TEMA 2MATEMTICA FINANCIERA

Matemticas Aplicadas CS I

TEMA 2.2 * 1 BCSPORCENTAJES

Matemticas Aplicadas CS I

La proporcionalidad se expresa con un cociente, una fraccina --- = r , siendo r la razn de proporcionalidad o simplemente razn.a

PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO Un porcentaje es una proporcionalidad cuyo denominador es 100.Su smbolo es %.Para comparar dos razones se utilizan los porcentajes.

EJEMPLOEn Matemticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos.2 40--- = ------ = 40 % , que es el porcentaje de aprobados.5 100PORCENTAJE

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OTRO EJEMPLO

En Matemticas han aprobado 2 de cada 5 alumnos, en Latn 3 de cada 8, y en Economa 4 de cada 9. Dnde han aprobado ms, porcentualmente?.

2 40--- = ------ = 40 % , que son los aprobados en Matemticas.5 100

3 37,5--- = -------- = 37,5 % , que son los aprobados en Latn.8 100

4 44,44--- = ---------- = 44,44 % , que son los aprobados en Economa.9 100

El mayor porcentaje de aprobados es en Economa.

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TANTO POR UNOEn una proporcin, se llama tanto por uno a la expresin decimal que resulta de efectuar la divisin.

EJEMPLO

En Matemticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 / 5 = 0,4 , que es el tanto por uno.

TANTO POR UNO ENCADENADOSLa aplicacin sucesiva de porcentajes, o tantos por uno, de una cantidad se llama tantos por uno encadenados y es equivalente al producto de estos.

Si nos hacen un 20% de descuento:100 20 = 80 Se paga el 80% del precio.Si nos imponen un 16% de IVA:100 + 16 = 116 Se paga el 116 % del precio.

En total: El 116% del 80% ser 1,16 . 0,8 = 0,928 , que es el 92,8 % del precio.

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ndice de variacinEn un aumento o disminucin porcentual, el nmero por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama ndice de variacin.

C 1,12 C ; 1,12 es el ndice de variacin.Ejemplo:

El valor de una vivienda de tipo medio subi un 7,5 % en el ltimo ao. Cul es el ndice de variacin?.Cunto costar ahora una vivienda que hace un ao su precio era de 120.000 ?.

Cien euros de hace un ao sern ahora 100 + 7,5 = 107,5 Cada euro de hace un ao valdr ahora 1 + 0,075 = 1,075Que es el ndice porcentual: 1,075Valor actual de la vivienda: 120.000 x 1,075 = 129.000

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Aumentos y disminuciones porcentualesEn un aumento porcentual del r %, el ndice de variacin es1 + r/100

En una disminucin porcentual del r %, el ndice de variacin es 1 r/100.

Ejemplo:

Un ordenador costaba hace un ao 750 . Ahora sabemos que vale un 20 % menos. Hallar el ndice de variacin y lo que cuesta ahora.

Cien euros de hace un ao sern ahora 100 - 20 = 80 Cada euro de hace un ao valdr ahora 1 0,20 = 0,80Que es el ndice porcentual: 0,80Valor actual del ordenador: 750 x 0,80 = 600

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Valor finalPara calcular el valor final, en un aumento o en una disminucin porcentual, se halla el ndice de variacin (que conviene expresarlo en forma decimal) y se multiplica por la cantidad inicial.

Ms ejemplos:

Un pendriver, un apartamento y una lavadora valan hace un ao 50 , 100.000 y 300 respectivamente. Ahora valen un 30% menos, un 10% ms y un 15% menos respectivamente.Hallar los ndices de variacin y el precio actual.

Pentdriver: ndice de variacin =1 - r/100 = 1 0,30 = 0,70Apartamento: ndice de variacin =1 + r/100 = 1 + 0,10 = 1,10Lavadora: ndice de variacin =1 - r/100 = 1 0,15 = 0,85PVP Pentdriver: 50.0,70 = 35 PVP Apartamento: 100.000 x 1,10 = 110.000 PVP Lavadora: 300. 0,85 = 255

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ndice de variacin globalPara encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se calculan los ndices de variacin correspondientes a los distintos pasos y se multiplican. Se obtiene, as, el ndice de variacin global.

