Matemtica Essencial: Alegria Financeira Fundamental Mdio Geometria Trigonometria Superior Clculos

Matemtica Essencial: Alegria Financeira Fundamental Mdio Geometria Trigonometria Superior Clculos

Ensino Superior: Clculo: Integrais de Funes Reais

Introduo ao Clculo

Elementos histricos sobre a integral

Partio de um intervalo

Integral de uma funo real

Obs. sobre a definio de integral

Propriedades da Integral definida

O Teorema da Mdia

Primitivas Integral indefinida

Regras das integrais indefinidas

Aplicao da integral indefinida

Teorema Fundamental do Clculo

Aplicao da integral definida

Integrao por substituio

Integrao por partes

Aplicaes da integral definida

Introduo ao Clculo Diferencial e Integral

A derivada e a integral so duas noes bsicas do Clculo Diferencial e Integral. Do ponto de vista geomtrico, a derivada est ligada ao problema de traar a tangente a uma curva enquanto que a integral est relacionada com o problema de determinar a rea de certas figuras planas, mas tambm possui muitas outras interpretaes possveis. Na realidade, a grande descoberta de Newton e de Leibniz foi que a Matemtica, alm de lidar com grandezas, capaz de lidar com a variao das mesmas.

Elementos histricos sobre a Integral

A idia bsica do conceito de integral j estava embutida no mtodo da exausto atribudo a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeioado por Arquimedes (287-212 a.C.), grande matemtico da escola de Alexandria. Pode-se obter a rea de uma figura plana irregular ou obter o volume de um slido com o formato de um barril.

O mtodo da exausto consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de reas e volumes conhecidos. O caso mais conhecido o famoso problema da quadratura do crculo, isto , o problema de obter um quadrado com a mesma rea de um crculo de raio r dado.

Uma primeira aproximao para a rea do crculo dada pela rea do quadrado inscrito no crculo. Com o acrscimo de quatro tringulos issceles convenientes, obtemos o octgono regular inscrito no crculo, cuja rea fornece uma aproximao melhor rea do crculo.

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/int05.png" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/int06.png" \* MERGEFORMATINET Continuando com o processo de acrescentar novos tringulos, tomamos um polgono regular de 16 lados. Do ponto de vista geomtrico, possvel observar que j se tem a impresso de termos exaurido o crculo, embora saibamos que existem algumas reas que no foram cobertas.

Continuamos a exaurir o crculo para obter aproximaes cada vez melhores para a rea do crculo, atravs de polgonos regulares inscritos de 2n lados.

Usando um procedimento similar a este, com polgonos inscritos e circunscritos, Arquimedes calculou a rea do crculo de raio unitrio mostrando que a rea A (=Pi) est compreendida entre:

3 +10/71 = 3,140845 < A < 3 + 1/7 = 3,142857

O inconveniente do mtodo de exausto de Arquimedes que para cada novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximao. Por exemplo, para obter a rea de uma regio localizada sob um segmento de parbola ACB.

Arquimedes, usou como primeira aproximao o tringulo ABC, em que C foi tomado de modo que a reta tangente parbola que passa pelo ponto C seja paralela reta AB.

De modo semelhante so escolhidos os pontos D e E e construdos os tringulos ACD e BCE.

Na sequncia foram construdos mais tringulos com as mesmas propriedades que os outros obtidos nos passos anteriores.

Observamos que tais tringulos esto exaurindo a rea da regio parablica.

O Clculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematizao de idias e mtodos surgidos principalmente ao longo dos sculos XVI e XVII, os primrdios da chamada era da Cincia Moderna, que teve incio com a Teoria heliocntrica de Coprnico (1473-1543).

O que permitiu a passagem do mtodo de exausto para o conceito de integral foi a percepo que em certos casos, a rea da regio pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximao por retngulos.

Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos prticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma funo em termos de uma primitiva da funo dada e este fato conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Clculo.

