Matematica Financiera

1Matemtica FinancieraMatemtica FinancieraMatemtica FinancieraMatemtica FinancieraMatemtica FinancieraMdulo nicoMdulo nicoMdulo nicoMdulo nicoMdulo nico

Carrera:Carrera:Carrera:Carrera:Carrera:Administracin de EmpresasAdministracin de EmpresasAdministracin de EmpresasAdministracin de EmpresasAdministracin de Empresas

Contador PblicoContador PblicoContador PblicoContador PblicoContador PblicoProfesor: Lic. Jos FadelProfesor: Lic. Jos FadelProfesor: Lic. Jos FadelProfesor: Lic. Jos FadelProfesor: Lic. Jos Fadel

Curso: 3 AoCurso: 3 AoCurso: 3 AoCurso: 3 AoCurso: 3 AoAo: 2007Ao: 2007Ao: 2007Ao: 2007Ao: 2007

SaltaSaltaSaltaSaltaSalta

3EducacinA DISTANCIA

Autoridades de la UniversidadAutoridades de la UniversidadAutoridades de la UniversidadAutoridades de la UniversidadAutoridades de la Universidad

CancillerCancillerCancillerCancillerCanciller

Su Excelencia ReverendsimaMons. MARIO ANTONIO CARGNELLO

Arzobispo de Salta

RectorRectorRectorRectorRector

Dr. ALFREDO GUSTAVO PUIG

Vice-Rector AcadmicoVice-Rector AcadmicoVice-Rector AcadmicoVice-Rector AcadmicoVice-Rector Acadmico

Dr. GERARDO VIDES ALMONACID

Vice-Rector AdministrativoVice-Rector AdministrativoVice-Rector AdministrativoVice-Rector AdministrativoVice-Rector Administrativo

Ing. MANUEL CORNEJO TORINO

Secretaria GeneralSecretaria GeneralSecretaria GeneralSecretaria GeneralSecretaria General

Prof. CONSTANZA DIEDRICH

Delegado Rectoral del SEADDelegado Rectoral del SEADDelegado Rectoral del SEADDelegado Rectoral del SEADDelegado Rectoral del SEAD

Dr. OMAR CARRANZA

5Indice General

Fundamentos .................................................. 7Objetivos ......................................................... 7Contenidos ...................................................... 8Metodologa ..................................................... 9Evaluacin y condiciones para obtener laregularidad .................................................... 10Bibliografa .................................................... 10

Unidad I

Conceptos Bsicos para el AnlisisFinanciero ..................................................... 11Inters Simple (Is) ......................................... 13Deduccin de la Frmula fundamental delInters Simple ............................................... 13Monto (M) o Capital Final (Cn) ...................... 18Deduccin de la Frmula del Monto enfuncin del Capital ......................................... 18Deduccin de la Frmula del Capital enfuncin del Monto .......................................... 19Deduccin de la Frmula del Monto enfuncin del Inters ......................................... 20Deduccin de la Frmula del Inters enfuncin del Monto .......................................... 20Procedimientos Abreviados .......................... 22Mtodo de los Divisores Fijos ....................... 23

Unidad II

El Inters Compuesto (Ic) ............................. 25Diferencia entre el Inters Simple y el IntersCompuesto .................................................... 25Frmulas que se deducen de la Frmula delMonto a Inters Compuesto .......................... 26Deduccin de la Frmula del Monto a IntersCompuesto con aplicacin de Logartmo ...... 27Deduccin de la frmula del IntersCompuesto en funcin del Monto .................. 30Frmula del Monto en funcin del IntersCompuesto .................................................... 30Deduccin del Inters Compuesto enFuncin del Capital ........................................ 31Frmula del Capital en Funcin del IntersCompuesto .................................................... 31Tasa de Inters ............................................. 32

Tasa Nominal (i) ............................................ 32Tasas Proporcionales (i/m) ........................... 32Aplicacin de la Tasa Nominal y de lasTasas Proporcionales ................................... 33Tasa Efectiva (i') ........................................... 34Tasa Equivalente (im) ................................... 35Relacin entre las Tasas Equivalentes y lasTasas Proporcionales ................................... 36Capitalizacin Contnua ................................ 36Tasa Instantnea (d) ..................................... 37

Unidad III

Descuento Simple ......................................... 39Descuento Comercial (Dc) ........................... 39Frmula del Descuento Comercial ................ 39Frmula del Valor Actual en funcindel Descuento ............................................... 40Frmula del Descuento Comercial contanto por uno (i) ............................................. 40Valor Actual ................................................... 41Frmula del Valor Actual en funcindel Valor Nominal .......................................... 41Frmula del Valor Actual en funcindel Valor Nominal .......................................... 42Frmula del Valor Actual en funcindel Descuento Comercial .............................. 42Frmula del Descuento Comercialen funcin del Valor Actual ............................ 43Descuento Matemtico (Dm) ........................ 43Clculo de la Tasa de Descuento conocidala Tasa de Inters ......................................... 44Frmula del Descuento Comercial conTasa de Descuento ....................................... 45Frmula del Valor Actual en funcindel Valor Nominal .......................................... 45Aplicacin prctica de las frmulas vistas .... 46Vencimiento Comn y Vencimiento Medio .... 48

Unidad IV

Descuento Compuesto ................................. 53I.- Descuento Matemtico ............................. 53II.- Descuento Comercial .............................. 56

6Unidad V

Rentas ........................................................... 61Clasificacin de las Rentas ........................... 61Cuotas de las Rentas ................................... 61Valuacin de la Renta ................................... 62Rentas Inmediatas ........................................ 62Renta Inmediata Vencida .............................. 63Renta Inmediata Adelantada (AmortizacinAdelantada) ................................................... 64Rentas Anticipadas ....................................... 65Imposiciones: Valor Final de una Renta ........ 65Imposiciones Vencidas ................................. 66Imposiciones Adelantadas ............................ 67Sistema para amortizar prstamos ............... 68

Unidad VI

Imposiciones ................................................. 75Conceptos Bsicos ....................................... 75Clasificacin de las Imposiciones ................. 75Imposiciones a inters compuesto................ 76Deduccin de la frmula de las imposicionesvencidas con cuotas constantes .................. 76Frmula de la Cuota o Anualidad .................. 77Deduccin de la frmula de las imposicionesadelantadas con cuotas constantes ............. 77Frmula de la Cuota o Anualidad .................. 79Observacin Importante................................ 79Imposiciones a inters simple ....................... 79Resoluc. prctico Imposiciones .................... 82

Unidad VII

Amortizaciones ............................................. 83I.- Definicin .................................................. 83II.- Conceptos Bsicos.................................. 83III.- Clasificacin de las Amortizaciones ....... 83Amortizaciones a inters compuesto ............ 84Amortizaciones Especiales ........................... 93Amortizacin Real ......................................... 93Cuadro de Amortizacin de una deuda ......... 95Frmulas que se deducen........................... 101Tasa de Amortizacin () ............................ 104Deduccin de la frmula de la Tasade Amortizacin .......................................... 104Total Amortizado despus de un pagodeterminado ................................................ 106Relacin entre la Tasa i y la Tasa i' ............ 109

Trabajo Prctico .......................................... 111

7Fundamentos

El gran desarrollo de las instituciones inversionista y las dificultades en el manejo delas inversiones que emergen de la desvalorizacin monetaria, demandan un nmerocada vez mayor de profesionales, tcnicos y expertos especializados en el rea de lasmatemticas financieras. Dentro del rea de las ciencias econmicas, las matemticasfinanciera son consideradas una asignatura de importancia, razn por la cual, en losplanes de estudios de la carrera de Lic. en Administracin de Empresas y de Lic. enEconoma se han contemplado el dictado de dicha asignatura, ya que la misma brinda-r a los futuros profesionales las bases matemticas de los modelos que utilizarn ensu anlisis de decisin econmica.

Las matemticas financieras son un captulo de la extensa rama de las matemticasaplicadas y por esto exige al alumno los conocimientos que ha acumulado en susdiferentes niveles de estudios de las matemticas, pero independiente a ello, la exposi-cin de los conceptos est dada en forma clara, sencilla y ordenada, y en cada unidadse demuestran las frmulas siguiendo los mtodos de las matemticas puras, comoas tambin el desarrollo de ejemplos que ilustran la forma de aplicar las mismas.

El desarrollo de los distintos temas contemplados en esta asignatura, estn guiadospor el camino del anlisis en un esfuerzo por capacitar al alumno para afrontar yplantear los problemas que en este campo, se les presentarn en sus actividadesprofesionales.

En el aspecto operacional se da importancia al uso de tablas y mquinas de calcular,orientado siempre al alumno hacia los mtodos generales.

Objetivosa.- General:

Al finalizar el dictado de la asignatura el alumno deber ser capaz de elaborarModelos Matemticos encaminados a interpretar y resolver los problemas finan-cieros que se le presentan en su vida diaria.

Carrera:Carrera:Carrera:Carrera:Carrera: Administracin de Empresas - Contador PblicoCurso:Curso:Curso:Curso:Curso: 3 AoMateria:Materia:Materia:Materia:Materia: Matemtica FinancieraProfesor Ttular:Profesor Ttular:Profesor Ttular:Profesor Ttular:Profesor Ttular: Lic. Jos Elias FadelProfesor Adjunto:Profesor Adjunto:Profesor Adjunto:Profesor Adjunto:Profesor Adjunto: Mabel AbrahamRgimen de la asignatura:Rgimen de la asignatura:Rgimen de la asignatura:Rgimen de la asignatura:Rgimen de la asignatura: AnualAo Acadmico:Ao Acadmico:Ao Acadmico:Ao Acadmico:Ao Acadmico: 2007

8b.- Especficos:

El alumnos deber ser capaz de:

- Interpretar los fundamentos tericos de la matemtica financiera.- Adquirir destreza en el manejo de las frmulas adecuadas para la resolucin de

los problemas financieros.- Seleccionar entre distintas alternativas de financiamiento la ms conveniente a

sus intereses.

Contenidos

Unidad I: El Inters Simple

La teora del inters. El inters simple. Porcentaje. Bonificacin Las variables deinters simple. Deduccin de la frmula fundamental y las que se deducen en ella. Tasaunitaria. Tasas proporcionales. Capital Inicial. Capital final. Mtodos de los divisoresfijos. Mtodos de las partes alcuotas. Manejo de tablas de inters simple y de monto ocapital final. Representacin grfica del monto a inters simple.

Unidad II: El Inters Compuesto

La teora del inters. El inters compuesto. Diferencias entre el inters simple y elinters compuesto. Concepto de capitalizacin y de actualizacin. Deduccin de lafrmula fundamental del monto a inters compuesto. Frmulas derivadas. Frmulas delcapital inicial. Frmula del nmero de perodos. Frmula de la tasa de inters. El interscompuesto en funcin del capital inicial y del capital final. Tasa nominal. Tasa. Tasaproporcional. Tasa efectiva. Tasa equivalente. Tasa nominal convertible. Tasa instant-nea. Relacin entre las distintas tasas. Capitalizacin continua. El nmero "c", compa-racin analtica del monto a inters compuesto con el empleo de tasa proporcional ytasa equivalente. Representacin grfica del monto a inters compuesto y el monto ainters simple. Aplicacin de logaritmo. Tablas financieras.