Ejemplo

A finales de 2003 un piso costaba 180.000 . En el ao 2004 su precio aument un 12%, en el ao 2005 aument un 10% y en el ao 2006 aument un 8,5 %.Hallar el valor del piso a principios de 2007.

2004 ndice de variacin: 1 + 0,12 = 1,122005 ndice de variacin: 1 + 0,10 = 1,102006 ndice de variacin: 1 + 0,085 = 1,085ndice global: 1,12 . 1,10 . 1,085 = 1,33672Precio actual del piso: 180.000 . 1,33672 = 240.609

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Sabemos que: Cantidad inicial +/- r% = Cantidad final

Cf = Co ( 1 +/- r/100)

Cf = Co . ndice de variacin

Luego: Co = Cf / ndice de variacin

Ejemplo 1Un coche nos ha costado 18.000 . Nos dicen que en este ltimo ao ha subido un 5%. Cunto nos habra costado de haberlo comprado hace un ao?.

ndice de variacin = 1 + r/100 = 1 + 5/100 = 1,05

PVP (2006) = PVP (2007) / ndice de variacin = 18.000 / 1,05 = 17.123 Clculo de la cantidad inicial

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Ejemplo 2

Un piso nos ha costado 180.000 . Nos dicen que en este ltimo ao ha subido un 8%. Cunto nos habra costado de haberlo comprado hace un ao?.

ndice de variacin = 1 + r/100 = 1 + 8/100 = 1,08

PVP (2006) = PVP (2007) / ndice de variacin = 180.000 / 1,08 = 166.667

Ejemplo 3

Un ordenador nos ha costado 1.000 . Nos dicen que en este ltimo ao han bajado un 15%. Cunto nos habra costado de haberlo comprado hace un ao?.

ndice de variacin = 1 - r/100 = 1 - 15/100 = 0,85

PVP (2006) = PVP (2007) / ndice de variacin = 1.000 / 0,85 = 1.176

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Ejemplo 4

He obtenido 12.000 al vender una plaza de garaje que compr hace un ao. Su precio ha aumentado en un 10%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 10% de su valor de venta.Por cunto dinero compr la plaza de garaje?.

ndice global = (1 + r/100). (1 r/100) = = (1 + 10/100).(1 10/100) = = 1,1 x 0,9 = 0,99Po = Pf / ndice de variacin encadenadoPo = 12.000 / 0,99 = 12.120

Como se ve he perdido dinero, pues aunque los porcentajes son iguales (10%), el de Hacienda es sobre una cantidad mayor.

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Ejemplo 5

He obtenido 2.000 al vender un coche de segunda mano que compr hace un ao. Su precio ha aumentado en un 8%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 4% de su valor de venta.Por cunto dinero compr el coche?.

ndice global = (1 + r/100). (1 r/100) = = (1 + 8/100).(1 4/100) = = 1,08 x 0,96 = 1,0368

Po = Pf / ndice de variacin encadenado

Po = 2.000 / 1,0368 = 1.929

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Ejemplo 6

Un vestido de novia, a lo largo del ao sufre las siguientes variaciones en su precio:En Marzo sube un 10%, en Mayo sube un 15%, en Agosto baja un 8% y en Noviembre baja un 12%. Qu me cost en Enero si ahora (Diciembre) vale 2.000 ?.

ndice global = (1 + r/100). (1 + r/100). (1 r/100). (1 r/100) = = (1 + 10/100). (1 + 15/100). (1 8/100). (1 12/100) = = 1,10 x 1,15 x 0,92 x 0,88 = 1,21

Po = Pf / ndice de variacin encadenado

Po = 2.000 / 1,21 = 1.653

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