Pg.

1

La matemtica financiera es una parte de la matemtica aplicada que estudia los modelos matemticos relacionados con los cambios cuantitativos que se producen en sumas de dinero, llamadas capitales. Sobre los inicios de la matemtica financiera no se sabe gran cosa, simplemente que sta ha existido desde tiempo inmemorial. La aritmtica comercial estaba bien desarrollada para el 1500 a.C. y parece ser que la matemtica financiera se desarroll como un complemento a las transacciones comerciales. Sin embargo, no se conoce cundo y quin introduce los conceptos fundamentales en los que se basa. Por ejemplo, del concepto de inters simplemente sabemos que surgi cuando una persona se dio cuenta que si alguien le deba dinero, l deba recibir una compensacin por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.

La importancia de la matemtica financiera radica en su aplicacin a las operaciones bancarias y burstiles, en temas econmicos y en muchas reas de las finanzas, ya que le permiten al administrador financiero tomar decisiones de forma rpida y acertada. Asimismo, es la base de casi todo anlisis de proyectos de inversin, ya que siempre es necesario considerar el efecto del inters que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo.

Cuando una persona utiliza un bien que no le pertenece, por lo general debe pagar una renta por el uso de dicho bien. Las cosas que se pueden rentar son innumerables: casas, automviles, salones para eventos sociales, ropa de ceremonia, computadoras, etctera. El dinero no es la excepcin, ya que se trata de un bien que se puede comprar, vender y, por supuesto, prestar. Cuando se pide dinero prestado, por lo general, se debe pagar una renta por su uso. En este caso la renta recibe el nombre de inters, intereses o rdito. El inters se define como el dinero que se paga por el uso del dinero ajeno. Tambin se puede decir que el inters es el rendimiento que se tiene al invertir en forma productiva el dinero. El inters se simboliza mediante la letra I.

La cantidad de dinero tomada en prstamo

o invertida se llama capital o principal, y se simboliza mediante la letra P. El monto o valor futuro se define como la suma del capital ms el inters ganado, y se simboliza mediante la letra S Por tanto,

IPS

Capital (P): Es todo aquello que se va ha prestar o alquilar para que luego de un perodo de tiempo genere una ganancia. El capital tambin es llamado Principal, Valor Actual, Monto inicial, Stock inicial. Tiempo (n): Es el perodo durante el cual se va a ceder o depositar un determinado capital. Tambin llamado Horizonte temporal Observaciones: - De acuerdo al sistema legal vigente, si una

persona deposita y retira de su cuenta en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo da, no habr ganado inters alguno. Lo contrario supondra percibir inters por hora, minutos, segundos, etc. situacin que puede corresponder al clculo del inters continuo y no contemplado en el sistema financiero. Para percibir inters es necesario que el dinero haya permanecido en la institucin financiera como mnimo un da, transcurrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las cuales se excluye y la ltima se incluye, operacin conocida como el mtodo de los das terminales Ejemplo: Determinar cuntos das han transcurrido entre el 4 de mayo y el 18 de agosto del mismo ao, fechas en que se deposit y retir un capital de un banco. Das del mes de mayo (31-4) = 27 Junio = 30 Julio = 31 Agosto = 18 En total han transcurrido 106 das.

- De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva (BCR), el ao comercial o bancario consta de 360 das. De manera que cuando no se mencione fechas especficas el ao se subdivide segn sea el caso de la siguiente manera:

INTERS SIMPLE

INTERS SIMPLE

Pg.

2

Unidad Perodos en

un ao En das

Ao Semestre Trimestre Bimestre Mes Quincena Semana Da

1 2 4 6 12 24 52 360

360 180 90 60 30 15 7 1

Tasa de inters (j%) Es un indicador en tanto por ciento que nos indica la cantidad de unidades que se desea ganar por cada 100 unidades den un perodo de tiempo determinado. Inters (I): El inters es el rdito o ganancia, producida por un prstamo, depsito o inversin. Se entiende por rdito al valor que se conviene pagar por el uso del dinero a travs de un prstamo, un depsito o cualquier otra actividad financiera. Inters Simple: El Inters es simple cuando al trmino de cada perodo el inters obtenido no se agrega al capital inicial (no se capitaliza) para producir nuevos intereses, es decir que el capital permanece invariable. Por lo general el inters simple se calcula entre la fecha de inicio de la operacin y la fecha de liquidacin establecida previamente llamado horizonte temporal.

njPI

CASOS EN EL CLCULO DEL INTERS SIMPLE En el clculo del inters simple se presentan varios casos como los siguientes: A. Inters con Capital y Tasa Nominal

Constante. Es el caso clsico analizado lneas arriba. Cuando durante el horizonte temporal el capital y la tasa de inters no han sufrido variaciones.

njPI

nj

IP

nP

Ij

jP

In

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Rigoberto pidi prestado $12000 a pagar en 4

meses. Si la tasa de inters es de 36% anual simple, qu cantidad deber pagar por concepto de inters?

2. Marcela posee un capital de $60000. Invierte

70% de su capital a 3.6% trimestral y el resto a 5.1% semestral. Cunto recibe cada mes de inters total?

3. Qu inters simple gener un principal de 12

700 dlares, en 1 ao, 7 meses y 10 das, colocado a una TNM de 3%?

4. En cunto tiempo se duplicar una cierta

cantidad de dinero, si se invierte a 20% de inters simple?

5. Sofa compra un televisor que cuesta $3750 de

contado. Da un anticipo de 10% del precio de contado y acuerda pagar $3 37 de inters, en tres meses. Qu tasa de inters simple anual paga?

6. Suponga que recibi un prstamo y al final de

4 meses debe pagar un monto de $19 600. Si el inters fue de $1200, qu capital le prestaron?

7. Cunto inters pagar un comerciante por un

crdito que le concedi una fabrica de dulces y chocolates, al comprar mercanca por $7 890 a un mes de plazo, si le cargan una tasa de inters de 3.12% mensual?

8. Obtenga el inters simple que produce un

capital de $5000 en 10 meses a 2.5% bimestral.

9. Calcule el inters simple de $13 500 a 4.25%

trimestral durante un ao y tres meses. 10. Obtenga el inters de un capital de $ 1000 a

1.61% quincenal en 11 meses. 11. Alfonso consigue un prstamo por $75 000 a

un ao y medio de plazo y una tasa de inters simple de 2.97% mensual. Cunto pagar por concepto de intereses?

12. Un empleado obtiene un prstamo de su

empresa por $97 000, para la compra de un auto usado y acepta liquidar el prstamo tres aos despus. Existe el acuerdo que mientras exista la deuda, el empleado pagar intereses mensuales a razn de 18% anual. Cunto deber pagar de intereses cada mes?

Pg.

3

13. Si se solicita un prstamo por $7 000 a 19.92% semestral de inters simple, cunto se debe pagar por concepto de intereses al trmino de 15 meses?

14. Rubn compra a crdito una estufa que tiene

un precio de contado de $4765. Queda de acuerdo en dar un enganche de 15% y un pago final 2 meses ms tarde. Si acepta pagar una tasa de inters de 48% sobre el saldo, cunto deber pagar dentro de 2 meses?

15. El inters ganado por un prstamo de 800

dlares, en un plazo de 5 meses, fue de 20 dlares. Calcule la tasa de inters anual.

16. A qu tasa de inters simple mensual equivale

una tasa de inters simple de 18% cuatrimestral?

17. Un capital invertido se triplic al cabo de 8

aos. Qu tasa de inters simple anual gan? 18. Ana posee un capital de $200 000. Invierte 7

5% del dinero a 2% trimestral y el resto a 3.5% semestral. Cunto recibe cada mes de intereses?

19. Si la tasa de inters simple en una cuenta de

ahorros es de 3.4% anual, en cunto tiempo se duplica un capital?

20. Una empresa obtuvo un prstamo por S/ 8

000, por un perodo de 10 meses a una tasa del 20% anual. Cul ser el inters a pagar al trmino del perodo?

21. Calcule el importe con el que se apertura una

cuenta colocada en un banco a una TNA de 12%, que durante el plazo de 9 meses gener un inters de simple de 110 soles.

22. Calcule la TNA que se aplic a un principal de

15 000 soles, que durante un plazo de 3 meses produjo un inters de 300 soles.

23. Calcule el plazo al cual estuvo colocado un

principal de 5 000 um, que gener una TNM de 2% y rindi un inters simple de 350 um.

24. Una persona deposit 15 000 um en una

institucin financiera; este importe genera una TNM de 3,5%. Qu inters simple habr generado ese principal en tres meses?

25. Qu inters simple deveng un principal de 10

000 dlares, en 1 ao, 2 meses y 26 das, colocado a una TNM de 3%?

26. Un banco otorga a una empresa un prstamo

de 10000 dlares para ser devuelto dentro de un ao, y cobra una TNA de 24%. Cul ser el

inters simple que pagar la empresa al vencimiento del plazo?

27. El 25 de marzo se apertura una cuenta con S/

6 000 soles en el Banco, el mismo que pagaba una TNA de 18%. Se requiere conocer el inters simple que gener la cuenta hasta el 20 de abril del mismo ao, feche en que se cancelo la operacin.

28. Qu principal colocado entre el 15 de abril y

30 de junio del mismo ao, a una TNM de 2%, producir un inters simple de 96 dlares?

29. Calcule la TNT que se aplic a un principal de

S/ 4 000, que durante el plazo comprendido entre el 5 de marzo y 17 de julio del mismo ao produjo un inters simple de 297,78 soles.

30. Una persona deposita S/ 20 000 en una

entidad financiera a una tasa de inters simple mensual de 1.5%. Cul ser el inters generado en un perodo de 8 meses?

31. Si Karen se presta de Consuelo S/ 3000 a una

tasa de inters del 10%, pero ella ese mismo da presta a Gianina S/ 2000 a cierta tasa de inters. Calcule dicha tasa si al final de 2 aos los intereses que cobra y que debe pagar Karen son iguales.

32. Un banco otorga a una empresa un prstamo

de 120 000 dlares para ser devuelto dentro de 1 ao y 6 meses, y cobra una TNA de 24%. Cul ser el inters simple que pagar la empresa al vencimiento del plazo?

B. Monto con Principal y Tasa Nominal

Constante Es el valor acumulado del capital ms los intereses devengados y para su clculo utilizaremos:

)nj1(PS

De donde:

nj1

SP

n

1P

S

j

j

1P

S

n

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Calcular el monto que debe pagar una deuda

de S/ 8 000 despus de 150 das de su aceptacin, al 18% de inters anual.

Pg.

4

2. Se obtuvo un prstamo de S/ 8 000 para ser

revertido en un perodo de 180 das la cantidad de S/ 8 960 Cul ser la tasa de inters mensual impuesta durante el perodo?

3. En qu tiempo un capital de 2 600 soles

colocado al 20% anual, se convertir en el doble?

4. Un ahorrista desea saber de cuanto dispone en

el banco si hace 7 meses deposit en una cuenta de ahorros la cantidad de S/ 4 800 al 3% de inters simple mensual.