Unidad III: El Descuento a Inters Simple

La teora del descuento. El descuento a inters simple. El descuento comercial. Valornominal. Valor actual. Frmula fundamental y las que se deducen de ellas. Tasa dedescuento. Tasa de inters. Relacin entre la tasa de inters y la tasa de descuento.Documentos comerciales equivalentes. Vencimiento comn y medio. Principio de equi-dad. Determinacin del valor nominal del documento nico. Fecha de vencimiento de lanueva obligacin. Descuento racional o descuento matemtico. Frmula fundamental ylas que se deducen de ella. Comparacin analtica y grfica entre el descuento comer-cial y el descuento matemtico.

9Unidad IV: Descuento a Inters Compuesto

La teora del descuento. El descuento a inters compuesto. Deduccin de la frmulafundamental. Frmulas que se deducen. Tasa de inters. Documentos comerciales equi-valentes. El descuento compuesto en funcin del valor nominal y el valor actual. Venci-miento comn y medio. Principio de equidad. Tasa de descuento. Deduccin de lasfrmulas fundamentales empleando la tasa de descuento. Relacin entre la tasa dedescuento y la tasa de inters.

Unidad V: Rentas

Rentas ciertas. Concepto. Clasificacin de las rentas. poca inicial. poca de valuacin. Modalidades de las rentas. Deduccin de la frmula fundamental del valor actual delas rentas. Rentas inmediatas. Rentas diferidas. Rentas anticipadas. Rentas temporarias.Rentas vitalicias. Rentas Perpetuas. Frmulas derivadas. Uso de tablas financieras.Construccin de las tablas financieras.

Unidad VI: Imposiciones

Imposiciones vencidas y adelantadas. Concepto. Deduccin de las frmulas de lasimposiciones vencidas y adelantadas a inters compuesto. Frmulas que se deducende ellas. Uso de las tablas financieras. Construccin de las tablas financieras. Deduc-cin de las frmulas de imposiciones vencidas y adelantadas a inters compuesto.Aplicaciones numricas.

Unidad VII: Amortizaciones

Amortizaciones vencidas y adelantadas a inters compuesto. Concepto. Frmulafundamental de las amortizaciones vencidas y adelantadas a inters compuesto. Fr-mula derivadas. Uso de las tablas financieras. Construccin de las tablas financieras.Sistemas de amortizaciones especiales. Sistema francs o de amortizaciones progre-sivas. Fondo amortizante. Amortizaciones reales. Cuadro de la deuda. Tasa de amorti-zacin. Sistema alemn. Sistema americano.

Metodologa

a.- Modalidad de la enseanza

Los docentes sern: 1.- Orientadores del referido proceso y no sus protagonistasprincipales.. Las clases satelitales no tendrn la pretensin de ser magistrales,por el contrario sern un desarrollo bsico de los temas mas importantes y unagua al estudiante para el desempeo eficaz de su rol de alumno.

b.- Rol de los alumnos

Adems de ser los destinatarios naturales de la enseanza, debern constituirmiembros activos, responsables, solidarios y creativos, en una comunidad de

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estudiantes con intereses comunes. Para ello deber realizar el esfuerzo y pro-curar las experiencias que sean menester para desarrollar las mencionadas apti-tudes.

c.- Instrumentos para el proceso de enseanza - aprendizaje

- Mdulos- Bibliografa sugerida- Clases satelitales- Consultas a travs del foro

Evaluacin y condiciones para obtener la regularidad

1.- Se deben rendir, en el ao de duracin del dictado de la asignatura dos parcia-les cuyo contenido sern principalmente temas de aplicacin prctica y cuyafechas sern fijadas por el I.E.A.D.

2.- De los dos parciales, se tiene que aprobar al menos uno, para tener opcin a unrecuperatorio. Superada esta instancia, el alumno obtendr la regularidad en lamateria.

3.- Aquellos alumnos que reprueben los 2 (dos) exmenes previstos quedarnautomticamente libres en la materia.

4.- El docente a cargo del dictado de la materia, indicar con debida anticipacin,los temas que incluirn los exmenes parciales previstos, as como los requisi-tos para su aprobacin (Puntaje total, mnimo por item, etc.).

Bibliografa

Bibliografa Bsica

- Matemticas Financieras: "Lincoyn Portus Goviden" - Mc.Graw Hill - Cuarta Edi-cin.

- Manual de Clculo Financiero: "Murioni-Trossero" - Ediciones Macchi - 1993.- Matemticas Financieras: "Esther highland - Roberta Rosenbaum" - Prentice Hall -

Tercera Edicin.- Matemticas Financieras: "Robert y Helen Cissell - David Flaspohler" - Compaa

Editorial Continental - S.A. de C.V. Mxico - 1993.- Matemticas Financieras: "Frank Ayres, Jr." - Mc. Graw Hill.

Jse Elias Fadel

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Unidad IUnidad IUnidad IUnidad IUnidad I

Conceptos Bsicos para el Anlisis Financiero

a.- Matemtica Financiera

La matemtica financiera es una ciencia que estudia y analiza los cambios cuan-titativos que se producen en sumas de dinero a travs del tiempo.

b.- Capital Financiero

Es la cantidad de dinero que se da o se recibe en calidad de prstamo.

c.- Mercado Financiero

Es el lugar fsico en donde las personas o instituciones ofrecen y demandanrecursos monetarios.

d.- Operacin Financiera

Es toda operacin que produce variaciones en un capital determinado, durante untiempo tambin determinado. La variacin de un capital, se conoce con el nombrede inters.

e.- Inters

Es la cantidad de dinero que se debe pagar (o cobrar) en concepto de alquiler (orenta), por el uso (o concesin) de un capital durante un tiempo determinado.

El inters puede ser simple o compuesto. Es simple, cuando los intereses nollegan a formar parte del capital inicial; es compuesto, cuando los intereses,despus de un tiempo, se acumulan al capital inicial para producir a su veznuevos intereses.

f.- Tasa de Inters

Es la magnitud que mide el precio que se paga (o se cobra), por el uso (o conce-sin) de un capital, que se recibe (o se entrega) en calidad de prstamo. Lastasas que cobran las entidades financieras por conceder capitales en calidad deprstamos, se llaman tasas activas; mientras que, las que abonan, por el uso decapitales, en calidad de prstamos, se llaman tasas pasivas.

La tasa de inters puede estar expresada en tanto por ciento (r), o en tanto por uno (i).El tanto por ciento, es el inters que se debe pagar por cada cien pesos ($ 100) quese recibe en calidad de prstamo, por el lapso de un ao; el tanto por uno, es el inters

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que se debe pagar por cada peso ($ 1) que se recibe en calidad de prstamo, por ellapso de un ao. Ahora bien, si el tanto por ciento (r) es el inters que se paga porcada cien pesos ($ 100) en un ao, y el tanto por uno (i) es el inters que se paga porcada peso ($ 1) en un ao, entonces:

Tanto por ciento (r)Tanto por uno (i) =

100

g.- Tasas Proporcionales

El tanto por ciento es una tasa porcentual expresada generalmente en formaanual, motivo por el cual si se desea expresar dicha tasa en forma diaria, men-sual, bimestral, trimestral, etc., se debern determinar las tasas proporcionalesa la tasa anual, dividiendo esta por 365 (das del ao), 12 (meses del ao), 6(bimestres del ao), 4 (trimestres del ao), etc. respectivamente. As por ejem-plo, si se desea determinar las tasas proporcionales correspondientes a una tasade inters anual del 24% se obtendrn las siguientes tasas:

24Tasa diaria = = 0,0657% diario

365

24Tasa mensual = = 2% mensual

12

24Tasa bimestral = = 4% bimestral

6

24Tasa trimestral = = 6% trimestral

4

24Tasa cuatrimestral = = 8% cuatrimestral

3

24Tasa semestral = = 12% semestral

2

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Inters Simple (Is)

Cuando definimos al inters, decimos que es la cantidad que se debe abonar endinero en concepto de alquiler o renta, por el uso o la concesin de un capital duranteun tiempo determinado, tambin decimos que, la tasa de inters, es la magnitud quemide el precio que se paga o se cobra, por el uso o la concesin de un prstamo; por lotanto podemos aseverar, que el inters est en relacin directamente proporcional a lasvariables: capital, tasa de inters y tiempo; es decir que ante un aumento o disminucinde stas, se producir un aumento o una disminucin de aquel, respectivamente.

Deduccin de la Frmula fundamental del Inters Simple

Sabemos que, la razn o tanto por ciento (r), es el inters que se debe pagar por uncapital de cien pesos ($ 100) en un ao (unidad de tiempo); ahora bien, si queremosdeterminar cul es el inters (I) que se deber pagar por un capital de c pesos, duranteun tiempo n estaremos frente a un planteo de una regla de tres compuesta directa queestara expresada de la siguiente manera:

$ 100 U.T. $ r$ c n I?

De dnde se deduce que

c x r x nI =

100 x UT

Frmulas que se deducen:

a.- Frmula del Capital (c)

c x r x n I x 100 x UTSi I = entonces C =

100 x UT r x n

b.- Frmula de la Razn o tanto por ciento (r)

c x r x n I x 100 x UTSi I = entonces r =

100 x UT c x n

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c.- Frmula del tiempo

c x r x n I x 100 x UTSi I = entonces n =

100 x UT c x r

Si en lugar del tanto por ciento (r) se toma como base de clculo el tanto por uno (i),las frmulas anteriores quedaran expresadas de la siguiente manera:

Frmula del IntersRecuerde que

nI = C x i x r

UT i =100

Frmula del Capital

I UTC = x

i n

Frmula de la Tasa

I UTi = x

C n

Frmula del Tiempo

I x UTn =

c x i

Nota: las frmulas del capital (C), tiempo (n), tanto por ciento (r) y tanto por uno (i),se deducen de la frmula fundamental del inters simple, por simple pasajede trminos de un miembro a otro.

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Aplicacin Prctica de las frmulas vistas

Cuestiones Generales

Cuando la incgnita a develar sea el capital, inters, tanto por ciento o tanto por uno,deber expresarse la unidad de tiempo (UT) como cantidad homognea al tiempo quese da como dato; es decir, que si el tiempo durante el cual se va a colocar un capital esde cuatro (4) meses, la unidad de tiempo (UT) ser igual a 12, ya que el ao tiene doce(12) meses, y as sucesivamente.

Si la incgnita a develar es el tiempo (n), deber tenerse en cuenta, si el mismo sedesea expresar en: das, meses, bimestres, trimestres, etc., ya que la unidad de tiem-po (UT) deber ser reemplazada por: 365, 12, 6, 4, etc., respectivamente, segn co-rresponda.

Ejercicios de Aplicacin

1.- Cul ser el inters que generar un capital de $ 1500 depositado a plazo fijo enun banco, por un plazo de 45 das, a una tasa de inters del 24% anual?

Resolucin

a.- Con tanto por ciento (r)

c x r x nI =

100 x UT

1500 x 24 x 45I =

100 x 365

I = $ 44,38

Respuesta: el inters generado ser de $ 44, 38

b.- Con tanto por uno (i)

nI = C x i x

UT

16

45I = 1500 x 0,24 x

365

I = $ 44,38

2.- Cul ser el capital que se deber depositar en un banco a plazo fijo, tal quecolocado a una tasa de inters del 18% anual durante 2 meses, genere un intersde $ 75?

