca de la inversa:“No es verdad que, 4 + 7 > 15 ó 3 + 2 0 = 5, si = 5 “

17. Hallar la expresión : inversa, de la contrarecíproca de la recíproca, de la inversa de: “Los sueldos no suben, porque no hay trabajo además hay crisis económica”

18. Determinar usando tablas cuáles de los siguientes esquemas moleculares son: tautología, contradicción o contingencia:

a. ( p q ) (( p q ) r )b. p p q r c. ( q p ) (( p p ) ( q q )) ( q r )d. { p ( p q q } ( r p )e. { ( p q ) ( p q ) p ( p q r )f. ( p q ) r ( p q ) ( r p)

19. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes a: “Debido a que Iván estudia Ciencias, él lee libros científicos o no va a fiestas”a. Iván lee libros científicos o no es cierto que, estudia Ciencias y va a

fiestas”b. Ya que Iván va a fiestas, él no estudia Ciencias o lee libros científicosc. Aunque Iván no estudia Ciencias y va a fiestas, él lee libros

científicos.

20. Dadas las proposiciones :A: q pB: p q C: ( p q ) ( p q )Determine si:a. La conjunción de A y C es una condición necesaria para la negación

de Bb. C es una condición suficiente para la disyunción de A y B

21.Dados los esquemas moleculares:A = ( p q ) (p q) ( p q )


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B = p q. Determinar si:a. A es necesaria y suficiente para Bb. La conjunción de A con B es necesaria para ( p r)c. La disyunción inclusiva de p con A es suficiente para B

22. Dados los esquemas:a. p qb. ( p q r ) pc. ( q p ) rDefinir si la conjunción de A con C esta implicada por la disyunción exclusiva de C con B.

23. Se define el conectivo mediante la siguiente tabla de valores

.p q p q a. Demostrar, usando equivalencias, que VV F ( p q ) ( p q ) p q VF F b. Expresar p q en términos del conectivo FV F FF V

24.Sabiendo que: p q ( p q )Hallar la tabla de verdad de:( p q) (p q)

25.Evaluar por tablas de valores el siguiente esquema:( p q) q (q p) Sabiendo que:p q p qp q p q

26.Evaluar por tablas de valores el siguiente esquema: ( p q ) ( q ( r p )) ( r q )Si se sabe que: p q p q

.p q p q p q p ( q p )

27. ¿Cuáles de los esquemas, esta implicando a: ( p q ) ( p ( p q ))a. p qb. p qc. p qd. p qe. p q

28. Traducir a su forma simbólica y determinar si el siguiente argumento es una regla de inferencia válida:


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“Es verdad que José es aplicado no obstante es flojo. Aunque José es inteligente cuando es hábil. Sin embargo; O José es aplicado o es inteligente. En consecuencia, José es hábil si y sólo sí no es flojo”

29.Hallar la validez del siguiente argumento:“Si 3 es un número impar además no es un número entero, entonces es número primo. Es falso que, ó 3 es número impar ó 2 es número par. Por lo tanto, 2 no es número par ya que, 3 es número impar porque 3 es número entero”

30.Hallar la validez del siguiente argumento:“Las computadoras son inteligentes, ya que no es cierto que las computadoras son rápidas si y sólo sí son puro silicio. Las computadoras no son rápidas o son inteligentes pero no ambas cosas a la vez. Las computadoras son puro silicio o son inteligentes o son rápidas. En consecuencia las computadoras son rápidas cuando son inteligentes, no obstante son puro silicio”.

31. “Si un número par es positivo, entonces no es un número decimal ni es número primo. Un número par es negativo si y sólo si es un número menor que dos. Si no es un número decimal entonces es un número entero. Por lo tanto, si no es menor que dos entonces es un número entero”

32.Si la infraestructura es el principal problema de la educación, entonces muchos niños no irán al colegio a menos que el Estado construya grandes unidades escolares. No es el caso que, si mejora el nivel de la enseñanza, la infraestructura no sea el principal problema de la educación. Pero muchos niños irán al colegio si mejora el nivel de la enseñanza. En consecuencia, el Estado construye grandes unidades escolares si y sólo si mejora el nivel de la enseñanza.