5. Un trabajador espera recibir dentro de 11

meses la cantidad de S/ 6 000 por beneficios sociales, pero existe la posibilidad de cobrarlo ahora y desea saber la cantidad a recibir, si la tasa de inters simple es de 18% anual.

6. En qu tiempo se cuadriplicar la cantidad de

S/ 2 500 si la tasa de inters simple es del 12% mensual?

7. Qu monto habr acumulado una persona en

una cuenta de ahorros colocada a inters simple, si percibe una TNM de 3%, y su depsito inicial de 2500 soles, realizado el 4 de octubre, se cancel el 16 del mismo mes?

8. Encontrar el principal que a una tasa de inters

simple mensual de 3%, durante 87 das, produjo un monto de 500 soles.

9. Se adquiri una mquina cuyo precio de

contado es 6 000 dlares, pero se pag una cuota inicial de 2 000 dlares y el saldo se financi con una letra a 45 das por el monto de 4 150 dlares. Cul fue la tasa mensual de inters simple cargada en esta operacin?

10. En qu tiempo el monto triplicar al principal

constante colocado a una TNA de 20%? 11. Determinar el inters simple acumulado al 2 de

junio, de una cuenta cuyo monto a tal fecha ascendi a 10 000 soles desde la apertura de la cuenta, el 1 de mayo del mismo ao, la TNA se ha mantenido en 36% y el principal no ha sufrido variacin.

Problema 01: Hallar el inters simple de S/ 4 000 colocados durante 6 das al 36% anual.

Rp. S/. 24 Problema 02: Qu inters simple podr disponerse el 18 de mayo, si el 15 de abril se invirti S/. 5 000 a una tasa anual de 24%?

Rp. S/. 110 Problema 03: Cul es el inters simple de S/. 3000 en 8 meses al 48% anual?

Rp. S/. 960 Problema 04: Cunto habr ganado un capital de S/. 10 000 en 1 ao, 2 meses y 26 das al 24% anual de inters?

Rp. S/. 2 973.33 Problema 05: Calcular el inters simple de S/. 2 000 al 2,5% mensual desde el 12 de marzo al 15 de junio del mismo ao.

Rp. S/. 158.33 Problema 06: Qu capital colocado al 20% anual, ha producido S/. 300 de inters simple al trmino de 18 semanas?

Rp. S/. 4 285.71 Problema 07: Cul ser el capital que habr producido un inters simple de S/. 800 en 7 trimestres al 26% anual?

Rp. S/. 1 758.24 Problema 08: Si deseo ganar un inters simple de S/. 3 000 en el perodo comprendido entre el 4 de abril y 31 de mayo del mismo ao. Qu capital debo colocar en un banco que paga una tasa de inters simple mensual del 2%?

Rp. S/. 78 947.37 Problema 09: Cul es la tasa de inters simple mensual aplicada para que un capital de S/. 8 000 colocado a 2 aos y 6 meses haya ganado S/. 6 000?

Rp. 2.5% mensual Problema 10: Un capital de S/. 2 000 ha producido un inters de S/. 60 durante 36 das, calcule la tasa anual de inters simple.

Rp. 30% anual Problema 11: En qu tiempo podr triplicar un capital a una tasa mensual de inters simple del 5%?

Rp. 40 meses Problema 12: En qu tiempo podr quintuplicarse un capital colocado a inters simple percibiendo una tasa trimestral del 15%?

Rp. 26.66 trimestres, 80 meses Problema 13: Durante qu tiempo habr estado impuesto un capital de S/. 15 000 al 28% anual, si el inters simple producido es de S/. 300?

Rp. 25.71 das, aprox. 26 das

PROBLEMAS Propuestos

Pg.

5

Problema 14: Un capital de S/. 12 000 ha producido S/. 541.68 de inters simple al 12.5% anual. Determinar el tiempo de la operacin.

Rp. 130 das Problema 15: Por cunto tiempo ha estado impuesto un capital de S/. 10 000 que a la tasa del 2% de inters simple mensual ha producido un inters de S/. 2 000?

Rp. 10 meses Problema 16: Qu inters habr ganado una inversin de S/. 2 000 colocado el 3 de marzo al 28 de junio del mismo ao a una tasa mensual del 3%, la cual vari el 16 de abril al 2.8% y posteriormente al 2.6% el 16 de junio? Cul es la tasa acumulada?

Rp. I= S/. 222.67; j=11.133% Problema 17: Se ha suscrito un contrato de crdito por S/. 8 000 para pagarlo dentro de 12 meses con inters simple, a una tasa del 36% anual y sujeta a las variaciones del mercado. Si al vencimiento de dicho contrato las tasa anuales fueron: 36% durante 2 meses, 34% durante 3 meses, 35% durante 4 meses y 34.5% durante 3 meses. Qu inters deber cancelarse al vencimiento del contrato? Cul es la tasa acumulada?

Rp. I= S/. 2 783.33; j=34.79% anual Problema 18: Una deuda de S/. 2 000 contrada el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio y pactada originalmente a una tasa anual de inters simple del 24%, sufre las siguientes variaciones a partir de las siguientes fechas: da 12 de junio 2,5% mensual, da 24 de junio 9% trimestral, da 3 de julio 21% semestral. Qu inters se pagar al vencimiento?

Rp. S/. 55 Problema 19: Una cuenta de ahorro abierta el 4 de abril con un depsito inicial de S/. 500 tuvo en ese mes el siguiente movimiento: da 8, depsito de S/. 100; da 17, retiro de S/. 400, da 23, depsito de S/. 500; da 23, retiro de S/. 200. Qu inters simple se acumul al 30 de abril percibiendo una tasa anual del 24%?

Rp. S/. 8.07 Problema 20: El 2 de junio se abre una cuenta de ahorros con S/. 2 000 y se efectan depsitos de S/. 500y S/. 300 los das 8 y 16 y un retiro de S/. 200 el da 26 de junio. La tasa anual pactada fue 28% la cual bajo al 26% a partir del 16 de junio. Cul fue el inters simple acumulado y cul es el saldo disponible al 1 de julio?

Rp. I= S/. 54.50; S=2 654.50 Problema 21: Habiendo colocado en una cuenta de ahorros S/. 3 000 a una tasa anual de inters simple del 24%, Cunto se habr acumulado: a) al cabo de 46 das, b) al cabo de 46 das abonando los intereses al principal cada 30 das?

Rp. a) S/. 3 092 b) S/. 3 092.64 Problema 22: Un seor deba S/. 1 000. Convinindole retrasar la deuda por 14 das, acept pagar una tasa de inters simple del 0.25% diario.

Qu monto deber cancelar transcurrido dicho plazo?

Rp. S/. 1 035 Problema 23: Cul es el monto simple que ha producido un capital de S/. 5 000 del 6 de abril al 26 de junio del mismo ao a una tasa mensual del 2%?

Rp. S/. 5 270 Problema 24: El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 5 000. Calcule su monto al 30 de setiembre aplicando una tasa mensual de inters simple del 3%, considerando que la entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin de mes.

Rp. S/. 5 501.62 Problema 25: Una inversin de S/. 8 000 colocado durante 5.5 meses a inters simple rindi una tasa mensual del 3% durante los primeros cuatro meses, el quinto mes rindi 40% anual y la ltima quincena rindi una tasa del 12% trimestral. Cul fue el monto acumulado?

Rp. S/. 9 386.67 Problema 26: Calcule el monto simple de un depsito de ahorro de S/. 5 000 colocado el 9 de agosto y cancelado el 1 de setiembre. Las tasas anuales han sido: 30% a partir del 1 de agosto; 28% a partir del 16 de agosto y 26% a partir del 1 de setiembre.

Rp. S/. 5 091.39 Problema 27: Un artculo cuyo precio de contado es S/. 2 000 se vende con una cuota inicial de S/ 800 y sobre el saldo cancelable dentro de 60 das, se cobran las siguientes tasas: 24% anual durante 7 das, 0.1% diario durante 13 das, 14% semestral durante 15 das, 9% trimestral durante 25 das. Qu monto simple deber cancelarse al vencimiento del plazo?

Rp. S/. 1 265.20 Problema 28: Una mquina tiene un precio al contado de $ 5 000. La empresa COLLPA pacta con su proveedor adquirir la mquina pagando una cuota inicial de $ 2 000 y el saldo dentro de 45 das con un recargo del 3% mensual de inters sobre el precio al contado. Cul fue la verdadera tasa mensual de inters simple que pago COLLPA?

Rp. 5% Problema 29: Un paquete accionario es adquirido el 23 de mayo en S/. 24 000 y vendido el 18 de junio, recibindose en esta fecha un importe neto de S/. 26 800. Calcule la tasa mensual de inters simple de la operacin.

Rp. 13.46% Problema 30: Un artefacto electrodomstico tiene un precio al contado de S/. 3 000, pero puede adquirirse a crdito con una cuota inicial de S/ 1 000 y aceptando una letra de S/. 2 200 a 60 das. Cul es la tasa anual de inters simple cargada en este financiamiento?

Rp. 60% anual

Pg.

6

Problema 31: A qu tasa mensual un capital de S/. 10 000 se habr convertido en un monto de S/. 11 500 si dicho capital original fue colocado a inters simple durante 3 meses?

Rp. 5% Problema 32: Un artculo cuyo precio al contado es de S/. 120 es vendido con tarjeta de crdito para pagar S/. 127.20 dentro de 45 das. Qu tasa mensual de inters simple se carg al crdito?

Rp. 4% Problema 33: A qu tasa mensual se invirti un capital de S/. 2 000 colocado a inters simple el 20 de abril cuyo monto al 18 de junio fue S/. 2 500?

Rp. 12.71% Problema 34: Un capital de S/. 5 000 se ha incrementado en un 15% por razn de inters simple al 24% anual, hallar el tiempo de la operacin.

Rp. 0.625 aos; 7.5 mese 225 das Problema 35: En cuntos das una inversin de S/. 7 000 se convertir en un monto simple de S/. 7 933.34 percibiendo una tasa de rentabilidad anual del 24%?

Rp. 200 das Problema 36: En cuntos das se triplicar un capital colocndolo a una tasa de inters simple anual de 24%?

Rp. 3 000 das Problema 37: La empresa COLLPA recibi S/. 5 000 el 24 de junio por el descuento de un pagar con valor nominal de S/. 5 500, cuya tasa anual de inters simple fue de 24%. Cul fue la fecha de vencimiento?

Rp. A los 150 das; 21 de noviembre Problema 38: Qu importe debe ser invertido a una tasa de inters simple del 24% anual para capitalizar S/. 5 000 dentro de 45 das?

Rp. S/. 4 854.37 Problema 39: Un departamento ubicado en la Av. Sucre de Pueblo Libre es ofertado para su venta con las siguientes alternativas:

a) $ 17 500 al contado b) $ 10 000 al contado y el saldo a 60 das

con una letra de $ 7 700. c) $ 8 000 al contado y el saldo con dos

letras, una de $ 6 000 a 30 das y otra de $ 3 680 a 60 das.

d) $ 6 000 al contado y el saldo con tres letras de $ 4 000 con vencimientos a 30, 60 y 90 das cada una respectivamente.

Si un cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede percibir una tasa anual de inters simple del 24%. Cul es la oferta ms conveniente? Explique.

Rp. b) S/. 17 403.85 Problema 40: La suma de un capital y su inters generado desde el 30 de junio al 31 de diciembre de un mismo ao, a una tasa del 2% mensual, es de S/. 20 000. Determine el capital original.

Rp. S/. 17 814.73

Problema 41: Qu capital fue colocado a una tasa de inters simple del 20% anual, si al cabo de 38 das se convirti en S/. 5 000?

Rp. S/. 4 896.63 Problema 42: Se ha colocado un capital al 4% de inters simple trimestral, habindose convertido a los 4 meses en S/. 2 500. Cul fue el importe de ese capital?

Rp. S/. 2 373.42 Problema 43: Encuentre el capital que invertido a una tasa del 4% bimestral durante 87 das ha producido un monto simple de S/. 500.

Rp. S/. 472.59 Problema 44: Cierto capital y sus intereses hacen un total de S/. 2 000. Si la tasa aplicada ha sido del 4% cuatrimestral, habiendo estado colocado el capital inicial durante 6 meses, Cul ha sido el inters simple y el capital que lo ha producido?

Rp. P= S/. 1 886.79; I= S/. 113.21 Problema 45: Calcule el valor presente a inters simple de una letra cuyo valor nominal es de S/. 10 000, la misma que vence dentro de 90 das. Utilice una tasa anual del 48%.

Rp. S/. 8 928.57 Problema 46: Cunto debe invertirse hoy, a inters simple para acumular S/. 20 000 dentro 120 das en una institucin de crdito que paga una tasa del 36% anual?

Rp. S/. 17 857.14 Problema 47: Calcule el inters incluido en un monto de S/. 4 000 obtenido de un capital colocado a una tasa anual del 24% de inters simple durante 90 das.

Rp. S/. 226.42 Problema 48: Dos capitales iguales son colocados: el primero en el Banco del Norte al 24% anual durante 85 das; el segundo en el Banco del Sur durante 60 das al 28% anual. Por ambas operaciones se recibi un inters simple de S/. 500. Cul fue el importe de cada capital?

Rp. S/. 4 838.71

Problema 49: Un capital se impuso a inters simple al 3% durante 5 aos, 2meses y 20 das y otro capital que esta con el anterior en la relacin , se impuso al 4% durante el mismo tiempo. Los capitales con sus inters han dado una suma de S/. 74 280. Determinar la suma de los capitales impuestos.

Rp. S/. 63 000 Problema 50: Listh coloca los 4/7 de su capital al 40% y el resto al 5%, como resultado obtiene un inters anual de S/. 3 100. Cul fue el capital impuesto al 5%?

Rp. S/. 5 314.20

Pg.

7

En el inters simple el capital que genera el inters permanece constante todo el tiempo que dura el prstamo. En cambio, en el inters compuesto el inters generado en un periodo dado se convierte en capital para el siguiente periodo. Esto es, el inters simple generado al final del primer periodo se suma al capital original, formndose un nuevo capital. Con este nuevo capital se calcula el inters simple generado en el segundo periodo y el inters se suma al capital, y as sucesivamente.

La suma total obtenida al final del proceso se conoce como monto compuesto o valor futuro. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le llama inters compuesto; esto es:

PSI

en donde I representa el inters compuesto; S, el monto compuesto y P, el capital original.

El inters compuesto se puede definir como la operacin financiera en la que el capital aumenta al final de cada periodo por adicin de los intereses vencidos.

El periodo convenido para convertir el inters en capital se llama periodo de capitalizacin o periodo de conversin. As, por ejemplo, la expresin periodo de capitalizacin semestral (o periodo de conversin semestral) significa que el inters ganado por un cierto capital se capitaliza, es decir, se suma al capital al trmino de cada 6 meses. De igual forma, al decir que un periodo de capitalizacin es mensual se est indicando que al final de cada mes se capitaliza (se suma al capital) el inters ganado a lo largo del mes. El periodo de capitalizacin se define como el intervalo de tiempo al final del cual se capitalizan los intereses generados en dicho intervalo.

El inters puede capitalizarse anual, semestral, mensual o semanalmente entre otros. El nmero de veces que el inters se capitaliza en un ao se conoce como frecuencia de capitalizacin o frecuencia de conversin. Inters Compuesto

Es el proceso mediante el cual el inters generado por un capital calculado al final de cada perodo no se retiran sino que se suman al capital (se capitalizan) para formar un nuevo capital y sobre la base de este, calcular el inters del siguiente perodo y as sucesivamente, entonces dicha operacin financiera recibe el nombre de inters compuesto.

n)i1(PS

La expresin n)i1( que multiplica al capital se

llama Factor Simple de Capitalizacin, simblicamente lo podemos expresar por (FSC). Dicho factor tiene por funcin llevar al futuro cualquier cantidad presente o viceversa. CASOS EN EL CLCULO DENTRO DEL INTERS COMPUESTOS En el clculo del monto y el inters compuesto se presentan varios casos como los siguientes: B. Monto con Principal y Tasa Efectiva

Constante. Es el caso analizado lneas anteriores. Cuando durante el horizonte temporal el capital y la tasa de inters no han sufrido variaciones.

n)i1(PS

n)i1(

SP

1P

Si

n

1

)i1(Log

P

SLog

n

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Calcular el monto acumulado al cabo de 6 aos, a partir de un capital inicial de 18 000 soles, a una TEA de 20%.

2. Calcule el monto que produjo un capital inicial

de S/. 14 000, colocado en un banco desde el 3 de abril al 15 de junio del mismo ao. El capital genera una TET de 2.5%.

3. Qu cantidad de dinero se habr depositado

para que al cabo de 10 aos se acumule 28 000 um a 2% bimestral?

4. A qu tasa efectiva mensual un capital de S/.

10 000, se convirti en un monto de S/ 10

INTERS COMPUESTO

Pg.

8

519,24, si se coloc en un banco desde el 5 de agosto al 15 de noviembre del mismo ao?

5. Se invirtieron $30 000 a 1.65% de inters

compuesto mensualmente por un ao y 5 meses. a) Obtenga el valor futuro al final de ese

tiempo. b) Cunto ms se gan con el inters

compuesto que lo que se hubiera ganado con el inters simple?

6. En la compra de un automvil, el seor Soto da un enganche de $20000 y acuerda pagar $106 577.73 cuatro meses despus (cantidad que incluye los intereses por el financiamiento). Si la tasa de inters es de 35% compuesto cada mes, encuentre el precio de contado del automvil.

C. Monto en Funcin de Tasa Nominal

En las operaciones de carcter financiero a inters compuesto, el clculo y las capitalizaciones de los intereses no siempre se realizan a plazos anuales, sino que pueden ser semestrales, trimestrales, mensuales e incluso en perodos de tiempo ms cortos y en estos casos interviene el elemento (m) frecuencia de capitalizacin.

c ionCapitalizadePerodo

alminNoTasaladePerodom

Donde la tasa efectiva obtenida ser:

c inCapitalizadePerodom

ji

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Calcule el monto compuesto que rindi un

capital de S/ 1 000 en el plazo de medio ao, el mismo que se coloc a una TNM de 2% capitalizable cada quincena.

2. Calcule el monto compuesto devengado en un trimestre por una inversin de S/ 3 000, colocada a una TNA de 18% con capitalizacin trimestral.

3. Qu capital se convertir en un monto de

10000 soles en un plazo de 45 das, si ese capital devenga una TNA de 18% capitalizable mensualmente?

4. Luis recibi una herencia de medio milln de

soles y quiere invertir una parte de este dinero en un fondo de jubilacin. Piensa jubilarse

dentro de 25 aos y para entonces desea tener 12 000 000 soles en el fondo. Qu parte de la herencia deber invertir ahora si el dinero estar ganando una tasa de inters de 13.25% anual cada mes?

5. Una persona tiene que elegir entre invertir $

80 000 a 9% capitalizable cada 14 das, por un ao, o hacerlo a 10.4% con capitalizacin bimestral, por un ao. Qu es mejor?

6. Alejandro est vendiendo un departamento y

recibe las siguientes ofertas: a) Daniel le ofrece S/ 21 000 de contado. b) Armando le ofrece un anticipo de S/ 10

000 y el saldo en dos pagars de S/ 7 143 cada uno a 6 y 10 meses de plazo.

Si Alejandro puede invertir a 1.2% mensual con capitalizacin mensual, cul alternativa le conviene ms?

D. Inters Compuesto con Principal y Tasa Efectiva Constante La diferencia entre el monto y el capital inicial constituye el inters, que podemos representarlo por: PSI .

Esta relacin nos indica que hay para determinar el monto, para luego sustraer el capital. Pero se puede determinar directamente deduciendo la siguiente frmula: Si: PSI

Reemplazamos S por n)i1(P y obtenemos

P)i1(PI n

Sacando factor comn tenemos:

1)i1(PI n

1)i1(

IP

n 11

P

Ii

n

1

)i1(Log

1P

ILog

n

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. El 20 de marzo se apertura una cuenta con un

principal de S/ 8 000 en el banco, en una cuenta a una TEA de 18%. Se requiere conocer el inters compuesto que gener ese capital hasta la fecha de cancelacin, el 15 de abril del mismo ao.

2. Calcule el importe con que se apertura una cuenta a una TEM de 2%, en el cual 7 meses

Pg.

9

luego de su apertura se acumul un inters compuesto de 112.

3. Qu capital colocado a una TEM de 2% producir un inters compuesto de 96 soles en el perodo comprendido entre el 19de abril y 30 de junio del mismo ao?

4. Calcule la TEA que se aplic en una cuenta abierta con S/ 5 000, en la cual 3 meses despus de su apertura se acumul un inters compuesto de S/ 300.

5. Calcule la TET que se aplic un capital inicial de S/4000, el cual durante el plazo comprendido entre el 5 de marzo y 17 de julio del mismo ao produjo un inters compuesto de 301,39.

6. Calcule el plazo al que se coloc un capital de S/4245,93 que, al generar una TEM de 2%, rindi un inters compuesto de S/ 350.

Problema 01: Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un prstamo bancario de S/. 50 000 que devenga una tasa nominal anual del 36% con capitalizacin mensual.

Rp. S/. 57963.70 Problema 02: Calcular el importe capitalizado de un depsito a plazos de S/. 20 000 colocado durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36% capitalizable diariamente.

Rp. S/. 23942.19 Problema 03: Qu monto debe dejarse en letras con vencimientos dentro de 38 das, si despus de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/. 20 000, sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual del 3.5%?

Rp. S/. 20890.77 Problemas 04: Asumiendo que la poblacin actual es de 22 millones de habitantes y su tasa promedio de crecimiento neto anual es del 2.01%, Cuntos habitantes seremos dentro de ao y medio?

Rp. 22.77 millones Problema 05: En el ltimo semestre el precio de la gasolina ha venido incrementndose en 2% cada 18 das en promedio. De mantenerse esta tendencia, Cunto costar un galn de gasolina dentro de un ao, si el precio es hoy S/. 11.79?

