Aplicaciones de las Derivadas Parciales en la Ingeniera EconmicaUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

FACULTAD DE INGENIERA CIVILDEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS

DERIVADAS PARCIALES EN LA INGENIERIA ECONOMICA

Octubre-2014

INTRODUCCIN:

El siguiente trabajo rene una muestra general de la Definicin de Derivadas Parciales, su aplicacin, su Interpretacin Geomtrica y la alusin del uso de Derivadas Parciales de una funcin de dos, tres o n variables en algunos casos matemticos de ingeniera.Las Derivadas Parciales son utilizadas en ingeniera para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funcin de varias variables respecto a una de sus variables independientes, es decir, la derivada de una funcin de dos variables, mide la rapidez de cambio de una de ellas llamada variable dependiente en relacin con la denominada variable independiente. Podemos adelantar que las derivadas parciales son tiles para al anlisis real multi-variable de vectores en dos o ms dimensiones (calculo vectorial) y geometra con los nmeros reales, los vectores, sus funciones, adems de los nmeros complejos; que en este trabajo preferimos no tocar (geometra diferencial).

Para resolver problema de Derivadas Parciales utilizaremos las tcnicas bsicas de Derivacin, tcnicas algebraicas y otros mecanismos matemticos que facilitan la resolucin de cualquier ejercicio, sin mencionar que se tendrn que hacer recordatorios de matemtica iniciales.

OBJETIVOS:

Especficos:

1. Conocer la Definicin de Derivadas Parciales y sus aplicaciones en entornos de la vida cotidiana con nfasis en matemticas de Ingeniera.

2. Facilitar la utilizacin de Derivadas Parciales en problemas matemticos de ms de una variable para problemas de Ingeniera.

Generales:

1. Comprender el uso general de las Derivadas Parciales y su forma de aplicacin en procesos matemticos con funciones cambiantes de ms de una variable, ya sean problemas lineales o no-lineales de Ingeniera.

2. Determinar y entender el uso del concepto bsico de Derivadas Parciales y su utilizacin como herramienta facilitadora en la solucin de problemas que requieren un nivel matemtico en el que se involucran funciones de ms de una variable con procesos especiales en las que tambin se pueden manejar con constantes.

MARCO TERICO:

Definicin formal de Derivada Parcial:Las derivadas parciales estn definidas como el lmite donde es un subconjunto abierto de y una funcin. Definimos derivada parcial de en el punto con respecto a la i-sima variable como:

Cuando todas las derivadas parciales existen en el punto , la funcin no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de y son continuas, entonces la funcin adems de ser continua es diferenciable cuando tiende a . En este caso, es una funcin

Concepto de Derivada Parcial:

Cuando sea una funcin de dos variables y , y si hacemos variar nicamente a , cuando permanezca fija, en ejemplo , donde es una constas. Entonces vemos una funcin de una sola variable, que en este caso sera , resumiendo: ). Cuando g tenga derivada en , la derivada de en esta situacin es denominada derivada parcial de con respecto a en y se denota por

Veamos:

E1:

Por la definicin de una derivada, tendramos:

=

Y, por lo tanto, la E1 (ecuacin 1) se convierte en:

E2:

Cuando la derivada parcial de f es con respecto a y en denotada por , se obtiene dejando x fija y calculando la derivada ordinaria en k de la funcin

E3:

Al variar el punto en E2 y E3, fx y fy se transforman en funciones de dos variables.

E4: Si f es una funcin de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy definidas por:

Aparte de estas notaciones que hemos visto, hay otras ms para derivadas parciales. Por ejemplo, cambiando por o (para indicar derivacin con respecto a la primera variable) o tambin podemos ver para referirse a las derivadas parciales. Veamos mayor detalle en el siguiente cuadro:

Para calcular derivadas parciales, todo lo que tenemos que hacer es recordar de la E1 que la derivada parcial con respecto a , es precisamente la derivada ordinaria de la funcin de una sola variable que obtenemos al conservar fija. Entonces para calcular derivadas obtenemos la siguiente regla:1. Para hallar , considere y como constante y derive con respecto a .2. Para hallar , considere x como constante y derive con respecto a .