33. Tanto la matemática como la geometría son exactas porque Euclides no se equivocó. Si Euclides no se equivocó, tanto la matemática como la geometría son sistemas axiomáticas. Pero cuando se mide distancias interestelares, la geometría no es exacta. En consecuencia, cuando se mide distancias interestelares, tanto la matemática como la geometría no son exactas, en vista de que la matemática y la geometría son exactas si y sólo si son sistemas axiomáticos.

34.Los números positivos no son enteros puesto que, es falso que los números positivos son naturales o 5 no es natural. Los números positivos son enteros o 5 no es número natural pero no ambos. De lo anterior se deduce: 5 es número natural si los números positivo son naturales.


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35. Usted puede tomar el paquete verde, o el paquete rojo, o el paquete amarillo, pero solo uno a la vez. Si usted toma el amarillo, luego también puede tomar el verde. Si usted no toma el rojo, no puede tomar el verde. Y si usted no toma el amarillo, no puede tomar el verde. Todo esto es suficiente para que usted tome el verde.

36. Si el contrato es válido, o Susana tendrá que desocupar la casa o estará obligada a pagar jurídicamente. Si el contrato no es válido, la sentencia del juez es dudosa. Sin embargo, ni Susana tendrá que desocupar la casa ni la sentencia del juez es dudosa. Por consiguiente, el contrato es válido a la vez que Susana estará obligada a pagar jurídicamente.

37.Simplificar el siguiente esquema molecular, aplicando leyes lógicas: p (q r) q (p q) r (p q)

38.Definimos: p q ( p q ) ( p q ) Simplifique : ( p q ) ( q p ) ( q p ) p

39.Definimos: p q p q. ¿A cuál es equivalente p q?a. p q q p b. p q q p c. p q ( p q )

40.Dado el operador definido por a b (a b). Hallar el equivalente más simple del esquema:( p (q p) q p , si se sabe que no es conmutativo.

41.Aplicando leyes lógicas, simplifique lo máximo posible el esquema siguiente:p (r q) q (q p) r q

42.Simplificar aplicando leyes lógicas:

a. (p q) p (q p) p qb. q { ( p r ) ( q r ) ( p q ) r }c. { (p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q )} ( p s) sd. p ( q r ) ( q p ) ( q p ) ( r p)

43.Dadas tres proposiciones: p, q, r, simplificar su forma equivalente más sencilla, la siguiente proposición:

(p r) ( q p) p ( r q ) ( r p )


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ASIGNATURA

Conjuntos y Relaciones

Semanas: 5a y 6a


MATEMATICA DISCRETA

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1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

A = x z / x 4 + 2 x 3 – 13 x 2 – 14 x + 24 = 0

B = x Q / 4 x 5 – x 3 + 32 x 2 – 8 = 0

C = x R /

D = { x Q / }

E = { x R / }

F= { x R /

G= { x Q /

H= { x Q /

I = y N / 2 y 5 y = 3

J = x Z / ( -2 x 8 x = 4)

K = x N / x = 2 n +1 3 n 7

2. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

A =

B =

C =

D = -2, 4, -8, 14, -22}

E = }

F =

G = {

H = {


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I =

J =

K =

3. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a. A ( C - B ) es lo mismo que A [ ( B C ) ]b. A = { es un conjunto unitario

B = { es un conjunto vacío.

4. Dado el conjunto A = 1, 3, 1, 4 ; determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. 3 A b. 4 Ac. . 1,1 A d. 1,3 P (A)e. . 3 P(A) f. 3,4 P(A)g. P(A) h. P(A)i . A P(A) = A j. xA/ x P(A)

5. Dados los conjuntos:

A = { x Z / ( x -3 x 3 ) }B = { y Z / ( -1 y 3 y 2 = 4 ) }C = { z Z +/ z es par z 10 }D = { z Z / x 2 4 x 2 = 1}E = { y z / ( -2 y y 28) }F = { z Z / }Determinar el valor de verdad de:

f ) B y C son comparablesg ) C y B son equivalentes.