Rp. S/. 17.53

Problema 06: Cunto debo invertir hoy para acumular S/. 20 000 dentro de 120 das en una institucin de crdito que paga una tasa nominal anual del 24% con capitalizacin diaria?

Rp. S/. 18 462.82 Problema 07: Cul sera el precio de contado de un artculo ofertado al crdito con una cuota inicial de S/. 2 000 y 4 cuotas de S/. 500 cada una pagadera cada fin de mes? Se requiere ganara una tasa efectiva mensual del 3%.

Rp. S/. 3 858.55 Problema 08: Despus de 3 meses de haber colocado un capital de S/. 3 000 se obtuvo un monto de S/. 3 500. A qu tasa de inters efectivo mensual se coloc el capital?

Rp. i=5.27266% mensual Problema 09: La poblacin de una ciudad se triplica cada 25 aos. Asumiendo un crecimiento exponencial, qu tasa de crecimiento promedio anual tiene?

Rp. 4.49% anual Problema 10: Cunto tiempo debe transcurrir para que los intereses generados por un capital sean igual al mismo capital colocado a una tasa del 5% de inters efectivo mensual?

Rp. 14.2066 meses = 14 meses y 6 das Problema 11: Qu tiempo debe transcurrir para que un capital S/. 5 000 colocado a una tasa efectiva mensual del 6% iguale al monto producido por otro capital de S/ 8 000 colocado a una tasa efectiva mensual del 4%?

Rp. 24.6744 meses= 740 das Problema 12: Calcule el inters producido por un capital de S/ 7 000, colocado a una TEM de 1%, por el perodo comprendido entre el 3 de abril y 6 de junio del mismo ao.

Rp. S/. 150.18 Problema 13: Calcular el inters bimestral que habr ganado un depsito de ahorros de S/. 5 000 colocado a una tasa nominal anual del 24% con capitalizacin trimestral.

Rp. S/. 198.05 Problema 14: Una inversin efectuada en la Bolsa de Valores produjo un inters de S/. 1 300 durante 77 das; en ese lapso de tiempo la tasa acumulada fue de 5.4%. Cul fue el importe general de la inversin?

Rp. S/. 24 074.07 Problema 15: El 18 de enero la compaa SHEEN compr en la bolsa un paquete accionario en 90 000 soles, el cual vendi el 26 de febrero del mismo ao y obtuvo una rentabilidad neta de 6 500 soles. Calcule la Tasa de rentabilidad efectiva mensual que obtuvo SHEEN en esa operacin.

Rp. 5.5106% Problema 16: Un depsito de S/ 20 000 estuvo colocado en un banco durante 90 das y gano una TNA de 36% con capitalizacin diaria. Qu inters se gan el da 46 y el da 87?

Rp. da 46=S/.20.92 ; da 87=S/. 21.80

PROBLEMAS Propuestos

Pg.

10

Problema 17: Calcule el monto y el inters compuesto al cabo de 6 meses de $60 000, invertidos a 28.8% anual capitalizable cada mes.

Rp. S=$ 69 175.29 ; I=$ 9 175.29

Problema 18: A qu TEM una inversin de S/ 10 000 se convirti en un monto de S/ 10 915,44, si se coloc durante 67 das?

Rp. 4% mensual Problema 19: En cuntos meses se acumularn S/ 5 341,18 si se coloca un capital de S/ 5 000 en un banco que paga TET de 2%?

Rp. 10 meses Problema 20: Cunto debe invertirse hoy para acumular S/ 20 000 dentro de 120 das en una institucin de crdito que paga una TNA de 12% con capitalizacin trimestral?

Rp. S/. 19 227.10 Problema 21: Si usted comienza en un trabajo con un sueldo de S/. 1 300 al mes y se le va a conceder un aumento de 4% cada cuatrimestre, cunto estar ganando dentro de 3 aos?

Rp. S/. 19 227.10 Problema 22: Calcule la TEM que rindi un bono comprado en S/ 2 000 y vendido al cabo de 90 das en S/ 2 315,25.

Rp. 4.996% Problema 23: Qu TEM debe aplicase a un capital de S/ 5 000 colocado en un banco para que produzca una ganancia de S/ 800 durante 4 meses?

Rp. 3.78% Problema 24: Calcule el inters de un capital que gener una TEA de 12% y se convirti en un monto de S/ 10 000 en el plazo de medio ao.

Rp. S/. 2028.06 Problema 25: En qu tiempo podr triplicarse un colocado a una TEA de 20,1%?

Rp. 6 aos Problema 26: Cunto inters se pagar por un prstamo de S/ 6 000 que devenga una TET de 2%? El crdito se ha utilizado durante 17 das

Rp. S/. 22.49 Problema 27: Cul es el valor presente de $14 986.15 a pagar dentro de 5 meses, si la tasa de inters es 2.2% mensual capitalizable cada quincena?

Rp. S/. 13 433.17 Problema 28: Noem le presta a su primo $7000 durante 6 meses, cobrndole una tasa de inters simple de 1.5% mensual. Al final de este tiempo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorro que le paga 24% capitalizable cada mes. Cunto dinero tendr Noem al cabo de 2 aos?

Rp. S/. 115 812.94 Problema 29: Miriam deposita cierta cantidad de dinero en un banco que le paga 12% capitalizable cada bimestre. En cunto tiempo los intereses generados sern iguales a 113% del capital invertido?

Rp. 38.18 bimestres

Problema 30: Qu cantidad debe invertirse en este momento a 7.8% capitalizable cada mes para convertirse en S/. 10 000 en 15 aos? Cunto inters se habr ganado?

Rp. P=S/. 3 115.44 y I= S/. 6884.56

Pg.

11

Los flujos de caja (pagos) de los crditos comerciales y financieros, normalmente tienen las caractersticas de ser iguales y peridicos, estos se denominan anualidades, series uniformes, por ejemplo; son anualidades las cuotas peridicas para pagar perodo a perodo un electrodomstico, de un vehculo, los salarios mensuales, las cuotas de los seguros, los pagos de arrendamientos, entre otros, siempre y cuando, no varen de valor durante algn tiempo. En esta unidad, se trataran las anualidades ms comunes y de mayor aplicacin en la vida cotidiana. Por lo cual, se calcular el valor presente de una anualidad y su valor futuro, de la misma manera se determinar el valor de la cuota igual y peridica y el nmero de perodos de la negociacin. De la misma manera, se realizar el estudio el estudio de la anualidad conocida como impropia, es decir, aquella en que no todos los pagos son iguales.

Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales realizados en intervalos de tiempo iguales. El trmino anualidad parece implicar que los pagos se efectan cada ao, sin embargo, esto no es necesariamente as, ya que los pagos pueden ser mensuales, quincenales, etctera. Son ejemplos de anualidades el cobro quincenal del sueldo, el pago mensual de la renta de la casa, los abonos mensuales para pagar una computadora comprada a crdito, el pago anual de la prima del seguro de vida, los dividendos semestrales sobre acciones, los depsitos bimestrales efectuados a un fondo de jubilacin, etctera. El concepto de anualidad es de gran importancia en matemtica financiera ya que es muy frecuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos en intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago nico realizado al final del plazo. Los trminos de renta, pago peridico, abono u otros, pueden utilizarse en lugar de anualidad. El tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivos se llama periodo de pago o periodo de renta. El periodo de pago puede ser anual, semestral o mensual, entre otros.

Al tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo de pago y el final del ltimo se llama plazo de la anualidad. 1. Anualidad: Una anualidad es una serie de

flujos de cajas iguales o constantes que se realizan a intervalos iguales de tiempo, que no necesariamente son anuales, sino que pueden ser diarios, quincenales o bimensuales, mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales, anuales. El concepto de anualidad, es importante en el rea de las finanzas, entre otras consideraciones, porque es el sistema de amortizacin ms utilizado en las instituciones financieras en sus diferentes modalidades de crditos. Adems, es muy frecuente que las transacciones comerciales se realicen mediante una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago nico realizado al final del plazo establecido en la negociacin. Es conveniente, antes de seguir con el estudio de las anualidades, tener en cuenta las definiciones de los siguientes trminos: 1.2. Renta o Pago: Es un pago peridico

que se efecta de manera igual o constante. A la renta tambin se le conoce con el nombre: cuota, depsito. Cualquier de estos trminos pueden ser utilizados en lugar de anualidad.

1.3. Periodo de Renta: Es el tiempo que transcurre entre dos pagos peridicos consecutivos o sucesivos. El periodo de renta puede ser anual, semestral, mensual, etc.

1.4. Plazo de una anualidad: Es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer perodo de pago y el final del ltimo perodo de pago.

2. Requisitos Para Que Exista Una Anualidad Para que exista una anualidad se debe cumplir con las siguientes condiciones:

a. Todos los flujos de caja deben ser iguales o constantes.

b. La totalidad de los flujos de caja en un lapso de tiempo determinado deben ser peridicos.

ANUALIDADES

ANUALIDADES y AMORTIZACIN

Pg.

12

c. Todos los flujos de caja son llevados al principio o al final de la serie, a la misma tasa de inters, a un valor equivalente, es decir, a la anualidad debe tener un valor presente y un valor futuro equivalente.

d. El nmero de perodos debe ser igual necesariamente al nmero de pagos.

3. Clasificacin De Las Anualidades Segn El Tiempo: Las anualidades segn el uso del tiempo se clasifican en ciertas y contingentes. Anualidades Ciertas: Son aquellas en las cuales los flujos de caja (ingresos o desembolsos) inician y terminan en periodos de tiempos definidos. Por ejemplo, cuando una persona compra en un almacn un electrodomstico a crdito, se establecen en forma inmediata las fechas de iniciacin y terminacin de la obligacin financiera.

Las anualidades perpetuas o indefinidas, son una variante de las anualidades ciertas.

Los flujos de caja de las anualidades indefinidas comienzan en un periodo especfico o determinado y la duracin es por tiempo ilimitado.

Anualidades contingentes: Son aquellas en las cuales la fecha del primer flujo de caja, la fecha del ltimo flujo de caja, o ambas dependen de algn evento o suceso que se sabe que ocurrir, pero no se sabe cundo. El ejemplo ms clsico, es el contrato de un seguro de vida, se sabe que hay un beneficiario, al cual hay que realizarle una serie de pagos en un tiempo plenamente definido, pero no se sabe cundo empezarn, por desconocerse fecha en que morir el asegurado.

3. Clasificacin de las anualidades segn los

intereses: Segn el uso de los intereses las anualidades se clasifican en anualidades simples y generales.

Anualidades simples: Son aquellas en que el periodo de capitalizacin de los intereses coincide con el periodo de pago. Por ejemplo, cuando se realizan depsitos trimestrales en una cuenta de cuenta de ahorros intereses capitalizables cada trimestre. Anualidades Generales: Son aquellas en que el periodo de capitalizacin de los intereses no coincide con el periodo de pago. Por ejemplo, cuando se realizan depsitos mensuales en una cuenta de ahorro pero los intereses se capitalizan cada bimestre.

4. Clasificacin de las anualidades segn el momento de iniciacin: Las anualidades se clasifican segn el momento de iniciacin en diferidas e inmediatas. Anualidades diferidas: Son aquellas en las cuales la serie de flujos de caja (Ingresos Desembolsos), se dan a partir de un perodo de gracia. Este se puede dar de dos maneras: a) Perodo de gracia muerto, b) Perodo de gracia con cuota reducida.

