PROF. ELSA CORTINA

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A

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Mat

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2004

LIV REUNIN DE COMUNICACIONES CIENTFICAS

XXVII REUNIN DE EDUCACIN MATEMTICA

XVI ENCUENTRO DE ESTUDIANTES

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL

COMAHUE

Neuqun

11 AL 15 DE OCTUBRE

Introduccin a la Matemtica Financiera

E4

EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO

Tasa de interes compuesta discreta

Valor presente y valor futuro

Tasa de interes compuesta continua

1

1 Introduccion

El concepto mas simple en finanzas es el del valor temporal del dinero,

1 $ hoy vale mas que 1 $ dentro de un ano,

por todo lo que se puede hacer durante el ano con ese peso, e.g.

guardarlo en la caja fuerte,

colocarlo en una cuenta de banco que rinde interes,

comprar una mina de oro... (riesgo!).2

La inversion tpica libre de riesgo es colocar dinero en un banco a tasade riesgo neutro.

Designamos con r la tasa de interes libre de riesgo, que supondremosconstante.

3

2 Tasas de interes

Distintos tipos de tasas:

Simple: el interes esta basado solo en la cantidad depositadaincialmente.

Compuesta: tambien se recibe interes sobre el interes.

El unico relevante es el interes compuesto, que tiene dos formas

compuesto discreto

compuesto continuo4

3 Tasa de interes compuesto discreto

Supongamos que invierto 1 $ a r=10% anual. Obtendre

1er. ano (1 + r) = (1+ 0.1) = 1.1

2do. ano (1 + r)(1 + r) = (1+ 0.1)2 = 1.21

3er. ano (1 + r)(1 + r)(1 + r) = (1+ 0.1)3 = 1.331 ......

N-esimo ano (1 + r) N(1 + r) = (1+ 0.1)N

5

En general, si invierto una cantidad M(0) inicial, a tasa r (constante),durante N anos, al cabo de los N anos recibire

M(0).(1 + r)N

6

3.1 Valor futuro de una inversion

Utilizaremos la siguiente notacion:

M(0) - cantidad original invertida

r - tasa de interes anualizada (decimal)

FV - valor futuro

PV - valor presente

N - numero de anos

f - fraccion de ano

m - frecuencia: numero de pagos por ano7

Consideramos tres casos:

(i) Inversion durante numero entero de anos. El valor futuro de lacantidad M(0) en N anos es

FV =M(0).(1 + r)N .

(ii) Inversion por un periodo que incluye una fraccion de ano f

FV =M(0).(1 + r)N+f .

(iii) Inversion a N anos con m pagos por ano

FV =M(0).(1+

rm

)Nm.

9

3.2 Valor futuro de una anualidad ordinaria

Una anualidad es una misma cantidad de dinero A que se recibe opaga periodicamente. Cuando el primer pago coincide con el primerperiodo se llama ordinaria (no hay fracciones).

Ejemplo 1

Un inversor espera recibir 100$ por ano en los siguientes 5 anos. Cadavez que recibe los 100$ los invierte a tasa del 10% anual. Calcularcuanto recibe al cabo de los 5 anos.

10

Anos 1 2 3 4 5 FV

100 100 (1,1)4

100 100 (1,1)3

100 100 (1,1)2

100 100 (1,1)1

100 100 (1,1)0

Total 610.51

FV =4

i=0A.(1 + r)i = A.

4i=0

(1 + r)i

Como se puede calcular el valor futuro de una anualidad en formamas eficiente?

Utilizando la formula de la suma de una serie geometrica

Ni=0

(1 + r)i =1r

[(1 + r)N+1 1] ,

el valor futuro de una anualidad ordinaria se escribe como

FV = A.Ni=0

(1 + r)i =Ar

[(1 + r)N+1 1]

11

3.3 Valor presente

Interesa tambien determinar que cantidad de dinero se debe invertirhoy, a tasa r, durante N anos, para producir un valor futuroespecificado. Designamos con PV el valor presente

La formula (1) relaciona el valor presente PV con el valor futuro FV

PV = FV

[1

(1 + r)N

]= FV (1 + r)N (1)

La tasa de interes r tambien se llama tasa de descuento.

12

3.4 Valor presente de una serie de valores futuros

Para determinar el valor presente de una serie de valores futuros debencalcularse los PV individuales y sumarlos

Ejemplo 2

Un inversor que quiere un 6.25% anual debe decidir si compra uninstrumento cuyo precio es 1243.83$ y que ofrece los siguientes pagos:

Anos Pagos

1 1002 1003 1004 1005 1100

13

Como toma la decision? Calcula el PV de los cashflows al 6.25%.

Anos Pagos PV del pago

1 100 94.122 100 88.543 100 83.374 100 78.475 1100 738.50

Total 1156.89

El PV de la serie de futuros valores prometidos por el emisor es

1156.89 < 1243.83

ganara un interes < 6.25%, = no compra.14

3.5 Valor presente de una anualidad ordinaria

Designamos con A la anualidad, r la tasa de interes (constante) y Nel numero de anos.

PV = A.Ni=0

1(1 + r)i

= PV = A1r

[1 1

(1 + r)N

].

15

4 Tasa compuesta continua

Vimos que para m pagos por ano, a tasa r, el valor de 1$ al ano es

(1+

rm

)m= em ln(1+

rm)

Si m aumenta, rm disminuye. Cuando m se hace suficientemente grandecomo para que rm 1

em ln(1+rm) ' er,

que es el valor de 1$ dentro de un ano a tasa r compuesta continua.