6. Si ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?a.b. El número de elementos de P(A) es 8

c.

7. Sí: B= x Q / 2x 2 + x – 3 = 0. Hallar P(P(B))


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8. Si m + n, m - n y m + 3n, 3son conjuntos unitarios.¿El conjunto 2m + n, 3m - 3es unitario?

9. Dado el conjunto A:A = { a, b, {a, b}, { a, { a, b }}}. Si a b. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?a. a, b Ab. a, a, b P( A)c. a, b, b P (A)

10.Si A = { , {}, { a,}, a }Establecer el valor de verdad de las afirmaciones:

11.Determine si las siguientes proposiciones son V o F (Justifique sus respuestas)

12.Sea ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son falsas?

13.Dados los conjuntos:

U = {x Z / -3 x 5 }


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A = {x U / ( x -3 x -2)} B = { x U / ( -2 x x 3)}C = { x U/ ( 1-x ) A }Hallar:

a. [( A - B ) - C ] [ C A ]b. ( A C) - ( B C ) c. P[( A - B ) ( C - B ) ]d. P ( A ) P ( B )

14.Sean los conjuntos:

U = { x Z / -2 x 4 }A = { x U / B = { x U / x2 1 x 2 = 2x}C = { x U / Hallar:a) ( A C ) ( B A )b) ( B - A ) ( C B ) c) P((A B ) ( B - C ))

15.Dados los conjuntos:

A = 1,4142; ; -2/3; -3 ; 2+ ; 2 007;

B = x A / x R x Q C= x A / x Z x N D= x A / x Q x C

Determinar por extensión el siguiente conjunto: (B – C) ( C D )

16.Simplificar el siguiente conjunto aplicando leyes del álgebra de conjuntos:i) { [ C ( B – A ) ] [ B – ( C A ) ] } Bii) [ ( A B ) – ( C – A ) ] [ ( A B ) – ( A C ) ]iii) A ( C A) (A – C ) B ( C A ) (A C)

17.Sí A C . Simplificar:{ [ C B ) A ] C } B

18.Si C B y ( B C ) A = , simplificar:{( A B ) [ ( A – C ) B ] } - [ ( C - B ) – A ]

19.Se define la operación entre conjuntos: A B = ( A B ) – BHallar el conjunto X (por extensión) si:

( C – E ) X X = ( C X ) ( X D ) X ( D – C)

donde: Z = Conjunto Universal


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C= Enteros positivos D= x Z / x 4 x 5 E = x Z +/ x es par

20.Si A B y A C = , simplificar:( A – B ) C - ( A B ) - A ( A C) - A ( B – A)

21. Dados los conjuntos:

P = { y / y = n 2 - 1 , n Z , 3 n 5 }

R = { z 2 / }.Hallar: [ n(P) + n (R)] - n (P R)

22. En una asamblea de 60 integrantes de un club; 50 son estudiantes, 47 trabajan y 4 no trabajan ni estudian. ¿Cuántos trabajan y estudian?

23. De los 100 estudiantes de un salón, 70 aprobaron MBI, 80 aprobaron MBII y 78 aprobaron MBIII. Si 90 aprobaron exactamente2 cursos ¿Cuántos aprobaron los 3 cursos?

24. Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado una encuesta sobre el uso de ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos:80% tienen televisor90% tienen radio60% tienen cocina a gas2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores55% tienen los tres artefactos.¿Qué porcentaje de los encuestados poseen sólo uno de estos artefactos?

25. En una competencia deportiva de 140 participantes, 80 ganaron medalla de oro; 90 ganaron medalla de plata; 60 ganaron medalla de bronce; 30 ganaron medalla de oro y plata; 35 ganaron medalla de oro y bronce; 2 de oro, plata y bronce. Si todos ganaron al menos una medalla ¿Cuántos ganaron solo medallas de Plata y Bronce?