En el periodo de gracia muerto, no hay abonos a capital, ni pagos de inters, lo que implica que el valor de obligacin financiera al final del perodo de gracia se acumula por efecto de los intereses, incrementndose el saldo de la obligacin financiera, por lo tanto, a partir de este nuevo valor se determina el valor de la cuota de la anualidad.

En el periodo de gracia con cuota reducida, se hacen pagos de intereses, pero no abono al capital, por lo cual, el valor de la obligacin financiera, no cambia por efecto de los intereses, ya que estos se han venido cancelando a travs del tiempo, por lo tanto, el valor de la obligacin financiera al final del periodo de gracia, es el inicial, y a partir de l, se calcula o se determina el valor de la cuota o de la anualidad.

Para el clculo del valor presente y del valor futuro de una anualidad diferida, se pueden utilizar las expresiones que se demostraran para las anualidades vencidas y anticipadas, posteriormente; s vera como se pueden adaptar las frmulas para aplicarlas sobre las anualidades diferidas.

Anualidades inmediatas: Son aquellas en la que serie de flujos de caja (Ingresos o Desembolsos) no tiene aplazamiento algunos de los flujos, es decir, los flujos se realizan en el periodo inmediato a la firma del contrato o del pagar.

5. Clasificacin de las anualidades segn los

pagos: Segn los pagos las anualidades pueden ser vencidas u ordinarias y anticipadas.

Anualidades Vencidas: Son aquellas en las que la serie de flujos de caja se realizan al final de cada periodo, por ejemplo, el salario mensual de un trabajador, en general las cuotas mensuales e iguales que se generan en todo tipo de transacciones comerciales, como la compra de vehculos, electrodomsticos, etc. Anualidades anticipadas: Son aquellas en las que la serie de flujos de caja se realizan al inicio de cada periodo, por ejemplo, el valor

Pg.

13

del canon de arrendamiento que se cancelan al comienzo de cada periodo.

6. Monto de una Anualidad Simple Vencida:

i

1)i1(RS

n

Dnde: R: Renta o Pago i: Tasa de inters n: Nmero de periodos S: Monto de una anualidad, valor futuro

Ejemplo 1: Calcular el valor nominal de una serie de 6 depsitos de S/. 1 000 efectuados cada uno de ellos al final de cada 15 das. Los depsitos perciben una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Ejemplo 2: Collpa y Likeder han celebrado un contrato por medio del cual la primera le alquila a la segunda un terreno por un perodo de dos aos y por una renta de $ 500 mensuales., los cuales deber depositar a fin de cada mes en una cuenta bancaria que le reportar a Collpa una TEA del 15%. Asumiendo que Likeder cumplir con su compromiso qu importe habr acumulado Collpa al finalizar el contrato de alquiler? 7. Valor presente de una Anualidad Simple

Vencida:

n

n

)i1(i

1)i1(RP

Dnde: R: Renta o Pago i: Tasa de inters n: Nmero de periodos P: Valor presente de una anualidad

Ejemplo1: Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 10.000 cada trimestre durante 5 aos y 6 meses al 12% capitalizable trimestralmente (anualidad vencida simple). Ejemplo2: Calcule el importe a depositar hoy en el banco que paga una TEM del 3%, el cual permitir retirar durante 5 meses (a fin de cada mes) una renta S/. 900. 8. Clculo de la renta o pago peridico:

1)i1(

iSR

n

1)i1(

)i1(iPR

n

n

Dnde:

R: Renta o Pago i: Tasa de inters n: Nmero de periodos P: Valor presente de una anualidad S: Monto de una anualidad, valor futuro

Ejemplo 1: Calculemos entonces el valor del depsito mensual que debe hacer una empresa en una institucin financiera que paga 14,4% anual, capitalizable mensualmente, a fin de obtener $ 6.400 en 6 aos. As como los intereses que ganara. Ejemplo 2: Calcular el valor de la cuota bimestral que debe pagar una empresa que tiene una deuda de $ 40.000,00 a 8 aos de plazo, con una tasa de inters del 6% anual capitalizable bimestralmente. Ejemplo 3: Si deseamos acumular S/. 5 000 en un banco, mediante 5 depsitos iguales a fin de trimestre ganando una TEM del 3%, cul ser el importe de cada depsito? Ejemplo 4: Un automvil cuyo precio al cash es de $ 10 000, es vendido al crdito con una cuota inicial del 35% y 12 cuotas mensuales uniformes vencidas. Calcule el importe de cada cuota si por el financiamiento cobran una TEM del 5%.

9. Clculo de los periodos en una anualidad

simple vencida:

)i1(Log

R

iP1Log

n

)i1(Log

1R

iSLog

n

Dnde: R: Renta o Pago i: Tasa de inters n: Nmero de periodos P: Valor presente de una anualidad S: Monto de una anualidad, valor futuro

Ejemplo 1: Cuantos depsitos de $ 25.000 debe hacer una empresa cada trimestre para obtener $ 750.000, considerando una tasa de inters del 15% anual capitalizable trimestralmente?

Ejemplo 2: Se necesita adquirir una mquina evaluada en $ 8 000. Dentro de cuntos meses podr disponerse ese importe, ahorrando cada fin de mes una suma constante de $ 1 800 en una institucin financiera que paga una TEM del 2%?

Ejemplo 3: En cunto tiempo podr cancelarse un prstamo de S/. 15 000 con pagos de S/. 2 000 cada fin de trimestre? La entidad financiera cobra una TNA del 24% capitalizable trimestralmente.

Pg.

14

10. Monto de una Anualidad Simple Anticipada:

i

1)i1()i1(RS

n

a

Dnde:

aR : Renta o Pago anticipado

i: Tasa de inters n: Nmero de periodos S: Monto de una anualidad, valor futuro

Ejemplo 1: Qu monto se habr acumular al trmino del cuarto mes, si hoy y durante 3 meses consecutivos se depositan S/ 100 en una cuenta de ahorros percibiendo una TNA del 24% con capitalizacin mensual?

Ejemplo 2: Francisco deposita $2000 al principio de cada mes, en una cuenta de inversin. Si la tasa de inters compuesto es de 1% mensual a) Obtenga el monto al cabo de 3 aos. b) Cul es el inters ganado en los 3 aos? c) Calcule el valor presente de la anualidad. 11. Valor presente de una Anualidad Simple

Anticipada:

n

n

a)i1(i

1)i1()i1(RP

Dnde: R: Renta o Pago anticipado i: Tasa de inters n: Nmero de periodos P: Valor presente de una anualidad

Ejemplo 1: Un local comercial es alquilado por cuatro meses con pagos anticipados de S/. 500. Cul es el valor actual del contrato de arriendo aplicando una TEM del 3%?

Ejemplo 2: Un automvil se puede comprar a crdito mediante 48 pagos mensuales anticipados de $4 800. Si la tasa de inters anual es de 16% capitalizable cada mes, cul es el valor de contado del automvil? 12. Clculo de los periodos en una anualidad

simple vencida:

)i1(Log

)i1(R

iP1Log

na

)i1(Log

1)i1(R

iSLog

na

Dnde: R: Renta o Pago i: Tasa de inters

n: Nmero de periodos P: Valor presente de una anualidad S: Monto de una anualidad, valor futuro

Ejemplo 1: Cuantos imposiciones mensuales de S/ 500 sern necesarias ahorrar, para acumular un monto de S/ 5 584.36 en un banco que paga una TNA del 24% con capitalizacin mensual?

Ejemplo 2: Cuntos depsitos semestrales anticipados de $18 781.27 cada uno se deben hacer para acumular un monto de $250 000? La tasa de inters es de 5.14% semestral capitalizable cada semestre.

Ejemplo 3: Con cuntas imposiciones trimestrales de S/ 500 se podr amortizar un prstamo de S/. 5 000? La entidad financiera cobra una TET del 6.1208% 13. Valor presente de una Anualidad Simple

diferida vencida:

kn

n

)i1()i1(i

1)i1(RP

Dnde: R: Renta o Pago i: Tasa de inters n: Nmero de periodos P: Valor presente de una anualidad k: plazo diferido

Ejemplo 1: Calcule el valor presente de una renta ordinaria de S/ 1 000 mensuales a recibirse despus de transcurridos tres meses y durante el plazo de un ao. Utilice una TEM del 4%. 14. Valor presente de una Anualidad Simple

diferida anticipada:

n

nk1

a)i1(i

1)i1()i1(RP

Dnde:

aR : Renta o Pago anticipado

i: Tasa de inters n: Nmero de periodos P: Valor presente de una anualidad K: plazo diferido

Ejemplo 1:Qu capital debe colocarse hoy en un banco a una TEM del 4%, para disponer, despus de transcurrido un ao, una renta mensual de S/. 500 al comienzo de cada mes durante un ao?

Pg.

15

La palabra amortizar proviene del latn y

que su significado literal es "dar muerte". En matemticas financieras amortizar significa pagar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales o abonos, los que pueden ser iguales en valor o variables, efectuados a intervalos de tiempo iguales o diferentes.

En los sistemas que se estudiarn en esta unidad, se utilizar el sistema PILP (Primero los intereses y luego el Principal). Ello significa que de cada pago, cuota o servicio, una parte se aplica a cubrir el inters generado por la deuda; si la cuota es mayor que el inters, la diferencia disminuye el saldo insoluto. Se infiere que si el pago parcial efectuado es tan pequeo que no puede cubrir ni siquiera el inters generado por el saldo insoluto, entonces la diferencia no cubierta se capitaliza.

Al partir del da siguiente al vencimiento de cada cuota, si sta no hubiera sido amortizada completamente, la parte no amortizada de ella entrar en mora y generar a diario un inters de mora, independientemente del inters compensatorio que genera el saldo insoluto.

Cuando un prstamo est en mora, cada pago, hasta donde alcance, debe aplicarse para cancelar la deuda en el siguiente orden: - Inters de mora. - Inters compensatorio. - Principal vencido.

Si del pago efectuado quedara algn remanente, la diferencia se aplicar para cubrir:

- El inters no vencido, pero devengado hasta la fecha del pago.

- El principal por vencer. Contablemente, amortizar es el proceso que consiste en disminuir el valor de un activo, para cargar este importe a gastos. En la presente unidad se tomar el concepto financiero de amortizacin, no el contable.

En un problema de amortizacin intervienen:

- El importe de los pagos peridicos que pueden ser uniformes o irregulares.

- El nmero de pagos cuyos plazos pueden ser uniformes o irregulares.

- La tasa de inters que puede ser fija, variable, explcita o implcita (explicita: tasa anunciada en las operaciones mercantiles y financieras; implcita: tasa incluida en el costo total)

- La formulacin de las tablas de amortizacin conocidas tambin como cuadros de servicio de la deuda o de reembolsos de prstamos.

Para amortizar un prstamo, formalizado mediante un contrato con una entidad financiera y regulado por las entidades competentes, pueden aplicarse diversos sistemas de repago, limitados sol por el principio de equivalencia financiera, por medio del cual, la suma de las cuotas evaluadas a valor presente con la tasa de inters o combinacin de tasas pactadas deben ser iguales al importe del crdito original.