16

El valor futuro de 1$ a tiempo t > 0 es ert.

Valor futuro y valor presente

Sea M(t) la cantidad invertida a tiempo t. Su variancion en un intervalodt es

M(t+ dt)M(t) dMdt

dt.

Por otra parte, si M(t) esta invertido a tasa r (constante) vale

dMdt

dt = rMdt (2)

Para calcular el FV y el PV hay que resolver la ecuacion diferencial

dMdt

= rM

i) Valor futuro

Se resuelve la ecuacion (2) con condicion inicial

M(0) = M0, (t = 0),

Proponemos la solucion

M(t) = Aet. (3)

Reemplazando en la ecuacion (2)

Aet = r(t)Aet = = r.17

Encontramos la constante A usando la condicion inicial

M0 = Ae0 = A.

Entonces, el FV de M(0) para t > 0 es

M(t) = M0ert.

18

ii) Valor presente

Resolvamos la ecuacion (2) con condicion final

M(T ) = MT , T > t.

Como en el caso anterior, proponemos la solucion (3) y obtenemos = r. Para encontrar la constante A usamos la condicion final

MT = AerT = A = MT erT .

Por lo tanto, el PV de M(T)para t

MERCADOS, PRODUCTOS Y DERIVADOS

Grupos de activos basicos

Terminologa, cotizaciones, ejemplos

Derivados

1

El Valor Temporal del Dinero

1 $ peso hoy vale mas que 1 $ dentro de 1 ano...

Bancos

Piden prestado dinero.

Invierten en forma riesgosa, pero distribuyendo las inversiones paraminimizar riesgo.

Compiten por dinero ofreciendo tasas de interes mas altas.2

Libre Mercado: asegura que las tasas son consistentes de un bancoal otro.

Tasas de interes: simple y compuesto.

Composicion: discreta o continua.

1 Grupos de activos basicos

Acciones: ttulos sobre retornos reales en la produccion de bienesy servicios.

Indices: no son activos reales. Miden el comportamiento delmercado o de parte de el.

Monedas: obligaciones de gobiernos.

3

Bonos (tasas de interes): las tasas no son activos reales. Laposicion se toma en bonos, notas... instrumentos de deuda.

Commodities: no son instrumentos financieros sino productos:granos, metales preciosos, metales, petroleo... se almacenan ytransportan.

4

Acciones

cotizan en el mercado

se obtiene ganancia de dos formas:a) dividendos (cum o ex);

b) si el valor de la accion sube.

5

Comportamiento

no se se puede predecir, tiene elemento importante de aleatoriedad;

se puede modelar en sentido probabilstico;

fraccionamiento (split).

6

Indices

Miden el comportamiento general del mercado; se construyen a partirde una canasta de instrumentos representativos de ese mercado,disenada para representar

todo el mercado , e.g.

Standard and Poor 500 (S&P500) - USA

Dow Jones and Company Inc (DJCI) - USA

Financial Times Stock Exchg. (FTSE100) - UK

7

parte del mercado , e.g.

JP Morgans Emerging Market Bond Index (EMBI).

Indice de instrumentos de deuda de mercados emergentes Brady,Eurobonos (Argentina, Brasil, Mexico, Nigeria, Sudafrica .... )

8

Monedas - Tasa de Cambio

Tasa a la que una moneda puede cambiarse por otra. Manejada porlos mercados FX (Foreign Exchange).

Monedas ligadas o flotantes

Si se puede cambiar $/libras y libras/yen, debe haber una relacionconsistente entre las 3 monedas.

Tasa de cambio - tasa de interes

Si la tasa de interes en UK es mayor que en USA, se espera que lalibra se deprecie.

Bancos Centrales usan la tasa de interes para manipular las tasas decambio (dentro de ciertos lmites).

9

2 Derivados

Instrumentos financieros que surgen por la necesidad de diversificar elriesgo.

Instrumento derivado - Definicion

Un contrato financiero es un instrumento derivado si su valor a lafecha de vencimiento T (payoff) esta determinado exactamente por elprecio de mercado del subyacente a tiempo T .

Derivado financiero - Definicion

Es un instrumento derivado cuyo subyacente es un instrumentofinanciero.

10

Tipos de Derivados

Forwards y Futuros

Opciones

Swaps

Forwards y Opciones: bloques basicos

Swaps: estructuras mas complicadas... pueden descomponerse enconjuntos basicos.

11

Mercado completo - Definicion

Es un mercado en el cual todos y cada uno de los payoffs indentificablesse pueden replicar usando instrumentos disponibles en ese mercado.

Un mercado real nunca puede verdaderamente completo, pero cuantomas se acerque a la completitud mejor funcionan los agentes de laeconoma.

Arbitrage - Definicion

La posibilidad de generar ganacia libre de riesgo sin inversion.

12

Principios basicos de finanzas

Hedging

Reduccion del riesgo (aleatoriedad) en un portfolio aprovechando lascorrelaciones entre productos.

No arbitrage

Todos los portfolios sin riesgo reciben la misma tasa de interes... elinteres libre de riesgo.

13

Actores en los mercados financieros

1. Hedgers: eliminan o reducen el riesgo, evitando la exposicion amovimientos adversos en el precio de un activo o instrumento.

