UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA

UNAN – MANAGUADEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA

MATEMATICA GENERAL

CLASE MAGISTRAL NO. 6

Managua, 23 de Septiembre 2013

OBJETIVOS

RESOLVER ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE

RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

CONTENIDO

ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE

APLICACIONES

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES

Las ecuaciones en general, son igualdades entre expresiones algebraicas en las que intervienen una o más variables.

Las ecuaciones constituyen una importante herramienta en el álgebra. Adquirir habilidad para resolverlas resulta de suma importancia, por cuanto ello facilita la solución a múltiples problemas que se presentan en las aplicaciones de matemática.

Cuando las expresiones algebraicas de cada

miembro de la igualdad son polinomios las ecuaciones resultantes son llamadas Ecuaciones Polinómicas.

Existen otras expresiones algebraicas que no son polinomios, tales como las expresiones algebraicas racionales.

CONCEPTOS BASICOS Definición de Ecuación: Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas

donde al menos una de las expresiones involucran variables. Cada una de las expresiones a cada lado de la igualdad recibe el nombre de miembro de la ecuación.

Ejemplos

En una ecuación las variables reciben el nombre de incógnitas. 

Solución de una ecuación.

La solución de una ecuación es cualquier número que al ser sustituido en la incógnita de la ecuación hace que la igualdad sea verdadera.  

CONCEPTOSDefinición de Conjunto solución de una

ecuación

S es el conjunto solución de una ecuación, entonces todo elemento de S es una solución de la ecuación dada.  

  Resolver una ecuación significa determinar su conjunto solución utilizando reglas específicas, tales como transponer números de un miembro a otro, pasar a dividir o multiplicar números.

CONCEPTOSGRADO DE UNA ECUACIÓN: El grado de una ecuación en una variable es el mayor de los grados de sus

monomios.

Ejemplos.

3x4 + 5 = 3x3 – x ECUACION DE CUARTO GRADO

0.5 – 3y2 – y = 8 ECUACION DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación Polinomial de grado n en la variable x, tiene la forma

an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +… + a2 x2 + a1 x + a0 = 0

Ejemplo: 3x5 +2x3 – x2 – x + 3 = 0 ES DE QUINTO GRADO

Teorema fundamental del Algebra: Todo polinomio de grado n tiene a lo más n raíces.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

Las ecuaciones polinómicas son de la forma: a x + b = 0 con a ≠ 0, ó cualquier otra

ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. Por ejemplo, son ecuaciones lineales

2x + 1 = -2x2 + 2x + 1 = x2 - 2 Para la ecuación ax + b = 0 , su conjunto

solución consta de un solo valor; x = - b / a

Ejemplo:

19424

3)1 xx

}32{,0323223

162

32319

2

3193

2

3

1944

32

4

31942

4

3

Sxxx

xxxxxx

xxxx

Ejemplo:

77142

12

2

1142

2

1

14219636931

6331162

36

6

16

6)2,6.(..el

12

3

6

1)2

Szzz

zzzzz

zzzz

mcm

zz

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

• Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómicas donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: ax2 + bx + c = 0

• donde a es el coeficiente cuadrático, a ≠ 0 , b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

• Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en xn es de la forma:

• con ax2n + bxn + c = 0 con n є N y a ≠ 0

• La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.

TIPOS DEECUACIONES CUADRÁTICASLa ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera: 1.- Completa: Tiene la forma canónica: ax2 + bx + c = 0 con

a, b. c ≠ 0 Se resuelven por factorización, por el método de completar el

cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.

2.- Incompleta pura:

Es de la forma: ax2 + c = 0 con a ,c ≠ 0.

Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su

solución son dos raíces reales que difieren en el signo.

3.- Incompleta mixta:

Es de la forma: ax2 + bx = 0 con a,b ≠ 0. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x 1 = 0.

No tiene solución en números imaginarios

SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO La ecuación completa de segundo grado tiene siempre

dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

donde el símbolo "±" indica que los dos valores

y

son las soluciones de

la ecuación cuadrática.

Naturaleza de las RaícesEs interesante observar que esta fórmula tiene las seis

operaciones racionales del álgebra elemental.

En la formula general, la expresión b2 – 4ac se llama DISCRIMINANTE y nos permite conocer la naturaleza de las soluciones de la ecuación:

Valor del Discriminante Naturaleza de las soluciones de b2 – 4ac ax2 + bx + c = 0

Positivo Dos soluciones Reales y distintas Cero Ambas soluciones Reales e iguales

Negativo Dos soluciones Complejas conjugadas

EJEMPLOSEjemplos: Resolver cada ecuación dada.1) 8x2 – 2 = 0

2(4x2 – 1) = 0

2(2x + 1)(2x – 1) =0 (2x + 1) = 0 o (2x – 1) = 0 x = ± 1/ 2

Por lo tanto S={1/2,-1/2}

EJEMPLO:

310

30

10

1713

}4.0,3{

4.010

4

10

1713

10

1713

10

28913

)5(2

)6)(5(41313

entonces,;6,13,5 general fórmula laaplicar Al

06135)2

2

2

x

S

x

x

cba

xx

LENGUAJE COLOQUIAL Y SIMBÓLICOEl lenguaje coloquial o simbólico permite escribir un enunciado verbal y pasarlo al simbólico. Esto se utiliza al resolver ecuaciones presentadas en forma verbal. El siguiente cuadro presenta algunos ejemplos de algunas expresiones en lenguaje coloquial expresadas en lenguaje simbólico.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

Un número par 2kLa suma de tres números consecutivos y +(y + 1)

+ (y + 2)La mitad de un número x/2Un tercio de la diferencia de dos números (x – y ) / 3

Dos números consecutivos pares 2x, 2x +

2Descomponer el 24 en dos partes x, 24 - xLa diferencia de dos números es 24 x, x-24

Ejemplo 1: En una reunión en una escuela hay el doble número de mujeres que de

hombres y el triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halle el número de hombres, mujeres y niños que hay en la reunión si el total es de 156 personas.

Solución Lenguaje coloquial Lenguaje

simbólico Cantidad de hombres h Cantidad de mujeres es el doble del de hombres

2h Cant de niños es el triplo del no. de hombres y las mujeres juntos. 3( h +

2h )Como en total hay 156 personas, entonces sumamos las tres expresiones anteriores y obtenemos la siguiente ecuación:

Volviendo a la tabla anterior, podemos observar que hay 13 hombres, que hay

2h = 2∙13 = 26 mujeres y hay 3( h + 2h ) = 3(13 + 26) = 117 niños.

1312

15615612156632156)2(32 hhhhhhhhhh

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION