Academia Pre Universitaria Alexander Fleming 3º Boletín Anual Ciencias 2006

PRODUCTOS NOTABLES1. Trinomio cuadrado perfecto

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

2. Identidades de Legendre(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)

Ejemplo:

Diferencia de Cuadrados(a + b)(a - b) = a2 - b2

Ejemplo:

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado

Desarrollo de un Binomio Cubo

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

(a b)3 = a3 b3 3ab(a b)

Suma y Diferencia de Cubosa3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Desarrollo de un Trinomio al Cubo

6)(2)(3)(

3)()(

))()((3)(

3332223

3333

3333

abccbacbacba

abcca

bc

abcbacba

accbbacbacba

+++-++=++

-+++++=++

++++++=++

( cba ++ )

( cba ++ )

PRODUCTO DE MULTIPLICAR BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

abxbaxbxax +++=++ )())(( 2

abcxbcacabxcbaxcxbxax

abcxbcacabxcbaxcxbxax

-+++++-=---

+++++++=+++

)()())()((

)()())()((

23

23

Identidades AdicionalesSi a + b + c = 0

Identidad ARGANDnmmnnmm yxxyyxx 222 )(( +-++ nnmmn yyxxy 42242 ) ++=

42242222

2422

))((

1)1)(1(

yyxxyxyxyxyx

xxxxxx

++=+-++

++=++++ -

DIVISIÓNIdentidad Fundamental de División Entera

P(x) = D(x)Q(x) + R(x)

Ejemplo: Dividir

Clases de División

Colegio de Ciencias Alexander Fleming Asvea B – 7 ¡ Ven y Únete al Equipo Ganador!Matemática II

Academia Pre Universitaria Alexander Fleming 3º Boletín Anual Ciencias 20061. División Exacta R(x) = 0

Ejemplo: Dividir

71452

---

xxx

2. División Inexacta (R 0)

)(

)()(

)(

)(

xD

xRxq

xD

xP+=

Ejemplo: Dividir

1

432

3

-+

+-

xx

xx

x2 - 3x + 4 = (x2 + x - 1) (x - 1) + 3 - x

P(x) D(x) Q(x) R(x)

1

31

1

4322

3

-+

-+-=

-+

+-

xx

xx

xx

xx

División de Monomios

División de Polinomios

Métodos:a) Método de Guillermo Horner:

D Coeficientes del dividendo-I-V-I-S-O-R

Coef. del cociente

Coef. del resto

Ejemplo:Hallar el Q(x) y R(x)

Solución:+ =

3 6 5 0 0 -1-12

-2 4-1 2

-1 2

2 1 1 1 1

+ +

R(x) = x+1

Ejemplo:Hallar “a+b” Si la división es exacta

1 1 3 2 a b

-12 2 -1

10 -522 -11

1 5 11 0 0

++

a-5+22=0 b-11=0a=-17 b=11a+b=-6 //b) Método de RuffiniSe utilizará cuando el divisor es de primer grado o transformable.Ejemplo 1: Hallar el resto

3

1512103 325

-

+-+-

x

xxxx

Solución

R = 663

Ejemplo 2: Hallar el resto

Solución: Transformando

Teorema del Resto (DESCARTES)En toda división de la forma P(x) entre (ax+b); el resto se halla mediante el valor numérico del polinomio P(x) cuando x toma el valor de: (- b/a)

Ejemplo 1: Hallar el resto

Solución:x(x + 1) - 4=0

R = - 5x + 67Ejemplo 2: Hallar el resto

1

22

73140100

-

-+-+

x

xxxx

Solución:

R = 1 + 1 – x + x - 2 R = 0 //

P(x) = D(x)Q(x) + R(x)

Ejemplo 3: Hallar el resto en:

)2)(1()2()1( 65

------

xxxxx

Solución: R = ax + bP(x) = D(x)Q(x) + ax + b

Reemplazando

-2 = a + b …………..

-1 = 2a + b ………….

de y a=1 b=-3 R= x-3 //

P R Á C T I C A

1. Hallar el valor de:

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01

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22222

2axx

2axx

A) x + a B) x – a C) x D) 2x + a E)2x – a

2. Simplificar:

0.522

0.5

a)3(xxa

ax

2(ax).2xa

ax

A) B)

C) D)

E)

3. Hallar el valor de:

, si:

A) B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

4. Hallar el valor de:

Si:

A) a B) 2a C) 3a D) a – b E)N.A.

5. Hallar el valor numérico de :; si:

A) 0 B) 1 C) – 1 D) 2 E) – 2

6. Si: ayx 22 ;

Hallar:

A) B) C)

D) E) N. A.

7. Si: , . Hallar:.

A) B)

C) D) E) N. A.

8. Calcular el valor de: , Si:

A) B) C)

D) E) 00000000

9. Si: a + b + c = 0. Halle:

A) 9 a b c B) 9a2 b2 c2 C) 3a b c D) 3a2 b2 c2 E) 3

10. Si se cumple que:

, obtener

el valor de: A) 15 B) 18 C) 9 D) 27 E) 12

11. Calcular el valor de:

Si:

A) 8 B) 5 C) 4 D) 2 E) 1

12. Hallar el valor numérico de:

Si:

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) N. A.

13. Encontrar el equivalente de:

Si: A) 1 B) 3 C) 1/3 D) 2 E) ½

14. Si:

Hallar: A) 1 B) 2 C) 8 D) 4 E) – 1

15. Hallar el valor numérico de:

Para A) 8 B) 32 C) 64 D) 16 E) 4

16. Determinar el valor numérico de:

Si: ,

, A) 7 B) 49 C)1/7 D) 1/49 E) N. A.

17. Hallar : , si:

,

A)1 B) –1 C) 0 D) E) N. A.

18. Si: y

Hallar:

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 1/16 E) N. A.

19. Si:

Hallar:

A) B) c)

D) E)

20. Si: Calcular:

A) 3 B) –3 C) 0 D) 1 E) 421. Por cuánto se debe multiplicar a

para obtener:

A) B)

C) D) E) N. A.

22.

Para: A) 560 B) 561 C) 568 D) 600 E) 300

23. será igual a:

A) 10 + B) 10+2

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C)5 + D) + 4 E) N. A.

24. A que es igual:A) x + y B) x + 2y C) 2x +y D) 2x + y E) – x + y

25. Simplificar:

A) x + a B) x – a C)

D) E) x + 2ª

26. Reducir la expresión:

x > 0A) x + 1 B) x – 1 C) x D)1– x E) x + 2

27. Efectuar:

A) 5x – 20 B) 3(x – 10) C) 1 D) x2 + 3x – 84 E) 0

28. Efectuar:

A) B) C)

D) E)

29. Si a b = 1 ; y

Hallar: a3 + b3

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

30. Calcular:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

31. Si:

Qué valor tiene a – b?A) 1 B) – b C) 2a D) 2 E) 0

32. Si se cumple:(a + b) 3 = a3 + b3 ; hallar a / bA) 2 B) 4 C) –2 D) –1 E) 3

33. Si : a + b = 5 : a2 + b2 = 17Hallar: a – b, si a > bA) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 4

34. Si: a + b = 12 : a2 + b2 = 60Cuánto vale a3 + b3 ?A) 16 B) 116 C) 60 D) 9 E) 216

35. Si a + b = 10; a b = 19/4; Hallar:A) 4 B) 3 C) 6 D) 9 E) 12

36. Efectuar:

A) n2 B) m C) n + 1 D) m + 1 E) m n

37. Hallar: E = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

para :

A) 3 B) 4 C) 1 D) –1 E) 2

38. La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de sus cuadrados.A) 6 B) 4 C) 11 D) 10 E) 21

39. Efectuar:

A) a6– b3 B) a6 C) b 3

D) a4 – b E) a + b

40. Cuál es el valor de: r2 – 2r –2,Si: A) 3 B) 4 C) 1 D) – 1 E) 2

41. Sabiendo que multiplicar:

A) (x + 1)4 B) 1 C) (x3+1)4 D) (x3– 1)4 E) x – 1

42. Efectuar:

A)4a3b B)8a2b C)8a3b D)4a2b E) N. A.

43. Reducir:

A) a B) b C) a2 D) b2 E) a–b

44. Reducir:

A) 4 B) 6 C) 8 D) 16 E) 12

45. Calcular “n” sabiendo que el grado del producto de los 3 polinomios siguientes es 289.

R(x) = [5x+3]A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E)

46. Efectuar abreviadamente:

A) x B) 2x C) 3x D) 4x E)5x

47. Calcular:

Si:

A) 2 B) 3 C) –1 D) –1/2 E) 1/2

48. Hallar el valor de:

A) x + a B) x – a C) x D) 2x + a E) 2x – a

49. Simplificar:

A) 6x B) 2x C) 2x2 D) 6x4 E ) N. A.

50. Hallar el valor de:

A) B) 3 C)2 D) 1 E) 0

51. Hallar el valor de: R = x (x2 +3 b) Si:

A) a B) 2a C) 3a

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D) a – b E) N. A.

52. Si x2 + y2 = a; x y = b/2 Hallar: x2 – y2

A) B) C) a – b

D) E) N. A.

53. Si x + y = a; x y = b Hallar x3 + y3

A) a3– ab B) a(a2– 2b) C) a(a2–3b) D) a3– 4bE) N. A.

54. Si: , hallar en la relación:

A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 3

55. Si se cumple que:

;

Obtener el valor de: A) 15 B) 18 C) 9 D) 27 E) 12

56. Calcular el valor de:

A) 8 B) 5 C) 4 D) 1 E) 2

57. Si:

Hallar: A) 1 B) 2 C) 8 D) 4 E) – 1

58. Si: ab = 1 y

Hallar:

A) B) C)

D) E) N. A.59. Simplificar:

A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) – 4 E) – 5

60. Si: y

además:

Calcular: A) 8 B) –3 C) 3 D) 1 E) – 3/2

61. Reducir:

A) 1 B) 1/2 C) 1/3 D) 0 E) N. A.

62. Sabiendo que:

Reducir: A) 2(d – b)(p + c) B) 4(p – b)(p – c)C) 4(p – b)(p + c) D) 2(p – b)(p – c)E) N. A.

63. Reducir:

A) yw B) 2yw C) 4yw D) 6yw E) w/y

64. Simplificar:

A) x 2 B) y 2 C) z 2 D) x 2+ y 2 E) x2 + y 2 + z 2

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