2. Especuladores: se exponen al riesgo; toman una posicion en elmercado, apuestan a que los precios van a subir o bajar.

3. Arbitragers: buscan nichos de arbitraje; por ejemplo, obteneruna ganacia libre de riesgo entrando simultaneamente entransacciones en dos o mas mercados.

14

OPCIONES

Definicion

Diagramas de payoff y de ganancia

Paridad put-call

Ejemplos de payoffs

1

1 OPCIONES VANILLA SOBRE ACCIONES

Una opcion CALL es el derecho a COMPRAR una accion poruna determinada cantidad X (strike) en una determinada fecha T(vencimiento).

payoff = V (S, T ) = max(S X,0).

Una opcion PUT es el derecho a VENDER una accion por unadeterminada cantidad X en una determinada fecha T .

payoff = V (S, T ) = max(X S,0).2

El tenedor de un CALL gana si la accion sube.

El tenedor de un PUT gana si la accion baja.

3

1.1 Opciones sobre otros subyacentes

Opciones sobre monedas

El tamano del contrato depende de la moneda, e.g.

Libra: 1 contrato da derecho a comprar (vender) 31.250 libras

Yen: 1 contrato da derecho a comprar (vender) 6,25 millones

4

Opciones sobre ndices

Contratos para comprar (vender) 100 veces el ndice al strike X; porejemplo

sobre S&P 500: opciones Europeas;

sobre S&P 100: opciones Americanas.

Ociones sobre commodities, FX, bonos,...etc.

5

2 TERMINOS COMUNES

Prima - V : cantidad pagada inicialmente por el contrato.

Subyacente (activo) - S: el instrumento financiero del cualdepende el valor de la opcion: acciones, monedas, ndices... Elpayoff de la opcion esta definido por una funcion del subyacente alvencimiento.

Precio de ejercicio o strike - X: cantidad por la cual el subyacentepuede comprarse (call) o venderse (put).

Vencimiento - T : fecha en la cual la opcion puede ejecutarse odeja de existir.

6

Valor intrnseco: payoff que se recibira si el subyacente estuvieseal nivel actual cuando la opcion expire.

Valor temporal: cualquier valor que tenga la opcion sobre su valorintrnseco.

In the money: una opcion con valor intrnseco > 0, e.g. un callcuando el precio del subyacente es mayor que el strike.

Out of the money: una opcion sin valor intrnseco, e.g. un putcuando el precio del subyacente es mayor que el strike.

At the money: un call o un put con strike = (o cercano) al valoractual del subyacente.

7

Posicion long: una cantidad positiva o que involucra la comprade un activo.

Posicion short: una cantidad negativa; venta de instrumentos oactivos que no se tienen.

8

Margenes en compra de acciones

Cuando se compran acciones el inversor puede pagar en cash o usaruna cuenta de margen.

Margen inicial requerido: en general, el 50% del valor de las acciones.

Margen inicial de mantenimiento: 25% del valor de las acciones.

La cuenta de margen funciona de la misma forma que para un inversorque entra en un contrato futuro.

9

Margenes en opciones

Comprador

Cuando se compran opciones put y call el precio completo debepagarse en efectivo.

No esta permitido que los inversores compren opciones sobre margenes.

Writer

Se requiere que los writers de opciones mantengan un deposito enla cuenta de margen: el broker quiere asegurarse de que el inversor(writer) no defaulteara si se ejecuta la opcion.

10

Writing Opciones Naked

Naked

La opcion no esta combinada con una posicion de cobertura en elsubyacente.

Por ejemplo, este es el caso en que un inversor writes una opcion callsin tener las acciones para entregar en el caso de que el tenedor ejecuteel call.

Como se calcula el margen en este caso?

11

Covered call

Consiste en write un call cuando se tienen las acciones que deberanentregarse si , el call se ejecutara a la fecha de vencimiento.

Ejemplo 1: estrategia put-protector

Un inversor tiene acciones S y cree que el mercado esta sobrevaluado.

Posibles estrategias:

(1) vende S (todo o parte),invierte en cash o bonos.

12

(2) Protective-put: compra puts y mantiene su posicion en acciones;el portfolio es 1 put long y una accion long. De esta forma

preserva la oportunidad de inversion, se asegura contra la baja de precios.

Ejemplo 2: estrategia buy-write

El inversor tiene acciones

cree que el mercado no es volatil

quiere derivar ingresos(a) vende (writes) un call sobre la accion,

(b) recibe una prima que puede derivar a otra inversion,

(c) retiene las acciones para cumplir el contrato si el call se ejecuta.

13

Si el inversor cree que el precio de la accion va a aumentarsignificativamente hasta la fecha de vencimiento T , entonces debecomprar un CALL.

Ejemplo 3 El precio de hoy de la accion es S = 105

Se compra un call con X = 100

Costo del call V = 10

Costo de la posicion = 10 (maxima perdida)

Hay ganancia si la accion aumenta sobre 100+ 10 = 110

Notar: se paga hoy por la opcion, se gana en el futuro...14

O.... Si el inversor cree que el precio de la accion no bajara en formasignificativa hasta la fecha de vencimiento T , entonces se debe venderun PUT.

Ejemplo 4

El precio de hoy de la accion es S = 97

Se vende un put con precio X = 100

Costo del put V = 4

Hay ganancia si la accion se mantiene sobre 100 4 = 96.

La ganancia esta limitada a 4.15

Que hace un inversor si cree que el precio de la accion va a a subirpero no quiere gastar mucho dinero?