Ejemplo 1: Hallar y evaluar las derivadas parciales.Si , encuentre y

Solucin: conservando constante y derivando con respecto a , tenemos:

Ahora, conservando constante y derivando con respeto a , obtenemos:

Ejemplo 2: Hallar y evaluar las derivadas parciales.Si , encuentre y , y evaluar cada una en el punto

Solucin: conservando constante y derivando con respecto a , tenemos:

Ahora, conservando constante y derivando con respeto a , obtenemos:

Las derivadas parciales de una funcin de dos variables, tienen una interpretacin geomtrica que ms adelante profundizamos, pero en este ejemplo; Si , entonces representan la curva interseccin de la superficie con el plano , como se muestra en la figura a continuacin:

Interpretacin geomtrica de las Derivadas Parciales:Cuando se trata de funciones de una sola variable, la derivada de proporciona la pendiente de la recta tangente al grafico de De la misma manera, s se tiene la funcin de dos variables la derivada parcial da la pendiente de una recta tangente a la superficie

Cuando se tiene la funcin y se considera a y constante, es decir, entonces la derivada parcial de Z respecto a x proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con el plano Por otra parte, si la que se considera constante es x, es decir, entonces la derivada parcial de Z respecto a y proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con el plano

Ilustracin 1

La derivada parcial de f respecto a x, evaluada en da la pendiente de la recta tangente T1, en el punto P1.O sea que:

La ecuacin de la recta tangente T1 se puede escribir, entonces, de la siguiente manera:

Ilustracin 2

La derivada parcial de f respecto a y evaluada en da la pendiente de la recta tangente T2, en el punto P2.Es decir:

La ecuacin de la recta tangente T2 se puede escribir como:

Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con el plano y=1, en el punto (1, 1, 2)

Solucin:

Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con el plano , en el punto (2, 1, 10).Solucin:

Al evaluar en (2, 1), se tiene que la pendiente La ecuacin de la recta tangente resulta ser:

Derivadas parciales de una funcin de tres o ms variables:

El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o ms variables. Por ejemplo, si existen tres derivadas parciales. Para definir la derivada parcial de k con respecto a , se consideran y constantes y se deriva con respecto a . Para hallar las derivadas parciales de con respecto a y con respecto a se usa el mismo proceso.

En general, si hay derivadas parciales denotadas por:

Ejemplo: Hallar las derivadas parciales.a) Para hallar la derivada parcial de con respecto a , se consideran y constantes y se obtiene:

b) Para hallar la derivada parcial de con respecto a , se consideran y constantes. Entonces, usando la regla del producto, se obtiene:

c) Para calcular la derivada parcial de con respecto a , se consideran , y constantes y se obtiene.

Derivadas parciales de orden superior:

Las derivadas parciales de la funcin pueden ser, a su vez, derivadas y se obtienen, entonces, las derivadas parciales de 2 orden.La derivada parcial de con respecto a se denota as:

Si se tiene que las derivadas parciales de 2 orden se denotan de la siguiente manera:

Ejemplo: Para , encontrar todas las segundas derivadas parciales. Solucin:

Podemos observar que esto se cumplir siempre que las derivadas parciales de segundo orden sean continuas.

Ejemplo: Calcular las segundas derivadas parciales de

Solucin:

Ejemplo: Para la funcin hallar

Regla De La Cadena:

En varias ocasiones una funcin lo es de dos o ms variables, las cuales a su vez dependen de una tercera variable. Para encontrar la razn de cambio de la funcin respecto a esta ultima variable, se utiliza la regla de la cadena. Por ejemplo, la produccin de una fbrica depende del capital invertido y del tamao de la fuerza de trabajo, pero ambos se modifican en el tiempo. Por esta razn, la produccin depende, en ltima instancia, del tiempo.Si se tiene la funcin de dos variables de tal manera que son, su vez, funciones que dependen de la variable , entonces la derivada de respecto a t se obtiene de la manera siguiente:

Ejemplo: S , donde , hacer uso de la regla de la cadena para encontrar .Solucin:

Ejemplo: Sea Encontrar

Solucin:

Ejemplo: Un supermercado vende caf molido a x colones la libra y caf granulado a y colones la libra. Actualmente la demanda mensual de caf molido es:Libras

Dentro de meses, el supermercado vender la libra de caf molido a: Colones el caf granulado a: ColonesA qu ritmo estar cambiando la demanda del caf molido dentro de 9 meses?Solucin:

Para se tiene

Por lo tanto, al sustituir valores resulta:

Derivacin Implcita:

Sea una ecuacin que define a y como funcin implcita de Al usar la regla de la cadena, para derivar con respecto a , se tiene:

Al despejar resulta:

Si define implcitamente a como funcin de , al derivar respecto a (y constante)

De la misma manera:

Ejemplo: Si Encontrar Solucin:

Aplicaciones ms comunes de las Derivadas Parciales:

Productividad Marginal

La productividad de cierto artculo que fabrica una empresa se relaciona principalmente con dos factores: el monto del capital invertido y la mano de obra empleada en la fabricacin del artculo.

Sean: la produccin total del artculo (nmero de unidades/unidad de tiempo). el monto del capital invertido en la planta productiva ($). el nmero de unidades de mano de obra (en horas-hombre o en $ por salarios pagados).

