DESCUENTO SIMPLE

Descuento es la disminución que se concede a un pago o deuda por diferentes circunstancias. Entre las más frecuentes se tienen a las promociones, liquidaciones, etc.

Características de la operación

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tanto de interés vigente en dicho período.

En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de interés aplicado.

El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera.

Gráficamente:

Elementos:

D: Descuento o rebaja.

Cn: Valor final o nominal.

C0: Valor actual, inicial o efectivo.

i ó d: Tanto de la operación.

Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión:

D = Cn – C0

Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple:

D = Capital x Tipo x Tiempo

Y, según cuál sea el capital que se considere para el cómputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la práctica:

Descuento racional, matemático o lógico, y Descuento comercial o bancario.

En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C0) (que habrá de calcular), para lo cual será necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone.

Descuentos sucesivos

Una manera de calcular los descuentos efectuados sobre una cantidad es mediante el procedimiento de descuentos sucesivos, que consiste en aplicar a la cantidad original, los diferentes descuentos que se conceden, es decir:

Donde P es la cantidad original o precio de una mercancía, y t, t', t", t"' ... etc., los diferentes descuentos que se conceden.

Descuento bancario o comercial

El descuento bancario o comercial es el interés del valor nominal, y se determina mediante el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha de descuento a cierta tasa, valuada ésta sobre el valor nominal. Para entender claramente el concepto anterior, es conveniente encontrar la diferencia entre una tasa de interés y una tasa de descuento.

La diferencia entre una tasa de interés y una tasa de descuento, radica en el hecho de que la primera se define como el cociente de la cantidad de interés 'P' ganada durante el año entre el capital inicial o principal, mientras que una tasa de descuento es el cociente de la cantidad de interés (o descuento) ganada durante el año, dividida entre el monto al final del año. Al descuento bancario se le conoce también como interés pagado por adelantado.

Para encontrar la fórmula del descuento bancario, es necesario aplicar al capital nominal sobre el cual se concede el descuento, la tasa de descuento correspondiente, es decir:

Dc = S dtEl valor presente del capital nominal S, estará dado por la diferencia entre ese capital menos el descuento obtenido, es decir:

P = S – DcEn donde:

Dc = descuento bancario

s = valor nominal de descuento

d = tasa de descuento

t = tiempo

P = valor presente

Sustituyendo el valor de De tenemos

P = S – S dtPor tanto

P = S (1 – dt)Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 años a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operación.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):

100

C0 = ---------------- = 76,92 €

1 + 3 x 0,1

Dr = 100 – 76,92 = 23,08 €

o bien:

Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08 €

Caso 2:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30 €

C0 = 100 – 30 = 70 €

o bien:

C0 = 100 x (1 – 3 x 0,1) = 70 €

Descuento racional o justo

Tanto el descuento racional o justo como el descuento comercial son los procedimientos conocidos para calcular descuentos simples: aste descuento se calcula sobre el valor de un capital actual, a diferencia del comercial que se aplica al valor nominal. Siguiendo la analogía del descuento comercial, se tiene que el descuento racional es igual a:

Dr = S – Po bien

Dr = P i t

y el valor presente o actual, es igual al capital menos el descuento,

P = S – DrSustituyendo en la fórmula anterior el valor de Dr se tiene que:

P = S – Pit;

S = P + Pit

S=P (1+it)

Despejando a P se tendrá el valor presente (del descuento):

EJEMPLOS:

1.- A una máquina de escribir con valor de $20 000.00 se le aplicaron dos descuentos sucesivos de 3.5% y de 6%. ¿Cuál fue su precio final?

Por tanto, el precio final de la máquina de escribir fue de $18 142.00.

2.- El señor x compró un automóvil con valor de $57 000.00. Después que se le concedieron tres descuentos sucesivos del 2%, 4% y 6% respectivamente; ¿cuál fue el precio final?

Por tanto, el señor x pagó por el automóvil, $50 408.06.

3.- Un banco otorga el 8% de descuento. Si un cliente firma un documento por $2500.00 a cuatro meses, ¿qué cantidad le dará el banco?

Por tanto, la cantidad descontada es de $66.67. Para saber cuánto le dará el banco obtenemos el valor presente:

P = 2 500.00 - 66.67 = 2 433.33

Por tanto, el banco le dará $2 433.33.

4.- Un banco carga el 4.5% de interés por adelantado (descuento). Si un cuentahabiente firma un documento por $1000.00 a seis meses; ¿qué cantidad recibirá del banco?

Por tanto, la cantidad descontada es de $22.50. Para conocer cuánto recibirá, hay que encontrar el valor presente:

P = 1 000 – 22.50 = 977.50

5.- Determinar el valor actual y el descuento racional al 1o. de enero de un documento por $5 500.00 pagadero el 15 de febrero, suponiéndose una tasa de interés simple del 2% anual.

Por tanto, el valor presente o actual del pagaré es de $5 486.47.

El descuento racional asciende a:

Dr = S – P = 5 500.00 - 5 486.47 Dr = 13.53

6.- ¿Cuál es el descuento racional de $1 500.00 en tres meses, al 6% de interés simple anual?

Por tanto, el valor actual es de $1477.83.

El descuento racional es:

Dr = 1500.00 – 1 477.83

Dr = 22.17

INTERES COMPUESTO

Introducción a la formula

Al invertir un dinero o capital a una tasa de interés durante un cierto tiempo, nos devuelven ese capital más los beneficios o intereses, que ahora se llaman monto, cuando ha pasado el tiempo. Cuando la inversión es a interés compuesto, los intereses no se retiran y se acumulan al capital inicial para volver a generar intereses.

El interés compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga, al concluir cada periodo que sirve como base para su determinación, los intereses correspondientes. Así, provoca que los mismos intereses se conviertan en un capital adicional que a su vez producirá intereses (es decir, los intereses se capitalizan para producir más intereses).

Cuando el tiempo de la operación es superior al periodo al que se refiere la tasa, los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de interés compuesto y no de interés simple. En la práctica, en las operaciones a corto plazo, aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo de la operación y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversión se hace a interés simple.

La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta que los intereses no son entregados, entran a formar parte del capital y para los próximos periodos generarán, a su vez, intereses. Este fenómeno se conoce con el nombre de capitalización de intereses.

El interés compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga, al concluir cada periodo que sirve como base para su determinación, los intereses correspondientes. Así, provoca que los mismos intereses se conviertan en un capital adicional que a su vez producirá intereses (es decir, los intereses se capitalizan para producir más intereses).

Cuando el tiempo de la operación es superior al periodo al que se refiere la tasa, los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de interés compuesto y no de interés simple. En la práctica, en las operaciones a corto plazo, aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo de la operación y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversión se hace a interés simple.

Por eso, es importante determinar los plazos en que van a vencer los intereses para que se puedan especificar las capitalizaciones, y, en consecuencia, establecer el procedimiento para calcular los intereses (simple o compuesto).

Valor actual a interés compuesto

El valor presente de un monto es el capital que hay que invertir hoy a una tasa dada para producir el monto, después de varios periodos de capitalización.

Esto significa que el valor presente es el valor de la deuda en fecha presente o actual a de su vencimiento. Para determinar el valor presente utilizamos la formula siguiente:

Vp= M

(1+ i)t

Cálculo del valor presente a interés compuesto

1-Determine el valor presente de 75,000 que vencerán al final de 4 años con tasa de interés de 24% capitalizando interés cada cuatrimestre.

COMPARACIÓN ENTRE SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Por ser objetiva, la mejor forma de comparar los montos es dibujando las gráficas correspondientes a una misma tasa, para el interés simple y el compuesto. Sea por ejemplo la tasa del 20% y un capital de Q1000. Los montos son M = 1000 [1 + n(0,20)] para el interés simple y M = (1 + 0,20)n para el interés compuesto.

Función discreta

a = monto de Q1000 al interés simple del 20%

b = monto de Q1000 al interés compuesto del 20%

Función continúa

A línea recta M =1000 + n (1,20)

B función exponencial M = 1000(1,2)n

El monto a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfica corresponde a la de una función exponencial. Por su parte, el monto a interés simple crece en progresión aritmética y su gráfica es una línea recta.

TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES

La tasa convenida para una operación financiera es su tasa nominal. Tasa efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominal puede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto sólo depende de las condiciones convenidas para la operación. Por ejemplo, si se presta un capital del 8% con capitalización trimestral, el 8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por los intereses que corresponden a Q100 en un año, en las condiciones del préstamo. Para el monto, tenemos:

M = C (1+ i )n

n = 4; C= 100; 8%/4= 2%=tasa efectiva en el período; i = 0.02

M = 100 (1 + 0.02)4 = 100 (1.02)4 = 100 (1.0824321)

M = Q108.24321

Q100.00 ganan Q8.24321 en un año o sea tasa efectiva = 8.24321%

Tasas equivalentes:

Son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual.