Resolucin


I x 100 x UTC =

r x n

75 x 100 x 12C =

18 x 2

C = $ 2500

Respuesta: El capital que se deber colocar es de $ 2500


I UTC = x

i n

75 x 12C =

0,18 x 2

C = $ 2500

Respuesta: El capital que se deber colocar es de $ 2500

17

3.- A que tasa porcentual anual se deber colocar en un banco, un depsito a plazafijo de $ 3540, durante 180 das, para que genere un inters de $ 150?

Resolucin


I x 100 x UTr =

c x n

150 x 100 x 365r =

3540 x 180

r = 8,59% anual

Respuesta: la tasa porcentual a la cul se deber colocar ser del 8,59%anual.


I UTi = x

C n

150 x 365i =

3540 x 180

i = 0,0859 anual

4.- A cuantos das deber colocarse en un banco a plazo fijo, un capital de $ 3000, paraque colocado a una tasa de inters del 48% anual genere un inters de $ 250?

Resolucin


I x 100 x UTn =

c x r

250 x 100 x 365n =

3000 x 48

18

n = 63 das

Respuesta: el depsito a plazo fijo deber ser colocado durante 63 das.

b.- Con tanto por uno

I x UTn =

C x i

250 x 365n =

3000 x 0,48

n = 63 das

Monto (M) o Capital Final (Cn)

Se llama monto (M) a la suma del capital inicial (C) ms los intereses (I) generadospor el mismo, durante un tiempo determinado, o sea:

Monto = Capital + Inters

M = C + I

Deduccin de la Frmula del Monto en funcin del Capital

Sabemos que M = C + I

c x r x nPero como I =

100 x UT

C x r x nEntonces M = C +

100 x UT

r x nSacando C factor comn se tiene que: M = C 1 +

100 x UT

19

Deduccin de la Frmula del Capital en funcin del Monto

r x n MSi M = C 1 + entonces C =

100 x UT r x n1 +

100 x UT


Si una empresa realiz en una unidad entidad financiera un depsito a plazo fijo $ 1750por un plazo de 90 das a una tasa del 36% anual. Se desea saber cul fue el monto quecobro la empresa, al vencimiento de dicho plazo.

Resolucin

r x nM = C 1 +

100 x UT

36 x 90M = 1750 1 +

100 x 365

M = $ 1905,34

Cul ser el capital que se deber depositar en un banco a plazo fijo, tal quecolocado a una tasa del 22% anual, durante 3 meses genere un monto de $ 2875?

Resolucin

MC =

r x n1 +

100 x UT

2875C =

22 x 31 +

100 x 12

C = $ 2725,11

20

Deduccin de la Frmula del Monto en funcin del Inters

Sabemos que M = C + I

I x 100 x UTPero como C =

r x n

I x 100 x UTEntonces M = + I

r x n

100 x UTSacando I factor comn se tiene M = I + 1

r x n

Deduccin de la Frmula del Inters en funcin del Monto

100 x UT MSi M = I + 1 entonces I =

r x n 100 x UT+ 1

r x n


1.- Cul ser el monto obtenido por un capital que fue depositado en un banco aplazo fijo a una tasa del 16% anual durante 120 das, si el inters producido fuede $ 175?

Resolucin

100 x UTM = I + 1

r x n

100 x 365M = 175 + 1

16 x 120

M = $ 3501,82

21

2.- Cul ser el inters producido por un capital que fue depositado a plazo fijo auna tasa del 19% anual durante 75 das, si el monto total obtenido fue de $ 1820?

Resolucin

MI =

100 x UT + 1

r x n

1820I =

100 x 365 + 1

19 x 75

I = $ 68,38

Cuando el lector profundice en la bibliografa sugerida en el presente mdulo, podrobservar que la frmula fundamental del inters simple y todas sus derivadas puedenexpresarse obviando de las mismas la variable unidad de tiempo (UT). Ahora bien laaplicacin de dichas frmulas estar condicionada a que las variables tanto por ciento(r) o tanto por uno (i) y tiempo (n) estn expresadas como cantidades homogneas; encaso contrario dicha dificultad se salvar, introduciendo el concepto de tasas propor-cionales.

Las frmulas del inters simple y sus derivadas sin la variable unidad de tiempo(UT) quedan expresadas de la siguiente manera:

Frmula fundamental del inters simple

C x r x nI = o I = C x i x n

100

Frmula del Capital

I x 100 IC = o C =

r x n i x n

Frmula de la Tasa

I x 100 Ir = o i =

c x n c x n

22

Frmula del Tiempo

I x 100 In = o n =

c x r c x i

Frmula del monto en funcin del inters

100 1M = I + 1 o M = I + 1

r x n i x n

Frmula del inters en funcin del monto

M MI = o I =

100 1+ 1 + 1

r x n i x n

Frmula del monto en funcin del capital

r x nM = C 1 + o M = C [1 + i x n]

100

Frmula del capital en funcin del monto

M MC = o C =

r x n 1 + i x n 1 +

100

Procedimientos Abreviados

En financiera existen mtodos que permiten resolver los problemas plantados enforma expeditiva entre los mas usados podemos nombrar el de los divisores fijos.

23

Mtodo de los Divisores Fijos

Este mtodo permite el clculo del inters simple mediante la aplicacin de la si-guiente frmula:

C x ndasI =

(divisor fijo)

Dicha frmula es de fcil aplicacin, ya que el clculo del inters se resume en uncociente entre el producto del capital depositado y el tiempo expresado en das (ndas),por el divisor fijo (), que est determinado, el mismo se obtiene dividiendo el nmeroconstante 36000 entre las tasas anuales ms usadas.

Frmulas que se deducen

a.- Frmula del capital

C x ndas I x Si I = entonces C =

ndas

b.- Frmula del tiempo expresado en das

C x ndas I x Si I = entonces ndas =

C

Ejercicios de aplicacin

1.- Cul ser inters que generar un capital de $ 2500 depositado a plazo fijo enun banco, por un plazo de 2 meses, a una tasa del 24% anual?

C x ndasI =

2500 x 60I =

1500

I = $ 100

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2.- Cul ser el capital que se deber colocar en un banco a plazo fijo, tal quecolocado a una tasa del 18% anual, durante 2 bimestres genere un inters de$ 150?

I x C =

ndas

150 x 2000C =

120

C = $ 2500

3.- A cuntos das deber colocarse en un banco a un plazo fijo, un capital de$ 3000, para que colocado a una tasa del 48% anual genere un inters de $ 40?

I x ndas =

C

40 x 750ndas =

3000

n das = 10 das

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El Inters Compuesto (Ic)

Diferencia entre el Inters Simple y el Inters Compuesto

Bajo el rgimen del inters simple (Is) los intereses no se capitalizan, es decir quelos intereses devengados peridicamente no se suman al capital inicial; por el contra-rio, bajo el rgimen del inters compuesto, los intereses se capitalizan, es decir que losintereses devengados peridicamente se suman al capital inicial, motivo por el cual,este aumenta peridicamente.

Para que el lector pueda observar la diferencia de los montos obtenidos por unmismo capital durante un tiempo determinado, bajo el rgimen del inters simple y delinters compuesto, se resolver el siguiente ejercicio: Cul ser el monto obtenidopor un capital de $ 1000 que fue depositado en un banco a plazo fijo, a una tasa del 24%anual, durante 3 meses?

Resolucin

a.- Bajo el rgimen del Inters Simple

C x R x T 1000 x 24 x 1Intereses 1 mes I = = = $ 20

100 x UT 100 x 12


100 x UT 100 x 12


100 x UT 100 x 12

Respuesta: El monto obtenido fue de $ 1060

b.- Bajo el rgimen del Inters Compuesto


100 x UT 100 x 12

C x R x T 1020 x 24 x 1Intereses 2 mes I = = = $ 20,48

100 x UT 100 x 12

Unidad IIUnidad IIUnidad IIUnidad IIUnidad II

26

C x R x T 1040,48 x 24 x 1Intereses 3 mes I = = = $ 20,81

100 x UT 100 x 12

Respuesta: El monto obtenido fue de $ 1061,25

Como podr observar, la obtencin del monto, bajo el rgimen del inters com-puesto, requiere un sin nmero de clculos, los que se podrn abreviar a travsde la aplicacin de la siguiente frmula: M = C (1 + i)n .

Donde C es el capital inicial y (1 + i)n es el factor de capitalizacin, por lo tanto, elmonto a inters compuesto es igual al producto del capital inicial por el factor decapitalizacin.

Grficamente

C por (1 + i)n M

0 1 2 n - 1 n

Frmulas que se deducen de la Frmula del Monto a IntersCompuesto

a.- Frmula del capital inicial

1Si M = C (1 + i)n entonces C = M x

(1 + i)n

1Donde M es el monto o capital final, es el factor de actualizacin, por lo

(1 + i)ntanto el capital a inters compuesto es igual al producto entre el monto y el factorde actualizacin.

Grficamente

1C por M

(1 + i)n

0 1 2 n - 1 n

27

b.- Frmula del tanto por uno

n MSi M = C (1 + i)n entonces i = - 1

C

Nota Importante: La frmula del monto a inters compuesto y sus derivadas se-rn pasibles de aplicacin solo si el tiempo (n) y el tanto por uno(i) estn expresadas en la misma unidad de tiempo que el rgi-men de capitalizacin.

Ejemplos:

- Si la capitalizacin es anual, el tanto por uno y el tiempo deben estar expresadosen aos.

- Si la capitalizacin es mensual, el tanto por uno y el tiempo deben estar expresa-dos en meses.

Deduccin de la Frmula del Monto a Inters Compuesto conaplicacin de Logartmo

Si aplican logartmo a ambos miembros de la frmula M = C (1 + i)n, tendremos que:

log M = log C + n x log (1 + i)

Ahora bien, si

log M =log C + n x log (1 + i) entonces M = Antilog [log C + n x log (1 + i)]


a.- Frmula del Capital

Si log M = log C + n x log (1 + i) entonces log C = log M - n x log (1 + i) ;

por lo tanto C = Antilog [(log M - n x log (1 + i)]

b.- Frmula del Tiempo

log M - log CSi log M = log C + n x log (1 + i) entonces n =

log (1 + i)

28

c.- Frmula de la Tasa

log M - log CSi log M = log C + n x log (1 + i) entonces log (1 + i) = ;

n

log M - log Cpor lo tanto i = Antilog - 1

n

Aplicacin prctica de las frmulas vistas

1.- Cul fue el monto generado por una inversin de $ 1500 durante un plazo de 2aos, colocada a una tasa del 18% anual, capitalizable anualmente?

Resolucin

a.- Con calculadora o tabla financiera (Tabla I)

M = C (1 + i)n = 1500 x (1 + 0,18)2= 1500 x 1,3924= $ 2088,6002

b.- Con logaritmo

log M = log C + n x log (1 + i)log M = log 1500 + n x log (1 + 0,18)log M = 3,1760913 + 2 x 0,071882log M = 3,1760913 + 0,143764log M = 3,3198553M = $ 2088,6002

2.- Qu capital gener un monto de $ 1845,12 al cabo de 2 aos, si la tasa de plazaera del 24% anual, con capitalizacin anual?