Comprar 1 call con precio de ejercicio X1 y

Vender un call con precio de ejercicio X2,

con X2 > X1.

16

Ejemplo 5

El precio de hoy de la accion es S = 105

Comprar 1 call con precio X1 = 100

Costo del call V = 10

Vender 1 call con precio X2 = 110

Costo de este call V = 4

Hay ganancia si la accion aumenta sobre 100+ 6 = 106.

Pero..la ganancia esta limitada a 4.17

Ejemplo de cotizacion de opciones

Gateway2000

Precio Strike Mes Vol. Call Vol. Put

32 516 30 Jan 491 4 1004 1

32 516 35 Jan 1733 1316 5 3

18

32 516 40 Mar 1280 114 11 8

12

18

Enero

Call con X=30$ vale 4$

Put con X=30$ vale 1$

Call con X=35$ vale 1 316

Put con X=35$ vale 318

Call: < X, mas conveniente, > precio

Put : > X, mas conveniente, > precio

19

Ejemplo 6: calls enero y marzo sobre el DJIA (22 Dec. 1997)

Mes Strike Vol. Precio

Jan 72 32 7

Jan 74 5 514

Jan 76 86 356

Jan 78 324 214

Jan 80 869 1 316

Jan 82 172 38

20

Mes Strike Vol. Precio

Jan 86 50 316

Jan 84 220 316

Mar 76 3 512

Mar 78 308 414

Mar 80 248 278

Mar 82 10 2 316

Mar 84 75 1 516

21

Precio actual DJIA (22/12/97)= 78.19

Graficamos Precio de los Calls enero y marzo vs. X y el payoff si elsubyacente tuviera al vencimiento el = valor que en la fecha actual(22/12/97) (ver ej.6 en la planilla ejemplos5.xls).

Observaciones sobre el grafico

Para S fijo, C = f(X)

> X < valor del callCuanto mas lejos esta X del S actual > es la apuesta sobre elaumento del precio del subyacente= < es el precio

22

> (T t) > valor del call> (T t) > probabilidad de que se mueva.Cuando el tiempo que falta para el vencimiento decrece, laprobabilidad de que se mueva se hace < y los datos reales estanmas cerca de la curva teorica.

Importante: el precio de opciones depende en forma NO LINEALdel precio del subyacente S (recordar que en futuros la dependencia eslineal).

3 DIAGRAMAS DE PAYOFF Y GANANCIA

Diagrama de Payoff

Grafico del valor de la opcion al vencimiento en funcion del valor delsubyacente.

Se usan para simplificar el analisis de estrategias que involucran masde una opcion.

Muestra cuanto vale el contrato al vencimiento.

No incluye la prima pagada al comienzo del contrato.23

Diagrama de Ganancia

Del payoff se resta la prima. Hay un punto S en el eje que divideperdida y ganancia:

S > S ganancia

S < S perdida

No tiene en cuenta el valor temporal del dinero:

la prima se paga al comienzo,

el payoff (si hay) se recibe al vencimiento.

24

Evaluar el cash flow en forma consistente.

Evaluacion inicial: multiplicar el payoff por erT .

Evaluacion al vencimiento T : multiplicar la prima por erT .

25

4 PARIDAD PUT-CALL

Comprar call, X y T (long call)

Write put, X y T (short put)

Payoff del portfolio = suma de los dos payoffs

max(S(T )X,0)max(X S(T ),0) = S(T )X

Dos terminos al vencimiento: un activo y cash X.

payoff (long call y short put) ' payoff (long asset y short cash)2 maneras de obtener el mismo payoff.

26

Analisis del cash flow

Valor hoy Valor en T

Call C max(S(T )X,0)Put P max(X S(T ),0)Accion S S(T )Cash XerT X

Total C P S +XerT 0

27

La igualdad es independiente del comportamiento de la accion.

C P valores hoy

= S XerT ,

28

4.1 Opciones binarias o digitales

El payoff es discontinuo en el precio de la accion.

Para expresar el payoff de opciones binarias se introduce la funcion deHeaviside , H(x), definida por

H(x) ={1 si x > 00 si x 0

H(x) ={1 si x > 00 si x 0

29

Call binario

El contrato paga una cantidad B si S(T ) > X

V (S, T ) = B H(S(T )X),

Conviene comprar un call binario si se espera que S(t) aumente. Eneste caso se puede elegir entre un binario y un vanilla

vanilla: si espero que el precio aumente mucho, crece linealmentecon S, tiene mas potencial hacia arriba;

binario: si espero que el precio aumente poco (+ barato quevanilla); paga una suma fija.

30

Put binario

El contrato paga una cantidad B si S(T ) < X

V (S, T ) = B H(X S(T )).

Lo compra quien espera una cada pequena del subyacente.

31

5 SPREADS

Estrategias (portfolios) que involucran opciones del mismo tipo.

5.1 Bull Spread .

Se beneficia del mercado en alza.

Se contruye con

(a) 2 calls vanilla de = T y 6= X.