26. De un grupo de turistas 9 conocen Cuzco o Piura, pero no Arequipa; de estos 9; 8 conocen Cuzco y 4 Piura. Además 25 han visitado Arequipa o Piura, de los cuales 7 conocen Cuzco pero no Piura y 2 han visitado Piura y Arequipa, pero no Cuzco. Si 4 turistas conocen las tres ciudades. ¿A cuántos turistas se hizo referencia?

27. Consideremos tres conjuntos A, B, y C contenidos en un universo de 52 elementos de modo que:n(A-B) = 17; n (B-C) =14 y n (C-A)= 11n(ABC ) = n (ABC) . Hallar el cardinal de (A BC)

28. Se tiene 32 libros que tratan sobre MBI, MBII y MBIII; se sabe que:16 libros tratan sobre MBII por lo menos.


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15 libros tratan sobre MBIII por lo menos8 libros tratan de MBII solamente4 libros tratan de MBIII solamente2 libros tratan sobre MBI y MBII solamente5 libros tratan sobre MBI y MBIII solamente6 libros tratan sobre MBII y MBIII solamente¿Cuántos libros tratan sobre MBI solamente?

29. Dados tres conjuntos A, B, y C con n, 3n y (n – 1) elementos

respectivamente. A y B tienen elementos comunes; A y C tienen ,

además C y B tienen 2. Si hay un único elemento común a los tres conjuntos. Hallar el número de elementos de: ( A B ) – ( A B ) - C

RELACIONES BINARIAS

30. Hallar los valores de a y b sí:

( a 2 + b2 , 2 a) = ( - 1/4, 2b – 1,5)

31. Hallar los valores de "x" e "y" en las siguientes igualdades:


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32. Dado los conjuntos:A = B = x Z / C = Hallar: a. (A – C) x ( C – B)

b. (C x A ) – ( C x B ) c. n ((A C ) x ( B C ))

33. Dado los conjuntos :

Hallar:a. ( A C ) x ( B C)b. ( C x A ) ( C x B )c. ( A x C ) ( B x C )d. n ( A – B ) x ( B C )

34. Dadas las relaciones definidas en A y B:A = { 0,1,2,3,4,5,6} ; B = { 3, 4}R1 = { (x, y) A x A / x = y -1}R2 = { (x, y) B x A / 2 x + y 9 }

Hallar: Dom ( R1-1 - R 2 )

35. Se define R ={ (x , y ) A x B / x + 1 =y } donde :A = { 2,3,4,8,9,10,12 } ; B = { 2, 4, 5, 6,9 10}

Hallar: Ran (R).

36. Dado el conjunto D ={-3,-2,-1,0} y la RelaciónR = {0,a-b+c),(-1,-2),(-1,-3),(-2,-1), (-2,-2),(-2,-3),(-3,0),(-3,-2),(-3,b),(c-b,-1)}

Hallar a+b+c sabiendo que R es una relación reflexiva en D.

37. Sean las relaciones:


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Definidas en el conjunto A = {2, 4, 5, 6}.De los siguientes enunciados ¿cuáles son verdaderos?

a) c) R3 no es simétrica

b) es de equivalencia d) es de orden

38. Sea T = {(x, y ) N x N / (x y)2 es par }, una relación en N. Hallar el valor de cada afirmación:

a. T es reflexiva c. T es simétricad. T es transitiva d. T-1 no es de orden

39. En cada una de las siguientes relaciones de R en R dadas por las ecuaciones. Hallar el dominio y rango de cada una de las relaciones:

ASIGNATURA


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Algebra de Boole

Semanas: 7a , 8 a , 9 a y 10a


MATEMATICA DISCRETA

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1. Simplificar las siguientes expresiones booleanas:

a. (x + y) (x’ + y)b. (x + xy + xyz) (x + y + z)c. (xy’ + x’y)’.(xy + x’y’)’

2. Simplificar las siguientes expresiones booleanas:

a. (yz + xuw) (yz + x’ + u’ + w’)b. xyz + xy’z + x’yzxc. (x + y + z + x’y’z’).(yz + yz’ + y ‘z)d. (yz + y’z’ + yz’)’ [(y’ + z’) (y + z’)]e. xy + x’z + yzf. (x + y) (x’ + z) (y + z)