Resolucin

a.- Con calculadora o tabla financiera (Tabla II)

1 1C = M x = 1845,12 x

(1 + i)n (1 + 0,24)2

C = 1845,12 x 0,650364C = $ 1200

29

b.- Con logartmo

log C = log M - n x log (1 + i)log C = log 1845,12 - 2 x log (1 + 0,24)log C = 3,2660246 - 2 x 0,0934216log C = 3,2660246 - 0,1868433log C = 3,0791813C = 1200

3.- A qu tasa capitalizable anualmente se deposito un capital de $ 1500 que alcabo de 730 da produjo un monto de $ 2088,6?

Resolucin

a.- Con calculadora

n Mi = - 1

C

2 2088,6i = - 1

1500

2

i = 1,3924 - 1i = 1,18 - 1i = 0,18 anual

b.- Con logartmo

log M - log Clog (1 + i) =

n

log 2088,6 - log 1500log (1 + i) =

2

3,3198553 - 3,1760913log (1 + i) =

2

0,143764log (1 + i) =

2

30

log (1 + i) = 0,071882(1 + i) = 1,18i = 1,18 - 1i = 0,18

4.- Cul ser el tiempo durante el cual un capital de $ 1500 produjo un monto de$ 2088,6, si la tasa considerada fue del 18% anual, capitalizable anualmente?

Resolucin

log M - log C log 2088,6 - log 1500n = =

log (1 + i) log (1 + 0,18)

3,31985 - 3,17609n =

0,07188

n = 2 aos

Deduccin de la frmula del Inters Compuesto en funcin del Monto

1Sabemos que I = M - C pero como C = M x

(1 + i)n 1

entonces I = M - M x sacando M factor comn en el 2 miembro de esta (1 + i)n

1igualdad se tiene que I = M 1 -

(1 + i)n

Frmula del Monto en funcin del Inters Compuesto

1 ISi I = M 1 - entonces M =

(1 + i)n 11 -

(1 + i)n

31

Deduccin del Inters Compuesto en Funcin del Capital

Sabemos que I = M - C pero como M = C x (1 + i)n entonces I = C x (1 + i)n - Csacando C factor comn en el 2 miembro de esta igualdad se tiene que I = C [(1 + i)n - 1]

Frmula del Capital en Funcin del Inters Compuesto

ISi I = C [(1 + i)n - 1] entonces C =

(1 + i)n - 1

Aplicacin Prctica

1.- Por una suma colocada al 18% anual durante 24 meses se ha obtenido un montode $ 2088,6. Calcular los intereses de dicha suma, sabiendo que los mismos secapitalizan anualmente.

Resolucin

1 1I = M 1 - = 2088,6 1 -

(1 + i)n (1 + 0,18)2

1I = 2088,6 1 - = 2088,6 [1 - 0,71818]

1,3924

I = 2088,6 [0,28182]I = $ 588,609

2.- Cul fue el monto producido por un capital que colocado a una tasa del 24%anual durante 6 bimestres produjo un inters de $ 645,12; sabiendo que los mis-mos se capitalizan anualmente?

Resolucin

I 645,12M = =

1 1 1 - 1 -

(1 + i)n (1 + 0,24)2

32

645,12 645,12M = =

1 1 - 0,65036 1 -

1,5376

645,12M =

0,34964

M = $ 1845,09

3.- Qu inters gener un capital de $ 1500 al cabo de 6 cuatrimestres, si la tasa deplaza era del 18% anual, con capitalizacin anual?

Resolucin

I = C [(1 + i)n - 1] = 1500 [1 + 0,18)2 - 1]I = 1500 [1,3924 - 1]I = 1500 [0,3924]I = $ 588,6

Tasa de Inters

Tasa Nominal (i)

En el mercado se fija una tasa anual (i) independientemente de que los perodos decapitalizacin sean ms corto que el ao; como por ejemplo, el semestre, el bimestre,etc.; ahora bien, la tasa anual (i) recibe el nombre de tasa nominal.

Tasas Proporcionales (i/m)

Dada una tasa anual (i) se llama tasa proporcional semestral, cuatrimestral, trimes-tral, etc., al cociente que se obtiene de dividir la tasa nominal anual (i) por la cantidadde semestres (2), cuatrimestres (3), trimestres (4), etc., que tiene el ao.

Ejemplo: Calcular la tasa proporcional semestral, cuatrimestral, trimestral, bimes-tral, mensual y diaria correspondiente a una tasa nominal anual del 36%.

0,24La tasa proporcional semestral ser = = 12

2

33

0,24La tasa proporcional cuatrimestral ser = = 0,08

3

0,24La tasa proporcional trimestral ser = = 0,06

4

0,24Las tasa proporcional bimestral ser = = 0,04

6

0,24La tasa proporcional mensual ser = = 0,02

12

0,24La tasa proporcional diaria ser = = 0,00066

360

Aplicacin de la Tasa Nominal y de las Tasas Proporcionales

Calcular los montos que produce un capital de $ 1000 colocado a inters compuestoa una tasa del 24% anual para ser capitalizado anual, semestral y cuatrimestral duran-te un ao.

a.- Clculo del monto con capitalizacin anual

M = C (1 + i)n = 1000 (1 + 0,4)1 = 1000 x 1,24 = $ 1240

b.- Con capitalizacin semestral

i n x m 0,24 1 x 2M = C 1 + = 1000 1 + = 1000 x (1,12)2

m 2

= 100 x 1,2544 = $ 1254,4

c.- Con capitalizacin cuatrimestral

i n x m 0,24 1 x 3M = C 1 + = 1000 1 + = 1000 x (1,12)3

m 3

= 1000 x 1,259712 = $ 1259,7

34

Nota: Observe el lector que los montos generados por un mismo capital, son mayores, en lamedida que los intereses se capitalizan ms veces en el ao; as por ejemplo, losintereses producidos cuando la capitalizacin es anual ($ 240), son menores que losintereses producidos cuando la capitalizacin es semestral ($ 254,4), y estos, a suvez son menores que los intereses producidos, cuando la capitalizacin es cuatrimestral($ 259,7).

Tasa Efectiva (i')

Es el tanto por ciento que, con capitalizacin anual, producir los mismos interesesal ao que las tasas proporcionales.

La frmula que permite calcular la tasa efectiva dada la tasa nominal, es:

i n x mi' = 1 + - 1

m

As por ejemplo si se desea determinar la tasa efectiva anual que iguale el monto ($1240) producido cuando los intereses se capitalizan anualmente, con el monto ($ 1254,00)producido cuando los intereses se capitalizan semestralmente, se proceder de lasiguiente manera:

1.- Se determina la tasa efectiva

i n x mi' = 1 + - 1

m

0,24 1 x 2i' = 1 + - 1

2

i' = (1 + 0,12)2 - 1

i' = 0,2544

2.- Se comprueba

M = C (1 + i')n

M = 1000 (1 + 0,2544)1

M = 1000 x 1,2544

M = 1254,40

35

Tasa Equivalente (im)

Se denominan tasa equivalentes, las que correspondiendo a perodos de capitaliza-cin diferentes y aplicadas a capitales iguales, producen montos tambin iguales alcabo de un mismo tiempo.

La frmula que permite calcular la tasa equivalente (im), dada la tasa nominal anual

(i), es: m

im = (1 + i) - 1

As por ejemplo, si se desea determinar la tasa equivalente (im) que iguale el monto

($ 1254,40) producido cuando los intereses se capitalizan semestralmente, con el monto($ 1240) producido cuando los intereses se capitalizan anualmente, se procede de lasiguiente manera:

1.- Se determina la tasa equivalente m

im = (1 + i) - 1

2

im =

(1 + 0,24) - 1im = 1,1135 - 1

im = 0,1135

2.- Se comprueba

M = C (1 + im)n x m

M = 1000 (1 + 0,1135)1 x 2

M = 1000 (1,1135)2

M = 1000 x 1,2399

M = 1239,90

M = 1240

36

Relacin entre las Tasas Equivalentes y las Tasas Proporcionales

Las tasas proporcionales, cuando se trata de intereses simples, son a su vez tasasequivalentes; cuando los intereses son compuestos las tasas proporcionales son ma-yores que las tasas equivalentes.

Capitalizacin Contnua

Sabemos que la frmula del monto a inters compuesto, cuando la capitalizacin essubperidica, es:

i n x mM = C 1 +

m

Ahora bien, si la tasa (i) y el tiempo (n) permanecen constantes, el monto aumenta alcrecer el nmero m de perodos de capitalizacin que se realizan cada ao. Imaginandoque m aumenta indefinidamente, los perodos de capitalizacin tienden a una duracincero, es decir instantneos, y, en esta circunstancia se puede afirmar que el limitecuando m tiende a infinito en el mismo en que se producen intereses, estos se van aagregarse al capital para devengar nuevos intereses. Se dice en este caso que lacapitalizacin es contnua, o bien que la capitalizacin es compuesta instantnea.

La frmula que permite calcular el monto cuando la capitalizacin es continua, es:

M = C x en x i donde e = 2,71828

Aplicacin Prctica

1.- Calcular el monto de $ 1000 al 4% anual con capitalizacin contnua de susintereses al cabo de 7 aos.

Desarrollo

M = C x en x iM = 1000 x 2,718287 x 0,04M = 1000 x 2,718280,28

Aplicando logartmo a la igualdad anterior tenemos que:

log M = log 1000 x 0,28 x log 2,71828log M = 3 + 0,28 x 0,4342941log M = 3 + 0,1216023

37

M = antilogartmo [3,1216023]M = 1323,12

i n x mNota: Entre el monto con capitalizacin mensual discontnua M = C 1 +

my el monto con capitalizacin continua, las diferencias son pequeas, mien-tras el nmero de aos no sea muy grande; as por ejemplo si el ejercicioanterior se resuelve aplicando capitalizacin mensual discontnua tendre-mos:

i n x m 0,04 7 x 12M = C 1 + = 100 1 + = 1000 (1 + 0,0033)84 = 1322,5

m 12

Tasa Instantnea ()

Se llama tasa instantnea () a la tasa que aplicada a un capital, con el rgimen decapitalizacin continua, produce al cabo de un cierto tiempo un monto igual al obtenidomediante el empleo de la frmula del monto con capitalizacin discontnua en el mismointervalo de tiempo, y cuya tasa efectiva sea (i').

La frmula que permite calcular la tasa instantnea es:

1 = x log (1 + i')

log e

39

Descuento Simple

Se llama descuento al precio o la cantidad de dinero que debe pagarse por disponerde un capital antes de su vencimiento, as por ejemplo, si se desea descontar undocumento de crdito antes de su vencimiento, veremos que el descuento que seefecta sobre el mismo es igual al inters que se cobra sobre el dinero que se anticipa.Ahora bien, cuando hablamos de documento, (pagar) debemos distinguir en el, dosvalores: El que lleva escrito en el mismo, llamado "Valor Nominal", exigible solo el dade su vencimiento, y el que el documento tiene en el momento que se descuenta,llamado "Valor Actual" o "Valor Real", por lo tanto el descuento es igual a la diferenciaentre el Valor Nominal de un documento y su valor Actual o Real, en el momento de sudescuento.

En smbolos:

Descuento = Valor Nominal - Valor Actual

D = V.N. - V.A.

La actualizacin puede ser con Descuento Simple o con Descuento Compuesto.