Se establece entonces una funcin de dos variables: llamada funcin de produccin, donde y son los insumos de produccin, como por ejemplo:

Productividad marginal del capital: Es la derivada parcial de con respecto a , es decir , y significa el incremento en la produccin debido, al incremento de una unidad de capital invertido en la planta productiva, manteniendo fija la inversin en mano de obra.

Productividad marginal de la mano de obra: Es la derivada parcial de con respecto a L, , y significa el incremento en la produccin debido al incremento de una unidad de mano de obra, manteniendo fija la inversin del capital de la planta productiva.

Ejemplo: Para la funcin , calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para y Solucin:

unidades / unidad adicional de capital.

unidades / unidad adicional de mano de obra.

Funcin de produccin de Cobb Douglass: Es una funcin de la forma , donde a, b y c son constantes positivas y se cumple que:

Ejemplo:, calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para y .Solucin: unidades / unidad adicional de capital.

unidades / unidad adicional de mano de obra.

Demandas marginales

Ciertos productos en el mercado se relacionan entre s, de tal manera que al variar el precio de uno de ellos se afecta la demanda del otro.

Sean , los precios unitarios de los artculos y , sus demandas respectivas. Entonces y son sus ecuaciones de demanda. De estas ecuaciones se pueden obtener cuatro derivadas parciales: , , , .

Demanda marginal del artculo 1, con respecto a su precio: Es la derivada parcial .

Demanda marginal del artculo 1, con respecto al precio del 2: Es la derivada parcial .Las definiciones son similares para las otras dos derivadas parciales.

En lo general las derivadas parciales y son negativas, porque al aumentar su precio disminuye su demanda. Sin embargo las derivadas parciales y , que se llaman demandas marginales cruzadas, pueden ser positivas o negativas dependiendo de la interaccin de los productos. Por ejemplo al aumentar el precio de la carne de cerdo, sin cambiar el precio de la carne de res, la demanda de carne de cerdo baja y se incrementa la demanda de la carne de res. As mismo si se incrementa el precio de la carne de res, sin cambiar el precio de la carne de cerdo, la demanda de carne de res baja y se incrementa la demanda de la carne de cerdo; aqu y . Sin embargo, por ejemplo, al aumentar el precio de las cmaras fotogrficas (no digitales), la demanda de pelcula fotogrfica baja y viceversa; aqu las dos derivadas parciales son negativas, es decir y .

Artculos competitivos o sustitutos: Cuando y .

Artculos complementarios: Cuando y .

Ejemplo: Calcular las demandas marginales cruzadas para las siguientes ecuaciones de demanda de dos productos del mercado: y . A continuacin decir si se trata de productos competitivos o complementarios.

Solucin: y . Puesto que ambas derivadas son negativas, se trata de productos complementarios.

CONCLUSIN:

Las Aplicaciones de las Derivadas Parciales se extienden en el mundo de las matemticas, tomando gran importancia y aprecio en la resolucin de problemas complejos de ingeniera econmica y otras ramas de la ciencia; ya que han venido facilitando el proceso a travs de los tiempos que incluyen procesos muy comunes como el clculo y la geomtrica en diversas formas.Concluimos resumiendo que: lasfuncionesconvarias variables tienen tambin derivadas. Sea es decir, es funcin de y . Si se mantiene constante temporalmente, z es una funcin de , con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parcial ; o de la misma manera, si se toma la como constante y se diferencia con respecto de se obtiene .

Las derivadas parciales se pueden calcular para funciones con ms de dos variables, considerando que todas las variables (menos una) son constantes y derivando con respecto a sta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior.

Por ejemplo, si se tiene que y que . Geomtricamente, una ecuacin define una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes y son horizontales y el eje es vertical, entonces y representan los gradientes de dicha superficie en el punto en la direccin de los ejes y , respectivamente.

Recordemos que las derivadas parciales son importantes en las matemticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo; que con el uso de otras herramientas matematices complicaran el proceso dificultando el obtener respuestas concretas y tiles para aplicaciones adems de acadmicas, laborales o experimentales.

BIBLIOGRAFA:

Libros. Titulo: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones.Autor: Dennis G. Zill.Edicin: Segunda.Pginas N: 428 445

Titulo: Matemtica 2 Ciencias Econmicas y Administracin.Autor: Ral Aguilar Liborio.Edicin: Primera.Paginas N: 101-117

Documentos Pdf. de internet.

Tema: Diferenciacin de funciones de varias variablesDistribuido por: Anlisis Matemtico II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadstica/Ing. Tec. en Inf. de Gestin. Universidad de JanPaginas N: 1-12

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