Amortizacin: Proceso financiero mediante el cual una deuda u obligacin y el inters que genera, se extinguen de manera progresiva por medio de pagos peridicos o servicios parciales.

Tabla De Amortizacin: La tabla de amortizacin muestra la forma como se amortiza una deuda; esto es, nos permite ver cmo se va reduciendo la deuda con cada abono efectuado. Una tabla de amortizacin puede tener diversos elementos o datos, de acuerdo con los criterios de la empresa que otorga los prstamos. Puede considerarse los siguientes: Elementos que componen la tabla de amortizacin:

a) Nmero de Cuota: Es un valor entero que toma el valor cero para aquellas fechas a las cuales no le corresponde cuota alguna. Para las dems fechas toma un valor igual al nmero de la cuota correspondiente. En una anualidad anticipada. la renta nmero 1 se realiza en el momento 0.

b) Fecha: Registra la fecha del desembolso del prstamo y las fechas de vencimiento de cada cuota que amortizar el prstamo.

c) Plazo: Es el nmero de das que va a transcurrir entre dos fechas registradas consecutivamente en la tabla de amortizacin. Los plazos pueden ser uniformes o variables.

d) Cuota: Es el importe destinado a remunerar el costo del prstamo generado por su saldo deudor durante el plazo de la cuota.

e) Cuota Inters: Es el importe que reduce el saldo del inters del prstamo.

f) Amortizacin de principal o cuota principal: Es el importe de la cuota destinado a reducir el saldo de principal.

g) Saldo insoluto o deuda residual: Es el importe del prstamo que se encuentra pendiente de pago; por tanto, en el momento 0 es igual al importe recibido en prstamo y en cualquier momento posterior es igual a la diferencia que existe entre el importe del prstamo y su respectiva deuda extinguida.

h) Deuda extinguida: Es el importe acumulado de las cuotas principales pagadas. Al vencimiento del prstamo la

AMORTIZACIN

Pg.

16

deuda extinguida es igual a su importe original.

SISTEMAS DE REPAGO DE PRSTAMOS: Para determinar el pago de intereses y el control de la amortizacin o reembolso del capital en prstamo suele aplicarse uno de los tres sistemas siguientes: - Sistema de Cuotas constantes o Sistema

Francs. - Sistema Amortizacin Constante o Sistema

Alemn.

- Sistema de Inters Constante o Sistema Americano.

Sistema Cuotas constantes o Sistema Francs:

Este sistema est basado en la teora de rentas, pues los pagos se calculan como si fuesen los trminos de una renta. La equivalencia se calcula como si fuesen los trminos de una renta. La equivalencia se plantea entre los pagos y el principal y utilizando la tasa pactada en la operacin. En este sistema las cuotas de capital crecen en progresin geomtrica, siendo la razn (1+i), donde i es la tasa pactada. As, las cuotas de inters deben decrecer en forma exponencial de modo tal que al sumarlas el pago resulte constante.

1)i1(

)i1(iPR

n

n

Ejemplo 1: Se tiene un prstamo por amortizar bajo el sistema de cuotas constantes a una tasa efectiva anual del 47.64% y con 36 mensualidades. Sabiendo que la deuda residual al comenzar el mes 31 es S/ 5 000, calcular el monto de prstamo Ejemplo 2: Una empresa requiere constituir un fondo de amortizacin de $ 50.000 mediante depsitos trimestrales durante 4 aos, con el propsito de reemplazar cierta maquinaria. Si se considera una tasa de inters del 15% anual capitalizable trimestralmente, cul ser el valor acumulado inmediatamente despus de haber hecho el deposito 12? Ejemplo 3: Calcule el valor de la cuota anual necesaria para amortizar una deuda de $ 90 000 en 18 aos, considerando una tasa de inters efectiva del 12% anual. Ejemplo 4: La empresa ABC S.A. solicita al Banco del Sur el siguiente crdito Principal : S/. 85 000 Tasa de inters : 34.49% efectivo anual Plazo : 4 meses Modalidad : Pagos constantes Hallar el cuadro de amortizacin correspondiente

Ejemplo 5: Prepare la tabla referencial de reembolso para un prstamo de S/ 10 000 otorgado el 16 de agosto, para amortizarse con cuatro cuotas uniformes trimestrales anticipadas, a una TET del 5%. Sistema Amortizacin Constante o Sistema Alemn:

Como su nombre lo indica, en este sistema las cuotas de capital o amortizacin son constantes o iguales. As, stas se calculan dividiendo el principal entre el nmero de perodos de pago.

Con el dato anterior podemos calcular los saldos de la deuda y, por tanto, las cuotas de inters. Finalmente sumamos ambas cuotas para hallar el monto por pagar en cada perodo de pago.

Como caracterstica de este sistema se puede mencionar que dado que los saldos disminuyen, las cuotas de inters tambin deben disminuir y, por lo tanto, este mtodo es tambin conocido como el de pagos decrecientes.

CuotasdeNumero

stamoPrnA mortizac i

Ejemplo 1: Prepare la tabla referencial de reembolso de un prstamo de S/ 10 000 otorgado el 8 de marzo, el mismo que debe ser reembolsado en 6 cuotas trimestrales vencidas con amortizaciones constantes a una TET del 5% Ejemplo 2: La empresa Ferretera COLLPA S.A.C. ha obtenido el siguiente crdito: Principal : S/. 85 000 Tasa de inters : 2.5% mensual Plazo : 4 meses Modalidad : Amortizacin constantes Pago de intereses : Vencidos Hallar el cuadro de amortizacin correspondiente. Sistema de Inters Constantes o Sistema Americano: En este sistema conocido tambin como mtodo ingls, los pagos al vencimiento de cada cuota incluyen slo el inters devengado por el saldo insoluto, permaneciendo la deuda original sin variacin hasta el vencimiento de la ltima cuota, la cual incluye adems del inters generado en el ltimo perodo, la devolucin total del prstamo. Este sistema es usado generalmente cuando las empresas se financian con la emisin de bonos, pagando durante el plazo pactado slo intereses y redimiendo el capital en la fecha del vencimiento de la obligacin. Ejemplo 1: Prepare la tabla referencial de reembolso de un prstamo de S/ 10 000 otorgado el 8 de marzo, el mismo que debe ser reembolsado

Pg.

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en 6 cuotas trimestrales vencidas con amortizaciones constantes a una TET del 5% Ejemplo 2: La empresa Ferretera COLLPA S.A.C. ha obtenido el siguiente crdito: Principal : S/. 85 000 Tasa de inters : 2.5% mensual Plazo : 4 meses Modalidad : Inters constantes Pago de intereses : Vencidos Hallar el cuadro de amortizacin correspondiente.

Problema 01: Una persona deposita en una cuenta de ahorros al final de cada trimestre un importe constante de S/. 2 000. Qu monto acumular en el plazo de dos aos percibiendo una TNA del 24% capitalizable trimestralmente?

Rp. S/.19 794,94. Problema 02: Qu monto puede acumularse durante 3 aos consecutivos depositando S/. 1 000 cada fin de mes y percibiendo una TNA del 24% con capitalizacin mensual?

Rp. S= 51 994,31. Problema 03: Qu monto se habr acumulado en una cuenta de ahorros si a fin de mes y durante 8 meses consecutivos se deposit S/. 800 en un banco que paga una TNA del 36%

Rp. S = S/. 6616,63. Problema 04: Una mquina es vendida con una cuota inicial de S/. 2 000 y 12 cuotas de S/. 300 cada una a pagarse cada 30 das. Calcule el respectivo precio de contado equivalente utilizando una TET del 9%.

Rp. P= S/. 5 001,55. Problema 05: La empresa Alfa alquila un local comercial durante 5 aos por una merced conductiva (La Merced Conductiva es el pago al que se obligan los conductores de los puestos de los mercados municipales por su uso, por lo que tiene un origen contractual y no tributario.) de $ 3 000 por trimestre vencido. Alfa recibe como alternativa del arrendatario la propuesta de efectuar un nico pago de $ 17 000 al inicio del contrato de 5 aos. Considerando que Alfa puede invertir el importe de los alquileres que percibir a una TEM del 5%, le conviene la alternativa propuesta?

Rp. No, ya que el VP de los alquileres es $18013,60.

Problema 06: Dentro de. 70 das se recibir S/ 2 000, cul es su valor actual aplicando una TNA del 18% con capitalizacin mensual?

Rp. P = S/. 1 931.7 Problema 07: Cul ha sido el capital que al cabo de 6 meses se convirti en S/. 2 000 aplicando una TEA del 20 %?

Rp. P=S/. 1 825.74 Problema 08: Un rgano electrnico mod. MT-280 es ofrecido por una casa comercial al precio de $ 430 al contado; al crdito lo oferta con una cuota inicial de $ 200 y, una letra que puede otorgarse a los siguientes plazos: a 15 das por $ 235, a 30 das por $.239, a 45 das por $ 245. Cul es la mejor oferta para un cliente suponiendo que su costo de oportunidad es del 5% mensual y que le es indiferente disponer del bien ahora o dentro de 45 das?

Rp. La mejor oferta sera a 30 das con un valor presente de $ 427,62.

Problema 09: Calcule el importe de la renta constante que colocada al final de cada trimestre durante 4 aos permita constituir un monto de S/ 20 000. La TNA aplicable es del 36% con capitalizacin mensual.

Rp. R = S/. 592.08 Problema 10: La empresa Productos Industriales S.A. (PRODINS) planea adquirir dentro de seis meses un equipo de computacin interconectado para toda su empresa a un costo de $ 10 000. Para tal fin, la Gerencia Financiera de PRDINS puede colocar sus excedentes (El excedente es la parte de la produccin que sobra una vez cubiertas las

necesidades bsicas y el consumo corriente.) mensuales de caja (estimados en $ 3000) en una institucin financiera que paga una TEM del 2%. Qu importe constante de fin de mes deber ahorrar para acumular los $ 10 000' al final del sexto mes?

Rp. R = $ 1585.26. Problema 11: Un prstamo de S/. 5 000 debe cancelarse en el plazo de un ao con cuotas uniformes cada fin de mes, aplicando una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Calcule el impone de cada cuota.

Rp. R = S/. 502.31 Problema 12: La empresa Equipos S.A. vende sus mquinas al contado en $ 10 000 pero debido a que ha conseguido un financiamiento del exterior est planeando efectuar ventas al crdito con una cuota inicial de $ 5 000 y seis cuotas mensuales uniformes. Si la TEA a cargar al financiamiento es del 25%, calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plazo.

Rp. R = $ 588.93

Problema 13: Se compr un auto cuyo precio de contado fue $ 12 000, pagando una cuota inicial de $ 2 000 yel saldo cancelable en cuatro armadas mensuales iguales. Cul ser el importe de cada cuota si el costo del financiamiento es del 2% efectivo mensual?

PROBLEMAS Propuestos

Pg.