(b) 2 puts vanilla de = T y 6= X.32

(a) Payoff del bull spread con calls

= C1 C2 , X1 < X2

ST Call long Call Short Total

ST X2 ST X1 X2 ST X2 X1X1 < ST < X2 ST X1 0 ST X1

ST X1 0 0 0

33

(b) Payoff del bull spread con puts

P1 P2, X1 < X2

ST Put long Put Short Total

ST X2 0 0 0X1 < ST < X2 0 ST X2 ST X2

ST X1 X1 ST ST X2 X1 X2

34

Ejemplo 7:

Call long , X1 =100, T

Call short, X2 =120, T

V (S, T ) = max(S X1,0)max(S X2,0)

1. S 100: no se ejecuta el call X100, el holder no ejecuta el callX120.

2. 100 S 120: se ejecuta el call X100, el holder no ejecuta el callX120.

3. S > 120: se ejecuta el call X100; el holder ejecuta el call X120; laganancia es 20$ menos las primas.

35

Ejemplo 8

Considerar una accion GP cuyo precio en el mes de Julio es 50$ y

precio en julio de call Septiembre 50 = 4$

precio en julio de call Septiembre 55 = 2$

precio en julio de put Septiembre 50= 2$

(i) graficar los diagramas de ganancia para la compra y la venta de laaccion en septiembre;

36

(ii) graficar los diagramas de ganancia de un call long y un call short;

(iii) graficar los diagramas de ganancia de un put long y un put short;

(iv) graficar el diagrama de ganancia de una estrategia protective-put(accion long + put long);

(v) graficar el diagrama de ganancia de una estrategia bull spread.

37

5.2 Bear spread

Se beneficia del mercado en baja.

Se contruye con

(a) 2 puts vanilla de = T y 6= X.

(b) 2 calls vanilla de = T y 6= X.

38

(a) Payoff del bear spread con puts

P2 P1, X1 < X2

ST Put short Put long Total

ST X2 0 0 0X1 < ST < X2 0 X2 ST X2 ST

ST X1 ST X1 X2 ST X2 X1

39

(b) Payoff del bear spread con calls

C2 C1, X1 < X2

ST Call short Call Long Total

ST X2 X1 ST S2 X2 X1 X2X1 < ST < X2 X1 ST 0 X1 ST

ST X1 0 0 0

40

Ejemplo 9: Bear Spread

Put short, X1 =100, T

Put long, X2 =120, T

V (S, T ) = max(X2 S,0)max(X1 S,0)

41

1. S 120: no se ejecuta el put X120, el holder no ejecuta el putX100.

2. 100 S 120: se ejecuta el put X120, el holder no ejecuta el putX100.

3. S < 120: se ejecuta el put X120; el holder ejecuta el put X100; laganancia es 20$ menos las primas.

42

5.3 Butterflies

Es una estrategia adecuada para inversores que creen que no esprobable un movimiento grande de los precios del subyacente.

Se construye con 3 opciones del mismo tipo, 3 calls o 3 puts con

= T ;

3 strikes distintos

X1 < X2 < X3

43

Esta estrategia

i) produce pequena ganancia si el precio del subyacente esta cercadel strike intermedio X2;

ii) produce pequena perdida si hay un movimiento significativo delprecio hacia ambos lados.

44

El butterfly spread se contruye con

(a) 1 call (1 put) long con X1

(a) 2 calls (2 puts) short con X2

(a) 1 call (1 put) long con X3

45

6 COMBINACIONES

Estrategias adecuadas para inversores que tienen una vision muyprecisa respecto del movimiento del subyacente.

Involucran posiciones en opciones de distinto tipo: calls y puts

sobre el mismo subyacente.

= T

46

6.1 Straddles

Estrategia adecuada para inversores que esperan un movimiento grandeen el subyacente.

Se construyen con

(a) call long, con T y X

(b) put long, con T y X

47

Payoff del straddle

C + P, X, T

ST Call long Put Long Total

ST > X 0 X ST X STX1 X ST X 0 ST X

48

6.2 Strangle:

Similar al straddle, pero mas barato.

Diferencia con el strangle: los precios de ejercicio del call y el putson 6=.

Se contruye con

(a) call long, con T y X1

(b) put long, con T y X2, X2 > X1

49

7 VALOR DE LA OPCION ANTES DEL VENCIMIENTO

El payoff dice cuanto vale el contrato al vencimiento.

Interesa cuanto vale el contrato para t < T . En particular, interesael precio actual; es decir, cuanto vale el contrato en t = 0.

Dependera de:

(a) el precio de hoy del subyacente, S(t);

(b) del tiempo hasta el vencimiento T t (dependencia mas sutil).51

7.1 Problema de valuacion de opciones:

Encontrar el valor teorico (fair value) de la opcion para todo t.

Variables

V - valor de la opcion

S - valor del subyacente

t - tiempo

V (S, t) - valor del contrato

52

Sabemos que el valor del contrato al vencimiento T es

V (S, T ) = max(S(T )X,0) para call

V (S, T ) = max(X S(T ),0) para put

Variables S y t: cambian durante la vigencia del contrato.

53

7.2 Parametros que influyen en el precio V (S, t)

Distinguir entre variables y parametros.

Parametros

r - tasa de interes. Influye va el valor temporal del dinero, porque elpayoff se recibe en el futuro.

X - precio de ejercicio (> X, < valor de un call y > valor de un put).

D - dividendos si la opcion es sobre acciones, su valor depende de losdividendos que se paguen durante la vigencia del contrato.

rf - tasas de interes en distintas monedas; influye si la opcion es sobreFX.

54

Parametro importante

- volatilidad. Medida de la fluctuacion en el instrumento basico -aleatoriedad.

Definicion: es la desviacion standard anualizada.

Difcil de estimar;

no constante;

impredecible.