3. Escribir cada una de las siguientes expresiones en la forma normal disyuntiva con el menor número posible de variables:

a. (x + y’) (y + z’) (z + x’) (x’ + y’)b. (x + y’) (y + z) (y + z’)c. x’yz + xy’z’+ x’yz’ + x’y’z + xyz’ + x’y’z’

4. Expresar cada una de las siguientes expresiones en forma normal conjuntiva con el menor número posible de variables:

a. (x + y’) (y + z’) (z + x’) (x’ + y’)b. (x + y’) (y + z) (y + z’)c. x’yz + xy’z’+ x’yz’ + x’y’z + xy’z + x’y’z’

5. Completar cada expresión:

a. x + 1 =b. x.x =c. y.y’ =d. z + z =e. x.0 =f. x.1 =g. x + 0 =h. z + z’ =i. y + yz =j. y + z’y =


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6. Simplificar las siguientes expresiones mediante ley de D’Morgan:

a. (x’yz’)’ =b. (x’ + y’z)’ =c. [xy(zw)’ ]’ w =d. [x(y +z’)’ w =e. [(x + y’ ) (x’ + y)]’ =f. [(xy)’z]’w’ =

7. Para cada una de las siguientes expresiones construir el circuito lógico correspondiente: 1) utilizando compuertas AND y OR. 2) utilizando compuertas NAND y NOR. Use inversores si es necesario.

a = [xy (z + w)]’b = (x + y + z’wu’)’ + y’zw’c = (x + y)’ + z’wd = (x +´zw’)’e = xy(z + y’)

8. Escribir la función de salida del siguiente circuito, elaborar la

tabla de verdad y simplificar utilizando las leyes de D’Morgan.

x y z

f


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9. Convertir el siguiente circuito en uno que sólo utilice compuertas NAND. Luego, escribir la expresión de salida para el nuevo circuito, simplificarla usando D’Morgan y compararla con la expresión del circuito original:

x y z w

f

10- Convertir el circuito siguiente en uno solo que use compuertas NOR. Luego, escribir la expresión de salida para el nuevo circuito, simplificarlo usando D’Morgan y compararlo con la expresión del circuito original:

x y z

f

11.- Diseñar el circuito lógico correspondiente a la siguiente tabla de verdad y rediseñar sólo con compuertas NAND.


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x y z f0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1

12.- Diseñar un circuito lógico cuya salida sea alta sólo cuando la mayoría de las entradas x, y, z sean bajas, y rediseñar sólo con compuertas NAND.

13.- Determinar las expresiones simplificadas para cada uno de los mapas K siguientes:

a. x’y’ x’y xy xy’00 01 11 10

z’w’ 00 1 1 0 0z’w 01 1 1 0 1zw 11 1 0 0 1zw’ 10 1 0 1 0

f(x,y,z,w) = x’y’ + x’z’ + y’w + xyzw’

b. x’y’ x’y xy xy’00 01 11 10

z’w’ 00 1 1 0 1z’w 01 0 0 0 0zw 11 1 0 0 1zw’ 10 1 1 0 1

f(x,y,z) = y’w’ + x’w’ + y’z


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c. x’y’ x’y xy xy’00 01 11 10

z’ 0 1 0 1 1z 1 1 0 0 x

f(x,y,z) = y’ + xy’

14.- Hallar expresiones simplificadas para las funciones F1, F2 y F3

de la tabla siguiente:

x Y z f1 f2 f3

0 0 0 0 x 10 0 1 0 X 00 1 0 1 1 00 1 1 x 1 01 0 0 1 x x1 0 1 1 1 x1 1 0 x 0 x1 1 1 x 0 x

15.- Determinar los valores de entrada que se necesitan para producir f = 1 en el siguiente circuito:

x y z

f

19.- Diseñar una compuerta NAND de dos entradas a partir de una compuerta NOR de dos entradas.


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20.- Diseñar una compuerta NOR de dos entradas a partir de una compuerta NAND de dos entradas

21.- Simplificar usando propiedades del algebra de Boole

22. Demostrar algebraicamente que se cumple la relación

.