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Rp. R = S/. 2 626.24

Problema 14: Prepare una alternativa de financiamiento para una mquina que se vende al contado a un precio de $ 4 000. Al crdito se otorgar con una cuota inicial equivalente al 25% del precio de contado y seis cuotas uniformes pagaderas cada 30 das. Se cargar una TEM del 5% sobre el saldo deudor.

Rp. R = S/. 591.05 Problema 15: En cunto tiempo podr acumularse un monto de S/. 2 000 efectuando depsitos de S/. 150 cada fin de quincena, en un banco que paga una TNA del 24% anual con capitalizacin mensual?

Rp. 12,58222416 quincenas. Problema 16: Por cuntos meses una persona debe depositar S/. 250 cada fin de mes, en un banco para formar un monto de S/ 2 000 en la fecha del ltimo depsito, si percibe una TEM del 3%?

Rp. 7,277405148. Problema 17: En cuntas cuotas de S/. 1 576.14 pagaderas cada fin de mes se podr amortizar un prstamo de S/. 8 000? La entidad financiera cobra una TEM del 5%.

Rp. 6. Problema 18: Cuntas cuotas mensuales vencidas de S/. 1 650 sern necesarias para cancelar un prstamo de S/. 8 500? La deuda ser contrada en un banco que cobra una TNA del 24% anual con capitalizacin trimestral.

Rp. 5.48 cuotas. Problema 19: Por campaa escolar una casa comercial ofrece "paquetes escolares" en productos por un importe de S/. 1 200 cobrando una cuota inicial de S/ 200 y 11 cuotas mensuales de S/. 120. Cul es la tasa mensual de inters cargada?

Rp. TEM = 4,9384%. Problema 20: Si se efectan cuatro depsitos de inicio de mes de S/. 1 000 cada uno en una institucin bancaria que paga una TNA del 36% con capitalizacin mensual, qu importe se acumular al final del cuarto mes?

Rp. S = S/. 4 309.14 Problema 21: El primer da til de cada mes la compaa JETS coloca en un banco el 20% de sus excedentes de caja ascendentes a S/ 500. Si por dichos depsitos percibe una TEM del 3%, cunto habr acumulado al trmino del sexto mes?

Rp. S = S/.3 331.23 Problema 22: El alquiler de un local comercial es de S/.500, pago que debe efectuarse a inicios de cada mes. El dueo del local le propone al arrendatario efectuar un descuento del 4% mensual en el caso que le abone anticipadamente los alquileres correspondientes a un ao. Calcule el valor presente de los doce pagos anticipados.

Rp. P = S/. 4 880,24.

Problema 23: Un crdito mutual fue contratado para ser amortizado con 20 imposiciones trimestrales fijas de S/. 250 a una TNA del 36%. Al vencimiento de la imposicin 12, el cliente decide cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas, cul es el importe total a cancelar en esa fecha?

Rp. P = S/. 1 633.70 Problema 24: Calcule el precio de contado de una maquinaria vendida al crdito en 12 cuotas mensuales anticipadas de S/. 200 utilizando una TEM del 2%.

Rp. P = S/. 2 157.37 Problema 25: Calcule el importe total del inters a pagar en la amortizacin de un prstamo pactado a una TEM del 4% durante medio ao con imposiciones iguales mensuales de S/. 500.

Rp. I= S/. 274.09 Problema 26: La compaa LIDER ha tomado la decisin de adquirir, dentro de seis meses, una nueva camioneta para distribuir sus productos (se estima que el precio de la camioneta ser de $ 13 000). Para este efecto decide ahorrar mensualmente, en ese plazo, una cantidad uniforme a inicio de cada mes. Calcule el importe de la cuota constante anticipada que le permita formar dicho fondo a fines del sexto mes, si sus ahorros perciben una TEM del 4%.

Rp. Ra = $ 1 884.52 Problema 27: Se estima que dentro de 4 meses deber adquirirse una mquina cuyo precio ser de S/. 5 000. Empezando el da de hoy, qu cantidad uniforme deber depositarse cada 30 das durante ese perodo de tiempo, en un banco que paga una TEM del 5%, a fin de comprar dicha mquina con los ahorros capitalizados?

Rp. Ra = S/ 1 104,82. Problema 28: Calcule el importe de la imposicin uniforme que colocada cada mes en un banco ganando una TEM del 4,5% durante el plazo de 4 aos nos permita acumular un fondo para sustituir una maquinaria cuyo precio se estima al finalizar ese perodo en S/ 32 000.

Rp. Ra = S/.189.51 Problema 29: Un prstamo de S/. 5 000 debe cancelarse en 12 cuotas uniformes mensuales anticipadas pagando una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de cada cuota.

Rp. Ra = S/. 481.68 Problema 30: En cunto tiempo podr acumularse un monto de S/. 2 000 efectuando depsitos quincenales anticipados de S/. 150? El banco paga una TNA del 24% capitalizable mensualmente.

Rp. En 12,46560198 quincenas. Problema 31: Cuntas cuotas mensuales anticipadas de S/. 1 650 sern necesarias para cancelar un prstamo de S/. 8 500? La deuda ha sido contrada en un banco que cobra una TNA del 24% con capitalizacin trimestral.

Rp. n = 5.3726304

Pg.

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Problema 32: Por campaa escolar una casa comercial ofrece "paquetes escolares" por un importe de S/. 1 200 cobrando 12 cuotas mensuales anticipadas de S/ 120 c/u Cul es la TEM cargada?

Rp. TEM = 3.5031% Problema 33: Si se efectan cuatro depsitos de inicio de mes de S/. 1 000 cada uno en una institucin bancaria que paga una TNA del 36% con capitalizacin mensual, qu importe se acumular al final del cuarto mes?

Rp. S = S/. 4 309.14 Problema 34: El primer da til de cada mes la compaa JYTS coloca en un banco el 20% de sus excedentes de caja ascendentes a S/ 500. Si por dichos depsitos percibe una TEM del 3%, cunto habr acumulado al trmino del sexto mes?

Rp. S = S/.3 331.23 Problema 35: El alquiler de un local comercial es de S/.500, pago que debe efectuarse a inicios de cada mes. El dueo del local le propone al arrendatario efectuar un descuento del 4% mensual en el caso que le abone anticipadamente los alquileres correspondientes a un ao. Calcule el valor presente de los doce pagos anticipados.

Rp. P = S/. 4 880,24. Problema 36: Un crdito mutual fue contratado para ser amortizado con 20 imposiciones trimestrales fijas de S/. 250 a una TNA del 36%. Al vencimiento de la imposicin 12, el cliente decide cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas, cul es el importe total a cancelar en esa fecha?

Rp. P = S/. 1 633.70 Problema 37: Calcule el precio de contado de una maquinaria vendida al crdito en 12 cuotas mensuales anticipadas de S/. 200 utilizando una TEM del 2%.

Rp. P = S/. 2 157.37 Problema 38: Calcule el importe total del inters a pagar en la amortizacin de un prstamo pactado a una TEM del 4% durante medio ao con imposiciones iguales mensuales de S/. 500.

Rp. I= S/. 274.09 Problema 39: Se estima que dentro de 4 meses deber adquirirse una mquina cuyo precio ser de S/. 5 000. Empezando el da de hoy, qu cantidad uniforme deber depositarse cada 30 das durante ese perodo de tiempo, en un banco que paga una TEM del 5%, a fin de comprar dicha mquina con los ahorros capitalizados?

Rp. Ra = S/ 1 104,82. Problema 40. Calcule el importe de la imposicin uniforme que colocada cada mes en un banco ganando una TEM del 4,5% durante el plazo de 4 aos nos permita acumular un fondo para sustituir una maquinaria cuyo precio se estima al finalizar ese perodo en S/ 32 000.

Rp. Ra = S/.189.51

Problema 41: Un prstamo de S/. 5 000 debe cancelarse en 12 cuotas uniformes mensuales anticipadas pagando una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de cada cuota.

Rp. Ra = S/. 481.68 Problema 42: En cunto tiempo podr acumularse un monto de S/. 2 000 efectuando depsitos quincenales anticipados de S/. 150? El banco paga una TNA del 24% capitalizable mensualmente.

Rp. En 12,46560198 quincenas. Problema 43: Cuntas cuotas mensuales anticipadas de S/. 1650 sern necesarias para cancelar un prstamo de S/. 8 500? La deuda ha sido contrada en un banco que cobra una TNA del 24% con capitalizacin trimestral.

Rp. n = 5.3726304 Problema 44: Por campaa escolar una casa comercial ofrece "paquetes escolares" por un importe de S/. 1 200 cobrando 12 cuotas mensuales anticipadas de S/ 120 c/u Cul es la TEM cargada?

Rp. TEM = 3.5031% Problema 45: Efecte las seis transformaciones financieras entre stocks y flujos equivalentes, considerando un capital inicial de S/.100 en el momento 0, una TNA del 36% con capitalizacin mensual. 4 perodos diferidos mensuales y 6 rentas vencidas uniformes mensuales. Rp. P= S/. 100; S = S/.134.39; R = S/. 20.78

Problema 46: Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 24 perodos trimestrales vencidos, de los cuales los4 primeros son diferidos. El imparte de cada renta uniforme con vencimiento trimestral es de S/. 2500, y la TEA aplicada es 36%.

Rp. P = S/ 18 060.08 Problema 47: El Hotel Kal estar terminado dentro de un ao, fecha a partir de la cual se proyecta por 10 aos tener ingresos netos mensuales de $ 2 000. Calcule el valor presente de esos flujos considerando una TEA del 20%.

Rp.P = $ 91 282.76 Problema 48: Calcule el importe que debe depositarse hoy en un banco, el cual permitir retirar dentro de tres meses y durante un perodo consecutivo de nueve meses una renta de S/. 500. La TEM es del 4%.

Rp. P = 3 437.19 Problema 49: Calcule el plazo diferido a otorgar en un financiamiento de S/ 11 166.33 cobrando una TEM del 5% para reembolsarse con 8 cuotas mensuales vencidas de S/ 2 000 c/u.

Rp. k = 3 meses. Problema 50: Si el da de hoy efectuamos un depsito de SI. 10 000, calcule el plazo diferido a partir del cual se podr percibir una renta vencida de S/. 1 000 mensual durante 36 meses a una TEM del 4%.

Rp. k = 16.2417988 meses.

Pg.

20

Para evaluar una inversin, es necesario estimar los ingresos y egresos que dicha actividad genera y se le denomina flujo de caja econmico cuando no se considera la estructura de financiamiento y flujo de caja financiero cuando se le incluye.

El flujo de caja econmico nos permite efectuar la evaluacin econmica, concibiendo al proyecto como una fuente generadora de beneficios y costos durante la vida til del proyecto. Considera adems que todas las ventas son al contado y el total de las inversiones constituyen el capital propio. EVALUACIN ECONMICA Los criterios bsicos o indicadores para la evaluacin econmica de un proyecto de inversin son los siguientes: Valor Actual Neto (VAN) Es un indicador que mide el valor econmico del proyecto, actualizando los ingresos estimados futuros a una determinada tasa que constituye el costo de oportunidad del capital, deducido el valor actual de los egresos en los que se incluye los desembolsos por concepto de inversiones.