Es natural tratar como variable aleatoria.55

ANALISIS DE PRODUCTOS DE RENTA FIJA

Bonos cero cupon

Introduccion

Bonos cero cupon

Bonos con cupones

1

Interes acumulado, precios limpio y sucio

Convencion day count

Medidas del yield: actual, YTM

Yield a la madurez (TIR) para bonos

2

1. INTRODUCCION

La Teora de Precios de Argbitrage (APT) da una manera de expresarel valor presente de un bono cero cupon en terminos de una medidade probabilidad de riesgo neutro sobre las trayectorias de las tasas deinteres.

Aclaracion: APT postula la existencia de al menos 1 medida, nodice que sea unica (i.e. que el mercado sea completo).

APT: el precio de culaquier instrumento financiero es igual al valorpresente del cash flow esperado.

3

Determinar el precio requiere:

(i) estimar los cash flows esperados;

(ii) determinar las tasas de decuento apropiadas para calcular el V.P.de los cash flows.

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2. BONOS CERO CUPON

1 pago Pr a tiempo T .

De acuerdo a la APT el precio del cero cupon a tiempo t es

B(t, T ) = Pr.EQt {e Tt r(u)du}

r(t): tasa de interes (aleatoria)

Pr: principal

EQt : expectacion condicional bajo una medida de probabilidad Q deriesgo neutro.

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Llamamos

P (t, T ) = EQt[e Tt r(u)du

]

al factor de descuento: valor presente de 1$ a tiempo T .

La funcion

T P (t, T )

es la curva de descuento a tiempo t.6

T tiempo absoluto: i.e. una fecha fija en el futuro

= T t tiempo relativo hasta la madurez; se usa cuando se trabajacon la curva de descuento.

En este caso, la curva de descuento esta dada por

P (t+ , T ), > 0

Si la tasa de interes en 0 = P (t, T ) 1.

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Notar: al usar APT para calcular precios de bonos estamos admitiendo

tasas de interes que son procesos estocasticos

que existe al menos 1 medida de probabilidad de riesgo neutro sobrela trayectorias de las tasas.

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Caso particular: tasa de interes r(t) determinstica, entonces

dB(t)dt

= r(t)B(t), B(T ) = Pr.

Proponemos la solucion B(t) = e(t)

ddt

= r(t) = (t) = t0r(u)du+ C(0)

B(t) = C(0)e t0 r(u)du.

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Usando la condicion final

Pr = C(0)e T0 r(u)du

= C(0) = e T0 r(u)du.

Reemplazando en B(t) se obtiene

B(t) = Pr.e Tt r(u)du.

3. BONOS CON CUPONES

La mayora de los bonos pagan cupones. Un bono generico especifica:

Madurez = T

Principal = Pr

Cupones = C

Numero de cupones hasta la madurez = N

Fechas de cupones = tn

Frecuencia = w (numero de pagos por ano)10

El valor del bono esta dado por

B(t) =N

n=1

Pr.Cw

EQt[e tnt r(u)du

]+ Pr.EQt

[e Tt r(u)du

]

Expresion equivalente:

B(t) =N

n=1

Pr.Cw

P (t, tn) + Pr.P (t, T )

11

La expresion anterior es consecuencia de que

un bono con cupones es equivalente a una serie de bonos cerocupon;

el valor de un bono a una fecha t esta determinado por la curva dedescuento;

el valor de un bono cambia en forma discontinua: tiene saltos Pr.Cwen cada t = tn.

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Interes acumulado (Accrued interest)

El precio de un bono puede hacerse continuo si restamos el interesacumulado.

Definicion: cantidad de interes que se acumulo desde el ultimo pagode cupon.

AI(t, tn) =Pr.Cw

(t tn

tn+1 tn)

Precio limpio: precio de la transaccion - interes acumulado.

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Precio sucio: precio incluyendo el interes acumulado (cuanto dinerocambia de manos).

Ps = Pl+AI(t, tn)

en t = tn AI(tntt) = 0 = Ps = Pl.

Convenciones day count

Como se acumula el interes en distintos periodos en formaconsistente? e.g. en el calculo de AI(t, tn), la fraccion

t tntn+1 tn

es un cociente entre fracciones de ano.

Relacionar con la unidad de tiempo: 1 ano.

Convertir das, semanas y meses en fracciones de ano.14

Convenciones para calcular nro. de das:

1. Real/Real: contar los das calendario,

2. 30/360: 30 das por mes, 360 por ano,

3. Real/360: cada mes el numero correcto; en el ano 360.

Las convenciones difieren segun tipo de emisor y pas.

15

Usamos la siguiente notacion

d1/m1/y1 1ra. fecha

d2/m2/y2 2da. fecha

El numero de das entre 2 fechas es

(y2 y1).360+ (m2 m1).30+ d2 d1.