Estas idias sero aqui expostas mas observamos que o conceito de integral pode ser introduzido de vrias formas, todas elas tendo em comum a mesma idia geomtrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemtico utilizado. Neste caso ocorre um problema usual em Matemtica: quanto menos rigorosa ou formal a conceituao de um objeto matemtico, mais simples a sua compreenso, porm mais inadequada ou de conhecimento inatingvel para um ser humano comum, em funo das propriedades que decorrem do processo conceitual utilizado.

A idia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no sculo XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituao precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemtico francs Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Os estudos de Cauchy foram incompletos mas muito importantes por terem dado incio investigao sobre os fundamentos do Clculo Integral, levando ao desenvolvimento da Anlise Matemtica e da teoria das funes.

Por volta de 1854, o matemtico alemo Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. A forma usada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Clculo a verso devida a Cauchy. O que justifica isto que, ela simples e bastante acessvel aos alunos de um curso de inicial de Clculo, alm de atender aos propsitos de um curso desta natureza.

Nos cursos de Anlise Matemtica apresenta-se uma verso mais refinada, a Integral de Darboux-Riemann, usando os conceitos de soma inferior, soma superior, integral inferior e integral superior, que correspondem ao mtodo de exausto usando, respectivamente, polgonos inscritos e polgonos circunscritos.

Mas, para que ningum alimente idias equivocadas, observamos que as diversas definies da Integral de Riemann mencionadas so equivalentes e a diferena entre elas se situa na adequao das definies para a obteno das propriedades da referida Integral.

Como o objetivo deste material focalizar muito mais as idias do que uma anlise rigorosa das propriedades da Integral de Riemann e considerando que nem todos os visitantes desta pgina, tm os requisitos de Anlise para um enfoque mais rigoroso, apresentamos aqui tambm a verso mais simples, introduzida por Cauchy.

Partio de um intervalo

Uma partio de um intervalo [a,b] da reta real um conjunto finito de pontos {xo,x1,...,xn} em R tal que

a=x0 < x1 < ... < xn=b

Ij=[xj,xj+1] o j-simo subintervalo da partio. Dado um intervalo [a,b], podemos tomar uma partio muito particular, como aquela que toma pontos de modo que os subintervalos da partio tenham comprimentos iguais.

Integral de uma funo real

Cauchy usou o seguinte processo para definir a integral de uma funo real. Seja f:[a,b]R limitada no negativa, isto , f(x)>0 ou f(x)=0 para todo x em [a,b] e tomemos uma partio:

a=x0< x1 < ... < xn=b

do intervalo [a,b] que tenha todos os n subintervalos com o mesmo comprimento dx=(b-a)/n.

Tomaremos apenas os primeiros pontos da partio e faremos uma anlise geomtrica da curva no sub-intervalo [xo,x1]. Para os outros sub-intervalos ocorre uma situao similar. A rea sob a curva no intervalo [xo,x1] pode ser obtida atravs da rea S1 do retngulo cuja base mede dx=x1-xo e a altura a linha tracejada cuja medida dada por f(c1) onde c1 um ponto em [xo,x1].

Existe uma compensao da rea "branca" que fica acima da curva e dentro do retngulo com a rea "branca" que fica abaixo da curva e fora do retngulo.

Em cada subintervalo Ij=[xj,xj+1] desta partio tomamos um ponto genrico qualquer cj e formamos n retngulos, todos com as bases de medida dx e alturas dadas por:

f(c1), f(c2), ..., f(cn)

Se a partio tem n subintervalos, denotamos por Sn a soma das reas dos n retngulos:

Sn = f(c1)dx + f(c2) dx + ... + f(cn)dx = sendo a soma realizada sobre todos os j=1...n.

Se essas somas forem calculadas para todos os valores de n, formaremos uma sequncia:

{S1, S2, ..., Sn, ...}

Se esta sequncia numrica {Sn} convergente para um nmero real bem definido, diz-se que f integrvel no intervalo [a,b] e o valor do limite desta sequncia denotado por:

=

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/soma02.png" \* MERGEFORMATINET (1)

A expresso da esquerda a integral de f entre os limitantes de integrao a e b e a expresso da direita o limite da sequncia de somas parciais Sn.