23. Extraer las ecuaciones canónicas generales y dibujar los circuitos simplificados a partir de los siguientes circuitos

24. Simplificar usando Mapas de karnaugh.


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25. Simplificar usando Mapas de karnaugh. F (x, y, z) = " (0, 2, 4, 5, 6) F (w, x, y, z) = " (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14) F (A, B, C, D) = " (0, 1, 2, 6, 8, 9, 10)

26. Representar en un mapa de Karnaugh las siguientes funciones, simplificarlas y diseñar su circuito lógico

27. Partiendo de los siguientes maps-K, obtener la función minterms o maxterms completas que representan


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abc

00 01 11 10

0 1 1 1

1 1 1

abc

00 01 11 10

0 0 0 0 0

1 0

28. Obtener la función simplificada correspondiente a las tablas de verdad siguientes, empleando mapas de Karnaugh. Dar su diseño lógico

A B C F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

A B C F

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1


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1 1 1 1

29. Representar en un mapa de Karnaugh las siguiente funciones booleanas y simplificarla. Dar su diseño lógico.

30. Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente, empleando mapas-K. Dar su diseño lógico.

A B C D F

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

31. Diseñe un circuito combinacional con 4 entradas A, B, C, D y una salida F. F será igual a 1 cuando A = 1 siempre que B = 0 o cuando B = 1 siempre que C o D sean también iguales a 1. En otra forma, la salida será igual a 0.

a. Obtener la tabla de verdad del circuito

b. Simplificar la salida con los mapas de Karnaugh.

c. Implementar el circuito con puertas NAND.

32. Diseñar un circuito lógico de tres entradas con NAND, que realice una lógica mayoritaria, es decir, la salida es igual a 1, si la mayoría de entradas son 1; y de otra forma la salida será igual a 0.

33. Se quiere implementar un sistema con dos luces de alarma (diodos LED) y tres sensores (entradas digitales). Llamaremos A y


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B a las luces de alarma, y x2, x1 y x0 a los sensores digitales. El sistema deberá funcionar de la siguiente manera:

* La alarma A se dispara si se recibe señal del sensor x2

exclusivamente.* La alarma B se dispara si se recibe señal del sensor x0

exclusivamente.* Las dos alarmas se disparan si se recibe señal de al menos dos sensores cualesquiera

a) Realizar una especificación tabular del sistema de alarma (tabla de verdad).b) Realizar una implementación con puertas AND-OR.c) Realizar una implementación con puertas NAND.

34. Encontrar la tabla de verdad, el mapa de Karnaugh y la expresión booleana más simplificada de una función booleana de 4 variables que tome el valor 1 cuando el número expresado en binario por sus variables sea un número primo mayor que 4, y 0 en el resto de los casos. Expresar la función como suma de productos y como producto de sumas.

ASIGNATURA



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Grafos

Semanas: 11a , 12a , 13 a , 14a

1. Hállese el número de vértices de los siguientes grafos:a) G tiene 9 aristas y todos sus vértices son de grado 3.b) G es un grafo regular con 15 aristas.c) G tiene 10 aristas, dos de sus vértices son de grado 4, y los restantes de grado 3.

2. Describe (es decir, nombra, dibuja o explica) por qué puede existir:a) Un grafo con 7 vértices, todos de grado 3;b) Un grafo con 15 vértices y 105 aristas;c) Dos grafos no isomorfos, cada uno con 6 vértices, todos de grado de 2;d) Un grafo conexo con 8 vértices y cuya sucesión de grados sea:

(1,1,1,2,3,4,5,7).

3. Cuántos lados tiene un grafo que tiene 2 vértices de grado 2, tres vértices de grado tres, cuatro vértices de grado cuatro y cinco vértices de grado 5?