La actualizacin con Descuento Simple puede presentarse de dos maneras:

a.- Sobre el Valor Nominal de un documento, en cuyo caso estamos en presencia delDescuento Comercial, y

b.- Sobre el Valor Actual de un documento, en cuyo caso estamos en presencia delDescuento Matemtico o Racional.

Descuento Comercial (Dc)

Es el Inters Simple que se calcula sobre el Valor Nominal de un documento.

Frmula del Descuento Comercial

c x r x nSabemos que I = , pero como el Descuento Comercial es equivalente al

100 x u.t.Inters Simple y el Valor Nominal de un documento, es equivalente al Capital, resulta

que la frmula del Descuento es:

Unidad IIIUnidad IIIUnidad IIIUnidad IIIUnidad III

40

VN x r x nDc =

100 x u.t.

Frmula que se deduce

a.- Frmula del Valor Nominal en funcin del Valor Actual

r x n VASi VA = VN 1 - entonces VN =

100 x u.t. r x n 1 -

100 x u.t.

Frmula del Valor Actual en funcin del Descuento

D x 100 x UTSabemos que VA = VN - D pero como VN =

r x n

D x 100 x u.t.entonces VA = - D sacando factor comn D en el 2 miembro de

r x n esta igualdad, tenemos que:

100 x u.t.VA = D - 1

r x n


a.- Frmula del Descuento Comercial en funcin del Valor Actual

100 x u.t. VASi VA = D - 1 entonces Dc =

r x n 100 x u.t. - 1

r x n

Frmula del Descuento Comercial con tanto por uno (i)

rRecuerde que i = y, que si las variables Tiempo y Tasa estn expresadas como

100

41

cantidades homogneas entonces la unidad de Tiempo (u.t.) es igual a 1 (uno), por lotanto:

Dc = VN x i x n

Frmulas que se deducen:

a.- Frmula del Valor Nominal (VN)

VN x r x n Dc x 100 x u.t.Si Dc = entonces VN =

100 x u.t. r x n

b.- Frmula del Tanto por Ciento (r)

VN x r x n Dc x 100 x u.t.Si Dc = entonces r =

100 x u.t. VN x n

c.- Frmula del Tiempo (n)

VN x r x n Dc x 100 x u.t.Si Dc = entonces n =

100 x u.t. VN x r

Valor Actual

El Valor Actual de un documento se determina por diferencia entre el Valor Nominal yel Descuento, o sea:

VA = VN - D

Frmula del Valor Actual en funcin del Valor Nominal

VN x r x nSabemos que VA = VN - D pero como D =

100 x u.t.

VN x r x nentonces VA = VN - sacando factor comn VN en el 2 miembro de esta

100 x u.t. igualdad, tenemos que:

42

r x nVA = VN 1 -

100 u.t.

Formulas que se deducen

a.- Frmula del Valor Nominal (VN)

DcSi Dc = VN x i x n entonces VN =

i x n

b.- Frmula del Tanto por Uno (i)

DcSi Dc = VN x i x n entonces i =

VN x n

c.- Frmula del Tiempo (n)

DcSi Dc = VN x i x n entonces n =

VN x I


Sabemos que VA = VN - D pero como D = VN x i x n entonces VA = VN - VN x i x nsacando factor comn VN en 2 miembro de esta igualdad, tenemos:

VA = VN [1 - i x n]


a.- Frmula del Valor Nominal en funcin del Valor Actual

VASi VA = VN [1 - i x n] entonces VN =

[1 - i x n]

Frmula del Valor Actual en funcin del Descuento Comercial

DSabemos que VA = VN - D pero como VN =

i x n

43

Dentonces VA = - D Sacando factor comn D en 2 miembro de la igualdad.

i x n

1Tenemos VA = D - 1

i x n

Frmula que se deduce.

Frmula del Descuento Comercial en funcin del Valor Actual

1 VASi VA = D - 1 entonces D =

i x n 1 - 1

i x n

Descuento Matemtico (Dm)

Es el inters que se calcula sobre el valor actual de un documento.

El Descuento Matemtico o Racional, debera aplicarse en la prctica financiera,pero en la realidad no se utiliza.

La frmula del Descuento Matemtico, es:

VA x r x nDm =

100 x u.t.

Relacin entre el Descuento Comercial y el Descuento Matemtico

Sabemos que el Valor Nominal (VN) de un documento, es siempre mayor que suvalor actual (VA), salvo en el momento de su vencimiento, en que ambos son iguales,pero como descontar un documento en el momento de su vencimiento no tiene sentido,entonces siempre el Valor Nominal es mayor que su Valor Actual, por lo tanto el Des-cuento Comercial es mayor que el Descuento Matemtico, o sea:

Dc > Dm o VN x i x > VA x i x n

Ahora bien, como en la prctica, el que se utiliza es el Descuento Comercial y no elDescuento Matemtico y, como aquel es mayor que este, para obtener idnticos resul-

44

tados, se utiliza en el clculo del Descuento Comercial una Tasa Especial, llamadaTasa de Descuento (d), que reemplaza a la Tasa de Inters (i), y que iguala el Descuen-to Comercial con el Descuento Matemtico.

Por todo lo dicho, se deduce que, para mantener la igualdad Dc = Dm o VN x d x n =VA x i x n necesariamente la Tasa de Inters (i) debe ser mayor que la Tasa de Des-cuento, por lo tanto:

d < i

Demostracin: Supongamos que se desea determinar el monto que produce uncapital de $ 100 a una Tasa de Inters (i) = 0,10, cuando n = 1.

Desarrollo

I = C x i x n = 100 x 0,10 x 1 = $ 10M = C + I = $ 100 + $ 100 = $ 110

Ahora bien, si suponemos que monto es igual al Valor Nominal de un Documento yque el Inters igual al Descuento y como:

DD = VN x d x n entonces d =

VN x n

10Por lo tanto d = = 0,099, de donde queda demostrado que d < i (0,099 < 0,10).

110

Clculo de la Tasa de Descuento conocida la Tasa de Inters

La frmula que permite calcular la Tasa de Inters (i) conocida la Tasa de Descuento(d) es:

di =

1 - d x n

Nota: En el mercado financiero, la Tasa de Descuento es llamada Tasa de Intersadelantada, mientras que la Tasa de Inters (i) es llamada Tasa de Intersvencida.

45

Frmula del Descuento Comercial con Tasa de Descuento

Reemplazando la Tasa de Inters (i) por la Tasa de Descuento (d), la frmula delDescuento Comercial quedar expresada de la siguiente manera:

Dc = VN x d x n


a.- Frmula del Valor Nominal

DcSi Dc = VN x d x n entonces VN =

d x n

b.- Frmula de la Tasa de Descuento

DcSi Dc = VN x d x n entonces d =

VN x n

c.- Frmula del Tiempo

DcSi Dc = VN x d x n entonces n =

VN x d


Sabemos que VA = VN - D pero como D = VN x d x n

entonces: VA = VN - VN x d x n Sacando factor comn VN en 2 miembro de la igual-dad, se tiene que:

VA = VN [1 - d x n]

Frmula que se deduce:

Frmula del Valor Nominal en funcin del Valor Actual

VASi VA = VN [1 - d x n] entonces VN =

1 - d x n

46

Frmula del Valor Actual en funcin del Descuento Comercial

DSabemos que VA = VN - D pero como VN =

d x nD

entonces VA = - D sacando factor comn D en el 2 miembro de esta d x n

1igualdad se tiene que VA = D - 1

d x n

Frmula que se deduce:

Frmula del Descuento Comercial en Funcin del Valor Actual

1 VASi VA = D - 1 entonces D =

d x n 1 - 1

d x n

Aplicacin prctica de las frmulas vistas

1.- Una empresa desea descontar un documento de Valor Nominal $ 1000,90 dasantes de su vencimiento, a una Tasa de Descuento del 18% anual. Se deseasaber:

a.- Qu descuento efectu el Banco?b.- Cunto dinero obtuvo la Empresa?c.- Si la operacin de hubiese calculado mediante descuento matemtico cul

debera haber sido la Tasa de Inters expresada en aos?

DesarrolloClculos

a.- Dc = VN x d x n 90 das = 3 mesesDc = 1000 x 0,015 x 3 18% anual implica 1,5% mensualDc = $ 45

Rta.: El Banco efectu un descuento de $ 45.

b.- VA = VN - DVA = 1000 - 45VA = $ 955

47

o

VA = VN [1 - d x n]VA = 1000 [1 - 0,015 x 3]VA = 1000 [1 - 0,045]VA = 1000 [0,9550]VA = 955

1VA = D - 1

d x n

1VA = 45 - 1

0,015 x 3

1VA = 45 - 1

0,045

VA = 45 [22,22 - 1]

VA = 45 x 21,222

VA = 954,99

Rta: La Empresa recibi $ 955

dc.- i =

1 - d x n

0,015i = 1 - 0,015 x 3

0,015i = 1 - 0,0450

0,015i = 0,9550

i = 0,0157 mensual

48

i (anual) = 0,0157 x 12

i (anual) = 0,1884

Rta.: La Tasa de Inters debera haber sido del 18,84% anual.

ComprobacinClculos

Dm = VA x i x n 90 das = 3 mesesDm = 955 x 0,0157 x 3 18,84% anual implica 1,57 mensualDm = 44,9805

Luego: Dc = Dm

- Determinar la Tasa de Descuento (d) correspondiente a una Tasa de Inters del36% anual, para un plazo de 180 das.

id =

1 + i x n

0,36d =

1801 + 0,36 x

365

d = 0,3063 anual

Vencimiento Comn y Vencimiento Medio

En la prctica comercial es comn el reemplazo de varios documentos, por uno solo,o bien sustituir un documento por varios otros; dichas operaciones dan origen a distin-tos problemas, que se conocen en financiera con el nombre de vencimiento comn yvencimiento medio.

Las operaciones de vencimiento comn y vencimiento medio se rigen por un princi-pio de equidad que dice que el valor efectivo de los documentos que se reemplazanentre si deben ser iguales; ahora bien, si la suma de los valores nominales de losdocumentos a reemplazar es distinto del valor nominal del documento nico, estamosen presencia del vencimiento comn, pero si la suma de los valores nominales de losdocumentos a reemplazar es igual al valor del documento nico, estamos en presenciadel vencimiento medio.

49

En el vencimiento comn pueden presentarse dos tipos de problemas:

a.- Determinar el Valor Nominal del documento nico, yb.- Determinar la fecha de vencimiento de la nueva obligacin.

En el vencimiento medio se presenta un slo problema: la determinacin de la fechadel vencimiento del nuevo vencimiento.

Problemas de vencimiento Comn y su resolucin

I.- Un comerciante entreg en parte de pago tres documentos: uno de $ 1000 a 30das, otro de $ 500 a 60 das y un 3 de $ 1500 a 90 das. Si desea entregar en sureemplazo un pagar con vencimiento a los 45 das de la fecha y a una tasa del18% anual Cul ser el Valor Nominal de la nueva obligacin?