Observaes sobre a definio de integral

1. Devido ao importante trabalho de Riemann, j citado antes, a integral definida por (1) denominada Integral de Riemann e as somas

Sn=so chamadas de somas de Riemann.

2. O processo de construo usado na definio da Integral de Riemann sugere que:

seja definido como a rea da figura limitada pelo grfico de f, pelo eixo OX e pelas retas x=a e x=b.

3. A existncia e o valor do limite (1) deve ser independente da escolha dos pontos c1, ..., cn nos subintervalos de [a,b].

4. O limite (1) da sequncia das somas Sn pode existir ou no. A existncia ou no da integral de f, quando o domnio de integrao um intervalo limitado e fechado (compacto) [a,b], depende da regularidade da funo f neste intervalo.

5. Determinar condies necessrias e suficientes para que uma funo f tenha integral uma questo muito delicada e requer conceitos que somente so abordados em um curso mais avanado de Anlise Matemtica. Para se ter uma idia desta dificuldade lembramos que este problema s foi completamente resolvido no incio do sculo XX, aproximadamente cem anos aps os estudos realizados por Cauchy quando se tentava dar um tratamento rigoroso ao conceito de integral.

6. Para as nossas necessidades suficiente saber que toda funo contnua definida num intervalo limitado e fechado (compacto) integrvel e que toda funo limitada definida num compacto [a,b] integrvel se o nmero de pontos de descontinuidade da funo neste intervalo for finito.

7. Cauchy tomou uma partio muito particular do intervalo [a,b], subdividindo-o em partes iguais. Podemos refazer o processo com intervalos de comprimentos diferentes, sendo cada intervalo da forma [xj,xj+1] e comprimentos dxj=xj+1-xj. Neste caso as somas de Riemann Sn tomam a forma

Sn=f(c1)dx1+f(c2)dx2+...+f(cn)dxn=Ao proceder desta forma temos que tomar uma precauo adicional. No basta tomar o limite de Sn quando n

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/z_inf.gif" \* MERGEFORMATINET , mas temos que acrescentar a condio que o maior dos comprimentos dx1, ..., dxn deve convergir para zero. Com isto em mente, temos a notao:

=

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/soma03.png" \* MERGEFORMATINET onde |P|=max{dx1,...,dxn} a norma da partio P.

8. Inicialmente fizemos a suposio que f devesse ser positiva. Se f no necessariamente positiva em [a,b], ainda assim a integral de f pode ser definida pelo mesmo procedimento anterior, sem qualquer problema, mas alguns cuidados devem ser tomados em relao interpretao geomtrica.

Suponhamos que o grfico de f seja como na figura acima. Levando em considerao a ltima observao, podemos formar as somas de Riemann da funo f no intervalo [a,b] de modo a incluir um ponto c como um dos pontos da partio.

Caso exista a integral de f sobre [a,b], verifica-se, que:

b

af(x) dx = c

af(x) dx + b

cf(x) dx(2)

Esta propriedade ser tratada mais frente, mas observamos que a primeira integral do segundo membro de (2) positiva, enquanto que a segunda integral do segundo membro negativa. Desse modo a integral de f sobre o intervalo [a,b] ser diferena das reas (que so valores positivos) assinaladas com os sinais (+) e (-). Para considerar este caso, a partio do intervalo [a,b] em subintervalos de comprimentos iguais j no mais adequada.

A definio de integral abstrata e no um instrumento adequado para calcular integrais, razo pela qual o clculo de integrais geralmente feito mediante o uso do Teorema Fundamental do Clculo, que veremos adiante.

Para melhor entender a definio de integral de uma funo f num intervalo [a,b] apresentaremos um exemplo bastante comum.