4. Determinar si existe algún grafo simple con 7 vértices cuyos grados sean 3; 2; 2; 4; 3; 5; 4:


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Determinar también si existe algún grafo simple con 5 vértices cuyos grados sean 3; 2; 2; 4; 3:

5. Dibujar los grafos bipartidos completos K2;5 y K3;4: Determinar el número de aristas del grafo Km;n

6. Considérese el grafo de la figura

a. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones de vértices describen caminos: stuvwxyz; tvwzyx; stus; tuss; vwvwvwv; wvustvw.

b. Obtener en este grafo los caminos de menor longitud que conecten los siguientes pares de vértices, dando la longitud.: s, v; s, z; u, y; v,w.

7. Disponemos de 6 ordenadores y 9 cables de conexión. Queremos que cada ordenador se conecte con otros 3 ordenadores. ¿Existe alguna forma de conectarlos? ¿Es única?

8. Una empresa adquiere una red de ordenadores. Cada ordenador se conecta con, a lo sumo, cinco ordenadores y el número total de conexiones es 40. ¿Qué puedes decir del número de ordenadores que se han comprado?

9. Determinar cuáles de los siguientes grafos son bipartidos:

10.Construir un grafo con 5 vértices y 6 aristas que no contenga ningún

ciclo de longitud 3.

11.Determinar si los siguientes pares de grafos son isomorfos


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12.Dado el siguiente grafo

Determine: (a) si es euleriano, (b) si posee un camino euleriano, (c) si es o no hamiltoniano.

13.Determine si el grafo siguiente es o no Hamiltoniano:

14.Construir un grafo de orden 5 cuyos vértices tengan grados 1, 2, 2, 3, 4. ¿Cuál es el tamaño del grafo?

15.A una fiesta asisten 20 invitados. Cada uno de ellos conoce a un nº diferente de invitados. ¿Es esto posible? Probar que todo grafo sin bucles de orden n ≥ 2 tiene al menos dos vértices con el mismo grado.

16.Determinar cuáles de los siguientes grafos son bipartidos:

17.¿Cuántas aristas tiene un grafo simple si sus vértices tienen los siguientes grados 4,3,3,2,2? Dibuja tal grafo.


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18.Obtener la lista de adyacencia y las matrices de adyacencia e incidencia para los siguientes grafos:

19.Construye la tabla de listas de adyacencia y la matriz de adyacencia de

los dos grafos siguientes y demuestra que son isomorfos.

20.En la siguiente figura aparecen 5 regiones y 10 puentes:

Construye un multígrafo que represente la situación, tomando como vértices las regiones y como aristas los puentes. ¿Es posible un recorrido que cruce cada puente una sola vez y regrese al lugar de partida? ¿Es posible un recorrido que cruce cada puente una sola vez, finalizando en un lugar diferente del de partida? Razona tus respuestas.

21.Considera el grafo G indicado por la figura siguiente:


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a. ¿Es posible realizar en G un recorrido que pase exactamente una vez por cada arista? En caso afirmativo, enumera las aristas en el orden correspondiente al recorrido

22.Dibujar el grafo correspondiente a la matriz de adyacencia:

a) Determinar el número de componentes conexas del grafo.c) Determinar los grados de todos los vértices de G.d) Determinar si el grafo es Euleriano.

23.Demuéstrese que los dos siguientes grafos son isomorfos. ¿Cuántos isomorfismos distintos hay entre ellos?

24.Estudia si son isomorfos los siguientes grafos:

25.-Consideremos el grafo no dirigido G.


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a. Calcula la matriz de adyacencia A del grafo G.b. Calcula la matriz de incidencia del grafo G.

10. Para cada uno de los siguientes grafos determine si es planar o no, justificando la respuesta.

Dibuje un grafo plano con 7 vértices y 15 aristas.

27.-Determina cuáles de los siguientes grafos son planos

28.- ¿Existe algún grafo planar con 7 vértices y 16 aristas?

30.- ¿Cuántos vértices ha de tener un grafo plano, regular de grado 5 y con 20 caras?

31.- Demuestra que son planares los siguientes grafos y comprueba la fórmula de Euler.


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32.- Estudia si son planares los siguientes grafos. En caso afirmativo, da una representación plana y comprueba la fórmula de Euler. En caso negativo razona porqué no lo son:

33.- Sea un grafo plano y conexo con nueve vértices de grados dos (tres veces), tres (tres veces), cuatro (dos veces) y cinco. ¿Cuántos lados hay? ¿Y caras?