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La convencion 30/360 se presenta en dos formas:

30/360 y 30E/360

i) 30/360

Si d1 = 30 o 31 d1 =30

Si d2 = 31 y d1 = 30 o 31 d2 =30

Si d2 = 31 y d1 6= 30 d2 =31

Mayo 1 Mayo 30 = 29 das

Mayo 1 Mayo 31 = 30 das17

ii) 30E/360

Si d1 = 31 d1 =30

Si d2 = 31 d2 =30

Mayo 1 Mayo 30 = 29 das

Mayo 1 Mayo 31 = 29 das

18

4. MEDIDAS DEL YIELD

Forma consistente de comparar productos de renta fija.

yield actual

yield to maturity (YTM) o tasa interna de retorno (TIR)

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4.1 Yield actual

yield actual =interes anual por cupones

precio del bono

Medida simple concentrada en las propiedades de corto plazo; en esteyield no se incluyen

pago de principal a T

valor temporal del dinero si hay reinversion

ganancias o perdidas de capital si el bono se vende antes de T20

Ejemplo 1

El yield actual para un bono a 18 anos, con cupones al 6%, que sevende a 700.89$, es

Ya =60

700.89= .0856 (8.56%)

21

5. YIELD A LA MADUREZ (YTM)

O TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Definicion: Es la tasa de interes constante que hace el valor presentedel cash flow de la inversion igual al precio actual. Llamamos

P = precio

Ci = cash flow en el ano i

N = numero de anos

w= frecuencia22

P =C1

(1 + yw)+

C2(1 + yw)

2 +C3

(1 + yw)3 + +

CN(1 + yw)

N

=Ni=1

Ci(1 + yw)

i (1)

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Calculo del YTM

Objetivo: encontrar la tasa de interes constante que haga el PV delcash flow igual al precio

paso 1: elegir una tasa de interes

paso 2: calcular el PV de cada cashflow usando la tasa de descuentoelegida en 1

paso 3: sumar los cash flows descontados

paso 4: comparar la suma total con el precio

24

(i) total = precio, la tasa elegida en el paso 1 es el YTM,

(ii) total > precio, tasa 6= YTM. Ir al paso 1 y comenzar elprocedimiento con tasa > que la 1ra,

(iii) total < precio, tasa 6= YTM. Ir al paso 1 y comenzar elprocedimiento con tasa < que la 1ra.

25

5.1 YTM para bono cero cupon

Definicion:

El YTM para el cero cupon es la tasa de interes constante que haceel valor descontado del cash flow final igual al precio del bono.

Suponiendo que Pr = 1$, para tasa discreta, compuesta continua

B(t, T ) = eyt,T (Tt)

yt,T = lnB(t, T )(T t)26

5.2 YTM para bono con cupones

Definicion:

Tasa de interes constante que hace el precio del bono igual a la sumade los cash flows descontados a esta tasa.

Tasa compuesta continua

B(t, T ) =Ni=1

Ciey(tit)+ Pr.ey(Tt), T = tN .

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Tasa compuesta discreta

En general, el YTM se calcula con tasa compuesta discreta, usandofrecuencia = frecuencia de los pagos de interes del bono.

La tasa de descuento es la inversa de la tasa de interes:

tasa de descuento =(1+

rw

)1=

11+ rw

.

28

En el caso de bonos con cupones, de acuerdo a nuestra notaciontenemos

tasa de descuento =1

(1+ yw)

29

5.3 YTM para periodos enteros

La fecha actual t = coincide con una fecha de pago de cupon. Hastala madurez quedan N periodos enteros.

B(t, T ) =N

n=1

Cn.P rw

1(1 + yw)

n +Pr

(1 + yw)N

Esta expresion vale para t= fechas de pago de cupones, despues delpago correpondiente.

30

Si los cupones son iguales: Cn = C, se puede usar la suma de una seriegeometrica

B(t, T ) =C.Pr.w

w

(1 1

(1 + yw)N

)+

Pr(1 + yw)

N

Si y = C = B = Pr

31

5.4 YTM para periodos fraccionarios

En general la fecha actual t no coincide con las fecha de pago decupon tm, cae entre dos fechas de cupones. Hay que tomar en cuentala fraccion de ano correspondiente al ese periodo

tn < t < tn+1, f =tn+1 ttn+1 tn

En este caso el YTM es

B(t, T ) =N

n=1

Cn.P rw

1(1 + yw)

n1+f +Pr

(1 + yw)N1+f (2)

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Relaciones entre B, C y y

y B

Si en la fecha de cupon el bono se comercializa

B = Pr = at par

B < Pr = at discount

B > Pr = at premium33

En mercado libre de arbitraje

(i) 2 bonos con igual precio y fecha de cupones tienen el mismo cupon

B1 = B2 y tn1 = tn2 = C1 = C2.

(ii) 2 bonos con igual precio y fecha de cupones tienen el mismo yield

B1 = B2 y tn1 = tn2 = y1 = y2.

34

(iii) Un bono de mayor cupon tiene mayor tasa

B1 = B2 y C1 > C2 = y1 > y2.

Yield = TIR (IRR) = comprar un bono es equivalente a ganar unatasa de interes y en dinero.

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Relaciones entre tasa de cupon, yield actual e YTM

Vendido

Par C = CY = Y TM

Discount C < CY < Y TM

Premium C > CY > Y TM

Yield de un bono par

Se usa para representar la estructura temporal de las tasas de interesimplcitas a partir del mercado de bonos: par yield curve.