Solucin:

1 Paso: Se determina el descuento de cada uno de los documentos a reempla-zar:

D1 = VN1 x d x n1D1 = 1000 x 0,015 x 1D1 = 15

D2 = VN2 x d x n2D2 = 500 x 0,015 x 2D2 = 15

D3 = VN3 x d x n3D3 = 1500 x 0,015 x 3D3 = $ 67,5

2 Paso: Se determina el Valor Actual de cada uno de los documentos a reem-plazar:

VA1 = VN1 - D1VA1 = 1000 - 15VA1 = 985

VA2 = VN2 - D2VA 2 = 500 - 15VA2 = $ 485

VA3 = VN3 - D3VA3 = 1500 - 67,5VA3 = 1432,5

50

3 Paso: Se determina el Valor Actual del nuevo documento (recuerde el princi-pio de equidad).

VA (nuevo documento) = VA1 + VA2 + VA3= 985 + 4585 + 143,5

VA (nuevo documento) = 2902,5

4 Paso: Se determina el Valor Nominal del nuevo documento.

VAVN =

1 - d x n

2902VN =

1 - 0,015 x 1,5

2902VN =

1 - 0,0225

2902VN =

0,9775

VN = 2968,798

Rta: El Valor Nominal del nuevo documento ser de $ 2968,798

II.- Por una compra realizada entregamos en parte de pago dos documentos: uno de$ 2000 a 30 das y otro de $ 700 a 60 das. Si deseamos entregar en su reempla-zo un pagar de Valor Nominal $ 2.832, a una tasa del 36% anual. Cul ser lafecha de vencimiento de la nueva operacin?

Solucin:

1 Paso: Se determina el descuento de cada uno de los documentos a reempla-zar:

D1 = VN1 x d x n1D1 = 2000 x 0,01 x 1D1 = $ 20

D2 = VN2 x d x n2D2 = 700 x 0,01 x 2D2 = $ 14

51

2 Paso: Se determina el Valor Actual de cada uno de los documentos a reem-plazar:

VA1 = VN1 - D1VA1 = 2000 - 20VA1 = 1980

VA2 = VN2 - D2VA2 = 700 - 14VA2 = 686

3 Paso: Se determina el Valor Actual de Nuevo Documento:

Se determina el Valor Actual del nuevo documento

Valor Actual = VA1 + VA2

Nuevo Documento = 1980 + 686Valor Actual Nuevo Documento = 2.666

4 Paso: Se determina el Descuento del nuevo documento:

D = VN - VAD = 2831 - 2666D = $ 165

5 Paso: Se determina la fecha de vencimiento del nuevo documento:

Dn =

VN x d

165n =

2831 x 0,001

165n =

2,831

n = 58 das

Rta.: La fecha de vencimiento del nuevo documento es 58 das.

52

Problemas de Vencimiento Medio

1.- Una persona tiene tres pagars al 24% anual de $ 700, $ 300 y $ 2100, quevencen respectivamente, a os 30, 90 y 120 das. Si se ha convenido en sustituir-los por un documento nico cuyo valor nominal sea la suma de los dados. Culser la fecha del vencimiento medio?

Solucin:

1 Paso: Se determina el descuento de cada uno de los documentos a reem-plazar, para as determinar el descuento del nuevo documento:

D1 = VN1 x d x n1D1 = 700 x 0,02 x 1D1 = $ 14

D2 = VN 2 x d x n2D2 = 1300 x 0,02 x 3D2 = $ 78

D3 = VN3 x d x n3D3 = 2100 x 0,02 x 4D3 = $ 168

Luego Descuento = D1 + D2 + D3Nuevo Descuento = 14 + 78 + 168Descuento = $ 260

2 Paso: Se determina el Valor Nominal del Nuevo Documento:

Valor Nominal = VN1 + VN2 + VN3Nuevo Documento = 700 + 1300 + 2100VN = $ 4100

3 Paso: Se determina la fecha de vencimiento del Nuevo Documento:

Dn = Clculo

VN x d Si R = 24% anual implicaR = 0,066% diario

260n =

4100 x 0,00066

n = 96 das

53

Descuento Compuesto

En el Descuento Completo, al igual que en el Descuento Simple, existen dos tipos dedescuentos:

I.- Descuento Matemtico: es el que calcula los intereses compuestos sobre elvalor actual de un documento (Pagar).

II.- Descuento Comercial: es el que calcula los intereses compuestos sobre el ValorNominal de un documento (Pagar).

I.- Descuento Matemtico

- Frmula que se aplican cuando m = 1 (es decir cuando los intereses capitalizancada 365 das), para calcular.

a.- Valor Nominal en funcin del Valor Actual:

VN = VA (1 + i)n

b.- Valor Actual en funcin del Valor Nominal:

VNVA =

(1 + i)n

c.- Descuento en funcin del Valor:

VNVA =

(1 + i)n

d.- Valor Actual en funcin del descuento:

DVA =

(1 + i)n - 1

e.- Descuento en funcin del Valor Nominal:

D = VN [1 - 1/(1 + i)n]

Unidad IVUnidad IVUnidad IVUnidad IVUnidad IV

54

f.- Valor Nominal en funcin del descuento:

DVN =

11 -

(1 + i)n

Para aplicar las frmulas precedentes i debe ser reemplazada por la tasa nominalanual de inters expresada en tanto por uno, y n debe ser reemplazada por eltiempo dado, expresado en ao.

- Frmula que se aplican cuando m > 1 (es decir cuando los intereses capitalizan entiempos menores a los 365 das), para calcular:

a.- Valor Nominal en funcin del Valor Actual:

VN = VA (1 + i/m)n x m

b.- Valor Actual en funcin del Valor Nominal:

VNVA =

(1 + i/m)n x m

c.- Descuento en funcin del Valor Actual:

D = VA [(1 + i/m)n x m - 1]

d.- Valor Actual en funcin del descuento:

DVA =

[(1 + i/m)n x m - 1]

e.- Descuento en funcin del Valor Nominal:

D = VN [1 - 1/(1+ i/m)n x m]

f.- Valor Nominal en funcin del Descuento:

DVN =

1 - 1 / (1 + i/m)n x m

55

Para aplicar las frmulas precedentes, i/m debe ser reemplazado por cocienteentre la tasa nominal anual de intereses expresada en tanto por uno y m (que seobtiene de dividir 365 entre el tiempo expresado en das que deben transcurrirpara que se capitalicen los intereses), mientras que n deber ser reemplazada porel tiempo dado, expresado en ao.

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva anual de intereses dada laT.N.A. de intereses:

TEAInt = [1 + TNAInt/m]m - 1

- Frmula que se aplica para calcular la tasa nominal anual de intereses, dada latasa efectiva anual de intereses:

365TNAInt = [ 1 + TEAInt - 1]m

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva diaria, dada la tasa efectivaanual de intereses:

m

TEDInt = [ 1 + TEAInt - 1]

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva anual de intereses, dada latasa efectiva diaria de intereses:

TEAInt = (1 + TED)365 - 1

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva mensual de intereses, dada latasa efectiva anual de intereses:

12,166TEMInt = [ 1 + TEAInt - 1]

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva anual de intereses, dada latasa efectiva mensual de intereses:

TEAInt = (1 + TEMInt)12,166 - 1

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva diaria de intereses, dada latasa efectiva mensual de intereses:

30TEDInt = [ 1 + TEMInt - 1]

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva mensual de intereses, dada latasa efectiva diaria de intereses:

TEMInt = (1 + TEDInt)30 - 1

56

II.- Descuento Comercial

- Frmulas que se aplican cuando m = 1 (es decir cuando los intereses capitalizancada 365 das), para calcular:

a.- Valor actual en funcin del Valor Nominal

VA = VN (1 - d)n

b.- Valor Nominal en funcin del Valor Actual

VAVN =

(1 - d)n

c.- Descuento en funcin del Valor Nominal

D = VN [1 - (1 - d)n]

d.- Valor Nominal en funcin del Descuento

DVN =

1 - (1 - d)n

e.- Descuento en funcin del Valor Actual

1D = VA - 1

(1 - d)n

f.- Valor Actual en funcin del Descuento

DVA =

1- 1

(1 - d)n

Para aplicar las frmulas precedentes d debe ser reemplazada por la tasa nominalanual de descuento expresada en tanto por uno, y n debe ser reemplazada por eltiempo dado, expresado en ao.

- Frmulas que se aplican cuando m > 1 (es decir cuando los intereses capitalizanen tiempos menores a los 365 das), para calcular:

57

a.- Valor Actual en funcin del Valor Nominal.

VA = VN (1 - d/m)n x m

b.- Valor Nominal en funcin del Valor Actual.

VAVN =

(1 - d/m)n x m

c.- Descuento en funcin del Valor Nominal.

D = VN [1 - (1 - d/m)n x m]

d.- Valor Nominal en funcin del Descuento.

DVN =

1 - (1 - d/m)n x m

e.- Descuento en funcin del Valor Actual.

1D = VA - 1

d n x m 1 -

m

f.- Valor Actual en funcin del Descuento.

DVA =

1- 1

d n x m 1 -

m

Para las frmulas precedentes, d/m debe ser reemplazada pro el cociente entre latasa nominal de descuento expresada en tanto por uno y m (que se obtiene dedividir 365 entre el tiempo expresado en das que deben transcurrir para que secapitalicen los intereses), mientras que n debe ser reemplazada por el tiempodado, expresado en ao.

58

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva anual de descuento, dada latasa nominal anual de descuento:

TEADesc =1 - (1 - TNADesc/m)m

- Frmula que se aplica para calcular la tasa nominal anual de descuento, dada latasa efectiva anual de descuento:

m

TNADesc = [1 - 1 - TEADesc]m

- Frmula que se aplica para calcular la tasa de efectiva diaria de descuento, dada latasa efectiva anual de descuento:

365TEDDesc = 1 - 1 - TEADesc

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva anual de descuento, dada latasa efectiva diaria de descuento:

TEADesc = 1 - (1 - TEDDesc)365

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva mensual de descuento, dada latasa efectiva anual de descuento:

12,166TEMDesc = 1 - 1 - TEADesc

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva anual de descuento, dada latasa efectiva mensual de descuento:

TEADesc = 1 - (1 - TEMDesc)12,166

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva diaria de descuento, dada latasa efectiva mensual de descuento:

30TEDDesc = 1 - (1 - TEMDesc)

- Frmula que se aplica para calcular la tasa efectiva mensual de descuento, dada latasa efectiva diaria de descuento:

TEMDesc = 1 - (1 - TEDDesc)30

Relacin entre la tasa de inters y la tasa de descuento

- Frmula que se aplica cuando m = 1, es decir cuando los intereses capitalizancada 365 das, para calcular:

59

a.- Tasa nominal anual de descuento, dada la tasa nominal anual de descuento:

id = 1 + i

b.- Tasa nominal anual de inters, dada la tasa nominal anual de descuento:

di = 1 - d

- Frmulas que se aplican cuando m > 1 (es decir cuando los intereses capitalizanen tiempos menores a los 365 das), para calcular:

a.- Tasa nominal de descuento, dada la tasa nominal anual de intereses:

(i/m)d = m

1 + (i/m)

b.- Tasa nominal anual de intereses, dada la tasa nominal de descuento:

(d/m)i = m 1 - (d/m)

Para aplicar las frmulas precedentes, m debe ser reemplazado por el cocienteentre 365 y el tiempo expresado en das, que debe transcurrir para que los intere-ses se capitalicen.

61

Rentas

Toda sucesin de capitales financieros en matemtica financiera, recibe el nombrede renta. As, por ejemplo, constituyen una renta las siguientes sucesiones financierasde capitales:

- Una serie de depsitos de sumas de dinero con el objetivo de formar un determina-do capital dentro de un cierto tiempo (una caja de ahorro).