34.- Para el siguiente grafo G halle (G)

35.- Si Cn es un ciclo de longitud n, pruebe que (Cn) es 2 si n es par y 3 si n es impar.

36.- Una rueda de orden n 4 es un grafo Wn que contiene un ciclo v1v2 . . . vn−1v1 y un vértice adicional vn adyacente a cada vi para i = 1, 2, . . . , n − 1. Pruebe que (Wn) es 4 si n es par y 3 si n es impar.

37.- Encuentra el número cromático de los siguientes grafos:


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38.- ¿Es posible colorear el mapa de los departamentos del Perú con sólo cuatro colores?

39.- Describe el algoritmo de Welch-Powell de coloración de los vértices de un grafo. Aplícalo al siguiente grafo:

40.- Utiliza la teoría de grafos para colorear los siguientes mapas con el mínimo nº de colores posible:

41.- Calcula el dual del grafo


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42.- Sea G un grafo Hamiltoniano y 3-regular. ¿Cuál es su índice cromático? ¿Es cierto que todo grafo 3- regular es Hamiltoniano?

43.- Sea M el mapa de la figura

a. M se puede colorear con tres colores diferentesb. M necesita cuatro colores para ser coloreadoc. Son necesarios más de cuatro colores para colorear M

44.- Dado el grafo

45.- Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a.. Un grafo es bipartito si y sólo si no tiene ciclos de longitud imparb. Un grafo es bipartito si y sólo si tiene un número par de vérticesc. Un grafo es bipartito si y sólo es un grafo completo con un número par de vértices

46.- Responder: Dado el grafo

a. Es plano c. Es completob. No es plano

47.- Sea K6 el grafo completo de 6 vértices. Entonces

a. Es bipartito ya que tiene un número par de vérticesb. Es Hamiltonianoc. Es Euleriano


1. Es hamiltoniano2. Es euleriano3. Es bipartito

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48.- Sea G un grafo y M un mapa con r regiones que representa a G. Si el grado de todos los vértices es 5 y G tiene 20 aristas, entonces r es:

49.- Dado el grafo G con matriz de adyacencia: entonces:

50.- Para el grafo siguiente, utilizando un algoritmo, calcula los caminos más cortos del vértice v1 al resto de vértices.

51.- Se desea establecer una red informática que conecte 5 puntos a1, a2, a3, a4 y a5. Las posibilidades de conexión vienen dadas en el siguiente grafo, en donde los pesos asignados a las aristas representan el coste de construcción de la línea directa correspondiente.

52.- Usa un algoritmo de para determinar qué líneas deben construirse para que el coste total sea mínimo.

.53.- (Problema chino del cartero, Kwan,1962): Un cartero sale de correos con las

cartas, recorre las calles de su zona y vuelve a la central. Debe minimizar la


a. 12 b. 14 c. 18

a. G es un grafo completob. G no es conexoc. G es un pseudografo

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distancia recorrida. Resuelve este problema si las calles que debe recorrer son las representadas en los siguientes grafos:

54.- El jefe de una escuela tiene que programar las fechas de los exámenes finales correspondientes a 7 asignaturas, que designaremos por A1, A2, A3, A4, A5, A6

y A7, de modo que a ningún estudiante le coincidan dos exámenes el mismo día. Se sabe que los siguientes pares de asignaturas tienen estudiantes en común:

{A1, A2}, {A1, A3}, {A1, A4}, {A1, A7}, {A2, A3}, {A2, A4}, {A2, A5}, {A2, A7}, {A3, A4}, {A3, A6}, {A3, A7}, {A4,A5}, {A4, A6}, {A5, A6}, {A5, A7} y {A6, A7}.

Dibuja un grafo que modele el problema de programación de las fechas de los exámenes. ¿Cuál es el mínimo número de días necesarios para realizar todos los exámenes de modo que ningún estudiante tenga dos exámenes el mismo día?


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