Exemplo: Para calcular a rea da figura delimitada pela parbola y=x, o eixo OX e a reta vertical x=1, inicialmente dividiremos o intervalo [0,1] em n partes iguais de comprimento dx=1/n.

Tomaremos os pontos cj como os extremos esquerdos de cada j-simo intervalo, de forma que:

c1=0, c2=dx, c3=2 dx, ..., cn=(n-1)dx

Para f(x)=x, tomamos h=dx=1/n e escreveremos a soma

Soma = Sn = f(c1) h + f(c2) h + ... + f(cn) h

da forma

Soma = [0 + h + (2h) +...+ ((n-1)h)].h

= [1 + 2 + 3 +...+ (n-1)] h

= [1 + 2 + 3 +...+ (n-1)] / n

= [n/3 - n/2 +n/6] / n

= 1/3 - 1/(2n) + 1/(6n)

Quando n

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/z_inf.gif" \* MERGEFORMATINET , a expresso da soma se aproxima de 1/3 e chegamos concluso que:

1

0x dx = 1/3

Propriedades da Integral definida

A definio de integral abstrata e tem pouco uso operacional. Em funo disto, introduzimos mecanismos que facilitam certos clculos e os principais so as propriedades das integrais.

Proposio: Se f e g so funes integrveis no intervalo [a,b], ento f+g integrvel no mesmo intervalo e alm disso:

b

a(f+g)(x) dx =b

af(x) dx +b

ag(x) dx

Proposio: Se f uma funo integrvel no intervalo [a,b] e c uma constante qualquer, ento a funo cf integrvel e

b

a(c.f)(x) dx = c b

af(x) dx

As duas proposies acima constituem as propriedades lineares da integral definida, sendo que as demonstraes das mesmas so relativamente simples, com o uso da definio de integral apresentada.

Proposio: Se f uma funo integrvel nos intervalos [a,c] e [c,b], ento f integrvel em [a,b] e alm disso:

b

af(x) dx =c

af(x) dx +b

cf(x) dx

Esta proposio trata da propriedade da aditividade da integral definida e pode ser demonstrada requerendo um pequeno artifcio de incluir o ponto c entre os pontos da partio do intervalo [a,b].

Exerccio: Tente demonstrar as proposies ou procure em um bom livro de Anlise Matemtica.

O Teorema da Mdia

O nome Teorema Fundamental do Clculo j diz sobre a importncia do mesmo. Este teorema permite exprimir a integral de uma funo em termos de uma outra funo conhecida como primitiva e esta notvel descoberta de Newton e Leibniz no sculo XVII, forneceu ao Clculo uma ferramenta eficaz para o clculo da maioria das integrais que aparecem no cotidiano.

Necessitamos do Teorema da Mdia, que um resultado preparatrio para demonstrar o Teorema Fundamental do Clculo.

Teorema da Mdia: Seja f uma funo contnua num intervalo [a,b]. Ento existe um valor c nesse intervalo tal que

b

af(x) dx = f(c) (b-a)

Demonstrao: Relembramos que

=

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/soma02.png" \* MERGEFORMATINET onde cj um ponto qualquer do j-simo subintervalo de medida dx=(b-a)/n e o limite tomado quando n

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/z_inf.gif" \* MERGEFORMATINET .

Se m=min{f(x):xem[a,b]}, M=max{f(x):xem[a,b]} e f contnua sobre um intervalo fechado e limitado da reta, temos a garantia (pelo Teorema dos valores extremos de Weierstrass) que existem x=xo e x=x1 tal que m=f(xo) e M=f(x1), ento, para todo cj do intervalo [a,b] tem-se que:

m < f(cj) < M

donde segue que:

m dx < f(cj) dx < M dx

Realizando a soma sobre todos os ndices j=0...n, obteremos

m dx < f(ci) dx < M dx

logo

m(b-a) < n

j=0f(ci) dx < M(b-a)

Tomando o limite com n

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/z_inf.gif" \* MERGEFORMATINET sobre todas as trs expresses nas desigualdades, teremos:

m (b-a)