- Una serie de pagos de sumas de dinero que permiten cancelar una deuda contrada(prstamo).

Clasificacin de las Rentas

Las rentas se clasifican en funcin de determinadas caractersticas:

Cuotas de las Rentas

Cada uno de los trminos que integran las sucesiones de capitales financieros,recibe el nombre de cuota. As, los pagos que se efectan peridicamente para cance-lar una deuda se llaman "cuotas"; tambin se denominan "cuotas" a los depsitosperidicos que se hacen para formar un capital.

Las Cuotas se clasifican en funcin de determinadas caractersticas:

Siguiendo el rgimen del inters simple.1.- En funcin de su valuacin

Siguiendo el rgimen del inters compuesto.

Temporaria: Duracin limitada. Tiene un nmero fijo deperodos.

Perpetua: Duracin ilimitada. Considera al nmero de pe-rodos tendiendo al infinito.

Cierta: Cuando su duracin no depende de un aconteci-miento aleatorio como ser: prstamos, compras a plazo,etc.

Incierta: Cuando su duracin depende de algn aconteci-miento aleatorio como ser: un Seguro de Vida.

1.- En funcin de la dura-cin:

2.- En funcin de su con-dicionamiento:

Unidad VUnidad VUnidad VUnidad VUnidad V

62

Vencidas: Cuando se abonan al final de cada perodo.2.- En funcin al momento de

su vencimiento Adelantadas: Cuando se abonan al principio de cada perodo.

Constantes: Cuando todas son del mismo importe.3.- En funcin a su magnitud

Variables: Cuando difieren entre s.

Valuacin de la Renta

Todas las cuotas que se depositaron o se abonaron peridicamente y que forman lasucesin de capitales financieros se evalan en algn momento de tiempo, el cualdepende del objetivo que se persiga con esas rentas. Por tal motivo, la valuacin de lascuotas puede:

- Coincidir con el momento inicial de la renta, en cuyo caso la renta se llama inme-diata.

- Ser anterior al momento de iniciacin de los pagos o depsitos, en cuyo caso larenta se llama anticipada.

- Ser posterior al momento de iniciacin de los pagos o depsitos en cuyo caso larenta se llama anticipada.

En este curso estudiaremos las Rentas Ciertas, a Inters Compuesto y de CuotasConstantes. Dentro de ellas estudiaremos las Rentas Temporarias Inmediatas yAnticipadas, con Pagos o Depsitos que se realicen al Final de cada Perodo(Vencidas) o bien el Principio de cada Perodo (Adelantadas).

Rentas Inmediatas

De acuerdo con las definiciones dadas al efectuar la clasificacin de rentas, sedenomina renta inmediata a toda sucesin financiera de capitales cuya valuacin serealiza al inicio de los pagos o depsitos que forman la renta; ello significa que elmomento de valuacin de las cuotas, coincide con el momento en que comienzan losmencionados pagos o depsitos.

Obviamente, si los pagos son vencidos, entonces el primero de ellos se realiza alfinalizar el primer perodo. Los casos tpicos que se presentan al estudiar las rentasinmediatas, son los que, en general, se refieren a los prstamos; por esta razn, larenta inmediata suele llamarse tambin amortizacin, en sentido financiero, implica elprocedimiento que permite extinguir una deuda.

Para aclarar estos conceptos plantearemos ejemplos que se refieren a qu cantida-des de dinero puede obtenerse en prstamos si para sus cancelaciones se restituyen

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en cuotas mensuales iguales y consecutivas, que contienen un determinado intersmensual, y posteriormente expresaremos las frmulas que permitirn sus resolucio-nes.

Renta Inmediata Vencida

Ejemplo N 1

Calcular el valor del prstamo que puede tomarse sabiendo que se saldar el mismoen cinco mensualidades vencidas de $ 1000, a una tasa nominal anual de inters del24% capitalizable mensualmente.

Frmula a aplicar:

C [(1 + i)n -1]VARTIV =

i x (1 + i)n

VARTIV = Valor Actual Renta Temporaria Inmediata VencidaDonde C = Cuota

i = Tasa de Intersn = Tiempo

Resolucin:

1000 x [(1 + 0,02)5 - 1]VARTIV = = 4713,76

0,02 X (1 + 0,02)5

Ejemplo N 2

Supongamos el caso en el cual una persona desea saber cunto deber pagar a finde cada mes a una tasa de inters del 48% anual capitalizable mensualmente, paracancelar en seis cuotas mensuales, un prstamo de $ 3000.

Frmula a aplicar:

VARTIV x i x (1 + i)nC =

(1 + i)n - 1

VARTIV = Valor Actual Renta Temporaria Inmediata VencidaDonde C = Cuota

i = Tasa de Intersn = Cantidad de Cuotas.

64

Resolucin:

3000 x 0,04 x (1 + 0,04)6C = = 572,18

(1 + 0,04)6 - 1

Renta Inmediata Adelantada (Amortizacin Adelantada)

La renta inmediata adelantada o amortizacin adelantada es aquella en la cual lospagos de las cuotas se efectan al inicio de cada perodo considerado.

Ejemplo N 3

Supongamos el mismo caso planteado en el ejemplo N 1 de las rentas inmediatasvencidas, con la variante de que los depsitos se efectan al principio de cada mes.

Frmula a aplicar:

C (1 + i) [(1 + i)n - 1]VARTIA =

i (1 + i)n

VARTIA = Valor Actual Renta Temporaria Inmediata AdelantadaDonde C = Cuota

i = Tasa de Intersn = Cantidad de Cuotas

Resolucin:

1000 (1 + 0,02) [(1 + 0,02)5 - 1]VARTIA = = 4808

0,02 (1 + 0,02)5

Ejemplo N 4

Supongamos el mismo caso planteado en el ejemplo N 2 de las rentas inmediatasvencidas, con la variante de que lo que se desea saber es cunto se deber pagar elprincipio de cada mes para cancelar el mismo capital de prstamo, a la misma tasa deinters y al mismo tiempo.

Frmula a aplicar:

VARTIA x i (1 + i)nC =

(1 + i) [(1 + i)n - 1]

65

VARTIV = Valor Actual Temporaria Inmediata AdelantadaC = Cuota

Dondei = Tasa de Intersn = Cantidades de Cuotas

Resolucin:

3000 x 0,04 (1 + 0,04)6C = = 550,19

(1 + 0,04) [(1 + 0,04)6 - 1]

Rentas Anticipadas

Dado que, por definicin, son aquellas que tienen su pagos o depsitos (cuotas)dispuestos antes de su valuacin, se comprende fcilmente que la valuacin de larenta anticipada puede hacerse segn el caso en cualquiera de los siguientes momen-tos:

- Justo a finalizar la serie de pagos o depsitos.- Con posterioridad a la finalizacin de esos pagos o depsitos.- Antes de que finalice la serie de pagos o depsitos.

El primero de los tres momentos anteriores recibe el nombre de Imposiciones, el queser objeto de estudio de este curso.

Imposiciones: Valor Final de una Renta

Se denomina Imposiciones a toda sucesin de capitales financieros cuya valuacinse efecte al finalizar la mencionada sucesin.

Las cuotas o depsitos peridicos pueden afectarse al finalizar o al comenzar cadaperodo por el cual ganan intereses. En el primer caso, cuando los depsitos se efec-tan al finalizar el perodo, la imposicin es "vencida", en cambio, en el segundo casose dice que la imposicin es "adelantada".

Recuerde que: "calcular el valor de una imposicin significa determinar el valor finalde una renta".

66

Imposiciones Vencidas

Ejemplo N 1

Supongamos el caso en el cual una persona con el objeto de formar un determinadocapital deposita durante seis meses, cada fin de mes, la suma de $ 500 a una tasa deinters del 36% anual capitalizable mensualmente y se desea calcular el importe queretirar al vencimiento de dicho plazo.

Frmula a aplicar:

C [(1 + i)n - 1]VFIV =

i

VFIV= Valor Final Imposicin Vencida.C = Cuota

Dondei = Tasa de Inters.n = Cantidad de Cuotas

Resolucin:

500 [1 + 0,03)6 - 1]VFIV = = 3234,20

0,03

Ejemplo N 2

Supongamos el caso en el cual una persona desea saber cuanto deber depositar alfinal de cada mes a una tasa de inters del 18% anual capitalizable mensualmente,para obtener, despus de doce meses un capital de $ 12000.

Frmula a aplicar:

VFIV x iC =

(1 + i)n - 1

VFIV= Valor Final Imposicin VencidaC = Cuota

Dondei = Tasa de Intersn = Cantidades de Cuotas

67

Resolucin:

12000 x 0,015C = = 920,24

(1 + 0,015)12 - 1

Imposiciones Adelantadas

Ejemplo N 3

Suponga el mismo caso planteado en el ejemplo N 1 de las imposiciones vencidascon la variante de que los depsitos mensuales se efectan al principio de cada mes.

Frmula a aplicar:

C x (1 + i) [(1 + i)n -1]VFIA =

i

VFIA = Valor Final Imposicin AdelantadaC = Cuota

Dondei = Tasa de Intersn = Cantidad de Cuotas

Resolucin:

500 (1 + 0,03) [(1 + 0,03)6 - 1]VFIA = = 3331,23

0,03

Ejemplo N 4

Supongamos el mismo caso planteado en el ejemplo N 2 de las Imposiciones venci-das con la variante de que lo que se desea saber es cunto se deber depositar alprincipio de cada mes para obtener el mismo capital a la misma tasa de inters y en elmismo tiempo.

Frmula a aplicar:

VFIA x iC =

(1 + i) [(1 + i)n - 1]

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VFIA = Valor Final Imposicin AdelantadaC = Cuota

Dondei = Tasa de Intersn = Cantidad de Cuotas

Resolucin:

12000 x 0,015C = = 906,8

(1 + 0,015) [(1 + 0,015)12 - 1]

Sistema para amortizar prstamos

En este mdulo, usted podr comparar las diferentes formas en que se amortizan ocancelan los prstamos financieros, cuyo reintegro incluye ms de un pago.

Los sistemas de amortizacin de deudas ms usuales son los siguientes:

a.- Intereses directos.b.- Amortizaciones progresivas o sistema francs.c.- Amortizacin por cuotas de capitales constantes o sistemas alemn.

a.- Intereses Directos

Todos sabemos que en nuestro pas es muy frecuente y usual la utilizacin de untipo de inters calculado sobre el total de la deuda, antes que se determine el valor decada una de las cuotas que saldan esa deuda.

De acuerdo con este procedimiento, el inters que realmente paga el deudor por elprstamo obtenido es sensiblemente ms elevado que el inters que se paga si seaplica el sistema de amortizacin progresiva. En efecto, mientras que en el intersdirecto el total de intereses se calcula previamente a la determinacin del valor de lacuota y sobre la totalidad de la suma obtenida en prstamo, en el sistema francs oprogresivo el inters se calcula sobre el saldo de la deuda. Como podr observarse, elsistema ms justo y, por lo tanto, el que debera utilizarse siempre tendra que ser elprogresivo, puesto que el inters que abona el deudor se calcular siempre sobre laparte de la deuda no cancelada; en cambio, en el inters directo el clculo de interesesse efectuar siempre antes de comenzar a cancelar y, por consiguiente, se calcularsobre el total de la deuda, con lo cual resulta que al principio del segundo perodo seestara pagando intereses por una parte de la deuda que ya se cancel en el primerperodo, y as sucesivamente hasta llegar al final de los pagos.