36

5.4 Expresion general para el calculo del YTM

Si los datos son

N = numero total de periodos desde el settlement,

m = fecha de cupon recien pagado (numero de periodo de cuponrecien pagado),

La forma general de la expresiones (1) (numero entero de periodos) y(2) (periodo fraccionario) es

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B(tm, T ) =N

n=m+1

C.Prw

1(1 + yw)

nm + Pr1

(1 + yw)Nm

B(tm, T ) =N

n=m+1

Cn.P rw

1

(1 + yw)n(m+1)+f + Pr

1

(1 + yw)N(m+1)+f

Ejemplo 2

Calcular YTM para el siguiente bono

Madurez = 18 anos

Principal= 1000$

Cupones = 6%

Frecuencia = 2

Precio = 700.89$

38

Hipotesis:

18 anos es el periodo desde hoy a la madurez (no la madurez totaldel bono),

la fecha inicial coincide con una fecha de cupones y el bono seevalua despues de pagar el cupon. Sabemos

Nro de periodos = 36

Tasa semianual (TSA) = 3%

39

Entonces la formula se reduce a

B(0, tN) =C.Pr2

36n=1

1(1 + TSA)n

+ Pr1

(1 + TSA)36.

Como estamos evaluando en fecha de cupon, se puede usar la formulade suma de la serie geometrica y resulta

B(0, tN) =30TSA

(1 1

(1 + TSA)36

)+ Pr

1(1 + TSA)36

Nota: en los calculos la tasa se escribe en forma decimal.40

Ejemplo 3

La fecha de calculo del yield no coincide con la fecha de cupones = nose puede usar la suma de una serie geometrica (exponente fraccionario)

Calcular el YTM del siguiente bono

Madurez = 1 de marzo de 2006

Comienzo= 17 de julio de 2000

Principal= 100$

Tasa de cupones = 10%

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Frecuencia = 2

Precio sucio= 118.778$

Hay que calcular el nro. de periodos y la fraccion:

1er paso: nro total de das

2do. paso: nro. de periodos y fraccion

Numero total de das

(Y2 Y1)360+ (M2 M1)30 + (D2 D1) =(2006 2000)360+ (3 7)30+ (1 17) = 2024.

Numero de periodos de 6 meses y fraccion de periodo

N + f =t1 t180

=2024180

= 11.244

11 periodos de seis meses

fraccion inicial de 0.24442

Datos:

11 pagos de cupones a tasa 5%

1 pago del principal de 100$ en el periodo 11

un pago correspondiente a la fraccion inicial de periodo

B = 118.778 > Pr = 100$,= y > C.

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5.5 Yield para instrumentos a tasa flotante

La tasa de cupones para bonos a tasa flotante se resetea en formaperiodica sobre la base de una tasa de referencia (e.g. LIBOR)

El valor futuro de la tasa de referencia no se conoce =

no se pueden determinar los cash flows

no se puede calcular el YTM

Margen de descuento: medida para estimar el retorno potencial deun bono a tasa flotante.

Estima el spread promedio o margen sobre la tasa de referencia quepuede esperar el inversor.

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Calculo del margen

(1) Elegir una tasa de referencia que se supondra no variable durantela vida del bono.

(2) Calcular los cash flows con esa tasa.

(3) Elegir un margen o spread.

(4) Descontar los cash flows calculados en el paso (2) por la tasa dereferencia + el margen.

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(5) Comparar el PV de los cash flows calculados en (4) con el precioactual

si PV = precio actual, el margen de descuento es el seleccionado; si PV 6= precio actual, volver al paso 2 y probar con otro margen.

Desventajas del margen como medida del retorno potencial:

se supone que la tasa de referencia no cambia;

no toma en cuenta si el bono tiene un cap o un floor.

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Ejemplo 4

Considerar el siguiente bono

M = 6 anos

Tasa de cupones = tasa de referencia + 80bp

Frecuencia de reseteo = 6 meses

Precio = 99.3098$

Calcular el margen suponiendo que el valor actual de la tasa dereferencia es 10%.

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Yield de un portfolio

2 convenciones para el caculo:

1) Promedio pesado (metodo mas comun)

2) Tasa interna de retorno (TIR -IRR)

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Promedio pesado

Promedio pesado de los yields de todos los instrumentos. Cada yieldse pesa por la proporcion del instrumento en el portfolio.

YP =Ki=1

wiyi,

donde

wi = valor de mercado del instrumento i relativo al valor de mercadototal del portfolio

yi = yield del instrumento i

K = nro. de instrumentos en el portfolio49

Ejemplo 5

Consideramos un portfolio con 3 bonos

Bono Cupon (%) Madurez Par Precio YTM

A 7.0% 5yr 10M 9.209M 9.0%

B 10.0% 7yr 20M 20M 10%

C 6.0% 3yr 30M 28.05M 8.5%

Total 57.259M

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w1 =9.209.106

57.259.106= .161,

w2 =2010.6

57.259106= .349,

w3 =28.050.106

57.259106= .490

Entonces, el promedio pesado es

YP = .161(.09) + .349(.105) + .490(.085) = .0928 = 9.28%

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Esta medida da poca informacion sobre el yield potencial. Comoejemplo, consideramos un caso extremo.

Portfolio = 99% Bono A + 1% Bono B, donde

Bono A: madurez 6 meses, YTM 11%

Bono B: madurez 30 anos, YTM 8%

YP = 10.97%

Que significa este yield?

El yield de este portfolio en los proximos 2 anos dependera basicamentede las tasas dentro de 6 meses.

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YTM del portfolio

Se calcula determinando los cashflows para todos los instrumentos enel portfolio y encontrando la tasa fija que hace el PV de los cash flowsigual al precio de mercado del portfolio. Medida mas acertada que laanterior.

Ejemplo 6

Con los datos anteriores para los 3 bonos (A, B y C) del Ejemplo 6,se calcula el YTM Ver planilla XL.

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