VAN =VAI VAC El VAN es la diferencia del VAI, valor actual de ingresos y del VAC, valor actual del costo, entre los que se consideran los costos de inversin, los costos de operacin y otros costos del proyecto. El criterio de aceptacin o rechazo es:

Si VAN >0 entonces Aceptar la Inversin

Costo de Oportunidad El dinero tiene ms de una oportunidad para invertirse, y cada vez que se acepta una de estas, se pierde la ocasin de invertir en otra. Costo de oportunidad es la alternativa de inversin que se rechaza para aceptar otra, y en consecuencia, se pierde el beneficio que hubiera podido obtenerse en la alternativa rechazada, para obtener el beneficio de la aceptada. Para simplificar, supongamos que tenemos solo dos alternativas para invertir nuestro dinero: una de ellas consiste en colocarlo en un banco a plazo fijo al 18% anual y la otra invertirlo en un negocio. Cuando la decisin es invertir en el negocio, se dejara de percibir el 18%, en consecuencia este es el costo de oportunidad de nuestro dinero.

on

nI

)i1(

FCV A N

VAN : Valor actual neto n : Periodos de evaluacin

nFC : Flujos de Caja

n : Perodo de tiempo especfico i : Tasa de actualizacin de ingresos y egresos

0I : Inversin

Para aplicacin de la formula se consideran los flujos netos, consistentes en los beneficios netos, es decir los ingresos deducidos los costos. Los flujos pueden estimarse en cantidades y periodos uniformes o en cantidades y periodos variables, segn las caractersticas del proyecto. Ejemplo 1: En un proyecto cuya inversin total inicial es de S/435,440, se estiman los flujos netos proyectados de S/100,000 en el primer ao, S/.200 000 en el segundo ao y S/.300 000 en el tercer ano, si se requiere un rendimiento mnimo del 18%, se debe realizar la inversin? Evaluar mediante el VAN. Tasa Interna de Retorno (TIR) Se denomina tasa interna de retorno, a la tasa de actualizacin que iguala el valor actual de los beneficios netos con el valor inicial de las inversiones y por consiguiente, produce un valor actual neto de cero. Para aceptarse el proyecto como rentable, la TIR debe ser mayor que la tasa mnima requerida tomada como costo de oportunidad del capital. De acuerdo a este indicador se establece: - Si la TIR>TCOK: Se acepta la ejecucin del

proyecto - Si la TIR

Pg.

21

Ejemplo 2: Con los datos del ejercicio anterior evaluar si conviene invertir o no, mediante la tasa interna de retorno TIR. Relacin Beneficio Costo (B/C) Es el cociente entre el valor actualizado de los beneficios netos a la tasa tomada como costo de oportunidad y el monto de la inversiones iniciales; y para aceptarse como rentable el proyecto dicho cociente debe ser mayor a la unidad (B/C > 1) Ejemplo 3: Continuando con los datos del ejercicio 1 evaluar si conviene invertir utilizando el criterio de la relacin beneficio costo B/C. Periodo de Recuperacin de Capital Los inversores desean que el desembolso realizado en cualquier proyecto sea recuperado en el menor tiempo posible. El periodo de recuperacin se determina contando el nmero de aos que han de transcurrir, para que la acumulacin de los flujos de efectivo previstos, iguale a la inversin inicial. Ejemplo 4: Se tienen dos alternativas de inversin, A y B, bajo el criterio del periodo de recuperacin, evaluar la mejor alternativa.

Proyecto I BN1 BN2 BN3

A B

2000 2000

2000 1000

0 1000

0 5000

A fin de entender con mayor claridad, desarrollamos un ejemplo utilizando los criterio de evaluacin estudiados, como son el VAN. La TIR y la relacin B/C. Ejemplo 5: Una empresa desea determinar la mejor alternativa de inversin, entre los proyectos A y B, hgalo Ud. mediante los indicadores: el VAN, la TIR, y la relacin beneficio costo (B/C), considerando que se requiere una tasa mnima de rendimiento del 22% anual.

Aos Proyecto A Proyecto B

0 1 2 3 4 5 6

1 000 000 500 000 500 000 520 000 480 000 450 000 400 000

1 800 000 800 000 700 000 950 000 900 000 850 000 820 000

EVALUACIN FINANCIERA Para la evaluacin financiera es necesario previamente la formulacin del flujo de caja financiero, el cual incorpora los intereses como costo del capital prestado, las cuotas de amortizacin al prstamo, separa el capital propio del capital externo. La evaluacin financiera evala

la rentabilidad del capital propio y la capacidad financiera del proyecto para el pago de la deuda. Los criterios o indicadores para la evaluacin financiera son los mismos de la evaluacin econmica, y se determinan utilizando los flujos netos de efectivo obtenidos en flujo de caja financiero. Ejemplo 6: Con la informacin del ejemplo 9.5, referente al proyecto A y considerando que la estructura financiera de las inversiones es del 30% capital propio y el 70% financiamiento externo, con una tasa de inters anual del 25%, determinar la factibilidad del proyecto, mediante los indicadores: el VANF, la TIRF. y la relacin beneficio costo financiero (B/CF), considerando que se requiere una tasa mnima de rendimiento o costo de oportunidad del capital del 22% anual. Problema 01: La Gerencia General de la empresa Minera Cerro Verde S.A. desea comprar un sistema de calefaccin para el departamento de produccin, por lo que tiene dos propuestas de proveedores diferentes:

Conceptos ALFA PENTA

Costo Inicial Costo Mantenimiento Valor Residual Vida til (aos) TEA (%)

35,000 8,000 3,500 3 6

45,000 5,500 8,500 3

5.5

Determinar cul de los dos sistemas debe comprar la Empresa Cerro Verde S.A. Justifica tu respuesta.

Problema 02: Una empresa dedicada a la

fabricacin de productos lcteos ha invertido US$.

250,000 en maquinaria. Su proyecto consiste en

vender yogurt a bajo costo a los colegios pblicos

primarios. En el primer ao se piensan vender

120,000 unidades y en adelante las ventas se

incrementaran el 10% anualmente. Del total

vendido el 70% es al contado y el saldo se cobrar

al siguiente ao. Cada unidad tiene un precio de

venta de US$. 3.5 y los costos de produccin son

de US$. 1.5 por unidad, considere que las materias

primas se compran al contado. Calcule el VAN, TIR,

B/C, CAUE y PR para un periodo de 5 aos, si el

proyecto considera un valor de salvamento de S/.

US$. 30,000. (COK 15% TEA).

Problema 03: Una mquina tiene un costo inicial

de US$. 3,100 y una vida til de 4 aos, al cabo de

los cuales su valor de salvamento es de US$. 500.

Los costos de operacin y mantenimiento son de

US$. 300 al ao y se espera que los ingresos por el

aprovechamiento de la mquina asciendan a

Pg.

22

US$.1,800 al ao Cul es la TIR de este proyecto

de inversin?

Problema 04: Considere los dos siguientes planes de inversin: Plan A: Tiene un costo inicial de US$. 25,000 y requiere inversiones adicionales de US$. 5,000 al final del tercer mes y de US$. 8,000 al final del sptimo mes. Este plan tiene 12 meses de vida y produce $ 10,000 mensuales de beneficios a partir del primer mes. Plan B: Tiene un costo inicial de US$. 20,000 y requiere una inversin adicional de US$. 10,000 al final del octavo mes. Durante sus 12 meses de vida, este plan produce US$. 8,000 mensuales de ingresos, y US$ 12,000 al trmino del proyecto. Suponiendo un TREMA del 3% mensual, determine Cul de los dos planes es ms conveniente? Justifica tu respuesta. Utilizar VAN y TIR. Problema 05: Un empresario de Villa el Salvador desea formar un negocio para la fabricacin muebles de madera. Luego de realizar el proyecto respectivo, se determina que se debe realizar una inversin inicial de S/. 225,000.00 Nuevos Soles. A cambio recibir ingresos anuales de S/. 80,000.00; 101,000.00; S/.90,000.00 y S/. 121,000.00, en los cuatro primeros aos. Suponiendo que la tasa anual de descuento es 21%. Determinar si es rentable la puesta en marcha del proyecto. Calcular el valor actual neto de la inversin y el PR.

Problema 06: Teniendo en cuenta la prxima puesta en marcha del proyecto Olmos, un empresario Chiclayano desea establecer una empresa en dicha localidad para la exportacin de limn a Europa. Para dicho proyecto se necesita una inversin inicial S/. 350,000.00 Nuevos Soles y se estima una vida til de 6 aos. Se tiene previsto que generar flujos netos anuales de S/. 135,000.00 Nuevos Soles. Adems, se espera obtener al final de la duracin del proyecto un valor residual de S/. 50,000.00 Nuevos Soles. Si los inversionistas desean obtener una rentabilidad del 30% anual. Determinar si el proyecto es rentable. Utilizar el VAN y TIR Problema 07: Se compra una maquinaria por S/. 290.000.00 Nuevos Soles, la cual tiene una vida til de 4 aos. La mquina tendr ingresos anuales de S/. 185,000.00 Nuevos Soles durante los tres primeros aos y de S/. 165.000.00 Nuevos Soles durante el ltimo ao. El gasto anual de operacin ser de S/. 45,000.00 Nuevos Soles. El valor residual se estima en S/. 39,000.00 Nuevos Soles Si el costo de oportunidad del inversionista es una TEA del 34.456% efectivo anual. Determinar si la compra de la mquina es rentable. Utilizar VAN, B/C, PR. Problema 08: El proyecto de un negocio de confecciones de ropa de nio, determina una

inversin inicial de S/. 75,000.00 Nuevos Soles y se paga al inicio del proyecto. Adems, se espera recibir los siguientes ingresos durante los seis primeros aos: S/. 21,000.00; S/. 28,000.00, S/. 17,500.00, S/. 19,000.00; S/. 28,000.00 y S/. 9,000.00. La tasa de inters anual es 17%. El proyecto de inversin es rentable? Utilizar VAN, PR.

Problema 08: El Gobierno Regional de Lambayeque tiene tres propuestas mutuamente excluyentes para un proyecto de construccin de un hospital popular. Los datos de la inversin inicial y los ingresos netos que obtendrn se muestran en la siguiente tabla:

Ao A B C

(millones US$)

0 -3,500.00 -4,100.00 -3,800.00

1 1,500.00 1,300.00 1,600.00

2 1,500.00 1,400.00 1,600.00

3 1,500.00 1,500.00 1,600.00

4 1,500.00 1,600.00 -1,300.00

5 1,500.00 1,700.00 1,700.00

6 1,500.00 1,700.00 1,700.00

7 1,500.00 1,700.00 1,700.00

Si la tasa esperada que se aplica es del 20.15% anual, seleccione la mejor alternativa por el mtodo del VAN. Problema 09: El Banco de Comercio otorga un

crdito a Jos Prez, para la ampliacin de su local

comercial. El costo estimado para la inversin

inicial es de S/.50.000, esperndose los siguientes

ingresos netos para los primeros cuatro aos:

S/.25.000, S/.23.000, S/. 25,000 y S/.24.500.

Calcular la tasa interna de retorno de su inversin

luego de los cuatro aos.