En el texto utilizaremos los siguientes símbolos para las diferentes tasas, expresadas en tanto por ciento.

i = efectiva anual

j = nominal anual

m = número de capitalizaciones en el año

Para el 12% con capitalización trimestral se tiene m = 4; j = 12; j/m = 12/4= 3%. El símbolo i se refiere al tanto por uno, en el período.

Relación entre la tasa nominal y efectiva:

El monto de 1 al i efectivo anual es 1 + i . El monto de 1 a la tasa j por uno con m capitalizaciones en el año es (1 + j/m)m ; la ecuación de equivalencia entre estos dos montos es:

1 + i = (1 + j/m)m

i = (1 + j/m)m – 1 fórmula definida para i.

La fórmula permite calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal j capitalizable m veces en el año. Despejando j en se tiene:

(i + 1) = (1 + j/m)m

(1 + i)1/m = (1 + j/m)

j/m = (1 + i)1/m – 1

j = m [(1 + i)1/m – 1] fórmula para j

Introduciendo los nuevos símbolos, la fórmula del monto compuesto en n años para la tasa j capitalizable m veces en el año, queda:

Número de períodos de capitalización en el año = m; número de años = n; número total de períodos = mn; tasa en el período = i = j/m

M = C (1 + j/m)mn

Para expresar la tasa nominal y el número de períodos de capitalización, se utiliza el símbolo j (m) que indica la tasa nominal j con m capitalizaciones en el año.

Ejemplo: Calcular el monto a interés compuesto en 8 años de un capital de Q6000 a la tasa del 10% capitalizable semestralmente.

C = 6000; j = 0.10; m = 2; n = 8

Fórmula a utilizar M = C (1 + j/m)mn

M = 6000 (1 + 0.10/2)2x8 = 6000 (1 + 0.10/2)16

M = 6000 (1 + 0.05)16 = 6000 (1.05) 16

M = 6000 (2.1828746)

M = Q 13,097. 25

MONTO DE UNA DEUDA.

Ejemplo: Una deuda de Q1000 a 5 años plazo, es convenida al interés del 10% con capitalización anual. Esto significa que al final de cada año los intereses deben capitalizarse. A continuación, se muestra en el cuadro de desarrollo de la deuda el capital acumulado al final de cada período, que en este caso es anual.

NUMERO DE PERIODOS

CAPITAL A PRINCIPIO DE

PERIODO

INTERESES EN EL PERIODO

CAPITAL MAS INTERESES A

FINAL DE C/PERIODO

1 1000.00 100.00 1100.00

2 1100.00 110.00 1210.00

3 1210.00 121.00 1331.00

4 1331.00 133.10 1464.10

5 1464.10 146.41 1610.51

Si el préstamo fuese a interés simple, su monto al final de los 5 años sería:

M = C (1 + ni) = 1000 (1 + 5 x 0.10) = 1000 (1.50)

M = Q 1500.00 (monto a interés simple)

Monto a interés compuesto M = Q1610.51

MONTO A VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO

Sea el capital C puesto al interés i por período de capitalización (i es el tanto por ciento en el período).Calculemos el monto M al final de n períodos de capitalización.

NUMERO DE

PERIODOS

CAPITAL A PRINCIPIO DE

PERIODO

INTERESES EN EL

PERIODO

CAPITAL MAS INTERESES A FINAL DE C/PERIODO

1 C Ci C + Ci = C (1 + i)

2 C (1 + i) C (1 + i)i C (1 + i) + C (1 + i)i = C (1 + i)2

3 C (1 + i)2 C (1 + i)2 i C (1 + i)2 + C (1 + i)2 i = C (1 + i)3

4 C (1 + i)3 C (1 + i)3 i C (1 + i)3 + C (1 + i)3 i = C (1 + i)4

. ……. …….. ……

n C (1 + i)n – 1 C (1 + i)n – 1 i C(1 + i)n–1 + C(1 + i)n–1 i = C (1 + i)n

Es decir: M = C (1 + i)n

M = monto compuesto (también es costumbre designarlo por F o S)

C = capital (también es costumbre designarlo por P mayúscula)

i = tanto por uno en el período

(1 + i)n = factor de acumulación, o factor de interés compuesto y corresponde al monto de 1

a interés compuesto en n períodos.

Ejemplo: Un banco ofrece la tasa del 10% para los depósitos en cuenta de ahorros.

Calcular el monto de un depósito de Q 1000 al cabo de 10 años.

M = C (1 + i)n

C = 1000; n = 10; i = 0.10

M = 1000 (1 + 0.10)10 = 1000 (1.10)10 = 1000 (2.5937424)

M = Q2,593.74