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A continuacin desarrollaremos un ejemplo que consistir en la determinacin de lacuota mensual que salda un prstamo de $ 20.000 en 5 meses a una tasa de inters del5% mensual, utilizando el sistema de inters directo.

Para la solucin del presente problema, deben efectuarse dos pasos sucesivos asaber.

Primer Paso: Clculo de los intereses totales:

Considerando que el inters se calcula de antemano y sobre el importe total de ladeuda, resultar que el inters (simple) total estar dado por la aplicacin de la tasa deinters sobre el total de la deuda tantas veces como cuotas haya, es decir como:

C = CapitalI = C x i x n Donde i = Tasa de inters

n = Cantidades de Cuotas

Entonces I = 20.000 x 0,05 x 5 = 5.000

Segundo Paso: Clculo de la cuota mensual:

La cuota mensual estar dada por el prorrateo en 5 meses del valor de la deuda consus respectivos intereses, es decir:

Deuda + InteresesCuota Mensual =

Cantidad de meses

20.000 + 5.000Cuota Mensual = = 5.000

5

b.- Amortizaciones Progresivas o Sistema Francs

Es un sistema de prstamo muy utilizado en la prctica, que consiste en abonarcuotas peridicas, iguales y consecutivas durante los n perodos previstos para laamortizacin o cancelacin. El porcentual de inters que se abona, se calcula siempresobre el saldo de la deuda.

La Cuota Peridica: Por definicin de este sistema, la cuota que salda el prstamo esuna cantidad de dinero constante. Es interesante conocer que elementos constituyenesa cuota general y ellos son:

Cuota General: Parte que Amortiza Deuda Original + Parte que Amortiza Intereses

Obviamente, dado que, la cuota general es constante, por ser la caracterstica prin-cipal de este sistema y la parte que amortiza intereses, que est incluida en la cuota

70

general, es decreciente, porque este es un sistema de inters sobre saldos, debido aque ellos se calculan sobre la porcin de la deuda an no pagada, entonces la parte dela cuota general que amortiza la deuda original ser, necesariamente creciente.

La forma de clculo de este sistema responde a los conceptos estudiados en lasrentas temporarias inmediatas, por esta razn, es que tambin se llaman amortizacio-nes.

Ejemplo: Calcular cual es el valor de la cuota que amortiza un prstamo de $ 10.000,a una tasa de inters mensual del 2% en cinco perodos:

i (1 + i)nC = VARTIV x

(1 + i)n - 1

VARTIV = Valor Actual Renta Temporaria VencidaDonde i = Tasa de Intereses

n = Cantidad de Cuotas

10.000 x 0,02 x (1 + 0,02)5C = = 2121,6

(1 + 0,02)5 - 1

Entonces, para poder saldar una deuda de $ 10.000, con cinco pagos mensuales venci-dos, a una tasa de inters mensual del 2%, el importe de cada pago debe ser de $ 2.121,6(que es un pago peridico y constante). Ahora bien, en funcin de este pago se puedeconstruir un cuadro de la amortizacin en cuestin en el siguiente esquema:

- En la columna 1 se anotar el nmero de perodos.- En la figura 2 figurar el valor de la deuda, el que est dado por la diferencia entre la

deuda original y el total amortizado al perodo anterior, o bien por la diferencia entrela deuda original y la suma de las amortizaciones reales hasta el perodo anterior.

- En la columna 3 se anotar el importe de la cuota, que es constante.- En la 4 los intereses de cada perodo, los cuales estarn dado por el producto

resultante de multiplicar la tasa de inters por el valor de la deuda al inicio delperodo respectivo.

- En la 5 figurarn las amortizaciones reales, cada una de las cuales estar dada porla diferencia entre el valor de la cuota y los intereses del perodo (expresados enfuncin de la deuda original).

- En la 6 figurar el total amortizado hasta el perodo en cuestin, el cual ser igual ala suma de las amortizaciones reales.

Entonces, de acuerdo a lo comentado, el cuadro de la marcha progresiva de lasamortizaciones del sistema francs para nuestro ejemplo; ser el siguiente:

71

Clculo de los elementos del cuadro de marcha de amortizacin real de unperodo dado

- Amortizacin real de un perodo

La amortizacin real de un perodo P es igual al monto a inters compuesto del fondoamortizante (primera amortizacin real), elevado a la P - 1 perodos, o sea:

Amortizacin real de un perodo dado (P) = Fondo Amortizante (1 + i)p - 1

Ejemplo: Calcular la amortizacin real del 3 perodo correspondiente a una deudade $ 10.000, que se saldan en 5 cuotas mensuales vencidas de $ 2121,58, a unatasa de inters del 2% mensual.

Para la solucin del presente problema, deben efectuarse dos pasos sucesivos:

Primer Paso: Se calcula el Fondo Amortizante (primera amortizacin real)

Fondo Amortizante = Cuota - Intereses s/deuda originalFondo Amortizante = 2121,58 - (10.000 x 0,02)

= 2121,58 - 200= 1.921,58

Segundo Paso: Se calcula la amortizacin real para el perodo solicitado (tercero).

Amortizacin Real 3 Perodo = Fondo Amortizante x (1 + i)3 - 1= 1.921 x (1 + 0,02)2= 1.921 x 1,0404= 1.999

Columnas

1

Perodo

12345

2

Deuda al iniciodel perodo

100008087,426118,414119,172079,98

3

CuotasConstantes

2121,582121,582121,582121,582121,58

4

Intereses del Perodosobre el Saldo

200161,57122,3482,39

41,6

5

AmortizacinReal del Perodo

1921,581960,011999,242039,192079,98

6

Total Amortizadohasta el perodo

1921,583881,595880,837920,02

10000

72

- Total amortizado hasta un perodo.

El total amortizado hasta un perodo dado (P) es igual a:

[(1 + i)P - 1]El total amortizado hasta el perodo P = Fondo Amortizante x

i

Ejemplo: Calcular cual es el total amortizado hasta el cuarto perodo de un prsta-mo de $ 10.000 que se salda en 5 cuotas mensuales vencidas de $ 2121,58 a unatasa de inters del 2% mensual.

Para la solucin del presente problema, deben efectuarse dos pasos sucesivos:

Primer Paso: se calcula el fondo amortizante:

Fondo Amortizante = Cuota - Inters s/deuda original.= 2.121,58 - (10.000 x 0,02)= 1.121,58 - 200= 1.921,58

Segundo Paso: se calcula el total Amortizado hasta el perodo dado.

[(1 + i)4 - 1]Total Amortizado hasta el 4 Perodo = Fondo Amortizante x

i

[(1 + i)4 - 1]= 1.921,58 x

0,02

= 1.921,58 x 4,1216= 7.920

- Saldo de la Deuda en un Perodo cualquiera

El saldo de la deuda al comenzar un perodo cualquiera es igual a la diferenciaentre el valor de la deuda original y el valor amortizado del perodo anterior.

Ejemplo: Cul es la deuda pendiente de pago al comenzar el 3 mes de amortiza-cin de un prstamo de $ 10.000, que se amortizar en 5 cuotas mensuales venci-das de $ 2.121,58, Amortizado una tasa de inters del 2% mensual.

Primer Paso: Se calcula el Fondo Amortizante.

73

Fondo Amortizante = Cuota - inters s/Deuda Original= 2.121,58 - (10.000 x 0,02)= 2.121,58 - 200= 1.921,58

Segundo Paso: Se calcula el total Amortizado del perodo anterior al solicitado.

(1 + 0,02)2 - 1Total Amortizado p/2 Perodo = 1921,58 x

0,02= 3881,59

Tercer Paso: Se calcula el saldo de la deuda para el perodo solicitado.

Saldo de la deuda al 3 Perodo = deuda Original - Total Amortizado al 2 Perodo = 10.000 - 3.881,59 = 6.118,41

c.- Sistema de Cuota Capital Constante o Alemn

Este sistema de amortizacin, al igual que el Sistema francs, se basa en el pagoperidico de cuotas, cada una de las cuales est compuesta por una parte que amortizala deuda original y por otra que amortiza los intereses, o sea:

Cuota Total = Cuota Capital + Cuota inters

Como la cuota capital es constante (es igual al cociente entre la deuda original y lacantidad de cuotas), y la cuota inters es decreciente (pues los intereses se calculansobre el saldo de la deuda), resulta que la cuota total es decreciente.

Ejemplo: Construir el Cuadro de Amortizacin de un prstamo de $10.000, que secancelar en 10 cuotas mensuales vencidas, Amortizado una tasa de inters del 5%mensual.

Para la construccin, del cuadro de la amortizacin del prstamo en cuestin, ten-dremos en cuenta las siguientes pautas:

- En la primera columna anotaremos el perodo que va de 1 a 10.- En la segunda columna anotaremos la deuda al inicio de cada perodo, que es igual

a la diferencia entre la deuda total y el total amortizado hasta el momento.- En la tercera columna anotaremos el importe de la amortizacin, que siendo cons-

tante, estar dado por el cociente entre la deuda original y el nmero de cuotas queamortizar la misma.

- En la cuarta columna se anotar el inters del perodo, que estar dado por elproducto de la tasa de inters y el saldo de la deuda a ese momento.

74

- En la quinta columna registraremos el importe de cada cuota. Dicho importe serigual a la suma de las columnas anteriores o sea que ser igual a la amortizacinreal ms los intereses del perodo correspondiente.

Perodo

123456789

10

Deuda al iniciodel perodo

10000900080007000600050004000300020001000

AmortizacinReal Constante

1000100010001000100010001000100010001000

Inters Simplesobre Saldo

50045040035030025020015010050

Cuota Generaldecreciente

1500145014001350130012501200115011001050

75

Imposiciones

Cuando definimos a las rentas, decimos que, es una sucesin de capitales, cuyospagos o vencimientos se producen a intervalos regulares de tiempo, con la finalidad decancelar deuda (Amortizacin) o formar un Capital (Imposicin).

Por lo tanto, se denomina imposicin, cuota o anualidad, al conjunto de capitales,que se abonan a intervalos regulares de tiempo, con el objeto de formar un capital.

Conceptos Bsicos

- CUOTA, IMPOSICION O ANUALIDAD: Cada uno de los pagos.- EPOCA INICIAL: Momento en el cul se efecta el 1er. pago.- EPOCA DE VALUACION: Momento en el cul se determina el valor de cada una de

las cuotas; en las Imposiciones esta poca coincide con el fin del ltimo perodo.- VALOR FINAL DE LA IMPOSICION: Es el valor referido al momento final de la

Imposicin, y que es igual a la suma de los valores que representan cada unas desus cuotas, a ese momento.

- LEY FINANCIERA DE LAS IMPOSICIONES: Es la ley que se adopta para determi-nar el valor actual o final de las imposiciones.

Clasificacin de las Imposiciones

a.- Segn el Rgimen de valuacin de la Imposicin- Por el Rgimen del Inters Simple.- Por el Rgimen del Inters Compuesto.

b.- Segn el Importe de la Cuota, Anualidad o Imposicin- Constantes: Cuando todos los pagos son i

Matematica Financiera

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